Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thpt chuyên đề một số bất đẳng thức hình học trong tam giác và tứ giác

.PDF

1347

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
TRONG TAM GIÁC VÀ TỨ GIÁC
Trang 1
1
Mục lục
Mục lục ....................................................... 1
Mở đầu............................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.. Các bất đẳng thức đại số cơ bản .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.. Các đẳng thức và bất đẳng thức đơn giản trong tam giác .. . . 6
2.1.. Các đẳng thức đơn giản trong tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.. Các bất đẳng thức đơn giản trong tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.. Bất đẳng thức trong tam giác.................... . . . . . . . . . . . . 9
3.1.. Bất đẳng thức về độ dài các cạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.. Bất đẳng thức về các đại lượng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.. Các bất đẳng thức sinh ra từ các công thức hình học . . . . . . . 15
5.. Bất đẳng thức trong các tam giác đặc biệt .................. 20
5.1.. Các bất đẳng thức trong tam giác đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2.. Các bất đẳng thức trong tam giác vuông và tam giác cân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.. Các bất đẳng thức khác trong tam giác .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.. Các bất đẳng thức trong tứ giác ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.1.. Các bất đẳng thức đơn giản trong tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.2.. Các bất đẳng thức khác trong tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Tài liệu tham khảo................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Trang 2
2
Mở đầu
Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thuộc loại những
bài toán khó, làm cho học sinh phổ thông cũng như học sinh chuyên toán
lúng túng khi gặp các bài toán loại này. Thực sự nó là một phần rất quan
trọng của hình học và những kiến thức về bất đẳng thức trong hình học
cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng của toán học. So với các
bất đẳng thức đại số, các bất đẳng thức hình học chưa được quan tâm
nhiều. Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyết vấn đề này là
vì phương pháp tiếp cận không phải là các phương pháp thông thường
hay được áp dụng trong hình học và càng không phải là phương pháp đại
số thuần túy. Để giải một bài toán về bất đẳng thức hình học cần thiết
phải biết vận dụng các kiến thức hình học và đại số một cách thích hợp
và nhạy bén.
Chuyên đề này giới thiệu một số bất đẳng thức hình học từ cơ bản
đến nâng cao và mở rộng. Các bài toán về bất đẳng thức hình học được
trình bày trong tài liệu này có thể tạm phân thành các nhóm sau:
I. Nhóm các bài toán mà trong lời giải đòi hỏi nhất thiết phải có hình
vẽ. Phương pháp giải các bài toán nhóm này chủ yếu là "phương pháp
hình học", như vẽ thêm đường phụ, sử dụng tính chất giữa đường vuông
góc và đường xiên, giữa đường thẳng và đường gấp khúc, quan hệ giữa
các cạnh, giữa cạnh và góc trong một tam giác, hay tứ giác v.v.. Bất
đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng thuộc nhóm này là nội dung
thường gặp trong các kì thi chọn học sinh giỏi toán hay thi vào các trường
chuyên.
II. Nhóm thứ hai gồm các bài toán mà khi giải chúng cần phải sử
dụng các hệ thức lượng đã biết, như các hệ thức lượng giác, hệ thức
đường trung tuyến, đường phân giác, công thức các bán kính, công thức
diện tích của tam giác v.v.. Các bài toán này đã được quan tâm nhiều và
Trang 3
3
chúng được trình bày khá phong phú trong các tài liệu [3,7].
III. Nhóm thứ ba gồm các bài toán liên quan đến các bất đẳng thức
hình học nổi tiếng, đặc biệt là bất đẳng thức Ptolemy.
Chuyên đề "Một số bất đẳng thức hình học trong tam giác và
tứ giác" gồm có ba phần: Phần mở đầu, Phần nội dung và Tài liệu tham
khảo.
Nội dung của chuyên đề trình bày một số bất đẳng thức thuộc nhóm
I và nhóm II.
Do sự hiểu biết của nhóm tác giải và khuôn khổ của tài liệu, nên chắc
rằng không tránh khỏi những thiếu sót, các tác giả rất mong được sự
đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và độc giả quan tâm tới vấn đề này.
Trang 4
4
Các bất đẳng thức trong tam giác
và tứ giác
Kí hiệu ∆ABC là tam giác ABC với các đỉnh là A, B, C . Để thuận
tiện, độ lớn của các góc ứng với các đỉnh A, B, C cũng được kí hiệu tương
ứng là A, B, C .
Độ dài các cạnh của tam giác: BC = a, CA = b, AB = c.
Nửa chu vi của tam giác: p =
a + b + c
2
.
Đường cao với các cạnh: h
a
, h
b
, h
c
.
Đường trung tuyến với các cạnh: m
a
, m
b
, m
c
.
Đường phân giác với các cạnh: l
a
, l
b
, l
c
.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp: R và r.
Bán kính đường tròn bàng tiếp các cạnh: r
a
, r
b
, r
c
.
Diện tích tam giác ABC: S, S
ABC
hay [ABC].
Để giải được các bài toán bất đẳng thức hình học, trước hết ta cần
trang bị những kiến thức cơ sở đó là các bất đẳng thức đại số cơ bản và
các đẳng thức, bất đẳng thức đơn giản trong tam giác.
1.. Các bất đẳng thức đại số cơ bản
Định lý 1. (Bất đẳng thức AM-GM) Giả sử a
1
, a
2
, ..., a
n
là các số không
âm. Khi đó
a
1
+ a
2
+ ... + a
n
n
≥
n
√
a
1
a
2
...a
n
. (1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= ... = a
n
.
Hệ quả 1. Với mọi bộ số dương a
1
, a
2
, ..., a
n
, ta đều có
n
√
a
1
a
2
...a
n
≥
n
1
a
1
+
1
a
2
+ ... +
1
a
n
. (2)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= ... = a
n
.
Trang 5

Tài liệu liên quan

Tài liệu vừa đăng

Tài liệu xem nhiều nhất