Tài liệu Luận văn độ cao trong hình học diophantine

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ——————–o0o——————– BÙI VĂN HOÀN MỞ ĐẦU VỀ HÌNH HỌC DIOPHANTINE Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đỗ Đức Thái Hà Nội, Tháng 6 - 2017 Mục lục Lời cảm ơn 2 Lời nói đầu 3 1 Giá trị tuyệt đối. Một số khái niệm cơ bản 5 1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Một số tính chất và định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Bao đầy đủ. Định lý Artin - Whaples về xấp xỉ yếu. Định lý Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Mở rộng trường 30 2.1 Mở rộng không rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Mở rộng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tài liệu tham khảo 45 1 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH Đỗ Đức Thái. Thầy đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành luận văn này. Em xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy Cô giáo trong khoa Toán-Tin, đặc biệt là các Thầy Cô giáo trong Bộ môn Hình học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại Khoa. Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp K25 Cao học Toán, chuyên ngành Hình học-Tôpô, đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Hà nội, ngày... tháng 6 năm 2017 Học viên Bùi Văn Hoàn 2 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn Lời nói đầu Trước hết ta phát biểu lại định lý Helly cổ điển. Định lý Helly. Giả sử C1 , C2 , ..., Cm (m > n) là các tập con lồi trong Rn . Nếu n + 1 phần tử bất kỳ trong họ C1 , C2 , ..., Cm có điểm chung thì tất cả các Ci (i = 1, 2, ..., m) có điểm chung. m T Nói cách khác, nếu Ci = ∅ thì có k + 1 (k ≥ n) phần tử Ci1 , ..., Cik+1 i=1 sao cho Ci1 ∩ Ci2 ∩ ... ∩ Cik+1 = ∅. Như chúng ta đã biết, định lý Helly có vai trò quan trọng trong Hình học lồi và có nhiều ứng dụng trong toán học. Vì vậy, luận văn của chúng tôi nhằm tìm hiểu định lý Helly. Cụ thể, luận văn gồm hai mục đích chính là: - Trình bày những cách chứng minh sơ cấp về định lý Helly trong không gian Rn . Những cách chứng minh đó đều tránh sử dụng khái niệm giới hạn và do đó vẫn còn hiệu lực cho không gian affine thực n chiều. - Trình bày một số ứng dụng quan trọng của định lý Helly trong Hình học nói chúng và trong Hình học lồi nói riêng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TSKH Đỗ Đức Thái, người đã hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy Cô giáo khoa Toán-Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội cùng toàn thể bạn bè và người thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. 3 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trình bày trong luận văn không thể tránh khỏi có những sai sót. Chúng tôi mong muốn nhận được sự góp ý chỉ bảo của thầy cô và các bạn. Hà nội, ngày... tháng 6 năm 2017 Học viên Bùi Văn Hoàn 4 Chương 1 Giá trị tuyệt đối. Một số khái niệm cơ bản 1.1 Định nghĩa Cho k là một trường. Một giá trị tuyệt đối trên k là một hàm số |.| : k → R≥0 từ k vào tập tất cả các số thực không âm thỏa mãn các tiên đề (1) - (3) sau đây: (1) |x| ≥ 0, ∀x ∈ k; |x| = 0 khi và chỉ khi x = 0 (2) |xy| = |x||y|, ∀x, y ∈ k (3) |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ k Nhóm |k ∗ | ⊂ R>0 được gọi là nhóm các giá trị của |.|. Chú ý. Thông thường người ta kí hiệu |.| là một giá trị tuyệt đối, song đôi khi cũng dùng kí hiệu chữ v; ω, ... Nếu xét điều kiện sau: 5 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn (3’) |x + y| ≤ M ax(|x|, |y|), ∀x, y ∈ k thì rõ ràng do (3’) ⇒ (3), hàm |.| : k → R≥0 thỏa mãn các điều kiện (1), (2) và (3’) cũng là một giá trị tuyệt đối và được gọi là giá trị tuyệt đối không Acsimet, nghĩa là giá trị tuyệt đối không thỏa mãn tiên đề sau của Asimet (Arkhimedes - APXIMH∆HΣ): (A) Nếu C là số thực dương tùy ý thì tồn tại số tự nhiên n sao cho |n.1| > C. Ví dụ. Cho k = Q (tương ứng k = R, C) là trường số hữu tỷ (tương ứng số thực, phức). Khi đó giá trị tuyệt đối thông thường trên k (hay chuẩn của số phức, nếu k = C) là một giá trị tuyệt đối (Asimet, vì nó thỏa mãn tiên đề A). Giả sử giá trị tuyệt đối |.| : k → R≥0 thỏa mãn điều kiện |x| = 1 với mọi x ∈ k ∗ := k\ {0}. Khi đó giá trị tuyệt đối |.| được gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường và giá trị tuyệt đối này có thể xác định trên mọi trường. Rõ ràng đây cũng là giá trị tuyệt đối không Acsimet. Ví dụ. Cho k = Q, p là một số nguyên tố. Với x ∈ Q tùy ý, ta có thể viết x = pα r/s một cách duy nhất với α, r, s ∈ Z, r/s là tối giản và (p, rs) = 1. Ta kí hiệu vp (x) := α và định nghĩa chuẩn p-adic của x bởi |x|p := (1/p)vp (x) = (1/p)α Khi đó |.|p là một giá trị tuyệt đối không ácsimét trên Q. Ta cũng kí hiệu |.|∞ là giá trị tuyệt đối thông thường trên Q, R. 6 Luận văn thạc sĩ 1.2 Bùi Văn Hoàn Một số tính chất và định lý cơ bản Mệnh đề sau cho ta một số tính chất đơn giản của giá trị tuyệt đối, mà chứng minh đọc như một bài tập đầu tiên trong lý thuyết giá trị tuyệt đối. Mệnh đề 1.2.1. Cho |.| là một giá trị tuyệt đối trên trường k. Khi đó ta có: 1) |1| = | − 1| = 1; 2) |x| = | − x| với mọi x ∈ k; 3) |x−1 | = |x|−1 , với mọi x ∈ k ∗ ; 4) ||x| − |y|| ≤ |x − y|, với mọi x; y ∈ k; 5) Hàm số d(x; y) := |x − y|, với mọi x, y ∈ k, xác định một mêtric trên k; 6) Trường hữu hạn chỉ có một giá trị tuyệt đối duy nhất là giá trị tuyệt đối tầm thường. Định nghĩa 1.2.2. Giả sử |.| là một giá trị tuyệt đối trên k. Mêtric d ở mệnh đề trên xác định một tôpô trên k, được gọi là tôpô xác định bởi giá trị tuyệt đối |.|. Trên các tập con của k ta xét tôpô cảm sinh và kí hiệu Bα (x) (tương ứng Ba0 (x)) là hình cầu mở (tương ứng đóng) tâm x bán kính a > 0. Định nghĩa 1.2.3. Hai giá trị tuyệt đối |.| và |.|0 trên k được gọi là tương đương nếu tôpô mà chúng xác định trên k tương đương. Khi đó ta viết |.| ∼ |.|0 . 7 Luận văn thạc sĩ Định nghĩa 1.2.4. Chuỗi Bùi Văn Hoàn P 1≤i≤∞ xn với các phần tử xn ∈ k được gọi là hội tụ với a ∈ k nếu dãy tổng riêng Sn → a theo tôpô xác định bởi giá trị tuyệt đối |.|. Mệnh đề 1.2.5. Cho k là trường với giá trị tuyệt đối |.|. Khi đó, với tôpô xác định bởi giá trị tuyệt đối |.|, k là trường tôpô, tức là các phép toán đại số (x; y) 7→ x + y, (x; y) 7→ x.y (x, y ∈ k), x 7→ x−1 (x ∈ k ∗ ) là liên tục trong tôpô đã cho (trên k × k ta trang bị tôpô tích thông thường). Ngoài ra, ánh xạ x 7→ |x| từ k → R≥0 là liên tục. Chứng minh. Ta chứng minh rằng ánh xạ f : (x; y) 7→ x + y là liên tục. Cho x; y là hai phần tử tùy ý của k và cho T là một lân cận mở của x + y, với B := Bc (x + y) ⊂ T . Xét các lân cận mở tương ứng của x; y là U := Bc/2 (x); V := Bc/2 (y). Kí hiệu U +V := f (U ×V ) = {u + v| u ∈ U, v ∈ V }. Rõ ràng, x + y ∈ U + V , và với u ∈ U ; v ∈ V , ta có |u + v − x − y| = |(u − x) + (v − y)| ≤ |u − x| + |v − y| < c/2 + c/2 = c, nên u + v ∈ B, hay U + V ⊂ B ⊂ T . Do đó phép toán + là liên tục. Các khẳng định còn lại có thể chứng minh tương tự. Hệ quả 1.2.6. Nếu k0 ⊂ k là một trường con, thì hạn chế của giá trị tuyệt đối |.| lên trên k0 là một và với tôpô cảm sinh, k0 là trường tôpô con của k Chứng minh. Hiển nhiên Định nghĩa 1.2.7. Cho |.| là một giá trị tuyệt đối trên trường k, L/k là một mở rộng trường với giá trị tuyệt đối |.|0 . Ta nói |.|0 là mở rộng của |.| 8 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn lên trên L (và |.| là hạn chế của |.|0 lên trên k) nếu với mọi x ∈ k, ta có |x| = |x|0 . Ví dụ. Giá trị tuyệt đối thông thường trên R là mở rộng của giá trị tuyệt đối trên Q. Ví dụ. Chuẩn của số phức |z| := √ a2 + b2 , z = a + bi, là giá trị tuyệt đối trên C và là mở rộng của giá trị tuyệt đối trên R. Định nghĩa 1.2.8. Cho (k, |.|), (k 0 , |.|0 ) là hai trường với các giá trị tuyệt đối tương ứng là |.|, |.|0 , k và k 0 là đẳng cấu tôpô nếu tồn tại đẳng cấu trường ϕ : k ' k 0 sao cho |ϕ(x)|0 = |x|, với mọi x ∈ k. Mệnh đề 1.2.9. Một đẳng cấu trường ϕ : k ' k 0 bất kỳ chuyển một giá trị tuyệt đối |.| trên k lên một giá trị tuyệt đối |.|0 trên k 0 , và xác định một đẳng cấu tôpô k ' k 0 . Chứng minh. Với mọi x0 ∈ k 0 , ta định nghĩa |x0 | := |ϕ−1 (x0 )|. Dễ dàng kiểm tra được rằng |.|0 là một giá trị tuyệt đối trên k 0 , và lúc đó hiển nhiên k và k 0 là đẳng cấu tôpô. Ví dụ. Giả sử K là một trường với giá trị tuyệt đối |.| và f : k → K là một phép nhúng (hay đồng cấu không tầm thường) của trường. Khi đó k ' f (k), và f −1 : f (k) → k chuyển giá trị tuyệt đối hạn chế của |.| lên f (k) thành một giá trị tuyệt đối trên k. Định nghĩa 1.2.10. Vành nguyên thủy trong một trường k là vành con của k sinh bởi 1. 9 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn Do đó, một vành nguyên thủy hoặc đẳng cấu với Z, nếu char.k = p > 0, hoặc với trường hữu hạn Fp với p phần tử, nếu char.k = p > 0. Định lý 1.2.11. Cho k0 là một vành nguyên thủy trong trường k. Một giá trị tuyệt đối |.| trên k là phi ácsimét khi và chỉ khi hạn chế |.|0 của |.| trên k0 là hàm bị chặn. Chứng minh. Giả sử |.| là phi ácsimét. Khi đó với mọi số nguyên dương m, ta có |m.1| = |1 + ... + 1| ≤ M ax(|1|, ...|1|) = 1, nên |.|0 là bị chặn. Ngược lại, giả sử |.|0 là bị chặn trên k0 , tức là |m.1| < M với mọi m ∈ N, M là một hằng số dương nào đó. Cho x.y ∈ k tùy ý. Ta cần chứng minh rằng |x + y| ≤ M ax(|x|, |y|). Chú ý rằng, với M1 = M ax(|x|, |y|), ta luôn có |x| ≤ M1 ; |y| ≤ M1 . Ta có: X Cni xn−i y i + 1.y n | (|x + y|)n = |(x + y)n | = |1.xn + 1≤i≤n−1 X ≤ |1||x|n + |Cni ||xn−i ||y i | + |1||y|n 1≤i≤n−1 X |xn−i ||y i | + |y|n ) ≤ M (|x|n + 1≤i≤n−1 X ≤ M (M1n + M1n−i M1i + M1n ) 1≤i≤n−1 = M.n.M1n Lấy căn bậc n cả hai bế ta có : |x + y| ≤ (M.n.M1n )1/n = M1 (M.n)1/n Vì điều này đúng với mọi n, nên ta có thể cho n → ∞. Nhớ rằng n1/n → 1 và M 1/n → 1 khi n → ∞, nên |x + y| ≤ M1 = M ax(|x|, |y|). 10 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn Nguyên lý trội sau đây có rất nhiều ứng dụng. Định lý 1.2.12. (Nguyên lý trội) Cho |.| là giá trị tuyệt đối phi Asimet trên trường k, xn là dãy các phần tử của k. 1) Nếu |xi | < |x1 | với mọi 1 ≤ i ≤ n, thì |x1 + x2 + ... + xn | = |x1 |. 2) Nếu |x1 | < |x1 | với mọi i, và chuỗi P xn hội tụ tới a ∈ k, thì |a| = |x1 |. P 3) Giả sử k là đầy đủ với mêtric |.|. Chuỗi xn hội tụ trong k khi và chỉ P P P khi |xn | → 0 trong R. Nếu chuỗi xn ; yn hội tụ, thì (xn + yn ) P P P cũng hội tụ, và (xn + yn ) = xn + yn . Chứng minh. 1) Bằng quy nạp, ta đưa bài toán về việc chứng minh |x + y| = |x| nếu |x| > |y|. Quả vậy, ta có M ax(|x|, |y|) = |x|; |x| = |(−y) + (x + y)| ≤ M ax(|y|, |x + y|) ≤ M ax(|x|, |y|) = |x|. Do vậy |x| = M ax(|y|, |x + y|), nhưng |x| > |y|, nên |x + y| = |x|. 2) Kí hiệu tổng riêng bằng Sn . Theo 1) ta có |Sn | = |x1 |, với mọi n. Vì Sn → a, mà ánh xạ x → |x| là liên tục (theo mệnh đề 1.2.2), nên |a| = |x1 |. 3) Giả sử P xn → x, tức là Sn → x. Khi đó Sn − Sm là dãy Cauchy và Sn+1 − Sn = xn → 0 khi n → ∞. Ngược lại, giả sử xn → 0. Khi đó |Sn+m − Sn | = |xn+1 + ... + xn+m | ≤ M ax xi |xn+i | → 0, nên Sn P là dãy Cauchy; vậy nó hội tụ trong k, vì k đầy đủ. Giả sử xn → P x; yn → y. Khi đó ta viết xn → 0; yn → 0, nên xn + yn → 0, 11 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn P P và theo trên (xn + yn ) hội tụ. Vì x + y − 1≤i≤N (xi + yi ) = (x − P P P x ) + (y − y ) → 0, nên i i 1≤i≤N 1≤i≤N 1≤i≤N (xi + yi ) → x + y Cho k là một trường con của trường K (hay K là trường mở rộng của k). Định lý 1.2.13. Nếu K là mở rộng đại số của k, thì một giá trị tuyệt đối |.| trên K là tầm thường khi và chỉ khi hạn chế của nó trên k cũng vậy. Chứng minh. Khẳng định "chỉ khi" là tầm thường. Giả sử hạn chế của |.| lên k tầm thường, và có phần tử a ∈ K ∗ sao cho |a| = 6 1. Có thể giả thiết rằng |a| > 1, vì nếu không, xét phần tử nghịch đảo a−1 . Vì a là đại số trên k, a thỏa mãn phương trình đại số an + a1 an−1 + .... + an−1 a + an = 0; ai ∈ k, i = 1, ..., n Mặt khác, với 1 ≤ i ≤ n, ta có |ai an−i | = |ai ||an−i | = |an−i | < |an | vì |a| > 1. Do đó theo định lý trên ta có 0 = |an + a1 an−1 + ...... + an−1 a + an | = |an |, vô lý. Vậy |.| là tầm thường trên K. Định lý 1.2.14. a) Nếu |.| là giá trị tuyệt đối trên k tương đương với giá trị tuyệt đối tầm thường, thì chính nó cũng là tầm thường. b) Cho |.|1 ; |.|2 là hai giá trị tuyệt đối trên k. Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương. 12 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn 1) |.|1 là tương đương với |.|2 2) Với x ∈ k bất kì, thì |x|1 < 1 ⇔ |x|2 < 1 3) Tồn tại c ∈ R>0 , sao cho với mọi x ∈ k ta có |x|1 = |x|c2 a) Ta kí hiệu |.|0 là định giá tầm thường trên k. Cơ sở tô n∼ o pô mà nó xác định gồm các hình cầu B c (x) | c > 0 có tâm tại phần Chứng minh. ∼ tử x ∈ k tùy ý. Rõ ràng chúng thỏa mãn các tính chất: B c (x) = k, nếu ∼ c ≥ 1, và B c (x) = {x}, nếu c < 1. Từ đó ta suy ra rằng tô pô xác định bởi |.|0 trên k tô pô rời rạc, và tô pô xác định bởi giá trị tuyệt đối |.| cũng cậy. Giả sử |.| không là tầm thường. Khi đó tồn tại a ∈ k sao cho |a| 6= 1. Có thể giả thiết rằng |a| < 1, nếu không, ta xét phần tử a−1 . Khi đó dễ thấy rằng dãy (an )n∈N hội tụ đến 0, do đó Bn := B|a|n (0) lập nên một cơ sở lân cận mở tại 0. Vì |.| là tương đương với |.|0 , nên với ∼ bất kỳ B c (0) lập nên một cơ sở lân cận mở tại 0. Vì |.| tương đương ∼ ∼ với |.|0 , nên với bất kỳ B c (0) , c > 0, tồm tại n sao cho Bn ⊂ B c (0). Chọn c > 1, ta thấy Bn ⊂ {0}, vô lý vì Bn chứa vô hạn phần tử. b) Ta ký hiệu tô pô xác định bởi |.|i là Ti . 1) ⇒ 2) Giả sử a ∈ k sao cho |a|1 < 1. Lúc đó tập U := {x ∈ k||x|2 < 1} là một lân cận mở của 0 trong k đối với cả hai tô pô vì T1 = T2 . Vì an → 0 khi n → ∞, nên với n đủ lớn, ta có an ∈ N, tức |a|n2 < 1, hay |a|2 < 1. 13 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn 2) ⇒ 3) Rõ ràng điều kiện 2. tương đương với điều kiện |x|1 > 1 ⇔ |x|2 > 1. Do đó với bất kỳ x ∈ k, ta có |x|1 = 1 ⇔ |x|2 = 1. Nếu một trong hai giá trị tuyệt đối trên là tầm thường, thì giá trị tuyệt đối còn lại cũng vậy, nên ta có thể giả thiết cả hai đều không tầm thường. Có thể chọn a ∈ k sao cho |a|2 > 1. Khi đó |a|1 > 1. Chọn c > 0 sao cho |a|1 = |a|c2 , ta chứng minh rằng với mọi x ∈ k thì |x|1 = |x|c2 . Giả sử ngược lại, và cho x ∈ k sao cho |x|1 < |x|c2 (trường hợp |x|1 > |x|c2 chứng minh tương tự). Chọn m/n ∈ Q, n > 0 sao cho m/n |x|1 < |a|1 m/n < |x|c2 . Do đó, |x|1 < |a|1 cm/n = |a|2 < |x|c2 , nên ta có n m n m n m |x|n1 < |a|m 1 và |a|2 < |x|2 , hay |x /a |1 < 1, |x /a |2 > 1, vô lý. 3) ⇒ 1) Hiển nhiên. Hệ quả 1.2.15. 1) Giả sử |.|i , i = 1, 2 là hai giá trị tuyệt đối trên k, với |.|1 6= 1. Khi đó |.|1 ' |.|2 nếu với bất kỳ x ∈ k , ta có |x|1 < 1 ⇒ |x|2 < 1. 2) Cho E/k là mở rộng trường, |.|1 , |.|2 là hai giá trị tuyệt đối tương đương trên E. Nếu chúng có cùng hạn chế không tầm thường |.| trên k thì chúng đồng nhất bằng nhau. Chứng minh. 1) Cho a ∈ k sao cho |a|1 > 1. Khi đó |a−1 |1 < 1, nên |a−1 |2 < 1, |a|2 > 1. Do đó chỉ cần chứng minh với mọi x ∈ k, |x|1 = 1 ⇒ |x|2 = 1. Vì |.|1 không tầm thường, nên ta chọn được b ∈ k ∗ sao cho |b|1 < 1. Khi đó |b|2 < 1, và với mọi n ∈ Z, |xn b|1 < 1, nên 14 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn |xn b|2 < 1, hay 0 < |b|2 < |1/x|n2 . Cho n → ∞, ta thấy |1/x|2 ≥ 1, và cho n → −∞, ta thấy |x|2 ≥ 1, vậy |x|2 = 1. 2) Theo trên tồn tại p > 0 sao cho |x|1 = |x|p2 . Chọn a ∈ k sao cho |a| = |a|1 (= |a|2 ) 6= 1. Khi đó do |a| = |a|p , ta phải có p = 1. Vậy |.|1 = |.|2 . 1.3 Bao đầy đủ. Định lý Artin - Whaples về xấp xỉ yếu. Định lý Ostrowski Trong mục này chúng ta khảo sát sự tồn tại của bao đầy đủ của một trường với giá trị tuyệt đối và chúng ta sẽ làm quen với hai kết quả tổng quát cơ bản trong lý thuyết xấp xỉ trong trường và vành trang bị tô pô. Cho k là một trường với giá trị tuyệt đối |.|. Khi đó k là không gian mêtric, với mêtric cảm sinh từ |.|. Ta biết rằng mọi không gian mêtric đều có thể làm đầy đủ, tức được nhúng trù mật vào trong một không gian mêtric đầy đủ. Định lý cơ bản sau đây nói rằng ta cũng có thể làm như vậy đối với trường có giá trị tuyệt đối. Định lý 1.3.1. Cho k là trường với giá trị tuyệt đối |.|. Khi đó tồn tại trường K với các tính chất sau đây: 1) K là trường với giá trị tuyệt đối |.|0 và là đầy đủ đối với mêtric cảm sinh từ |.|0 15 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn 2) Tồn tại phép nhúng i : k → K, sao cho giá trị tuyệt đối trên i(k) cảm sinh từ k là hạn chế của giá trị tuyệt đối |.|0 lên trên i(k), và i(k) là trù mật trong K. 3) Bộ (i, K, |.|0 ) là duy nhất với độ chính xác đẳng cấu. Chính xác hơn, nếu (j, L, |.|00 ) là một bộ thỏa mãn 1), 2), thì tồn tại một đẳng cấu tô pô các trường ϕ : K → L, chuyển |.|0 lên |.|00 , sao cho ϕ(i(k)) = j(k). Chứng minh. Cách 1. Ta biết rằng k có thể làm đầy đủ như không gian mêtric thông thường, và kí hiệu bao đầy đủ của nó là K. Cho x; y ∈ K. Khi đó x = lim xn ; y = lim yn , với xn ; yn ∈ k. Vì các dãy trên có giới hạn, nên chúng là dãy Cauchy trong k. Khi đó tổng, tích của chúng cũng vậy, và do đó cũng có giới hạn. Kí hiệu x + y := lim(xn + yn ); xy := lim(xn yn ). Dễ thấy rằng, bằng cách đó có thể xác định hai phép toán đại số trên K, và K là vành giao hoán với các phần tử 0; 1 là các phần tử tương ứng của trường k. Nếu x 6= 0, thì với n > N đủ lớn, xn 6= 0, do vậy, dãy (xn−1 )n>N có giới hạn và kí hiệu x−1 . Ta có thể kiểm tra ngay rằng đó chính là phần tử nghịch đảo của x trong vành K. Do vậy K là một trường. Ta định nghĩa với x ∈ K; x = lim xn ; xn ∈ k, giá trị tuyệt đối |x| := lim |xn |. Không có gì khó khăn để kiểm tra rằng |x| cho một giá trị tuyệt đối trên K và là mở rộng của giá trị tuyệt đối trên k, và rằng k trù mật trong K. Tính duy nhất có thể chứng minh đơn giản: Cho (j, L, |.|00 ) là một bộ ba thỏa mãn 1), 2). Với bất kì x ∈ K, x = lim xn với xn = i(an ), an ∈ k, ta thấy (xn ) là dãy Cauchy trong i(k). Ta có đẳng cấu trường k ' i(k) ' j(k), 16 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn do đó có đẳng cấu tôpô ji−1 : i(k) ' j(k), và j(an ) cũng là dãy Cauchy trong j(k) ⊂ L, do đó có giới hạn trong L. Đặt y := lim j(an ), và dễ thấy y không phụ thuộc vào cách chọn dãy (an ): nếu x = lim x0n ; x0n = i(bn ), thì do lim x0n = lim xn , ta có lim i(an − bn ) = 0 và do vậy lim j(an − bn ) = 0 do đẳng cấu tôpô ở trên. Đặt y = ϕ(x), dễ dàng kiểm tra được rằng ϕ là đẳng cấu tôpô cần tìm. Cách 2. Ta xây dựng K theo các bước với ý tưởng chính như sau: Trước hết, cho C là tập hợp các dãy Cauchy của k, tức là các dãy (xn )n , xn ∈ k, sao cho |xn − xm | → 0, khi m; n → ∞. Nếu (xn ), (yn ) là hai dãy Cauchy, ta định nghĩa tổng và tích của hai dãy đó theo từng thành phần. Hiển nhiên là các dãy mới cũng là dãy Cauchy. Ta định nghĩa dãy x, với x ∈ k, là dãy (x, x...). Rõ ràng đó cũng là dãy Cauchy, vì nó có giới hạn. Hai dãy Cauchy (xn ); (yn ) được coi là tương đương (ta viết (xn ) ∼ (yn )) nếu xn −yn → 0 khi n → ∞.Ta kí hiệu C 0 = C/ ∼ là tập thương tương ứng. Dễ thấy rằng các phép toán đại số trên C cảm sinh các phép toán đại số trên C 0 , và với các phép toán cảm sinh, C 0 là một trường. Chú ý rằng ở đây, lớp tương đương là phần tử 0 của trường nếu nó chứa dãy (0; 0; 0....) và lớp tương đương là phần tử 1 nếu nó chứa dãy (1; 1; 1; ....). Nếu lớp X 6= 0, thì nó chứa dãy (xn ), với |xn | → a 6= 0, n → ∞. Do đó, với N đủ lớn, xn 6= 0 với mọi n ≥ N , do đó dãy (xn ) ∼ (yn ), với yi = 1, 1 ≤ i ≤ N, yi = xi , i > N , và lớp của (yn−1 ) cho ta phần tử nghịch đảo của X. Do đó, ánh xạ x 7→ (x, x...) từ k và C 0 là phép nhúng trường và ta coi k là trường con của C 0 qua phép nhúng đó. 17 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn Ngoài ra, nếu (xn ) là một dãy Cauchy, thì rõ ràng |xn | là một dãy Cauchy trong R, do đó có giới hạn a nào đó. Khi đó nếu (xn ) ∼ (yn ) thì |yn | → a. Do vậy trong một lớp X tương đương với dãy Cauchy, các dãy đó đều có chung giới hạn đối với giá trị tuyệt đối. Để cho đơn giản về ký hiệu, đặt |X| := a. Có thể kiểm tra không khó khăn rằng X 7→ |X| cho một giá trị tuyệt đối trên trường C 0 , và rõ ràng khi hạn chế lên k (coi là trường con của C 0 ), ta nhận được giá trị tuyệt đối ban đầu. Với X; Y ∈ C 0 tùy ý, (xn ) ∈ X; (yn ) ∈ Y , thì |X − Y | = lim |xn − yn |. Với mọi N ∈ N cho yN là lớp của dãy (xN , xN , ....) ∈ k. Ta có |X − YN | = lim |xn − xN |.Vì lim |xn − xm | = 0, khi n, m → ∞ nên limN |X − YN | = 0. Do vậy, k là trù mật trong C 0 . Giả sử (Xn ) là một dãy Cauchy trong C 0 . Với mọi n, cho xn ∈ k sao cho |Xn −xn | < 1/n; điều đó có thể là được vì k trù mật trong C 0 . Giả sử Xn chứa dãy (y(n)j )j ; y(n)j ∈ k. Khi đó theo định nghĩa ta có limj |y(n)j − xn | = |Xn − xn | < 1/n. Vậy với j0 (n) đủ lớn (phụ thuộc n), ta có |y(n)j − xn | < 1/n, với mọi j ≥ j0 (n). Mặt khác, (Xn ) là dãy Cauchy trong C 0 , nên với mọi ε > 0, tồn tại N (ε) sao cho với mọi n > N (ε), m > N (ε). Ta có |Xn − Xm | < ε tức là limj |y(n)j − y(m)j | < ε, với mọi n > N (ε), m > N (ε). Cho M (ε) := M ax(1/ε, N (ε)). Khi đó với n > M (ε), m > M (ε), ta có limj |y(n)j − y(m)j | < ε. Do đó với mọi j > j1 (M (ε)) đủ lớn, ta có 18 Luận văn thạc sĩ Bùi Văn Hoàn |y(n)j − y(m)j | < ε với mọi n > M (ε), m > M (ε). Ta có: |xn − xm | = |xn − y(n)j + y(n)j − y(m)j + y(m)j − xm | ≤ |xn − y(n)j | + |y(n)j − y(m)j | + |y(m)j − xm | ≤ 1/n + ε + 1/m < ε + 2/M (ε) ≤ 3ε với mọi n > M (ε), m > M (ε), j > M ax(j0 (M (ε)); j1 (M (ε))). Do đó, |xn − xm | ≤ 3ε, với n > M (ε), m > M (ε). Vậy (xn ) là dãy Cauchy, X = (xn ) ∈ C 0 . Với j đủ lớn, j > n và với n > M (ε), ta có: |y(n)j − xj | = |y(n)j − xn + xn − xj | ≤ |y(n)j − xn | + |xn − xj | ≤ 1/n + 3ε ≤ 4ε Do đó |Xn − X| = limj |y(n)j − xj | ≤ 4ε với n > M (ε). Vậy X = lim Xn . Vì X ∈ C 0 nên trường này là đầy đủ. Ta đặt K = C 0 , rõ ràng K thỏa mãn các điều kiện 1, 2. Để chứng minh tính duy nhất, có thể áp dụng cách chứng minh thứ nhất. Định nghĩa 1.3.2. Ta ký hiệu k|.| là bao đầy đủ của k đối với |.|. Như một hệ quả, ta có kết quả sau đây: Hệ quả 1.3.3. Cho k là trường với giá trị tuyệt đối |.|, K là bao đầy đủ của k đối với |.|, f là đẳng cấu tô pô của k vào một trường đầy đủ L. Khi đó f có thể thác triển thành một đẳng cấu tô pô của K vào L. Chứng minh. Quả vậy, cho K 0 là bao đóng của f (k) trong L. Ta biết lúc đó K 0 cũng là bao đầy đủ của f (k).Theo trên, ta có đẳng cấu tôpô f 0 : K ' K 0 và là thác triển của f . 19