TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN
————————–o0o————————–
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
CHUYỂN ĐỘNG BROWN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Chuyên ngành
: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Mã số
: 60.46.01.06
Học viên
: Lục Thanh Dự
Giảng viên hướng dẫn :PGS. TS. Phạm Văn Kiều
HÀ NỘI - 2017
Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa
Toán - Tin đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trình
hoàn thành luận văn này.
Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến PGS. TS. Phạm
Văn Kiều, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên
cứu để luận văn của tôi được hoàn thành đúng thời hạn.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
người thân, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 06 năm 2017
Tác giả
Lục Thanh Dự
I
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS. Phạm Văn
Kiều, luận văn chuyên ngành Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê Toán Học với
đề tài:"Chuyển động Brown và phương trình đạo hàm riêng" được hoàn
thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả
Lục Thanh Dự
II
Mục lục
Lời cảm ơn
I
Lời cam đoan
II
Lời nói đầu
1
1 Kiến thức bổ trợ
4
1.1
Định nghĩa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Toán tử đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3
Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4
Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5
Phương trình đạo hàm riêng cấp hai . . . . . . . . . . . . . . .
12
2 Chuyển động Brown và phương trình đạo hàm riêng
2.1
16
Hàm điều hòa và bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1.1
Định nghĩa hàm điều hòa
. . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1.2
Định nghĩa tính chất giá trị trung bình . . . . . . . . . .
18
2.2
Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3
Phương trình truyền nhiệt một chiều . . . . . . . . . . . . . . .
23
III
2.3.1
Định lý duy nhất của Tychonoff . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3.2
Nghiệm không âm của phương trình truyền nhiệt . . . .
27
3 Quan hệ giữa quá trình khuếch tán và phương trình đạo hàm
riêng
34
3.1
Nghiệm ngẫu nhiên, giả thiết thác triển trơn . . . . . . . . . . .
34
3.2
Điểm chính quy và kì dị của biên. . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Tài liệu tham khảo
46
Lời nói đầu
1. Lý do chọn đề tài
Vào năm 1827, nhà thực vật học Robert Brown đã quan sát thấy một hiện
tượng kỳ lạ của những hạt phấn hoa lơ lửng trong một cốc nước. Chúng
liên tục lắc lư, chuyển động một cách ngẫu nhiên và dường như không bao
giờ dừng lại ngay cả khi cốc nước được giữ yên gần như tuyệt đối. Năm
1928, Robert Brown giới thiệu mô hình chuyển động này. Mô hình chuyển
động Brown cũng giống như nhiều chuyển động bất thường khác trong lĩnh
vực vật lý, sinh học, tài chính, kinh tế. . .
Năm 1905, Albert Einstein (1987- 1955) giới thiệu mô hình chuyển động
Brown từ quỹ đạo các nguyên tử với những cú sốc qua những tính toán
xác suất thống kê và sử dụng thuyết động học phân tử.
Người đầu tiên xây dựng chặt chẽ chuyển động Brown (vào năm 1923) là
Norbert Weiner (1984- 1964). Ông đưa ra rất nhiều ứng dụng của chuyển
động Brown trong lý thuyết tín hiệu và truyền tin.
Paul Levy (1886- 1971) có nhiều đóng góp trong sự nghiên cứu các tính
chất toán học của chuyển động Brown. Kyioshi Itô (1915- 1971) đã đóng
góp phát triển phép tính vi phân ngẫu nhiên trên nền tảng chuyển động
Brown.
Một trong những ứng dụng của chuyển động Brown đó là tìm kiếm giải
pháp cho nhiều vấn đề của phương trình đạo hàm riêng Ellip và Parabolic.
Thiết lập những kết nối giữa chuyển động Brown và phương trình đạo hàm
riêng Elipp và Parabolic dựa trên toán tử Laplace. Toán tử Laplace là toán
tử đạo hàm cấp hai của quá trình khuếch tán. Vào năm 1923, Norbert
Weiner đã xây dựng quá trình khuếch tán tương ứng với toán tử Laplace
1
và được gọi là quá trình Weiner. Quá trình Weiner được xem là mô hình
toán học của chuyển động Brown.
Với mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về chuyển động Brown và đặc biệt là hàm
điều hòa và các quá trình khuếch tán liên hệ với phương trình đạo hàm
riêng và đặc biệt là quá trình truyền nhiệt tôi đã quyết định chọn đề tài
“Chuyển động Brown và phương trình đạo hàm riêng” cho luận văn thạc
sỹ của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Giới thiệu các khái niệm chuyển động Brown, thuật toán Laplace, quá
trình Weiner, phương trình đạo hàm riêng, hàm điều hòa và các quá trình
khuếch tán liên hệ với phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt là quá trình
truyền nhiệt.
3. Đối tượng nghiên cứu
Chuyển động Brown
Phương trình đạo hàm riêng
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp giải tích ngẫu nhiên
Phương pháp giải tích
Phương pháp martingale
5. Bố cục
Bài báo cáo này bao gồm 51 trang, ngoài phần mục lục, lời nói đầu, kết
luận và tài liệu tham khảo nội dung chính của khóa luận bao gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức bổ trợ
Chương này tôi trình bày hệ thống kiến thức về xác suất bao gồm hệ thống
2
các định nghĩa, toán tử đặc trưng, phương trình truyền nhiệt, phương trình
đạo hàm riêng cấp hai.
Chương 2: Chuyển động Brown và phương trình đạo hàm riêng
Chương này tôi trình bày chi tiết về định nghĩa hàm điều hòa, định nghĩa
tính chất giá trị trung bình, bài toán Dirichlet, phương trình truyền nhiệt
một chiều. Đồng thời nêu và chứng minh định lý duy nhất của Tychonoff,
tính chất nghiệm không âm của phương trình truyền nhiệt.
Chương 3: Quan hệ giữa quá trình khuếch tán và phương trình
đạo hàm riêng
Tôi trình bày mối quan hệ của quá trình khuếch tán và phương trình đạo
hàm riêng. Đồng thời trình bày một số tính chất điểm chính quy và kì dị
của biên.
Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện luận văn không
nhiều nên trong luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu
sót. Tôi rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy giáo,
cô giáo cũng như các anh chị nghiên cứu sinh, các anh chị và các bạn học
viên.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 06 năm 2017
Tác giả
Lục Thanh Dự
3
Chương 1
Kiến thức bổ trợ
1.1
Định nghĩa
Giả sử Ω là một tập tùy ý khác rỗng. Ký hiệu 2Ω là tập hợp gồm tất cả các tập
con của Ω.
Giả sử (Ω, F, P ) là một không gian xác suất.
Định nghĩa 1.1.1. (σ - đại số)
Lớp A ⊂ 2Ω được gọi là một đại số nếu
• Ω∈A
• Nếu A ∈ A thì Ac = Ω\A ∈ A
• Nếu A, B ∈ A thì A ∪ B ∈ A
Nếu A là một đại số và thỏa mãn: với mọi dãy (An ) ⊂ A, ta có
∞
∞
n=1
n=1
∪ An ∈ A,
∩ An ∈ A,
thì A được gọi là một σ - đại số và (Ω, A) được gọi là một không gian đo.
Với một họ bất kì các σ - đại số trên Ω, giao của chúng cũng là một σ - đại số.
4
Trái lại, hợp của các σ - đại số chưa chắc đã là một σ - đại số. Nếu C là một
tập con của 2Ω thì tồn tại một σ - đại số nhỏ nhất trong Ω chứa C. Ta gọi σ đại số đó là σ - đại số sinh bởi C và kí hiệu là σ(C). Ta gọi σ - đại số sinh bởi
họ tất cả các tập mở trên Rd là σ - đại số Borel trên Rd và kí hiệu là B(Rd ).
Định nghĩa 1.1.2.
• Họ (F)t≥0 các σ - đại số con của F được gọi là một
lọc nếu Ft ⊂ Fs với mọi s ≥ t ≥ 0.
• Lọc (Ft )t≥0 được gọi là liên tục phải nếu Ft = ∩s≥t Fs với mọi t ≥ 0.
• Lọc (Ft )t≥0 được gọi là thỏa mãn điều kiện thông thường nếu nó liên tục
phải và F0 chứa tất cả các tập có xác suất không.
Định nghĩa 1.1.3. (Quá trình ngẫu nhiên)
Họ (Xt )t∈T các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên Rd được gọi là một quá trình
ngẫu nhiên với tập chỉ số T và không gian trạng thái Rd . Khi tập T là tập các
số nguyên dương thì (Xt )t∈T được gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời
rạc, còn khi T là tập con của R+ thì (Xt )t∈T được gọi là quá trình ngẫu nhiên
thời gian liên tục.
Với mỗi t cố định Xt (ω) là hàm đo được theo ω. Với mỗi ω cố định Xt (ω) được
gọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên ứng với ω.
Định nghĩa 1.1.4. (Quá trình Weiner)
Quá trình Wt được gọi là quá trình Weiner xuất phát từ 0, 0 < ∞ nếu các điều
kiện sau thực hiện:
a) W0 = 0.
b) Với bất kỳ 0 ≤ t0 < t1 < t2 < ... < tn các đại lượng ngẫu nhiên
Wt1 − Wt0 , Wt2 − Wt1 ,..., Wtn − Wtn−1 là độc lập.
5
c) Wt − Ws , s ≤ t có phân phối chuẩn kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng
t − s.
Định nghĩa 1.1.5. (Quá trình Markov)
Giả thiết chúng ta nghiên cứu sự tiến triển theo thời gian của một hệ vật lý
hoặc sinh thái nào đó (có thể là phân tử, hạt cơ bản, người hoặc một sinh vật
nào đó, v.v... ). Ký hiệu X(t) là vị trí của hệ tại thời điểm t. Tập hợp các vị trí
có thể có của hệ được gọi là không gian trạng thái. Giả sử trước thời điểm s hệ
ở trạng thái nào đó, còn ở thời điểm s hệ ở trạng thái i. Ta cần biết tại thời
điểm t trong tương lai (t > s) hệ ở trạng thái j với xác suất là bao nhiêu? Nếu
xác suất này chỉ phụ thuộc vào s, t, i, j thì điều này có nghĩa là: sự tiến triển
của hệ trong tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại và độc lập với quá
khứ. Đó là tính Markov. Hệ có tính chất này được gọi là quá trình Markov.
Về phương diện toán học , tính Markov có thể được định nghĩa như sau:
Giả sử I tập gồm các giá trị của X(t) và gọi I là không gian trạng thái của X(t)
Ta nói (Xt ) có tính Markov nếu:
P {X(tn+1 ) = j|X(t0 ) = i0 , ..., X(tn−1 ) = in−1 , X(tn ) = in }
= P {X(tn+1 ) = j|X(tn ) = i} ,
với bất kỳ t0 < t1 < t2 < ... < tn < tn+1 < ... và i0 , ..., in−1 , i, j ∈ I.
Ta xem tn là hiện tại, tn+1 là tương lai, (t0 , t1 , ..., tn−1 ) là quá khứ. Vì thế biểu
thức trên chính là tính Markov của X(t).
Quá trình (Xt )t∈I được gọi là quá trình Markov.
Đặt p(s, i, t, j) = P {X(t) = j|X(s) = i} , (s < t). Đó là xác suất có điều kiện để
hệ (hay quá trình) ở thời điểm s ở trạng thái i, đến thời điểm t chuyển sang
trạng thái j. Vì thế ta gọi p(s, i, t, j) là xác suất chuyển của hệ (hay quá trình).
Định nghĩa 1.1.6. (Quá trình Markov ngặt)
6
Quá trình Markov mà đối với nó giữa tương lai và quá khứ là độc lập điều kiện
khi biết hiện tại, sự thực hiện không chỉ đối với thời gian liên tục mà còn đối
với lớp các thời điểm ngẫu nhiên τ được gọi là quá trình Markov ngặt.
Hoặc ta có thể định nghĩa như sau:
Họ (ξt , Px ) được gọi là Markov ngặt đối với σ - đại số Pt nếu:
• Quá trình ngẫu nhiên ξt đo được tiến.
• Đối với thời điểm Markov τ bất kỳ hàm η = η(ω) nhận giá trị từ tập T ∪ {∞}
xác định trên:
Ωτ = {ω : τ < ∞} và đo được đối với σ - đại số Fτ . Bất kỳ X thuộc không gian
pha X, Γ ∈ B và đối với biến cố bất kỳ A ⊆ Ωτ ∩ Ωη = {τ, η < ∞} , sao cho Fτ :
Z
Px (A ∩ {ξτ +η ∈ Γ}) =
P(η, ξτ , Γ)Px (dω).
A
Tiếp theo ta định nghĩa một trường hợp đặc biệt của quá trình Markov đó
là quá trình Markov Feller.
Định nghĩa 1.1.7. (Quá trình Markov Feller).
Giả sử
F≤t = σ(Xs , s ≤ t); F≥t = σ(Xs , s ≥ t); F=t = σ(Xs ).
Quá trình ξt được gọi là Markov nếu với bất kỳ A ∈ F≤t , B ∈ F≥t có:
P[AB|F=t ] = P[A|F=t ]P[B|F=t ].
Định nghĩa 1.1.8. (Họ Markov Feller)
Giả sử X là không gian Metric, B = X, C là không gian các hàm liên tục bị
chặn.
Họ (ξt , Ps,t ) được gọi là Feller nếu P st ⊆ C với bất kỳ s ≤ t. Nói cách khác đối
7
với hàm liên tục bất kỳ bị chặn f trên X hàm P st f (x) cần là liên tục theo x,
khi x → x0 ∈ X có:
Z
Z
f P (s, x, t, dy) →
P (s, x0 , t, dy)f (y).
X
X
Định nghĩa 1.1.9. (Quá trình Feller mạnh)
Quá trình ξ = (ξt , Ft ) được gọi là Feller mạnh nếu đối với mọi hàm Borel bị
chặn f (x), hàm F (x) = Ex f (Xt ) là liên tục.
Định nghĩa 1.1.10. (Hàm chuyển Feller)
Hàm chuyển P (t, x, T ) trong không gian Topo (E, C, B) được gọi là hàm Feller
nếu đối với f ∈ C(E, C, B) hàm:
Z
P (t, x, dy)f (y) là liên tục.
Tt f (x) =
E
Nói cách khác:
Hàm chuyển P (t, x, T ) được gọi là Feller nếu toán tử nửa nhóm Tt chuyển không
gian C = C(E, C, B) vào chính nó.
Trong lớp các hàm chuyển Feller có lớp con quan trọng, đó là lớp hàm
chuyển Feller mạnh.
Định nghĩa 1.1.11. Đối với bất kỳ f ∈ B(E, B), t ≥ 0 hàm:
Z
F (x) = Tt f (x) =
P (t, x, dy)f (y),
E
nằm trong C(E, C, B)
Lớp hàm này được gọi là Feller mạnh.
Định nghĩa 1.1.12. (Quá trình Ito)
Quá trình ngẫu nhiên liên tục ξ = (ξt , Ft ); 0 ≤ t ≤ T được gọi là quá trình
8
Ito nếu tồn tại hai quá trình không đoán được trước a = (at , Ft ), b = (bt , Ft ),
t ∈ [0, T ] sao cho:
"Z
#
T
|at |dt < ∞ = 1,
P
0
"Z
#
T
P
b2t dt < ∞ = 1.
0
và đối với 0 ≤ t ≤ T thì:
Z
ξt = ξ0 +
t
Z
a(s, ω)ds +
0
t
b(s, ω)dWs .
0
với xác suất 1
Định nghĩa 1.1.13. (Quá trình khuếch tán)
Quá trình Ito được gọi là quá trình khuếch tán nếu hàm a(s, ω), b(s, ω) trong
định nghĩa quá trình Ito là Fsξ đo được với hầu tất cả s, 0 ≤ s ≤ t.
Hoặc ta cũng có thể định nghĩa như sau:
Quá trình (ξt , Px ) trên không gian pha (Rr , B r ) được gọi là quá trình khuếch
tán trên Rr nếu:
Toán tử cực vi xác định trên các hàm có đạo hàm riêng liên tục đến hạng hai và
tồn tại vecto hàm bi (x) và ma trận aij với x bất kỳ là đối xứng, xác định dương
sao cho:
∀f ∈ C 2 , Af (x) = Lf (x) =
r
r
P
1 P
∂ 2f
∂f
aij (x)
+
bi
.
2 i,j=1
∂xi ∂xj i=1 ∂xi
trong đó A là toán tử cực vi, L là toán tử đạo hàm.
1.2
Toán tử đặc trưng
Định nghĩa 1.2.1. (Toán tử cực vi)
Giả sử G là một miền với biên trơn G0 và L là toán tử vi phân trong G mà hệ
9
số của nó được thác triển liên tục trên G ∪ G0 . Đòi hỏi với tất cả các quá trình
khuếch tán trong miền đóng G ∪ G0 mà đối với nó thực hiện đạo hàm của toán
tử vi phân theo tất cả các điểm trong trùng với L. Trong lúc đó chưa xác định
rằng quá trình này là khuếch tán trên biên tại điểm x mà chỉ đối với điểm trong.
Khái niệm này được ký hiệu qua toán tử đặc trưng U .
Ngoài toán tử cực vi của quá trình Markov
Tt f (x) − f (x)
.
t&0
t
Af (x) = lim
được gọi là toán tử cực vi của quá trình.
Định nghĩa 1.2.2. (Toán tử đạo hàm)
Lf (x) =
P
1P
∂ 2f
∂f
aij
+ bi (x)
.
2 i,j
∂xi ∂xj
∂xi
i
Từ nguyên lý cực tiểu rút ra rằng C(x) > 0 và thực hiện điều kiện:
P
aij λi λj ≥ 0.
i,j
Với các giá trị thực λ1 , ..., λn bất kỳ
Toán tử L được gọi là toán tử đạo hàm của quá trình khuếch tán.
Định nghĩa 1.2.3. (Toán tử đặc trưng)
Tτ (u) f (x) − f (x)
.
U &x
Ex τ (u)
U f (x) = lim
Trong đó U là lân cận của x.
τ (u) là thời điểm đầu tiên rời khỏi U khi chuyển qua giới hạn U → x.
U (f (x)) được gọi là toán tử đặc trưng của quá trình.
• Giá trị U f (x) được xác định hoặc là a) đối với mọi hàm trơn hoặc là b)
đối với mọi hàm trơn tuân theo một điều kiện tuyến tính.
10
• Sự liên hệ giữa toán tử Tt với toán tử U .
Trong không gian Topo nào đó, quá trình có quỹ đạo liên tục phải. Toán tử tịnh
tiến Tt còn bất biến đối với tập tất cả những hàm liên tục bị chặn, toán tử U là
sự mở rộng của toán tử Tt . Dĩ nhiên rằng nếu U f (x) xác định và hàm f đạt tại
điểm x cực tiểu không dương thì U f (x) ≥ 0. Tính chất này thường được gọi là
nghỉ cực tiểu. Toán tử U được gọi là toán tử tuyến tính địa phương.
1.3
Phương trình truyền nhiệt
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử nhiệt độ của vật thể Ω tại điểm x và tại thời điểm
t được xác định bởi hàm u(t, x) ∈ C 1,2 (Ω × [0, T ]). Ta coi Ω là vật thể đẳng
hướng, tức là nhiệt truyền theo phương nào cũng như nhau.
Ta giả thiết rằng ρ(x) là mật độ khối lượng và c(x) là nhiệt dung của vật thể
tại thời điểm x. Khi đó phương trình có dạng:
3
∂u X ∂ 2 u
c(x)ρ(x)
=
∂t
∂x2i
i=1
∀x ∈ Ω, ∀t ∈ [0, T ].
(1.1)
được gọi là phương trình truyền nhiệt.
Định nghĩa 1.3.2. (Bài toán Dirichlet hay Bài toán biên loại I)
Bài toán xác định nghiệm nào đó từ phương trình
3
X
∂
∂u
k
= 0;
∂x
∂x
i
i
i=1
3
X
∂ 2u
i=1
∂x2i
= 0.
(1.2)
Trong trường hợp điều kiện biên ban đầu không cần thiết và chỉ phụ thuộc vào
điều kiện biên và không phụ thuộc vào thời gian.
Bài toán xác định nghiệm nào đó từ phương trình (1.2) theo giá trị của nó trên
biên được gọi là bài toán Dirichlet hay bài toán biên loại I.
11
Định nghĩa 1.3.3. (Bài toán Neuman hay Bài toán biên loại II)
Giả sử cho miền giới nội nào đó G sao cho những điểm không nằm trong G và
biên Γ của nó tạo thành miền với biên Γ.
Giả sử cho trên biên Γ của miền này hàm liên tục f . Tìm hàm điều hòa
∂u
u(x1 , x2 , ..., xn ) liên tục trên miền G + Γ và
theo hướng pháp tuyến ngoài ~n
∂n
tại một điểm trên biên Γ của G nhận giá trị của hàm f tại điểm này.
1.4
Phương trình Laplace
Nếu nhiệt độ của vật ổn định, tức là không phụ thuộc vào thời gian, thì hàm
u(x) cho phân bố dừng của nhiệt độ và thỏa mãn phương trình:
3
X
∂ 2u
i=1
∂x2i
= f (x).
(1.3)
Phương trình (1.3) lần đầu tiên được S.Poisson đưa vào năm 1813 và được gọi
là phương trình Poisson. Trong trường hợp f (x) ≡ 0 phương trình (1.3) được
gọi là phương trình Laplace.
Bài toán tìm phân bố dừng của nhiệt độ bên trong vật thể theo nhiệt độ đã cho
trên biên được gọi là bài toán Dirichlet theo tên của nhà toán học L.Dirichlet,
ông là người đầu tiên chứng minh được sự duy nhất nghiệm của bài toán này.
1.5
Phương trình đạo hàm riêng cấp hai
Xét trong miền Ω ⊂ Rn phương trình tuyến tính cấp hai
n
X
n
∂ 2u X
∂u
aij (x) 2 +
ai (x)
+ a(x)u = f (x),
∂x
∂x
i
i,j=1
i=1
(1.4)
các hệ số aij , i, j = 1, ..., n là các hàm thực. Ta có thể coi aij = aji , i, j = 1, ...n.
Thật vậy, nếu u ∈ C 2 (Ω), thì
12
∂ 2u
∂ 2u
=
.
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
Do đó,
n
P
i,j=1
aij
n
P
∂ 2u
∂ 2u
1
0
=
aij
, với aij = (aij + aji ), i, j = 1, ..., n.
∂xi ∂xj i,j=1 ∂xi ∂xj
2
Giả sử x0 là một điểm tùy ý thuộc Ω và λ1 (x0 ), ..., λn (x0 ) là các nghiệm thực
của det kaij (x0 ) − λ(x0 )δij kni,j=1 = 0.
Ký hiệu n+ (x0 ), n− (x0 ), n0 (x0 ) tương ứng là các giá trị dương, âm, bằng 0 của
λi (x0 ), i = 1, ..., n. Khi đó n+ + n− + n0 = n.
Xét phép biến đổi đơn trị
ξi = ξi (x1 , ...., xn ), i = 1, ..., n.
(1.5)
biến lân cận U nào đó của điểm x0 = x01 , ..., x0n ) thành lân cận V của điểm
ξ 0 = (ξ10 , ..., ξn0 ), ξi0 = ξi (x01 , ..., x0n ), i = 1, ..., n.
Ký hiệu xi = xi (ξ1 , ..., ξn ), i = 1, ..., n, là phép biến đổi ngược của phép biến đổi
(1.5)
Giả sử ξi (x) ∈ C 2 (U ), i = 1, ..., n, và phép biến đổi (1.5) là không suy biến, tức
là
∂ξi
n
det
6= 0.
∂xj
i,j=1
(1.6)
Bởi vì
n ∂v ∂ξ
P
∂u
p
=
,
∂xi p=1 ∂ξp ∂xi
n
n ∂v ∂ 2 ξ
P
P
∂ 2u
∂ 2 v ∂ξp ∂ξq
p
=
+
,
∂xi ∂xj p,q=1 ∂ξp ∂ξq ∂xi ∂xj p=1 ∂ξp ∂xi ∂xj
Ở đây v(ξ) = u(x(ξ)), nên phương trình (1.4) chuyển thành
n
X
p,q=1
bpq (x(ξ))
∂ 2v
∂v
∂v
+ F (ξ, v,
, ...,
) = 0,
∂ξp ∂ξq
∂ξ1
∂ξn
13
(1.7)
Ở đó
n
P
bpq (x) =
aij (x)
i,j=1
∂ξp ∂ξq
.
∂xi ∂xj
Trong đại số đã chỉ ra rằng tồn tại một phép biến đổi thực không suy biến (1.5)
sao cho bpq (x0 ) = ±1 nếu p = q ≤ m và bpq (x0 ) = 0 nếu p 6= q hoặc p = q > m.
Khi đó phương trình (1.7) có dạng:
∂ 2v
∂ 2v
∂ 2v
+ ... +
−
−
∂∂ξ1 ∂ξ1
∂ξn+ ∂ξn+ ∂ξn+ +1 ∂ξn+ +1
∂ 2v
∂v
∂v
... −
+ F (ξ, v,
, ...,
) = 0.
∂ξn+ +n− ∂ξn+ +n−
∂ξ1
∂ξn
(1.8)
Dạng (1.8) được gọi là dạng chính tắc của phương trình (1.4).
Từ các lí luận trên , các số n+ , n− và n0 là bất biến qua phép biến đối (1.5).
- Phương trình (1.4) được gọi là phương trình loại elliptic tại điểm x0 (hoặc
phương trình elliptic tại điểm x0 ) nếu n+ = n hoặc n− = n. Phương trình
(1.4) được gọi là phương trình elliptic trên tập hợp E, E ⊂ Ω, nếu nó là
phương trình elliptic tại mỗi điểm của tập hợp này.
- Phương trình (1.4) được gọi là phương trình loại hyperbolic tại điểm x0
(hoặc phương trình hyperbolic tại điểm x0 ) nếu n+ = n − 1, n− = 1 hoặc
n+ = 1, n− = n − 1. Nếu phương trình là hyperbolic tại mỗi điểm của tập
hợp E, E ⊂ Ω, thì nó được gọi là phương trình hyperbolic trên tập hợp E .
- Phương trình (1.4) được gọi là phương trình loại parabolic tại điểm x0
(hoặc phương trình hyperbolic tại điểm x0 ) nếu n0 > 0. Nếu phương trình
là parabolic tại mỗi điểm của tập hợp E, E ⊂ Ω, thì nó được gọi là phương
trình parabolic trên tập hợp E Trường hợp đặc biệt khi n = 2. Phương
trình (1.4) được viết như sau:
∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂u ∂u
a(x, y) 2 + 2b(x, y)
+ c(x, y) 2 + F (x, y, u, , ) = 0. (1.9)
∂x
∂x∂y
∂y
∂x ∂y
14
ở đó a, b, c là các hàm không đồng thời bằng không trong một lân cận nào
đó U ⊂ R2 . Xét phương trình sau
a−λ
b
= λ2 − (a + c)λ + ac − b2 = 0.
det
b
c−λ
(1.10)
Nếu b2 − ac > 0, thì phương trình (1.10) có hai nghiệm trái dấu.
Trong trường hợp b2 − ac = 0 phương trình (1.10) có một nghiệm bằng
0, còn khi b2 − ac < 0 phương trình (1.10) có hai nghiệm cùng dấu. Theo
cách phân loại ở trên ta có kết luận sau:
i) Phương trình (1.9) là hyperbolic nếu b2 − ac > 0;
ii) Phương trình (1.9) là parabolic nếu b2 − ac = 0;
iii) Phương trình (1.9) là elliptic nếu b2 − ac < 0.
15
- Xem thêm -