BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
LUẬN VĂN THẠC SĨ
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE MỜ
Giảng viên hướng dẫn: TS. NGUYỄN THỊ KIM SƠN
Học viên thực hiện: NGUYỄN THỊ NGỌC THÚY
Khóa : 25
HÀ NỘI, 05/2017
Mục lục
Lời cảm ơn
3
Mở đầu
5
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Lý thuyết tập mờ . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Định nghĩa số mờ . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Các phép toán trên tập mờ . . . . . . .
1.2 Các tính chất giải tích của hàm mờ . . . . . .
1.2.1. Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Tính khả tích . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phép biến đổi Laplace của hàm thực . . . . . .
1.3.1. Phép biến đổi Laplace của hàm thực . .
1.3.2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace
1.4 Kết luận chương . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Phép biến đổi Laplace mờ
2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Điều kiện tồn tại của phép biến đổi Laplace
2.2.3. Biến đổi Laplace của tích chập mờ . . . . .
2.3 Phép biến đổi Laplace mờ của đạo hàm . . . . . .
2.4 Kết luận chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
. .
. .
mờ
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
8
8
9
11
11
12
16
16
16
18
20
.
.
.
.
.
.
.
21
21
22
22
23
26
28
32
3 Một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace mờ
33
3.1 Bài toán giá trị ban đầu với phương trình vi phân mờ cấp
một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1
2
3.2
3.3
3.4
Bài toán giá trị ban đầu với phương trình vi phân mờ cấp hai 38
Hệ động lực của phương trình vi phân mờ . . . . . . . . . . 41
Kết luận chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng
cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán - Tin, trường Đại học sư phạm Hà
Nội, cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy đã tận tình truyền đạt
những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành
tốt nhiệm vụ khóa học và luận văn.
Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới
TS. Nguyễn Thị Kim Sơn, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận
tình giúp đỡ để em có thể hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất.
Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên
luận văn không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất mong nhận
được những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2017
Tác giả
3
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với
đề tài "Phép biến đổi Laplace mờ" được hoàn thành dưới sự hướng
dẫn của TS. Nguyễn Thị Kim Sơn và bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa,
phát triển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết
ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2017
Tác giả
4
5
BẢNG KÍ HIỆU
Một số ký hiệu được sử dụng trong luận văn này:
• R là tập số thực
• Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R}
• [u]0 = {x ∈ Rn : u(x) > 0}
• [u]r = {x ∈ Rn : u(x) ≥ r} trong đó 0 < r ≤ 1
• D(u, v) khoảng cách Haussdorff giữa u và v
• u v hiệu Hukuhara của u và v
• l[f ] biến đổi Laplace của hàm nhận giá trị thực f
• L[f ] biến đổi Laplace của hàm nhận giá trị mờ f
• l−1 [F ] biến đổi Laplace ngược của hàm thực F
• L−1 [F ] biến đổi Laplace ngược của hàm mờ F
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình vi phân mờ là mô hình đơn giản của hệ động lực mờ,
xuất hiện trong nhiều ứng dụng thực tế. Lĩnh vực phương trình vi phân
mờ đã được nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần đây.
Phép biến đổi Laplace được sử dụng để giải các phương trình vi phân
và các bài toán biên, bài toán giá trị ban đầu. Bằng cách sử dụng phép
biến đổi Laplace, việc giải một bài toán vi phân trở thành việc giải một
bài toán đại số. Với ưu thế giải bài toán một cách trực tiếp, phép biến
đổi Laplace giúp giải các bài toán giá trị ban đầu mà không cần định
nghĩa nghiệm tổng quát, giải phương trình vi phân không thuần nhất
mà không cần thông qua phương trình thuần nhất tương ứng. Chính
vì vậy, phép biến đổi Laplace là một phương pháp đặc biệt quan trọng
trong toán học cả về lý thuyết và ứng dụng.
Luận văn nghiên cứu về phép biến đổi Laplace cho hàm nhận giá trị
tập mờ và một số ứng dụng của phép biến đổi này trong việc giải một số
bài toán giá trị ban đầu và các bài toán biên cho phương trình vi phân
mờ.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về không gian các hàm nhận giá trị mờ, các khái niệm giải
tích như tính liên tục, tính khả vi, khả tích của hàm nhận giá trị mờ.
Định nghĩa phép biến đổi Laplace mờ và nghiên cứu một số tính chất
của phép biến đổi này trong không gian các hàm nhận giá trị mờ. Nêu
lên một số ví dụ về ứng dụng của phép biến đổi Laplace mờ trong việc
giải một số phương trình vi phân mờ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Lý thuyết tập mờ
• Các tính chất giải tích của tập mờ
• Phép biến đổi Laplace mờ, định nghĩa và tính chất
• Một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace mờ cho phương trình
6
7
vi phân mờ.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng: Tập mờ, các phép toán giải tích mờ và phép biến đổi
Laplace mờ.
• Phạm vi: Các lý thuyết giải tích liên quan đến phép biến đổi Laplace
mờ và ứng dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ giải tích bao gồm:
• Sử dụng kiến thức của giải tích cổ điển, giải tích hàm thực, giải tích
tập hợp và giải tích mờ.
• Sử dụng giải tích hàm đa trị.
6. Nội dung
Luận văn dài 49 trang với nội dung chính gồm ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trong chương này, chúng tôi trình
bày một số kiến thức cơ sở về tập mờ, số mờ, các khái niệm về tính liên
tục, khả vi, khả tích của hàm mờ và một số kết quả về phép biến đổi
Laplace của hàm nhận giá trị thực.
Chương 2: Phép biến đổi Laplace mờ: Trong chương này, chúng
tôi giới thiệu phép biến đổi Laplace mờ cùng một số tính chất như
tuyến tính, biến đổi Laplace của tích chập mờ và điều kiện đủ để tồn
tại phép biến đổi Laplace mờ. Những kết quả này được trích từ hai bài
báo "Fuzzy Laplace transforms", Tofigh Allahviranloo, M.Barkhordari
Ahmadi [3] và "Applications of fuzzy Laplace transforms", S. Salahshour,
T. Allahviranloo [8].
Chương 3: Một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace mờ:
Trong chương này, chúng tôi trình một số ứng dụng của phép biến đổi
Laplace mờ như: việc giải bài toán giá trị ban đầu với phương trình vi
phân mờ cấp một, cấp hai và hệ động lực của phương trình vi phân mờ.
Những kết quả này được tổng hợp từ hai bài báo [3, 8].
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày về lý thuyết tập mờ, các tính
chất giải tích của hàm mờ. Mục 1.1, mục 1.2 được tham khảo từ tài liệu
[3, 8] trình bày về định nghĩa số mờ, các phép toán trên tập mờ cùng
một số tính chất như: tính liên tục, tính khả vi, tính khả tích của hàm
mờ. Trong mục 1.3 chúng tôi giới thiệu phép biến đổi Laplace của hàm
nhận giá trị thực và một số tính chất của nó. Các kết quả này được tham
khảo từ cuốn "Biến đổi tích phân" của tác giả Đặng Đình Áng, Trần
Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân [1].
1.1
1.1.1.
Lý thuyết tập mờ
Định nghĩa số mờ
Định nghĩa 1.1.1. Kí hiệu R là tập các số thực. Một số mờ u là một
ánh xạ từ R vào [0,1] thỏa mãn các tính chất sau:
i) u nửa liên tục trên.
ii) u lồi mờ, nghĩa là với x, y ∈ R và 0 < λ ≤ 1 thì
u(λx + (1 − λ)y) ≥ min{u(x), u(y)}.
iii) Tồn tại x0 ∈ R sao cho u(x0 ) = 1.
iv) [u]0 = {x ∈ Rn : u(x) > 0} là tập compact trong R.
Gọi E là tập tất cả các số mờ trên R. Tập mức r của số mờ u ∈
E, 0 ≤ r ≤ 1 ký hiệu là [u]r , định nghĩa như sau:
(
{x ∈ R| u(x) ≥ r} nếu 0 < r ≤ 1,
[u]r =
cl(suppu)
nếu r = 0.
8
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
9
Tập mức r của một số mờ u ∈ E, 0 ≤ r ≤ 1 đóng và bị chặn trong R.
Kí hiệu [u(r), u(r)] với u(r), u(r) lần lượt là đầu mút dưới và đầu mút
trên của [u]r . Mỗi y ∈ R, số mờ ỹ định nghĩa như sau:
(
1 nếu t = y
ỹ(t) =
,
0 nếu t 6= y
do đó R có thể nhúng được trong E.
Tương tự ta gọi E n là không gian tất cả các số mờ u : Rn −→ [0, 1].
1.1.2.
Các phép toán trên tập mờ
a, Nguyên lý mở rộng Zadeh
Nguyên lý mở rộng Zadeh là hình thức mở rộng các hàm giá trị thực
sang các hàm giá trị mờ (giá trị khoảng). Từ đó ta có thể thực hiện các
phép tính mờ với Nguyên lý mở rộng Zadeh.
Định nghĩa 1.1.2. Cho X, Y là các tập số thực và hàm thực f : X → Y.
Các tập mờ tương ứng với X, Y lần lượt là E(X), E(Y ). Xét hàm mờ
F : E(X) → E(Y ) sao cho y = F (x), trong đó
(
sup {x(t) : f (t) = s} nếu f −1 (s) 6= ∅,
y(s) =
0 nếu f −1 (s) = ∅.
Khi đó hàm mờ F được gọi là mở rộng Zadeh của hàm thực f
b, Các phép toán trên tập mờ
Cho X = X1 .X2 .X3 ....Xn ( tích Decartes của X1 , X2 , ..., Xn ) và
A1 , A2 , ..., An là n tập số mờ trong X1 , X2 , ..., Xn tương ứng.
Xét ánh xạ f : X −→ Y
(x1 , x2 , ..., xn ) 7−→ y = f (x1 , x2 , ..., xn ).
Theo nguyên lý mở rộng Zadeh cho phép ta định nghĩa tập B như
sau
B = {(y, u(y))| y = f (x1 , x2 , ..., xn ), (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ X},
ở đó
uB (y) =
sup
(x1 ,...,xn )∈f −1 (y)
0
min {uA1 (x1 ), ..., uAn (xn )} nếu f −1 (y) 6= 0,
nếu f −1 (y) = 0.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
10
Với n = 1:
B = {(y, uB (y)) |y = f (x), x ∈ X} ,
sup uA (x) nếu f − 1(y) 6= 0,
uB (y) = x∈f − 1(y)
0
nếu f − 1(y) = 0.
Theo mở rộng chính tắc Zadeh, phép toán tổng trong E được định
nghĩa là:
(u ⊕ v)(x) = sup min {u(y), v(x − y)} , x ∈ R.
y∈R
Phép nhân được định nghĩa bởi:
( x
u( ) nếu k > 0,
k
(k u) =
0̃
nếu k = 0.
với 0̃ ∈ E, k là số thực.
Điều này cũng đúng với các tập mức khác, tức là:
∀u, v ∈ E, ∀k ∈ R+ , ∀r ∈ (0, 1] : [u ⊕ v]r = [u]r ⊕ [v]r , [k u]r = k[u]r .
Vì số mờ được giới hạn bởi hai điểm mút của đoạn [u]r nên dẫn tới
các tính chất của số mờ liên quan đến hai hàm u(r) và u(r). Một định
nghĩa tham số tương đương được định nghĩa bởi Friedman (1990) và Ma
(1999).
Định nghĩa 1.1.3. Một số mờ u được tham số hóa bởi cặp (u, u) của
hàm [u](r), [u](r), 0 ≤ r ≤ 1, thỏa mãn các điều kiện sau:
1) u(r) là một hàm liên tục trái, không giảm trên (0, 1] và liên tục phải
tại 0.
2) u(r) là hàm liên tục trái, không giảm trên (0, 1] và liên tục phải tại 0.
3) u(r) ≤ u(r), 0 ≤ r ≤ 1.
Một số thực α được xác định bởi u(r) = u(r) = α.
Cho a < b < c, a, b, c ∈ R, số mờ u = (a, b, c) xác định bởi: u(r) =
a + (c − b)r, u(r) = c − (c − b)r là các điểm mút của tập mức r, với mọi
r ∈ [0, 1].
Với u = (u(r), u(r)), v = (v(r), v(r)) và k > 0. Ta định nghĩa:
(a) Phép cộng:
u ⊕ v = (u(r) + v(r), u(r) + v(r)).
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
11
(b) Phép trừ:
u v = (u(r) − v(r), u(r) − v(r)).
(c) Phép nhân với vô hướng:
(
(ku, ku) nếu k ≥ 0,
ku=
(ku, ku) nếu k < 0.
Nếu k = −1 thì k u = −u.
(d) Phép nhân hai số mờ:
u.v = u(r).v(r), u(r).v(r) ,
trong đó
u(r).v(r) = min {u(r).v(r), u(r).v(r), u(r).v(r), u(r).v(r)} ,
u(r).v(r) = max {u(r).v(r), u(r).v(r), u(r).v(r), u(r).v(r)} .
(e) Khoảng cách Haussdorff giữa các số mờ:
Khoảng cách Haussdorff giữa hai số mờ được xác định như sau:
Xét D : E × E → R+ ∪ {0},
D(u, v) = sup max {|u(r) − v(r)|, |u(r) − v(r)|} .
r∈[0,1]
với u = (u(r), u(r)), v = (v(r), v(r)) ⊂ R. Ta có D là một metric trên E
và thỏa mãn:
(i) D(u ⊕ w, v ⊕ w) = D(u, v), ∀u, v, w ∈ E.
(ii) D(k u, k v) = |k|D(u, v), ∀k ∈ R, u, v ∈ E.
(iii) D(u ⊕ v, w ⊕ e) ≤ D(u, w) + D(v, e), ∀u, v, w, e ∈ E.
(iv) (E, D) là không gian metric đầy.
1.2
Các tính chất giải tích của hàm mờ
Cho X ⊂ R là một tập hợp khác rỗng. Ánh xạ f : X → E là hàm
nhận giá trị mờ.
1.2.1.
Tính liên tục
Định nghĩa 1.2.1. ( Friedman M., Ming M., 1999,[6])
Cho f : R → E là hàm nhận giá trị mờ. Với t0 ∈ R và với mọi ε > 0,
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
12
tồn tại δ > 0 sao cho |t − t0 | < δ suy ra D(f (t), f (t0 ) < ε. Khi đó f gọi
là ánh xạ liên tục.
Định nghĩa 1.2.2. Ánh xạ f : R → E được gọi là liên tục tại t0 ∈ [0, 1]
nếu ánh xạ fα (t) = [f (t)]α liên tục tại t = t0 đối với metric Haussdorff
D, ∀α ∈ [0, 1].
1.2.2.
Tính khả vi
Định nghĩa 1.2.3. Với u, v ∈ E nếu tồn tại w ∈ E sao cho u = v + w
thì w được gọi là hiệu Hukuhara của u và v, ký hiệu là u v.
Chú ý: Hiệu Hukuhara u v không trùng với hiệu u v.
Định nghĩa 1.2.4. Một ánh xạ f : (a, b) → E và x0 ∈ (a, b). Ta nói f
0
có đạo hàm tại x0 , ký hiệu là f (x0 ) nếu tồn tại một trong các giới hạn
sau:
(1) Với mọi h > 0 đủ nhỏ, ∃ f (x0 + h) f (x0 ), f (x0 ) f (x0 − h) và ∃
giới hạn
1
1
0
lim (f (x0 + h) f (x0 )) = lim (f (x0 ) f (x0 − h)) = f (x0 ).
h→0 h
h→0 h
(2) Với mọi h > 0 đủ nhỏ, ∃ f (x0 ) f (x0 + h), f (x0 − h) f (x0 ) và ∃
giới hạn
1
1
0
(f (x0 ) f (x0 + h)) = lim
(f (x0 − h) f (x0 )) = f (x0 ).
h→0 −h
h→0 −h
lim
(3) Với mọi h > 0 đủ nhỏ, ∃ f (x0 + h) f (x0 ), f (x0 − h) f (x0 ) và ∃
giới hạn
1
1
0
lim (f (x0 + h) f (x0 )) = lim
(f (x0 − h) f (x0 )) = f (x0 ).
h→0 h
h→0 −h
(4) Với mọi h > 0 đủ nhỏ, ∃ f (x0 ) f (x0 + h), f (x0 ) f (x0 − h) và ∃
giới hạn
1
1
0
(f (x0 ) f (x0 + h)) = lim (f (x0 ) f (x0 − h)) = f (x0 ).
h→0 −h
h→0 h
lim
Định lí 1.2.5. Cho hàm F : R → E và ký hiệu [F (t)]α = [fα (t), gα (t)],
với mỗi α ∈ [0, 1]. Khi đó ta có:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
13
(a) Nếu F (t) có đạo hàm (1) thì fα (t) và gα (t) cũng có đạo hàm và
0
0
0
[F (t)]α = [fα (t), gα (t)].
(b) Nếu F (t) có đạo hàm (2) thì fα (t) và gα (t) cũng có đạo hàm và
0
0
0
[F (t)]α = [gα (t), fα (t)].
Chứng
minh. (a), Giả sử F (t) có đạo hàm (1), ta có:
(
[F (t + h) F (t)]α = (fα (t + h) − fα (t), gα (t + h) − gα (t)) ,
[F (t) F (t − h)]α = (fα (t) − fα (t − h), gα (t) − gα (t − h)) .
1
Nhân hai phương trình trên với , h > 0 ta có:
h
1
1
1
α
[F (t + h) F (t)] =
(fα (t + h) − fα (t)), (gα (t + h) − gα (t)) ,
h
h
h
1
1
1
[F (t) F (t − h)]α =
(fα (t) − fα (t − h)), (gα (t) − gα (t − h)) .
h
h
h
Cho h −→ 0 ta có
0
0
0
[F (t)]α = [fα (t), gα (t)].
(b), Giả sử F (t) có đạo hàm (2), ta có:
(
[F (t) F (t + h)]α = (fα (t) − fα (t + h), gα (t) − gα (t + h)) ,
[F (t − h) F (t)]α = (fα (t − h) − fα (t), gα (t − h) − gα (t)) .
1
, h > 0 ta có:
Nhân hai phương trình trên với
−h
1
1
1
α
[F (t) F (t + h)] =
(gα (t + h) − gα (t)), (fα (t + h) − fα (t)) ,
−h
h
h
1
1
1
[F (t − h) F (t)]α =
(gα (t) − gα (t − h)), (fα (t) − fα (t − h)) .
−h
h
h
0
0
0
Cho h −→ 0 ta có [F (t)]α = [gα (t), fα (t)].
Định nghĩa 1.2.6. Cho hàm f : (t0 , T ) × E × E → E và x0 ∈ (t0 , T ).
Ta nói f có đạo hàm cấp hai tại x0 , ký hiệu f ” (x0 ) nếu tồn tại một trong
các giới hạn sau:
0
0
0
0
(1) Với h > 0 đủ nhỏ, ∃f (x0 + h) f (x0 ), ∃f (x0 ) f (x0 − h) và ∃ giới
hạn
1 0
1 0
0
0
lim (f (x0 + h) f (x0 )) = lim (f (x0 ) f (x0 − h)) = f ” (x0 ).
h→0 h
h→0 h
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
14
0
0
0
0
(2) Với h > 0 đủ nhỏ, ∃f (x0 ) f (x0 + h), ∃f (x0 − h) f (x0 ) và ∃ giới
hạn
1 0
1 0
0
0
(f (x0 ) f (x0 + h)) = lim
(f (x0 − h) f (x0 )) = f ” (x0 ).
h→0 −h
h→0 −h
lim
0
0
0
0
(3) Với h > 0 đủ nhỏ, ∃f (x0 + h) f (x0 ), ∃f (x0 − h) f (x0 ) và ∃ giới
hạn
1 0
1 0
0
0
lim (f (x0 + h) f (x0 )) = lim
(f (x0 − h) f (x0 )) = f ” (x0 ).
h→0 h
h→0 −h
0
0
0
0
(4) Với h > 0 đủ nhỏ, ∃f (x0 ) f (x0 + h), ∃f (x0 ) f (x0 − h) và ∃ giới
hạn
1 0
1 0
0
0
(f (x0 ) f (x0 + h)) = lim (f (x0 ) f (x0 − h)) = f ” (x0 ).
h→0 −h
h→0 h
lim
0
Định lí 1.2.7. Cho F (t) và F (t) là hai hàm nhận giá trị mờ có đạo hàm.
Ta ký hiệu biểu diễn tập mức α của hàm F (t) là [F (t)]α = [fα (t), gα (t)],
khi đó ta có:
0
0
(a) Nếu F (t), F (t) có đạo hàm (1) hoặc F (t), F (t) có đạo hàm (2) thì
fα (t), gα (t) có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai và
[F ” (t)]α = [fα” (t), gα” (t)].
0
(b) Cho F (t) có đạo hàm (1), F (t) có đạo hàm (2) hoặc F (t) có đạo
0
hàm (2), F (t) có đạo hàm (1) thì fα (t), gα (t) có đạo hàm cấp một, đạo
hàm cấp hai và
[F ” (t)]α = [gα” (t), fα” (t)].
0
Chứng minh. (a) Giả sử F (t) và F (t) có đạo hàm (1).
0
0
0
Ta có: [F (t)]α = [fα (t), gα (t)] và
( 0
0
0
0
0
0
[F (t + h) F (t)]α = [fα (t + h) − fα (t), gα (t + h) − gα (t)],
0
0
0
0
0
0
[F (t) F (t − h)]α = [fα (t) − fα (t − h), gα (t) − gα (t − h)].
Nhân hai phương trình trên với
1
, h > 0 ta có:
h
1 0
1 0
1 0
0
0
0
[F (t + h) F (t)]α = [ (fα (t + h) − fα (t)), (gα (t + h) − gα (t))],
h
h
h
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
15
1 0
1 0
1 0
0
0
0
[F (t) F (t − h)]α = [ (fα (t) − fα (t − h)), (gα (t) − gα (t − h))].
h
h
h
Cho h → 0 ta có điều phải chứng minh.
0
Tiếp theo, nếu F (t) và F (t) có đạo hàm (2).
0
0
0
Ta có: [F (t)]α = [gα (t), fα (t)] và
( 0
0
0
0
0
0
[F (t) F (t + h)]α = [gα (t) − gα (t + h), fα (t) − fα (t + h)],
0
0
0
0
0
0
[F (t − h) F (t)]α = [gα (t − h) − gα (t), fα (t − h) − fα (t)].
Nhân hai phương trình trên với
1
, h > 0 ta có:
−h
1 0
1 0
1
0
0
0
0
[F (t) F (t + h)]α = [ (fα (t + h) − fα (t)), (gα (t + h) − gα (t))],
−h
h
h
1
1 0
1 0
0
0
0
0
[F (t − h) F (t)]α h = [ (fα (t) − fα (t − h)), (gα (t) − gα (t − h))].
−h
h
h
Cho h → 0 ta có điều phải chứng minh.
0
(b) Giả sử F (t) có đạo hàm (1), F (t) có đạo hàm (2). Ta có
0
0
0
[F (t)]α = [fα (t), gα (t)]
và
( 0
0
0
0
0
0
[F (t) F (t + h)]α = [fα (t) − fα (t + h), gα (t) − gα (t + h)],
0
0
0
0
0
0
[F (t − h) F (t)]α = [fα (t − h) − fα (t), gα (t − h) − gα (t)].
Nhân với
1
, h > 0 ta có:
−h
1
1 0
1 0
0
0
0
0
[F (t) F (t + h)]α = [ (gα (t + h) − gα (t)), (fα (t + h) − fα (t))],
−h
h
h
1
1 0
1 0
0
0
0
0
[F (t − h) F (t)]α = [ (gα (t) − gα (t − h)), (fα (t) − fα (t − h))].
−h
h
h
Cho h → 0 ta có điều phải chứng minh.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.2.3.
16
Tính khả tích
Cho T ⊂ R là một khoảng compact. Một ánh xạ F : T → E được gọi
là bị chặn khả tích nếu tồn tại một hàm khả tích h ∈ L1 [T, R] sao cho
kxk ≤ h(t) với mọi x ∈ F0 (t). Ở đây, Fα (t) = [F (t)]α , α ∈ [0, 1].
Định nghĩa 1.2.8. Cho F : T → E. Tích phân của F trên T kí hiệu là
R
Rb
F (t)dt hay F (t)dt được xác định như sau:
a
T
α
Z
Z
Z
F (t)dt = Fα (t)dt =
f (t)dt|f : T → R
T
T
T
với mọi 0 < α ≤ 1 và f là một hàm chọn đo được trong Fα .
Một ánh xạ bị chặn Rkhả tích và đo được mạnh F : T → E được gọi
là khả tích trên T nếu F (t)dt ∈ E.
T
Tính chất 1.2.9. Nếu F : T → E là khả tích và c ∈ T, λ ∈ R thì ta có
các tính chất sau:
Rb
Rc
Rb
i) F (t)dt = F (t)dt ⊕ F (t)dt.
a
a
c
Rb
Rb
a
a
ii) (F (t) ⊕ G(t))dt =
F (t)dt ⊕
G(t)dt.
a
Rb
Rb
a
a
iii) (λ F (t))dt = λ
Rb
F (t)dt.
iv) D(F (t), G(t)) là khả tích.
Rb
Rb
Rb
v) D( F (t)dt, G(t)dt) ≤ D(F (t), G(t))dt.
a
1.3
1.3.1.
a
a
Phép biến đổi Laplace của hàm thực
Phép biến đổi Laplace của hàm thực
Định nghĩa 1.3.1. Hàm số f gọi là hàm gốc nếu nó thỏa mãn các tính
chất sau:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
17
(i) f đo được trên (0, ∞).
(ii) f tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi t → ∞, tức là
∃α > 0, ∃M > 0, |f (t)| ≤ M αt , ∀t > 0.
Số α0 = inf α, với tất cả α thỏa mãn (ii), được gọi là chỉ số tăng của
f . Lưu ý rằng có thể (ii) không thỏa mãn với α0 .
Định nghĩa 1.3.2. Cho f là hàm gốc với chỉ số tăng α0 . Hàm phức
biến phức F được cho bởi
Z ∞
F (p) =
e−pt f (t)dt,
0
xác định trên miền Rep > α0 , gọi là biến đổi Laplace của f và ký hiệu
là F = l[f ].
Ví dụ 1: Xét hàm số đơn vị Heaviside
(
0 nếu t < 0
σ0 (t) =
1 nếu t ≥ 0.
Biến đổi Laplace của σ0 là
Z ∞
1 −pt t=γ
1
−pt
l[σ0 ] =
e = lim − e |t=0 = , với Rep > 0.
γ→∞
p
p
0
Ví dụ 2: Biến đổi Laplace của hàm f (t) = eαt xác định như sau:
Z ∞
1 (α−p)t t=γ
1
−pt αt
l[f ] =
e e dt = lim
e
|t=0 =
,
γ→∞ α − p
α−p
0
với Re(p − α) ≥ 0.
Ví dụ 3:
a, Biến đổi Laplace của hàm f (t) = 1 là:
Z∞
l[f ] =
e−pt dt = lim
Zγ
γ→∞
0
1
e−pt dt = .
p
0
b, Biến đổi Laplace của hàm f (t) = t là:
Z∞
l[f ] =
te−pt dt = lim
Zγ
γ→∞
0
0
te−pt dt =
1
.
p2
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
18
Ví dụ 4: Biến đổi Laplace của hàm f (t) = tn là:
Z ∞
Z γ
1
l[f ] =
e−pt tn dt = lim −
tn d(e−pt )
γ→∞
p 0
0
Z γ
1 n −pt t=γ
t e |t=0 − n
tn−1 e−pt dt
= lim −
γ→∞
p
Z γ
0
n
n!
= lim
tn−1 e−pt dt = ... = n+1 , Rep > 0.
γ→∞ p 0
p
Định nghĩa 1.3.3. Cho F (p) = l[f ] =
R∞
f (t)e−pt dt là biến đổi Laplace
0
của hàm thực f . Khi đó hàm f (t) gọi là biến đổi Laplace ngược của F (p)
và kí hiệu là l−1 [F (p)] = f (t).
Ví dụ 5: Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm thực sau:
p
.
p2 + 1
1
b, F (p) = .
p
1
c, F (p) = 2 .
p
a, F (p) =
Giải
Ta có:
a, l−1 [F (p)] = l−1 [
p
] = cos t.
p2 + 1
1
b, l−1 [F (p)] = l−1 [ ] = 1.
p
1
c, l−1 [F (p)] = l−1 [ 2 ] = t.
p
1.3.2.
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Mệnh đề 1.3.4. Cho các hàm gốc fk có các chỉ số tăng αk , biến đổi
Laplace là lk [(fk )], k = 1, 2, ..., n. Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ
hợp tuyến tính f của các hàm fk :
f (t) =
n
X
k=1
ck fk (t), ck là hằng số,
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
19
là hàm l[f ] xác định bởi:
l[f ] =
n
X
ck lk [fk ], với miền xác định Re p > max αk .
k=1,2,...n
k=1
(1.1)
Mệnh đề 1.3.5. Cho l[f ] = F, f có chỉ số tăng là α0 , λ là hằng số.
Khi đó ta có:
l[eλt f (t)] = F (p − λ), Re p > α0 + Re λ.
(1.2)
Chứng minh. Ta có:
λt
∞
Z
e(λ−p)t f (t)dt = F (p − λ).
l[e f (t)] =
0
Mệnh đề 1.3.6. Cho l[f ] = F . Giả sử f (k) tồn tại và là hàm gốc,
f (k−1) (0+ ) tồn tại, ∀k = 1, n, thì ta có
0
+
(n−1) +
+
f
(0
)
f
(0
)
f
(0
)
−
− ... −
(1.3)
l[f (n) ] = pn F (p) −
p
p2
pn
Chứng minh. Sử dụng công thức tích phân từng phần, ta dễ kiểm chứng
được (1.3) đúng với n = 1. Giả sử quy nạp rằng (1.3) đúng với n =
N, N > 1, ta có:
0
l[f (N +1) ] = l[(f )N ]
0
0
f (0+ ) f ” (0+ )
(f )(N −1) (0+ )
0
N
= p l[f ](p) −
−
− ... −
,
p
p2
pN
0
và từ điều kiện l[f ] = pF (p) − f (0+ ), ta suy ra
0
+
+
N +
f
(0
)
f
(0
)
f
(0
)
l[f (N +1) ] = pN +1 F (p) −
−
− ... − N +1 .
p
p2
p
Theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.3.7. Giả sử l[f ] = F, l[g] = G, f và g lần lượt là các hàm
gốc có các chỉ số tăng là α0 và β0 , liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu
hạn của R+ . Nếu ta xem f và g xác định trên R, triệt tiêu trên khoảng
(−∞, 0) thì tích chập f ∗g cũng là hàm gốc chỉ số tăng γ0 ≤ max{α0 , β0 }
và
l[f ∗ g] = F.G.
(1.4)
- Xem thêm -