Tài liệu Luận văn logic mờ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ KIM CHI LOGIC MỜ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ KIM CHI LOGIC MỜ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Đình Nam HÀ NỘI, NĂM 2017 MỤC LỤC MỤC LỤC ii LỜI CẢM ƠN iii LỜI MỞ ĐẦU iv 1 Lý thuyết tập mờ 1.1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 7 8 9 9 1.2.3 Phép lấy phần bù . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Tích Descartes giữa hai (nhiều) tập mờ . . . 1.2.5 Các tính chất liên quan . . . . . . . . . . . . Một số cách tiếp cận khác . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Định nghĩa tổng quát của phép giao . . . . . 1.3.2 Định nghĩa tổng quát của phép hợp . . . . . 1.3.3 Định nghĩa tổng quát của phép lấy phần bù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 13 13 17 17 19 22 2 Logic mờ 2.1 Quan hệ mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Các phép toán trên quan hệ mờ . . . . . . . . . . . . . . 25 25 25 26 1.2 1.3 Tập mờ và các khái niệm cơ bản . . . . 1.1.1 Khái niệm tập mờ . . . . . . . 1.1.2 Các kiểu hàm thuộc của tập mờ 1.1.3 Các đặc trưng của tập mờ . . . Các phép toán trên tập mờ . . . . . . . 1.2.1 Phép hợp . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Phép giao . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 2.2 2.3 Logic 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Biến ngôn ngữ và mệnh đề mờ . . . . . . . Phép phủ định . . . . . . . . . . . . . . . Phép hội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phép tuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . Một số quy tắc với phép hội và phép tuyển Luật De Morgan . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Phép kéo theo . . . . . . . . . . . 2.2.8 Phép hợp thành . . . . . . . . . . Suy luận theo logic mờ . . . . . . . . . . 2.3.1 Phương pháp lập luận xấp xỉ trên 2.3.2 Luật modus ponens tổng quát . . 2.3.3 Luật modus tollens tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . tập mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 31 32 32 35 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 44 48 48 55 59 3 Ứng dụng của logic mờ 3.1 Ứng dụng của logic mờ vào việc xác định thời gian trắc nghiệm khách quan môn Toán . . . . . . . . . 3.1.1 Giới thiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Mờ hoá dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Nhập dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Hệ thống mờ - thị giác màu sắc . . . . . . . . . . . 3.3 27 68 làm bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thi . . . . . . . . . . 68 68 69 74 75 Điều khiển mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 ii LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, TS. Lê Đình Nam, người đã đưa ra đề tài, luôn quan tâm và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong bộ môn Đại số đã giúp đỡ, góp ý kiến chỉ bảo để tác giả hoàn thành luận văn cũng như trong suốt khóa học vừa qua. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô Khoa đào tạo Sau đại học, Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện cho tác giả trong thời gian học tập tại trường. Đồng thời, tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đặc biệt là các thành viên trong lớp Đại số K25, đã động viên và cổ vũ rất nhiều trong suốt thời gian vừa qua. Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Học viên Bùi Thị Kim Chi iii LỜI MỞ ĐẦU Trong cuộc sống, con người truyền thông tin cho nhau chủ yếu bằng ngôn ngữ tự nhiên. Mặc dù ngôn ngữ tự nhiên thường đa nghĩa, không chính xác và không đầy đủ nhưng nó vẫn là phương tiện truyền thông tin mạnh mẽ và thông dụng nhất giữa con người với nhau. Nhưng con người thường hiểu đúng và ít khi hiểu sai những điều mà người khác muốn nói với mình. Tham vọng của các nhà toán học, logic học và công nghệ thông tin là muốn xây dựng cho máy móc khả năng suy diễn và xử lý thông tin, tương tự như bộ óc của con người. Như vậy, vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để máy tính hiểu được những tri thức diễn đạt bằng ngôn ngữ tự nhiên. Để đạt được điều này trước hết, người ta cần phải xây dựng một lý thuyết logic toán cho phép mô tả chính xác ý nghĩa của các mệnh đề không rõ ràng, đa nghĩa (hay còn gọi là "mờ"). Trong logic toán cổ điển, một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, nói cách khác nó có giá trị chân lý là 1 hoặc 0. Nhưng trong lập luận hằng ngày của chúng ta xuất hiện các mệnh đề đúng, sai không rõ ràng ví dụ như mệnh đề "xe máy đi với vận tốc 60 km/h là nhanh" thì đối với một số người là đúng, đối với một số người khác lại là sai. Do đó, từ nhanh là một khái niệm mơ hồ, không chính xác hay chắc chắn. Ngoài ra, có rất nhiều từ khác cũng rơi vào tình trạng tương tự như: chậm, giỏi, cao, thấp, giàu, nghèo,. . . . Như vậy, trong cuộc sống ta còn gặp rất nhiều những mệnh đề đúng, sai không rõ ràng (gọi là các mệnh đề "mờ"). Chính vì thế, ta cần mở rộng lý thuyết logic cổ điển thành lý thuyết mới để làm việc tốt hơn với các mệnh đề "mờ" . Vào những năm 1960, Lotfi Zadeh, một nhà logic học và cũng là nhà toán học người Hà Lan, đã xây dựng thành công lý thuyết tập mờ và hệ thống logic mờ trên cơ sở logic cổ điển đã biết trước đó. Phát minh này của Lotfi Zadeh đã cho phép người ta có thể lượng hoá giá trị các mệnh đề mờ, nhờ đó truyền đạt một số thông tin cho máy móc qua ngôn ngữ tự nhiên, và chúng có thể “hiểu” khá chính xác nội dung của những thông tin đó và xử lý thông tin mềm dẻo và iv linh hoạt hơn. Đây là một bước tiến có tính đột phá trong việc lượng hoá những mệnh đề của ngôn ngữ tự nhiên (có giá trị nội dung “không rõ ràng”) sang ngôn ngữ nhân tạo. Vì vậy, đề tài nghiên cứu của luận văn được chọn là “Logic mờ và ứng dụng”. Trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu ở mục tài liệu tham khảo, tác giả sẽ trình bày các kiến thức cơ sở của logic mờ gồm: tập mờ, các phép toán trên tập mờ, logic mờ và một số ứng dụng của logic mờ . Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm các chương sau: Chương 1. Lý thuyết tập mờ Chương 1, tác giả trình bày các khái niệm cơ bản của tập mờ: khái niệm tập mờ, các kiểu hàm thuộc trên tập mờ, các hàm đặc trưng của tập mờ. Bên cạnh đó, tác giả cũng trình bày các phép toán trên tập mờ, các tính chất của các phép toán, giữa các phép toán và một số cách tiếp cận khác của phép giao, hợp, lấy phần bù. Chương 2. Logic mờ Trong chương 2, tác giả tập trung chủ yếu đi sâu tìm hiểu về logic mờ. Đầu tiên, tác giả trình bày về biến ngôn ngữ và mệnh đề mờ. Sau đó, tác giả trình bày các toán tử logic thường gặp: phép hội, phép tuyển, phép kéo theo, phép hợp thành. Trên cơ sở này, tác giả trình bày phương pháp lập luận xấp xỉ trên tập mờ và hai luật: modus ponens tổng quát, modus tollens tổng quát. Đây là công cụ quan trọng nhất để đưa logic mờ gần hơn với cuộc sống. Chương 3. Ứng dụng của logic mờ Trong chương này, tác giả sử dụng suy diễn mờ để tìm hiểu ứng dụng của của logic mờ vào việc xác định thời gian làm bài thi trắc nghiệm khách quan môn Toán nếu biết tổng số câu của đề thi và độ khó của đề thi. Bên cạnh đó, tác giả cũng nêu ra hai ứng dụng khác của logic mờ: hệ thống mờ, điều khiển mờ. Nhưng vì khuôn khổ luận văn không cho phép nên tác giả không đi sâu vào hai ứng dụng này. v Chương 1 Lý thuyết tập mờ 1.1 1.1.1 Tập mờ và các khái niệm cơ bản Khái niệm tập mờ Khái niệm tập mờ là mở rộng của khái niệm tập hợp cổ điển nhằm đáp ứng nhu cầu biểu diễn tri thức không chính xác. Trong lý thuyết tập hợp cổ điển, một phần tử a chắc chắn thuộc hay chắc chắn không thuộc một tập A. Như vậy, để xem một phần tử có thuộc tập A hay không ta gán cho nó giá trị 1 nếu nó chắc chắn thuộc và gán cho nó giá trị 0 nếu nó chắc chắn không thuộc A. Do đó ta có thể xây dựng một hàm thuộc để đánh giá độ thuộc của một phần tử vào một tập hợp. Lý thuyết tập mờ cho phép chúng ta đánh giá nhiều mức độ khác nhau về khả năng một phần tử có thể thuộc hay không thuộc một tập hợp. Do đó, ta có thể định nghĩa một cách hình thức như sau: Định nghĩa 1.1. Cho U là tập nền, một tập con mờ A trên U được xác định bởi một ánh xạ µA : U → [0; 1]; u 7→ µA (u). Ánh xạ µA được gọi là hàm thuộc. + µA (u) ∈ [0; 1] chỉ mức độ mà phần tử u thuộc về tập mờ A. + µA (u) = 0 nghĩa là u chắc chắn không thuộc A. + µA (u) = 1 nghĩa là u chắc chắn thuộc A. Một tập con mờ A trên tập nền U có thể được biểu diễn như sau: 1 • Nếu tập U là tập rời rạc, hữu hạn thì + A = {(u, µA (u))|u ∈ U} P µA (u) + A= u u∈U • Nếu tập U là tập liên tục hoặc không đếm được thì A = R µA (u) U Chú ý hai kí hiệu P R , u không liên quan đến tổng và tích phân. Ví dụ 1.2. (i) Cho tập nền U = {u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; u5 ; u6 ; u7 ; u8 ; u9 } Tập mờ A trên U được cho bởi 0.3 0.5 0.7 0.6 0 0.5 0 0 1 A= + + + + + + + + u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 hoặc A = {(u1 , 0.3); (u2 , 0.5); (u3 , 0.7); (u4 , 0.6); (u5 , 0); (u6 , 0.5); (u7 , 0); (u8 , 0); (u9 , 1)}. (ii) Cho tập nền U = {cam, đào, nho, bưởi, ổi}. Ta xét ánh xạ µA : U → [0; 1] cam 7→ 0 đào 7→ 0.34 nho 7→ 0.48 bưởi 7→ 1 ổi 7→ 0.82 Khi đó ta có tập mờ A = {(cam, 0); (đào, 0.34); (nho, 0.48); (bưởi, 1); (ổi, 0.82)}. (iii) Cho tập nền U. Ta xét ánh xạ µA : U → {0; 1} Khi đó A là tập hợp con cổ điển của U (ta có thể gọi là tập rõ để phân biệt với tập mờ) và hàm thuộc của nó sẽ trùng với hàm đặc trưng µA (u) =    1 nếu u ∈ A   0 nếu u ∈ /A (iv) Cho tập nền U = [0; 5]. Ta xét ánh xạ µA : U → [0; 1] 2 x x 7→ µA (x) := x+2 R x Khi đó A = [0;5] (x + 2)x Thuật ngữ "tập mờ" mục đích dùng để phân biệt với "tập rõ" (tập hợp theo nghĩa cổ điển) . Thực ra chính xác nhất ta phải dùng thuật ngữ "tập con mờ" của một tập nền nào đó. Tuy nhiên để cho gọn ta dùng "tập mờ" thay cho "tập con mờ" mà không gây sai sót hay hiểu lầm nào cả. Từ định nghĩa tập mờ, ta suy ra các khái niệm sau: Cho A, B là hai tập mờ trên tập nền U. + Tập mờ A trên tập nền U được gọi là rỗng nếu µA (a) = 0 ∀a ∈ U. Kí hiệu A = ∅. + Tập mờ A trên tập nền U được gọi là toàn phần nếu µA (a) = 1 ∀a ∈ U. + Tập mờ A được gọi là tập con của tập mờ B nếu µA (a) ≤ µB (a) ∀a ∈ U. Kí hiệu A ⊆ B. + Hai tập mờ A, B được gọi là bằng nhau nếu µA (a) = µB (a) ∀a ∈ U. Kí hiệu A = B. Từ đây trở đi khi làm việc với hai tập mờ, ta đã ẩn ý chúng cùng được xây dựng trên một tập nền nào đó. 1.1.2 Các kiểu hàm thuộc của tập mờ Dưới đây là một số kiểu hàm thuộc tiêu biểu: 1. Tập mờ tam giác Tập mờ tam giác là tập mờ có hàm thuộc xác định bởi 3 giá trị a < m < b theo công thức sau: (với mọi h ≤ 1) µA (u) =    0 nếu u ≤ a hoặc      h(u − a)    nếu a < u < m m−a    h nếu      h(b − u)   b−m u=m nếu m < u < b 3 u≥b Hàm thuộc này gọi là hàm thuộc tam giác. Hàm thuộc được gọi là tam giác đối xứng nếu nó là hàm thuộc tam giác và a+b m= . 2 Đồ thị của hàm thuộc tam giác và tam giác đối xứng có dạng: Hình 1.1: Các tập mờ tam giác 2. Tập mờ hình thang Tập mờ hình thang là tập mờ có hàm thuộc xác định bởi 4 giá trị a < b < c < d theo công thức sau: (với mọi h ≤ 1) µA (u) =    0 nếu u ≤ a hoặc      h(u − a)    nếu a < u < b b−a    h nếu      h(d − u)   b≤u≤c nếu c < u < d d−c Đồ thị của hàm thuộc hình thang có dạng sau: 4 u≥d Hình 1.2: Tập mờ hình thang 3. Tập mờ L Tập mờ L là tập mờ có hàm thuộc xác định bởi 2 giá trị a < b theo công thức sau: (với mọi h ≤ 1) µA (u) =    h     nếu u ≤ a    0 nếu b ≥ u h(b − u)    b−a nếu a < u < b Đồ thị của hàm thuộc L có dạng sau: Hình 1.3: Tập mờ L 4. Tập mờ Gamma tuyến tính (hay L trái) Tập mờ Gamma tuyến tính (hay L trái) là tập mờ có hàm thuộc xác định 5 bởi 2 giá trị a < b theo công thức sau: (với mọi h ≤ 1) µA (u) =    0     nếu u ≤ a    h nếu b ≥ u h(u − a)    b−a nếu a < u < b Đồ thị của hàm thuộc Gamma tuyến tính (hay L trái) có dạng sau: Hình 1.4: Tập mờ Gamma tuyến tính 5. Hàm thuộc Singleton Đây là hàm thuộc cho tập A có đúng một phần tử u = m, có giá trị 1 tại điểm m, có giá trị 0 tại tất cả các điểm còn lại của tập nền. Hàm thuộc Singleton được xác định như sau: SGA (u) =    1 nếu u = m   0 nếu u 6= m Đồ thị của hàm thuộc Singleton: 6 Hình 1.5: Tập mờ Singleton 1.1.3 Các đặc trưng của tập mờ Các đặc trưng của một tập mờ A là những thông tin để mô tả về các phần tử liên quan đến tập mờ A, những đặc trưng này chỉ rõ sự khác biệt của tập mờ A so với tập con cổ điển ta biết trước đó. Định nghĩa 1.3. Giá của một tập mờ A (suppA) là tập các phần tử có giá trị hàm thuộc lớn hơn 0 trong tập mờ A. supp(A) = {u ∈ U|µA (u) > 0} Định nghĩa 1.4. Chiều cao của một tập mờ A (h(A)) là giá trị lớn nhất mà hàm thuộc có thể lấy trong A. h(A) = sup{µA (u)|u ∈ U} Định nghĩa 1.5. Tập mờ A được gọi là chuẩn hoá nếu chiều cao của nó bằng 1 tức là h(A) = 1. Như vậy, tập mờ A được gọi là chuẩn hoá nếu nó chắc chắn có ít nhất một phần tử của U thực sự thuộc A. Định nghĩa 1.6. Hạt nhân của tập mờ A (ker(A)) là tập tất cả các phần tử có hàm thuộc bằng 1. ker(A) = {u ∈ U|µA (u) = 1} 7 Như vậy, ker(A) 6= ∅ ⇔ A là tập mờ chuẩn hoá. Định nghĩa 1.7. Lực lượng của tập mờ A được kí hiệu và xác định như sau: |A| = X µA (u) u∈U Nếu A là tập rõ thì µA (u) = 1∀u ∈ A nên tổng trên bằng số phần tử của tập A. Điều này trùng với định nghĩa về lực lượng của tập hợp cổ điển. Định nghĩa 1.8. Tập mức α của A (hay còn được gọi là α− nhát cắt), kí hiệu là Aα là tập các phần tử có giá trị hàm thuộc lớn hơn hoặc bằng α với α ∈ [0; 1]. Aα = {u ∈ U|µA (u) ≥ α} Chú ý rằng, tập mức α của một tập mờ A là một tập rõ, các phần tử của nó hoàn toàn được xác định. Ví dụ 1.9. Xét ví dụ 1.2 (i) Cho tập nền U = {u1 ; u2 ; u3 ; u4 ; u5 ; u6 ; u7 ; u8 ; u9 } Tập mờ A trên U được cho bởi 0.3 0.5 0.7 0.6 0 0.5 0 0 1 A= + + + + + + + + u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 hoặc A = {(u1 , 0.3); (u2 , 0.5); (u3 , 0.7); (u4 , 0.6); (u5 , 0); (u6 , 0.5); (u7 , 0); (u8 , 0); (u9 , 1)}. Khi đó ta có: suppA = {u1 , u2 , u3 , u4 , u6 , u9 } h(A) = sup{µA (u)|u ∈ U} = 1(do có µA (u9 ) = 1). Khi đó ta thấy tập mờ A là chuẩn hoá. ker A = {u9 } Tập mức α của A, với α = 0.44 là A0.44 = {u2 , u3 , u4 , u6 , u9 } α = 0.6, A0.6 = {u4 , u9 } 1.2 Các phép toán trên tập mờ Tương tự như lý thuyết tập hợp cổ điển, trên các tập mờ ta cũng định nghĩa các phép toán: phép hợp, phép giao, phép lấy phần bù và tích Descartes giữa hai (nhiều) tập mờ. Thực ra đây là sự mở rộng của các phép toán tương ứng trong lý thuyết tập hợp cổ điển. Cho A và B là hai tập mờ trên tập nền U với hàm thuộc lần lượt là µA , µB . 8 1.2.1 Phép hợp Định nghĩa 1.10. Hợp của hai tập mờ A và B, kí hiệu A ∪ B là một tập mờ trên U với hàm thuộc được kí hiệu và xác định như sau: µA∪B (u) = max{µA (u), µB (u)}, ∀u ∈ U Ta có thể biểu diễn hợp hai tập mờ bằng hình vẽ như sau: Hình 1.6: Hợp hai tập mờ Phép hợp hai tập mờ có tính chất giao hoán và kết hợp như trong lý thuyết tập hợp cổ điển. 1.2.2 Phép giao Định nghĩa 1.11. Giao của hai tập mờ A và B, kí hiệu A ∩ B là một tập mờ trên U với hàm thuộc được kí hiệu và xác định như sau: µA∩B (u) = min{µA (u), µB (u)}, ∀u ∈ U Ta có thể biểu diễn giao hai tập mờ bằng hình vẽ như sau: 9 Hình 1.7: Giao hai tập mờ Phép giao hai tập mờ có tính chất giao hoán và kết hợp như trong lý thuyết tập hợp cổ điển. 1.2.3 Phép lấy phần bù Trong tập hợp cổ điển, phần bù của một tập hợp chứa những phần tử không thuộc tập đó (trên cùng tập nền). Đối với tập mờ A trên U phần bù của nó kí hiệu A chứa những phần tử với độ thuộc càng cao nếu độ thuộc của nó vào tập A càng nhỏ. Nói cách khác, phần tử càng có ít khả năng thuộc tập mờ A thì có càng nhiều khả năng thuộc phần bù của nó. Do vậy, phần bù của một tập mờ cũng là một tập mờ. Cụ thể: Định nghĩa 1.12. Phần bù của tập mờ A kí hiệu A là một tập mờ trên U với hàm thuộc được kí hiệu và xác định như sau: µA (u) = 1 − µA (u), ∀u ∈ U Ta có thể biểu diễn phần bù của tập mờ bằng hình vẽ như sau: 10 Hình 1.8: Phần bù của tập mờ Phép lấy phần bù có các tính chất: (i) Đối với các tập con cổ điển trên tập nền U, ta luôn có A ∩ A = ∅ và A ∪ A = U, nhưng đối với các tập mờ thì hai tính chất này nói chung không đúng, nghĩa là: – A ∩ A 6= ∅ – A ∪ A 6= U (ii) Các tính chất khác đối với phần bù của tập con cổ điển vẫn đúng cho các tập mờ: A = A; U = ∅; ∅ = U Ví dụ 1.13. Cho tập nền U là tập các học sinh tổ 2. U = {u1 , u2 , u3 , . . . , u10 }. A là tập các học sinh học giỏi môn Toán. B là tập các học sinh học giỏi môn Văn. Cụ thể như sau: 0 0 0.48 0 0 0 1 0.1 0.3 0.7 + + + + + + + + + u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 1 0.3 0 0.4 0 0 0 0.8 0 0.5 B= + + + + + + + + + u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 Khi đó: A= + Tập các học sinh học giỏi Văn hoặc Toán là A ∪ B 11 A∪B = 1 0.7 0 0.4 0.48 0 0 0.8 1 0.5 + + + + + + + + + u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 + Tập các học sinh học giỏi Văn và Toán là A ∩ B 0.1 0.3 0.3 0 0 0 0 0 0 0 A∩B = + + + + + + + + + u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 + Tập các học sinh không học giỏi Toán là A 0.9 0.7 0.3 1 1 0.52 1 1 1 0 A= + + + + + + + + + u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 0.9 0.7 0.7 1 1 0.52 1 1 1 1 + A∪A= + + + + + + + + + . u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 Ta thấy A ∪ A 6= U. 0.1 0.3 0.3 0 0 0.48 0 0 0 0 + + + + + + + + + . u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 Ta thấy A ∩ A 6= ∅. + A∩A= + Tập các học sinh không học giỏi Văn là B 0.5 0 0.7 1 0.6 1 1 1 0.2 1 B= + + + + + + + + u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 0.5 0 0.3 1 0.6 0.52 1 1 0.2 0 + A∩B = + + + + + + + + + u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 0.5 0 0.3 1 0.6 0.52 1 1 0.2 0 A∪B = + + + + + + + + + u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 Ta nhận thấy rằng A ∪ B = A ∩ B. 1 1 1 1 1 1 1 0.9 0.7 0.7 + + + + + + + + + u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 0.9 0.7 0.7 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + A∩B = u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10 + A∪B = Ta nhận thấy rằng A ∩ B = A ∪ B. Ví dụ 1.14. Cho hai tập mờ 0 1 0.5 0.3 0.2 + + + + 1 2 3 4 5 0 0.5 0.7 0.2 0.4 + + + B= + 1 2 3 4 5 trên tập nền X = {1, 2, 3, 4, 5}. Khi đó, ta có: A= + A= 1 0 0.5 0.7 0.8 + + + + 1 2 3 4 5 12 1 0.5 0.3 0.8 0.6 + + + + 1 2 3 4 5 0 1 0.7 0.3 0.4 + A∪B = + + + + 1 2 3 4 5 0 0.5 0.3 0.3 0.2 + A∩B = + + + + 1 2 3 4 5 +B= 1.2.4 Tích Descartes giữa hai (nhiều) tập mờ Trước hết ta định nghĩa tích Descartes của hai tập mờ A và B trên hai tập nền U, V (giả sử U, V là độc lập với nhau.) Định nghĩa 1.15. Cho A, B là hai tập mờ có các hàm thuộc tương ứng là µA , µB trên các tập nền lần lượt là U, V. Khi đó tích Descartes của hai tập mờ A và B, kí hiệu A × B là một tập mờ trên U × V, với hàm thuộc được kí hiệu và xác định như sau: µA×B (u, v) = min{µA (u), µB (v)}, ∀(u, v) ∈ U × V Tương tự như trong lý thuyết tập hợp cổ điển, ta có thể mở rộng định nghĩa cho tích Descartes của k tập mờ trên các tập nền độc lập. Định nghĩa 1.16. Tích Descartes của k tập mờ A1 , A2 , . . . , Ak trên các tập nền U1 , U2 , . . . , Uk là một tập con mờ kí hiệu A1 × A2 × . . . × Ak trên tập nền U1 × U2 × . . . × Uk với hàm thuộc được kí hiệu và xác định như sau: µA1 ×A2 ×...×Ak (u) = min{µA1 (u1 ), µA2 (u2 ), . . . , µAk (uk )} ∀u = (u1 , u2 , . . . , uk ) ∈ U1 × U2 × . . . × Uk Dựa trên định nghĩa về tích Descartes của các tập con mờ, ta sẽ nghiên cứu các quan hệ mờ ở các phần tiếp theo. 1.2.5 Các tính chất liên quan a. Tính giao hoán A∪B =B∪A A∩B =B∩A b. Tính kết hợp A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 13