Tài liệu Luận văn luật mạnh số lớn của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ————————–o0o————————– LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài LUẬT MẠNH SỐ LỚN CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Chuyên ngành Mã số Học viên Giảng viên hướng dẫn : : : : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học 60.46.01.06 Vũ Thị Kiều Ánh TS. Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI - 2016 Lời cảm ơn Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn "Luật mạnh số lớn của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên", tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ và động viên của nhiều cá nhân và tập thể, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi. Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy trong tổ Lí thuyết xác suất và thống kê toán học-Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã mang đến cho tôi những kiến thức bổ ích trong những năm học vừa qua và trong công việc sắp tới. Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Hùng - Người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn ở bên tôi, động viên và khuyến khích tôi trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu của mình. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô, bạn bè và những người quan tâm để luận văn được hoàn thiện và phát triển hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội,5 tháng 6 năm 2017 Vũ Thị Kiều Ánh 1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng, luận văn chuyên ngành Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê Toán Học với đề tài:"Luật mạnh số lớn của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên" được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, 5 tháng 6 năm 2017 Tác giả Vũ Thị Kiều Ánh 2 Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . 1.2 Một số định nghĩa và kết quả cổ điển về luật số lớn 1.3 Martingale và các định lí giới hạn . . . . . . . . . 1.4 Các khái niệm và kết quả liên quan đến luận văn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu nhiên 2.1 Tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tổng có trọng số của martingale hiệu trong Lp - bị chặn . . 2.3 Tổng có trọng số của các dãy martingale bị chặn đều . . . . 2.4 Tính nhất quán mạnh trong hồi quy tuyến tính với các biến ngẫu nhiên của nhiễu độc lập có cùng phân phối . . . . . . 3 1 2 4 7 7 9 10 13 15 15 26 32 47 MỤC LỤC Lời nói đầu Trong nghiên cứu năm 1945 của Hill [20] sự hội tụ hầu khắp nơi của tính khả tổng đều áp dụng cho dãy số không và một. Nếu {wn } là một dãy số 2 n ∞  P P wk dương với tổng riêng Wn := wk tiến ra vô cùng, sao cho < ∞, Wk k=1 k=1 thì mọi dãy Rademacher {εn } thoản mãn n 1 X wk ε k → 0 Wn k=1 (1) Kết quả này là một hệ quả của Định lý Khintchine-Kolmogorow, nó đưa ra những câu hỏi về điều kiện của một chuỗi dương {wn } là đủ cho (1). Từ wn εn (1) dẫn đến → 0 hầu chắc chắn, điều kiện cần là Wεnn → 0. Kết quả Wn này đã được ghi nhận bởi Maruyama và Tsuchikura (xem tài liệu tham khảo trong [34]). Tsuchikura đã chứng minh (1) đúng, nếu {wn } là tăng và thỏa mãn wn log log Wn =0 n→∞ Wn lim (2) Salem và Zygmund [30] đã chứng minh kết quả khác của Tsuchikura, giả định Wn → ∞ thay vì tính đơn điệu của {wn }. Chú ý rằng mọi dãy bị chặn {wn } với tổng phân kỳ thỏa mãn (2). Theo Định lý Khintchine-Kolmogorow, giả thiết của Hill chỉ ra rằng n 1 X wk Xk → 0 hầu chắc chắn Wn k=1 (3) khi dãy {Xn } là dãy biến ngẫu nhiên quy tâm độc lập với supn E|Xn |2 < ∞ , nghiên cứu của Tsuchikura nêu ra một số câu hỏi, tóm tắt như sau: Tìm điều kiện của một chuỗi các trọng số dương {wn } ( với tổng phân kỳ) trong đó đảm bảo rằng luật mạnh số lớn của trọng số (3) đúng cho mọi dãy biến ngẫu nhiên quy tâm độc lập trong một lớp nhất định,cho mọi dãy bị chặn đều {Xn }, cho các dãy quy tâm độc lập cùng phân phối, dãy với các biến hữu hạn, v..v Jamison, Orey và Pruitt [21] đã đưa ra điều kiện cần và đủ cho dãy trung bình có trọng số {wn } với tổng phân kỳ cho (3) đúng vơi mọi dãy {Xn } độc lập, cùng phân phối với E |X1 | < ∞ và EX1 = 0 . Họ giới 4 MỤC LỤC thiệu hàm đếm được N (t) = card {n ≥ 1 : Wn /wn ≤ t} là hữu hạn khi đó wn /Wn → 0, và họ đã chứng minh [21, định lí 2] rằng nếu {Xn } là một dãy biến ngẫu nhiên khả tích quy tâm độc lâp, cùng phân phối trong (Ω, F, P) sao cho:   Z N (t)dt 2 E |X1 | <∞ (4) t3 t≥|X1 | khi đó trung bình có trọng số 1 Wn n P wn Xk hội tụ tới 0 hầu chắc chắn. k=1 Kết quả đó đã được sử dụng để chứng minh rằng điều kiện n 1 P lim sup N (t)/t → ∞ là cần và đủ để trung bình có trọng số Wn w n Xk → t→∞ k=1 0 hầu chắc chắn, với mọi dãy biến ngẫu nhiên khả tích quy tâm độc lập cùng phân phối {Xn }. Azuma [5] đã chứng minh rằng điều kiện (2) dẫn đến luât mạnh số lớn cho trọng số (3) đúng cho mọi dãy martingale hiệu bị chặn đều, đặc biệt cho dãy biến ngẫu nhiên quy tâm độc lập bị chặn đều. Các vấn đề của việc tìm kiếm điều kiện đủ để giữ cho luật mạnh số lớn cho trọng số (3) đúng cho mọi biến quy tâm độc lập cùng phân phối, với E|X1 |p < ∞ (p > 1 cố định) mới được Lin và Weber [24] nghiên cứu. Trong luận văn này chúng ta xét điều kiện đặt trên một dãy phức {bn } P với |bn | → ∞, để thu được hầu chắc chắn của chuỗi n Xbnn khi {Xn } thuộc vào lớp hàm khả tích. Đặc biệt là các trường hợp trung bình có trọng số, P khi {Xn } là một dãy các số dương có tổng phân kỳ và bn = nk=1 wk /wn , sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi trên suy ra luật mạnh số lớn của trung P bình có trọng số. Hơn nữa trường hợp dãy {cn } là dãy có |cn |2 = ∞ và P ta lấy bn = nk=1 |cn |2 /cn , sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi suy ra luật mạnh số lớn của ước lượng bình phương bé nhất trong mô hình hồi quy tuyến tính. Nội dung của luận văn này là tổng quát hóa các kết quả cổ điển theo hai hướng: 1. Mở rộng áp lên dãy chỉ số {bn } 2. Mở rộng các kết quả cho dãy {Xn } là một martingale hiệu. Luật văn được chia làm hai chương Chương I: Kiến thức chuẩn bị, nội dung chương này là những kiến thức chuẩn bị của luận văn, một số định nghĩa và kết quả cổ điển về luật số lớn, về martingale và các định lí giới hạn 5 MỤC LỤC Chương II: Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu nhiên, chương này trình bày có hệ thống và làm sáng tỏ một số kết quả của luật mạnh số lớn đối với các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu nhiên. 2.1 Nghiên cứu về tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. 2.2 Nghiên cứu về tổng có trọng số của martingale hiệu trong Lp - bị chặn. 2.3 Nghiên cứu về tổng có trọng số của các dãy martingale bị chặn đều. 2.4 Nghiên cứu về tính nhất quán mạnh trong hồi quy tuyến tính với các biến ngẫu nhiên của nhiễu độc lập có cùng phân phối. 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là một tập khác rỗng. Một họ F những tập con của Ω được gọi là một σ - đại số nếu thỏa mãn ba điều kiện: (i) Ω ∈ F ; (ii) Nếu A ∈ F thì Ω \ A ∈ F ; S (iii) Nếu An ∈ F, n ≥ 1 thì ∞ i=1 An ∈ F. Định nghĩa 1.1.2. . Cho Ω là một tập khác rỗng và F là một σ - đại số các tập con của Ω. Hàm tập P xác định trên F được gọi là một độ đo xác suất nếu thỏa mãn ba điều kiện (i) P (A) ≥ 0, ∀A ∈ F ; (ii) P(Ω) = 1; (iii) Nếu {An }n≥1 là dãy các tập con đôi một rời nhau thuộc F thì P ∞ [ ! An = i=1 ∞ X P (An ). i=1 Định nghĩa 1.1.3. Cho Ω là một tập khác rỗng và F là một σ - đại số các tập con của Ω và P là một độ đo xác suất trên F . Khi đó bộ ba (Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất tổng quát. Nếu với A ∈ F thỏa mãn P(A) = 0 mà ta có B ∈ F, ∀B ⊂ A thì F được gọi là σ - đại số đầy đủ và P được gọi là độ đo xác suất đầy đủ. Khi đó, không gian (Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất đầy đủ. Định nghĩa 1.1.4. Ký hiệu R là tập hợp tất cả các số thực và B(R) là σ - đại số nhỏ nhất chứa các khoảng mở dạng (a, b), (a, b ∈ R). Khi đó 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị B(R) được gọi là σ - đại số Borel trong R. Mỗi phần tử của B(R) được gọi là một tập Borel. Định nghĩa 1.1.5. Hàm thực X : Ω → R được gọi là hàm F - đo được hoặc biến ngẫu nhiên nếu {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B) ∈ F, ∀B ∈ B(R). Định nghĩa 1.1.6. Hàm số FX (x) = {ω ∈ Ω : X(ω) < x}, x ∈ R được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X . Định nghĩa 1.1.7. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên thì họ σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B được gọi là σ - đại số sinh bởi X. Định nghĩa 1.1.8. Cho dãy các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , ... có các hàm phân phối tương ứng là FX1 , FX2 , ... Các biến ngẫu nhiên trên được gọi là cùng phân phối nếu FX1 (x) = FX2 (x) = ...∀x ∈ R. Định nghĩa 1.1.9. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất. (i) Họ hữu hạn các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu ! \ Y P Ai = P (Ai ), ∀Ai ∈ F, i ∈ I. i∈I i∈I (ii) Họ vô hạn các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu mỗi họ con của nó độc lập. (iii) Họ các biến ngẫu nhiên {Xi }i∈I được gọi là độc lập nếu họ các σ -đại số sinh bởi chúng độc lập. (iv) Họ các biến cố {Ai }i∈I ⊂ F được gọi là độc lập nếu các biến ngẫu nhiên {IA i }i∈I độc lập. Định nghĩa 1.1.10. Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B) là đại lượng ngẫu nhiên. Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳ vọng của X và ký hiệu là E (X). Vậy: Z EX = XdP. Ω 8 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1.11. Với p > 0, ký hiệu Lp = Lp (Ω, F, P) là tập hợp cácbiến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F, P) sao cho E|X|p < ∞. Định nghĩa 1.1.12. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 được gọi là bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số D < ∞ sao cho P [|Xn | > t] ≤ DP [|DX| > t] , ∀t ≥ 0, n ≥ 1. Nhận xét 1.1.13. Nếu dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 cùng phân phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X1 . 1.2 Một số định nghĩa và kết quả cổ điển về luật số lớn Định nghĩa 1.2.1. (i) Cho dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 . Ta nói dãy {Xn }n≥1 hội tụ theo xác suất về biến ngẫu nhiên X nếu với mọi ε > 0 bất kỳ, ta có: lim P {|Xn − X| > ε} = 0. n→∞ Khi đó ta ký hiệu P Xn → X (n → ∞). (ii) Cho dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 . Ta nói dãy {Xn }n≥1 hội tụ hầu chắc chắn về biến ngẫu nhiên X nếu: n o P lim Xn → X = 1 n→∞ Khi đó ta ký hiệu h.c.c Xn → X (n → ∞). (iii) Cho dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 . Ta nói dãy {Xn }n≥1 hội tụ theo trung bình bậc p, p > 0 về biến ngẫu nhiên X nếu: E|Xn |p < ∞ v Khi đó ta ký hiệu lim E|Xn − X|p = 0 n→∞ Lp Xn → X (n → ∞). Khi p = 1, ta nói Xn hội tụ theo trung bình tới X . 9 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị (iv) Cho dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 . Ta nói dãy {Xn }n≥1 hội tụ yếu hay hội tụ theo phân phối về biến ngẫu nhiên X nếu: Với mọi hàm f : R → R liên tục và bị chặn, ta có: lim E(f (Xn )) = E(f (X)) n→∞ Khi đó ta ký hiệu d Xn → X (n → ∞). Định lí 1.2.2. Dãy {Xn }n≥1 hội tụ hầu chắc chắn về biến ngẫu nhiên X nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, ta có   lim P sup |Xm − X| > ε = 0 n→∞ m≥n Bổ đề 1.2.3. (Bổ đề Borel – Cantelli) Giả sử {An }n≥1 là dãy các biến cố bất kỳ. Khi đó   P∞ (i) Nếu n=1 P (An ) < ∞ thì P limsup An =0. n   P∞ (ii) Nếu n=1 P (An ) = ∞ các biến cố An độc lập, thì P limsup An = 1, n T∞ S ∞ trong đó limsup An = n=1 k=n Ak . n Định lí 1.2.4. (Định lí Marcinkiewicz – Zygmund) Giả sử {Xn }n≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và 0 < p < 2. Khi đó Pn i=1 Xi − nc → 0 h.c.c 1 np khi và chỉ khi E |X1 |p < ∞ trong đó c = EX1 nếu 1 ≤ p < 2 và c là hằng số tùy ý nếu 0 < p < 1. 1.3 Martingale và các định lí giới hạn Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất và (Fn ) là một lọc các σ -đại số thỏa mãn Fo ⊆ F1 ⊆ ... ⊆ F Họ (Fn ) như vậy được gọi là một lọc trên không gian đo (Ω, F). 10 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Nếu (XN ) là một dãy biến ngẫu nhiên trên (Ω, F, P) sao cho với mỗi n ≥ 1, Xn là (Fn ) đo được thì X = (Xn , Fn )n∈N ) được gọi là một dãy tương thích. Nếu (Vn ) là một dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn Vn là (Fn−1 ) - đo được với moi n ≥ 1 thì ta gọi V = (Vn , Fn )n≥1 là dự báo được. Nếu cho trước một dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) trên không gian xác suất
(Ω, F, P) thì dãy σ - đại số FnX xác định bởi FnX = σ (X1 , ..., Xn ) được gọi là σ - đại số tự nhiên sinh bởi dãy (Xn ). Định nghĩa 1.3.1. Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất với lọc (Fn ). Dãy (Xn , Fn )n≥0 được gọi là martinegale nếu với mọi n ≥ 0, cả ba điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Xn là Fn - đo được; (ii) E |Xn | < ∞; (iii) E (Xn+1 |Fn ) = Xn hầu chắc chắn. Dãy (Xn , Fn )n≥0 được gọi là martinegale dưới nếu các điều kiện (i), (ii) được thỏa mãn và (iii’) (Xn , Fn ) ≥ Xn hầu chắn chắn với mọi n ≥ 0. Dãy (Xn , Fn )n≥0 được gọi là martinegale trên nếu các điều kiện (i), (ii) được thỏa mãn và (iii”) (Xn , Fn ) ≤ Xn hầu chắn chắn với mọi n ≥ 0. Nhận xét 1.3.2. (i) Dãy (Xn , Fn ) là martingale trên khi và chỉ khi dãy (−Xn , Fn ) là martingale dưới. Dãy (Xn , Fn ) là martingale khi và chỉ khi nó vừa là martingale trên vừa là martingale dưới. (ii) Nếu dãy (Xn , Fn ) là martingale thì E(Xn , Fn ) = Xn hầu chắc chắn với mọi m ≥ n. Định nghĩa 1.3.3. Dãy tương thích (Xn , Fn )n∈N được gọi là Martingale hiệu nếu E |Xn | < ∞ đối với mọi n ∈ N và E (Xn+1 |Fn ) = 0 Rõ ràng nếu S = (Sn , Fn )n∈N là martingale thì (Xn , Fn )n∈N là martingale hiệu trong đó: X0 = S0 , Xn = ∆Sn = Sn − Sn−1 , n = 1, 2, ... 11 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Ngược lại, nếu (Xn , Fn )n∈N là martingale hiệu thì S = (Sn , Fn )n∈N là martingale trong đó: S0 = X0 , Sn = X0 + ... + Xn , n = 1, 2, ... Định nghĩa 1.3.4. (Luật mạnh số lớn cổ điển) Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }n>1 có kì vọng hữu hạn được gọi là tuân theo luật mạnh số lớn nếu Sn − ESn → 0 h.c.c n hay tổng quát hơn, nếu tồn tại hai dãy hằng số (an ), (bn ), 0 < bn ↑ ∞ sao cho Sn −an → 0 h.c.c bn ở đây Sn = X1 + X2 + ... + Xn . Định lí 1.3.5. (Luật mạnh số lớn Kolmogorov trường hợp tổng quát) Giả sử {Xn }n>1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với các moment bậc hai hữu hạn, (bn ) là dãy hằng số sao cho 0 < bn ↑ ∞. Khi đó nếu ∞ X DXn n=1 b2n <∞ thì Sn −ESn → 0 h.c.c. bn Định lí 1.3.6. (Luật mạnh số lớn Kolmogorov trường hợp cùng phân phối) Giả sử {Xn }n>1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Khi đó Sn → a h.c.c a ∈ R n khi và chỉ khi E |X1 | < ∞ và EX1 = a. Định lí 1.3.7. (Định lí giới hạn trung tâm Lindeberg) Giả sử (Xn ) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng và phương sai hữu hạn. Đặt Bn = (DX1 + ... + DXn )1/2 Và Sn∗ = Pn − E(Xn )) Bn k=1 (Xk 12 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Khi đó, nếu với mọi ε > 0 n i 1 X h 2 E (Xk − E (Xk )) I{|Xk −E(Xk )|>εBn } → 0 Ln (ε) = 2 Bn k=1 Định lí 1.3.8. Giả sử M = (Xn , Fn )n≥0 là martingale bình phương khả tích và A = (Aa , Fn−1 ) là dãy tăng dự báo được với A1 ≥ 1, A∞ = ∞ hầu chắc chắn. Nếu 2 X   2 A−2 E (M − M ) |F i i−1 i−1 < ∞ h.c.c i i=1 thì h.c.c A−1 n Mn → 0 Đặc biệt, nếu đặc trưng bình phương hM i của M thỏa mãn hM i∞ = ∞ và hM i1 > 0 hầu chắc chắn thì Mn → 0. hM in Định lí 1.3.9. Giả sử M = (Xn , Fn )n≥0 là một dãy tương thích. Giả sử tồn tại biến ngẫu nhiên khả tích X và hàm số dương c sao cho: P [|Xn | > x] ≤ cP [|Xn | > x] , ∀x ≥ 0, n ≥ 1 Khi đó n 1X (Xi − E (Xi | Fi−1 )) → 0 n i=1
Khi n → ∞. Nếu E |X| log+ |X| < ∞ thì dãy trên hôi tụ hầu chắc chắn. 1.4 Các khái niệm và kết quả liên quan đến luận văn. Định nghĩa 1.4.1. (Trung bình cộng có trọng số) Trung bình cộng có trọng số của một tập là giá trị trung bình cộng có phản ánh tầm quan trọng của các phần tử (hay giá trị quan sát) trong tập đó. Mỗi một giá trị quan sát sẽ được gắn một trọng số. Công thức tính trung bình cộng có trọng số là: x= w1 x1 + w2 x2 + ... + wn xn w1 + w2 + ... + wn 13 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị hay Pn w i xi x = Pi=1 n i=1 wi trong đó x1 , x2 , . . . , xn là các phần tử trong tập, và w1 , w2 , . . . , wn là các trọng số tương ứng của từng phần tử, i là thứ tự i của phần tử hoặc trọng số trong khoảng từ 1 đến n. Trong thống kê trung bình cộng có trọng số hay được dùng để tính toán các chỉ số. Định nghĩa 1.4.2. (Hàm số loại Orlicz) Hàm M : [0, +∞) → R được gọi là hàm Orlicz nếu: (1.) M là hàm không giảm, liên tục; (2.) M (0) = 0 và lim M (t) = ∞; t→∞ (3.) M là hàm lồi. Hàm Orlicz M gọi là suy biến nếu tồn tại t > 0 sao cho M (t) = 0. t Ví dụ 1.4.3. Các hàm M (t) = ; M (t) = tet Giả sử M là hàm Orlicz và p K là trường số thực hoặc số phức. Ta ký hiệu: ( )   ∞ X |xn | lM = x = (x_n) ⊂ K M < ∞, ρ > 0 ρ n=1 Bổ đề 1.4.4. (Bổ đề Kronecker) Giả sử {Xn }n≥1 là dãy các số thực và +∞ P Xn hội tụ thì {bn }n≥1 là dãy các số dương tăng đến +∞. Khi đó, nếu n=1 bn n 1 P Xk → 0, khi n → +∞. bn k=1 14 Chương 2 Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu nhiên 2.1 Tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối Chương này chúng ta nghiên cứu về luật mạnh số lớn đối với trung bình có trọng số của các biến ngẫu nhiên quy tâm (tức là EXn = 0 với mọi n) độc lập cùng phân phối {Xn } thông qua sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi P∞ Xn n=1 bn . Lưu ý rằng với mọi dãy {αn } không âm, hàm số đếm được (hàm không giảm) N (t) := card {n : αn ≤ t} là hữu hạn với mọi t > 0 nếu và chỉ nếu αn → ∞ (tồn tại một dãy con bị chặn αnk ≤ M suy ra N{αn } (t) = ∞ cho t > M ). Chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hàm đếm được trong luận văn. Bổ đề 2.1.1. Giả sử {αn } là một dãy không âm, tiến tới vô hạn. Giả sử ϕ (t) là một hàm khả vi, dương và không giảm trên [1, ∞), sao cho P ϕ (t) → 0. Đặt N (t) := card {n : αn ≤ t}. Khi đó chuỗi ∞ n=1 ϕ(αn ) hội t→∞ R∞ tụ nếu và chỉ nếu ϕ0 (t)N (t)dt hội tụ. 1  Chứng minh. Giả sử αnj là dãy con không giảm của {αn }. N (t) không giảm, liên lục phải, dãy bước nhảy với các bước nhảy xuất hiện dọc theo  chuỗi của các điểm αnj . Bởi các điều trên và sử dụng định nghĩa tích phân Riemann-Stieltjes, 15 Chương 2. Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu nhiên với mọi z > 1 ta có: Z X ϕ (αk ) = z Z ϕ (t) dN (t) = ϕ (z) N (z)−ϕ (1) N (1)− 1 {k:1<αk ≤z} z ϕ0 (t) N (t) dt. 1 Chú ý rằng, số hạng cuối cùng ở vế phải mang dấu dương khi ϕ không tăng. R∞ 0 P ϕ (t)N (t)dt hội tụ. Nếu tích phân Nếu ∞ ϕ(α ) < ∞ thì tích phân k k=1 1 hội tụ, bởi tính đơn điệu của N (t) và giả sử ϕ (t) → 0, ta có: t→∞ ϕ (z) N (z) ≤ − Z ∞ ϕ0 (t)N (t) dt → 0 khi z → ∞. z Do đó chuỗi P∞ k=1 ϕ(αk ) hội tụ. Nhận xét 2.1.2. Tính chất tiệm cận duy nhất của ϕ là quan trọng, điều kiện cần để thỏa mãn là t ≥ to . Điều kiện này là đủ để kiểm tra R∞ 0 ϕ (t)N (t)dt hội tụ. 1 Từ luật mạnh số lớn cổ điển ta có nếu supn n/ |bn | là hữu hạn, thì n 1 P Xk hội tụ hầu chắc chắn tới 0 với mọi dãy {Xn } khả tích quy bn k=1 tâm độc lập cùng phân phối. Rõ ràng nếu supn n/ |bn | là hữu hạn thì lim sup card {n ≥ 1 : |bn | ≤ t} /t < ∞. Định lý sau đây sẽ làm rõ điều đó t→∞ hơn: Định lí 2.1.3. Giả sử {bn } là dãy số phức khác không. Đặt N (t) = card {n ≥ 1 : |bn | ≤ t} và giả sử lim sup N (t)/tp < ∞ với 1 ≤ p < 2. t→∞ Khi đó với dãy biến ngẫu nhiên {Xn } khả tích quy tâm độc lập cùng phân ∞ X P n phối thì chuỗi hội tụ hầu chắc chắn nếu thỏa mãn các điều kiện n=1 bn sau: (i) 1 < p < 2 và E [|X1 |p ] < ∞.   (ii) p = 1 và E |X1 | log+ |X1 | < ∞. (iii) p = 1 và X1 - đối xứng. Chứng minh. Trước hết ta có 2 nhận xét: (a) Nhắc lại rằng khi N (t) có giá trị hữu hạn thì |bn | → ∞; 16 Chương 2. Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu nhiên (b) Chúng ta có thể giả sử rằng |bn | ≥ 1 với mọi n ≥ 1. Bây giờ chúng ta chứng minh định lí Từ lim sup N (t)/tp < ∞, cho X1 ∈ Lp (P) ta có E [N (|X1 |)] < ∞, do t→∞ đó ∞ X " P (|Xn | ≥ |bn |) = E n=1 ∞ X # 1{|bn |≤|X1 |} = E [N (|X1 |)] < ∞ (∗) n=1 Vì vậy, nó là đủ để chứng minh ∞ Xn 1 P {|Xn |≤|bn |} hội tụ hầu chắn chắn. bn n=1 Theo bổ đề (2.1.1) ta có: ∞ X h 2 E |Xn | 1{|Xn |≤|bn |} i |bn |2 n=1     Z ∞ 1 N (t)dt 2  ≤ E |X1 | . = E |X1 | 2 3 t |b | |X1 | |bn |≥|X1 | n X 2 i h 2 R ∞ N (t)dt <∞ Với p < 2 vì lim sup N (t)/t < ∞ nên E |X1 | |X1 | t3 p t→∞ Nó chứng tỏ   ∞ X Xn 1{|Xn |≤|bn |} − E Xn 1{|Xn |≤|bn |} bn n=1 hội tụ hầu chắc chắn cho mọi 1 ≤ p < 2.   ∞ E Xn 1 P {|Xn |≤|bn |} Bây giờ ta chứng minh rằng hội tụ. Từ điều kiện |bn | n=1 (iii) thì giới hạn là 0, bởi tính đối xứng của Xn và tính đối xứng của các số hạng. Trong trường hợp khác theo bổ đề (2.1.1) " #  ∞   ∞ X X 1{|X1 |>|bn |} E Xn 1{|Xn |≤|bn |}  ≤ E |X1 | |b | |bn | n n=1 n=1  ≤ E |X1 |  X {n:1≤|bn |≤|X1 |} " 1  ≤ E |X1 | |bn | N (|X1 |) + |X1 | Z 1 |X1 | N (t)dt t2 !# . (∗∗) Nhận xét 2.1.4. 17 Chương 2. Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu nhiên 1. Khi p = 1 và đặt bn = n , trường hợp (i) và (iii) củng cố cho luật mạnh số lớn bởi Marcinkiewicz-Zygmund [25, định lí 6]. Một ví dụ cho thấy sự tổng quát: khi p = 1 chỉ cần điều kiện E [|X1 |] < ∞ là đủ để chuỗi hội tụ. 1 2. Khi ta lấy 1 < p < 2 và bn = n p , trường hợp (i) đúng với 1 < p < 2. Với √ p = 2 trường hợp (i) của định lí là sai khi đó bn = n và sử dụng định lí giới hạn trung tâm. 3. Chú ý rằng trong chứng minh của định lí nếu lim sup N (t)/tp < ∞ với t→∞ ∞ EX 1 P | [ n {|Xn |≤|bn |} ]| 1 < p ≤ 2 và E [|X1 |p ] < ∞ thì chuỗi n=1   + nếu p = 1 và E |X1 | log |X1 | < ∞. |bn | hội tụ. Tương tự Hệ quả 2.1.5. Giả sử {wn } là một dãy trọng số với Wn = n P wk → ∞ k=1 ∞ w X P n n sao cho lim sup N (t)/t < ∞, khi đó hội tụ hầu chắc chắn trong n=1 Wn đó {Xn } là biến ngẫu nhiên khả tích quy tâm độc lập cùng phân phối với   X1 - đối xứng hoặc E |X1 | log+ |X1 | < ∞. Làm theo các tính toán trong chứng minh của định lí (2.1.3) để thấy rằng nếu ta giả định lim sup N (t)/t(log t)γ < ∞ cho mọi γ không âm, thì t→∞ ∞ X P n hội tụ hầu chắc chắn cho biến quy tâm độc lập cùng phân chuỗi n=1 bn h i γ+1 + phối {Xn } bất kỳ với E |X1 | (log |X1 |) < ∞. Ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 2.1.6. Giả sử {wn } là một dãy trọng số bị chặn với Wn → ∞, ∞ P wn Xn khi đó Wn hội tụ hầu chắc chắn khi {Xn } là biến ngẫu nhiên quy tâm n=1 h i 2 độc lập cùng phân phối với E |X1 | (log+ |X1 |) < ∞ hoặc X1 - đối xứng   và E |X1 | log+ |X1 | < ∞. Chứng minh. Cho bn = Wn /wn ta có lim sup N (t)/t log t < ∞, theo bổ đề 2 của [21], ý đầu tiên được suy ra từ những lập luận trước, ý thứ hai được chứng minh ở phần (iii) của Định lí (2.1.3). Nhận xét 2.1.7. 1. Cho trọng số bị chặn với tổng phận kì, luật mạnh số lớn của trọng số đúng   cho biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với E |X1 | log+ |X1 | < ∞ (theo [21]). 18 Chương 2. Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu nhiên 2. Lin và Weber đã chứng minh cho trọng số không bị chặn nếu n 1 X wk (log(1 + wk ))β < ∞ (β > 1) sup n≥1 Wn k=1 Thì luật mạnh số lớn của trọng số đúng cho {Xn } quy tâm độc lập cùng  γ phân phối với E |X1 | (log+ |X1 |) < ∞ cho một vài γ > 1. Mệnh đề 2.1.8. Giả sử {bn } là một dãy số phức khác không, đặt N (t) = # {n ≥ 1 : |bn | ≤ t}. Cho p ≥ 1 các điều sau là tương đương: (i) lim sup N (t) /tp < ∞; t→∞ Xn hội tụ hầu chắc chắn tới 0 với mọi biến ngẫu nhiên {Xn } độc bn lập cùng phân phối đối xứng và E [|X1 |p ] < ∞. (ii) Dãy Chứng minh. Đầu tiên ta thấy rằng biểu thức (∗) trong Định lí (2.1.3) là đúng với mọi p ≥ 1. εn → 0 hầu chắc chắn, trong đó {εn } (ii) → (i): Trường hợp đặc biệt bn là dãy Rademacher (nói cách khác là một dãy độc lập cùng phân phối với P(ε1 = ±1) = 12 ), và |bn | → ∞ do đó N (t) là một hàm hữu hạn. Mặc dù theo bổ đề Borel-Cantelli về các tập hợp độc lập, biểu thức (∗) Xn trong phần chứng minh của Định lí (2.1.3) và hội tụ hầu chắc chắn tới bn 0 nói rằng E [N (|X1 |)] < ∞ cho mọi dãy {Xn } - đối xứng độc lập cùng phân phối với X1 ∈ Lp (P). Cần chú ý rằng với mọi dãy vô hạn không âm {βn } thì tồn tại một dãy ∞ ∞ P P không âm {αn }, sao cho αn hội tụ nhưng αn βn phân kỳ. n=1 n=1 Chứng minh phản chứng, giả sử trái lại lim sup N (t)/tp = ∞ thì tồn t→∞ tại một dãy số dương {tn } sao cho N (tn )/tn p → ∞. Bằng cách chứng ∞ P minh trên, sẽ tồn tại một dãy số không âm {pn } với 2 pn = 1 sao cho ∞ P pn tn p hội tụ nhưng n=1 ∞ P n=1 pn N (tn ) phân kỳ. n=1 Giả sử {Xn } là một dãy đối xứng của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, được xác định bởi P(X1 = ±tn ) = pn . Khi đó ta có ∞ ∞ P P E [|X1 |p ] = 2 pn tn p < ∞ và E [N (|X1 |)] = 2 pn N (tn ) = ∞. Mâu n=1 n=1 thuẫn. Khi đó (i) đúng. 19