Tài liệu Bài toán đặt không chỉnh

Bài toán đặt không chỉnh Phạm Kỳ Anh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 222 tr. Từ khoá: Bài toán đặt không chỉnh, Phương pháp hiệu chỉnh, Bài toán phi tuyến, Bài toán tuyến tính, Phương pháp chon, Phương pháp tựa nghiệm, phương trình xấp xỉ, Phương pháp tựa nghịch đảo. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Một số khái niệm cơ bản 1.1 Ví dụ về bài toán không chỉnh . . . . . . . . 1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm . . . . . 1.3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính . . . 1.4 Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh 2 Các 2.1 2.2 2.3 2.4 phương pháp giải bài toán không chỉnh Phương pháp chọn . . . . . . . . . . . . . . Phương pháp tựa nghiệm . . . . . . . . . . . Phương pháp dùng phương trình xấp xỉ . . . Phương pháp tựa nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Phương pháp hiệu chỉnh 3.1 Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . 3.2 Sự tồn tại toán tử hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Phương pháp Lagrange xây dựng thuật toán hiệu chỉnh 3.4 Chọn tham số hiệu chỉnh theo độ lệch . . . . . . . . . . 3.5 Cực tiểu phiếm hàm làm trơn . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Hiệu chỉnh cho trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . 3.7 Hệ phương trình đại số tuyến tính điều kiện xấu . . . . 3.8 Nghiệm của phương trình tích phân tuyến tính loại I . 3.9 Phương pháp xấp xỉ tương thích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . 5 6 12 32 35 . . . . 38 39 40 45 59 . . . . . . . . . 64 65 68 71 74 81 83 86 98 112 2 MỤC LỤC 3.10 Phương pháp compact thu hẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4 Phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán tuyến tính 4.1 Bài toán, phiếm hàm hiệu chỉnh và tham số . . . . . . . . . 4.2 Phương pháp độ lệch suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Độ lệch suy rộng và tính chất của nó . . . . . . . . . . . . . 4.4 Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình tích phân tuyến tính loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 . 125 . 135 . 139 . 150 . 155 5 Phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán phi tuyến với toán tử compact 160 5.1 Nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.2 Xấp xỉ hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.3 Tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều trong các thang không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.4 Nguyên lý độ lệch cải biên và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . 176 5.5 Bài toán ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6 Phương pháp hiệu chỉnh bài toán phi tuyến điệu 6.1 Thuật toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Nguyên lý độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh 6.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . với toán tử đơn 191 . . . . . . . . . . 192 . . . . . . . . . . 200 . . . . . . . . . . 208 . . . . . . . . . . 214 Lời nói đầu Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái, v.v... dẫn đến việc giải các bài toán mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện ban đầu, tức là một thay đổi nhỏ (sai một ly) của các dữ liệu có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn (đi một dặm) của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh. Do các số liệu thường được thu nhập bằng thực nghiệm (đo đạc, quan trắc,...) và sau đó lại được xử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏi sai số. Chính vì thế, ta cần phải có những phương pháp giải ổn định các bài toán đặt không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất phát. Những người có công đặt nền móng cho lý thuyết bài toán không chỉnh là Tikhonov A.N., Lavrantiev M.M, Lions J.J., Ivanov V.K.,... Do tầm quan trọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học đã dành phần lớn thời gian và công sức của mình cho việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán không chỉnh, điển hình là: Alber Ya.I., Atkinson K.E., Bakushinskii A.B., Baumeiser J., Engl H.W., Gilbert F., Glasko V.B., Goncharskii A.V., Gorenflo R., Groetsch C.W., Hanke M., Hofmann B., Kirsch A., Landweber L., Louis A.K., Morozov V.A., Nashed M.Z., Natterer F., Neubauer A., Vainikko G.M. ... Một số nhà toán học Việt nam cũng đi sâu nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết cũng như ứng dụng các bài toán không chỉnh như: Đặng Đình Ang, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng, vv... hoặc quan tâm và có công trình liên quan đến lý thuyết trên như: Nguyễn Minh Chương, Trần Đức 4 Lời nói đầu Vân, Vũ Xuân Minh, ... cùng các tác giả của giáo trình này. Thời gian gần đây, đã có nhiều giáo trình về bài toán không chỉnh bằng tiếng nước ngoài. Tuy nhiên chưa có một tài liệu nào được viết hoặc dịch ra tiếng Việt. Nhằm phục vụ các đối tượng là sinh viên đại học năm cuối, học viên cao học, nghiên cứu sinh cũng như các nhà khoa học quan tâm đến ứng dụng của lý thuyết bài toán không chỉnh, chúng tôi đã biên soạn giáo trình này. Nội dung của cuốn sách được lựa chọn theo ý đồ và "khẩu vị" riêng của các tác giả, vì vậy nó không thể phản ánh được hết các khía cạnh vốn dĩ rất đa dạng của lý thuyết bài toán không chỉnh. Do điều kiện, thời gian và trình độ có hạn giáo trình này không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi rất mong các vị độc giả gần xa góp ý và lượng thứ. Các tác giả Chương 1 Một số khái niệm cơ bản 1.1 Ví dụ về bài toán không chỉnh . . . . . . . . . . 6 1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm . . . . . . . 12 1.3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính . . . . . 32 1.4 Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh . . 35 Chương này giới thịệu một số khái niệm cơ bản liên quan đến bài toán đặt không chỉnh gọi tắt là bài toán không chỉnh. Các ví dụ về bài toán không chỉnh được xét trong mục 1.1. Mục 1.2 nhắc lại một số kiến thức về giải tích hàm dùng trong các chương sau. Trong mục 1.3 trình bày phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính ít được đề cập ở các giáo trình về giải tích số thông thường trong các trường đại học kỹ thuật. Khái niệm tổng quát về bài toán không chỉnh được trình bày trong mục 1.4. 6 1.1 Chương 1. Một số khái niệm cơ bản Ví dụ về bài toán không chỉnh • Nhiều bài toán thực tế đươc quy về giải hệ đại số tuyến tính, trong đó một sự thay đổi nhỏ hệ số của hệ phương trình ban đầu dẫn đến thay đổi lớn nghiệm của hệ, thậm chí làm cho hệ trở nên vô nghiệm hoặc vô định. Những hệ phương trình đại số tuyến tính có tính chất như vầy được gọi là hệ phương trình điều kiện xấu. Ma trận A tạo bởi hệ số của hệ phương trình này được gọi là ma trận điều kiện xấu. Khi đó định thức của ma trận A, kí hiệu lá det A, có giá trị tuyệt đối tương đối nhỏ. Ví dụ 1.1. Hệ phương trình  2x + x 1 2 2x1 + 1.01x2 = 2, = 2.01, có nghiệm là x1 = 1/2 và x2 = 1, trong khi đó hệ phương trình  2x + x 1 2 2.01x1 + x2 = 2, = 2.05, có nghiệm là x1 = 5 và x2 = −8. Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số và vế phải của phương trình thứ hai kéo theo những thay đổi đáng kể của nghiệm. Như vậy, hệ phương trình này là một hệ điều kiện xấu. Ví dụ 1.2. Ma trận  −73 78 24   A =  92 66 25 −80 37 10  là một ma trận điều kiện xấu với det A = 1. Chỉ thay đổi một lượng nhỏ ở các thành phần a12, a21 hoặc a33 của ma trận A, thì giá trị của det A nhận 1.1. Ví dụ về bài toán không chỉnh 7 những giá trị rất khác nhau:   −73 78.01 24   det  92 66 25 ≈ −28.199999003, −80 37 10   −73 78 24   92.01 66 25 ≈ 2.0800007556 −80 37 10 det và  det  −73 78 24    92 66 25  ≈ −118.93999938. −80 37 10.01 Một câu hỏi quan trọng đặt ra là làm thế nào để nhận biết và giải hệ phương trình đại số tuyến tính với ma trận hệ số điều kiện xấu? • Bây giờ xét bài toán tìm đạo hàm của một hàm số. Giả sử hàm y = f (x) có đạo hàm. Ta cần tính đạo hàm bằng số f (x + h) − f (x) h→0 h f 0 (x) = lim tại điểm x. Muốn vậy, thông thường bằng cách chọn dãy {hk } sao cho hk → 0 khi k → ∞ và tính tỷ sai phân Dk = f (x + hk ) − f (x) , k = 0, 1, ..., N. hk Khi đó, ta có thể nghĩ rằng với N đủ lớn, tức hN đủ nhỏ, DN sẽ là xấp xỉ tốt của f 0 (x). Vậy thì với hN nhỏ bao nhiêu ta sẽ nhận được xấp xỉ tốt. Liệu hN càng nhỏ có cho ta xấp xỉ càng tốt hay không? Để trả lời cho câu hỏi đó ta xét ví dụ sau. Cho hàm số f (x) = exp(x), tính đạo hàm f 0 (1) với hk = 10−k ta có bảng kết quả k hk fk = f (1 + hk ) fk − e Dk = fk −e hk 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Chương 1. Một số khái niệm cơ bản 0.1 0.01 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7 10−8 10−9 10−10 3.0041660 2.7456011 2.7210014 2.7185536 2.7183090 2.7182845 2.7182827 2.7182818 2.7182818 2.7182818 0.285884196 0.027319187 0.002719642 0.000271842 0.000027183 0.000002719 0.000000272 0.000000028 0.000000003 0.000000000 2.858841560 2.731918700 2.719642000 2.718420000 2.718300000 2.719000000 2.720000000 2.800000000 3.000000000 0.000000000 Bảng trên cho ta thấy nếu k = 10, thì Dk = 0. Trong khi đó f 0 (1) ≈ 2.718282. Như vậy khi k = 5 tỷ sai phân cho ta xấp xỉ tốt hơn cả. Điều đó nói lên rằng Dk tiến gần tới f 0 (x) ở một thời khắc nào đó sau lại rời xa khỏi nó. Cũng ở ví dụ trên ta thấy 0.0007 = |D6 − D5 | ≥ |D5 − D4 | = 0.00012. Quan sát này gợi ý cho ta nên tính Dk đến lúc |DN +1 − DN | ≥ |DN − DN −1 | thì thôi. • Xét phương trình tích phân Fredholm loại I Z b K(t, s)ϕ(s)ds = f0(t), t ∈ [c, d], (1.1) a ở đây nghiệm là một hàm ϕ(s), vế phải f0 (t) là một hàm số cho trước và hạch K(t, s) của tích phân cùng với ∂K/∂t được giả thiết là các hàm liên tục. Ta giả thiết nghiệm ϕ(s) thuộc lớp các hàm liên tục trên [a, b] với khoảng cách (còn được gọi là độ lệch) giữa hai hàm ϕ1 và ϕ2 trong lớp đó là ρC[a,b] (ϕ1 , ϕ2) = max |ϕ1 (s) − ϕ2(s)|. s∈[a,b] Sự thay đổi vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L2[c, d], tức là khoảng cách giữa hai hàm f1 (t) và f2 (t) trong L2 [c, d] được biểu thị bởi số ρL2 [c,d] (f1 , f2 ) = Z c d 2 |f1 (t) − f2 (t)| dt 1/2 . 1.1. Ví dụ về bài toán không chỉnh 9 Giả sử phương trình (1.1) có nghiệm ϕ0 (s). Khi đó với vế phải Z b K(t, s) sin(ωs)ds, f1(t) = f0(t) + N a (1.1) có nghiệm ϕ1 (s) = ϕ0 (s) + N sin(ωs). Với N bất kỳ và ω đủ lớn, thì khoảng cách giữa hai hàm f0 và f1 trong L2[c, d] Z d Z b 2 1/2 ρL2 [c,d] (f0, f1 ) = |N | K(t, s) sin(ωs)ds dt c a có thể làm nhỏ tuỳ ý. Thật vậy, đặt Kmax = max s∈[a,b],t∈[c,d]   K(t, s), ta tính được Z d   1/2 b 2 1 ρL2 [c,d] (f0, f1 ) ≤ |N | Kmax cos(ωs)a dt ω c |N |Kmax c0 , ≤ ω ở đây c0 là một hằng số dương. Ta chọn N và ω lớn tuỳ ý, nhưng N/ω lại nhỏ. Khi đó, ρC[a,b] (ϕ0 , ϕ1) = max |ϕ0 (s) − ϕ1(s)| = |N | s∈[a,b] có thể lớn bất kỳ. Khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ0 và ϕ1 trong L2 [a, b] cũng có thể lớn bất kỳ. Thật vậy, Z b 1/2 Z b 1/2 2 2 |ϕ0(s) − ϕ1 (s)| ds = |N | sin (ωs)ds ρL2 [a,b](ϕ0 , ϕ1) = a a r 1 b−a − sin(ω(b − a)) cos(ω(b + a)). = |N | 2 2ω Dễ dàng nhận thấy hai số N và ω có thể chọn sao cho ρL2 [c,d] (f0 , f1) rất nhỏ nhưng vẫn cho kết quả ρL2 [a,b](ϕ0 , ϕ1) rất lớn. 10 Chương 1. Một số khái niệm cơ bản • Xét chuỗi Fourier f1 (t) = ∞ X an cos(nt), n=0 với hệ số (a0, a1 , ..., an...) ∈ l2 đươc cho xấp xỉ bởi cn = an + ε/n, n ≥ 1 và c0 = a0. Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng f2 (t) = ∞ X cn cos(nt) n=0 cũng có hệ số (c0 , c1, ..., cn, ...) ∈ l2 . Khoảng cách giũa chúng là r X X 1/2 1/2 ∞ ∞ 1 π2 . (cn − an )2 =ε = ε ε1 = n2 6 n=0 n=1 Do đó, khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ bất kỳ vì ε có thể lấy nhỏ tuỳ ý. Trong khi đó, ∞ X 1 cos(nt) f2 (t) − f1 (t) = ε n n=1 có thể làm cho lớn bao nhiêu cũng được. Ví dụ, tại t = 0 chuỗi trên phân kỳ. Điều đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f1 và f2 được xét trong không gian các hàm với độ đo đều, thì bài toán tính tổng chuỗi Fourier là không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ. Tuy nhiên, nếu xét trong không gian L2 [0, π], thì 2 1/2 Z π 1/2 Z π X  ∞ 2  (cn − an ) cos(nt) dt [f2(t) − f1(t)] dt =   0 0 = n=0 X ∞ π n=1 2 (cn − an ) 2 1/2 = ε1 r π . 2 Như vậy, bài toán lại ổn định, tức là khi dữ kiện ban đầu an cho bởi xấp xỉ cn với sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng cũng sai khác nhau không nhiều trong L2 [0, π]. 1.1. Ví dụ về bài toán không chỉnh 11 • Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều ∂ 2u ∂ 2u + = 0, ∂x2 ∂y 2  ∂u  = ϕ(x), −∞ < x < ∞, u(x, 0) = f (x), ∂y y=0 (1.2) (1.3) ở đây f (x) và ϕ(x) là các hàm cho trước. Nếu lấy f (x) = f1 (x) ≡ 0 và ϕ(x) = ϕ1(x) = 1a sin(ax), thì nghiệm của bài toán trên là u1(x, y) = 1 sin(ax)sh(ay), a2 a > 0. Nếu lấy f (x) = f2(x) = ϕ(x) = ϕ2 (x) ≡ 0, thì nghiệm của bài toán (1.2) - (1.3) là u2 (x, y) ≡ 0. Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được xét trong độ đo đều ta có ρC (f1 , f2) = sup |f1(x) − f2 (x)| = 0, x 1 ρC (ϕ1 , ϕ2) = sup |ϕ1(x) − ϕ2(x)| = . a x Với a khá lớn thì khoảng cách giữa hai hàm ϕ1 và ϕ2 lại khá nhỏ. Trong khi đó, khoảng cách giữa các nghiệm ρC (u1, u2) = sup |u1(x, y) − u2 (x, y)| (x,y) = sup | (x,y) 1 1 sin(ax)sh(ay)| = 2 sh(ay), 2 a a với y > 0 cố định lại lớn bất kỳ. Chính vì vậy, đây cũng là bài toán không ổn định. • Xét bài toán cực tiểu hàm ϕ(y) = y trên đoạn thẳng y = λ0 x + y0 chứa trong phần tư thứ nhất của mặt phẳng XOY và λ0 , y0 > 0 là các số cho trước. Giả sử λ0 = 0 và thay cho λ0 ta có λδ : |λδ − λ0 | < δ. Xét các trường hợp: 12 Chương 1. Một số khái niệm cơ bản ∗ λδ > 0. Trong trường hợp này, thay cho đường thẳng y = y0 ta có đường thẳng d1 : y = λδ x + y0 . Giá trị cực tiểu của hàm ϕ(y) trên một phần của d1 nằm trong vùng {x ≥ 0, y ≥ 0} đạt được tại điểm (0, y0 ). Điều đó có nghĩa là khi x = 0 thì ϕ(0) = y0. ∗ λδ < 0. Trong trường hợp này thay cho đường thẳng y = y0 ta có đường thẳng d2 : y = λδ x + y0 . Do λδ < 0 cho nên d2 cắt trục OX tại một điểm x2 (δ) nào đó. Giá trị cực tiểu của hàm ϕ(y) trên một phần của d2 nằm trong vùng {x ≥ 0, y ≥ 0} đạt được tại điểm (x2 (δ), 0), tức là tại x = x2 (δ) ϕ(x2(δ)) = 0. Khi δ → 0, λδ → 0 và x2 (δ) → ∞. Như vậy, bài toán này không ổn định. Những ví dụ trên dẫn đến một lớp bài toán rất quan trọng trong lĩnh vực tính toán. Đó là lớp các bài toán không chính quy hay còn được gọi là bài toán đặt không chỉnh (hoặc không chỉnh). Để có thể phát biểu và nghiên cứu nó một cách tổng quát ta cần phải biết một số khái niệm của giải tích hàm. Những khái niệm này được trình bày ở mục tiếp theo để độc giả tiện theo dõi. 1.2 Một số khái niệm của giải tích hàm Phần lớn của cuốn sách nghiên cứu bài toán không chỉnh dạng phương trình toán tử A(x) = f, f ∈ Y, (1.4) trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ một không gian metric X vào không gian metric Y nào đó, tuỳ thuộc vào bài toán cụ thể đặt ra. Một tập nền X được gọi là một không gian metric, nếu với mỗi cặp phần tử x và y của X (viết tắt là x, y ∈ X) tồn tại một hàm thực, kí hiệu là ρX (x, y), hai biến có các tính chất: * ρX (x, y) ≥ 0, ρX (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y, * ρX (x, y) = ρX (y, x) và * ρX (x, y) ≤ ρX (x, z) + ρX (z, y), ∀x, y, z ∈ X. 1.2. Một số khái niệm của giải tích hàm 13 Tập tất cả phần tử x ∈ X thoả mãn điều kiện ρX (x, x0) < r, được gọi là hình cầu mở trong X tâm x0 bán kính r. Trong đó, ρX được gọi là metric của không gian metric X. Phần tử x0 của không gian metric X được gọi là điểm dính của tập M ⊂ X, nếu mọi hình cầu mở bất kỳ S(x0, r) = {x ∈ X : ρ(x, x0) < r} tâm x0 bán kính r > 0 chứa ít nhất một phần tử thuộc M khác x0. Tập tất cả các điểm dính của M và M được gọi là bao đóng của M và được ký hiệu bằng M hoặc [M]. Một dãy {xn } gồm các phần tử xn ∈ X được gọi là hội tụ đến phần tử x0 ∈ X, viết là x0 = limn→∞ xn , nếu limn→∞ ρX (xn , x0) = 0. Không gian metric X được gọi là đầy đủ, nếu mọi dãy cơ bản (dãy Caushy) trong X hội tụ đến phần tử thuộc X. Một tập con M của không gian metric X được gọi là compact trong X (hay còn gọi là compact tương đối của X), nếu một dãy {xn } ⊂ M luôn tìm được một dãy con hội tụ đến một phần tử của X. Như ta đã biết ở phần giải tích toán học, điều kiện cần và đủ để cho một tập trong không gian hữu hạn chiều Rn trở thành compact tương đối là tính giới nội của nó. Nếu từ một dãy bất kỳ {xn } ⊂ M tồn tại một dãy con hội tụ đến một phần tử cũng thuộc M, thì M được gọi là tập compact trong nó, hoặc gọi tắt là một tập compact. Mọi tập compact của một không gian metric nào đó có thể coi như một không gian metric đầy đủ. Để một compact trong không gian metric X là một tập compact điều kiện cần và đủ là tập đó đóng trong X. Mỗi một tập compact chứa một tập trù mật không quá đếm được. Trong không gian C[a, b] một tập M là compact nếu thoả mãn định lý sau. Định lý 1.1 (Arsela - Ascoli). Tập M ⊂ C[a, b] là compact khi và chỉ khi nó giới nội đều và liên tục đồng bậc. Không gian metric X được gọi là tuyến tính (đôi khi còn gọi là không gian vectơ, nếu với hai phần tử bất kỳ x1 và x2 thuộc X ta có phép toán cộng x1 + x2 và phép toán nhân một số β với một phần tử x ∈ X cũng cho ta những phần tử thuộc X. Hai phép toán cộng và nhân phải thoả mãn các yêu cầu sau: 14 Chương 1. Một số khái niệm cơ bản 1. x1 + x2 = x2 + x1 (tính hoán vị); 2. x1 + (x2 + x3 ) = (x1 + x2) + x3 (tính kết hợp); 3. tồn tại phần tử không 0 của không gian X sao cho với mỗi x ∈ X, x + 0 = x; 4. với mỗi phần tử x ∈ X, tồn tại phần tử −x ∈ X sao cho x + (−x) = 0; 5. với hai số α, β và một phần tử bất kỳ x ∈ X, ta có α(βx) = (αβ)x (tính kết hợp của một phép nhân với một số); 6. với mọi x ∈ X, 1 × x = x; 7. với mọi số α, β và phần tử bất kỳ x ∈ X ta có (α + β)x = αx + βx (tính phân phối) và 8. với mọi số β và hai phần tử bất kỳ x1 và x2 của X ta có β(x1 + x2 ) = βx1 + βx2 (tính phân phối). Khái niệm không gian tôpô là mở rộng khái niệm về không gian metric. Cho một tập nền R với các phần tử được kí hiệu là x, y, ... Trong R ta có thể xây dựng được nhiều tập con khác nhau. Tập tất cả các tập con của R, P P kí hiệu là , dược gọi là một hệ lân cận. Một tập U ∈ dược gọi là lân cận của phần tử x, nếu x ∈ U và kí hiệu là Ux . P Định nghĩa 1.1. Một tập R với một hệ lân cận được gọi là không gian tôpô, nếu: P : Ux ∩ Vy = ∅; 1. ∀x, y ∈ R : x 6= y∃Ux, Vy ∈ P P ∃Wx ∈ : Wx ⊂ Ux ∩ Vx. 2. ∀x ∈ R ∀Ux , Vx ∈ Trong không gian tôpô R người ta đưa ra khái niệm điểm giới hạn của một tập con M nào đó của R như sau. Phần tử x được gọi là điểm giới hạn của tập M, nếu mỗi lân cận bất kỳ của x chứa ít nhất một phần tử của tập M khác x. Tập tất cả các điểm giới hạn của tập M được kí hiệu là M 0 . 1.2. Một số khái niệm của giải tích hàm 15 Tập [M] = M ∪ M 0 được gọi là bao đóng của M. Cho {xn , n = 1, 2, ...} là một dãy các phần tử thuộc R. Phần tử x ∈ R được gọi là giới hạn của dãy {xn , n ∈ N }, nếu X ∀Ux ∈ ∃N = N (Ux ) : ∀n > N xn ∈ Ux . Ví dụ về không gian tôpô: P Ví dụ 1.3. R=R1 , = {(a, b) : a, b ∈ R1 , a < b}. Ví dụ 1.4. (R, ρ) một không gian metric bất kì, ở đây hình cầu mở S(x, r), x ∈ R. P là tập tất cả các Nếu không gian tôpô R là tuyến tính, thì ta gọi tắt là không gian tôpô tuyến tính hoặc không gian véctơ tôpô. Chuẩn của một không gian tuyến tính X là một hàm, thường được kí hiệu là k.k, xác định trên toàn không gian X, nhận các giá trị hữu hạn và có các tính chất sau: 1. kxk ≥ 0, với mọi x ∈ X, kxk = 0 khi và chỉ khi x = θ (phần tử không); 2. với mọi x1, x2 ∈ X kx1 + x2 k ≤ kx1 k + kx2 k (bất đẳng thức tam giác); 3. với mọi số β và một phần tử bất kì x ∈ X kβxk = |β|kxk. Nếu không gian tuyến tính X có chuẩn k.k, thì nó được gọi là không gian định chuẩn. Không gian định chuẩn bất kì X có thể trở thành không gian metric, khi lấy ρX (x, y) = kx − yk. • Một số ví dụ về không gian định chuẩn: Ví dụ 1.5. Không gian Rnp với x = (x1 , x2, ..., xn) và chuẩn X 1/p n p kxkp = |xi | i=1 trong đó p là một số thực bất kì: 1 ≤ p < +∞. Khi p = 2, ta thường kí hiệu nó bởi En và có tên gọi là không gian Euclid n chiều. 16 Chương 1. Một số khái niệm cơ bản Ví dụ 1.6. Không gian các dãy số lp với phần tử x = (x1 , x2, ..., xn, ...) và X 1/p ∞ p |xi| < +∞. kxkp = i=1 Ví dụ 1.7. Không gian các hàm Lp [a, b] với phần tử là các hàm khả tích x(s) có chuẩn được xác định như sau Z b 1/p p kxkLp = |x(s)| ds < +∞. a Ví dụ 1.8. Không gian các hàm x(s) liên tục trên [a, b] và kxkC[a,b] = max |x(s)|. s∈[a,b] Ví dụ 1.9. Không gian Sobolev Cho Ω là một miền giới nội trong Rn và x(s) ∈ C l(Ω), là hàm khả vi liên tục đến cấp l. Vì Ω là compact, cho nên với mỗi l = 0, 1, 2, ...C l(Ω) ⊆ Lp (Ω). Do đó, ta có thể xác định được X 1/p p α kD xkLp (Ω) kx(s)kWpl (Ω) = |α|≤l cho mỗi x(s) ∈ C l(Ω), p ≥ 1. Không gian Sobolev Wpl (Ω) là một không gian tạo bởi C l (Ω) được làm đầy đủ bằng chuẩn trên. Cũng dễ dàng nhận thấy rằng ∀x ∈ C l(Ω) kx(s)kLp(Ω) ≤ kx(s)kWpl (Ω) . Không gian tuyến tính X được gọi là một không gian tiền Hilbert hay còn gọi là không gian có tích vô hướng, nếu trên X xác định được một hàm  thực hai biến, kí hiệu là x1 , x2 và được gọi là tích vô hướng của x1 và x2 , nếu thoả mãn các điều kiện sau:   a. với mọi x1 , x2 ∈ X, x1 , x2 = x2, x1 ;    b. với mọi x1, x2 , x3 ∈ X, x1 + x2, x3 = x1 , x3 + x2 , x3 ;   c. với mọi x1 , x2 ∈ X và số thực β bất kì βx1, x2 = β x1, x2 ;   d. với mọi x ∈ X, x, x ≥ 0 và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0. 1.2. Một số khái niệm của giải tích hàm 17 1/2 Với hàm kxk = x, x thì X trở thành một không gian định chuẩn và do đó X là không gian gian metric. Không gian với tích vô hướng đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu nó là không gian đầy đủ. Dễ dàng nhận thấy các không gian ở các Ví dụ 1.5 − 1.9 là không gian Banach và khi p = 2 chúng là không gian Hilbert, trừ trường hợp không gian các hàm liên tục. Trong nhiều trường hợp khi nghiên cứu tốc độ hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh trong không gian Banach, ta cần sử dụng các đặc trưng hình học như tính trơn cũng như tính lồi đều của các không gian đó. Không gian Banach X được gọi là lồi đều, nếu δX (ε) > 0, ∀ε > 0, ở đây   kx + yk δX (ε) = inf 1 − , kxk = kyk = 1 : kx − yk = ε 2 và được gọi là môđun lồi của không gian X. Không gian Banch X được gọi là trơn đều, nếu limτ →0 γX (τ )/τ = 0, ở đây   kx + yk + kx − yk γX (τ ) = sup − 1, kxk = 1 : kyk = τ 2 là môđun trơn của X. Hàm γX (τ ) là lồi và tăng. Kí hiệu X ∗ là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Nó còn được gọi là không gian đối ngẫu của X. Ta có mối quan hệ giữa các tính lồi và trơn được xác định như sau: • Nếu X là lồi đều, thi X ∗ là trơn đều, • Nếu X là trơn đều, thì X ∗ là lồi đều, • Nếu X là lồi (trơn) đều, thì X là phản xạ. Môđun lồi và trơn được xác định bởi Lindenstrauss cho không gian Banach loại lp, Lp và Wmp . Người ta tính được ε δX (ε) = 1 − (1 − ( )q )1/q , 2 X = l q , Lq , 1 1 + = 1, q ≥ 2. q p và γX (τ ) = (1 + τ p)1/p − 1. 18 Chương 1. Một số khái niệm cơ bản Tính lồi và trơn của một không gian Banach bất kì được mô tả bởi ánh xạ đối ngẫu U s , s ≥ 2 của X. Anh xạ này tồn tại trong mọi không gian Banach X và được xác định như sau  U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗, x = kx∗ks−1 kxk = kxks }. Khi s = 2 thì U s thường được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn của không gian X. Đối với không gian lp, 1 < p < +∞, U (x) = kxk2−p lp z, ở p−2 p−2 đây x = (x1 , x2, ..., xn, ...) và z = (|x1| x1, |x2| x2 , ...) ∈ lp/(p−1). Còn đối với không gian Lp (Ω), với Ω là một tập đo được của không gian Rn và chuẩn k.kLp (Ω) , 1 < p < +∞, ánh xạ U có dạng p−2 U (ϕ) = kϕk2−p ϕ(t), t ∈ Ω. Lp (Ω) |ϕ(t)| Nếu X là không gian Hilbert, thường được kí hiệu là H (≡ H ∗ ), thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn chính là toán tử đơn vị I trong không gian H. Từ đây về sau toán tử đơn vị được kí hiệu là I hoặc IX , toán tử đơn vị của không gian X khi cần lưu ý. • Hội tụ yếu trong không gian Banach và không gian Hilbert Như đã biết một dãy các phần tử {xn } của không gian Banach X hội tụ mạnh đến một phần tử x0 khi n → ∞, nếu kxn − x0 k → 0, khi n → ∞. Hội tụ theo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh. Song song với khái niệm hội tụ đó tồn tại một khái niệm hội tụ yếu của dãy {xn }. Ta nói xn hội tụ yếu đến x0, nếu ∀f ∈ X ∗ có f (xn ) → f (x0), khi n → ∞. Ta luôn có từ hội tụ mạnh của một dãy suy ra hội tụ yếu. Ngược lại không đúng. Ví dụ, trong  không gian Hilbert khả ly l2 lấy dãy {ej }∞ 1 sao cho ei , ej = δij . Khi đó,  với mọi ϕ ∈ l2 : ϕ = (ϕ1, ϕ2 , ..., ϕn, ...) ta có ej , ϕ = ϕj . Vì ϕ ∈ l2 cho nên limj→∞ ϕj = 0. Tức là dãy {ej } hội tụ yếu đến phần tử 0 (hội tụ yếu thường được kí hiệu bởi *). Nhưng ở đây dãy {ej }∞ 1 lại không hội tụ mạnh. Thật √ vậy, kei − ej k = 2 cho nên nó không phải là một dãy cơ bản. Do đó, không có sự hội tụ mạnh. Cũng như hội tụ mạnh, giới hạn yếu cũng duy nhất, tức là nếu xn * x và xn * y, thì x = y. Một số trường hợp từ hội tụ yếu có thể suy ra hội tụ mạnh: 1.2. Một số khái niệm của giải tích hàm 19 1. X là không gian hữu hạn chiều 2. {xk } ⊂ M, ở đây M là một compact trong X. Những khẳng định trên dễ hiểu, bởi vì, trong trường hợp thứ nhất ∀x ∈ P R , x = n1 ξi ei , (ei là cơ sở của Rn ) lấy fi (x) = ξi . Một dãy {x(k)} trong Pn (k) Rn có thể viết như sau x(k) = i=1 ξi ei . Giả sử x(k) * x = (ξi , ξ2 , ..., ξn), (k) khi đó fi (x(k)) * fi (x). Có nghĩa là ξi → ξi khi k → ∞. Trường hợp thứ hai, khi M là một tập comact trong X, {xn } ⊂ M và xn * x0 . Nếu {xn } không hội tụ mạnh đến x0 , thì ∃ε > 0 : kxnk − x0 k ≥ ε ∀k. Do M là một tập compact cho nên tồn tại một dãy con {xnki } hội tụ mạnh đến y và y = x0. Khi đó, ta có sự mâu thuẫn ε ≤ kxnki − x0k → 0, khi i → ∞. n 3. Mọi dãy hội tụ yếu đều giới nội. 4. Nếu xn * x0 , thì kxk ≤ limkxn k. Ta kiểm tra cho trường hợp tổng quát khi X là không gian Banach. Theo hệ quả của Định lý Hahn-Banach với mỗi x0 tồn tại một phiếm hàm f ∈ X ∗ sao cho kf k = 1 và   kx0k = x0 , f = lim xn , f ≤ limn→∞ kxn k. n→∞ Trường hợp x0 = 0 là hiển nhiên. 5. Trong không gian có tích vô hướng ta có  x * x n 0 xn → x0 ⇔ kxn k → kx0k . Thật vậy, ⇒ là hiển nhiên. Trường hợp ngược lại được suy từ  kxn − x0k2 = kxn k2 − 2 xn , xo + kx0k2 . • Trong không gian Banach phản xạ mội dãy giới nội là compact yếu. Tức là ∀{xn} ⊂ X : kxn k ≤ c ⇒ ∃{xnk } : xnk * x ∈ X. • Cho M là một tập đóng yếu trong gian Banach lồi đều X và x0 ∈ X. Khi đó,