Tài liệu Luận án tính hữu hạn và sự thác triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức

1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là mới, đã được công bố trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nước. Các kết quả viết chung với PGS.TSKH Sĩ Đức Quang và ThS Lê Ngọc Quỳnh đã được sự đồng ý của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Hà Hương Giang 2 LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự quan tâm và hướng dẫn tận tình của PGS. TSKH Sĩ Đức Quang. Tôi mong muốn được gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến GS. TSKH Đỗ Đức Thái về những lời khuyên quý báu của giáo sư trong quá trình hoàn thành luận án. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn đến ThS Lê Ngọc Quỳnh, người đã có nhiều trao đổi khoa học hữu ích với tôi trong suốt thời gian làm Nghiên cứu sinh. Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu của Trường ĐHSP Hà Nội, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Phòng Sau đại học và Phòng Khoa học và Công nghệ của trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi có thể học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án của mình. Tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong Khoa Toán - Tin thuộc Trường ĐHSP Hà Nội, Bộ môn Toán thuộc Trường ĐH Điện lực Hà Nội, các thành viên của Seminar Hình học phức thuộc Khoa Toán -Tin, cùng các bạn đồng nghiệp về sự động viên khích lệ và những trao đổi hữu ích trong suốt quá trình học tập và công tác. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tận đáy lòng đến bố mẹ, chồng và các con đã chấp nhận mọi khó khăn, thiệt thòi trong những năm tháng qua để tôi có thể hoàn thành luận án này. Tác giả Mục lục Lời cam đoan 1 Lời cảm ơn 2 Một số quy ước và kí hiệu 5 1 TỔNG QUAN 10 2 TÍNH DUY NHẤT CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI HỌ SIÊU PHẲNG CỐ ĐỊNH 18 2.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định . 22 3 TÍNH HỮU HẠN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG 35 3.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động . . . 38 3.3 Ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với các họ siêu phẳng di động khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 TÍNH THÁC TRIỂN ĐƯỢC CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH 61 4.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2 Thác triển ánh xạ phân hình với (n + 2) siêu phẳng di động . . . . . . 66 4.3 Định lý thác triển cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính . . . . . . 72 3 4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 75 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 78 5 MỘT SỐ QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong toàn bộ luận án, ta thống nhất một số kí hiệu như sau. • Pn (C): không gian xạ ảnh phức n− chiều. • kzk = |z1 |2 + · · · + |zm |2
1/2 với z = (z1 , . . . , zm ) ∈ Cm . • B(r) := {z ∈ Cm : kzk < r} là hình cầu mở bán kính r trong Cm . • S(r) := {z ∈ Cm : kzk = r} là mặt cầu bán kính r trong Cm . √ −1 c • d = ∂ + ∂, d := (∂ − ∂): các toán tử vi phân. 4π • υm−1 := (ddc kzk2 )m−1 : (m − 1, m − 1) dạng vi phân trên Cm • σ := dc logkzk2 ∧ (ddc logkzk2 )m−1 : 2m − 1 dạng vi phân. • O(1): hàm bị chặn. • O(r): vô cùng lớn cùng bậc với r khi r → +∞. • o(r): vô cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞. • log+ r = max{log r, 0}, x > 0. • “|| P ”: có nghĩa mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0, +∞) nằm ngoài một tập con R Borel E của [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞. • ♯ S: lực lượng của tập hợp S. • Zero(F ): tập không điểm của hàm chỉnh hình F . • Nếu A = ∅ thì dim A = −∞. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vấn đề duy nhất và hữu hạn đối với ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh là một trong những vấn đề quan trọng của hình học phức. Sự phát triển của lý thuyết Nevanlinna đã mang lại những công cụ mạnh mẽ và đẹp đẽ trong nghiên cứu vấn đề này. Cho đến nay, hướng nghiên cứu về vấn đề này đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc và thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Đặc biệt, năm 1975, H. Fujimoto đã chứng minh rằng nếu hai ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính f và g từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược (tính cả bội) của 3n + 2 siêu phẳng thì chúng trùng nhau. Năm 1983, L. Smiley chỉ ra rằng nếu hai ánh xạ phân hình f và g có chung ảnh ngược không kể bội của 3n + 2 siêu phẳng, giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai và hai ánh xạ này trùng nhau trên ảnh ngược của các siêu phẳng này thì f = g. Các kết quả trên có thể xem là những kết quả đầu tiên và đẹp đẽ nhất trong việc mở rộng “Định lý 4 điểm và 5 điểm” của R. Nevanlinna. Trong những năm gần đây, G. Dethloff, T. V. Tấn, Đ. Đ. Thái, S. Đ. Quang [7], [30], [31], Z. Chen, Q. Yan [6] và nhiều tác giả khác đã nhận được những kết quả sâu sắc hơn về tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C). Tuy nhiên, vấn đề trên hầu như chỉ có thể được xem xét trong trường hợp “giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai ”. Đây là một điều kiện không được tự nhiên, rất khó để kiểm tra và nó đóng vai trò then chốt trong các chứng minh của các tác giả trên. Do vậy, việc tổng quát điều kiện trên hoặc đưa ra một điều kiện yếu hơn trong nghiên cứu vấn đề này là một câu hỏi mở. Hơn nữa, gần đây nhiều tác giả đã đưa ra các định lý hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ C m vào Pn (C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng khác nhau như G. Dethloff, S. Đ. Quang và T. V. Tấn [7], Z. H. Wang và Z. H. Tu [39] và một số tác giả khác. Tuy nhiên, những tác giả này chỉ xem xét vấn đề duy nhất và hữu hạn đối với các ánh xạ không suy biến tuyến tính. Câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên là: Liệu có hay 6 7 không một định lý về vấn đề hữu hạn khi ánh xạ f có thể suy biến? Đồng thời, trong những năm qua, bằng việc áp dụng Định lý cơ bản thứ hai trong lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình từ không gian phức vào không gian xạ ảnh, nhiều tác giả đã đưa ra các tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ ánh xạ chỉnh hình, như S. Đ. Quang và T.V. Tấn [19], Z. H. Tu và P. Li [38]. Các tiêu chuẩn này cho phép kiểm tra được tính chuẩn tắc của ánh xạ chỉnh hình trên một miền trong Cm vào không gian xạ ảnh Pn (C) dưới điều kiện về bội giao của ánh xạ đó với ít nhất 2n + 1 siêu phẳng di động. Dựa vào mối liên hệ giữa tính chuẩn tắc và tính thác triển được qua một tập giải tích có đối chiều 1, T. V. Tấn và N. T. T. Hằng [13], Z. H. Tu [37] và nhiều tác giả khác đã sử dụng các tiêu chuẩn trên để nghiên cứu tính thác triển của ánh xạ chỉnh hình. Tuy nhiên, trong đó các tác giả đều yêu cầu số siêu phẳng di động tham gia cần ít nhất là 2n + 1 và các kỹ thuật mà họ sử dụng không thể áp dụng cho trường hợp số siêu phẳng ít hơn. Nguyên do là phần bù của hợp một số siêu mặt trong giao một số siêu mặt trong trường hợp đó không còn tính hyperbolic nữa. Chúng tôi đặt vấn đề sẽ nghiên cứu tính thác triển của ánh xạ như trên, nhưng với số siêu phẳng ít hơn. Để làm được điều này, chúng tôi sử dụng một phương pháp hoàn toàn khác, đó là sử dụng mối liên hệ giữa độ tăng của hàm đặc trưng của đường cong chỉnh hình trên đĩa thủng với tính kì dị bỏ được tại tâm của đĩa. Do vậy, chúng tôi sẽ đi tìm cách thiết lập được các Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình từ đĩa đơn vị thủng vào không gian xạ ảnh để nghiên cứu sự thác triển của các đường cong như vậy. Thông qua các kết quả đó, chúng tôi sẽ nghiên cứu về tính thác triển của ánh xạ phân hình từ một miền bất kỳ qua một tập giải tích có đối chiều 1. Vì những lí do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Tính hữu hạn và sự thác triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức”, để nghiên cứu sâu sắc hơn các tính chất của ánh xạ phân hình vào Pn (C) dưới điều kiện về ảnh ngược của một họ các siêu phẳng cho các trường hợp: 1) Bỏ điều kiện giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng có đối chiều ít nhất là 2 hoặc thay điều kiện ánh xạ không suy biến tuyến tính bởi ánh xạ có thể suy biến với bài toán duy nhất và hữu hạn; 2) Xét trường hợp số siêu phẳng di động ít hơn 2n + 1 đối với bài toán về sự thác triển của ánh xạ phân hình. 2. Tính cấp thiết của đề tài Các tác giả trước đây đều chứng minh định lý duy nhất hay hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với điều kiện “giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai”. Hơn nữa, số siêu phẳng tham gia tối thiểu bằng 2n + 1 8 là điều kiện then chốt trong chứng minh của các tác giả trước về vấn đề thác triển của ánh xạ phân hình. Đây là một điều kiện hạn chế. Do đó, việc đưa ra định lý duy nhất và hữu hạn với điều kiện tổng quát về số chiều của giao nghịch ảnh và tìm cách chứng minh định lý thác triển với số siêu phẳng tham gia nhỏ hơn 2n + 1 là hết sức cần thiết. 3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích chính của luận án là nghiên cứu vấn đề duy nhất và hữu hạn của các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) đối với các trường hợp siêu phẳng cố định, siêu phẳng di động và có bội bị chặn. Ngoài ra, luận án còn chứng minh định lý thác triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu của luận án là vấn đề duy nhất và hữu hạn của các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược không tính bội đối với các siêu phẳng cố định hoặc siêu phẳng di động và vấn đề thác triển được của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh dưới điều kiện về ảnh ngược của các siêu phẳng. Mục đích của luận án là chứng minh các định lý hữu hạn, duy nhất và sự thác triển của ánh xạ phân hình với các điều kiện tổng quát, yếu hơn các nghiên cứu trước đó về các vấn đề này. Hơn nữa, trong các tình huống mà chúng tôi nghiên cứu thì các kỹ thuật và phương pháp của các tác giả trước không thể giải quyết được. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Luận án góp phần làm phát triển và sâu sắc hơn các kết quả về tính duy nhất và hữu hạn của ánh xạ phân hình đối với họ các siêu phẳng cố định và siêu phẳng di động, cũng như đưa ra các kết quả mới về tính thác triển của ánh xạ phân hình qua tập giải tích có đối chiều 1. Luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này. 6. Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu và phần phụ lục, luận án bao gồm bốn chương được viết theo tư tưởng kế thừa. Chương 1 là phần Tổng quan - phân tích đánh giá các công trình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước liên quan đến luận án. Ba chương còn lại của luận án được viết dựa trên bốn công trình đã được đăng và nhận đăng. Chương 1: Tổng quan. Chương 2: Tính duy nhất của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định. 9 Chương 3: Tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động. Chương 4: Tính thác triển được của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh. 7. Nơi thực hiện đề tài luận án. Trường Đại học sư phạm Hà Nội. Chương 1 Tổng quan I. Tính duy nhất của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định. Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi đưa ra một số ký hiệu và định nghĩa sau: Cố định một hệ tọa độ thuần nhất (ω0 : · · · : ωn ) trong không gian xạ ảnh phức Pn (C). Cho f là ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn ) và cho H là siêu phẳng trong Pn (C) xác định bởi phương trình a0 ω0 + · · · + an ωn = 0. Đặt (f, H) := a0 f0 + · · · + an fn . Ta định nghĩa hàm ν(f,H) trên Cm với giá trị không âm như sau:  0 ν(f,H) (z) = k nếu (f, H)(z) 6= 0, nếu z là không điểm bội k của (f, H). Cho {Hi }qi=1 là q siêu phẳng trong Pn (C), q > n + 1. Ta nói rằng họ {Hi }qi=1 ở vị T trí tổng quát nếu ni=0 Hji = ∅, với mọi họ chỉ số 1 6 j0 < · · · < jn 6 q. Cho d là một số nguyên dương, 1 ≤ d ≤ n. Giả sử f là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính và {Hi }qi=1 (q > n + 1) là q siêu phẳng ở vị trí tổng quát thỏa mãn dim d+1 \ j=1 f −1 (Hij ) 6 m − 2, với mọi 1 ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ q. Với f thỏa mãn điều kiện trên và với mỗi số nguyên dương k, ta kí hiệu G(f, {Hj }qj=1 , d, k) là tập tất cả các ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính g : Cm → Pn (C) sao cho: a) b) min{ν(g,Hj ) , k} = min{ν(f,Hj ) , k}, với mọi 1 6 j 6 q. S g(z) = f (z) trên qj=1{z ∈ Cm : ν(f,Hj ) (z) > 0}. 10 11 Vậy chúng ta có thể thấy được các bao hàm thức sau: G(f, {Hj }qj=1, 1, k) ⊂ G(f, {Hj }qj=1, 2, k) ⊂ G(f, {Hj }qj=1 , 3, k) ⊂ · · · . Bài toán về vấn đề duy nhất cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) đó là đi tìm điều kiện của q và k sao cho tập G f, {Hj }qj=1, d, k) chỉ chứa duy nhất ánh xạ f (định lý duy nhất), hoặc theo nghĩa rộng hơn là nghiên cứu lực lượng của tập hợp G f, {Hj }qj=1 , d, k) và tìm ra các mối quan hệ giữa các ánh xạ trong tập hợp này. Có hai đối tượng chính được quan tâm trong việc nghiên cứu vấn đề duy nhất đó là số lượng các siêu phẳng tham gia q và giá trị trị chặn bội k. Các con số này càng nhỏ thì kết quả càng có giá trị và ý nghĩa. Năm 1983, L. Smiley [28] đã chứng minh được rằng: Định lý A. Nếu q ≥ 3n + 2 thì ♯ G f, {Hj }qj=1 , 1, 1) = 1. Năm 1998, Fujimoto [11] đã mở rộng và chứng minh các mệnh đề về hàm phụ trợ Cartan cho các hàm chỉnh hình cho trường hợp nhiều chiều. Thông qua việc đánh giá hàm đếm của các hàm phụ trợ Cartan này, ông đã chứng minh được định lý duy nhất sau: Định lý B. Nếu q = 3n + 1, thì ♯ G f, {Hj }qj=1, 1, 2) ≤ 2. Năm 2006, bằng việc cải tiến các hàm phụ trợ Cartan và đưa ra phương pháp mới để đánh giá hàm đếm của chúng, Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [31] đã chứng minh được các kết quả sau: Định lý C. 1. Nếu n ≥ 2, thì ♯ G f, {Hj }3n+1 j=1 , 1, 1) = 1, 3n−1 2. Nếu n ≥ 4, thì ♯ G f, {Hj }j=1 , 1, 2) ≤ 2. Kỹ thuật của Thái - Quang trong [31] đã mở đầu cho nhiều nghiên cứu về vấn đề này trong các năm sau đó. Một trong những định lý duy nhất tốt nhất hiện nay được Z. H. Chen và Q. M. Yan [6] chứng minh vào năm 2009 như sau: Định lý D. Nếu q ≥ 2n + 3, thì ♯ G f, {Hj }qj=1 , 1, 1) = 1. Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng: các tính toán chi tiết trong chứng minh của Chen và Yan là vô cùng phức tạp. Nếu sử dụng cách làm đó thì rất khó để chúng ta có thể cải thiện thêm cho Định lý D. Đồng thời, trong tất cả các kết quả về vấn đề duy nhất nêu trên của các ánh xạ phân hình vào Pn (C) với bội bị chặn thì bắt buộc đều phải có điều kiện dimf −1 (Hi ∩ Hj ) 6 m − 2 , với mọi 1 ≤ i < j ≤ q . Nói cách khác, các tác giả trên chỉ xét được trường hợp tốt nhất khi d = 1. Đây là một điều kiện không được 12 tự nhiên, rất khó để kiểm tra và nó đóng vai trò then chốt trong chứng minh của các tác giả trên. Đến năm 2011, S. Đ. Quang [20] đã chứng minh lại và cải thiện kết quả của Chen - Yan bằng một phương pháp khác đơn giản hơn rất nhiều. Cụ thể, trong [20] tác giả đã đưa ra một hàm khác thay cho việc sử dụng hàm phụ trợ Cartan, điều đó đã giúp cho tất cả các đánh giá về hàm đếm và hàm đặc trưng trở lên đơn giản và ngắn gọn. Lấy ý tưởng từ chứng minh của Quang trong [20], chúng tôi đặt vấn đề đầu tiên được nghiên cứu trong luận án đó là chỉ ra định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) trong trường hợp số d tùy ý. Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau. Định lý 1. Nếu q = (n + 1)d + n + 2 thì ♯ G(f, {Hj }qj=1, d, 1) = 1. Theo một cách đặt vấn đề khác, năm 2008, B. K. Trình, S. Đ. Quang và T. V. Tấn [35] quan tâm đến trường hợp các hàm phân hình chỉ trùng nhau trên ảnh ngược của n + 1 siêu phẳng và họ đã đưa ra một định lý duy nhất với tập đồng nhất của hai ánh xạ phân hình f và g trong điều kiện (b) nhỏ hơn. Tiếp tục ý tưởng trên của chúng tôi, chúng tôi đã mở rộng các kết quả trong [35] của ba tác giả trên như sau. Định lý 2. Cho f, g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm vào Pn (C). Cho số nguyên dương d (1 ≤ d ≤ n) và cho {Hj }qj=1 (q = 2nd + n + 2) là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn (C) sao cho dim d+1 \ j=1 f −1 (Hij ) ≤ m − 2 (1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ n + 1). Giả sử f và g là không suy biến tuyến tính trên Rf và (a) min{ν(f,Hj ) , n} = min{ν(g,Hj ) , n}, (n + 2 ≤ j ≤ q)
Sn+1 −1 (Hj ) ∩ g −1 (Hj ) . (b) f = g trên j=1 f Khi đó, f = g. Trong đó, Rf là trường các hàm phân hình “nhỏ” (so với f ) trên Cm . II. Tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động. Năm 1991, W. Stoll -M. Ru [22] và M. Shirosaki [27] đã chứng minh được Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp các mục tiêu di động với hàm đếm không được chặn bội. Định lý cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động với hàm đếm được chặn bội có lẽ được đưa ra đầu tiên bởi M. Ru cho trường hợp một biến phức và các đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính vào năm 2000 (kết quả này sau đó được Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [30] chứng minh lại cho trường hợp nhiều biến vào năm 2005). Đến năm 13 2004 thì M. Ru và J. Wang [25] đã đưa ra định lý cơ bản thứ hai với hàm đếm được chặn bội cho trường hợp ánh xạ có thể suy biến tuyến tính. Sau đó năm 2008, Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [32] đã cải tiến kết quả của Ru-Wang bằng cách đưa ra đánh giá tốt hơn cho hàm đặc trưng. Năm 2016, S. Đ. Quang [21] đã tổng quát và cải tiến tất cả các kết quả trước đó về Định lý cơ bản thứ hai với hàm đếm được chặn bội cho mục tiêu di động. Áp dụng các kết quả này, có nhiều tác giả đã quan tâm và nghiên cứu về vấn đề duy nhất và hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với các siêu phẳng di động một cách mạnh mẽ. Trước hết, chúng tôi điểm lại một số kết quả tốt nhất cho đến nay cho hướng nghiên cứu này. Cho f là ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C). Cho k, d (1 ≤ d ≤ n) là các số nguyên dương và cho {aj }qj=1 là các siêu phẳng di động “chậm” (so với f ) ở vị trí tổng quát trong Pn (C) thỏa mãn dim( d+1 \ j=1
Zero(f, aij ) ≤ m − 2 (1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q). Ở đây, ta hiểu một siêu phẳng di động là một ánh xạ phân hình a : Cm −→ Pn (C)∗ , và siêu phẳng a được nói là di động chậm so với ánh xạ f nếu || Ta (r) = o(Tf (r)) khi r −→ +∞. Gọi R({ai }qi=1 ) là trường con nhỏ nhất của trường các hàm phân hình trên Cm chứa aij C và tất cả , với ail 6≡ 0. Giả sử f không suy biến tuyến tính trên R({ai }qi=1 ). Ta kí ail hiệu F (f, {ai }qi=1 , d, k) là tập tất cả các ánh xạ phân hình g : Cm → Pn (C) không suy biến tuyến tính trên R({ai }qi=1 ), thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) min (ν(f,ai ) , k) = min (ν(g,ai ) , k) (1 ≤ i ≤ q), S (ii) f (z) = g(z) trên qi=1 zero(f, ai ). Năm 2002, Z.H. Tu [36] đã chứng minh được kết quả sau: Định lý E. Nếu q = 3n + 2, thì ♯ F (f, {ai }qi=1 , 1, ∞) = 1. Năm 2005, bằng việc thiết lập được Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp mục tiêu di động với hàm đếm được chặn bội n, các tác giả Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [30] đã chứng minh được định lý duy nhất sau: (3n + 1)(n + 2) Định lý F. Nếu n > 2, q > thì ♯ F (f, {ai }qi=1 , 1, 2) ≤ 2. 2 Độc lập với các tác giả trên, năm 2006 Z. Chen và M. Ru [5] đã chứng minh được kết quả sau: Định lý G. Nếu q > 2n(n + 2), thì ♯ F (f, {ai }qi=1 , 1, 2) ≤ 2. 14 Gần đây, năm 2008, T. V. Tấn và B. K. Trình [29] đã chứng minh được rằng. Định lý H. Cho n, q là các số nguyên dương và n ≥ 2. Giả sử tồn tại số nguyên dương t < n sao cho 2q + t − 2 3(t + 3) >3+ n(n + 2) q − 3n Khi đó, ♯F (f, {ai }qi=1 , 1, 1) ≤ 2.   3n q−1 . − 2(n − t) (n − t)(n + 2) Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng trong các định lý (E-H) ở trên, các tác giả luôn luôn giả sử điều kiện dim{z ∈ Cm : (f, ai )(z) = (f, aj )(z) = 0} ≤ m−2 (1 ≤ i < j ≤ q), tức là d = 1 (**) thỏa mãn và điều kiện này đóng vai trò thiết yếu trong các chứng minh của họ. Do vậy, một câu hỏi tự nhiên được đặt ra ở đây là: Liệu có hay không định lý về vấn đề duy nhất và hữu hạn khi điều kiện (**) được bỏ đi hoặc được thay thế bằng điều kiện khác tổng quát hơn? Vấn đề thứ hai trong luận án là trả lời câu hỏi trên. Cụ thể, chúng tôi tổng quát các định lý E-H tới trường hợp bội bị chặn bởi 1 (tức là không đếm bội), điều kiện d = 1 được thay thế bởi điều kiện d > 1. Chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau. (3n2 + 5n + 3)d Định lý 3. Nếu n ≥ 2, q ≥ thì ♯F (f, {ai }qi=1 , d, 1) ≤ 2. 2 Hơn nữa, gần đây nhiều tác giả đã đưa ra định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng khác nhau. Từ đó mở ra một hướng tiếp cận vấn đề duy nhất mới so với trước đây. Điển hình, chúng ta có thể kể đến các kết quả của G. Dethloff , S.Đ. Quang và T.V. Tấn [7] vào năm 2010, T.B. Cao và H.X. Yi [4] vào năm 2011, hay của Z. Wang và Z.H. Tu [39] vào năm 2013. Kết hợp ý tưởng trên của chúng tôi về việc tổng quát điều kiện (**) và cách đặt vấn đề của các tác giả trên, chúng tôi sẽ đưa ra các định lý kiểu hữu hạn cho các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với các họ siêu phẳng khác nhau. Hơn nữa, trong một số kết quả của chúng tôi, các nghịch ảnh với bội lớn hơn một hằng số nào đó có thể không cần được xét đến. Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh ba định lý sau: Định lý 4. Cho f 1 , f 2, f 3 : Cm → Pn (C) là ba ánh xạ phân hình phân biệt. Cho {ati }qi=1 (t = 1, 2, 3) là ba họ siêu phẳng di động trong Pn (C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t ). Giả sử f 1 không suy biến tuyến tính trên R{ati } và (a) dim ( Td+1 j=1 Zero(f 1, a1ij )) ≤ m − 2 , ∀1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q, (b) Zero(f t , ati ) = Zero(f 1 , a1i ) , (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), (c) S (f t , e atv ) (f 1 , e a1v ) = trên qi=1 Zero(f 1, a1i ), với 1 ≤ v, j ≤ q. t 1 t 1 (f , e aj ) (f , e aj ) 15 (3n2 + 5n + 3)d thì tồn tại hai chỉ số phân biệt t, l ∈ {1, 2, 3} và ma trận 2 L ∈ GL(n + 1, R{aki }) sao cho L(f t ) = f l và L(ãti ) = ãli , với mọi i = 1, . . . , q. Nếu q ≥ Định lý 5. Cho f 1 , f 2 : Cm → Pn (C) là hai ánh xạ phân hình. Cho ki (1 ≤ i ≤ q) là các số nguyên dương hoặc +∞. Cho {ati }qi=1 (t = 1, 2) là hai họ siêu phẳng di động trong Pn (C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t ) và dim {z ∈ Cm : ν(f t ,ati ),≤ki .ν(f t ,atj ),≤kj > 0} ≤ m − 2 (1 ≤ i < j ≤ q, t = 1, 2). Giả sử: (a) min{ν(f 2 ,ea2i ),≤ki (z), 1} = min{ν(f 1 ,ea1i ),≤ki (z), 1} (1 ≤ i ≤ q), ∀z ∈ Cm , (f 1 , e a1j ) Sq (f 1 , e a1i ) m (b) = trên v=1 Supp {z ∈ C : ν(f 1 ,a1v ),≤kv (z)}, với 1 ≤ i < j ≤ q. (f 2 , e a2i ) (f 2 , e a2j ) v6=i,j Pq 1 Nếu q > 3n + n + 2 và i=1 < ki + 1 số 1 ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 ≤ q để 2  2q 2q − 3n(n + 1) q + 2n − 2  thì tồn tại n + 1 chỉ (f 1 , e a1in+1 ) (f 1 , e a1i1 ) = · · · = . (f 2 , e a2i1 ) (f 2 , e a2in+1 ) Định lý 6. Cho f 1 , f 2 , f 3 : Cm → Pn (C) là ba ánh xạ phân hình. Cho ki (1 ≤ i ≤ q) là các số nguyên dương hoặc +∞. Cho {ati }qi=1 (t = 1, 2, 3) là ba họ siêu phẳng di động trong Pn (C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t ) và dim {z ∈ Cm : ν(f t ,ati ),≤ki .ν(f t ,atj ),≤kj > 0} ≤ m − 2 (1 ≤ i < j ≤ q, 1 ≤ t ≤ 3). Giả sử: (a) min{ν(f t ,eati ),≤ki (z), 1} = min{ν(f 1 ,ea1i ),≤ki (z), 1} (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), ∀z ∈ Cm , (f 1 , e a1j ) Sq (f 1 , e a1i ) m = trên (b) v=1 Supp {z ∈ C t t t t (f , e ai ) (f , e aj ) v6=i,j t = 2, 3.  Pq 1 q − 3n + 2 4q − 10n + 2 Nếu < + i=1 ki + 1 2q − 5n + 10 3n(n + 1) f s , f t (1 ≤ s < t ≤ 3) và n + 1 chỉ số 1 ≤ (f s , e a1in+1 ) (f s , e a1i1 ) = · · · = . (f t , e a2i1 ) (f t , e a2in+1 ) : ν(f 1 ,a1v ),≤kv (z)}, 1 ≤ i < j ≤ q,  4n − 2 − 3 thì có hai ánh xạ n(n + 2) i1 < i2 < · · · < in+1 ≤ q để III. Tính thác triển được của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh. Năm 2003, các tác giả Đ. Đ. Thái, P. Đ. Hương, P. N. T. Trang [33] đã đưa ra một tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến vào không gian phức. Bằng việc kết hợp giữa tiêu chuẩn của các tác giả trên và Định lý cơ bản thứ 16 hai trong lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh, nhiều tác giả đã đưa ra các tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ ánh xạ chỉnh hình dưới điều kiện về ảnh ngược của họ các siêu phẳng, như: S. Đ. Quang và T. V. Tấn [19], Z. H. Tu và P. Li [38], và nhiều tác giả khác. Như chúng ta đã biết rằng, có một mối liên hệ giữa tính chuẩn tắc của họ ánh xạ chỉnh hình với tính chuẩn tắc của một ánh xạ chỉnh hình, và mối liên hệ giữa tính tính chuẩn tắc của ánh xạ chỉnh hình với tính thác triển được của các ánh xạ đó. Sử dụng các tiêu chuẩn chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh cùng với các mối liên hệ trên, nhiều tác giả đã thiết lập một số tiêu chuẩn cho tính thác triển được của ánh xạ thông qua điều kiện về ảnh ngược của họ các siêu phẳng. Trước hết, chúng tôi điểm qua một số kết quả. Năm 1879, Picard đã chứng minh hai định lý sau cho hàm phân hình: Định lý I (Định lý Picard nhỏ). Cho f (z) là hàm phân hình trên C . Nếu tồn tại 3 điểm phân biệt w1 , w2 và w3 trên hình cầu Riemann sao cho f (z) − wi (i = 1, 2, 3) không có không điểm trên C thì f là hằng. Định lý J (Định lý Picard lớn). Cho f (z) là hàm phân hình trên ∆∗ = {z ∈ C : 1 ≤ |z| < +∞}. Nếu tồn tại 3 điểm phân biệt w1 , w2 và w3 trên hình cầu Riemann sao cho f (z) − wi (i = 1, 2, 3) không có không điểm trên ∆∗ , thì f không có kỳ dị tại ∞. Năm 1972, H. Fujimoto [8] đã phát triển Định lý J với số chiều cao hơn. Năm 2006, Z.H. Tu [37] đã tổng quát Định lý Picard lớn cho các siêu phẳng di động như sau. Định lý K. Cho S là tập con giải tích của miền D trong Cm với đối chiều 1 (các thành phần kỳ dị của S là giao chuẩn tắc). Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào Pn (C). Cho a1 (z), · · · , aq (z) (z ∈ D) là q (q ≥ 2n + 1) siêu phẳng di động trong Pn (C) ở vị trí tổng quát sao cho f (z) giao với aj (z) trên D \ S với bội ít nhất bằng mj (j = 1, · · · , q), ở đó m1 , · · · , mq là các số nguyên dương hoặc +∞ thỏa mãn q X 1 q − (n + 1) < . m n j j=1 Khi đó, ánh xạ chỉnh hình f từ D \ S vào Pn (C) thác triển thành ánh xạ chỉnh hình từ D vào Pn (C). Gần đây, năm 2010, N. T. T Hằng và T. V. Tấn [13] cũng đã tổng quát định lý Picard lớn cho siêu mặt di động. Tuy nhiên, chúng tôi lưu ý rằng, trong tất cả các kết quả trên thì số siêu phẳng (cố định hoặc di động) q luôn cần được giả sử là lớn hơn hoặc bằng 2n + 1 bởi lẽ các tác giả này chứng minh định lý thác triển thông qua con đường chứng minh ánh xạ chỉnh 17 hình f từ D \ S vào Pn (C) là chuẩn tắc. Nói cách khác, các tác giả này đã sử dụng tính hyperbolic của phần bù của giao của một số siêu phẳng trong hợp của các siêu phẳng còn lại trong họ 2n + 1 siêu phẳng (hoặc siêu mặt) ở vị trí tổng quát trong Pn (C) để chứng minh định lý thác triển. Do đó, cách chứng minh này sẽ không thể sử dụng được khi số siêu phẳng q < 2n + 1 vì khi đó phần bù này không là hyperbolic. Để vượt qua được khó khăn này chúng tôi phải đánh giá trực tiếp độ tăng của hàm đặc trưng tại các điểm khảo sát và định lý thác triển của Noguchi [16]. Trong Chương 4 của luận án, chúng tôi sẽ chứng minh định lý thác triển tương tự Định lý K trong trường hợp số siêu phẳng di động nhỏ hơn 2n + 1. Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh hai định lý sau: Định lý 7. Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D\S vào Pn (C) (ở đó, D là một miền trong Cm và S là tập con giải tích mỏng có đối chiều 1 của D). Cho a1 , ..., an+2 là các siêu phẳng di động trong Pn (C) trên D, ở vị trí tổng quát, sao cho f không suy biến tuyến tính trên R{ai }. Giả sử f giao với mỗi ai trên D\S với bội ít nhất bằng mi , với m1 , ..., mn+2 là các số nguyên dương cố định hoặc có thể bằng +∞ thỏa mãn n+2 X 1 1 < . mi n i=1 Khi đó, f thác triển được thành ánh xạ phân hình fe từ D vào Pn (C). Định lý 8. Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào Pn (C), với D là miền trong Cm và S là tập con giải tích có đối chiều 1 của D với giao chuẩn tắc. Cho N là số nguyên dương. Cho A = {a0 , ..., aq−1 } là tập của q (q ≥ 2N + 1) siêu phẳng di động trên D của Pn (C) ở vị trí N-dưới tổng quát tương ứng với f . Giả sử f giao với mỗi ai trên D \ S với bội lớn hơn hoặc bằng mi , ở đó m0 , · · · , mq−1 là các số nguyên dương cố định hoặc có thể bằng +∞ thỏa mãn q−1 X q − 2N − 1 1 < + 1. mi Lf i=0 Khi đó, f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f˜ từ D vào Pn (C). Ở đó, Lf là số chiều của không gian con tuyến tính nhỏ nhất của Pn (C) chứa f (D \ S). Chương 2 Tính duy nhất của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định Như đã trình bày trong phần mở đầu. mục đích của chương 1 là chỉ ra định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với điều kiện d+1  \ −1 dim f (Hij ) ≤ m − 2 (1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q) (2.1) j=1 Định lý của Chen và Yan [6] là một trong những kết quả tốt nhất cho đến nay theo hướng này. Các tác giả sử dụng kỹ thuật chia lớp các siêu phẳng được đưa ra trong [31], tiến hành đếm từ bội 1 đến bội n − 1 của hàm (f, Hi ) và sau đó đánh giá hàm đếm của hàm phụ trợ Cartan trên từng lớp. Cách làm này rất phức tạp. Hơn nữa, tác giả mới chỉ chứng minh định lý duy nhất với điều kiện d = 1. Trong cách chứng minh của chúng tôi, chúng tôi sử dụng kiểu hàm phụ trợ khác kiểu của Cartan và do đó có thể đếm các bội tùy ý của các hàm (f, Hi ), từ đó chúng tôi đánh giá bội của hàm phụ trợ dựa vào bội của các hàm (f, Hi ), (g, Hi). Do vậy, chúng tôi không chỉ tổng quát được điều kiện về số chiều của giao các nghịch ảnh mà còn đưa ra cánh chứng minh khác đơn giản hơn so với Chen-Yan và các tác giả trước đó. Chương 2 gồm hai mục. Mục thứ nhất được dành để trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho toàn bộ luận án. Mục thứ hai nhằm trình bày các bổ đề và chứng minh định lý chính. Chương 2 được viết dựa trên bài báo [1] (trong mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án). 18 19 2.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ Trong mục này, chúng ta nhắc lại khái niệm các hàm đếm của một divisor, hàm đặc trưng của một ánh xạ phân hình và hàm xấp xỉ của một hàm phân hình. Từ đó trình bày lại hai định lý quan trọng của Lý thuyết Nevanlinna là Định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai. Giả sử F là hàm chỉnh hình không đồng nhất bằng không trên miền Ω trong Cm . Với mỗi bộ chỉ số α = (α1 , ..., αm ) các số nguyên không âm, ta đặt |α| = α1 + ... + αm ∂ |α| F α . và D F = α1 αm ∂z1 ...∂zm Xét ánh xạ νF : Ω → Z xác định bởi νF (z) := max {n : D α F (z) = 0 ,với mọi α thoả mãn |α| < n}, z ∈ Ω. Định nghĩa 2.1.1. Một divisor trên miền Ω trong Cm là một ánh xạ ν : Ω → Z thoả mãn với mỗi a ∈ Ω, tồn tại các hàm chỉnh hình khác không F và G xác định trên một lân cận mở liên thông U ⊂ Ω của a sao cho ν(z) = νF (z) − νG (z) với mỗi z ∈ U, bên ngoài một tập con giải tích có chiều 6 m − 2. Hai divisor được xem là giống nhau nếu chúng đồng nhất với nhau bên ngoài một tập giải tích có chiều 6 m − 2. Với mỗi divisor ν trên Ω, ta đặt |ν| := {z : ν(z) 6= 0}. Khi đó, |ν| là một tập con giải tích có chiều thuần tuý (m − 1) của Ω hoặc là một tập rỗng. Giả sử ϕ là hàm phân hình khác không trên miền Ω trong Cm . Với mỗi a ∈ Ω, chúng ta chọn các hàm chỉnh hình khác không F và G xác định trên một lân cận U ⊂ Ω của F a sao cho ϕ = trên U và dim(F −1 (0) ∩ G−1 (0)) 6 m − 2. Khi đó, chúng ta định G nghĩa divisor νϕ , νϕ∞ bởi νϕ (z) := νF (z), νϕ∞ (z) := νG (z), với mọi z ∈ U. Dễ thấy khái niệm trên không phụ thuộc vào việc chọn các hàm F và G. Do vậy, hàm νϕ hoàn toàn được xác định trên toàn bộ Ω. Giả sử ν là một divisor trong Cm và k, M là các số nguyên dương hoặc M = +∞. Đặt ν [M ] (z) = min{M, ν(z)},  0 nếu ν(z) > k [M ] ν≤k (z) = ν [M ] (z) nếu ν(z) ≤ k, 20  0 [M ] ν>k (z) = ν [M ] (z) nếu ν(z) ≤ k nếu ν(z) > k, Định nghĩa 2.1.2 (Hàm đếm của divisor). Cho ν là một divisor trên Cm . Hàm đếm của ν được định nghĩa như sau: Zr N(r, ν) = n(t, ν) dt, t2m−1 1 R  ν(z)υm−1   B(t) ở đó, n(t, ν) = P   ν(z)  nếu m ≥ 2, nếu m = 1. |z|≤t Cho k, M là các số nguyên dương (M có thể bằng +∞) thì ta định nghĩa: N [M ] (r, ν) = [M ] [M ] [M ] [M ] N(r, ν [M ] ), N>k (r, ν) = N [M ] (r, ν>k ) và N≤k (r, ν) = N [M ] (r, ν≤k ). [M ] Giả sử ϕ là hàm phân hình khác không trên Cm , ta đặt Nϕ (r) := N [M ] (r, νϕ ), [M ] [M ] [M ] [M ] Nϕ,≤k (r) := N≤k (r, νϕ ) và Nϕ,>k (r) := N>k (r, νϕ ). Để cho thuận tiện, chúng ta sẽ bỏ kí hiệu [M ] (tương tự ≤k ) trong các hàm đếm và trong các divisor nếu M = +∞ (nếu k = +∞). Trong Pn (C), ta cố định một hệ tọa độ thuần nhất (w0 : · · · : wn ). Giả sử f : Cm −→ Pn (C) là ánh xạ phân hình có biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn ),
tức là các fi là những hàm chỉnh hình trên Cm thỏa mãn f (z) = f0 (z) : · · · : fn (z) bên ngoài tập giải tích I(f ) = {z ∈ Cm : f0 (z) = · · · = fn (z) = 0} có đối chiều > 2.
1/2 Đặt kf k = |f0 |2 + · · · + |fn |2 . Định nghĩa 2.1.3 (Hàm đặc trưng). Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi: Z Z Tf (r) = log kf kσ − log kf kσ, 1 ≤ r < +∞. S(r) S(1) Cho H là siêu phẳng trong Pn (C) cho bởi H = {a0 ω0 + ... + an ωn = 0}, ở đó P (a0 , ..., an ) 6= (0, ..., 0). Đặt (f, H) = ni=0 ai fi . Khi đó, ta chú ý rằng divisor không điểm ν(f,H) không phụ thuộc vào cách chọn biểu diễn rút gọn của f và biểu diễn của H. Thực tế, ν(f,H) chính là divisor kéo lùi f ∗ H của H bởi f . Ta định nghĩa hàm xấp xỉ của f tương ứng với H như sau. Định nghĩa 2.1.4 (hàm xấp xỉ của ánh xạ phân hình tương ứng với siêu phẳng). Z Z ||f || · ||H|| ||f || · ||H|| mf,H (r) = log σ− log σ, |(f, H)| |(f, H)| S(r) S(1)