Tài liệu Luận văn tính dưới chính quy metric đối với tập nghiệm phương trình tổng quát

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI TÍNH DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC ĐỐI VỚI TẬP NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT Chuyên ngành : Toán giải tích(Lý thuyết hàm) Mã số : 62.46.01.02 Giảng viên hướng dẫn : TS. Lê Anh Dũng Học viên : Bùi Hương Hiệp HÀ NỘI, 11-2016 Lời cám ơn Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành tới TS. Lê Anh Dũng, người đã tận tình truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình đã luôn cổ vũ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi cũng xin cám ơn các anh chị học viên lớp K25 Toán Giải tích và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả Bùi Hương Hiệp Mở đầu Trước hết ta nhắc lại định lý Banach - Shauder (nguyên lý ánh xạ mở tổng quát): Cho X, Y là hai không gian Banach, A ∈ L(X, Y ). Khi đó các khẳng định sau là tương đương i) A là toàn ánh. ii) A là ánh xạ mở. iii) Tồn tại hằng số τ > 0 sao cho d(x, A−1 y) ≤ τ ky − Axk, ∀x ∈ X, y ∈ Y. Nếu A là song ánh thì điều kiện iii) là điều kiện Lipschitz của A−1 . Năm 1952, Graves đã chứng minh được một kết quả có ý nghĩa tương tự đối với ánh xạ phi tuyến: Cho X, Y là hai không gian Banach, ánh xạ f : X −→ Y khả vi Fréchet ngặt tại x̄ ∈ X và đạo hàm Df (x̄) là toàn ánh. Khi đó tồn tại lân cận V của f (x̄), hằng số γ > 0 sao cho f −1 có một hàm chọn liên tục S trên V thỏa mãn kS(y) − x̄k≤ ky − f (x̄)k, ∀y ∈ V. Tính " Lipschitz " của " ánh xạ ngược " được nhiều nhà toán học quan tâm và đạt được các kết quả sâu sắc có thể kể đến như định lý Clake (1976), định lý Rockafellar (1996), ... Một cách tự nhiên khi nghiên cứu ánh xạ đa trị, tính " Lipschitz " của ánh xạ ngược được nghiên cứu với tên gọi " tính chính qui mêtric " và được đưa ra bởi Dontchev - Rockafellar. Việc nghiên cứu tính chính qui mêtric giúp cho ta có các đánh giá khoảng cách về tập ảnh, ảnh ngược. Vì vậy tính chính qui mêtric và các vấn đề liên quan nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học lớn có thể kể đến như là: Rockafellar, B.S Mordukhovich, Aubin, Dontchev, Xin Yi Zheng, Nguyễn Đông Yên,.. Dựa trên các kết quả chính trong các bài báo, và các kết quả trong tài liệu tham khảo, chúng tôi chọn vấn đề nghiên cứu của khóa luận với tiêu đề " tính dưới chính qui mêtric đối với tập nghiệm phương trình tổng quát ". Nội dung chính của khóa luận được đề cập trong 3 chương. Chương I chúng tôi đề cập đến các khái niệm, tính chất của ánh xạ đa trị liên tục, dưới vi phân hàm lồi, nón pháp tuyến và đối đạo hàm. Chương II chúng tôi đề cập đến các khái niệm, tính chất của ánh xạ Lipschitz, tính chính qui mêtric, mối quan hệ giữa tính Lipschitz, tính chính qui mêtric với đạo hàm và đối đạo hàm. Chương III chúng tôi đề cập đến các khái niệm, tính chất của phương trình tổng quát, tính dưới chính qui mêtric đối với tập nghiệm, điều kiện cần và đủ tính dưới chính qui mêtric đối với tập nghiệm. iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận án là trung thực. Kết quả nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã được công bố trước đó. Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình. Hà Nội, tháng 6 năm 2017 Tác giả Bùi Hương Hiệp Mục lục Lời cám ơn i Mở đầu ii Lời cam đoan iv 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Ánh xạ đa trị liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Đối đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Tính chính qui mêtric 22 2.1 Ánh xạ Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Tính chính qui mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Mối quan hệ giữa tính Lipschitz, tính chính qui mêtric với đạo hàm và đối đạo hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Tính chính qui mêtric đối với tập nghiệm của phương trình tổng quát. 3.1 37 Phương trình tổng quát và tính dưới chính qui mêtric đối với tập nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 v 3.2 Điều kiện cần và đủ tính dưới chính qui mêtric đối với tập nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Kết luận 53 vi Một số kí hiệu N Z R C kxk B(x, r) d(x, A) Ω x− → x̄ f x→ − x̄ bε (x; Ω) N b (x; Ω) N N (x̄, Ω) F :X⇒Y DomF Gr(F) b ∗ F (x̄, ȳ)(·) D D∗ F (x̄, ȳ)(·) tập các số tự nhiên tập các số nguyên tập các số thực tập các số phức chuẩn của x hình cầu mở tâm x, bán kính r khoảng cách từ x đến A x −→ x̄ và x ∈ Ω x −→ x̄ và f (x) −→ f (x̄) tập các véctơ ε−pháp tuyến của Ω tại x nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x nón pháp tuyến cơ sở của Ω tại x̄ ánh xạ đa trị từ X vào Y miền hữu hiệu của F đồ thị của F đối đạo hàm Fréchet của F tại (x̄, ȳ) đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (x̄, ȳ) vii Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ đa trị liên tục 1.1.1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian tôpô X, Y và ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y . i) F là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu với mọi tập mở V ⊂ Y sao cho F (x0 ) ⊂ V tồn tại lân cận U của x0 thỏa mãn: F (x) ⊂ V, ∀x ∈ U. Ánh xạ F nửa liên tục trên nếu nó nửa liên tục trên tại mọi x0 ∈ X. ii) F là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu với mọi tập mở V ⊂ Y sao cho V ∩ F (x0 ) 6= ∅ tồn tại lân cận U của x0 thỏa mãn: F (x) ∩ V 6= ∅, ∀x ∈ U. Ánh xạ F nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi x0 ∈ X. * F là ánh xạ liên tục nếu F vừa liên tục trên vừa liên tục dưới. Nhận xét: Các định nghĩa trên trùng nhau và trùng với định nghĩa ánh xạ liên lục nếu F là ánh xạ đơn trị. 1.1.2 Một số tính chất cơ bản. a) Nếu X, Y là không gian tôpô compact và T : X −→ 2Y là ánh xạ nửa 1 liên tục trên với giá trị đóng thì T(X) là tập compact. Các khẳng định sau tương đương i) T là nửa liên tục trên. ii) Với mọi tập mở V trong Y thì T + (V ) = {x ∈ X : T x ⊂ V } là mở trong X. iii) Với mọi tập B đóng trong Y thì T − (B) = {x ∈ X : T x ∩ B 6= ∅} là đóng của X. b) Nếu Y là không gian mêtric và F là ánh xạ nửa liên tục trên thì hàm h(x) = d(x, F x) là một hàm nửa liên tục dưới. Các khẳng định sau tương đương i) T là nửa liên tục dưới. ii) Với mọi tập V mở trong Y thì T − (V ) = {x ∈ X : T x ∩ V 6= ∅} là mở trong X. iii)Với mọi tập B đóng trong Y thì T + (B) = {x ∈ X : T x ⊂ V } là đóng trong X. c) Nếu F là ánh xạ nửa liên tục dưới thì hàm gy (x) = d(y, F x) với mỗi y cố định là một hàm nửa liên tục trên. T là nửa liên tục trên với giá trị đóng thì Gr(F ) = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ F (x)} là đóng trong X × Y. Ánh xạ đa trị F có Gr(F) đóng gọi là ánh xạ đóng. 1.1.3 Quan hệ giữa tính liên tục và Gr(F). Ta nhắc lại đồ thị của ánh xạ đa trị F kí hiệu là Gr(F ) = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ F (x)} . 2 Khi đó ta có các khẳng định sau a) Nếu F là nửa liên tục trên, F(x) đóng với mọi x ∈ X, Y là không gian chính qui thì Gr(F) là tập đóng trong X × Y. S b) Nếu Gr(F) đóng, F (x) = F (x) compact thì F là nửa liên tục trên. x∈X 1.2 Dưới vi phân hàm lồi 1.2.1 Hàm số lồi, lõm, tựa lồi, tựa lõm. Định nghĩa 1.2.1. Cho C là tập con lồi trong không gian vectơ X và hàm số f : C −→ R. Ta nói i) f là hàm lõm nếu mọi x, y ∈ C , mọi α ∈ [0, 1] ta có: f (αx + (1 − α)y) ≥ αf (x) + (1 − α)f (y). ii) f là hàm lồi nếu mọi x, y ∈ C , mọi α ∈ [0, 1] ta có: f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y). iii) f là hàm tựa lõm nếu mọi α ∈ R, tập mức Aα = {x ∈ C : f (x) ≥ α} là tập lồi. iv) f là hàm tựa lồi nếu mọi α ∈ R, tập mức Bα = {x ∈ C : f (x) ≤ α} là tập lồi. Nhận xét: *)Hàm số f là lồi thì tựa lồi, lõm thì tựa lõm. *)f là hàm lồi khi và chỉ khi epi(f ) = {(x, t) : x ∈ C, t ≥ f (x)} là tập lồi trong C × R. 3 1.2.2 Các tính chất cơ bản của hàm lồi. f : C −→ R là hàm lồi, C là tập con lồi trong không gian Banach X. Khi đó ta có các tính chất sau: i) Nếu f đạt cực tiểu địa phương tại x̄ ∈ C thì f đạt cực tiểu toàn cục tại x̄. ii) Nếu f bị chặn trên thì f bị chặn. iii) Nếu f bị chặn địa phương thì f Lipschitz địa phương. iv) Nếu C ∈ Rn thì f Lipschitz địa phương trên C. Khi nghiên cứu ánh xạ đa trị F : X ⇒ 2Y , ta cần " tính lồi " của Gr(F). Bởi vậy định nghĩa ánh xạ đa trị F được gọi là lồi nếu Gr(F) là lồi. Nhận xét: i) F là lồi khi và chỉ khi với mọi x1 , x2 ∈ X, t ∈ [0, 1] ta có tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊂ F (tx1 + (1 − t)x2 ). ii) Trong định nghĩa trên nếu F là đơn trị thì F là ánh xạ affine tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) = F (tx1 + (1 − t)x2 ). 1.2.3 Dưới vi phân của hàm lồi. Cho X là không gian Banach, f : X −→ R ∪ {+∞} là hàm lồi thực sự, nghĩa là domf = {x ∈ X : f (x) 6= ∅} = 6 ∅. 1.2.3.1. Định nghĩa. Giả sử x̄ ∈ domf . Ta nói x∗ ∈ X ∗ là một dưới vi phân của f tại x̄ nếu hx∗ , x − x̄i ≤ f (x) − f (x̄), ∀x ∈ X. Tập các dưới vi phân tại x̄ kí hiệu là ∂f (x̄). 1.2.3.2. Quan hệ dưới vi phân và đạo hàm. 4 Nếu f khả vi Fréchet tại x̄ thì ∂f (x̄) = {∇f (x̄)} . 1.2.3.3. Quan hệ dưới vi phân và nón pháp tuyến. ∇f (x̄) = {x∗ ∈ X ∗ : (x∗ − 1) ∈ N ((x̄, f (x̄)), epif )} . 1.2.3.4. Dưới vi phân hàm khoảng cách. Cho tập con lồi Ω của X, ta định nghĩa hàm khoảng cách dΩ (x) = dist(x; Ω) = inf u ∈ Ωkx − uk, x ∈ X. Hàm dΩ là hàm lồi trên X. Khi đó i) Nếu x̄ ∈ Ω thì ∂dΩ (x̄) = N (x̄, Ω) ∩ B∗ với B∗ là hình cầu đóng đơn vị trong X ∗ . ii) Nếu x̄ 6= Ω thì dΩ (x̄) = N (x̄, Ω(ρ) ∩ {x∗ ∈ X ∗ : kx∗ k= 1} ở đây ρ = dΩ (x̄); Ω(ρ) = {x ∈ X : dΩ (x̄) ≤ ρ} . Tiếp theo chúng tôi đề cập đến khái niệm và các tính chất của nón pháp tuyến, đối đạo hàm. 1.3 Nón pháp tuyến Định nghĩa 1.3.1. Cho Ω là tập con khác rỗng trong không gian Banach X. (i) Với x ∈ Ω và ε ≥ 0, tập các ε-pháp tuyến của Ω tại x được xác định bởi: ( bε (x; Ω) := N x∗ ∈ X ∗ | lim sup Ω u→x 5 ∗ ) hx , u − xi ≤ε . ku − xk (1.1) Khi ε = 0, phần tử x∗ trong (1.1) gọi là pháp tuyến Fréchet và tập b0 (x; Ω) gọi là nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x, ta kí hiệu gọn là N b (x; Ω). N bε (x; Ω) := ∅ với mọi ε ≥ 0. Nếu x ∈ / Ω, ta qui ước N (ii) Cho x̄ ∈ Ω, x∗ ∈ X ∗ là một pháp tuyến giới hạn của Ω tại x̄ nếu ∗ Ω w bε (xk ; Ω) với mọi tồn tại dãy εk ↓ 0, xk → x̄, và x∗k → x∗ sao cho x∗k ∈ N k k ∈ N. Tập các pháp tuyến giới hạn bε (x; Ω), N (x̄; Ω) := lim sup N (1.2) x→ x̄ ε↓0 gọi là nón pháp tuyến (hay nón pháp tuyến giới hạn) của Ω tại x̄. Ta qui ước N (x̄; Ω) := ∅, với x̄ ∈ / Ω. Mệnh đề 1.1. Cho Ω1 , Ω2 lần lượt là tập con khác rỗng trong không gian Banach X1 và X2 . Lấy tùy ý điểm x̄ = (x̄1 , x̄2 ) ∈ Ω1 × Ω2 ⊂ X1 × X2 . Khi đó: b (x̄; Ω1 × Ω2 ) = N b (x̄1 ; Ω1 ) × N b (x̄2 ; Ω2 ) N (1.3) N (x̄; Ω1 × Ω2 ) = N (x̄1 ; Ω1 ) × N (x̄2 ; Ω2 ) (1.4) b (x̄; Ω) và N (x̄; Ω) không phụ thuộc vào việc chọn chuẩn Chứng minh. Do N trên X1 và X2 , nên ta có thể cố định một chuẩn trong các chuẩn tương đương của không gian đó. Trong không gian tích X1 × X2 ta chọn chuẩn tổng như sau: k(x1 , x2 )k := kx1 k + kx2 k. Lấy tùy ý ε ≥ 0 và x̄ = (x̄1 , x̄2 ) ∈ Ω := Ω1 × Ω2 , ta khẳng định rằng bε (x̄1 ; Ω1 ) × N bε (x̄2 ; Ω2 ) ⊂ N b2ε (x̄; Ω) ⊂ N b2ε (x̄1 ; Ω1 ) × N b2ε (x̄2 ; Ω2 ). (1.5) N 6 bε (x̄1 ; Ω1 ) × N̄ε (x̄2 ; Ω2 ), ta cần chứng Thật vậy, lấy tuỳ ý x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ N b2ε (x̄, Ω). minh rằng x∗ ∈ N bε (x̄1 ; Ω1 ) suy ra với mỗi γ > 0, tồn tại một lân cận U1 của x̄1 Do x∗1 ∈ N sao cho hx∗1 , x1 − x̄1 i ≤ ε + γ, kx1 − x̄1 k ∀x1 ∈ U1 ∩ Ω1 . Do đó hx∗1 , x1 − x̄1 i ≤ (ε + γ)kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k, ∀x2 ∈ Ω2 . Suy ra hx∗1 , x1 − x̄1 i ≤ ε + γ, kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k ∀x1 ∈ U1 ∩ Ω1 , x2 ∈ Ω2 . bε (x̄2 ; Ω2 ) nên với γ > 0 đã chọn ở trên tồn tại một Tương tự, do x∗2 ∈ N lân cận U2 của x̄2 sao cho hx∗2 , x2 − x̄2 i ≤ ε + γ, kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k ∀x2 ∈ U2 ∩ Ω2 , x1 ∈ Ω1 . Suy ra với mọi γ > 0 hx∗1 , x1 − x̄1 i + hx∗2 , x2 − x̄2 i ≤ 2ε + 2γ, kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k ∀(x1 , x2 ) ∈ (U1 , U2 ) × (Ω1 , Ω2 ). b2ε (x̄, Ω) thì bao hàm thức thứ nhất trong (1.5) được Do đó với x∗ ∈ N chứng minh. Ta đi chứng minh bao hàm thức còn lại. b2ε (x̄; Ω), ta có: Lấy tuỳ ý x∗ = (x∗1 , x∗2 ) ∈ N hx∗ , x − x̄i lim sup kx − x̄k Ω → x = lim sup (x1 ,x2 ) (Ω1 ×Ω2 ) → (x̄1 ,x̄2 ) x̄ hx∗1 , x1 − x̄1 i + hx∗2 , x2 − x̄2 i ≤ 2ε. kx1 − x̄1 k + kx2 − x̄2 k b2ε (x̄1 ; Ω1 ) Bởi chọn x1 = x̄1 hoặc x2 = x̄2 ta dễ dàng suy ra rằng x∗1 ∈ N b2ε (x̄2 ; Ω2 ). Do đó bao hàm thức thứ hai trong (1.5) được chứng và x∗2 ∈ N 7 minh. Dễ dàng thấy được (1.3) và (1.4) được suy ra trực tiếp từ (1.5). Mệnh đề 1.2. (Tập các ε-pháp tuyến đối với tập lồi) Cho Ω là tập lồi trong không gian Banach X. Khi đó bε (x̄; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x − x̄i ≤ εkx − x̄k , ∀x ∈ Ω} N với ε ≥ 0 và x̄ ∈ Ω. Trường hợp đặc biệt với ε = 0, ta có b (x̄; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x − x̄i ≤ 0, ∀x ∈ Ω} N là nón pháp tuyến được định nghĩa trong giải tích lồi. Chứng minh. Chú ý rằng bao hàm thức “ ⊃ ” rõ ràng luôn đúng với mỗi tập Ω tùy ý. Ta sẽ chỉ ra bao hàm thức “ ⊂ ” khi Ω là tập lồi. bε (x̄; Ω) và cố định x ∈ Ω. Do Ω là tập lồi nên ta có Lấy tùy ý x∗ ∈ N xα := x̄ + α(x − x̄) ∈ Ω, ∀α ∈ [0; 1]. Rõ ràng xα → x̄ khi α ↓ 0. Lấy tùy ý γ > 0, từ (1.1) ta có: hx∗ , xα − x̄i ≤ (ε + γ)kxα − x̄k, với α > 0 đủ bé. Suy ra αhx∗ , x − x̄i ≤ (ε + γ)αkx − x̄k. Tương đương với hx∗ , x − x̄i ≤ (ε + γ)kx − x̄k. Do bất đẳng thức trên đúng với mọi γ > 0 nên ta có hx∗ , x − x̄i ≤ εkx − x̄k. Mệnh đề được chứng minh. 8 Định nghĩa 1.3.2. (Tập chính quy theo nghĩa pháp tuyến) Cho X là không gian Banach. Một tập Ω ⊂ X được gọi là chính quy (pháp tuyến) tại x̄ ∈ Ω b (x̄; Ω). nếu N (x̄; Ω) = N Mệnh đề 1.3. (Tính chính quy của tập lồi địa phương) Cho U là một lân cận của x̄ ∈ Ω ⊂ X sao cho tập Ω ∩ U là lồi. Khi đó Ω chính quy tại x̄ và N (x̄; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x − x̄i ≤ 0; ∀x ∈ Ω ∩ U }. Chứng minh. Trong định nghĩa N (x̄; Ω), nếu ta lấy dãy {xk } là dãy hằng, b (x̄; Ω) ⊂ N (x̄; Ω). Ta chứng minh xk = x̄, với mọi k ∈ N∗ thì ta suy ra N bao hàm thức ngược lại. Lấy x∗ ∈ N (x̄; Ω), tồn tại một dãy tương ứng (εk , xk , x∗k ) trong định nghĩa 1.1(ii). Vì lim xk = x̄ nên tồn tại k0 ∈ N∗ sao cho xk ∈ U với mọi k ≥ k0 . Với k ≥ k0 , theo mệnh đề 1.3 ta có hx∗k , x − xk i ≤ εk kx − xk k, ∀x ∈ Ω ∩ U. Cho qua giới hạn khi k → ∞ trong bất đẳng thức trên ta được hx∗ , x − x̄i ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩ U. Suy ra hx∗ , x − x̄i lim sup ≤ 0. kx − x̄k Ω → x x̄ b (x̄; Ω). Hơn nữa Do đó x∗ ∈ N b (x̄; Ω) = {x∗ ∈ X ∗ | hx∗ , x − x̄i ≤ 0; ∀x ∈ Ω ∩ U }. N (x̄; Ω) = N Mệnh đề được chứng minh. Tiếp theo ta trình bày hai dạng biểu diễn đặc biệt của nón pháp tuyến giới hạn đối với tập đóng trong không gian hữu hạn chiều X = Rn . Do 9 tất cả các chuẩn trong không gian hữu hạn chiều là tương đương nên ta có thể chọn chuẩn Euclid kxk = q x21 + . . . + x2n trong Rn , trong trường hợp này X ∗ = X = Rn . Trước hết, ta nhắc lại khái niệm hàm khoảng cách và phép chiếu điểm gần nhất. Cho một tập không rỗng Ω ⊂ Rn , hàm khoảng cách từ một điểm đến tập Ω được xác định bởi dist(x; Ω) := inf kx − uk, x ∈ Rn u∈Ω (1.6) và hình chiếu của x trên Ω: Π(x; Ω) := {w ∈ Ω | kx − wk = dist(x; Ω)}. Nếu Ω là tập đóng, thì tập Π(x; Ω) là khác rỗng với mọi x ∈ R. Đặc biệt nếu Ω là tập lồi đóng thì Π(x; Ω) là tập một điểm. Ta kí hiệu coneΩ là nón sinh bởi Ω, nghĩa là coneΩ := {ax ∈ X|a ≥ 0, x ∈ Ω}. Định lý tiếp theo mô tả nón pháp tuyến đối với tập đóng địa phương quanh x̄. Định lí 1.3.1. (Nón pháp tuyến trong không gian hữu hạn chiều) Cho Ω ⊂ Rn là tập đóng địa phương quanh x̄ ∈ Ω, nghĩa là tồn tại lân cận U của x̄ sao cho U ∩ Ω là tập đóng. Khi đó ta có các khẳng định sau: b (x; Ω), N (x̄; Ω) = lim sup N (1.7) N (x̄; Ω) = lim sup[cone(x − Π(x; Ω))]. (1.8) x→x̄ x→x̄ 10 Chứng minh. Trong định nghĩa N (x̄; Ω), nếu ta lấy dãy {εk } là dãy hằng bằng 0, ta có b (x; Ω) ⊂ N (x̄; Ω). lim sup N x→x̄ Ta chứng minh bao hàm thức “ ⊂ ” trong (1.7). Lấy x∗ ∈ N (x̄; Ω), từ định nghĩa 1.1(ii), tồn tại dãy εk ↓ 0, xk → x̄, x∗k → x∗ sao cho xk ∈ Ω bε (xk ; Ω) với mọi k ∈ N. Do X = X ∗ = Rn , Ω là tập đóng và x∗k ∈ N k địa phương quanh x̄ nên với mỗi k ∈ N∗ , ta lấy số α đủ nhỏ sao cho xk + αx∗k ∈ Ω và chọn wk ∈ Π(xk + αx∗k ; Ω). Theo cách định nghĩa wk ta có bất đẳng thức kxk + αx∗k − wk k2 ≤ α2 kx∗k k2 . Suy ra kxk + αx∗k − wk k2 = kxk − wk k2 + 2αhx∗k , xk − wk i + α2 kx∗k k2 . Kết hợp bất đẳng thức này với bất đẳng thức trên ta nhận được kxk − wk k2 ≤ 2αhx∗k , wk − xk i (1.9) Sử dụng sự hội tụ của wk → xk khi α ↓ 0 và định nghĩa của εk -pháp tuyến bε (xk ; Ω), ta tìm một dãy số dương α = αk thỏa mãn x∗k ∈ N k hx∗k , wk − xk i ≤ 2εk kwk − xk k, ∀k ∈ N. Điều này và (1.9) suy ra kxk − wk k ≤ 4αk εk . Do đó lim = x̄. k→∞ Đặt wk∗ := x∗k + 1 (xk − wk ). αk Ta có kwk∗ − x∗k k ≤ 4εk và wk∗ → x∗ khi k → ∞. b (wk ; Ω), ∀k . Thật vậy, với mỗi x cố định Bây giờ ta chứng minh wk∗ ∈ N 11 thuộc Ω ta có 0 ≤ kxk + αk x∗k − xk2 − kxk + αk x∗k − wk k2 = hαk x∗k + xk − x, αk x∗k + xk − wk i + hαk x∗k + xk − x, wk − xi − hαk x∗k + xk − wk , x − wk i − hαk x∗k + xk − wk , αk x∗k + xk − xi = −2αk hwk∗ , x − wk i + kx − wk k2 . Do đó 1 kx − wk k2 , ∀x ∈ Ω. 2αk b (wk , Ω), ta có w∗ ∈ N b (wk ; Ω). Vì vậy ta có biểu diễn thứ Bởi định nghĩa N k hwk∗ , x − wk i ≤ nhất (1.7) của nón pháp tuyến giới hạn. Để chứng minh (1.8), ta chỉ cần chứng minh: b (x; Ω) = lim sup[cone(x − Π(x; Ω))]. lim sup N x→x̄ x→x̄ Trước hết ta chứng minh rằng b (x; Ω) ⊂ lim sup[cone(u − Π(u; Ω))], ∀x ∈ Ω. N (1.10) u→x b (x; Ω), đặt xk := x + 1 x∗ và chọn wk ∈ Π(xk ; Ω) với Lấy x ∈ Ω, x∗ ∈ N k mỗi k ∈ N∗ . Theo định nghĩa wk , ta có 0 ≤ kxk − vk2 − kxk − wk k2 = hxk − v, xk − wk i + hxk − v, wk − vi − hxk − wk , v − wk i − hxk − wk , xk − vi = −2hxk − wk , v − wk i + kv − wk k2 , ∀v ∈ Ω. Do đó wk ∈ Π(xk ; Ω) khi và chỉ khi 1 hxk − wk , v − wk i ≤ kv − wk k2 , ∀v ∈ Ω. 2 Lấy v = x và sử dụng định nghĩa của xk ta có 1 1 kx − wk k2 + hx∗ , x − wk i ≤ kx − wk k2 . k 2 12