Tài liệu Luận văn mô hình trung bình độ lệch chuẩn tuyệt đối

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN ————————–o0o————————– LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài MÔ HÌNH TRUNG BÌNH - ĐỘ LỆCH CHUẨN TUYỆT ĐỐI (mean-absolute deviation (MAD) model) Chuyên ngành Mã số Học viên Giảng viên hướng dẫn : : : : Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học 60.46.01.06 Đào Thị Thu Ngọc TS. Nguyễn Đức Mạnh HÀ NỘI - 2017 1 Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng, Khoa Toán-Tin trường đại học Sư phạm Hà Nội đã giúp đỡ trong quá trình học tập cũng như trong quá trình hoàn thành luận văn này. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Nguyễn Đức Mạnh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ trong quá trình nghiên cứu để luận văn của tôi được hoàn thành đúng thời hạn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do thời gian và trình độ còn nhiều hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tôi mong thầy cô và các bạn nhận xét và đóng góp ý kiến để luận văn này được phát triển và hoàn chỉnh hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2017. Học viên 2 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan bản luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi. Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận văn là trung thực. Kết quả nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã được công bố trước đó. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình. Hà Nội, tháng 6 năm 2017. Tác giả luận văn Đào Thị Thu Ngọc Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số mô hình quản lý rủi ro trong tài chính . . . . . . . . . . . 1.1.1 Mô hình quản lý rủi ro của Markowitz . . . . . . . . . . . 1.1.2 Mô hình quản lý rủi ro VaR (Value-at-Risk) . . . . . . . . 1.1.3 Mô hình quản lý rủi ro CVaR (Conditional Value-at-Risk) 1.2 Sơ lược về những câu lệnh Matlab để thực thi mô hình (MAD) . . 1.2.1 Hàm mean(X) và hàm var(X) . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Hàm linspace(a,b,k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Hàm linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Câu lệnh điều kiện if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Vòng lặp for . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mô 2.1 2.2 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 5 5 5 6 8 9 10 10 11 13 14 hình quản lý rủi ro của Hiroshi Konno 15 Mô hình bài toán (MAD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 MAD cho mô hình định giá tài sản vốn (CAPM) . . . . . . . . . . . . 19 Một số phương diện tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Thực thi mô hình trung bình - độ lệch chuẩn tuyệt đối trong Matlab 3.1 Mục tiêu thiết lập mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Thu thập và xử lý dữ liệu từ thị trường chứng khoán . . . . . . . . . 3.2.1 Thu thập dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Code Matlab cho mô hình MAD . . . . . . . . . . . . . . . . Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 32 32 38 43 MỤC LỤC 4 Lời nói đầu Quản lý doanh mục đầu tư là một lĩnh vực quan trọng trong thị trường tài chính và cũng là vấn đề được đặc biệt nghiên cứu trong tối ưu ngẫu nhiên (stochastic programming). Mục tiêu được đặt ra ở đây là kiểm soát việc phân phối lợi nhuận của danh mục vốn đầu tư tối ưu, làm sao để lợi ích của các nhà đầu tư là lớn nhất và mức rủi ro là chấp nhận được. Mô hình trung bình - phương sai (mean - variance (MV) model) của Markowitz (1959)[5] là mô hình bài toán tối ưu, trong đó phương sai để đo độ rủi ro. Markowitz đã mô hình hóa thành bài toán tối ưu hai mục tiêu gồm giá trị của kỳ vọng và phương sai của tỉ lệ lãi xuất vốn đầu tư. Tuy nhiên, vào đầu năm 1980 mô hình (MV) chưa thể giải quyết được bài toán thực tế với hơn 1000 danh mục đầu tư, khó khăn gặp phải ở đây đó là chúng ta phải giải quyết bài toán dạng toàn phương lồi với ma trận hiệp phương sai đầy đủ (tất cả các thành phần của ma trận đều khác 0). Để khắc phục khó khăn tính toán này thì Hiroshi Konno đã đề xuất mô hình trung bình - độ lệch chuẩn tuyệt đối (mean - absolute deviation (MAD) model), mô hình này có thể giải quyết bài toán bằng phương pháp quy hoạch tuyến tính và do đó có thể giải quyết khá tốt bài toán. Mô hình (MAD) có những thuận tiện về mặt tính toán vượt trội hơn nhiều so với mô hình (MV). Với mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về mô hình bài toán (MAD) và cách tính toán số bài toán (MAD) trên phần mềm Matlab tôi đã chọn đề tài “Mô hình trung bình - độ lệch chuẩn tuyệt đối” cho luận văn thạc sĩ của mình. Tài liệu tham khảo chính của luận văn là bài báo “Mean - Absolute Deviation Model” [1] của tác giả Hiroshi Konno. Tôi sẽ trình bày mô hình bài toán (MAD), MAD trong mô hình định giá tài sản vốn (capital asset pricing (CAPM) model), cách giải quyết bài toán (MAD) và thực hiện tính toán mô phỏng bài toán (MAD) trên phần mềm Matlab. Nội dung của luận văn bao gồm ba chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương này là giới thiệu khái quát về một số mô hình quản lý rủi ro tài chính như mô hình quản lý rủi ro của Markowitz, mô hình quản lý rủi ro VaR, mô hình quản lý rủi ro CVaR. Đồng thời, giới thiệu sơ lược về những câu lệnh Matlab để thực thi mô hình (MAD). Chương 2: Mô hình quản lý rủi ro của Hiroshi Konno Nội dung chương này là giới thiệu khái quát về mô hình (MAD), mối liên hệ của mô hình (MAD) với mô hình định giá tài sản vốn (CAPM), tập trung chủ yếu vào giải quyết mô hình bài toán (MAD). Chương 3: Thực thi mô hình (MAD) của Hiroshi Konno trong Matlab Chương này sẽ tập trung làm rõ mục tiêu thiết lập mô hình (MAD) và thu thập, xử lý dữ liệu từ thi trường chứng khoán để giải quyết mô hình (MAD) bằng phần mềm Matlab. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số mô hình quản lý rủi ro trong tài chính Mô hình quản lý rủi ro của Markowitz Harry Max Markowitz sinh ngày 24 tháng 8 năm 1927, là một nhà kinh tế học người Hoa Kỳ, ông được trao giải lý luận John von Neumann (1989) và giải Nobel Kinh tế (1990). Markowitz là một giáo sư tài chính tại Trường quản trị Rady thuộc Đại học California, San Diego (UCSD). Ông được biết đến với công trình tiên phong trong danh mục đầu tư hiện đại, nghiên cứu tác động của rủi ro tài sản, lợi nhuận, tương quan và đa dạng hóa có thể xảy ra tác động trở lại danh mục đầu tư. Năm 1952 Markowitz đã đưa ra một mô hình để phân tích hiệu quả việc phân bổ ngân sách đầu tư cho một tập các cổ phiếu cho trước. Giả sử rằng danh mục đầu tư có thể được đặc trưng bởi trung bình lợi nhuận và phương sai. Danh mục đầu tư thu được từ bài toán này được biểu diễn trên đường biên hiệu quả. Mô hình Markowitz (mô hình này được tham khảo trong tài liệu [9]) có dạng như sau: " minimize E s.t. n X xj Rj − j=1 n X j=1 n X n X #2 r j xj j=1 = n X n X σij xi xj (1.1) i=1 j=1 rj xj = ρM0 (1.2) xj = M0 (1.3) j=1 xj ≤ uj , j = 1, 2, ..., n. (1.4) Trong mô hình này chúng ta phải tối ưu hóa phương sai (một định lượng cho độ rủi ro) trong (1.1), σij là hiệp phương sai (covariance) giữa tài sản i và j, xi là số tiền đầu tư cho tài sản i, xj là số tiền đầu tư cho tài sản j, n là số các tài sản trong mỗi danh mục đầu tư, ràng buộc (1.2) biểu diễn tổng số tiền lợi nhuận của mỗi tài sản khi số tiền đầu tư vào tài sản đó bằng mức tỉ suất lợi nhuận tối thiểu mà nhà đầu tư kỳ vọng với tổng số tiền đã đầu tư, rj là tỉ suất lợi nhuận trung bình theo 1.1 Một số mô hình quản lý rủi ro trong tài chính 6 ngày của tài sản j, ρ là lợi nhuận tối thiểu mà nhà đầu tư mong muốn, M0 là lượng tiền sẽ dùng để đầu tư, uj là số tiền tối đa mà nhà đầu tư muốn đặt cho một cổ phiếu. Ràng buộc (1.3) mô tả tổng số tiền đầu tư trong mỗi tài sản là bằng tổng số vốn đã đầu tư, (1.4) thể hiện rằng số tiền đã đầu tư trong mỗi tài sản là nhỏ hơn hoặc bằng số tiền lớn nhất mà nhà đầu tư muốn đầu tư vào tài sản đó. Mô hình này có tên gọi là trung bình - phương sai (mean-variance) do nó dựa trên kỳ vọng trung bình và độ lệch chuẩn của nhiều loại cổ phiếu. Với mỗi tỉ suất lợi nhuận trung bình cho trước (tức là ρ được cố định) thì chúng ta sẽ phải giải một bài toán quy hoạch dạng toàn phương để tìm phương án đầu tư ít rủi ro nhất. Bài toán này thông thường trở nên rất khó khi số lượng các cổ phiếu quan tâm là lớn. Trong thực tế người ta sẽ cho ρ chạy trong một miền mong muốn và tìm phương án tối ưu với mỗi ρ đó nhằm tạo ra đường biên hiệu quả (the efficient frontier). Bên cạnh dùng phương sai để đo rủi ro của một danh mục đầu tư thì người ta còn dùng VaR (Value-at-Risk) và CVaR (Conditional Value-at-Risk) như trong những phần sẽ trình bày dưới đây. 1.1.2 Mô hình quản lý rủi ro VaR (Value-at-Risk) VaR là viết tắt của Value-at-Risk, tạm dịch là giá trị chịu rủi ro. Trong tiêu chuẩn Basel dùng để tính lượng vốn quy định trong hệ thống ngân hàng, khái niệm Value at Risk đã được nhắc tới như là một công cụ được khuyến cáo để tính toán các lượng vốn theo quy định đó. Chẳng hạn trong hoạt động của ngân hàng ngoài các hoạt động cần tới sự lưu động của dòng tiền thì ngân hàng cũng sẽ phải có một lượng dự trữ vốn nhất định vì nhiều lý do, do pháp luật quy định hoặc với các mục đích khác. Trong các mục đích đó việc dự trữ một lượng vốn để khi có những biến cố bất thường xảy ra chẳng hạn như việc kinh doanh gặp một khoản lỗ lớn khi đó Ngân hàng phải sử dụng số tiền dự trữ để giải quyết hậu quả do biến cố này gây ra. Thực tế, trước khi những độ đo rủi ro được áp dụng tại các ngân hàng trên thế giới theo tiêu chuẩn Basel thì rất nhiều ngân hàng đã sụp đổ do không có đủ lượng vốn dự trữ cần thiết để chi trả cho khách hàng trong trường hợp họ phải chịu những khoản lỗ khổng lồ do biến động bất thường của thị trường. Với độ đo rủi ro VaR, ngân hàng sẽ tính toán lượng dự trữ vốn tối tiểu cần phải có trong một mức độ tin cậy cố định (thông thường là 99% hoặc 95% hoặc 90%) và trong một khoảng thời gian nhất định (ví dụ như 1 ngày, 1 tuần,. . . ) để có thể phòng ngừa những trường hợp xấu gây phá sản sao cho lượng vốn dự trữ đó là đủ để ngân hàng sử dụng trong trường hợp bất thường xảy ra cũng như không dự trữ quá dư thừa dẫn đến nguồn vốn không thể lưu thông vào hoạt động kinh doanh dẫn đến giảm lợi nhuận. Đây là một ví dụ rất tiêu biểu để minh hoạ cho công dụng của VaR và nó cũng là một vấn đề thời sự thường được biết dưới cái tên “quản trị nguồn vốn kinh tế” tập trung chủ yếu vào việc đo lường rủi ro tổng hợp và phân bổ nguồn vốn kinh tế hợp lý. Ví dụ thứ hai cũng có phần tương tự ví dụ trên nhưng ở một trường hợp cụ thể hơn. Nhà đầu tư nắm giữ một danh mục chứng khoán đang niêm yết trên sàn HOSE. Ngoài việc tính toán tỉ trọng tối ưu cho lỗ chứng khoán của mình sao cho tối đa hoá lợi nhuận, họ phải xem xét các yếu tố khác như việc với danh mục đó 1.1 Một số mô hình quản lý rủi ro trong tài chính 7 thì khả năng thua lỗ trong một ngày là bao nhiêu và họ cần đầu tư như thế nào để nếu rủi ro thua lỗ xảy ra họ vẫn đủ vốn dự trữ để kiểm soát tình hình. Tuy nhiên câu hỏi đặt ra khả năng thua lỗ trong một ngày có thể là bao nhiêu? Giả sử số tiền đầu tư là 1 tỷ VND. Nếu nói có thể mất toàn bộ số tiền đầu tư thì ai cũng có thể nói được, đương nhiên điều này hiếm khi xảy ra (nhưng không phải không thể xảy ra!!!). Câu trả lời hợp lý nhất có thể là một con số cụ thể, ví dụ như 250 triệu VND với độ tin cậy 99%. Đó chính là ví dụ về VaR. VaR được phát triển dựa trên những kế thừa từ những phương pháp đo lường rủi ro trước đó. Lợi ích lớn nhất của VaR chính là việc đòi hỏi phải thay đổi suy nghĩ về quản lý rủi ro thị trường đối với những tổ chức tài chính áp dụng nó. Chúng ta có thể định nghĩa VaR như sau: V aR = ζα (ξ) = inf {ζ| P (ξ ≤ ζ) ≥ α} (1.5) trong đó α là mức độ tin cậy và ξ là biến ngẫu nhiên. Giả sử biến ngẫu nhiên ξ có phân phối chuẩn, khi đó VaR của biến ngẫu nhiên này sẽ là: V aR = ζα (ξ) = Φ−1 (α) = µ + k(α)σ trong đó (1.6) √ 2erf −1 (2α − 1) Zz 2 2 erf (z) = √ e−t dt, π k(α) = 0 và µ là trung bình, σ là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên (mô hình được tham khảo trong tài liệu [9]). Tức là có thể thực hiện tính thông qua trung bình và phương sai của biến ngẫu nhiên. Trong trường hợp chúng ta không biết trước được phân phối của của biến ngẫu nhiên thì chúng ta thường sử dụng một trong ba cách sau để tính VaR: Phương pháp phương sai - hiệp phương sai; phương pháp mô phỏng lịch sử; phương pháp mô phỏng Monte Carlo. Mô hình quản lý rủi ro liên quan đến VaR có một trong hai dạng sau: Mô hình 1: Cố định một mức lợi nhuận đầu tư và cực tiểu hóa VaR minimize V aRα [f (x; ξ)] s.t. pT .x ≥ R. Mô hình 2: Chấp nhận một mức rủi ro β cho VaR cực đại hóa lợi nhuận minimize pT .x s.t. V aRα [f (x; ξ)] ≤ β. Trong đó f (x; ξ) là hàm tổn thất của danh mục đầu tư, p là véc tơ ngẫu nhiên mô tả tỉ lệ lợi nhuận trung bình theo ngày của các cổ phiếu trong danh mục đầu tư, x là véc tơ mô tả phương án đầu tư vào các cổ phiếu trong danh mục đầu tư, R là lợi nhuận mong muốn thu được. Những bài toán trên là những bài toán không lồi, không trơn nên rất khó giải để tìm nghiệm tối ưu toàn cục, hay nghiệm tối ưu địa phương đủ tốt. 1.1 Một số mô hình quản lý rủi ro trong tài chính 1.1.3 8 Mô hình quản lý rủi ro CVaR (Conditional Value-atRisk) CVaR là viết tắt của Conditional-Value-at-Risk, tạm dịch giá trị chịu rủi ro có điều kiện. CVaR còn được nhắc đến với nhiều cái tên như Expected Shortfall (ES) hay Average Value at Risk(AVaR), Expected Tail Loss (ETL). Theo ngôn ngữ toán học thì CVaR được bắt nguồn từ việc lấy giá trị trung bình có trọng số giữa VaR và những mức lỗ vượt quá giá trị VaR này. Vì vậy danh mục đầu tư có CVaR thấp phải có VaR thấp. Trong thực tế, việc tối ưu hóa VaR và CVaR rất quan trọng. So với VaR thì CVaR có nhiều tính chất toán học tốt hơn, chẳng hạn như VaR là hàm không lồi theo biến ngẫu nhiên, không liên tục theo độ tin cậy, không có tính chất dưới cộng tính nên nói chung việc tối ưu hóa VaR rất khó khăn. Ngược lại CVaR là hàm liên tục theo độ tin cậy và là hàm lồi theo biến ngẫu nhiên; do đó việc tối ưu CVaR đơn giản hơn nhiều so với VaR. Để hiểu thêm các tính chất của CVaR có thể tham khảo trong [10]. CVaR có thể được định nghĩa như sau: CV aR = E [ξ| ξ ≥ ζα (ξ)] = E [ξ| ξ ≥ V aR] trong đó ξ là biến ngẫu nhiên. Trong trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là µ và phương sai σ thì CVaR có thể tính như sau: CV aR = µ + k1 (α)σ trong đó 1 k1 (α) = √ 2 −1 2πe(erf (2α−1)) (1 − α) Zz 2 2 erf (z) = √ e−t dt. π 0 Mô hình quản lý rủi ro liên quan đến CVaR cũng thường có một trong hai dạng sau: Mô hình 1: Cố định một mức lợi nhuận đầu tư và cực tiểu hóa CVaR minimize CV aRα [f (x; ξ)] s.t. pT .x ≥ R. Mô hình 2: Chấp nhận một mức rủi ro β cho CVaR cực đại hóa lợi nhuận minimize pT .x s.t. CV aRα [f (x; ξ)] ≤ β. Trong đó f (x; ξ) là hàm tổn thất của danh mục đầu tư, p là véc tơ ngẫu nhiên mô tả tỉ suất lợi nhuận trung bình theo ngày của các cổ phiếu trong danh mục đầu 1.2 Sơ lược về những câu lệnh Matlab để thực thi mô hình (MAD) 9 Hình 1.1: VaR (Value-at-Risk) và CVaR (Conditional Value-at-Risk). tư, x là véc tơ mô tả phương án đầu tư vào các cổ phiếu trong danh mục đầu tư, R là lợi nhuận mong muốn thu được. Như những tính chất tốt của CVaR nói trên, CVaR là những bài toán quy hoạch lồi và có thể chuyển thành các bài toán quy hoạch tuyến tính mà có thể giải dễ dàng bằng các phần mềm tối ưu cho những dữ liệu lớn. Trong phần này tôi đã nói sơ lược về một số mô hình quản lí rủi ro của một danh mục đầu tư hay được dùng hiện nay. Trong chương tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày chi tiết về mô hình (MAD). Đây là một mô hình được đề xuất bởi Kono nhằm giảm độ khó của mô hình Markowitz trong trường hợp số lượng các cổ phiếu trong danh mục đầu tư rất lớn. 1.2 Sơ lược về những câu lệnh Matlab để thực thi mô hình (MAD) Trong luận văn này, việc giải quyết mô hình (MAD) sẽ dẫn tới việc giải một bài toán quy hoạch tuyến tính có nhiều biến và nhiều ràng buộc. Phần mềm Matlab sẽ được sử dụng để làm nhiệm vụ này cũng như mô phỏng các kết quả số có được. Matlab là một môi trường tính toán số và lập trình, được thiết kế bởi công ty MathWorks. Matlab cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác. Matlab giúp đơn giản hóa việc giải quyết các bài toán tính toán kĩ thuật so với các ngôn ngữ lập trình truyền thống như C, C++, và Fortran. Matlab được sử dụng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm xử lý tín hiệu và ảnh, truyền thông, thiết kế điều khiển tự động, đo lường kiểm tra, phân tích mô hình tài chính, hay tính toán sinh học. Với hàng triệu kĩ sư và nhà khoa học làm việc trong môi trường công nghiệp cũng như ở môi trường hàn lâm, Matlab là ngôn ngữ của tính 1.2 Sơ lược về những câu lệnh Matlab để thực thi mô hình (MAD) 10 toán khoa học. Sau đây chúng tôi sẽ giới thiệu một số hàm và các câu lệnh cần thiết để thực thi mô hình (MAD). 1.2.1 Hàm mean(X) và hàm var(X) •Hàm mean(X) dùng để tính trung bình cho mỗi cột dữ liệu trong ma trận X. •Hàm var(X) dùng để tính phương sai cho mỗi cột dữ liệu trong ma trận X. Ví dụ 1. Tính trung bình và phương sai cho mỗi cột dữ liệu trong ma trận X :   1 2 3 X= 4 5 6  7 8 9 Ta thực hiện như sau: >> X=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] X = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> mean(X) ans = 4 5 6 >> var(X) ans = 9 9 9 1.2.2 Hàm linspace(a,b,k) Hàm x=linspace(a,b,k) được sử dụng khi ta muốn cho biến x chạy từ a đến b và lấy k điểm chia. Ví dụ 2. Cho biến x chạy từ -1 tới 1, lấy 6 điểm chia: Ta thực hiện như sau: >> x=linspace(-1,1,6) x = -1.0000 -0.6000 -0.2000 0.2000 0.6000 1.0000 1.2 Sơ lược về những câu lệnh Matlab để thực thi mô hình (MAD) 1.2.3 11 Hàm linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) Hàm linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) dùng để minnimize hàm mục tiêu dạng f T x với các ràng buộc sau A·x≤b Aeq · x = beq lb ≤ x ≤ ub, trong đó f, x, b, beq, lb, ub có dạng vectơ và A, Aeq có dạng ma trận. Ta sẽ sử dụng câu lệnh sau ∗[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) Chú ý • Trong câu lệnh trên, ta đặt ub=[] nếu không có ràng buộc cận trên và lb=[] nếu không có ràng buộc cận dưới. • Kết quả sẽ cho x, f val tương ứng được kí hiệu là nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu của hàm mục tiêu. Ví dụ 3. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau: minimize s.t. − x1 − 3x2 x1 + x2 1 + x2 4 − x2 ≤ 2 ≤ 1 ≤ 2 − x2 ≤ 1 − x2 ≤ −1 x1 x1 1 − x1 4 −x1 −x1 + x2 1 x1 + x2 4 − 1 ≤ x1 − 0.5 ≤ x2 ≤ 2 1 = 2 ≤ 1.5 ≤ 1.25. Ta thực hiện như sau: >> f = [-1 -3]; >> A = [1 1;1 1/4;1 -1;-1/4 -1; -1 -1; -1 1]; >> b = [2 1 2 1 -1 2]; >> Aeq = [1 1/4]; >> beq = 1/2; >> lb = [-1,-0.5]; >> ub = [1.5,1.25]; >> [x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) Optimization terminated. 1.2 Sơ lược về những câu lệnh Matlab để thực thi mô hình (MAD) 12 x = 0.1875 1.2500 fval = -3.9375 Ví dụ 4. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính sau: minimize − 44x1 − 3x2 s.t. x1 + x2 x1 + x1 − 1 x2 3 x2 − ≤ 2 ≤ 1 ≤ 2 x2 ≤ 1 − x2 ≤ −1 −x1 + x2 ≤ x1 + 1 − x1 4 −x1 1 x2 4 x1 x2 2 1 = 5 ≤ 1.5 ≤ 1.25. Với ví dụ 4, vì không có ràng buộc cận dưới nên lb=[], ta sẽ thực hiện như sau: >> f = [-44 -3]; >> A = [1 1;1 1/3;1 -1;-1/4 -1; -1 -1; -1 1]; >> b = [2 1 2 1 -1 2]; >> Aeq = [1 1/4]; >> beq = 1/5; >> ub = [1.5,1.25]; >> [x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,[],ub) Optimization terminated. x = -0.0667 1.0667 fval = -0.2667 Như vậy, để dùng câu lệnh này mấu chốt là cần thiết lập các tham số f, A, b... cho bài toán. Trong các ví dụ số nói trên thì việc xác định những tham số này tương đối đơn giản. Còn nói chung việc xác định các tham số này trong những bài toán 1.2 Sơ lược về những câu lệnh Matlab để thực thi mô hình (MAD) 13 thực tế là rất phức tạp do kích thước của chúng khá lớn. Mô hình (MAD) mà tôi nghiên cứu trong luận văn cũng là một trong những trường hợp như vậy. 1.2.4 Câu lệnh điều kiện if • Dạng đơn giản nhất của lệnh điều kiện trong Matlab là: if biểu thức điều kiện khối các lệnh được thực hiện end Matlab đánh giá biểu thức điều kiện, nếu biểu thức điều kiện cho giá trị true hay khác không, Matlab sẽ thực hiện khối các lệnh được thực hiện, nếu không thì sẽ thực hiện khối các lệnh sau end. • Trong cấu trúc lệnh điều kiện, ta có thể sử dụng cấu trúc if với nhiều phần thân cấu trúc như sau: if biểu thức điều kiện 1 khối các lệnh được thực hiện 1 elseif biểu thức điều kiện 2 khối các lệnh được thực hiện 2 else khối các lệnh được thực hiện 3 end Matlab đánh giá biểu thức điều kiện 1, nếu biểu thức điều kiện 1 cho giá trị true hay khác không, Matlab sẽ thực hiện biểu thức điều kiện 1. Nếu biểu thức điều kiện 1 cho giá trị false và biểu thức điều kiện 2 cho giá trị true, Matlab sẽ thực hiện biểu thức điều kiện 2. Nếu cả biểu thức điều kiện 1 và biểu thức điều kiện 2 đều cho giá trị false, Matlab sẽ thực hiện biểu thức điều kiện 3. Ví dụ 5. Viết chương trình nhập vào 2 số và so sánh hai số đó : a = input(‘Nhập a: ’); b = input(‘Nhập b: ’); if a > b disp(‘a lớn hơn b’); elseif a ==b disp(‘a bằng b’); else disp(‘a nhỏ hơn b’); end nhập a: 4 nhập b: 5 a nhỏ hơn b 1.2 Sơ lược về những câu lệnh Matlab để thực thi mô hình (MAD) 1.2.5 14 Vòng lặp for Vòng lặp for cho phép một nhóm lệnh thực hiện lặp lại một số lần cố định với cú pháp như sau: for i=i1:k:i2 khối các lệnh end Trong vòng lặp trên i1 và i2 lần lượt là giá trị bắt đầu và giá trị kết thúc của i, k là bước nhảy (nếu không đặt bước nhảy thì giá trị mặc định của bước nhảy là 1). Mỗi lần lặp sẽ kết thúc khi gặp từ khóa end. Đầu tiên Matlab sẽ xác định có bao nhiêu lần lặp và sau đó mới tiến hành thực thi các lệnh trong vòng lặp với các giá trị của i. Vì vậy, nếu như i2 < i1 với k > 0 thì Matlab sẽ không thực thi vòng lặp. Ví dụ 6. for i=1:10 x(i)=sin(i*pi/10) end >> x = 0.3090 0.5878 0.5878 0.3090 0.8090 0.0000 0.9511 1.0000 0.9511 0.8090 Trên đây, chúng tôi đã giới thiệu một số câu lệnh và hàm cần thiết để thực thi mô hình trung bình - độ lệch chuẩn tuyệt đối (MAD). Những câu lệnh này là công cụ giúp chúng tôi giải quyết khá tốt các vấn đề gặp phải trong quá trình mô phỏng các kết quả số (các vẫn đề mà việc tính toán bằng tay là bất khả thi). Việc áp dụng các câu lệnh trên cho mô hình được trình bày cụ thể trong chương 3. Chương 2 Mô hình quản lý rủi ro của Hiroshi Konno 2.1 Mô hình bài toán (MAD) Giả sử Rj (j = 1, 2, . . . , n) là biến ngẫu nhiên đại diện cho tỉ lệ lợi nhuận của tài sản thứ j, xj (j = 1, 2, . . . , n) là tỉ lệ vốn để mua cổ phần của tài sản thứ j. Tỉ suất lợi nhuận R(x) của danh mục vốn đầu tư x = (x1 , x2 , . . . , xn ) cho bởi: R(x) = n X Rj xj . (2.1) j=1 Giả sử E[R(x)] và V [R(x)] lần lượt là kỳ vọng và phương sai của R(x). Khi đó, mô hình trung bình - phương sai (mean-variance (MV) model) được định nghĩa như sau: minimize V (x) s.t. E [R(x)] = ρ x ∈ X, (2.2) trong đó ρ là tỉ suất lợi nhuận trung bình cho bởi nhà đầu tư và X là tập các phương án đầu tư được xác định như sau: ( X= n x∈ R | n X xj = 1, 0 ≤ xj ≤ α, j = 1, 2, . . . , n; j=1 n X j=1 ) aij xj ≥ bi , i = 1, 2, . . . , m . (2.3) 2.1 Mô hình bài toán (MAD) 16 Với cùng một danh mục vốn đầu tư như trên ta có mô hình tương tự như sau: maximize E(x) s.t. V [R(x)] = σ 2 x ∈ X. (2.4) Mô hình trung bình - độ lệch chuẩn tuyệt đối (mean-absolute deviation (MAD) model) là dạng khác của mô hình (MV) trong đó độ rủi ro được thay bằng độ lệch chuẩn tuyệt đối (hình 2.1) W (x) = E [|R(x) − E [R(x)]|] . (2.5) Mô hình (MAD) được định nghĩa như sau: minimize W (x ) s.t. E [R(x)] = ρ x ∈ X. (2.6) Hình 2.1: Phương sai, độ lệch chuẩn tuyệt đối. Mệnh đề 2.1.1. Nếu R(x) có phân phối chuẩn với kỳ vọng r(x) và phương sai σ 2 (x) thì p W (x) = 2/πσ(x). Chứng minh. Z+∞ W (x) = −∞ ) ( (z − r(x))2 1 √ |z − r(x)| exp − dz 2σ 2 (x) 2πσ(x) 1 =√ 2πσ(x) ( ) Z+∞ (z − r(x))2 |z − r(x)| exp − dz. 2σ 2 (x) −∞ 2.1 Mô hình bài toán (MAD) 17 Đặt t = |z − r(x)| . Khi đó 1 W (x) = √ 2πσ(x)  Z+∞ t exp − t2 2σ 2 (x)  dt −∞   Z+∞ −t2 2 t2 2 d 2 = −√ σ (x) exp − 2 2σ (x) 2σ (x) 2πσ(x) 0 +∞   2 t2  = − √ σ(x) exp − 2 2σ (x) 0 2π p = 2/πσ(x). Từ đó ta có hệ quả quan trọng sau. Hệ quả 2.1.2. Mô hình (MAD) (2.6) và mô hình (MV) sẽ sinh ra cùng một danh sách đầu tư tối ưu khi biến ngẫu nhiên R = (R1 , R2 , . . . , Rn ) có phân phối chuẩn. Khi R không có cùng phân phối chuẩn thì mô hình (MAD) không tương đương với mô hình (MV). Tuy nhiên, sự khác nhau đó không đáng kể vì độ lệch chuẩn tuyệt đối, độ lệch chuẩn thì cả hai đều là độ lệch xung quanh giá trị trung bình. Mặt khác, người ta còn chỉ ra rằng tồn tại các hằng số a1 ≥ a2 > 0 thỏa mãn biểu thức sau: a2 W (x) ≤ σ(x) ≤ a1 W (x), ∀x. Ta tiếp tục định nghĩa độ lệch chuẩn tuyệt đối dưới và phương sai dưới như sau:   W− (x) = E |R(x) − r(x)|− ,   V− (x) = E |R(x) − r(x)|2− , (2.7) (2.8) trong đó r(x) = E [R(x)] và |a|− được định nghĩa là |a|− = max {0, −a}. Markowitz p (1959) [5] đã gợi ý rằng phương sai dưới hoặc độ lệch chuẩn dưới σ− (x) = V− (x) sẽ là độ đo rủi ro thích hợp hơn là phương sai và độ lệch chuẩn khi phân phối của R(x) bị lệch, tức là σ− (x) 6= σ(x)/2. Định lí 2.1.3. Ta có: W− (x) = (1/2)W (x) với R(x) có phân phối bất kỳ. Chứng minh. Giả sử f (x) là hàm mật độ của R(x).   W (x) − 2W− (x) = E [|R(x) − r(x)|] − 2E |R(x) − r(x)|− Z+∞ Zr(x) Zr(x) = (η − r(x)) f (η)dη + (r(x) − η) f (η)dη − 2 (r(x) − η) f (η)dη r(x) −∞ −∞ 2.1 Mô hình bài toán (MAD) 18 Z+∞ Zr(x) = (η − r(x)) f (η)dη − (r(x) − η) f (η)dη −∞ r(x) Z+∞ Z+∞ = ηf (η)dη − r(x) f (η)dη −∞ −∞ = r(x) − r(x) = 0. Điều này có nghĩa rằng mô hình trung bình - độ lệch chuẩn tuyệt đối là tương đương với mô hình trung bình - độ lệch chuẩn tuyệt đối dưới. Giả sử f (ρ) = min {W (x)| E [R(x)] = ρ, x ∈ X} . (2.9) Đồ thị của f (ρ) được gọi là đường biên hiệu quả tương ứng với mô hình (MAD). Khi W (x) là hàm lồi thì f (ρ) cũng là hàm lồi của ρ. Theo Markowitz (1959), các danh mục vốn đầu tư trên đường biên hiệu quả của mô hình (MV) là hiệu quả theo nghĩa của trội ngẫu nhiên bậc hai. Do đó, nó phù hợp với nguyên tắc của MEU (cực đại hóa kỳ vọng của hàm hiệu dụng (maximization of expected utility)) theo một trong hai trường hợp sau: i) (R1 , R2 , . . . , Rn ) có phân phối chuẩn hoặc phân phối elip. ii) Hàm hiệu dụng là một hàm bậc hai lõm và tăng. Đặc biệt, Ogryczak và Ruszczynski (1999) [6] đã chứng minh được định lý sau. Định lí 2.1.4. Các danh mục vốn đầu tư trên đường biên hiệu quả MAD phía bên phải của điểm A (trong hình 2.2) thì điểm có f 0 (ρ) = 1 là hiệu quả theo nghĩa của trội ngẫu nhiên bậc hai nếu phương án tối ưu của bài toán (2.6) là duy nhất. Chứng minh. Định lý được chứng minh trong Ogryczak and Ruszczynski (1999)[6]. Tuy nhiên, định lý này đã không đề cập tới phân phối của R(x), ngược lại với trường hợp của mô hình (MV). Điều này có nghĩa rằng mô hình (MAD) phù hợp với nguyên tắc MEU hơn mô hình (MV). Liệu rằng danh mục vốn đầu tư trên đường biên hiệu quả phía bên trái điểm A có là hiệu quả theo nghĩa của trội ngẫu nhiên bậc hai cho R(x) có phân phối bất kỳ? Đây vẫn đang là một bài toán mở. Hơn nữa, Ogryczak and Ruszczynski (2001) [11] đã chứng minh được định lý (2.1.4) đúng cho mô hình với độ đo rủi ro dưới tổng quát hơn như sau: h σk (x) = E |R(x) − E [R(x)]|k− i1/k , k = 1, 2, . . . . 2.2 MAD cho mô hình định giá tài sản vốn (CAPM) 19 Hình 2.2: Đường biên hiệu quả MAD. 2.2 MAD cho mô hình định giá tài sản vốn (CAPM) Mô hình định giá tài sản vốn (Capital asset pricing model (CAPM)) là mô hình mô tả mối quan hệ giữa rủi ro và tỷ suất lợi nhuận mong đợi. Mô hình này do ba nhà kinh tế William Sharpe, John Lintnet và Jack Treynor phát triển từ những năm 1960. Mô hình (CAPM) giả định rằng: nhà đầu tư có thể cho vay với lãi suất phi rủi ro và lãi suất này liên tục, không đổi theo thời gian; nhà đầu tư có hai cơ hội đầu tư đó là đầu tư vào tài sản phi rủi ro và danh mục cổ phiếu thị trường. Cụ thể trong phần này, chúng ta xét đến tài sản phi rủi ro với giả sử tỉ suất lợi nhuận của tài sản phi rủi ro là r0 . Chúng ta sẽ nghiên cứu dạng cơ bản của mô hình (MAD) như sau: minimize W (x ) s.t. E [R(x)] = ρ x ∈ X0 , (2.10) trong đó ( X0 = (x0 , x1 , . . . , xn )| n X ) xj = 1, xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n . (2.11) j=1 Chú ý rằng x0 có thể âm. Định lí dưới đây sẽ cho chúng ta một vài giả định cơ bản trong thị trường vốn và nhà đầu tư. Định lí 2.2.1. Chia đôi vốn đầu tư (Two-fund separation theorem). Mỗi nhà đầu tư sẽ chỉ đầu tư vào danh mục cổ phiếu thị trường là PM và tài sản phi rủi ro, ngoài ra không đầu tư vào cái gì khác. Chứng minh. Định lý được chứng minh cẩn thận với chú ý f (ρ) là hàm lồi (Konno et al. 2002.)[7].