Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Cao đẳng - Đại học Luận văn phép biến đổi laplace mờ...

Tài liệu Luận văn phép biến đổi laplace mờ

.PDF
49
455
67

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE MỜ Giảng viên hướng dẫn: TS. NGUYỄN THỊ KIM SƠN Học viên thực hiện: NGUYỄN THỊ NGỌC THÚY Khóa : 25 HÀ NỘI, 05/2017 Mục lục Lời cảm ơn 3 Mở đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Lý thuyết tập mờ . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Định nghĩa số mờ . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Các phép toán trên tập mờ . . . . . . . 1.2 Các tính chất giải tích của hàm mờ . . . . . . 1.2.1. Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Tính khả tích . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Phép biến đổi Laplace của hàm thực . . . . . . 1.3.1. Phép biến đổi Laplace của hàm thực . . 1.3.2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace 1.4 Kết luận chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Phép biến đổi Laplace mờ 2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Điều kiện tồn tại của phép biến đổi Laplace 2.2.3. Biến đổi Laplace của tích chập mờ . . . . . 2.3 Phép biến đổi Laplace mờ của đạo hàm . . . . . . 2.4 Kết luận chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 8 9 11 11 12 16 16 16 18 20 . . . . . . . 21 21 22 22 23 26 28 32 3 Một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace mờ 33 3.1 Bài toán giá trị ban đầu với phương trình vi phân mờ cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 2 3.2 3.3 3.4 Bài toán giá trị ban đầu với phương trình vi phân mờ cấp hai 38 Hệ động lực của phương trình vi phân mờ . . . . . . . . . . 41 Kết luận chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán - Tin, trường Đại học sư phạm Hà Nội, cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và luận văn. Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thị Kim Sơn, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp đỡ để em có thể hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất. Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các bạn. Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Tác giả 3 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Phép biến đổi Laplace mờ" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Kim Sơn và bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát triển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2017 Tác giả 4 5 BẢNG KÍ HIỆU Một số ký hiệu được sử dụng trong luận văn này: • R là tập số thực • Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R} • [u]0 = {x ∈ Rn : u(x) > 0} • [u]r = {x ∈ Rn : u(x) ≥ r} trong đó 0 < r ≤ 1 • D(u, v) khoảng cách Haussdorff giữa u và v • u v hiệu Hukuhara của u và v • l[f ] biến đổi Laplace của hàm nhận giá trị thực f • L[f ] biến đổi Laplace của hàm nhận giá trị mờ f • l−1 [F ] biến đổi Laplace ngược của hàm thực F • L−1 [F ] biến đổi Laplace ngược của hàm mờ F Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Phương trình vi phân mờ là mô hình đơn giản của hệ động lực mờ, xuất hiện trong nhiều ứng dụng thực tế. Lĩnh vực phương trình vi phân mờ đã được nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần đây. Phép biến đổi Laplace được sử dụng để giải các phương trình vi phân và các bài toán biên, bài toán giá trị ban đầu. Bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace, việc giải một bài toán vi phân trở thành việc giải một bài toán đại số. Với ưu thế giải bài toán một cách trực tiếp, phép biến đổi Laplace giúp giải các bài toán giá trị ban đầu mà không cần định nghĩa nghiệm tổng quát, giải phương trình vi phân không thuần nhất mà không cần thông qua phương trình thuần nhất tương ứng. Chính vì vậy, phép biến đổi Laplace là một phương pháp đặc biệt quan trọng trong toán học cả về lý thuyết và ứng dụng. Luận văn nghiên cứu về phép biến đổi Laplace cho hàm nhận giá trị tập mờ và một số ứng dụng của phép biến đổi này trong việc giải một số bài toán giá trị ban đầu và các bài toán biên cho phương trình vi phân mờ. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về không gian các hàm nhận giá trị mờ, các khái niệm giải tích như tính liên tục, tính khả vi, khả tích của hàm nhận giá trị mờ. Định nghĩa phép biến đổi Laplace mờ và nghiên cứu một số tính chất của phép biến đổi này trong không gian các hàm nhận giá trị mờ. Nêu lên một số ví dụ về ứng dụng của phép biến đổi Laplace mờ trong việc giải một số phương trình vi phân mờ. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Lý thuyết tập mờ • Các tính chất giải tích của tập mờ • Phép biến đổi Laplace mờ, định nghĩa và tính chất • Một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace mờ cho phương trình 6 7 vi phân mờ. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng: Tập mờ, các phép toán giải tích mờ và phép biến đổi Laplace mờ. • Phạm vi: Các lý thuyết giải tích liên quan đến phép biến đổi Laplace mờ và ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ giải tích bao gồm: • Sử dụng kiến thức của giải tích cổ điển, giải tích hàm thực, giải tích tập hợp và giải tích mờ. • Sử dụng giải tích hàm đa trị. 6. Nội dung Luận văn dài 49 trang với nội dung chính gồm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về tập mờ, số mờ, các khái niệm về tính liên tục, khả vi, khả tích của hàm mờ và một số kết quả về phép biến đổi Laplace của hàm nhận giá trị thực. Chương 2: Phép biến đổi Laplace mờ: Trong chương này, chúng tôi giới thiệu phép biến đổi Laplace mờ cùng một số tính chất như tuyến tính, biến đổi Laplace của tích chập mờ và điều kiện đủ để tồn tại phép biến đổi Laplace mờ. Những kết quả này được trích từ hai bài báo "Fuzzy Laplace transforms", Tofigh Allahviranloo, M.Barkhordari Ahmadi [3] và "Applications of fuzzy Laplace transforms", S. Salahshour, T. Allahviranloo [8]. Chương 3: Một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace mờ: Trong chương này, chúng tôi trình một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace mờ như: việc giải bài toán giá trị ban đầu với phương trình vi phân mờ cấp một, cấp hai và hệ động lực của phương trình vi phân mờ. Những kết quả này được tổng hợp từ hai bài báo [3, 8]. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày về lý thuyết tập mờ, các tính chất giải tích của hàm mờ. Mục 1.1, mục 1.2 được tham khảo từ tài liệu [3, 8] trình bày về định nghĩa số mờ, các phép toán trên tập mờ cùng một số tính chất như: tính liên tục, tính khả vi, tính khả tích của hàm mờ. Trong mục 1.3 chúng tôi giới thiệu phép biến đổi Laplace của hàm nhận giá trị thực và một số tính chất của nó. Các kết quả này được tham khảo từ cuốn "Biến đổi tích phân" của tác giả Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân [1]. 1.1 1.1.1. Lý thuyết tập mờ Định nghĩa số mờ Định nghĩa 1.1.1. Kí hiệu R là tập các số thực. Một số mờ u là một ánh xạ từ R vào [0,1] thỏa mãn các tính chất sau: i) u nửa liên tục trên. ii) u lồi mờ, nghĩa là với x, y ∈ R và 0 < λ ≤ 1 thì u(λx + (1 − λ)y) ≥ min{u(x), u(y)}. iii) Tồn tại x0 ∈ R sao cho u(x0 ) = 1. iv) [u]0 = {x ∈ Rn : u(x) > 0} là tập compact trong R. Gọi E là tập tất cả các số mờ trên R. Tập mức r của số mờ u ∈ E, 0 ≤ r ≤ 1 ký hiệu là [u]r , định nghĩa như sau: ( {x ∈ R| u(x) ≥ r} nếu 0 < r ≤ 1, [u]r = cl(suppu) nếu r = 0. 8 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 9 Tập mức r của một số mờ u ∈ E, 0 ≤ r ≤ 1 đóng và bị chặn trong R. Kí hiệu [u(r), u(r)] với u(r), u(r) lần lượt là đầu mút dưới và đầu mút trên của [u]r . Mỗi y ∈ R, số mờ ỹ định nghĩa như sau: ( 1 nếu t = y ỹ(t) = , 0 nếu t 6= y do đó R có thể nhúng được trong E. Tương tự ta gọi E n là không gian tất cả các số mờ u : Rn −→ [0, 1]. 1.1.2. Các phép toán trên tập mờ a, Nguyên lý mở rộng Zadeh Nguyên lý mở rộng Zadeh là hình thức mở rộng các hàm giá trị thực sang các hàm giá trị mờ (giá trị khoảng). Từ đó ta có thể thực hiện các phép tính mờ với Nguyên lý mở rộng Zadeh. Định nghĩa 1.1.2. Cho X, Y là các tập số thực và hàm thực f : X → Y. Các tập mờ tương ứng với X, Y lần lượt là E(X), E(Y ). Xét hàm mờ F : E(X) → E(Y ) sao cho y = F (x), trong đó ( sup {x(t) : f (t) = s} nếu f −1 (s) 6= ∅, y(s) = 0 nếu f −1 (s) = ∅. Khi đó hàm mờ F được gọi là mở rộng Zadeh của hàm thực f b, Các phép toán trên tập mờ Cho X = X1 .X2 .X3 ....Xn ( tích Decartes của X1 , X2 , ..., Xn ) và A1 , A2 , ..., An là n tập số mờ trong X1 , X2 , ..., Xn tương ứng. Xét ánh xạ f : X −→ Y (x1 , x2 , ..., xn ) 7−→ y = f (x1 , x2 , ..., xn ). Theo nguyên lý mở rộng Zadeh cho phép ta định nghĩa tập B như sau B = {(y, u(y))| y = f (x1 , x2 , ..., xn ), (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ X}, ở đó uB (y) =   sup (x1 ,...,xn )∈f −1 (y)  0 min {uA1 (x1 ), ..., uAn (xn )} nếu f −1 (y) 6= 0, nếu f −1 (y) = 0. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 10 Với n = 1: B = {(y, uB (y)) |y = f (x), x ∈ X} ,   sup uA (x) nếu f − 1(y) 6= 0, uB (y) = x∈f − 1(y)  0 nếu f − 1(y) = 0. Theo mở rộng chính tắc Zadeh, phép toán tổng trong E được định nghĩa là: (u ⊕ v)(x) = sup min {u(y), v(x − y)} , x ∈ R. y∈R Phép nhân được định nghĩa bởi: ( x u( ) nếu k > 0, k (k u) = 0̃ nếu k = 0. với 0̃ ∈ E, k là số thực. Điều này cũng đúng với các tập mức khác, tức là: ∀u, v ∈ E, ∀k ∈ R+ , ∀r ∈ (0, 1] : [u ⊕ v]r = [u]r ⊕ [v]r , [k u]r = k[u]r . Vì số mờ được giới hạn bởi hai điểm mút của đoạn [u]r nên dẫn tới các tính chất của số mờ liên quan đến hai hàm u(r) và u(r). Một định nghĩa tham số tương đương được định nghĩa bởi Friedman (1990) và Ma (1999). Định nghĩa 1.1.3. Một số mờ u được tham số hóa bởi cặp (u, u) của hàm [u](r), [u](r), 0 ≤ r ≤ 1, thỏa mãn các điều kiện sau: 1) u(r) là một hàm liên tục trái, không giảm trên (0, 1] và liên tục phải tại 0. 2) u(r) là hàm liên tục trái, không giảm trên (0, 1] và liên tục phải tại 0. 3) u(r) ≤ u(r), 0 ≤ r ≤ 1. Một số thực α được xác định bởi u(r) = u(r) = α. Cho a < b < c, a, b, c ∈ R, số mờ u = (a, b, c) xác định bởi: u(r) = a + (c − b)r, u(r) = c − (c − b)r là các điểm mút của tập mức r, với mọi r ∈ [0, 1]. Với u = (u(r), u(r)), v = (v(r), v(r)) và k > 0. Ta định nghĩa: (a) Phép cộng: u ⊕ v = (u(r) + v(r), u(r) + v(r)). Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 11 (b) Phép trừ: u  v = (u(r) − v(r), u(r) − v(r)). (c) Phép nhân với vô hướng: ( (ku, ku) nếu k ≥ 0, k u= (ku, ku) nếu k < 0. Nếu k = −1 thì k u = −u. (d) Phép nhân hai số mờ:   u.v = u(r).v(r), u(r).v(r) , trong đó u(r).v(r) = min {u(r).v(r), u(r).v(r), u(r).v(r), u(r).v(r)} , u(r).v(r) = max {u(r).v(r), u(r).v(r), u(r).v(r), u(r).v(r)} . (e) Khoảng cách Haussdorff giữa các số mờ: Khoảng cách Haussdorff giữa hai số mờ được xác định như sau: Xét D : E × E → R+ ∪ {0}, D(u, v) = sup max {|u(r) − v(r)|, |u(r) − v(r)|} . r∈[0,1] với u = (u(r), u(r)), v = (v(r), v(r)) ⊂ R. Ta có D là một metric trên E và thỏa mãn: (i) D(u ⊕ w, v ⊕ w) = D(u, v), ∀u, v, w ∈ E. (ii) D(k u, k v) = |k|D(u, v), ∀k ∈ R, u, v ∈ E. (iii) D(u ⊕ v, w ⊕ e) ≤ D(u, w) + D(v, e), ∀u, v, w, e ∈ E. (iv) (E, D) là không gian metric đầy. 1.2 Các tính chất giải tích của hàm mờ Cho X ⊂ R là một tập hợp khác rỗng. Ánh xạ f : X → E là hàm nhận giá trị mờ. 1.2.1. Tính liên tục Định nghĩa 1.2.1. ( Friedman M., Ming M., 1999,[6]) Cho f : R → E là hàm nhận giá trị mờ. Với t0 ∈ R và với mọi ε > 0, Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 12 tồn tại δ > 0 sao cho |t − t0 | < δ suy ra D(f (t), f (t0 ) < ε. Khi đó f gọi là ánh xạ liên tục. Định nghĩa 1.2.2. Ánh xạ f : R → E được gọi là liên tục tại t0 ∈ [0, 1] nếu ánh xạ fα (t) = [f (t)]α liên tục tại t = t0 đối với metric Haussdorff D, ∀α ∈ [0, 1]. 1.2.2. Tính khả vi Định nghĩa 1.2.3. Với u, v ∈ E nếu tồn tại w ∈ E sao cho u = v + w thì w được gọi là hiệu Hukuhara của u và v, ký hiệu là u v. Chú ý: Hiệu Hukuhara u v không trùng với hiệu u  v. Định nghĩa 1.2.4. Một ánh xạ f : (a, b) → E và x0 ∈ (a, b). Ta nói f 0 có đạo hàm tại x0 , ký hiệu là f (x0 ) nếu tồn tại một trong các giới hạn sau: (1) Với mọi h > 0 đủ nhỏ, ∃ f (x0 + h) f (x0 ), f (x0 ) f (x0 − h) và ∃ giới hạn 1 1 0 lim (f (x0 + h) f (x0 )) = lim (f (x0 ) f (x0 − h)) = f (x0 ). h→0 h h→0 h (2) Với mọi h > 0 đủ nhỏ, ∃ f (x0 ) f (x0 + h), f (x0 − h) f (x0 ) và ∃ giới hạn 1 1 0 (f (x0 ) f (x0 + h)) = lim (f (x0 − h) f (x0 )) = f (x0 ). h→0 −h h→0 −h lim (3) Với mọi h > 0 đủ nhỏ, ∃ f (x0 + h) f (x0 ), f (x0 − h) f (x0 ) và ∃ giới hạn 1 1 0 lim (f (x0 + h) f (x0 )) = lim (f (x0 − h) f (x0 )) = f (x0 ). h→0 h h→0 −h (4) Với mọi h > 0 đủ nhỏ, ∃ f (x0 ) f (x0 + h), f (x0 ) f (x0 − h) và ∃ giới hạn 1 1 0 (f (x0 ) f (x0 + h)) = lim (f (x0 ) f (x0 − h)) = f (x0 ). h→0 −h h→0 h lim Định lí 1.2.5. Cho hàm F : R → E và ký hiệu [F (t)]α = [fα (t), gα (t)], với mỗi α ∈ [0, 1]. Khi đó ta có: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 13 (a) Nếu F (t) có đạo hàm (1) thì fα (t) và gα (t) cũng có đạo hàm và 0 0 0 [F (t)]α = [fα (t), gα (t)]. (b) Nếu F (t) có đạo hàm (2) thì fα (t) và gα (t) cũng có đạo hàm và 0 0 0 [F (t)]α = [gα (t), fα (t)]. Chứng minh. (a), Giả sử F (t) có đạo hàm (1), ta có: ( [F (t + h) F (t)]α = (fα (t + h) − fα (t), gα (t + h) − gα (t)) , [F (t) F (t − h)]α = (fα (t) − fα (t − h), gα (t) − gα (t − h)) . 1 Nhân hai phương trình trên với , h > 0 ta có: h   1 1 1 α [F (t + h) F (t)] = (fα (t + h) − fα (t)), (gα (t + h) − gα (t)) , h h h   1 1 1 [F (t) F (t − h)]α = (fα (t) − fα (t − h)), (gα (t) − gα (t − h)) . h h h Cho h −→ 0 ta có 0 0 0 [F (t)]α = [fα (t), gα (t)]. (b), Giả sử F (t) có đạo hàm (2), ta có: ( [F (t) F (t + h)]α = (fα (t) − fα (t + h), gα (t) − gα (t + h)) , [F (t − h) F (t)]α = (fα (t − h) − fα (t), gα (t − h) − gα (t)) . 1 , h > 0 ta có: Nhân hai phương trình trên với −h   1 1 1 α [F (t) F (t + h)] = (gα (t + h) − gα (t)), (fα (t + h) − fα (t)) , −h h h   1 1 1 [F (t − h) F (t)]α = (gα (t) − gα (t − h)), (fα (t) − fα (t − h)) . −h h h 0 0 0 Cho h −→ 0 ta có [F (t)]α = [gα (t), fα (t)]. Định nghĩa 1.2.6. Cho hàm f : (t0 , T ) × E × E → E và x0 ∈ (t0 , T ). Ta nói f có đạo hàm cấp hai tại x0 , ký hiệu f ” (x0 ) nếu tồn tại một trong các giới hạn sau: 0 0 0 0 (1) Với h > 0 đủ nhỏ, ∃f (x0 + h) f (x0 ), ∃f (x0 ) f (x0 − h) và ∃ giới hạn 1 0 1 0 0 0 lim (f (x0 + h) f (x0 )) = lim (f (x0 ) f (x0 − h)) = f ” (x0 ). h→0 h h→0 h Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 14 0 0 0 0 (2) Với h > 0 đủ nhỏ, ∃f (x0 ) f (x0 + h), ∃f (x0 − h) f (x0 ) và ∃ giới hạn 1 0 1 0 0 0 (f (x0 ) f (x0 + h)) = lim (f (x0 − h) f (x0 )) = f ” (x0 ). h→0 −h h→0 −h lim 0 0 0 0 (3) Với h > 0 đủ nhỏ, ∃f (x0 + h) f (x0 ), ∃f (x0 − h) f (x0 ) và ∃ giới hạn 1 0 1 0 0 0 lim (f (x0 + h) f (x0 )) = lim (f (x0 − h) f (x0 )) = f ” (x0 ). h→0 h h→0 −h 0 0 0 0 (4) Với h > 0 đủ nhỏ, ∃f (x0 ) f (x0 + h), ∃f (x0 ) f (x0 − h) và ∃ giới hạn 1 0 1 0 0 0 (f (x0 ) f (x0 + h)) = lim (f (x0 ) f (x0 − h)) = f ” (x0 ). h→0 −h h→0 h lim 0 Định lí 1.2.7. Cho F (t) và F (t) là hai hàm nhận giá trị mờ có đạo hàm. Ta ký hiệu biểu diễn tập mức α của hàm F (t) là [F (t)]α = [fα (t), gα (t)], khi đó ta có: 0 0 (a) Nếu F (t), F (t) có đạo hàm (1) hoặc F (t), F (t) có đạo hàm (2) thì fα (t), gα (t) có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai và [F ” (t)]α = [fα” (t), gα” (t)]. 0 (b) Cho F (t) có đạo hàm (1), F (t) có đạo hàm (2) hoặc F (t) có đạo 0 hàm (2), F (t) có đạo hàm (1) thì fα (t), gα (t) có đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai và [F ” (t)]α = [gα” (t), fα” (t)]. 0 Chứng minh. (a) Giả sử F (t) và F (t) có đạo hàm (1). 0 0 0 Ta có: [F (t)]α = [fα (t), gα (t)] và ( 0 0 0 0 0 0 [F (t + h) F (t)]α = [fα (t + h) − fα (t), gα (t + h) − gα (t)], 0 0 0 0 0 0 [F (t) F (t − h)]α = [fα (t) − fα (t − h), gα (t) − gα (t − h)]. Nhân hai phương trình trên với 1 , h > 0 ta có: h 1 0 1 0 1 0 0 0 0 [F (t + h) F (t)]α = [ (fα (t + h) − fα (t)), (gα (t + h) − gα (t))], h h h Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 15 1 0 1 0 1 0 0 0 0 [F (t) F (t − h)]α = [ (fα (t) − fα (t − h)), (gα (t) − gα (t − h))]. h h h Cho h → 0 ta có điều phải chứng minh. 0 Tiếp theo, nếu F (t) và F (t) có đạo hàm (2). 0 0 0 Ta có: [F (t)]α = [gα (t), fα (t)] và ( 0 0 0 0 0 0 [F (t) F (t + h)]α = [gα (t) − gα (t + h), fα (t) − fα (t + h)], 0 0 0 0 0 0 [F (t − h) F (t)]α = [gα (t − h) − gα (t), fα (t − h) − fα (t)]. Nhân hai phương trình trên với 1 , h > 0 ta có: −h 1 0 1 0 1 0 0 0 0 [F (t) F (t + h)]α = [ (fα (t + h) − fα (t)), (gα (t + h) − gα (t))], −h h h 1 1 0 1 0 0 0 0 0 [F (t − h) F (t)]α h = [ (fα (t) − fα (t − h)), (gα (t) − gα (t − h))]. −h h h Cho h → 0 ta có điều phải chứng minh. 0 (b) Giả sử F (t) có đạo hàm (1), F (t) có đạo hàm (2). Ta có 0 0 0 [F (t)]α = [fα (t), gα (t)] và ( 0 0 0 0 0 0 [F (t) F (t + h)]α = [fα (t) − fα (t + h), gα (t) − gα (t + h)], 0 0 0 0 0 0 [F (t − h) F (t)]α = [fα (t − h) − fα (t), gα (t − h) − gα (t)]. Nhân với 1 , h > 0 ta có: −h 1 1 0 1 0 0 0 0 0 [F (t) F (t + h)]α = [ (gα (t + h) − gα (t)), (fα (t + h) − fα (t))], −h h h 1 1 0 1 0 0 0 0 0 [F (t − h) F (t)]α = [ (gα (t) − gα (t − h)), (fα (t) − fα (t − h))]. −h h h Cho h → 0 ta có điều phải chứng minh. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.2.3. 16 Tính khả tích Cho T ⊂ R là một khoảng compact. Một ánh xạ F : T → E được gọi là bị chặn khả tích nếu tồn tại một hàm khả tích h ∈ L1 [T, R] sao cho kxk ≤ h(t) với mọi x ∈ F0 (t). Ở đây, Fα (t) = [F (t)]α , α ∈ [0, 1]. Định nghĩa 1.2.8. Cho F : T → E. Tích phân của F trên T kí hiệu là R Rb F (t)dt hay F (t)dt được xác định như sau: a T    α Z Z Z    F (t)dt = Fα (t)dt = f (t)dt|f : T → R   T T T với mọi 0 < α ≤ 1 và f là một hàm chọn đo được trong Fα . Một ánh xạ bị chặn Rkhả tích và đo được mạnh F : T → E được gọi là khả tích trên T nếu F (t)dt ∈ E. T Tính chất 1.2.9. Nếu F : T → E là khả tích và c ∈ T, λ ∈ R thì ta có các tính chất sau: Rb Rc Rb i) F (t)dt = F (t)dt ⊕ F (t)dt. a a c Rb Rb a a ii) (F (t) ⊕ G(t))dt = F (t)dt ⊕ G(t)dt. a Rb Rb a a iii) (λ F (t))dt = λ Rb F (t)dt. iv) D(F (t), G(t)) là khả tích. Rb Rb Rb v) D( F (t)dt, G(t)dt) ≤ D(F (t), G(t))dt. a 1.3 1.3.1. a a Phép biến đổi Laplace của hàm thực Phép biến đổi Laplace của hàm thực Định nghĩa 1.3.1. Hàm số f gọi là hàm gốc nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 17 (i) f đo được trên (0, ∞). (ii) f tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi t → ∞, tức là ∃α > 0, ∃M > 0, |f (t)| ≤ M αt , ∀t > 0. Số α0 = inf α, với tất cả α thỏa mãn (ii), được gọi là chỉ số tăng của f . Lưu ý rằng có thể (ii) không thỏa mãn với α0 . Định nghĩa 1.3.2. Cho f là hàm gốc với chỉ số tăng α0 . Hàm phức biến phức F được cho bởi Z ∞ F (p) = e−pt f (t)dt, 0 xác định trên miền Rep > α0 , gọi là biến đổi Laplace của f và ký hiệu là F = l[f ]. Ví dụ 1: Xét hàm số đơn vị Heaviside ( 0 nếu t < 0 σ0 (t) = 1 nếu t ≥ 0. Biến đổi Laplace của σ0 là   Z ∞ 1 −pt t=γ 1 −pt l[σ0 ] = e = lim − e |t=0 = , với Rep > 0. γ→∞ p p 0 Ví dụ 2: Biến đổi Laplace của hàm f (t) = eαt xác định như sau:   Z ∞ 1 (α−p)t t=γ 1 −pt αt l[f ] = e e dt = lim e |t=0 = , γ→∞ α − p α−p 0 với Re(p − α) ≥ 0. Ví dụ 3: a, Biến đổi Laplace của hàm f (t) = 1 là: Z∞ l[f ] = e−pt dt = lim Zγ γ→∞ 0 1 e−pt dt = . p 0 b, Biến đổi Laplace của hàm f (t) = t là: Z∞ l[f ] = te−pt dt = lim Zγ γ→∞ 0 0 te−pt dt = 1 . p2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 18 Ví dụ 4: Biến đổi Laplace của hàm f (t) = tn là:   Z ∞ Z γ 1 l[f ] = e−pt tn dt = lim − tn d(e−pt ) γ→∞ p 0 0    Z γ 1 n −pt t=γ t e |t=0 − n tn−1 e−pt dt = lim − γ→∞ p  Z γ  0 n n! = lim tn−1 e−pt dt = ... = n+1 , Rep > 0. γ→∞ p 0 p Định nghĩa 1.3.3. Cho F (p) = l[f ] = R∞ f (t)e−pt dt là biến đổi Laplace 0 của hàm thực f . Khi đó hàm f (t) gọi là biến đổi Laplace ngược của F (p) và kí hiệu là l−1 [F (p)] = f (t). Ví dụ 5: Tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm thực sau: p . p2 + 1 1 b, F (p) = . p 1 c, F (p) = 2 . p a, F (p) = Giải Ta có: a, l−1 [F (p)] = l−1 [ p ] = cos t. p2 + 1 1 b, l−1 [F (p)] = l−1 [ ] = 1. p 1 c, l−1 [F (p)] = l−1 [ 2 ] = t. p 1.3.2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace Mệnh đề 1.3.4. Cho các hàm gốc fk có các chỉ số tăng αk , biến đổi Laplace là lk [(fk )], k = 1, 2, ..., n. Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính f của các hàm fk : f (t) = n X k=1 ck fk (t), ck là hằng số, Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 19 là hàm l[f ] xác định bởi: l[f ] = n X ck lk [fk ], với miền xác định Re p > max αk . k=1,2,...n k=1 (1.1) Mệnh đề 1.3.5. Cho l[f ] = F, f có chỉ số tăng là α0 , λ là hằng số. Khi đó ta có: l[eλt f (t)] = F (p − λ), Re p > α0 + Re λ. (1.2) Chứng minh. Ta có: λt ∞ Z e(λ−p)t f (t)dt = F (p − λ). l[e f (t)] = 0 Mệnh đề 1.3.6. Cho l[f ] = F . Giả sử f (k) tồn tại và là hàm gốc, f (k−1) (0+ ) tồn tại, ∀k = 1, n, thì ta có   0 + (n−1) + + f (0 ) f (0 ) f (0 ) − − ... − (1.3) l[f (n) ] = pn F (p) − p p2 pn Chứng minh. Sử dụng công thức tích phân từng phần, ta dễ kiểm chứng được (1.3) đúng với n = 1. Giả sử quy nạp rằng (1.3) đúng với n = N, N > 1, ta có: 0 l[f (N +1) ] = l[(f )N ]   0 0 f (0+ ) f ” (0+ ) (f )(N −1) (0+ ) 0 N = p l[f ](p) − − − ... − , p p2 pN 0 và từ điều kiện l[f ] = pF (p) − f (0+ ), ta suy ra   0 + + N + f (0 ) f (0 ) f (0 ) l[f (N +1) ] = pN +1 F (p) − − − ... − N +1 . p p2 p Theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.3.7. Giả sử l[f ] = F, l[g] = G, f và g lần lượt là các hàm gốc có các chỉ số tăng là α0 và β0 , liên tục từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của R+ . Nếu ta xem f và g xác định trên R, triệt tiêu trên khoảng (−∞, 0) thì tích chập f ∗g cũng là hàm gốc chỉ số tăng γ0 ≤ max{α0 , β0 } và l[f ∗ g] = F.G. (1.4)
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan