Së GD&§T Thanh hãa
Trêng thpt hËu léc 3
§Ò thi Häc sinh giái THPT – M«n To¸n B¶ng A
----------------o0o--------------
--------o0o------C©u 1: (6 ®iÓm) Cho hµm sè: y = x3 + 3x2 + 1.
a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè.
b) BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x3 + 3x2 = m3 + 3m2.
c) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) kÎ tõ ®iÓm (1; 5).
d) Trªn ®êng th¼ng y = 9x – 4, t×m nh÷ng ®iÓm cã thÓ kÎ ®Õn (C) 3 tiÕp
tuyÕn.
C©u 2: (3 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
3
a) (7 5 2)cos x (17 12 2)cos x cos3x .
b) x 2 3x 1
3 4
x x2 1 .
3
C©u 3: (4 ®iÓm)
a) T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:
log m 11 log 1 ( x 2 mx 10 4)log m (x 2 mx 12) 0 .
7
b) T×m m ®Ó bÊt ph¬ng tr×nh sau ®óng víi mäi x.
1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – 1.
C©u 4: (2,5 ®iÓm)
a) X¸c ®Þnh a, b ®Ó hµm sè sau cã ®¹o hµm t¹i x = 0:
3 1 ax 3 cosx víi x 0
f(x)
.
ln(1
2x)
b
1
víi
x
0
b) TÝnh tÝch ph©n:
I
1 5
2
1
2
x2 1
dx .
4
2
x
5 (x x 1)(1 2006 )
C©u 5: (2,5 ®iÓm)
x2 y2
x2 y2
1 , (E2):
1 vµ parabol (P): y2 =
Cho 2 elÝp (E1):
15 6
6 15
12x.
a) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®i qua giao ®iÓm cña 2 elÝp trªn.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña (E1) vµ (P).
C©u 6: (2 ®iÓm) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ nöa lôc gi¸c ®Òu víi c¹nh
a (a> 0). C¹nh SA vu«ng gãc víi ®¸y vµ SA = a 3 . M lµ mét ®iÓm kh¸c B
SM
trªn SB sao cho AM MD. TÝnh tØ sè
.
SB
---------
Së GD&§T Thanh hãa
Trêng thpt hËu léc 3
§¸p ¸n ®Ò thi Häc sinh giái THPT – M«n To¸n B¶ng A
----------------o0o--------------
--------o0o-------
Chó ý: + §¸p ¸n gåm 5 trang.
+NÕu thÝ sinh lµm c¸ch kh¸c víi ®¸p ¸n mµ kÕt qu¶ ®óng th×
cho ®iÓm tèi ®a.
C©u
1
ý
1a
Néi dung
- TËp x¸c ®Þnh: D = R.
- Sù biÕn thiªn:
x 0
+ ChiÒu biÕn thiªn: y’ = 3x2 + 6x = 0
.
x 2
Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (-; -2) vµ (0; +);
hµm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (-2; 0).
+ Cùc trÞ: Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm (0; 1) vµ ®¹t cùc
tiÓu t¹i ®iÓm (-2; 5).
+ Giíi h¹n: lim y ®å thÞ hµm sè kh«ng cã tiÖm
®iÓm
0,25
0,25
0,25
x
cËn.
+ TÝnh låi lâm vµ ®iÓm uèn: y’’ = 6x + 6 = 0 x = -1.
§å thÞ hµm sè låi trªn kho¶ng (-; -1), lâm trªn kho¶ng
(-1; +) vµ cã ®iÓm uèn lµ (-1; 3).
+ B¶ng biÕn thiªn:
x -
-2
-1
0
+
y’
+
0
0
+
5
+
y
3
-
1
- §å thÞ: §å thÞ hµm sè ®i qua c¸c ®iÓm (-3; 1), (-2; 5),
(-1; 3), (0; 1) vµ (1; 5). NhËn ®iÓm uèn (-1; 3) lµm t©m ®èi
xøng.
0,25
0,25
0,25
y
5
3
1
-3
1b
1c
1d
-2
-1
0
1
x
Ta cã: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 (1)
x3 + 3x2 + 1 = m2 + 3m2 + 1 = a
sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) chÝnh lµ sè giao ®iÓm
cña ®å thÞ (C) vµ ®êng th¼ng y = a, tõ ®å thÞ ë c©u a ta cã:
- Ph¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiÖm nÕu a > 5 hoÆc a < 1.
- Ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm nÕu a = 5 hoÆc a = 1.
- Ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm nÕu 1 < a < 5.
XÐt hµm sè f(m) = m3 + 3m2 + 1 f(m) còng cã ®å thÞ lµ
(C), nªn tõ ®å thÞ ë c©u a ta cã:
- a > 5 m > 1; a = 5 m = 1 hoÆc m = -2
- a < 1 m < -3; a = 1 m = -3 hoÆc m = 1.
- 1 < a < 5 -3 < m < 1
VËy ta cã:
+ Víi m > 1 hoÆc m < -3 th× ph¬ng tr×nh (1) cã 1 nghiÖm.
+ Víi m = -3 hoÆc m = -2 hoÆc m = 1 hoÆc m = 2 th×
ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm.
+ Víi -3 < m < 1 vµ m -2, m 0 th× ph¬ng tr×nh (1) cã 3
nghiÖm ph©n biÖt.
Gäi ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn kÎ tõ ®iÓm (1; 5) cã d¹ng:
y = k(x – 1) + 5 y = kx + 5 – k.
V× lµ tiÕp tuyÕn cña (C) nªn ta cã:
3
2
x 2, k 0
x 3x 1 kx 5 k
x 1, k 9 .
2
k 3x 6x
Cã 2 tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua ®iÓm (1; 5) lµ:
y = 5 vµ y = 9x – 4.
Gäi M (x0; 9x0 – 4) lµ ®iÓm trªn ®êng th¼ng y = 9x –
4.
§êng th¼ng ®i qua M cã ph¬ng tr×nh d¹ng:
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
y = k(x – x0) + 9x0 – 4.
x3 3x 2 1 k(x x 0 ) 9x 0 4
Ta cã:
.
2
k 3x 6x
§Ó cã 3 tiÕp tuyÕn qua M th× hÖ trªn cÇn cã 3 nghiÖm
ph¬ng tr×nh sau cÇn cã 3 nghiÖm ph©n biÖt:
(x – 1)[2x2 + (5 – 3x0)x + 5 – 9x0] = 0.
x 0 1/ 3
Tõ ®ã ta cã ®iÒu kiÖn cña x0 lµ: x 0 5 .
x 1
0
VËy c¸c ®iÓm M cÇn t×m cã to¹ ®é (x; 9x – 4) víi ®iÒu
x 1/ 3
kiÖn: x 5
x 1
2
2a
TËp x¸c ®Þnh: D = R.
Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh:
3
(1 2)3 cos x (1 2)4 cos x 4 cos3 x 3cosx
(1 2)3 cos x 3cosx 4 cos3 x (1 2)4 cos
3
x
XÐt hµm sè f(t) = (1 2) t , ta cã f(t) ®ång biÕn víi
mäi t nªn ta cã: f(3cosx) = f(4cos3x) 3cosx = 4cos3x
k
cos3x = 0 x =
,kZ
6 3
Ta cã: x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) > 0
x2 – 3x + 1 = 2(x2 – x + 1) – (x2 + x + 1)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
t
2b
x2 x 1
, t > 0. Ph¬ng tr×nh trë thµnh:
x2 x 1
3
t
0
3
x2 x 1 1
2
3
2
2t
t 1 0
3
x2 x 1
1
3
t 3
x=1
§Æt t
3
3a
§iÒu kiÖn: m > 0 vµ m 1, x2 + mx + 10 0.
0,50
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25
0,50
BÊt ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi:
3b
1 log7 ( x 2 mx 10 4)log11 (x 2 mx 12)
0 . (*)
log11 m
§Æt u = x2 + mx + 10, u 0.
+ Víi 0 < m < 1: (*) f(u) = log7( u + 4)log11(u + 2) 1
Ta thÊy f(9) = 1 vµ f(u) lµ hµm ®ång biÕn nªn ta cã:
f(u) f(9) u 9 x2 + mx + 10 9 x2 + mx + 1 0
V× ph¬ng tr×nh trªn cã = m2 – 4 < 0 víi 0 < m < 1 nªn
ph¬ng tr×nh trªn v« nghiÖm bÊt ph¬ng tr×nh ®· cho v«
nghiÖm.
+ Víi m > 1: Ta cã: f(u) 1 = f(9) 0 u 9
x 2 mx 10 0 (1)
2
0 x + mx + 10 9 2
.
x mx 1 0 (2)
XÐt ph¬ng tr×nh x2 + mx + 1 = 0 cã = m2 – 4.
NÕu 1 < m < 2 < 0 (2) v« nghiÖm bÊt ph¬ng
tr×nh ®· cho v« nghiÖm.
NÕu m > 2 > 0 ph¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm ®Òu
tho¶ m·n (1) vµ (2) bÊt ph¬ng tr×nh ®· cho cã nhiÒu
h¬n mét nghiÖm.
NÕu m = 2 (2) cã nghiÖm duy nhÊt x = -1 bÊt
ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt x = -1.
VËy gi¸ trÞ cÇn t×m cña m lµ: m = -2.
§Æt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx. Bµi to¸n trë thµnh:
t×m m sao cho maxf(x) 2m – 1.
Ta cã f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) +
4sinxcosx
§Æt t = sinx + cosx, 2 t 2 . Ta cã:
2
f (x) = g(t) = 6 + 4t + 22t2 + 2t – 1 víi 2 t 2 .
XÐt sù biÕn thiªn cña g(t) ta cã: max g(t) 4( 2 1)2
2 ; 2
0,50
0,50
0,50
0,25
0,25
0,25
0,75
V× f(x) 0 nªn ta cã:
maxf(x) =
max f 2 (x) max g(t) 2( 2 1)
VËy ta cã: 2( 2 1) 2m 1 m
4
4a
32 2
.
2
Hµm sè cã ®¹o hµm t¹i x = 0 khi nã liªn tôc t¹i x = 0.
0,25
0,25
0,25
lim f(x) lim f(x) f(0) b 1 .
0,50
1 ax 3 cos x a
Ta l¹i cã: f '(0 ) lim
x 0
x
3
ln(1 2x)
2 a = 6.
Vµ f '(0 ) lim
x 0
x
VËy hµm sè cã ®¹o hµm t¹i x = 0 khi a = 6 vµ b = 1.
Chøng minh ®îc:
0,25
x 0
x 0
3
4b
I
1 5
2
1
2
I
x 1
dx
4
2
x
5 (x x 1)(1 2006 )
2
1 5
2
1 5
2
1
1
x2
1
(x )2 1
x
1 5
2
1
2
x2 1
dx
4
2
5 x x 1
5a
5b
0,50
To¹ ®é giao ®iÓm cña 2 elÝp (E1) vµ (E2) lµ nghiÖm cña hÖ
x2 y2
15 6 1
60
ph¬ng tr×nh:
x2 y2
2
2
7
x y 1
6 15
VËy ®êng trßn ®i qua c¸c giao ®iÓm cña 2 elÝp lµ:
60
x2 y2
7
Gäi ®êng th¼ng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 0), lµ tiÕp
tuyÕn chung cña (E1) vµ (P). Ta cã:
15A 2 6B 2 C 0
C 5A
2
6B 2AC
C 5A
VËy cã 2 tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ:
0,50
0,25
dx .
/4
1
§Æt x tgt I dt .
x
2
/ 4
5
0,25
0,25
3x 5y 5 3 0 .
0,50
0,50
1,0
0,50
6
S
H
D
A
B
0,25
C
§Æt h×nh chãp vµo hÖ trôc to¹ ®é nh h×nh vÏ. Suy ra ta
cã: A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; 0; a 3 ) vµ
a a 3
;0 . Suy ra ph¬ng tr×nh cña SB lµ:
B= ;
2 2
2x 2y z a 3
a a 3
a 3
Gäi M(x0; y0; z0) thuéc c¹nh SB, ta cã:
y 0 3x 0
.
z 0 a 3 2 3x 0
MÆt kh¸c AMDN AM.DM 0
3a
x02 – 2ax0 + y02 + z02 = 0 x 0
8
3a 3a 3 a 3
3
SM 3
.
M ;
;
SM SB hay
4
SB
4
8
8
4
-----------------------------------------HÕt--------------------------------------------------
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
www.VNMATH.com
Họ tên TS: .............................................................. Số BD: .......................... Chữ ký GT 1: ........................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH THUẬN
(Đề thi chính thức)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2011 – 2012
Khóa ngày: 17 / 11 / 2011
Môn thi: TOÁN Cấp: THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
(Không kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
(Đề thi có 01 trang)
Bài 1 (5,0 điểm).
Tìm m để phương trình x m 2 x 3 có nghiệm.
Bài 2 (4,0 điểm).
Có bao nhiêu số nguyên dương gồm 6 chữ số mà tích các chữ số của số
này bằng 3500 ?
Bài 3 (5,0 điểm).
Cho góc vuông xOy và điểm A (A ≠ O) cố định trên đường phân giác
Om của góc ấy. Một đường tròn (C ) thay đổi luôn đi qua hai điểm A, O cố
định và cắt Ox tại M, cắt Oy tại N.
a) Chứng minh rằng khi đường tròn (C ) thay đổi thì tổng OM + ON có
giá trị không đổi.
b) Tìm tập hợp các điểm I là trung điểm của đoạn thẳng MN khi đường
tròn (C ) thay đổi.
Bài 4 (3,0 điểm).
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2a + 3b + 4c = 1. Chứng
minh rằng: 2 2 a 1 3 2b 1 4 2c 1 10 .
Bài 5 (3,0 điểm).
Tìm tất cả các số f: thỏa mãn các điều kiện:
i) f(1) = 2011,
ii) f(x2 – y) = xf(x) – f(y), với mọi x, y .
--------- HẾT ---------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐAKNÔNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIẢI TÓAN TRÊN MÁY
TÍNH CASIO NĂM HỌC 2008 – 2009
Khóa ngày 10 tháng 2 năm 2009
MÔN: TOÁN LỚP 12 THPT
thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Điểm
Giám khảo 1:.…………………..
Bằng số
Số phách (thí sinh không ghi
vào khung này)
Bằng chữ
Giám khảo 2:.………………......
Quy định :
1/ Thí sinh được sử dụng hai loại máy tính CASIO fx-500MS và CASIO fx- 570 MS, hoặc
các loại máy có chức năng tương đương .
2/ Nếu không yêu cầu thêm hãy tính chính xác đến 10 chữ số thập phân (ghi vào ô kết quả
tất cả những chữ số đọc được trên màn hình ).
3/Thí sinh làm bài trực tiếp vào đề thi này. Nếu khung làm bài không đủ thì có thể làm tiếp
ở mặt sau trang đề (lưu ý ghi rõ câu).
1
x .3
Bài 1 (2 điểm) :Cho hàm số y
2
1
x 2
.Tìm giá trị cực đại, giá trị cực tiểu.
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính
Kết quả:
Trang 1/9
Trang 2/9
Bài 2: (2điểm)
Tìm min của hàm số S
x2 y 2
x 2 xy 4 y 2
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính
Bài 3: (2 điểm) Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sau:
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính
Kết quả
sin 2 2 x 5(sin x cos x) 2
Kết quả:
Trang 3/9
Bài4: (2điểm)
Bố Hùng mất để lại cho Hùng 11000USD trong ngân hàng với lãi suất 0,73% một tháng.
Mỗi tháng Hùng đến rút 60USD để sinh sống.
a) Hỏi sau một năm số tiền còn lại là bao nhiêu?
b) Nếu mỗi tháng rút 200USD thì sau bao lâu sẽ hết tiền?
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính
Kết quả
Trang 4/9
Bài 5 (2 điểm) : Giải hệ phương trình:
2(log 4 x log 3 y ) 17
log 4 x.log 3 y 4
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính
Kết quả:
Trang 5/9
Bài6: (2điểm)
n
2
Cho nhị thức Newton 3 x 2 3 . Biết Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnn 4096 . Hệ của số hạng chứa
x
a2
4
9
x , x lần lượt là a, b. Tính tỉ số 3 .
b2
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính
Kết quả:
Trang 6/9
Bài 7 (2 điểm) :
Tìm giới hạn sau:
1
2
n 1
lim 1 cos cos
... cos
n n
n
n
n
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính
Kết quả:
Bài 8:(2điểm)
Cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình là:
d1 : 2 x 3 y 5 0; d 2 : 3x y 7 0; d 3 : 7 x 2 y 3 0 . Gọi A d1 d 2 ; B d 2 d3 ; C d 3 d1 . Tính
tọa độ các điểm A, B, C và diện tích tam giác ABC.
(Kết quả tính gần đúng lấy chính xác tới 7 chữ số thập phân)
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính
Kết quả
Trang 7/9
Bài 9 (2 điểm): a)Tìm số tự nhiên n biết tổng các chử số của n bằng n2 +1999n +8 .
b)Tính gần đúng nghiệm thực đến hai chữ số thập phân của phương trình
x13 – x6 + 3x4 – 3x2 + 1 = 0
.
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính
Kết quả:
Bài10: (2điểm)
Tính gần đúng thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp đều S.ABCD với cạnh đáy
AB = 45cm, góc của mỗi cạnh bên và mặt đáy là 830 2925 .
(Kết quả tính gần đúng lấy chính xác tới 4 chữ số thập phân)
Sơ lược cách giải và thao tác máy tính
Kết quả
Trang 8/9
...................Hết..................
Trang 9/9
UBND HUYỆN LẠC SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
Cấp THCS , năm học 2012 – 2013
Thời gian làm bài 120 phút
Các giám khảo
(họ, tên và chữ ký)
Điểm của toàn bài thi
Bằng số
Số phách
(Do TB chấm thi ghi)
Bằng chữ
Quy định:
1-Học sinh được sử dụng các loại máy tính casio fx 500MS, 570 MS , 500ES, 570 ES , 570 ES
PLUS hoặc máy Viacal để làm bài trực tiếp vào đề thi
2,Bài làm cần ghi đáp số vào phần ghi kết quả và trình bày lời giải ngắn gọn các phần nếu sau
bài có “.........”
3, Nếu không yêu cầu gì thêm hãy tính chính xác đến 5 chữ số phần thập phân.
4- Đề thi có 10 bài gồm 5 trang
Đề bài và tóm tắt lời giải
a,
Câu 1: (5 điểm)
a, Tính B 3 200 1263 2
54
1 3 2
3
18
1 3 2
63 2
b) Viết tính D và viết dưới dạng phân số tối giản
B =.................
b,
D = ..................
4
D=5+
Ghi kết quả
4
6+
4
7+
4
8+
9+
4
10
1,
a, ƯCLN(a,b,c) =
Câu 2: (5 điểm)
1, Cho a = 11994; b = 153923; c = 129935.
a,Tìm ƯCLN(a , b, c)
.............................
b,Tìm BCNN( a, b, c)
2, Tìm 3 chữ số cuối cùng bên phải của
7 2012
......................................................................................................................
b, BCNN(a,b,c) =
.............................
.........
......................................................................................................................
.........
2,
......................................................................................................................
3 chữ số cuối
cùng bên phải
.........
của 7
là
.................
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
.........
2012
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
.........
Câu 3: (5 điểm) Cho đa thức: P( x) x 4 8 x 3 41x 2 228 x 260
1, Hãy tìm số dư trong phép chia P(x) cho đa thức 2x + 5
2, Hãy tìm m để đa thức P(x) +
2
m chia hết cho đa thức 2x - 7
3
3, Hãy tìm các nghiệm của đa thức P(x)
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
.........
......................................................................................................................
1, Số dư là
............................
2,
m=
........................
3,
x1= .................
x2= .................
x3= .................
x4= .................
- Xem thêm -
.PDF 
158 
1436 
66 
