Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thpt chuyên đề một số bài toán hình học giải bằng phương pháp tọa độ

CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO: MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Hình học phẳng là một lĩnh vực quan trọng trong toán sơ cấp ở bậc trung học phổ thông. Chúng ta gặp các bài toán về hình học phẳng trong rất nhiều kì thi quan trọng: thi học sinh giỏi tỉnh, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế... Tuy nhiên để làm được những bài toán đó thì không hề đơn giản, đòi hỏi phải có một vốn kiến thức phong phú và một tư duy linh hoạt. Bài viết này giới thiệu một trong những phương pháp giải toán hình học phẳng đó là phương pháp tọa độ. Trong nhiều bài toán hình học nếu đưa về phương pháp tọa độ thì bài làm sẽ sáng sủa và rõ ràng hơn cách mà chúng ta dùng tính chất hình học thuần túy. Ta sẽ thấy phương pháp tọa độ không chỉ đơn thuần áp dụng cho các bài toán liên quan đến hình vuông, hình chữ nhật mà còn có thể áp dụng cho các bài toán liên quan đến tam giác, đến đường tròn… Phương pháp - Chọn hệ trục tọa độ thích hợp tùy theo bài toán sao cho việc tính toán đơn giản. - Tìm tọa độ các đối tượng đã cho và các đối tượng liên quan theo hệ trục đã chọn. - Chuyển các tính chất hình học trong giả thiết và điều cần chứng minh theo các công thức tọa độ. - Chứng minh bài toán theo phương pháp tọa độ. Trước hết ta xét một số bài liên quan đến hình vuông. Hệ trục tọa độ có thể lấy gốc là một trong bốn đỉnh của hình vuông hoặc là tâm của hình vuông. Ta xét hai bài toán sau. Bài 1 (Iran, 2001). Về phía bên trong hình vuông ABCD, ta dựng các tam giác đều ABK, BCL, CDM, DAN. Chứng minh rằng các trung điểm của KL, LM, MN, NK và các trung điểm của AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN tạo thành một đa giác đều 12 cạnh. Lời giải. Gọi O là tâm hình vuông, lập hệ trục xOy sao cho các điểm A, B, C, D lần lượt có tọa độ là (1; 1), (-1; 1), (-1; -1), (1; -1). Khi đó, dễ dàng tính được tọa độ các điểm K, L, M, N lần lượt là (0; -2k), (2k; 0), (0; 2k), (-2k; 0) với k 3 1 . Từ đó ta có tọa độ các trung điểm E, F, G, H tương ứng của KL, 2 y B A M N O x L K C D LM, MN, NK là (k; -k), (k; k), (-k; k), (-k; -k). Suy ra rằng các khoảng cách từ E, F, G, H đến O bằng nhau và bằng k 2 , đồng thời các vectơ gốc O, điểm mút tương ứng là E, F, G, H hợp với trục hoành các góc lần lượt là 315o , 45o , 135o , 225o. Tiếp đến, từ tọa độ đã xác định được của các điểm trên, ta dễ dàng tình được tọa độ tương ứng của các trung điểm P, Q, R, S, R, U, V, X của các cạnh AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN lần lượt là (h; j), (-h; j), (-j; h), (-j; -h), (-h; 1 2 -j), (h; -j), (j; -h), (j; h), ở đây h  , j  1  3 . 2 Suy ra các điểm P, Q, R, S, R, U, V, X cách O một đoạn bằng h2  j 2  3 1  k 2. 2 Các điểm này cũng là đầu mút của những vectơ gốc O lần lượt hợp với trục hoành các góc tương ứng 15o , 165o , 105o , 255o , 195o , 345o , 285o , 75o. Tiếp đến ta cần xét các góc của tam giác vuông có 3 cạnh là k, h, j. Góc x j k h k giữa h và k có s inx  , cos x  . Do đó sin 2 x  2sin x cos x  2hj 1  . Suy ra k2 2 x  15o . Như vậy 12 điểm nói trên cách đều gốc tọa độ O và là đầu mút của những vectơ gốc O hợp với trục hoành các góc 15o  30n với n=0, 1, 2,…, 11. Từ đó suy ra rằng chúng lập thành một đa giác đều 12 cạnh. Bài 2. Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm của BC. Điểm M tùy ý thuộc AB, P là giao điểm của AE và CM, N là giao điểm của MD và AE, H là giao điểm của DP và CN, I là giao điểm của đường trung trực của PH và đường vuông góc với AH tại H. Chứng minh rằng I thuộc một đường cố định. Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có O trùng với A, trục Ox đi qua B, Oy đi qua D. Giả sử cạnh của hình vuông là 1. Suy ra A(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1), E(1; ½). Phương trình của đường thẳng AE: x - 2y = 0. Phương trình của đường thẳng DM: x + my – m = 0. Phương trình của đường thẳng CM: x + (m-1)y – m = 0. y D C I E H N P B x m   2m ; Vì N là giao điểm của MD và AE suy ra N   . P là giao điểm của m  2 m  2 m   2m ; AE và CM suy ra P  .  m 1 m 1 A M Đường thẳng DP có phương trình: x + 2my - 2m = 0. Đường thẳng NC có phương trình: 2x + (m-2)y - m(m-2) = 0.   ; H là giao của DP và CN suy ra H  . 3 m  2 m  1   AH có phương trình 3x - 4y = 0. Ta thấy ID = IH hay ID = d(I, AD). Từ đó suy ra I thuộc đường parabol với tiêu điểm D, AH là đường chuẩn. 4m m Phương pháp tọa độ cũng có thể áp dụng với các bài toán về tam giác. Với các tam giác vuông ta thường chọn hệ trục tọa độ có hai trục là hai cạnh góc vuông, với các tam giác thường nếu có sẵn hai đường vuông góc tại cùng một điểm trong giả thiết rồi thì chọn hai đường đó là hai trục tọa độ, nếu chưa có thì ta nên kẻ thêm đường cao và chọn hệ trục có một trục là đường cao, một trục là cạnh tương ứng của tam giác. Ta xét các bài toán sau. Bài 3 ( VMO 2007-2008). Cho tam giác ABC, trung tuyến AD. Một đường thẳng d vuông góc với AD. Xét M thuộc d. Gọi E, F là trung điểm của MB, MC. Đường thẳng qua E, vuông góc với d cắt AB tại P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt AC tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên d. Lời giải. y P A x M E F B C D Q Rõ ràng chỉ cần xét d  AD tại D là đủ. Chọn hệ trục Dxy như hình vẽ sao cho A(0; a), C(2m; 2n), M(2xo, 0). Do B, C đối xứng với nhau qua D nên B(2m; -2n). Phương trình của AB: (2n+a)x – 2my + 2ma = 0. Phương trình của AC: (2n - a)x – 2my + 2ma = 0. Từ đó suy ra (2n  a )( xo  m) (2n  a )( xo  m)     P  xo  m;  a  , Q  xo  m; a 2m 2m     uuur ax  PQ (2m;2n  o ) m Đường thẳng đi qua M, vuông góc với PQ có phương trình ax   2m( x  2 xo )   2n  o  y  0 . m    4mn 4m 2  ; Dễ thấy đường thẳng này luôn đi qua S  với mọi xo. Ta có điều a   a phải chứng minh. Bài 4 (VMO 2006 - 2007). Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích của điểm A biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC. Lời giải. Chọn hệ trục Oxy với O là trung điểm của BC, trục Ox là đường thẳng BC. Đặt BC = 2a > 0. Khi đó B(-a; 0), C(a; 0). Giả sử A(xo; yo) yo  0 . y A G B K O x C H Khi đó trực tâm H là nghiệm của hệ phương trình  x  xo  a 2  xo 2   H  xo ;  . yo   ( x  a )( a  xo )  yo y  0   2 xo 3a 2  3xo2  yo2   xo yo  G ; K ; Trọng tâm   .  , suy ra trung điểm 6 yo 3 3  3  K thuộc đường 2 o 2 thẳng BC khi và chỉ khi 2 o 2 x y   1( yo  0). a 3a x2 y2 Vậy quỹ tích điểm A là Hyperbol 2  2  1 bỏ đi hai điểm B, C. a 3a 3a 2  3xo2  yo2  0  Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn , d là đường thẳng thay đổi. Gọi D, E, F là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên d. Biết rằng AD 2 tan A+BE 2 tan B  CF 2 tan C  2 S ABC . Tìm vị trí của d để AD đạt giá trị lớn nhất. Lời giải. Gọi AO là đường cao của tam giác ABC. Chọn hệ trục Oxy có Ox đi qua C, Oy đi qua A. Ta sẽ chứng minh đường thẳng d đi qua trực tâm H của tam giác ABC. Giả sử A(0; a), B(-b; 0), C(c; 0) tan B  a a , tan C  b c t anA   tan( B  C )  SABC  ac  ab a 2  bc 1 a (b  c) 2 Gọi phương trình đường thẳng d là  x   y    0( 2   2  0). y E A D H F O B C x Ta có AD  a   , BE  b   , AD  c   . 2   2 bc     0. Từ đó suy ra d luôn đi Đẳng thức đề bài cho tương đương với a  bc  qua điểm H  0;  . Dễ chứng minh được H là trực tâm của tam giác ABC.  a  Ta có AD  AH . Vậy ADmax  AH khi và chỉ khi d là đường thẳng đi qua H và 2   2 2   2 song song với BC. Bài 6. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi M là trung điểm của BC, G là điểm trên cạnh AB sao cho GB=2GA. Các đường thẳng GM và CA cắt nhau tại D. Đường thẳng qua M vuông góc với CG tại E và cắt AC tại K. Gọi P là giao điểm của DE và GK. Chứng minh rằng: a) DE = BC. b) PG = PE. Lời giải. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, giả sử AB =AC=1. Ta có A(0; 0), B(0; 1),  1 1 1 C(1; 0), G  0;  , M  ; , D( 1;0) . Gọi (d) là đường thẳng đi qua M và  3 2 2 vuông góc với GC. Đường thẳng (d) có phương trình: 3x – y – 1 = 0. Đường thẳng GC có phương trình: x + 3y -1 = 0. 2 1 E  ( d ) I GC  E  ;  5 5 Suy ra BC  DE  2 . y B M G E P D C K A x   b) Vì K  ;0   GK PBC. 3  Phương trình của đường thẳng GK: 3x  3 y  1  0 . Phương trình của đường thẳng DE:  x  7 y  1  0 . 1   Vì P là giao điểm của DE và GK nên suy ra D  ;  . 6 6 1 1 Do đó PG  PE  1 3 2 . Bài 7. Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Qua B dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt đường trung tuyến AI của tam giác ABC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích của A biết rằng IH song song với KC. Lời giải. y A H B K I C x Chọn hệ trục Oxy với O trùng I, trục Ox là đường thẳng BC. Đặt BC=2a > 0. Khi đó B(-a; 0), C(a; 0). Giả sử A (x o; yo), yo  0 . Khi đó trực tâm H là  x  xo  a 2  xo2   H  xo ; nghiệm của hệ phương trình  . yo   ( x  a )( a  xo )  yo y  0   y  K là giao của d và AI nên K  a; a o , xo  0 . xo   uuur uuu r Theo giả thiết ta có IH cùng phương với KC . Điều này tương đương với 2 2 yo a 2  xo2 xo2 yo2 a . xo  2a  0  2  2  1. Vậy quỹ tích điểm A là Elip x 2  y 2  1 xo yo a 2a a 2a bỏ đi bốn điểm B, C, A1 (0; a 2), A2 (0; a 2) . Ngoài ra, phương pháp tọa độ cũng có thể áp dụng với các bài toán về hình tròn. Gốc tọa độ thường được chọn là tâm của hình tròn. Bài 8 (IMO, 1999). Cho hai đường tròn (C1) và (C2) nằm bên trong và tiếp xúc với đường tròn (C) theo thứ tự tại M và N. Giả sử (C 1) đi qua tâm của (C2). Đường nối hai điểm chung của (C 1), (C2) cắt (C) tại A và B. Các đường thẳng MA, MB cắt (C1) tương ứng tại E và F. Chứng minh rằng đường thẳng EF là tiếp tuyến của (C2). N A E M I Y X V W K B F O Gọi O, K, I, r1, r2, r3 lần lượt là tâm và bán kính của các đường tròn (C), (C 1), (C2) tương ứng. Giả sử EF cắt KI tại W, đặt IW = x. Ta cần chỉ ra x = r 2. Chọn hệ trực chuẩn có gốc là I, IK là trục hoành, giả sử O(a; b). Giả sử AB cắt IK tại V. Gọi X là một giao điểm của (C 1) và (C2), Y là trung điểm của r2 2 IV IY  . Tam giác KYI và XVI đồng dạng suy ra . Phép 2 r1 IX IO r vị tự tâm M, tỉ số r biến K thành O, biến EF thành AB. Do đó EF  IK . 1 r Cũng vậy khoảng cách từ K đến EF bằng 1 lần khoảng cách từ O đến AB, r 2 r r  suy ra r1  x  1  a  2  (*) . Bây giờ ta cần xác định a. Bằng cách tính r 2r1  IX. Dễ thấy IV  khoảng cách từ O đến I và K ta nhận được hai phương trình chứa a và b sau đây: ( r  r1 ) 2  ( r  a )2  b 2 ( r  r2 ) 2  a 2  b 2 Khử b từ hai phương trình trên ta có a  r22 r  r  r 2 . Thay vào (*) ta nhận 2 r1 r1 được x = r2. Ta có điều phải chứng minh. Bài 9 (Olympic 30-04, 2001, đề đề nghị). Cho tứ giác IAJB có các góc A, B vuông, IA>IB. Chứng minh rằng với mọi M trên đường thẳng IJ ta luôn có JA MA IA   . JB MB IB Lời giải. y A O I M J x B Vì góc A, B vuông nên IAJB là tứ giác nội tiếp được. Giả sử IAJB nội tiếp đường tròn có tâm O là trung điểm của IJ và bán kính R=1. Ta chọn hệ trục tọa độ vuông góc như hình vẽ. Khi đó, ta có I(-1; 0), J(1; 0). Do A, B thuộc đường tròn nên A(cosa, sina), B(cosb, sinb), a, b  (0;2 ) . Ta có IA  IB  IA2  IB 2  ( 1  cos a ) 2  sin 2 a  ( 1  cos b) 2  sin 2 b  cos a  cos b. MA2 x 2  2 x cos a  1  . Giả sử M(x; 0), ta có MB 2 x 2  2 x cos b  1 x 2  2 x cos a  1 Xét hàm số y  2 x  2 x cos b  1 Ta có 2( x 2  1)(cos a  cos b) y'= ( x 2  2 x cos b  1) 2 y '  0  x  1 Bảng biến thiên:  x y’ + -1 0 - 1 0  + 1 y y(-1) 1 y(1) Ta có 1  cos a 1  cos a  1, y (1)  1 1  cos b 1  cos b 1  cos a MA2 1  cos a   Vậy . 1  cos b MB 2 1  cos b IA2 1  cos a JA2 1  cos a ,  Mà 2  . IB 1  cos b JB 2 1  cos b 2 2 2 JA MA IA  JA   MA   IA  Do đó         hay JB  MB  IB . Ta có điều phải chứng  JB   MB   IB  y ( 1)  minh. Bài 10. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm M chuyển động trên (O), H là hình chiếu của M trên AB, E đối xứng với H qua M, đường thẳng d đi qua A, vuông góc với BE cắt MH tại K. Tìm quỹ tích của K. Lời giải. Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, giả sử bán kính của đường tròn tâm O là 1. Ta có A( 1; 0), B(1;0), M ( cos ;sin  ), E ( cos ;2sin  ). y H O A B x M N E Đường thẳng (d) đi qua A, vuông góc với BE có phương trình: (1  cos )( x  1)  2sin  . y  0 MH : x  cos sin    K  MH I (d )  K  cos ;  2   Vậy K nằm trên đường ( E ) : x 2  4 y 2  1 . Sau đây là một số bài để bạn đọc tự rèn luyện. Bài tập rèn luyện. Bài 1. Cho tam giác ABC, gọi CL, CM là đường phân giác trong và ngoài của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu CL = CM thì AC2 + BC2 = 4R2 (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Bài 2. Cho tam giác đều ABC cạnh 2a. Một đường thẳng d tùy ý cắt BC, CA, AB tạo với 3 đường này các góc  ,  ,  . Chứng minh rằng sin 2  .sin 2  .sin 2   cos2 .cos2  .cos2  1 . 16 Bài 3. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, I là trung điểm của AD, M thuộc DC. Gọi M1 là giao điểm của IC và AM, M2 là giao điểm của IC và MB, MD=x. Tính diện tích của tam giác MM1M2 theo x. Bài 4. Trong mặt phẳng cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định. I là điểm di động trên (O). Đường tròn tâm I luôn đi qua A. Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (I) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Bài 5. Cho tam giác ABC có đường cao CH. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, CH. Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại M và cắt cạnh BC tại N. Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q nằm trên cạnh AB. Gọi J là tâm của hình chữ nhật MNPQ. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng. Bài 6. Cho đường thẳng d, trên đó lấy một điểm A. Cho trước hai số dương a, b sao cho a>b. Xét tất cả các điểm P, Q sao cho AP=a, AQ=b và đường thẳng d là phân giác của góc PAQ. Ứng với mỗi cặp điểm P, Q xét điểm M uuuu r uuu r uuur sao cho AM  AP  AQ . Tìm quỹ tích các điểm M. Bài 7. Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho CP  MN , CP  MN . MB NC PA   . Chứng minh rằng MC NA PB Bài 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I. Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ADC. Chứng minh rằng nếu AB=AC thì IE vuông góc với CD. Bài 9. Cho hình bình hành ABCD thay đổi trong đó A, D cố định thỏa mãn AC BD  . Tìm tập hợp điểm B, C. AD BA Bài 10. Cho đường tròn ( C ) tâm O và tiếp tuyến d tiếp xúc với (C) tại một điểm A cố định trên (C). M là một điểm trên mặt phẳng, kẻ tiếp tuyến MT với (C) ( T là tiếp điểm), gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d. a) Tìm quỹ tích các điểm M thỏa mãn MT=MH. b) Chứng minh rằng các đường tròn tâm M bán kính MT luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.