BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
LUẬN VĂN THẠC SĨ
COPULA VÀ SỰ TƢƠNG QUAN
TRONG RỦI RO TÍN DỤNG
Chuyên ngành
: Lý thuyết Xác suất và thống kê Toán học
Mã số
: 60.46.01.06
Học viên
: Phạm Minh Thúy
Giảng viên hướng dẫn
: PGS.TS. Trần Trọng Nguyên
Hà Nội – 2017
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS. Trần Trọng
Nguyên, ngƣời đã giúp tôi định hƣớng chọn đề tài và nhiệt tình hƣớng dẫn để
tôi có thể hoàn thành luận văn đúng thời hạn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo giảng dạy
chuyên ngành Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học, Trƣờng Đại học Sƣ
phạm Hà Nội đã cho tôi những kiến thức chuyên ngành, giúp tôi có đƣợc lý
thuyết vững vàng và tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trƣờng.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn cha mẹ, anh chị và các bạn học đã động viên
tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả luận văn
PHẠM MINH THÚY
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân
tôi. Các số liệu và tài liệu đƣợc trích dẫn trong luận văn là trung thực. Kết
quả nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã đƣợc công bố
trƣớc đó.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả luận văn
PHẠM MINH THÚY
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................3
1.1 Một số khái niệm xác suất .....................................................................................3
1.2 Một số khái niệm tài chính ....................................................................................4
1.2.1 Danh mục đầu tƣ (portfolio) ..............................................................................4
1.2.2 Chứng khoán ......................................................................................................5
1.3 Hợp đồng hoán đổi rủi ro tín dụng ........................................................................5
1.3.2 Hợp đồng nợ có thế chấp CDO ..........................................................................7
CHƢƠNG 2: COPULA VÀ SỰ PHỤ THUỘC NGẪU NHIÊN .........................12
2.1 Giới thiệu về Copula ...........................................................................................12
2.2 Độ đo sự phụ thuộc .............................................................................................18
2.3 Sự tƣơng quan .....................................................................................................22
2.4 Sự phụ thuộc đuôi ................................................................................................29
CHƢƠNG 3: MÔ HÌNH LI CHO SỰ TƢƠNG QUAN PHÁ SẢN ...................31
3.1 Ý tƣởng cơ bản của Mô hình Li ..........................................................................31
3.2 Sự tƣơng quan trong Mô hình Li .........................................................................34
3.2.1 Định giá tài sản và Sự tƣơng quan ...................................................................35
3.2.2 Độ đo tƣơng quan cho mô hình Li ...................................................................38
3.3 Phụ thuộc đuôi trong các mô hình Copula ..........................................................40
3.4 Định phí bảo lãnh phát hành của các phân ngạch CDO ......................................46
3.4.1 Thuật toán cho việc định phí bảo lãnh phát hành của các phân ngạch CDO........... 51
3.4.2 Một số kết quả ..................................................................................................48
KẾT LUẬN ..............................................................................................................52
PHỤ LỤC .................................................................................................................53
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................55
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
CreditMetrics một cái tên không còn xa lạ với những ngƣời làm toán
kinh tế cũng nhƣ những nhà nghiên cứu về rủi ro tài chính. Nó xuất hiện vào
năm 1997 do một nhóm nghiên cứu có tên là The RiskMatrics trực thuộc
J.P.Morgan. Mô hình CreditMetrics chủ yếu nghiên cứu rủi ro tín dụng và
mối tƣơng quan phá sản giữa các biến cố tín dụng.
Mô hình CreditMetrics sử dụng các giá trị của các tài sản và sự tƣơng
quan giữa chúng để mô hình hóa sự phụ thuộc về rủi ro vỡ nợ thông qua hàm
phân phối đồng thời của chúng (giả thiết có phân phối Gauss). Tuy nhiên,
việc xác định phân phối đồng thời của các tài sản không hề dễ dàng và không
phải lúc nào cũng có phân phối Gauss. Lý thuyết về copula và cụ thể hơn là
công trình toán học của nhà toán học Abe Sklar giúp ta giải quyết vấn đề này.
Lý thuyết này đã truyền cảm hứng cho một nhà toán học ngƣời Trung Quốc là
David Xianglin Li và ông đã thành lập nên một mô hình thống kê vững chắc
cho sự phụ thuộc về rủi ro vỡ nợ trong mô hình CreditMetrics. Sự thành công
về lý luận của ông trong bài báo với tựa đề “On Default Correlation: A
Copula Funtion Approach” đã đƣa mô hình CreditMetric vào việc định giá
phái sinh tín dụng phức tạp.
Với mong muốn làm rõ những vấn đề trên luận văn nghiên cứu về
“Copula và sự tƣơng quan trong Rủi ro tín dụng”.
2. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu về mô hình copula của Li và những giả định quan trọng
dựa trên nó. Đồng thời so sánh mô hình Gauss copula của Li với mô hình
Student t-copula để thấy đƣợc những thiếu sót của chúng.
1
3. ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu Copula và sự phụ thuộc ngẫu nhiên (stochastic
dependence) trong mô hình rủi ro tín dụng.
Ứng dụng mô hình định giá CDO bằng phƣơng pháp copula của
Li dựa trên chỉ số trái phiếu i-Traxx Europe về các hợp đồng hoán đổi rủi ro
tín dụng CDS.
4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Tổng hợp tài liệu: Nghiên cứu tài liệu, tham khảo các bài báo,
các giáo trình liên quan đến Copula và sự tƣơng quan trong Rủi ro tín dụng.
5. NỘI DUNG
Luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng:
Chƣơng I: Kiến thức chuẩn bị
Chƣơng II: Copula và Sự phụ thuộc ngẫu nhiên
Chƣơng III: Mô hình của Li cho sự tƣơng quan phá sản
6. ĐÓNG GÓP MỚI
So sánh hai mô hình Gauss copula và Student t, qua đó thấy ƣu và
nhƣợc điểm của từng mô hình thông qua việc định giá một công cụ phái sinh
tài chính Hợp đồng nợ có thế chấp ( Collateralised Debt Obligation – viết tắt
là CDO).
2
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số khái niệm xác suất
Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất , , P và
nhận giá trị trên
.
Định nghĩa 1.1.1. (Hàm phân phối) Hàm số FX x P X x với
x
, đƣợc
gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X.
Định nghĩa 1.1.2. (Hàm mật độ) Một hàm phân phối xác suất F x của biến
ngẫu nhiên X đƣợc gọi là liên tục tuyệt đối nếu có một hàm Borel f x sao
cho
F x f t dt với x .
x
Hàm f x thỏa mãn điều kiện nhƣ trên đƣợc gọi là hàm mật độ của X.
Định nghĩa 1.1.3. (Phân phối chuẩn) Biễn ngẫu nhiên X đƣợc gọi là có phân
phối chuẩn với các tham số a, 2 0 (còn viết
X
a, ), nếu hàm
2
mật độ của nó có dạng
1
f x
e
2
Phân phối
x a 2
2 2
0,1 còn đƣợc gọi là phân phối chuẩn chính tắc.
Định nghĩa 1.1.4. (Hàm phân phối đồng thời) Hàm phân phối đồng thời của
biến ngẫu nhiên n chiều X X1 ,..., X n đƣợc xác định bởi
n
F x P X 1 x1 ,..., X n xn P X i xi ,
i 1
với mọi x x1 ,..., xn , xi .
Định nghĩa 1.1.5. (Hàm phân phối biên) Hàm phân phối biên của biến ngẫu
nhiên n chiều X X1 ,..., X n đƣợc xác định bởi
3
Fi x P X 1 X 2 ... X i xi ... X n
lim F x1 ,..., xn P X i xi .
x j
j i
với mọi x x1 ,..., xn , xi .
Định nghĩa 1.1.6. (Phân phối elliptic) Một biến ngẫu nhiên X d-chiều đƣợc
gọi là có phân phối elliptic nếu và chỉ nếu tồn tại một vector
trận nửa xác định dƣơng
d d
, và một hàm số :
d
, một ma
sao cho hàm đặc
trƣng t X t của X tƣơng ứng với mỗi hàm t t ' t với t
d
.
Ví dụ: Một số phân phối elliptic mà ta đã biết nhƣ phân phối chuẩn hay phân
phối Gauss, phân phối Student t, phân phối Laplace, phân phối Cauchy…
Để tìm hiểu thêm về phân phối elliptic, ta có thể tìm trong Cambanis, Huang
và Simons [1].
1.2 Một số khái niệm tài chính
Để hiểu đƣợc việc mô hình hóa các rủi ro tín dụng, ta cần phải hiểu rõ sự
quan trọng của mỗi khái niệm tài chính. Trong phần này, ta sẽ định nghĩa về
các khái niệm Chứng khoán, Hợp đồng nợ có thế chấp (CDO) và Hợp đồng
hoán đổi rủi ro tín dụng (CDS).
1.2.1 Danh mục đầu tƣ (portfolio)
Ta đã biết trong đầu tƣ tài chính, mỗi đồng vốn bỏ vào kinh doanh phải không
ngừng vận động và không ngừng sinh lời. Nhà đầu tƣ bỏ vốn vào kinh doanh
ngày hôm nay luôn hy vọng trong tƣơng lai sẽ nhận đƣợc những khoản tiền
thu nhập cao hơn tƣơng xứng với những khoản tiền họ bỏ ra. Do đó, để hạn
chế những rủi ro trong kinh doanh, các nhà đầu tƣ sẽ không chỉ đầu tƣ chỉ vào
một khoản đầu tƣ duy nhất mà sẽ đầu tƣ vào nhiều loại tài sản khác nhau ví
dụ nhƣ: bất động sản, vàng, ngoại tệ, hay chính những công cụ phái sinh tài
chính… tạo thành một danh mục đầu tƣ.
4
Định nghĩa. (Danh mục đầu tƣ) là sự kết hợp của hai hay nhiều chứng khoán
hoặc tài sản trong đầu tƣ.
1.2.2 Chứng khoán
Chứng khoán là những chứng chỉ xác nhận quyền và lợi ích hợp pháp cho
việc sở hữu tài sản hoặc phần vốn của tổ chức phát hành. Chứng khoán đƣợc
thể hiện bằng hình thức chứng chỉ, bút toán ghi sổ hoặc dữ liệu điện tử.
Chứng khoán bao gồm các loại: cổ phiếu, trái phiếu, chứng chỉ quỹ đầu tƣ,
chứng khoán phái sinh. Nơi giao dịch chứng khoán đƣợc gọi là thị trƣờng
chứng khoán. Thị trƣờng chứng khoán đƣợc thực hiện chủ yếu tại sở giao
dịch chứng khoán và thông qua các công ty môi giới chứng khoán. Về mặt
hình thức, thị trƣờng chứng khoán là nơi diễn ra các hoạt động mua bán, trao
đổi các loại chứng khoán, thị trƣờng chứng khoán là thị trƣờng thứ cấp nên sẽ
không có tiền mới phát sinh ra mà chỉ là thay đổi quyền sở hữu giữa ngƣời
mua và ngƣời bán.
1.3 Hợp đồng hoán đổi rủi ro tín dụng
1.3.1.1 Định nghĩa
Hợp đồng hoán đổi rủi ro tín dụng (Credit Default Swap – viết tắt là CDS) là
một công cụ phái sinh1 nhằm cung cấp một bảo hiểm phòng ngừa rủi ro phá
sản.
Trả một khoản phí hợp đồng
Bên bán bảo
Bên mua bảo
hiểm
hiểm
Trả một khoản bồi thƣờng LGD
Hình 1.1 Cấu trúc của một hợp đồng CDS.
1
Công cụ phái sinh là một loại hợp đồng tài chính giữa hai hoặc nhiều bên để giao dịch một tài sản vào một
thời điểm trong tƣơng lai với một mức giá đƣợc ấn định trƣớc. Tài sản đƣợc giao dịch trong hợp đồng có thể
là hàng hóa, ngoại tệ, chứng khoán…
5
Hợp đồng hoán đổi rủi ro tín dụng là một hợp đồng tài chính giữa hai bên để
trong đó hai bên đối tác trao đổi một loại rủi ro, đó là rủi ro phá sản. Nếu bên
cơ sở xảy ra phá sản thì bên bán bảo hiểm bắt buộc phải thanh toán tất cả thiệt
hại cho bên cơ sở theo giá trị gốc P. Thiệt hại của bên bán bảo hiểm đƣợc gọi
là tổn thất cho phá sản (loss-given-default – viết tắt là LGD), nó đƣợc tính
bằng (1-R)*P, với R là mức bồi thƣờng của bên bán. Bên mua bảo hiểm sẽ
phải trả một mức phí hoán đổi rủi ro cho tới kỳ hạn hoặc tới thời điểm xảy ra
phá sản, tùy điều kiện nào sẽ xảy ra trƣớc tiên (gọi tắt là phí CDS). Trong
Hình 1.1, ta quan sát đƣợc biểu đồ của cấu trúc CDS. Để hiểu rõ hơn về Hợp
đồng hoán đổi rủi ro tín dụng, ta có thể tìm đọc trong Hull [3], chƣơng 21.
1.3.1.2 Định giá CDS
Để định giá một hợp đồng CDS ta đƣa ra một loại rủi ro trung tính2 với kỳ
hạn thanh toán M. Mô hình định giá này không chỉ đƣợc sử dụng để tính toán
phí CDS phí bảo lãnh phát hành (spread)3 của CDS mà còn để hiệu chuẩn xác
suất phá sản cho mô hình của Li [7]. Các giả định chính cho mô hình định giá
là: Quá trình lãi suất kết hợp với hệ số chiết khấu phi rủi ro DF và quá trình
sống sót S dùng để mô tả xác suất phá sản; hai quá trình này độc lập với nhau.
Hơn nữa, các khoản phí bên bán bảo hiểm phải trả cho bên mua đƣợc thanh
toán ngay sau khi phá sản. Có hai nhánh trong mô hình định giá, một là phí
bảo hiểm (premium leg) và hai là phí bảo đảm (protection leg). Giả sử T là
biến ngẫu nhiên mô tả thời gian phá sản. Cho S t : 1 F t P T 1 là hàm
sống sót, là xác suất thực thể phá sản tại thời điểm t, khi đó phí bảo hiểm sẽ
đƣợc xác định bởi công thức
2
Việc tính toán rủi ro trung tính sẽ xác định đƣợc độ chênh lệch về giá của một chu kì tổng quát trong một
mô hình tài chính.
3
Là một loại mức chênh lệch giữa giá mua và giá bán, trong quá trình trao đổi mua bán sẽ nhận việc thanh
toán lại nếu xảy ra phá sản vỡ nợ. Phí bảo lãnh phát hành đƣợc tính bằng điểm cơ sở (basic point (bps)) của
giá trị gốc P. 1bps=1/100 của 1%.
6
K
Premleg= E
i 0
s DF t S t dT t ,
ti
ti 1
(1.1)
với s là phí bảo lãnh phát hành, DF t là hệ số chiết khấu phi rủi ro tại thời
điểm t và K là số lần thanh toán trong thời hạn hợp đồng. Do đó, với
0 t0 ,..., t K M là các khoảng chia của giai đoạn tính từ thời điểm bắt đầu tới
tời hạn thanh toán M. Hệ số DF t khấu trừ cho mỗi lần thanh toán trong
tƣơng lai vào giá trị hiện tại của nó. Hệ số đƣợc gọi là day-count4 và nó phụ
thuộc vào việc có bao nhiêu lần thanh toán trong một năm. Phí bảo đảm đƣợc
định nghĩa bởi
Proteg= 1 R E
M
0
DF t S t dF t ,
(1.2)
với R là mức bồi thƣờng của bên mua. Giá trị phí bảo lãnh phát hành s đƣợc
xác định bởi công thức (1.1) và (1.2) nhƣ sau
s
1 R E 0
E
K
i 0
ti
ti 1
M
DF t S t dF t
DF t S t dT t
.
(1.3)
Cả phí bảo hiểm Premleg và phí bảo đảm Protleg đều không chứa giá trị gốc
P, bởi vì phí bảo lãnh phát hành s đƣợc tính bởi P.
1.3.2 Hợp đồng nợ có thế chấp CDO
1.3.2.1 Định nghĩa
Hợp đồng nợ có thế chấp (Collateralised Debt Obligation – viết tắt là CDO) là
một loại chứng khoán đƣợc phát hành trên cơ sở tài sản đảm bảo là một danh
mục các tài sản rủi ro nhƣ trái phiếu, các khoản cho vay hoặc các loại hợp
đồng hoán đổi. Từ một danh mục các tài sản rủi ro, CDO sẽ đƣợc phát hành
thành nhiều phân ngạch (tranche5) có mức rủi ro khác nhau và hiển nhiên,
mức lãi suất sẽ tỉ lệ nghịch với mức độ rủi ro (an toàn, bình thƣờng, rủi ro).
4
5
Nếu việc thanh toán một năm một lần, =1; nếu là nửa năm =1/2; nếu là ba tháng một lần,
Tranche là một từ tiếng Pháp, mang nghĩa là lớp, phân ngạch.
7
=1/4.
Những nhà đầu tƣ ở phân ngạch cơ bản (hay phân ngạch vốn cổ phần) sẽ phải
chịu mức lỗ đầu tiên, thêm vào đó sẽ phải chịu mức rủi ro lớn nhất; còn ở
phân ngạch cao cấp sẽ chịu mức rủi ro thấp nhất. Đổi lại, những lớp rủi ro
nhất lại đƣợc nhận những khoản thanh toán coupon cao hơn những lớp còn
lại, mang lại lợi nhuận cao hơn. Điều này cho thấy đầu tƣ vào các phân ngạch
cao cấp không phải lúc nào cũng là sự lựa chọn tốt nhất.
Có hai loại CDO cơ bản, đó là CDO tiền mặt (cash) và CDO tổng hợp
(synthetic).
CDO tiền mặt bao hàm một danh mục đầu tƣ tài sản tiền mặt, chẳng
hạn nhƣ các khoản vay, trái phiếu công ty, chứng khoán tài
sản hay chứng khoán thế chấp. Quyền sở hữu các tài sản này đƣợc
chuyển giao cho pháp nhân (gọi là phƣơng tiện mục đích đặc biệt SPV)
phát hành các phân ngạch của CDO. Rủi ro mất mát các tài sản này
đƣợc chia đều cho các phân ngạch theo thứ tự ngƣợc của độ cao cấp.
CDO tổng hợp bao gồm một danh mục đầu tƣ các tài sản thu nhập cố
định mà không sở hữu những tài sản này, thông qua việc sử dụng
các hoán đổi rủi ro tín dụng CDS. (Trong một hoán đổi nhƣ vậy, ngƣời
bán bảo vệ tín dụng, nhận các thanh toán tiền mặt định kỳ, đƣợc gọi là
phí bảo hiểm, để đổi lấy thỏa thuận về giả định rủi ro tổn thất trên một
tài sản cụ thể trong trƣờng hợp tài sản đó trải qua vỡ nợ hoặc sự kiện
tín dụng khác). Nhƣ một CDO tiền mặt, nguy cơ tổn thất trên danh mục
đầu tƣ của CDO đƣợc chia thành các phân ngạch. Các thiệt hại đầu tiên
sẽ ảnh hƣởng đến các phân ngạch vốn cổ phần, tiếp theo các phân
ngạch cấp thấp, và cuối cùng là các phân ngạch cấp cao.
Ví dụ. Ngân hàng Goldman Sachs, sau khi ký hợp đồng cho vay với 15 nhà
máy với lãi suất 4%, đã quyết định phát hành CDO dựa trên những khoản vay
8
này để bán lại và từ đó chuyển rủi ro vỡ nợ sang phía ngƣời mua. CDO đƣợc
phát hành thành 3 loại gồm an toàn, bình thƣờng và rủi ro. Đối với loại an
toàn, mức lãi suất nhà đầu tƣ nhận đƣợc chỉ là 1,5%. Đối với loại bình
thƣờng, mức chi trả là 3%. Ngƣời mua CDO loại rủi ro sẽ nhận đƣợc mức lãi
suất 7% nhƣ một sự đền bù. Nếu một hoặc nhiều nhà máy lâm vào tình trạng
phá sản, số tiền thu hồi từ những khoản vay còn lại sẽ đƣợc thanh toán lần
lƣợt theo thứ tự ƣu tiên: nhóm an toàn, nhóm bình thƣờng rồi mới đến nhóm
rủi ro. Về phần Goldman, ngân hàng này sẽ nhận đƣợc chênh lệch 1,5% từ
việc phát hành CDO.
Nhƣ lịch sử đã cho thấy, lợi thế của CDO có thể trở thành bất lợi trong tình
trạng kinh tế đang gặp nhiều khó khăn. Những tổn thất có thể đột ngột phát
sinh, ẩn giấu sự thay đổi về sự ổn định kinh tế vĩ mô. Vì thế, việc tính toán
phí bảo lãnh phát hành của các phân ngạch là điều cần thiết và cần phải đánh
giá đƣợc sự tƣơng quan giữa các loại tài sản trong một danh mục tài sản.
Nhận xét một cách trực quan, phí bảo lãnh phát hành và mối tƣơng quan phá
sản là tƣơng quan dƣơng. Mặc dù điều này đúng với các phân ngạch cấp cao,
nhƣng lại không đúng đối với các phân ngạch cơ sở theo mô hình Gauss
copula. Tƣơng quan càng cao thì xác suất phá sản đồng thời càng cao (đồng
nghĩa với tổn thất càng lớn) nhƣng cũng có thể tỉ lệ phá sản thấp, hay tổn thất
ít. Một mặt, tổn thất nhỏ không ảnh hƣởng đến phí bảo lãnh phát hành của các
phân ngạch cao cấp, do những khoản thua lỗ đƣợc tính cho các phân ngạch cơ
sở, tuy nhiên, xác suất tổn thất lớn tăng sẽ làm giảm phí bảo lãnh phát hành
của các phân ngạch cơ sở. Hình 1.2 cho ta thấy đƣợc mối quan hệ giữa sự
tƣơng quan phá sản và phí bảo lãnh phát hành của các phân ngạch.
9
Hình 1.2. Mối quan hệ giữa phí bảo lãnh phát hành của các phân ngạch và tƣơng
quan phá sản trong mô hình Gauss copula . Nguồn: Meissner [9].
1.3.2.2 Định giá CDO
Giả sử có N thực thể trong danh mục tài sản. Hàm tổn thất tổng L t của danh
mục tài sản tại thời điểm t đƣợc tính bằng
N
L t : 1 Ri Pi 1Ti t ,
(1.4)
i 1
với Ri là lãi suất thu hồi, Pi là giá trị gốc và Ti là thời gian phá sản của thực
thể i. Cho , lần lƣợt là điểm attachment và detachment6, khi đó hàm tổn
thất tích lũy L, t đƣợc tính bởi
,
L
0
t L t
L t
nếu L t .
L t
Trong mô hình định giá CDO có hai loại phí, một là phí bảo hiểm (premium
leg), hai là phí bồi thƣờng phá sản (default leg). Phí bảo hiểm xác định chi phí
6
Attachment point và detachment point là hai điểm đại diện cho mức độ tổn thất của mỗi phân ngạch.
Attachment xác định giới hạn dƣới, detachment xác định giới hạn trên.
10
bảo hiểm mà ngƣời mua phải trả tính theo vốn lƣu động theo ngày thanh toán,
đó là
K ti
PremLeg E s , DF t min max L t , dt ,
i 1 ti 1
(1.5)
với K là số tiền phải thanh toán cho tới ngày đáo hạn, DF t là hệ số chiết
khấu phi rủi ro, là hệ số day-count và s , là phí bảo lãnh phát hành của
phân ngạch. Phí bồi thƣờng phá sản là giá trị phá sản kì vọng, đƣợc tính bằng
DefLeg E
M
0
DF t dL, t .
(1.6)
Khi đó ta tính đƣợc s , khi cho (1.5) bằng (1.6), ta đƣợc
s
,
E
M
0
DF t dL , t
(1.7)
K ti
E DF t min max L t , dt
i 1 ti 1
11
.
Chƣơng 2: Copula và sự phụ thuộc ngẫu nhiên
Ở chƣơng này, chúng ta sẽ giới thiệu lý thuyết copula và phát biểu những mối
liên hệ giữa hàm nối copula và hàm phân phối. Ta chứng minh đƣợc rằng với
mỗi biên liên tục thì chỉ tồn tại duy nhất một hàm nối copula. Đây chính nội
dụng của định lý Sklar và là trọng tâm trong mô hình Li. Hơn nữa, ta xem xét
những tính chất phù hợp cho độ đo phụ thuộc và sẽ thấy đƣợc một vài tính
chất trái ngƣợc nhau. Cùng với đó, chúng ta thảo luận về một vài độ đo phụ
thuộc, ví dụ nhƣ tƣơng quan Pearson hay còn gọi là tƣơng quan tuyến tính, 2
độ đo tƣơng quan hạng và kiểm tra những tính chất mà chúng có. Sau cùng, ta
sẽ tìm hiểu về hệ số phụ thuộc đuôi cho các biến ngẫu nhiên và giới thiệu một
vài tính chất phù hợp cho mô hình Li copula.
2.1 Giới thiệu về Copula
Từ copula bắt nguồn từ nghĩa Latin, có nghĩa là sợi dây, sự liên kết hoặc kết
nối. Qua đó ta hiểu, thông qua copula, ngƣời ta có thể kết nối hoặc ghép đôi
những phân phối biên duyên vào cùng một phân phối đa biến. Đây là ý tƣởng
cơ bản đằng sau hàm nối copula. Li [7] sử dụng một số copula, đặc biệt là
copula Gauss, để tạo ra một cấu trúc phụ thuộc giữa các phân phối biên
duyên. Sự tồn tại của các copula này đƣợc chỉ ra qua định lý Sklar về copula
của các biến ngẫu nhiên liên tục.
Định nghĩa 2.1. (Copula của vector X, Joe [5]). Một copula C của một vector
ngẫu nhiên X X1 ,..., X n là một hàm phân phối n chiều của vector ngẫu
nhiên Y F1 ( X1 ),..., Fn ( X n ) , với Fi là những hàm phân phối biên của X i với
i 1,..., n .
12
Ví dụ 2.2. Một số ví dụ về copula.
Một ví dụ đơn giản nhất về copula là một copula với các biến ngẫu
nhiên độc lập, đƣợc biểu diễn bởi
n
C u1 ,..., un ui
i 1
Một ví dụ khác cũng có thể đƣợc tìm trong Joe [5], chƣơng 5.
Một hàm copula hay đƣợc sử dụng là copula sống sót Ĉ . Trong trƣờng
hợp hai biến, nó đƣợc định nghĩa nhƣ sau
Cˆ u1 , u2 : u1 u2 1 C 1 u1 ,1 u2 .
(2.1)
Bổ đề 2.3. Cho X X1 , X 2 là một vector ngẫu nhiễn với hàm phân phối H và
các F1 , F2 lần lƣợt là các phân phối biên duyên khi đó
H x1 , x2 : P X1 x1 , X 2 x2 Cˆ F1 x1 , F2 x2 ,
với Fˆi xi 1 Fi xi với i 1, 2 .
Chứng minh. Đặt ui : Fi xi , i 1, 2 . Từ (2.2), ta có
Cˆ 1 u1 ,1 u2 1 u1 u2 C u1 , u2
1 u1 u2 C u1 , u2
1 P X 1 x1 , X 2 x2
P X 1 x1 , X 2 x2 .
Ví dụ sau xem nhƣ là một hệ quả của Bổ đề 2.3 cho những hàm phân phối
biên có cùng phân phối chuẩn của một hàm copula n-chiều, miền xác định của
nó là một khối siêu lập phƣơng [0,1]n. Do đó, miền xác định và miền giá trị
của một hàm copula n-chiều, hoặc một copula C có dạng
C : 0,1 0,1.
n
Hơn nữa, phân phối biên đồng dạng có dạng
C 1,...,1, ui ,...,1 ui
13
i 1,..., n.
Định lý 2.4. (Định lý Sklar) Cho F là một hàm phân phối n-chiều cùng với
các hàm phân phối biên F1 ,..., Fn . Khi đó tồn tại một hàm copula C sao cho
với x
n
,
F x1 ,..., xn C F1 x1 ,..., Fn xn .
(2.2)
Copula C đƣợc xác định một cách duy nhất trong (2.2) nếu những phân phối
biên F1 ,..., Fn là liên tục. Nếu F1 ,..., Fn không liên tục, C chỉ đƣợc xác định duy
nhất trên Ran F1 Ran Fn , với Ran Fi là tập giá trị của hàm số Fi . Ngƣợc
lại, nếu C là một copula và F1 ,..., Fn là hàm phân phối đơn biến, thì hàm phân
phối F đƣợc định nghĩa trong (2.2) là một hàm phân phối đa biến cùng với các
phân phối biên F1 ,..., Fn .
Lưu ý: Trong chứng minh dƣới đây chỉ xét tới trƣờng hợp biên liên tục và
chứng minh sự tồn tại và duy nhất của copula. Điều ngƣợc lại cũng đƣợc
chứng minh cho những biên liên tục. Chứng minh đầy đủ có thể tìm trong
Schweizwer và Sklar [13] và Nelson [11].
Chứng minh. Sự tồn tại, Cho X X1 , X 2 ,..., X n là một vector ngẫu nhiên cùng
với hàm phân phối F và các biên liên tục F1 ,..., Fn . Khi Fi liên tục với mọi i, ta
có
P X1 x1 ,..., X n xn P F1 X1 F1 x1 ,..., Fn X n Fn xn ,
và hơn nữa thông qua Bổ đề A.1 (Phụ lục) ta có
Fi X i U 0,1
i 1,..., n.
Qua Định nghĩa 2.1, F1 x1 ,..., Fn xn tồn tại một copula C là hàm phân phối.
Chứng minh tƣơng tự nhƣ cho tính duy nhất: Cho xi F 1 ui i 1,..., n khi đó
qua sự liên tục của phân phối biên ta có,
C u1 ,..., un F F11 u1 ,..., Fn 1 un .
14
(2.3)
Đây là một biểu diễn duy nhất nên C là duy nhất. Trái lại, cho C là một copula
và F1 ,..., Fn là những hàm phân phối đơn biến duy nhất. Giả sử vector
U U1 ,...,U n có hàm phân phối C. Cho X : F11 U1 ,..., Fn 1 U n , khi đó qua
bổ đề A.1
P X 1 x1 ,..., X n xn P F11 U1 x1 ,..., Fn 1 U n xn
P U1 F1 x1 ,...,U n Fn xn
C F1 x1 ,..., Fn xn .
Để dễ hiểu, trong phần giải thích của định lý Sklar, chúng ta có thể định nghĩa
một copula duy nhất cho một hàm phân phối đa biến F nếu biên là liên tục.
Chúng ta cần biết hàm phân phối đồng thời của những rủi ro tín dụng X1 ,..., X n
để xác định hàm copula. Mệnh đề đảo trong định lý Sklar chỉ rõ rằng với một
copula có thể xác định một hàm phân phối đa biến F cùng với các biên
F1 ,..., Fn thông qua phƣơng trình (2.2). Điều đó có nghĩa rằng hàm phân phối
này là một hàm phân phối tùy ý và không phải lúc nào phân phối của bất kỳ
biến ngẫu nhiên nào cũng có cùng phân phối biên F1 ,..., Fn . Điều này có nghĩa
rằng định lý Sklar không đƣa ra bất kỳ kết quả nào trong việc mô hình hóa
hàm phân phối cho các dữ liệu với hàm phân phối chƣa biết.
Hệ quả 2.5. Cho X1 ,..., X n là một vector ngẫu nhiên với các phân phối biên
liên tục F1 ,..., Fn . Hơn nữa cho h1 ,..., hn là những hàm tăng ngặt. Nếu C là một
copula của X, thì C cũng phải là copula của một vector ngẫu nhiên
Y h1 X1 ,..., hn X n .
Định lý dƣới đây đƣợc gọi là định lý Fréchet-Hoeffding, đƣợc dùng phổ biến
cho lý thuyết về copula.
Định lý 2.6. (Fréchet-Hoeffding) Cho C là một copula, khi đó với mọi
u, v 0,1 ,
2
15
W u, v : max{u v 1,0} C u, v min u, v : M u, v .
Chứng
minh.
Giả
2
u, v 0,1 , khi đó
sử
(2.4)
C u, v C 1, v v
và
C u, v C u,1 u. Vì thế, C u, v min u, v . Hơn nữa, qua Bổ đề 2.3 ta có
1 u v C u, v Cˆ 1 u,1 v 0.
Do đó, C u, v u v 1, kết hợp với điều kiện C u, v 0 ta đƣợc
C u , v W u , v .
Định lý này cũng đúng trong trƣờng hợp nhiều chiều. Để tìm hiểu rộng hơn
có thể tham khảo trong Nelson [11], mục 2.5. Bổ đề dƣới đây có thể tìm trong
McNeil [8].
Bổ đề 2.7. Cho X1 , X 2 là một vector ngẫu nhiên cùng với hàm phân phối
đồng thời
F và các biên liên tục là F1 và F2, sao cho
F x1 , x2 C F1 x1 , F2 x2 với mỗi copula C duy nhất. Khi đó, phân phối điều
kiện của C đƣợc cho bởi
C X 2 | X1 u2 | u1
C u1 , u2 ,
u1
với ui Fi xi với i 1, 2 .
Chứng minh. Ta biết rằng CX | X u2 | u1 P F2 X 2 u2 | F1 X1 u1 với
2
1
2
u1 , u2 0,1 . Hơn nữa ta có thể viết
P U 2 u2 | U1 u1
u2
fU2 |U1 t , u1 dt ,
với Ui Fi X i , i 1, 2 .
Ta có fU |U t , u1
2
1
fU1 ,U 2 t , u1
fU1 u1
u2
. Vì U1 U 0,1 , ta có fU |U t , u1 fU ,U t , u1 và
fU1 ,U2 t , u1 dt
2
1
u1 u2
fU ,U t , s dtds,
u1 1 2
16
1
2
- Xem thêm -