ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG VÀ ĐIỂM LEMOINE TRONG TAM GIÁC
Đường đối trung trong tam giác vốn là khái niệm quen thuộc trong hình học. Giao của
các đường đối trung là điểm Lemoine. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp lại các kiến thức về
đường đối trung và điểm Lemoine để bạn đọc có được cái nhìn cơ bản nhất và hoàn thiện
hơn về các khái niệm này.
I. Đường đối trung trong tam giác.
1. Đường đẳng giác
� , hai tia As và At được gọi
1.1 Định nghĩa: Cho góc xAy
x
� .
là đẳng giác nếu chúng đối xứng nhau qua tia phân giác của góc xAy
z
1.2. Định lý: Cho tam giác ABC với hai đường đẳng giác AA1 và AA2.
t
AB 2 BA1.BA2
Chứng minh rằng
AC 2 CA1.CA2
x
A
A
z
t
y
B
A1
A2
C
Chứng minh:
S ABA1
S ACA2
S ABA2
S ACA1
AB. AA1 sin BAA1 BA1
AB BA1 AA2
.
(1)
AC. AA2 sin CAA2 CA2
AC CA2 AA1
AB. AA2 sin BAA2 BA2
AB BA2 AA1
.
(2)
AC. AA1 sin CAA1 CA1
AC CA1 AA2
Nhân các vế của (1) và (2) ta được điều phải chứng minh.
y
2. Đường đối trung
2.1 Định nghĩa: Cho tam giác ABC, đường đối trung kẻ từ A của tam giác là đường đối
xứng với trung tuyến đỉnh A qua phân giác trong góc A.
2.2 Định lý: Cho tam giác ABC, AE là đường đối trung khi và chỉ khi
BE AB 2
.
CE AC 2
Giải: Gọi AM là đường đẳng giác với AE. Khi đó theo
định lý 1.2 ta có
AB 2 BE.BM
.
AC 2 CE.CM
Do đó AE là đường đối trung
BM=CM
x
A
z
AM là trung tuyến
BE AB 2
.
CE
AC 2
A
t
y
Nhận xét: Đường đối trung chia cạnh đối diện của tam giác
B
E
M
C
theo tỉ lệ bằng bình phương tỉ lệ hai cạnh bên.
2.3 Các đường đối trung đồng quy tại một điểm gọi là
điểm Lemoine của tam giác.
Dễ chứng minh tính chất trên bằng định lý Ceva.
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại hai đỉnh cắt
nhau tại điểm nằm trên đường đối trung của tam giác đi qua đỉnh thứ ba.
B
Xét tam giác ABC như hình vẽ. Ta có
IB S ABI S MBI S MAB AB MB sin MBA
.
.
IC S ACI S MCI S MAC AC MC sin MCA
2
AB sin BCA AB
.
AC sin CBA AC 2
M
D
I
A
C
Do đó I là chân đường đối trung kẻ từ A của tam giác
ABC.
A
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC, một đường tròn qua BC cắt các cạnh AB, AC tại M, N. Tìm quỹ tích
trung điểm của MN.
N'
M
N
M'
Giải:
B
C
Gọi M’; N’ là điểm đối xứng với M, N qua phân giác góc A.
Dễ chứng minh được M’N’ song song với BC.
Trung điểm của M’N’ thuộc trung tuyến kẻ từ A nên suy
ra trung điểm của MN thuộc đường đối trung kẻ tử A
của tam giác ABC.
3. Một số tính chất của điểm Lemoine
3.1 Định lý: Cho X là một điểm nằm trên đường đối trung kẻ từ A của tam giác ABC.
CMR khoảng cách từ C đến AB và AC tỉ lệ với độ dài của AB và AC.
A
Giải
S AEB
d ( X ; AB ) d ( E ; AB)
AB
d ( X ; AC ) d ( E ; AC ) S AEC
AC
X
B
E
C
EB AC AB 2 AC AB
.
.
EC AB AC 2 AB AC
Từ định lý trên suy ra tính chất sau:
3.2 Tính chất: Cho L là điểm Lemoine của tam giác ABC, khi đó:
d ( L; BC ) d ( L; CA) d ( L; AB )
.
BC
CA
AB
3.3 Tính chất: Cho điểm X nằm trong tam giác ABC. Khi đó
d 2 ( X ; BC ) d 2 ( X ; CA) d 2 ( X ; AB ) nhỏ nhất khi và chỉ khi X là điểm Lemoine của tam
giác ABC.
Chứng minh:
A
Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ X xuống
E
F
BC, CA, AB. Ta có
L
a. XD b. XE c. XF 2 S ABC const nên
4 S 2 ( XD 2 XE 2 XF 2 )(a 2 b 2 c 2 )
B
D
C
XD 2 XE 2 XF 2
4S 2
.
a2 b2 c2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
XD XE XF
hay X là điểm Lemoine của tam giác
a
b
c
ABC.
3.4 Tính chất: Cho tam giác ABC với L là điểm Lemoine. D, E, F là chân đường cao kẻ
từ L xuống BC, CA, AB. Khi đó L là trọng tâm tam giác DEF.
Giải: Vì L là điểm Lemoine của tam giác ABC nên
LD LE LF
.
a
b
c
Theo định lý con nhím
r c uuu
r r
a uuur b uuu
LD
LE
LF 0
LD
LE
LF
uuur uuu
r uuu
r r
hay LD LE LF 0
A
E
F
L
C
D
B
nên L là trọng tâm tam giác DEF.
Tam giác DEF gọi là tam giác pedal của điểm L.
uuur
uuu
r
uuu
r r
Nhận xét: Bằng định lý con nhím ta còn chỉ ra được a 2 LD b 2 LE c 2 LF 0
3.5 Tính chất: Cho X, Y, Z là các điểm thuộc các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Khi đó XY 2 YZ 2 ZX 2 nhỏ nhất khi X, Y, Z là các đỉnh của tam giác pedal của điểm
Lemoin L.
Chứng minh
A
Gọi G là trọng tâm tâm tam giác XYZ, khi đó
F
XY 2 YZ 2 ZX 2 3(GX 2 GY 2 GZ 2 )
Z
Kẻ GD, GE, GF vuông góc với BC, CA, AB, ta có
GD 2 GE 2 GF 2 GX 2 GY 2 GZ 2
Mà theo tính chất 3.3 GD 2 GE 2 GF 2 nhỏ nhất khi G
là điểm Lemoine của tam giác ABC. Từ đó suy ra đpcm.
B
E
Y
G
D
X
C
3.6 Tính chât: Cho tam giác ABC, khoảng cách từ điểm Lemoine L đến các cạnh của tam
giác bằng a; b; c trong đó
2S ABC
.
a b2 c2
2
Gọi các khoảng cách này lần lượt là La ; Lb ; Lc , theo tính chất 3.2 ta có
La Lb Lc
( La ; Lb ; Lc ) ( a; b; c)
a
b
c
2
2
2
Mà 2 S aLa bLb cLc 2S (a b c )
2 S ABC
từ đó suy ra đpcm.
a b2 c2
2
3.7 Tính chất: Độ dài các cạnh của tam giác pedal của điểm Lemoine L là
2 ma ; 2 mb ; 2 mc , trong đó
2S ABC
.
a b2 c2
2
Gọi Lb ; Lc là chân các đường cao kẻ từ L xuống CA; AB, Áp dụng định lý Cosin cho tam
giác LLb Lc , ta có:
Lb Lc 2 LLc 2 LLb 2 2 LLc .LLb cos(1800 A) 2 (2(b 2 c 2 ) a 2 ) 4 2 ma2
Hệ quả:
1. Cho tam giác ABC với 3 điểm X, Y, Z thuộc BC, CA, AB thì
XY 2 YZ 2 ZX 2
12S 2
.
a 2 b2 c2
2. Cho X, Y, Z trùng với trung điểm
của BC,
CA, AB
thì
ta
có
1 2
12S 2
(a b 2 c 2 ) 2
a 2 b 2 c 2 4 3S
2
2
4
a b c
3. Cho X, Y, Z trùng với chân các đường cao kẻ từ A, B, C thì
(a 2 b 2 c 2 )(a 2 cos 2 A b2 cos2 B c 2 cos 2 C ) 12S 2
3.8 Tính chất: Diện tích tam giác pedal của điểm L được tính bởi S L
3
12S ABC
.
(a 2 b 2 c 2 )
Hướng dẫn: Ta tính diện tích tam giác theo độ dài ba đường trung tuyến của nó.
Ví dụ 3
Đường thẳng đi qua trung điểm cạnh đáy của tam giác và trung điểm của đường cao
tương ứng đi qua điểm Lemoine L.
Chứng minh:
Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp vector, trước hết ta dễ chứng minh nhận xét
sau: Cho tam giác ABC, H là chân đường cao kẻ từ A. Khi đó HB.cot C HC.cot B .
Chú ý rằng kết quả trên đúng với mọi tam giác bất kì.
Gọi A2 là chân đường vuông góc kẻ từ A. I, K là trung
A
điểm BC, AA2. L là điểm Lemoine của tam giác ABC.
Ta chứng minh L thuộc KA1.
K
Giả sử góc C không vuông, khi đó
L
A2 B
cot B
a c b
2
cot C
a b2 c2
A2C
2
A2 chia BC theo tỉ lệ
2
2
B
A2A1
C
a 2 c2 b2
nên
a 2 b2 c2
uuu
r a 2 c 2 b 2 uuu
r
uuu
r
uuu
r
LB
LC
uuur
2
2
2
(a 2 b 2 c 2 ) LB (a 2 c 2 b 2 ) LC
a
b
c
LA2
a2 c2 b2
2a 2
1 2
a b2 c 2
uur
uuu
r
uuu
r
uuur uur uuur 2a 2 LA (a 2 b 2 c 2 ) LB (a 2 c 2 b 2 ) LC
2 LK LA LA2
2a 2
uur
uuu
r
uuur
uuu
r uuur
r uuur
2a 2 LA 2b 2 LB 2c 2 LC (a 2 b 2 c 2 )( LB LC ) a 2 b 2 c 2 uuu
(
LB
LC )
2a 2
2a 2
uur
uuu
r
uuu
r r
(do a 2 LA b 2 LB c 2 LC 0 ). Đẳng thức cuối suy ra L thuộc KA1.
A
4. Một số tính chất liên quan tới đường tròn
M'
M
4.1 Khái niệm đường đối song: tam giác ABC và các
điểm M, N nằm trên AB, AC sao cho MN//BC.
M’, N’ là điểm đối xứng với M, N qua phân giác
trong góc A. Khi đó M’N’ gọi là đường đối song
N'
B
N
C
của MN.
Nhận xét: 4 điểm M, N, M’, N’ nằm trên một đường tròn.
và 4 điểm B, C, M’, N’ nằm trên một đường tròn.
4.2 Tính chất: Đường đối song qua điểm Lemoine của tam giác cắt các cạnh bên của tam
giác tạo thành 6 điểm cùng thuộc một đường tròn.
A
Chứng minh: Gọi 6 điểm như hình vẽ.
A2
A3
Xét đường đối song B1C1. Gọi B '; C '; L ' lần lượt là
điểm đối xứng với B1;C1;L qua phân giác góc A thì
C1
B1C1//BC và L’ thuộc trung tuyến kẻ từ A, do đó L’
L
là trung điểm của B1C1 và do đó L là trung điểm của
B1C1.
B1
C
C3
B2
B
Tương tự L là trung điểm B2A2; A3C3.
Do các tứ giác BCC1B1; CAA3C3 nội tiếp nên dễ chứng
minh được tam giác LA3B3 cân tại L.
Từ đó chỉ ra được L cách đều 6 điểm trên.
4.3 Tính chất: Đường thẳng đi qua điểm Lemoine của tam giác và song song với cạnh
đáy cắt các cạnh bên tạo thành 6 điểm cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh:
Gọi 6 điểm như hình vẽ.
Do AHLF là hình bình hành nên HF là đường đối song
A
của tam giác ABC. Do đó theo 4.1 thì 4 điểm H,F,E,D
F
cùng thuộc một đường tròn.
H
Tương tự các điểm D,G,K,H và K,E,F,G cùng thuộc
D
B
E
L
G
K
C
một đường tròn.
Do đó ta chỉ cần chứng minh HDFG là hình thang cân
nội tiếp. Thật vậy, ta có
�
� BCA
� BDG
�
AHF DEF
Ví dụ 4
Chứng minh rằng tâm đường tròn ở tính chất 4.3 là trung điểm của đoạn thẳng nối điểm
Lemoine với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
A
Chứng minh: Gọi J là trung điểm HF.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
và I là trung điểm LO.
F
J
H
Ta chứng minh OA vuông góc với HF
D
Ta có �
AOC 2 �
ABC nên
0
�
� 180 2 ABC 900 �
OAC
ABC
2
� �
mà HFA
ABC (HFCB nội tiếp)
� HFA
� 900 hay OA HF
nên OAC
Do đó JI HF hay JI là trung trực của HF nên
trung trực HF đi qua I.
Tương tự trung trực DG cũng đi qua I.
Từ đó dễ chỉ ra được I là tâm đường tròn qua 6 điểm
D,E,F,G,H,K.
Ví dụ 5
B
L
G
I
E
O
K
C
Cho tam giác ABC với điểm Lemoine L. Các đường thẳng LA, LB, LC cắt đường tròn
ngoại tiếp tam giác tại điểm thứ hai D, E, F. Chứng minh rằng L cũng là điểm Lemoine
của tam giác DEF.
Trước hết ta chứng minh một số bổ đề sau:
Bổ đề 1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G của tam giác định ra các góc a;a’;b;b’;c;c’ như
hình vẽ mà ta kí hiệu là [(a;a’); (b;b’); (c;c’)] thì điểm Lemoine L định ra các góc [(a’;a);
(b’;b);(c’;c)].
A
a' a
A
a a'
L
G
c'
b
Bổ đề này
có được hiển nhiên do tính chất
c' đối xứng của trung tuyến và đường đối trung
b'
b
B
qua phân
giác.
c
C
B
c
b'
C
Bổ đề 2:
Cho tam giác ABC và trọng tâm G định ra các góc [(a;a’); (b;b’); (c;c’)] thì nếu một tam
giác T có các góc a’+c; b’+a; c’+b và điểm G’ định ra các góc [(a’;c);(b’;a);(c’;b)] thì G’
là trọng tâm tam giác T.
A
a a' c
Xét tam giác ABC với các đường trung
F
tuyến AA’; BB’; CC’.
C'
Từ A kẻ đường thẳng song song với CG cắt
với tam giác T và trọng tâm E định ra các góc
[(a’;c);(b’;a);(c’;b)].
Do đó suy ra G’ là trọng tâm tam giác T.
c'
b
E
a b'
H
B'
G
BG tại H.
Dễ chứng minh được tam giác AGH đồng dạng
D
b'
B
c
b
A'
c'
C
Bổ đề 3:
Tam giác T có các góc a’+c; b’+a; c’+b và điểm L định ra các góc [(c;a’);(a;b’);(b;c’)] thì
L là điểm Lemoine của tam giác T.
Đến đây ta suy ra ngay cách chứng minh bài toán trên
A
E
a' a
F
a
c
a'
b'
L
b
b'
c'
c
B
c' b
D
Cuối cùng xin đưa ra một số bài toán để bạn đọc phát hiện ra thêm một số tính chất của
đường đối trung và điểm Lemoine
C
1. Cho tam giác ABC với đường đối trung AK. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC cắt
AB tại P và đường tròn ngoại tiếp tam giác AKB cắt AC tại Q. CMR KP=KQ.
2. Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E, F trên BC, CA, AB sao cho DE//AB; DF//AC.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt BC, CA, AB tại D 1; E1; F1. M là giao điểm của
DE và D1F1, N là giao điểm của DF và D1E1. CMR A, M, N thẳng hàng.
3. Cho tam giác ABC với đường đối trung AD. E, F thuộc đường thẳng CA; AB sao cho
DE//AB; DF//AC.
a. CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF tiếp xúc với BC. (đường tròn Tucker)
b. CMR nếu AB; AC cắt đường tròn Tucker tại E’ và F’ thì E’F’//BC.
4. Cho tam giác ABC với điểm Lemoine L. A1;B1;C1 đối xứng với L qua BC, CA, AB.
Chứng minh rằng L là trọng tâm tam giác A1B1C1.
5. Cho tam giác ABC, đường đối trung AD, điểm Lemoine L, CMR
LA b 2 c 2
.
LD
a2
6. Cho tam giác ABC, các đường cao kẻ từ B và C cắt đường phân giác góc A tại P và Q.
Đường thẳng qua P song song AB cắt đường thẳng qua Q song song với AC tại R. CMR
AR là đường đối trung kẻ từ A của tam giác ABC.
7. Cho tam giác ABC trọng tâm G. Gọi P, Q, R lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các
tam giác PBC; QCA; RAB. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp O và trọng tâm
G của tam giác ABC lần lượt là trọng tâm và điểm Lemoine của tam giác PQR.
8. Cho tam giác ABC đường đối trung AD. Từ D kẻ DM, DN song song với AC; AB (M
thuộc AB, N thuộc AC). CMR tứ giác BMNC nội tiếp, gọi A 1 là tâm đường tròn ngoại
tiếp tứ giác trên. Tương tự định nghĩa B1;C1. Chứng minh rằng AA1;BB1;CC1 đồng quy.
9. Cho 2 đường tròn (C) và (C’) cắt nhau tại 2 điểm A,B. PT là tiếp tuyến chung của hai
đường tròn. Tiếp tuyến tại P, T của đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt nhau tại S. H
đối xứng với B qua PT. CMR A, H, S thẳng hàng.
10. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), L là điểm Lemoine của tam giác. K là
điểm xác định bởi OK .OL R 2 . KA, KB, KC cắt (O) tại điểm thứ hai A’;B’;C’. CMR L
là điểm Lemoine của tam giác A’B’C’.
Tài liệu tham khảo
1. Một số chuyên đề hình học phẳng bồi dưỡng học sinh giỏi – Đỗ Thanh Sơn.
2. Các tài liệu sưu tầm trên mạng Internet.
- Xem thêm -
.DOC 
12 
5676 
126 
