BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
NGUYỄN THỊ ÁNH NGỌC
VỀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA LŨY THỪA MỘT IĐÊAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 06-2017
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
NGUYỄN THỊ ÁNH NGỌC
VỀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA LŨY THỪA MỘT IĐÊAN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.01.04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Hùng Quý
HÀ NỘI, 06-2017
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan bản luận án này là kết quả nghiên cứu của cá nhân
tôi. Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận án là trung thực.
Kết quả nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã
được công bố trước đó. Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của
mình.
Hà Nội, tháng 06 năm 2017.
Tác giả luận án
Nguyễn Thị Ánh Ngọc
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội.
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm
ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Phạm Hùng Quý, thầy là người trực
tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt
quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc và
đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn. Tôi cũng xin chân
thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Sau Đại Học, các quý thầy cô
trong khoa Toán, các bạn học viên lớp cao học Toán K25, những
người đã tận tình giảng dạy, tạo điều kiện và giúp đỡ, động viên tôi
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân trong
gia đình, bạn bè đã luôn động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình
hoàn thành khóa học.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do kiến thức còn nhiều hạn chế nên
luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và bạn bè để luận văn
được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 06 năm 2017.
Tác giả luận án
Nguyễn Thị Ánh Ngọc
Mục lục
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
MỞ ĐẦU
2
1 Phân tích nguyên sơ và tập iđêan nguyên tố liên kết
4
1.1
1.2
1.3
1.4
Vành và môđun Noether . . .
Iđêan nguyên tố liên kết . . .
Phân tích nguyên sơ . . . . .
Phân tích nguyên sơ của iđêan
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
đơn thức
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
7
10
12
1.5
1.4.1 Phân tích nguyên sơ của các iđêan đơn thức .
1.4.2 Đồ thị hữu hạn và iđêan cạnh . . . . . . . . .
Vành phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
14
17
2 Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết
2.1
2.2
Iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa một iđêan . . .
Trường hợp iđêan cạnh . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
27
KẾT LUẬN
30
Tài liệu tham khảo
31
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Iđêan nguyên tố liên kết và phân tích nguyên sơ là một trong những
kỹ thuật cơ bản nhất của Đại số giao hoán. Định lý phân tích nguyên
sơ của Emmy Noether khẳng định rằng mọi iđêan trong vành giao
hoán Noether đều phân tích được thành giao của hữu hạn iđêan
nguyên sơ và do đó nó có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết. Việc
nghiên cứu tập iđêan nguyên tố liên kết của các iđêan và môđun vẫn
đang là một vấn đề thời sự hiện nay. Năm 1979, Markus Brodmann
đã chứng minh một kết quả kinh điển khẳng định rằng "tập iđêan
nguyên tố liên kết của các lũy thừa của một iđêan là ổn định". Kết
quả này dẫn tới cảm hứng cho rất nhiều nghiên cứu tiếp theo về tính
chất của lũy thừa của một iđêan trong vành Noether như độ sâu của
R/I n hay chỉ số chính quy của I n trong vành phân bậc. Định lý của
Brodmann còn được phát triển tiếp trong nghiên cứu của Swanson
về tính tuyến tính của phân tích nguyên sơ hay được làm rõ trong
các trường hợp đặc biệt như iđêan đơn thức, iđêan cạnh của một đồ
thị. Chính vì những ý nghĩa nói trên của Định lý Brodmann, tác giả
bản luận văn này đặt mục tiêu trình bày lại chi tiết về kết quả này
và một vài kết quả liên quan.
Vì vậy, đề tài nghiên cứu của luận văn được chọn là "Về iđêan
nguyên tố liên kết của lũy thừa một iđêan"
2. Định hướng nghiên cứu
Trên cơ sở các tài liệu có sẵn trong phần tài liệu tham khảo, tác
giả sẽ hệ thống lại lý thuyết cơ bản về phân tích nguyên sơ, iđêan
2
nguyên tố liên kết của một iđêan. Trên cơ sở đó tác giả trình bày lại
Định lý Brodmann và làm rõ hơn về tập ổn định trong trường hợp
iđêan cạnh.
3. Phương pháp nghiên cứu
Đọc và dịch các tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp và
nghiên cứu lý thuyết.
4. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm
các chương sau:
Chương 1. Phân tích nguyên sơ và tập iđêan nguyên tố liên
kết, trình bày về Định lý phân tích nguyên sơ và iđêan nguyên tố
liên kết. Phân tích nguyên sơ và iđêan nguyên tố liên kết của một
iđêan cũng được mô tả rõ ràng trong trường hợp iđêan cạnh.
Chương 2. Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết,
chứng minh lại Định lý Brodmann và làm rõ hơn về tập ổn định
trong trường hợp iđêan cạnh.
3
Chương 1
Phân tích nguyên sơ và tập iđêan
nguyên tố liên kết
Trong chương này ta luôn giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị
và M là một R-môđun.
1.1
Vành và môđun Noether
Định lý 1.1.1. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và M là
một R-môđun. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:
i. Mỗi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực
đại.
ii. Mỗi dãy tăng các môđun con của M :
M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · ·
là dừng, nghĩa là Mk = Mk+1 với mọi k đủ lớn.
iii. Mỗi môđun con của M đều hữu hạn sinh.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Giả sử M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · là một
dãy tăng các môđun con của môđun M , theo điều kiện (i) thì tập
{Mn }n≥0 có một phần tử cực đại chẳng hạn Mt , khi đó Mk = Mk+1
với mọi k ≥ t.
(ii) ⇒ (iii). Giả sử ngược lại tồn tại trong M một môđun con N
4
không hữu hạn sinh. Khi đó trong N tồn tại một dãy vô hạn các phần
m
X
tử x1 , x2 , ..., xn , ... sao cho nếu Mn =
Rxi với mọi j. Ta sẽ nhận
i=1
được một dãy tăng vô hạn, không dừng M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · ·
các môđun con của M , mâu thuẫn với (ii).
(iii) ⇒ (i). Giả sử S là một tập khác rỗng các môđun của M mà
không có phần tử cực đại trong S. Vì S là một tập khác rỗng, nên
ta chọn được một môđun con M0 ∈ S. Khi đó nếu M0 không phải
là một phần tử cực đại trong S, thì sẽ tồn tại M1 ∈ S thực sự chứa
M0 . Như vậy nếu trong S không có phần tử cực đại, thì sẽ tồn tại
một dãy tăng vô hạn M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · , không dừng
[
Mi là một môđun con của
các môđun con của M . Ta có N =
i≥0
M , nên N là một môđun con hữu hạn sinh. Giả sử x1 , x2 , ..., xm là
một hệ sinh của N . Vì dãy các môđun là tăng, nên tồn tại k để
m
X
x1 , x2 , ..., xm ∈ Mk . Khi đó Mk =
Rxi = N , như vậy dãy trên bị
i=1
dừng bắt đầu tại vị trí thứ k (mâu thuẫn).
Định nghĩa 1.1.2. Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Khi đó Rmôđun M được gọi là R-môđun Noether nếu nó thỏa mãn một trong
ba điều kiện của Định lý 1.1.1. Vành R được gọi là vành Noether
nếu nó là một R-môđun Noether.
Ví dụ 1.1.3.
i. Mỗi trường, vành chính đều là một vành Noether.
ii. Một không gian vectơ là Noether khi và chỉ khi nó có chiều hữu
hạn.
Mệnh đề dưới đây cho ta thấy lớp các môđun Noether là đóng
kín với phép lấy môđun con, môđun thương và mở rộng.
Mệnh đề 1.1.4. Cho dãy khớp ngắn các R-môđun:
0 −→ N −→ M −→ P −→ 0
5
Khi đó M là môđun Noether nếu và chỉ nếu N và P đều là các
môđun Noether.
Chứng minh. Từ dãy khớp ngắn đã cho, ta luôn có thể coi N là một
môđun con của M và P = M/N , theo nghĩa sai khác một đẳng cấu.
Trước tiên, giả sử M là môđun Noether, khi đó mỗi dãy tăng trong
N cũng là một dãy tăng trong M , do đó nó phải dừng, vậy N là
Noether. Ta thấy rằng mỗi dãy tăng trong P đều là ảnh của một
dãy tăng trong M qua toàn cấu chính tắc. Vì mọi dãy tăng trong
M đều dừng, nên mọi dãy tăng trong P phải dừng. Vậy P cũng là
Noether.
Ngược lại, giả sử N và P là những môđun Noether. Cho M1 là
một môđun con của M . Từ một kết quả đã biết: Nếu M1 và N là
hai môđun con của cùng một môđun M thì ta có: (M1 + N )/N ∼
=
M1 /(M1 ∩ N ) là một môđun con của P = M/N . Vì P là Noether,
nên M1 /M1 ∩ N hữu hạn sinh. Mặt khác, M1 ∩ N cũng hữu hạn sinh
do N là Noether. Từ đó suy ra M1 là một môđun hữu hạn sinh. Vậy
M là môđun Noether.
Hệ quả 1.1.5. Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các R-môđun
Noether là một R-môđun Noether.
Hệ quả 1.1.6. Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R là
một R-môđun Noether.
Ngược lại ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.1.7. Cho M là một R-môđun Noether. Khi đó R/Ann(M )
cũng là một vành Noether.
Chứng minh. Vì M là R-môđun Noether nên nó hữu hạn sinh. Giả
sử M sinh bởi x1 , ..., xt . Xét ánh xạ đồng cấu
t
M
ϕ : R −→
Mi
i=1
a 7−→ (ax1 , ..., axt )
6
Khi đó ta có:
Ker(ϕ) = {a ∈ R | ϕ(a) = 0} = {a ∈ R|(ax1 , ..., axt ) = (0, ..., 0)}
= {a ∈ R | axi = 0, i = 1, ..., t} = {a ∈ R|aM = 0}
= {a ∈ R | a = 0} = Ann(M ).
Do đó ϕ là một đơn cấu nên R/Ann(M ) là đẳng cấu với môđun con
t
t
M
M
của
M . Theo Hệ quả 1.1.5,
M là Noether. Vậy R/Ann(M )
i=1
i=1
là vành Noether.
Kết quả sau đây nói rằng địa phương hóa của một môđun Noether
cũng là Noether.
Mệnh đề 1.1.8. Cho M là R-môđun Noether và S là tập đóng nhân
của R. Khi đó
m
S −1 M = { |m ∈ M, s ∈ S}
s
là một S −1 R-môđun Noether.
Định lý dưới đây của Hilbert là một trong những kết quả nền
tảng của đại số giao hoán.
Định lý 1.1.9. (Định lý cơ sở của Hilbert). Cho R là một vành
Noether. Khi đó vành đa thức nhiều biến R[x1 , x2 , ..., xn ] cũng là
một vành Noether.
Hệ quả 1.1.10. Vành đa thức nhiều biến K[x1 , x2 , ..., xn ] có hệ số
trên một trường luôn là vành Noether.
Chú ý 1.1.11. Ta cũng có thể chứng minh rằng R là vành Noether
thì lũy thừa hình thức R[[x]] cũng là Noether.
1.2
Iđêan nguyên tố liên kết
Ta luôn giả sử rằng R là vành Noether giao hoán có đơn vị.
Định nghĩa 1.2.1. Phần tử r ∈ R được gọi là ước của 0M trong M
nếu tồn tại 0 6= m ∈ M sao cho rm = 0.
Ta kí hiệu zdR (M ) là tập hợp tất cả các ước của 0 trong M .
7
Định nghĩa 1.2.2. Một iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R) được gọi
là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x thuộc M sao cho
p = 0 :M x, tương đương với việc tồn tại một đồng cấu nhúng
R/p −→ M . Ta kí hiệu AssR M là tập các iđêan nguyên tố liên kết
của M .
Một iđêan nguyên tố liên kết của M là nhỏ nhất theo nghĩa bao hàm
được gọi là iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của M . Tập các iđêan
nguyên tố liên kết tối tiểu của M được kí hiệu là minAssR M . Iđêan
nguyên tố liên kết không phải là tối tiểu được gọi là iđêan nguyên
tố liên kết nhúng.
Ví dụ 1.2.3.
i. AssZ Z = {(0)}.
ii. AssZ Z/6Z = {2Z, 3Z}.
Mệnh đề 1.2.4. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun khác
không.
i. Mọi phần tử cực đại của tập hợp: F = {Ann(x)|0 6= x ∈ M }
đều là một iđêan nguyên tố liên kết của M , do đó AssR M 6= 0.
[
ii. Ta có zdR M =
p.
p∈AssR M
Kết quả dưới đây mô tả tập các iđêan nguyên tố liên kết của các
môđun trong một dãy khớp ngắn.
Mệnh đề 1.2.5. Giả sử R là một vành Noether và
0 −→ M 0 −→ M −→ M 00 −→ 0
là một dãy khớp nhắn các R-môđun. Khi đó:
AssR (M 0 ) ⊆ AssR (M ) ⊆ AssR (M 0 ) ∪ AssR (M 00 ).
8
Mệnh đề 1.2.6. Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn
sinh. Khi đó tồn tại một xích tăng các môđun con:
0 ⊆ M1 ⊆ M2 ⊆ · · · ⊆ Mt = M.
sao cho Mi /Mi−1 ∼
= R/p với p ∈ Spec(R), với ∀i = 1, t.
Hệ quả 1.2.7. Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn
sinh. Khi đó, AssR M là hữu hạn.
Mệnh đề 1.2.8. Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn
sinh. Khi đó
p
AnnR M =
\
p∈AssR M
p=
\
p.
p∈minAssR M
Định nghĩa 1.2.9. (Tập giá). Cho R là vành Noether và M là Rmôđun Noether. Khi đó ta định nghĩa tập giá của M , kí hiệu là
Supp(M ) như sau:
Supp(M ) = {p ∈ Spec(R)|Mp 6= 0}.
Mệnh đề 1.2.10. Cho R là Noether và M là một R-môđun. Khi
đó AssR M ⊆ SuppR M , và các phần tử tối tiểu của hai tập hợp là
trùng nhau.
Mệnh đề sau cho ta tập iđêan nguyên tố liên kết của một môđun
sau khi địa phương hóa.
Mệnh đề 1.2.11. Giả sử R là một vành Noether và M là một Rmôđun. Xét S là một tập đóng nhân. Khi đó
AssRs Ms = {pRS |p ∈ AssR M ; p ∩ S = ∅}.
Hệ quả 1.2.12. Cho M là một R-môđun và p là một iđêan nguyên
tố của R. Ta có p ∈ AssR M khi và chỉ khi pRp ∈ AssRp Mp .
9
1.3
Phân tích nguyên sơ
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử R là một vành Noether, M là R-môđun
hữu hạn sinh và N ⊂ M là một R-môđun con. Ta nói rằng N là
môđun con nguyên sơ của M nếu thỏa mãn điều kiện: Với mọi a ∈ R
và x ∈ M , nếu x 6= N và ax ∈ N thì an M ⊂ N với n nào đó.
Định nghĩa có thể được phát biểu như sau: Nếu a ∈ R là ước của 0
p
trên M/N thì a ∈ Ann(M/N ).
Hay đồng cấu nhân a : M/N −→ M/N hoặc là đơn cấu hoặc là lũy
linh.
Định lý 1.3.2. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun hữu
hạn. Khi đó môđun con N ⊂ M là nguyên sơ khi và chỉ khi AssR (M/N )
chỉ có một phần tử. Khi đó, nếu AssR (M/N ) = p và AnnR (M/N ) =
√
I thì I là nguyên sơ và I = p.
Định nghĩa 1.3.3. Nếu Ass(M/N ) = p ta nói rằng N ⊂ M là một
môđun con p-nguyên sơ của M .
Mệnh đề 1.3.4. Nếu N và N 0 là hai môđun con p-nguyên sơ của
M thì khi đó N ∩ N 0 cũng là một môđun con p-nguyên sơ của M .
Định nghĩa 1.3.5. Một môđun con N của M được gọi là môđun
con bất khả quy nếu nó không là giao của hai môđun con chứa nó
thực sự.
Mệnh đề 1.3.6. Cho R là một vành Noether và M là một R-môđun
hữu hạn sinh. Khi đó mọi môđun con bất khả quy N của M đều là
nguyên sơ.
Định lý 1.3.7. Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn
sinh. Khi đó mọi môđun con của M đều phân tích được thành giao
hữu hạn của các môđun con bất khả quy.
P
Chứng minh. Xét tập hợp
tất cả các môđun con N của M không
P
là giao hữu hạn của những môđun con bất khả quy và giả sử
6= ∅.
10
P
Do M là một R-môđun Noether nên tồn tại trong
một phần tử
cực đại N . Khi đó N phải là môđun khả quy, tức là tồn tại hai
P
môđun con N1 ⊃ N, N2 ⊃ N sao cho N = N1 ∩ N2 . Vì N1 , N2 6∈
nên chúng là giao hữu hạn những môđun con bất khả quy, do đó
N cũng được biểu diễn thành giao hữu hạn các môđun con bất khả
P
quy. Điều này mâu thuẫn với giả thiết N ∈
và định lý được chứng
minh.
Từ Định lý 1.3.7 và Mệnh đề 1.3.6, ta có mọi môđun con của một
môđun Noether M đều có thể phân tích thành giao của các môđun
nguyên sơ.
Định nghĩa 1.3.8. Một môđun con N của M được gọi là có phân
tích nguyên sơ nếu nó được viết thành giao của các môđun con
nguyên sơ, tức là N = N1 ∩ N2 ∩ · · · ∩ Nr với Ni là các môđun con
nguyên sơ. Một phân tích nguyên sơ được gọi là phân tích nguyên
sơ rút gọn nếu ta không thể bỏ bất kì một môđun nguyên sơ nào
trong phân tích đó, tức là N 6= N1 ∩ · · · ∩ Ni−1 ∩ Ni+1 ∩ · · · ∩ Nr với
mọi i = 1, ..., r. Hơn nữa, các thành phần nguyên sơ đều ứng với các
iđêan nguyên tố phân biệt.
Định lý 1.3.9. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun hữu
hạn.
i. Mọi môđun con N của M đều có một phân tích nguyên sơ rút
gọn.
ii. Nếu N = N1 ∩ N2 ∩ · · · ∩ Nr với Ass(M/Ni ) = pi là một phân
tích nguyên sơ rút gọn của N thì Ass(M/N ) = {p1 , ..., pr }.
iii. Nếu p là một iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu của M/N thì
thành phần p-nguyên sơ xuất hiện trong phân tích nguyên sơ rút
gọn của N là hạt nhân của đồng cấu chính tắc ϕp : M −→ Mp .
Do đó, thành phần nguyên sơ của N tương ứng với các iđêan
nguyên tố liên kết tối tiểu là xác định duy nhất.
11
Định nghĩa 1.3.10. Cho R là vành Noether, M là một R-môđun
hữu hạn sinh và N là một môđun con của M . Các thành phần nguyên
sơ xuất hiện trong phân tích nguyên sơ của N trong M tương ứng
với các iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu và các iđêan nguyên tố liên
kết nhúng được gọi là các thành phần nguyên sơ tối tiểu và thành
phần nguyên sơ nhúng của N . Trong trường hợp N = 0 thì ta nói đó
là các thành phần nguyên sơ tối tiểu, thành phần nguyên sơ nhúng
của M .
Theo Định lý phân tích nguyên sơ, ta thấy các thành phần nguyên
sơ tối tiểu là duy nhất. Tuy nhiên, các thành phần nguyên sơ nhúng
là không duy nhất.
Ví dụ 1.3.11. Xét K là một trường và R = K[x, y] là một vành đa
thức. Khi đó, iđêan I = (x2 , xy) có các phân tích nguyên sơ rút gọn
sau:
(x2 , xy) = (x) ∩ (x2 , y) = (x) ∩ (x2 , xy, y 2 )
Ta có Ass(R/I) = {(x), (x, y)} và (x) là thành phần tối tiểu còn
(x2 , y) và (x2 , xy, y 2 ) là các thành phần nhúng của I.
1.4
Phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức
Xác định phân tích nguyên sơ của một iđêan trong một vành đa
thức là phức tạp và chúng ta cần sử dụng đến các chương trình máy
tính. Tuy nhiên, trong trường hợp iđêan đơn thức, phân tích nguyên
sơ là đơn giản hơn nhiều.
1.4.1
Phân tích nguyên sơ của các iđêan đơn thức
Định nghĩa 1.4.1. Iđêan I trong vành đa thức R được gọi là iđêan
đơn thức nếu I có một hệ sinh gồm toàn các đơn thức.
Chúng ta biết rằng, R là vành Noether theo Định lý cơ sở của
Hilbert 1.1.9, nên mỗi iđêan đơn thức I đều hữu hạn sinh. Hơn nữa,
12
I có một hệ sinh chỉ gồm các đơn thức. Nếu xuất phát từ một hệ
sinh gồm các đơn thức bất kì của I và chỉ giữ lại các đơn thức không
bị chia hết bởi các đơn thức khác trong hệ đó thì chúng ta có duy
nhất một hệ sinh tối tiểu của I. Tức là, I chỉ có một hệ duy nhất
gồm các đơn thức sao cho không có hai đơn thức nào chia hết cho
nhau. Kí hiệu hệ sinh đó của I là G(I). Cấu trúc của các iđêan đơn
thức và nguyên tố rất đơn giản, chúng chỉ sinh bởi tập các biến.
Bổ đề 1.4.2. Cho I là một iđêan đơn thức khác không. Khi đó, I
là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I sinh bởi các biến.
Bổ đề 1.4.3. Cho I là một iđêan đơn thức khác không. Khi đó, I là
iđêan bất khả quy khi và chỉ khi nó sinh bởi lũy thừa của các biến.
Mệnh đề 1.4.4. Cho m1 , ..., mr , u,v là các đơn thức của R. Giả sử
u và v là hai đa thức không có chung biến. Khi đó
(m1 , ..., mr , uv) = (m1 , ..., mr , u) ∩ (m1 , ..., mr , v)
Thuật toán phân tích nguyên sơ của các iđêan đơn thức. Cho
iđêan đơn thức I của vành đa thức R. Để tìm phân tích nguyên sơ
của I, chúng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Phân tích I thành giao của các iđêan sinh bởi lũy thừa các
biến bằng cách áp dụng liên tiếp Mệnh đề 1.4.4.
Bước 2: Loại đi các iđêan chứa các iđêan khác trong giao.
Bước 3: Nhóm các iđêan có cùng căn lại.
Ví dụ 1.4.5. Cho ideal đơn thức I = (x3 y 5 , y 4 z, x2 z 2 ) của vành đa
thức R = K[x, y, z]. Theo mệnh đề 1.4.4 ta có phân tích sau:
I = (x3 , y 4 z, x2 z 2 ) ∩ (y 5 , y 4 z, x2 z 2 )
= (x3 , y 4 , x2 z 2 ) ∩ (x3 , z) ∩ (y 5 , z) ∩ (y 4 , x2 z 2 )
= (x3 , y 4 , z 2 )∩(y 4 , x2 )∩(x3 , z)∩(y 5 , z)∩(y 4 , x2 )∩(y 4 , z 2 )
= (y 4 , x2 ) ∩ (x3 , z) ∩ (y 4 , z 2 ) ∩ (y 5 , z).
Như vậy, ta có phân tích nguyên sơ thu gọn của I là:
I = (y 4 , x2 ) ∩ (x3 , z) ∩ (y 5 , y 4 z, z 2 ).
Do đó AssR (R/I) = {(x, y), (x, z), (y, z)}.
13
Đối với iđêan đơn thức, chúng ta có đặc trưng của các iđêan
nguyên tố liên kết như sau:
Mệnh đề 1.4.6. Cho iđêan đơn thức I và iđêan nguyên tố p của R.
Khi đó p ∈ AssR (R/I) khi và chỉ khi tồn tại một đơn thức m ∈ R
sao cho p = I : m.
1.4.2
Đồ thị hữu hạn và iđêan cạnh
Định nghĩa 1.4.7. Một đồ thị hữu hạn, đơn và vô hướng G là một
cặp có thứ tự hai tập hợp G = (V, E), trong đó tập V hữu hạn còn
tập E bao gồm một số tập có hai phần tử của V.
Nhận xét 1.4.8. Các phần tử của V gọi là đỉnh, các phần tử của
E gọi là cạnh. Nếu e = {a, b} là một cạnh của G thì a và b gọi là các
đỉnh đầu mút của cạnh e hay các đỉnh liên thuộc với e.
Người ta thường biểu diễn đồ thị của G trên mặt phẳng như sau:
Các đỉnh của đồ thị được biểu diễn bởi các điểm trên mặt phẳng,
còn các cạnh của đồ thị được biểu diễn bằng một đường cong nối
hai điểm liên thuộc.
Ví dụ 1.4.9. Cho đồ thị vòng C5 = (V, E) với V = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 }
và
E = {{x1 , x2 }, {x2 , x3 }, {x3 , x4 }, {x4 , x5 }, {x5 , x1 }}
có chu trình của đồ thị C5 như sau:
Tiếp theo, chúng ta định nghĩa iđêan cạnh liên kết với một đồ
thị.
14
Định nghĩa 1.4.10. Cho G = (V, G) là một đồ thị với V = {x1 , ..., xn }
với K là một trường. Khi đó iđêan cạnh của G là
I(G) = (xi xj |{xi , xj } ∈ E(G) ⊂ R = K[x1 , ..., xn ].
Ví dụ 1.4.11. Cho G là đồ thị C5 . Khi đó iđêan cạnh của G là:
I(G) = (x1 x2 , x2 x3 , x3 x4 , x4 x5 , x5 x1 ).
Nhận xét 1.4.12. Đỉnh xi gọi là đỉnh cô lập của G nếu không có
cạnh nào của G nối vào xi . Theo định nghĩa của iđêan cạnh, chúng
ta có I(G) = I(G \ {xi }). Chúng ta sẽ chỉ xét các đồ thị không có
điểm cô lập.
Định nghĩa 1.4.13. Đặt R = K[x1 , ..., xd ]. Đơn thức xn1 1 ...xnd d ∈
[[R]] được gọi là không chứa bình phương nếu với i = 1, ..., d ta có
ni ∈ {0, 1}. Iđêan đơn thức I ⊆ R được gọi là không chứa bình
phương nếu nó sinh bởi các đơn thức không chứa bình phương.
Ví dụ 1.4.14. Đặt R = K[x, y, z]. Các đơn thức không chứa bình
phương trong R là
1, x, y, z, xy, xz, yz, xyz.
Ta có (xy, yz) là iđêan không chứa bình phương. Iđêan (x2 y, yz 2 ) là
iđêan chứa bình phương.
Vì các iđêan không chứa bình phương là iđêan căn nên nó là giao
của các iđêan nguyên tố.
Định nghĩa 1.4.15. Cho V = {v1 , ..., vd } và đặt R = K[x1 , ..., xd ].
Với mỗi tập con V 0 ⊆ V, định nghĩa PV 0 ⊆ R là iđêan và PV 0 =
({xi |vi ∈ V 0 })R, rõ ràng PV 0 là một iđêan nguyên tố.
Mệnh đề 1.4.16. Cho V = {v1 , ..., vd }, đặt R = K[x1 , ..., xd ]. Iđêan
đơn thức I ⊆ R là không chứa bình phương nếu và chỉ nếu có tập
n
\
con V1 , ..., Vn ⊂ V sao cho I =
PVi .
i=1
15
Trong trường hợp I là iđêan cạnh, các iđêan nguyên tố liên kết
của I được mô tả một cách trực giác bằng ngôn ngữ của lý thuyết
đồ thị như sau.
Định nghĩa 1.4.17. Cho G là đồ thị với tập đỉnh V = {v1 , ..., vd }.
Một phủ đỉnh của G là tập con V 0 ⊆ V sao cho mỗi cạnh vi vj trong
G hoặc vi ∈ V 0 hoặc vj ∈ V 0 . Phủ đỉnh V 0 là cực tiểu nếu nó không
thực sự chứa một phủ đỉnh khác của G.
Dưới đây là định lý quan trọng về phân tích nguyên sơ của iđêan
cạnh.
Định lý 1.4.18. Cho G là đồ thị với tập đỉnh V = {v1 , ..., vd } và
R = K[x1 , ..., xd ]. Khi đó iđêan cạnh IG ⊆ R có sự phân tích nguyên
sơ rút gọn như sau:
\
IG =
PV 0
V 0 min
trong đó giao lấy trên phủ đỉnh cực tiểu của G.
Ví dụ 1.4.19. Đặt R = K[x1 , x2 , x3 , x4 ]. Tìm phân tích nguyên sơ
rút gọn của các iđêan I = (x1 x2 , x2 x3 , x2 x4 , x3 x4 ).
Trước hết, ta tìm đồ thị G với tập đỉnh V = {v1 , v2 , v3 , v4 } thỏa mãn
I = IG .
Tiếp theo, ta tìm các phủ đỉnh cực tiểu của G : {v1 , v3 , v4 }, {v2 , v3 },
{v2 , v4 }. Cuối cùng theo định lý 1.4.18, ta có
T
T
I = (x1 , x3 , x4 ) (x2 , x3 ) (x2 , x4 )
là phân tích nguyên sơ rút gọn của I.
Ví dụ 1.4.20. Tìm phân tích nguyên sơ rút gọn của iđêan cạnh C5 .
Trước hết, ta tìm đồ thị G với tập đỉnh V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } thỏa
mãn I = IG .
Khi đó, các tập phủ đỉnh cực tiểu của G: {v1 , v2 , v4 }, {v1 , v3 , v4 },
{v1 , v3 , v5 }, {v2 , v3 , v5 }, {v2 , v4 , v5 }.
Áp dụng Định lý 1.4.18, ta có
T
T
T
T
I = (x1 , x2 , x4 ) (x1 , x3 , x4 ) (x1 , x3 , x5 ) (x2 , x3 , x5 ) (x2 , x4 , x5 )
16
- Xem thêm -