Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Luận văn cấu trúc cực biên của tập lồi...

Tài liệu Luận văn cấu trúc cực biên của tập lồi

.PDF
52
532
103

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN GIÁP THỊ LĨNH CẤU TRÚC CỰC BIÊN CỦA TẬP LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Hình học và tô pô Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN GIÁP THỊ LĨNH CẤU TRÚC CỰC BIÊN CỦA TẬP LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Hình học và tô pô Mã số: 60.46.01.05 Cán bộ hướng dẫn: TS. Phạm Hoàng Hà Hà Nội - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan bản luận văn này là kết quả làm việc của tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Phạm Hoàng Hà. Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong bản luận văn này là trung thực. Kết quả của luận văn không trùng với bất cứ các công trình đã được công bố. Tôi chịu trách nhiệm về lời cam đoan của mình. Hà Nội, ngày 01 tháng 03 năm 2017 Học viên Giáp Thị Lĩnh LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Hoàng Hà người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, và gửi lời kính chúc sức khỏe đến toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Tin, trường Đại học sư phạm Hà Nội − đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, ngày 01 tháng 03 năm 2017 Học viên Giáp Thị Lĩnh 4 Mục lục 1 2 Kiến thức chung 8 1.1 Đa tạp affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Phép toán trên các tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Tiêu chuẩn cho tính lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Sự phân tách và siêu phẳng tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Cấu trúc cực biên của tập lồi 22 2.1 Mặt cực biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.2 Mặt cực biên sinh bởi một tập . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3 Mặt cực biên và tính chất đại số của tập lồi . . . . . . . . . 31 Phép biểu diễn theo cực biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Tập lồi compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2 Tập lồi đóng không chứa đường . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Các tập lồi đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.4 Các tập r- cực biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 Tài liệu tham khảo 52 5 LỜI MỞ ĐẦU HÌnh học nghiên cứu các tính chất của các tập lồi (hình học lồi) là một phần quan trọng của toán học nói chung và hình học nói riêng. Hình học lồi tập trung nghiên cứu về tính chất đại số, tô- pô, tổ hợp,... của các tập lồi trong không gian Euclide, không gian vecto và các không gian trừu tượng khác. Về mặt lý thuyết, hình học lồi có nhiều vai trò quan trọng cho các ngành Toán khác nhau như: giải tích lồi, lý thuyết tối ưu, hình học tổ hợp, hình học đại số,... Về mặt ứng dụng, các cấu trúc lồi của các đối tượng hình học tồn tại trong nhiều bài toán thực tế, chẳng hạn như các bài toán về vận tải, các bài toán tối ưu. Đặc biệt hơn là các đối tượng hình học trong chương trình toán phổ thông hiện hành đều là các tập lồi như các đa giác lồi, hình tròn trong mặt phẳng Euclide và các khối chóp, khối lăng trụ, khối cầu trong không gian Euclide. Với mục đích tìm hiểu sâu sắc hơn về tập lồi, tôi chọn đề tài: " Cấu trúc cực biên của tập lồi". Nghiên cứu cấu trúc cực biên của các tập lồi giúp ta hiểu rõ và sâu sắc hơn các bài toán hình học trong chương trình toán học phổ thông cũng như các bài toán ứng dụng của tập lồi trong lý thuyết tối ưu, giải tích lồi,...trong chương trình toán đại học, cao học cũng như các bài toán kinh tế trong đời sống. Trong đó, luận văn tập trung nghiên cứu về " Cấu trúc cực biên của tập lồi". Nội dung chính của luận văn bao gồm: Chương 1: Kiến thức chung. Trong chương này, tôi trình bày những kiến thức cơ sở về tập lồi, bao lồi, tiêu chuẩn cho tính lồi, chiều và tô pô của tập lồi. Đồng thời, trình bày khái quát các định lý phân tách và một số tính chất ban đầu của các định lý phân tách. Chương 2: Cấu trúc cực biên của tập lồi. Trong chương này, tôi trình bày chi tiết định nghĩa, các tính chất cơ bản của điểm cực biên; mặt cực biên và các tính chất đại số của tập lồi và phép biểu diễn mặt cực biên. Đồng thời trình bày các định lý cũng như các quả về mặt cực biên và 6 phép biểu diễn cực biên. Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện luận văn không nhiều nên trong luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo cũng như các anh chị nghiên cứu sinh, các anh chị và các bạn học viên. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 03 năm 2017 Học viên Giáp Thị Lĩnh 7 Chương 1 Kiến thức chung Trong chương này, tác giả trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về hình học lồi. 1.1. Đa tạp affine Cho X là một không gian vecto trong không gian Rn , ta kí hiệu L( x, y), [ x, y], ( x, y) lần lượt là đường thẳng đi qua x và y; đoạn thẳng và đoạn thẳng mở nối hai điểm x và y. Nghĩa là L( x, y) = {λx + (1 − λy) | λ ∈ R} . (1.1.1) [ x, y] = {λx + (1 − λy) | λ ∈ [0, 1]} . (1.1.2) ( x, y) = {λx + (1 − λy) | λ ∈ (0, 1)} . (1.1.3) Định nghĩa 1.1.1. Một tập M ⊂ X được gọi là một đa tạp affine hay tập affine nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ M, ta có L[ x, y] ⊂ M. Định nghĩa 1.1.2. Một tổ hợp affine của các điểm a1 , ..., am trong Rn là một tổ hợp tuyến tính λ1 a1 + ... + λm am , trong đó λi ∈ R : m ∑ λi = 1. i =1 8 Định nghĩa 1.1.3. Một tập ∅ 6= L ⊂ Rn được gọi là một mặt phẳng nếu nó là một phép tịnh tiến của một không gian con L = a + S = { a + x | x ∈ S }, trong đó a ∈ R, S ⊂ Rn . Một tập ∅ cũng được định nghĩa là một mặt phẳng. Một mặt phẳng L ⊂ Rn được gọi là một mặt phẳng thực sự nếu ∅ 6= L 6= Rn . Định nghĩa 1.1.4. Mỗi một tập X ∈ Rn , giao của tất cả các mặt phẳng chứa X được gọi là một tổ hợp affine của X, kí hiệu là a f f X. Ví dụ 1.1.5. •Tổ hợp affine của x ∈ Rn là x. •Tổ hợp affine của hai điểm x, y ∈ Rn là đường thẳng L( x, y). Từ các định nghĩa trên ta suy ra một số tính chất cơ bản sau: Tính chất 1. Giao của một họ bất kì các đa tạp affine là đa tạp affine. Nếu M ⊂ X là một tập con bất kì của X. Ta gọi bao affine của M, kí hiệu là 9 A f f M, là giao của tất cả các đa tạp affine chứa M. Và A f f M là đa tạp affine nhỏ nhất chứa M. Tính chất 2.  A f f M = x | x là tổ hợp affine của các vecto ∈ M . Tính chất 3. M là một đa tạp affine khi và chỉ khi M = A f f M, nghĩa là ) ( M= m m i =1 i =1 ∑ λi | m ∈ N, ai ∈ M, λi ∈ R : ∑ λi = 1 . (1.1.4) Tính chất 4. M là một đa tạp affine khi và chỉ khi ∀m ∈ M, ta có M − m 6 X, nghĩa là M = m + V, với V là một không gian con của X. Khi đó, ta gọi chiều và đối chiều của M cũng là chiều và đối chiều của V, tức là  dimM = dimV codimM = codimV. Nếu codimM = 1, ta nói M là một siêu phẳng hay M là một siêu phẳng nếu dimM = n − 1. Định nghĩa 1.1.6. Nếu Y là một không gian vecto, kí hiệu L( X, Y ) là không gian các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y. Nếu Y = R, ta đặt X TT = L( X, R) là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X. 1.2. Tập lồi Định nghĩa 1.2.1. Một tập ∅ 6= L ⊂ Rn được gọi là lồi nếu ∀ x, y ∈ X thì ( x, y) ⊂ X. Tập ∅ cũng là một tập lồi. 10 Hình 1.1: Hình ảnh về tập lồi (bên trái) và tập không lồi (bên phải). Ví dụ 1.2.2. Với mọi hình cầu đóng Bρ (c) ⊂ Rn là một tập lồi. Thật vậy, với mọi x, y ∈ Bρ (c) và mọi vô hướng λ ∈ [0, 1], ta có k((1 − λ) x + λy) − ck = k(1 − λ)( x − c) + λ(y − c)k ≤ (1 − λ)k x − ck + λky − ck (1.2.1) ≤ (1 − λ)ρ + λρ = ρ. Do đó (1 − λ) x + λy ∈ Bρ (c), từ đó Bρ (c) là lồi. Định lý 1.2.3. Nếu F = Kα là một họ các tập lồi trong Rn . Khi đó i, M = T α Kα là một tập lồi; ii, Nếu họ F lồng nhau thì N = S α Kα là một tập lồi. 1.2.1. Phép toán trên các tập lồi Định nghĩa 1.2.4. Một tổ hợp lồi của các điểm x1 , ..., xm trong Rn là một tổ hợp tuyến tính m λ1 x1 + ... + λm xm , trong đó λi ≥ 0 và ∑ λi = 1. i =1 Ví dụ 1.2.5. Mọi tổ hợp lồi của hai điểm x và y trong không gian Rn là đường thẳng [ x, y]. 11 Định lý 1.2.6. Nếu K1 , ..., Km là các tập lồi trong không gian Rn và µ1 , ..., µm là các m vô hướng trong R, thế thì ∑ µi Ki cũng là một tập lồi. i =1 Mệnh đề 1.2.7. Giả sử X là một không gian affine Euclide, A là một tập con trong X và e > 0 là một số thực. Đặt d( x, A) = inf{d( x, y) | y ∈ A}. Ta kí hiệu U ( A, e) = { x ∈ X | d( x, A) < e} , B( A, e) = { x ∈ X | d( x, A) ≥ e}. Khi đó U ( A, e) = A + U (0, e). Hơn nữa, nếu A là tập compact thì B( A, e) = A + B(0, e). Định nghĩa 1.2.8. Giả sử X là không gian affine Euclide, A là tập con trong X và x ∈ X. Đặt diam( A) = sup{d( x, y) | x, y ∈ A}. Ta gọi diam( A) là đường kính của tập hợp A. 1.2.2. Tiêu chuẩn cho tính lồi Định nghĩa 1.2.9. Một điểm c ∈ Rn được gọi là điểm trong tương đối của một tập X ⊂ Rn nếu tồn tại số dương ρ > 0 sao cho Bρ (c) ∩ a f f X ⊂ X. Tập tất cả các điểm trong tương đối của X được gọi là phần trong tương đối của X, kí hiệu là rintX. Ta đặt rint∅ = ∅. Một tập X ⊂ Rn được gọi là mở tương đối nếu rintX = X. Ví dụ 1.2.10. Phần trong tương đối của mặt phẳng L ⊂ Rn là L. Nói riêng, rintc = c, ∀c ∈ Rn . Định lý 1.2.11. Nếu K ⊂ Rn là một tập lồi khác rỗng, x ∈ rintK, y ∈ K, thế thì (1 − λ) x + λy ∈ rintK, ∀0 < λ < 1. Do đó (x, y) nằm trong rintK. 12 Chứng minh Trường hợp x = y là tầm thường. Giả sử x 6= y. Đặt z = (1 − λ) x + λy, ∀λ ∈ (0, 1). Chọn ρ > 0 sao cho Bρ ( x ) ∩ a f f K ⊂ K. Ta đi chứng minh B(1−λ)ρ (z) ∩ a f f K ⊂ K. Thật vậy, đặt u ∈ B(1−λ)ρ (z) ∩ a f f K. Đặt v = λ 1 u− y sao cho u = 1−λ 1−λ (1 − λ)v + λy. Khi đó v ∈ a f f K. 1 λ Từ x = z− y, ta có 1−λ 1−λ k x − vk = 1 1 ku − zk ≤ ρ = ρ. 1−λ 1−λ Do đó v ∈ Bρ ( x ) ∩ a f f K ⊂ K và u = (1 − λ)v + λy ∈ K do K là tập lồi. Từ đó B(1−λ)ρ (z) ∩ a f f K ⊂ K. Vậy z ∈ rintK.  Hệ quả 1.2.12. Nếu K ∈ Rn là một tập lồi thì rintK cũng là một tập lồi. Mệnh đề 1.2.13. Giả sử M là một tập con lồi trong không gian affine Euclide X và x ∈ X. Khi đó tồn tại nhiều nhất một điểm y ∈ M sao cho d( x, y) = d( x, M ). Chứng minh. • Trường hợp 1. d( x, M ) = 0. Nếu x ∈ M, ta có x ∈ M =⇒ d( x, y) = d( x, M) = 0 =⇒ x ≡ y. Nếu x ∈ M \ M ta suy ra d( x, y) = d( x, M) = 0, (vô lý). 13 Trường hợp 2. d( x, M ) > 0. Giả sử tồn tại y, z ∈ M, d( x, y) = d( x, M ) = y+x d( x, z). Khi đó tam giác xyz là tam giác cân tại đỉnh x. Chọn t = ∈ M. suy 2 ra • d( x, t) < d( x, y) = d( x, z) = d( x, M), (vô lý). Vậy không tồn tại quá một điểm y ∈ M sao cho d( x, M ) = d( x, y).  Định lý 1.2.14.(Định lý Motzkin) Giả sử M là tập con đóng khác rỗng của không gian affine Euclide X sao cho với mọi x ∈ X thì tồn tại một điểm duy nhất y ∈ M sao cho d( x, y) = d( x, M ). Khi đó M là tập lồi. Chứng minh. Giả sử M không lồi, suy ra tồn tại x, y ∈ M sao cho [ x, y] * M. x + x2 ,0 ∈ / Do M đóng nên tồn tại x1 , x2 ∈ M, ( x1 , x2 ) ∩ M = ∅. Giả sử 0 = 1 2 M, M đóng. Suy ra tồn tại ρ > 0 sao cho U (0, ρ) ∩ M = ∅. Xét họ {U (w, r )} thỏa mãn U (0, ρ) ∩ U (w, r ) và U (w, r ) ∩ M = ∅. Khi đó ta có (w, r ) ∈ X × R ∼ = Rn+1 . Bây giờ ta lưu ý rằng kwk = d(0, w) ≤ r − ρ 2 d2 (w, xi ) d2 ( x1 , x2 ) − = d2 (w, 0) 2 4 i =1 ∑ =⇒ r2 − k x1 k2 ≤ kwk2 (1.2.2) =⇒ r2 ≤ k x1 k2 + kwk2 =⇒ (kwk + ρ)2 ≤ r2 ≤ k x1 k2 + kwk2 s 2 2 k x k2 − ρ2 2 kx k − ρ ,r ≤ ( 1 ) + k x1 k2 . =⇒ kwk ≤ 1 2ρ 2ρ Vậy tập {(w, r )} bị chặn trong Rn+1 . Mà (wn , rn ) −→ (w, r ) nên (w, r ) thỏa mãn U (0, ρ) ⊂ U (w, r ) và U (w, r ) ∩ M = ∅. Suy ra {(w, r )} đóng và bị chặn trong Rn+1 . Từ đó {(w, r )} compact =⇒ tồn tại (w0 , r0 ) sao cho r0 là lớn nhất. Khi đó U (w0 , r0 ) ∩ M 6= ∅. 14 → → →z < 0, suy ra Giả sử U (w0 , r0 ) ∩ M = {z}. Ta chọn − u sao cho − u ·− w 0 → U ( w0 + e − u , r0 ) ∩ M = ∅, ∀e đủ bé. → Vì (w0 + e− u , r0 ) −→ (w0 , u0 ) khi e dần đến 0 nên tồn tại e đủ bé để → U ( w0 + e − u , r0 ) ⊃ U (0, ρ). Từ đó ta có → U ( w0 + e − u , r0 ) ⊃ U (0, ρ) → u , r0 ) ∩ M = ∅ : vô lý. và U (w0 + e− → → Từ đó lực lượng của U (w0 + e− u , r0 ) ∩ M ≥ 2. Khi đó tồn tại a, b ∈ U (w0 + e− u , r0 ) ∩ M sao cho d(w0 , s) = r0 = d(w0 , a) = d(w0 , b) : mâu thuẫn giả thiết. Vậy ta có điều phải chứng minh.  1.3. Bao lồi Định nghĩa 1.3.1. Cho X ⊂ Rn , giao của tất cả các tập lồi chứa X được gọi là bao lồi của X và kí hiệu là convX. 15 Bao lồi của bất kì tập X ⊂ Rn tồn tại và là tập lồi nhỏ nhất chứa X. Ngoài ra, conv∅ = ∅. Định lý 1.3.2: (Định lý Carathéodory) Đặt A ⊂ X là tập con của không gian affine X, dimX = n. Khi đó ta có n +1 n +1 convA = { ∑ λi xi : λi ≥ 0, xi ∈ A, ∑ λ i = 1}. (1.3.1) i =1 i =1 Chứng minh. Giả sử x ∈ convA =⇒ x = ∑i∈ I λi xi , λi = 0 hầu hết. Khi đó l tồn tại số tự nhiên l > 0 sao cho x có biểu diễn hữu hạn x = ∑ λi xi , trong đó i∈ I l λi ≥ 0, ∑ λi = 1. i =1 Nếu l ≤ n + 1 thì ta có điều phải chứng minh. Ta giả sử l > n + 1, l ≥ n + 2. Do dimX = n, ta bổ sung thêm cho các xi ∈ X thành phần thứ n + 1 là 1. Khi đó do l ≥ n + 1 nên tồn tại bộ số thực {αi }in=1 sao cho n ∑ αi = 0 l ∑ αi xi = 0. và i =1 i =1 Đặt θ = {t ∈ R | λi + tαi ≥ 0}. Ta thấy rằng 0 ∈ θ nên θ 6= ∅. Cũng do các l αi không đồng thời bằng 0 và ∑ αi = 0 nên tồn tại αk < 0, α j > 0. Khi đó ta có i =1 θ = [ a, b] với a, b ∈ R nào đó. Từ đó tồn tại chỉ số j sao cho λ j + aα j = 0. Bây giờ ta có  l l l    ( λ + tα ) x = (λi + tαi ) xi x = λ x = ∑ ∑ ∑ i i i i i    i = 1 i = 1 i 6 = j     l l l l l  ∑ (λi + tαi ) = ∑ (λi + tαi ) = ∑ xi + t ∑ λi = ∑ αi = 1    i =1 i =1 i =1 i =1 i 6= j       λi + tαi ≥ 0, ∀i 6= j. (1.3.2) Điều này có nghĩa là x biểu diễn lồi tuyến tính qua l − 1 điểm. Nếu l − 1 > n − 1 thì bằng các lập luận tương tự như trên ta có thể biểu diễn x qua l − 2 điểm. Cứ như vậy ta suy ra x có thể biểu diễn qua nhiều nhất n + 1 16 điểm. Từ đó có điều phải chứng minh.  Hệ quả 1.3.3. Cho tập A ⊂ X. Khi đó nếu A là một tập compact thì convA cũng là tập compact. Chứng minh. Đặt dimX = m. Xét ánh xạ f : X n +1 × R n +1 → X thỏa mãn n +1 f (( xi ), (λi )) = ∑ λi xi . i =1 Khi đó ta thấy f là một ánh xạ liên tục. Mặt khác, ta đặt n K = {(( xi ), (λi )) | xi ∈ A, λi ≥ 0, ∑ = 1.} i =1 Do A compact trong X nên suy ra K cũng là tập compact trong X n+1 × Rn+1 . Khi đó f (K ) là tập compact trong X. Mặt khác ta lại có n +1 n +1 i =1 i =1 f (K ) = { ∑ λi xi | xi ∈ A, λi ≥ 0, ∑ λi = 1} = convA. Vậy convA là tập compact.  1.4. Sự phân tách và siêu phẳng tựa Định nghĩa 1.4.1. Ta nói rằng siêu phẳng H ⊂ Rn phân tách hai tập khác rỗng X1 và X2 nếu X1 và X2 nằm về hai nửa không gian đóng đối nhau với bờ là H. Siêu phẳng H được gọi là phân tách thực sự hai tập X1 và X2 nếu X1 và X2 nằm về hai không gian mở đối nhau với bờ là H. Định lý 1.4.2. Trong không gian Rn , cho hai tập khác rỗng X1 ,X2 . Khi đó (1) X1 ,X2 bị phân tách bởi một siêu phẳng nếu và chỉ nếu tồn tại một vecto khác không c ∈ Rn sao cho sup{ x · c | x ∈ X1 } ≤ in f { x · c | x ∈ X2 }. 17 (1.4.1) (2) X1 ,X2 bị phân tách thực sự bởi một siêu phẳng nếu và chỉ nếu tồn tại một vecto khác không c ∈ Rn thỏa mãn (1.4.1) và in f { x · c | x ∈ X1 } < sup{ x · c | x ∈ X2 }. (1.4.2) Định lý 1.4.3.(Định lý Hahn- Banach) Giả sử A là một tập con mở của không gian vecto tô pô X và M là không gian con của X với M ∩ A = ∅. Khi đó tồn tại một siêu phẳng H trong X sao cho M ⊂ H và H ∩ A = ∅. Mệnh đề 1.4.4. Giả sử X là không gian vecto tô pô thực và A là tập lồi mở trong X. Nếu L là không gian vecto con của X với L ∩ A = ∅ thì hoặc L là một siêu phẳng hoặc tồn tại x ∈ / L sao cho không gian con sinh bởi x và L không giao với A. Chứng minh. Theo định lý Hahn- Banach thì tồn tại siêu phẳng H chứa L sao cho H ∩ A = ∅. Ta xét hai trường hợp: • Nếu L = H thì L là một siêu phẳng. • Nếu L 6= H thì L là không gian con thực sự của H. Khi đó tồn tại x ∈ H \ L. Khi đó ta có không gian con sinh bởi x và L nằm trong H và có giao với A bằng rỗng.  Mệnh đề 1.4.5. Giả sử rằng trong không gian affine X có hai tập lồi không rỗng X1 và X2 , trong đó X1 là tập mở và X1 ∩ X2 = ∅. Khi đó tồn tại một siêu phẳng phân tách X1 và X2 . Chứng minh. Đặt K = X1 − X2 = S x ∈ X2 (− x + X1 ). Khi đó K là một tập lồi mở trong X. Do X1 ∩ X2 = ∅ nên ta có K ∩ {0} = ∅. Áp dụng định lý HahnBanach thì tồn tại siêu phẳng H chứa {0} và H ∩ K = ∅. Đặt dimX = m. Gọi phương trình của H là m h·x = ∑ h j x j + h0 = 0. j =1 18 m Lại do 0 ∈ H nên ta có h0 = 0. Khi đó phương trình của H là h · x = ∑ h j x j = 0. j =1 Lúc đó m m ∑ h j x j < 0, ∀x ∈ K hoặc j =1 ∑ h j x j > 0, ∀x ∈ K. j =1 Không mất tính tổng quát ta giả sử m h·x = ∑ h j x j > 0, ∀x ∈ K. j =1 Khi đó ta có m ∑ h j x j > 0, ∀x ∈ K j =1 (1.4.3) m ∑ h j x1j − x2j ), ∀x = x1 − x2 ∈ K = X1 − X2. =⇒ j =1 Suy ra ta có m ∑ h j x1j > j =1 m ∑ h j x2j , ∀x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 j =1 m m (1.4.4) =⇒ inf { ∑ h j x1j } ≥ sup { ∑ h j x2j }, ∀ x = x1 − x2 ∈ K. x 1 ∈ X1 j =1 x 2 ∈ X2 j = 1 Vậy tồn tại α sao cho m m inf { ∑ h j x1j } ≥ α ≥ sup { ∑ h j x2j }, ∀ x = x1 − x2 ∈ K. x 1 ∈ X1 hay j =1 x 2 ∈ X2 j = 1 m m ∑ h j x1j − α ≥ 0 ≥ j =1 ∑ h j x2j − α, ∀x = x1 − x2 ∈ K. (1.4.5) (1.4.6) j =1 m Khi đó ta nhận thấy siêu phẳng H : ∑ h j x j − α = 0 phân tách X1 và X2 . j =1  Mệnh đề 1.4.6. Giả sử trong không gian affine X có hai tập lồi, mở, khác rỗng, không giao nhau X1 , X2 . Khi đó tồn tại một siêu phẳng phân tách thực sự hai tập X1 và X2 . 19 Chứng minh. Theo mệnh đề 1.4.5 ở trên, tồn tại siêu phẳng H phân tách hai tập X1 và X2 . Do X1 và X2 nằm trong các nửa không gian con đóng với bờ là H. Khi đó ta lấy phần trong của các nửa không gian con đóng đó thì chúng vẫn chứa X1 và X2 do X1 và X2 là các tập mở. Vậy H phân tách thực sự X1 và X2 .  Mệnh đề 1.4.7. Nếu X1 và X2 là hai tập lồi trong không gian affine X, trong đó X2 là tập đóng, không rỗng và X1 là một tập compact thỏa mãn X1 ∩ X2 = ∅ thì tồn tại một siêu phẳng phân tách thực sự hai tập trên. Chứng minh. Ta trang bị cho X một tích vô hướng để X trở thành không gian affine Euclide. Khi đó ta đặt h = d( X1 , X2 ) = infa∈X1 ,b∈X2 d( a, b). • Nếu h = 0 thì tồn tại hai dãy ( a j ) ∈ X1 và (b j ) ∈ X2 sao cho d( a j , b j ) −→ 0. Do X1 compact nên tồn tại dãy con a jk −→ a ∈ X1 . Khi đó ta có d( a jk , b jk ) −→ 0, suy ra d( a, b jk ) −→ 0. Vậy b jk −→ a. Mà X2 đóng nên a ∈ X2 . Điều này mâu thuẫn với giả thiết X1 ∩ X2 = ∅. h h Nếu h > 0 thì ta thấy U ( X1 , ) ∩ U ( X2 , ) = ∅. Áp dụng mệnh đề 1.2.6 tồn 2 2 h h tại siêu phẳng H phân tách thực sự U ( X1 , ), U ( X2 , ) hay H phân tách thực sự 2 2 X1 và X2 .  • Mệnh đề 1.4.8. Nếu X1 và X2 là hai tập lồi đóng khác rỗng và không giao nhau trong không gian affine X thì sẽ tồn tại một siêu phẳng phân tách hai tập X1 và X2 . Chứng minh. • Nếu intX1 6= ∅ hoặc intX2 6= ∅, giả sử intX1 6= ∅, khi đó theo mệnh đề 1.4.5 ta có siêu phẳng H phân tách intX1 và X2 . Khi đó H phân tách X1 và X2 • Nếu intX1 = ∅ và intX2 = ∅, khi đó tồn tại không gian con của X sao cho X1 và X2 nằm trong không gian con đó và hạn chế trên không gian đó có một tập mà phần trong của nó khác rỗng. Lặp lại cách chứng minh trên ta có điều phải chứng minh.  20
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan