Tài liệu Một số bài toán điều khiển phương trình vi phân mờ

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ Như chúng ta đã biết, trong lý thuyết tối ưu và hệ thống tồn tại 03 bài toán lớn, đó là: bài toán quy hoạch tuyến tính, bài toán quy hoạch phi tuyến và bài toán quy hoạch động. Với bài toán quy hoạch động của hệ thống có những vấn đề cần giải quyết như sau: • Một số tính chất định tính của nghiệm (tồn tại và duy nhất, ổn định, ...); • Bài toán điều khiển được; • Bài toán điều khiển ngược; • Bài toán điều khiển tối ưu. Điều khiển hệ thống đã trở thành một Lý thuyết toán học vào đầu những năm 60 của thế kỷ 20, bắt đầu là sự chú ý của giới khoa học trong công nghệ (Wilde và Kokotovic [?]). Nhiều bài toán đã được mô hình hóa và có những kết quả nghiên cứu chuyên sâu. Theo xu hướng tất yếu, lý thuyết điều khiển hệ thống đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, hoàn thiện và có những đóng góp rất lớn để lý thuyết này ngày càng hoàn thiện, chặt chẽ và có ý nghĩa thực tiễn. Trong những năm gần đây, lý thuyết điều khiển hệ thống được các nhà toán học xây dựng cho các đối tượng rất tổng quát và đa dạng như: giải một số bài toán kỹ thuật, bài toán môi trường với đối tượng cần nghiên cứu là một vệt dầu loang, một khối khí độc di chuyển trong không gian. Động học chất điểm được thay bởi động học cho một tập các quá trình. Mô hình toán học và sự mô phỏng được sử dụng cho nghiệm bó của các hệ động lực. Vấn đề này thường được các nhà toán học nghiên cứu trên các đối tượng giá trị tập, giá trị mờ, v.v.. Đề tài luận án này liên quan tới khảo sát một số bài toán điều khiển phương trình vi phân mờ - đối tượng mới của mô hình hệ động lực mờ. Lý thuyết tập mờ (fuzzy set theory) được Zadeh giới thiệu đầu tiên vào năm 1965 trong bài 1 báo [?] là một sự mở rộng của lý thuyết tập hợp kinh điển, nhằm mục đích giải quyết những hạn chế của logic đơn trị trong điều khiển học. Sau khi có nhiều ứng dụng có ý nghĩa trong thực tiễn, lý thuyết mờ đã được cộng đồng khoa học thế giới ghi nhận. Theo xu hướng phát triển tất yếu, lý thuyết giải tích mờ (fuzzy analysis) đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, xây dựng và hoàn thiện các phép toán cần thiết để ngày càng chặt chẽ về lý thuyết và hiệu quả về ứng dụng. Tóm tắt luận án gồm: Tổng quan vấn đề, Nội dung của luận án (3 chương), Kết luận, Danh mục công trình của tác giả và Tài liệu tham khảo. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày các kiến thức cần sử dụng trong luận án: bao gồm các khái niệm về tập, tập mờ và số mờ. Hơn nữa, những kiến thức cơ bản về không gian mêtric Hausdorff, giải tích tập, không gian mêtric mờ, giải tích mờ, không gian vectơ được trình bày đầy đủ và có hệ thống nhằm sử dụng cho các kết quả chính của luận án. Chương 2. Bài toán nghiệm bó mờ. Chương thứ hai trình bày các khái niệm về nghiệm của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân tập dạng bó, về điều khiển bó mờ và mờ có chậm trong không gian metric mờ Ed . Nội dung chính của chương này đã được công bố trong [Tri1], [Tri2]. Chương 3. Bài toán điều khiển nghiệm bó mờ. Chúng tôi trình bày một số kết quả về đánh giá tính chất định tính và phương pháp giải cho một số lớp bài toán nghiệm bó mờ; Nghiên cứu tính chất tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán điều khiển nghiệm bó mờ dưới sự tham gia của điều khiển mờ. Nội dung chính của chương này đã được công bố trong một bản thảo gửi đăng [Tri3]. Các kết quả chính của luận án được viết dựa trên kết quả của 2 bài báo đã công bố [Tri1], [Tri2] của tác giả (chung với người hướng dẫn khoa học và các tác giả khác) và 1 bài đã gửi tạp chí. Các kết quả này đã được tác giả trình bày tại các buổi seminar nhóm phương trình vi phân của người hướng dẫn khoa học, tại Hội nghị toán học phối hợp Việt - Pháp [Tri4] và tại Đại hội toán học Việt Nam lần thứ VIII [Tri5]. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian mêtric Hausdorff Họ các tập con lồi, compact và khác rỗng của Rd Cho A, B ⊂ Rd và λ ∈ R, phép cộng Minkowski và phép nhân vô hướng (xem [?]) được định nghĩa như sau: A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}; λA = {λa : a ∈ A}. Ta ký hiệu KCC (Rd ) là họ các tập con lồi, compact và khác rỗng của Rd . Định nghĩa 1.1.1 ([?]). Cho A, B ∈ KCC (Rd ). Nếu tồn tại C ∈ KCC (Rd ) sao cho A = B + C thì C được gọi là hiệu Hukuhara giữa A và B. Ta ký hiệu C = A B. Định nghĩa 1.1.2 ([?]). Cho A, B là hai tập lồi, compact và khác rỗng của Rd . Khoảng cách Hausdorff từ B đến A được xác định bởi: dH (B, A) = sup inf ||a − b|| b∈B a∈A và khoảng cách Hausdorff từ A đến B được xác định bởi: dH (A, B) = sup inf ||a − b||. a∈A b∈B Định nghĩa 1.1.3 ([?]). Cho A, B ∈ KCC (Rd ). Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B được xác định bởi: D[A, B] = max{dH (B, A), dH (A, B)}. Định lý 1.1.1 ([?]). (KCC (Rd ), D) là không gian mêtric đầy đủ, tách được và compact địa phương. 3 1.1.2 Một số kiến thức cơ bản về giải tích tập Cho [t0 , T] ⊆ R+ . Xét ánh xạ F đi từ [t0 , T] vào KCC (Rd ). Hàm tập (giá trị tập) được hiểu như là một ánh xạ đa trị F : [t0 , T] → KCC (Rd ). Khi đó, F(t) ∈ KCC (Rd ), ∀t ∈ [t0 , T]. Định nghĩa 1.1.4 ([?]). Hàm F đi từ [t0 , T] vào KCC (Rd ) được gọi là liên tục tại t ∈ (t0 , T) nếu với mọi  > 0 tồn tại δ = δ(, t) > 0 sao cho với mọi s ∈ (t0 , T): |t − s| < δ ta có D[F(t), F(s)] < . Hơn nữa, hàm F : [t0 , T] → KCC (Rd ) được gọi là liên tục trên [t0 , T] nếu nó liên tục tại mọi điểm trên [t0 , T]. Ta kí hiệu B([t0 , T]), B(KCC (Rd )) lần lượt là σ− đại số của tập con Borel của [t0 , T] và (KCC (Rd ), D). Định nghĩa 1.1.5 ([?]). Hàm F đi từ [t0 , T] vào KCC (Rd ) được gọi là đo được nếu {t ∈ [t0 , T] : F(t) ∈ B} ∈ B([t0 , T]) với mọi B ∈ B(KCC (Rd )). Định nghĩa 1.1.6 (Đạo hàm Hukuhara của hàm tập, [?]). Cho hàm F : [t0 , T] → KCC (Rd ). Ta nói hàm F(t) khả vi Hukuhara tại điểm t ∈ [t0 , T] nếu tồn tại DH F(t) ∈ KCC (Rd ) sao cho với mọi h > 0 đủ nhỏ, các hiệu Hukuhara F(t + h) F(t), F(t) F(t − h) tồn tại, các giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn: lim+ h→0 F(t + h) F(t) F(t) F(t − h) = lim+ = DH F(t). h→0 h h Định nghĩa 1.1.7 (Đạo hàm Hukuhara tổng quát của hàm tập, [?]). Cho F : (t0 , T) → KCC (Rd ). Ta nói F có đạo hàm Hukuhara tổng quát tại t ∈ (t0 , T) nếu g tồn tại DH F(t) ∈ KCC (Rd ) sao cho (i) với h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara F(t + h) F(t), F(t) F(t − h) tồn tại và lim+ h→0 F(t + h) F(t) F(t) F(t − h) g = lim+ = DH F(t) h→0 h h hoặc (ii) với h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara F(t) F(t + h), F(t − h) F(t) tồn tại và lim+ h→0 F(t) F(t + h) F(t − h) F(t) g = lim+ = DH F(t). h→0 −h −h 1.2 Không gian mêtric mờ Ed 1.2.1 Tập mờ - Số mờ Định nghĩa 1.2.1 (Tập mờ - số mờ, [?]). Ký hiệu Ed = {ω : Rd → [0, 1] sao cho ω thỏa các tính chất (i)-(iv) sau} : 4 (i) ω là chuẩn, nghĩa là tồn tại z0 ∈ Rd sao cho ω(z0 ) = 1; (ii) ω là mờ lồi, nghĩa là ω(λz1 + (1 − λ)z2 ) ≥ min{ω(z1 ), ω(z2 )}, ∀λ ∈ [0, 1], z1 , z2 ∈ Rd ; (iii) ω nửa liên tục trên; (iv) cl{z ∈ Rd : ω(z) > 0} là tập compact. Khi đó, Ed được gọi là họ các tập mờ (không gian các tập mờ trong Rd ) và E1 được gọi là họ các số mờ (không gian các số mờ trong R). Định nghĩa 1.2.2 ([?]). Cho ω ∈ Ed . Với α ∈ (0, 1], ta ký hiệu [ω]α = {u ∈ Rd | ω(u) ≥ α} và [ω]0 = cl{u ∈ Rd | ω(u) > 0}. Khi đó, [ω]α được gọi là là nhát cắt−α của tập mờ ω (hay còn được gọi là tập mức α của tập mờ ω), trong đó [ω]1 là lõi và [ω]0 là giá của tập mờ ω. Định nghĩa 1.2.3 ([?]). Cho ω1 , ω2 ∈ Ed . Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập mờ ω1 và ω1 được xác định như sau: h i D0 [ω1 , ω2 ] = sup D [ω1 ]α , [ω2 ]α , α∈[0,1] với D là khoảng cách Hausdorff trong KCC (Rd ). Định nghĩa 1.2.4 ([?]). Cho hai tập mờ ω1 , ω2 ∈ Ed . Nếu tồn tại ω3 ∈ Ed sao cho ω1 = ω2 + ω3 thì ω3 được gọi là hiệu Hukuhara của ω1 , ω2 . Ta ký hiệu ω3 = ω1 ω2 . Định nghĩa 1.2.5 ([?]). Hiệu Hukuhara tổng quát giữa hai tập mờ u1 , u2 ∈ Ed được định nghĩa như sau  (i) u1 = u2 + u3 , u1 gH u2 = u3 ⇔ hoặc (ii) u = u + (−1)u . 2 1 3 Tiếp theo, để thực hiện sự mở rộng các tập mờ lên không gian vectơ, ở phần sau chúng tôi trình bày một số khái niệm về không gian vectơ của các tập mờ (số mờ). Với bất kỳ ωi ∈ E1 , i = 1, 2, . . . , d (d > 1) ta gọi lớp số mờ một chiều được sắp thứ tự ω1 , ω2 , . . . , ωd (tức là, tích Descartes của những số mờ một chiều ω1 , ω2 , . . . , ωd ) thành một vectơ d chiều, ký hiệu bởi (ω1 , ω2 , . . . , ωd ). Ta gọi tập tất cả vector số mờ d chiều (tức là tích Descartes E1 × E1 × · · · × E1 ) | {z } là không gian vector mờ d chiều, kí hiệu bởi E . d 5 d lần Định nghĩa 1.2.6 ([?]). Nếu ω ∈ Ed (không gian tập mờ trong Rd ) và tập mức d Q [ω]α là một khối hộp, tức là, [ω]α có thể được biểu diễn bởi [ωi (α), ωi (α)], i=1 hay [ω1 (α), ω1 (α)] × [ω2 (α), ω2 (α)] × · · · × [ωd (α), ωd (α)], ∀α ∈ [0, 1], trong đó ωi (α), ωi (α) ∈ R với ωi (α) ≤ ωi (α) với mọi α ∈ (0, 1], i = 1, 2, ..., d, thì ta gọi ω ∈ Ed là một số mờ d−chiều, và ta ký hiệu ω ∈ Ed . Nhận xét 1.2.1 ([?]). Khoảng cách Hausdorff giữa 2 vectơ mờ trong Ed được xác định như trong Định nghĩa 1.2.3. Khi đó, (Ed , D0 ) là không gian mêtric đầy đủ. 1.2.2 Một số kiến thức về giải tích mờ Định nghĩa 1.2.7 ([?]). Cho hàm thực g : Rd × Rd → Rd . Mở rộng của hàm thực g trên Ed × Ed → Ed được xác định bởi công thức  −1    sup−1 min {ω1 (x1 ), ω2 (x2 )} , nếu g (z) , ∅, (x1 ,x2 )∈g (z) ĝ (ω1 , ω2 ) (z) =   0, nếu g−1 (z) = ∅, với z ∈ Rd . Trong đó, g−1 (z) = {(x1 , x2 ) ∈ Rd × Rd : g(x1 , x2 ) = z} có thể khác rỗng (hoặc chứa một điểm hoặc chứa nhiều điểm). Khi đó, ta nói ĝ thu được từ g bằng nguyên lý mở rộng của Zadeh. Nguyên lý này đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết mờ và ứng dụng trong việc nghiên cứu các bài toán mờ. Định nghĩa 1.2.8. Hàm mờ x : (t0 , T) → Ed được gọi là liên tục tại t ∈ (t0 , T) nếu với mọi  > 0 tồn tại δ = δ(t, ) > 0 sao cho với mọi s ∈ (t0 , T) : |t − s| < δ, ta có D0 [x(t), x(s)] < . Nếu x liên tục tại mọi điểm t ∈ (t0 , T) thì ta nói x liên tục trên (t0 , T). Ta ký hiệu C([t0 , T], Ed ) là không gian các hàm mờ liên tục, trong đó C([t0 , T], Ed ) = {x : [t0 , T] → Ed | x liên tục}. Ta thấy C([t0 , T], Ed ) là không gian mêtric đầy đủ ([?]) với metric D∗0 [x, x̂] = sup D0 [x(t), x̂(t)], với mọi x, x̂ ∈ C([t0 , T], Ed ). (1.1) t∈[t0 ,T] Định nghĩa 1.2.9 ([?]). Cho hàm mờ x : (t0 , T) → Ed . Ta nói x có đạo hàm Hukuhara tại t ∈ (t0 , T) nếu tồn tại DH x(t) ∈ Ed sao cho các giới hạn lim+ h→0 x(t) x(t − h) , h lim+ h→0 tồn tại và bằng DH x(t). 6 x(t + h) x(t) h Định nghĩa 1.2.10 ([?]). Cho x : (t0 , T) → Ed và t ∈ (t0 , T). Ta nói x có đạo hàm g Hukuhara tổng quát tại t nếu tồn tại DH x(t) ∈ Ed sao cho (i) với h > 0 đủ nhỏ, những hiệu Hukuhara x(t + h) x(t) và x(t) x(t − h) tồn tại, những giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn: lim+ h→0 x(t + h) x(t) x(t) x(t − h) g = lim+ = DH x(t) h→0 h h hoặc (ii) với h > 0 đủ nhỏ, những hiệu Hukuhara x(t) x(t + h) và x(t − h) x(t) tồn tại, những giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn: lim+ h→0 x(t) x(t + h) x(t − h) x(t) g = lim+ = DH x(t) h→0 −h −h hoặc (iii) với mọi h > 0 đủ nhỏ, những hiệu Hukuhara x (t + h) x(t), x(t−h) x(t) tồn tại, những giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn: lim+ h→0 x (t + h) x(t) x (t − h) x(t) g = lim+ = DH x(t) h→0 h −h hoặc (iv) với mọi h > 0 đủ nhỏ, những hiệu Hukuhara x (t) x(t + h), x(t) x(t − h) tồn tại, những giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn: lim+ h→0 x (t) x(t + h) x (t) x(t − h) g = lim+ = DH x(t). h→0 −h h Để thuận tiện, nếu x khả vi Hukuhara tổng quát loại (i) (hoặc (ii)) thì ta có thể viết gọn là x khả vi-(i)(hoặc (ii)). Định nghĩa 1.2.11 ([?]). Hàm x : [t0 , T] → Ed được gọi là đo được mạnh nếu với mỗi α ∈ [0, 1], hàm xα : [t0 , T] → KCC (Rd ) xác định bởi xα (t) = [x(t)]α là đo được, tức là, tập n o t ∈ [t0 , T] | [x(t)]α ∩ C , ∅ là đo được Lebesgue, với mọi tập lồi, đóng, khác rỗng C ⊂ Rd . Định nghĩa 1.2.12 ([?]). Cho hàm mờ x : [t0 , T] → Ed , tích phân của x trên RT [t0 , T], ký hiệu t x(t)dt, được xác định bởi: 0 Z  T α Z T x(t)dt = [x(t)]α dt t0 t0 Z = cl T  x̃(t)dt | x̃ : [t0 , T] → R là chọn đo được của [x] , d t0 với mọi α ∈ [0, 1]. 7 α 1.2.3 Trường hợp E1 Định nghĩa 1.2.13 ([?]). Cho x : [t0 , T] → E1 . Đường kính (độ rộng) của x là hàm diam([x(·)]α ) : [t0 , T] → R+ được xác định bởi: diam([x(t)]α ) = x(t, α) − x(t, α), trong đó [x(t)]α = [x(t, α), x(t, α)] với mỗi α ∈ [0, 1]. Định nghĩa 1.2.14 ([?]). Tích phân Riemann của hàm mờ x : [a, b] → E1 trên [a, b] là số mờ Ξ nếu với mọi  > 0, tồn tại δ > 0, với bất kỳ phân hoạch a = t0 < t1 < t2 < . . . < td = b mà ti − ti−1 < δ, i = 1, . . . , d và ξi ∈ [ti−1 , ti ] thì D0 d X  x(ξi )(ti − ti−1 ), Ξ < . i=1 Khi đó, x được gọi là khả tích Riemann trên [a, b] và ký hiệu (R) 1.2.4 Rb a x(t)dt = Ξ. Khái niệm về nghiệm bó Khi tiếp cận mô hình hệ động lực mà vế phải là một hàm thực và hệ thống đầu vào là một giá trị thuộc một bó lồi, compact, khác rỗng của Rd (tức là hệ thống đầu vào x0 ∈ H0 ⊂ Rd ), ta thu được đầu ra của hệ thống là một bó hay một tập con lồi compact, khác rỗng của Rd . Cách tiếp cận này có rất lợi ích cho việc nghiên cứu đầu ra của hệ thống vì đầu vào của hệ thống thường không được đo đạt chính xác hay bị nhiễu bởi một vài yếu tố khách quan trong quá trình vận hành của hệ thống. Chẳng hạn, hàm biểu diễn quá trình chuyển đổi của hệ thống là một hàm giá trị tập, hoặc một hàm mờ. Dựa vào cách tiếp cận này, chúng tôi thu được đầu ra dưới dạng nghiệm bó. Ta xét d x(t) = f (t, x(t)), dt x(t0 ) = x0 ∈ H0 ⊂ Rd , (1.2) trong đó t ∈ [t0 , t0 + ζ], H0 là một tập con lồi, compact, khác rỗng của Rd và f : [t0 , t0 + ζ] × Rd → Rd là một hàm giá trị thực. Ta nhận thấy rằng, nghiệm x(·) của (1.2) được biết như một hàm liên tục x : [t0 , t0 + ζ] → Rd thỏa (1.2) ứng với mỗi x0 ∈ H0 . Cho mỗi trạng thái của hệ thống (t, x) ∈ [t0 , t0 + ζ] × Rd thì đạo hàm được biết như là đạo hàm thông thường trong cổ điển cho hàm thực. Nghiệm của bài toán (1.2) được biểu diễn dưới dạng tập hoặc bó: X = {x : [t0 , t0 + ζ] → Rd | x(·) là nghiệm của bài toán (1.2) ứng với mỗi x0 ∈ H0 }. Khi đó, nghiệm bó của bài toán (1.2) tại t ∈ [t0 , t0 + ζ] có thể được định nghĩa lại như sau: Ht,x = {x(t, t0 , x0 ) | x(·) ∈ X}. 8 Tuy nhiên, có thể được mở rộng với lớp bài toán mà hàm vế phải f của (1.2) là một hàm mờ. Hay ta xét bài toán (1.2) với vế phải là một hàm mờ, tức là f : [t0 , t0 + ζ] × Ed → Ed và đầu vào hệ thống là những tập mờ. Khi đó, nghiệm của hệ thống (1.2) với vế phải là một hàm mờ được xác định bởi x : [t0 , t0 + ζ] → Ed , trong đó Ed là không gian của những tập con mờ trên Rd với tập mức là những tập lồi, compact, khác rỗng. Hiện nay, với cách tiếp cận cho bài toán dạng này, ta gọi nó là bài toán nghiệm bó mờ và có ít nhất hai cách tiếp cận để xây dựng nghiệm mờ cho bài toán này. Đầu tiên là nghiên cứu bài toán nghiệm bó mờ dưới đạo hàm Hukuhara và cách tiếp cận thứ hai là dựa vào đạo hàm Hukuhara tổng quát. Bằng hai cách tiếp cận trên chúng tôi xây dựng được bài toán sau g DH x(t) = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 ∈ Ed , (1.3) trong đó Ed là một tập mờ và f : [t0 , t0 + ζ] × Ed → Ed là một hàm mờ. Trong bài toán (1.3) của chúng tôi, có thể sử dụng nguyên lý mở rộng của Zadeh cho những hàm mờ vào trong hệ động lực (1.3) thì nghiệm của hệ thống đầu ra vẫn là một tập con lồi, compact khác rỗng của Rd . Trong bài toán này chúng tôi gọi nghiệm của bài toán này là nghiệm bó dưới dạng mờ. Chúng ta xét hai bài toán sau đây để làm rõ kết quả đầu ra của hệ thống (1.2) và (1.3). Ví dụ 1.2.1. Xét bài toán giá trị đầu dạng bó: d x(t) = −λx(t), dt x(t0 ) = x0 ∈ H0 = [H0 , H0 ] ⊂ R, (1.4) trong đó x : [t0 , T] → R và λ > 0. Nghiệm của bài toán (1.4) được cho bởi dạng tập (hay bó) như sau Ht,x = {x(t) = x(t, t0 , x0 ) : x(t) = x0 e−λt , x0 ∈ [H0 , H0 ]}. Ta có thể biểu diễn nghiệm bó trên tại thời điểm t dưới dạng Ht,x = [H0 e−λt , H0 e−λt ] = H0 e−λt . Trong các chương tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu một số lớp bài toán liên quan đến phương trình vi phân mờ: phương trình vi phân mờ có chậm và phương trình vi phân bó mờ. Một số kết quả về đánh giá tính chất định tính và phương pháp giải cho một số lớp bài toán nghiệm bó mờ được nghiên cứu. Tính chất tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán điều khiển nghiệm bó mờ dưới sự tham gia của điều khiển mờ cũng được trình bày. 9 Chương 2 Bài toán nghiệm bó mờ 2.1 2.1.1 Bài toán giá trị đầu dạng mờ Bài toán nghiệm bó mờ Xét bài toán giá trị đầu dạng mờ: g DH x(t) = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 ∈ Ed , (2.1) trong đó f : [t0 , t0 + ζ] × Ed → Ed . Định nghĩa 2.1.1. Cho hàm mờ x : [t0 , t0 + ζ] → Ed khả vi loại (i) (loại (ii)). g Nếu x và đạo hàm DH x thỏa mãn bài toán (2.1) thì ta nói x là nghiệm loại (i) (loại (ii)) của bài toán (2.1). Nghiệm x của (2.1) là duy nhất nếu thỏa mãn D0 [x(t), x̂(t)] = 0, với x̂ : [t0 , t0 + ζ] → Ed là một nghiệm bất kỳ khác của bài toán (2.1). Định nghĩa 2.1.2. Cho α ∈ [0, 1]. Nghiệm bó mờ của bài toán (2.1) dưới đạo hàm Hukuhara tổng quát tại thời điểm t ∈ [t0 , t0 + ζ] là tập (i) Ht,x " #α Zt f (s, x(s))ds , = [x(t)] = x0 + α t0 trong đó x(t) là một nghiệm của bài toán (2.1) và khả vi loại (i); hoặc (ii) Ht,x " #α Zt α = [x(t)] = x0 (−1) f (s, x(s))ds , t0 trong đó x(t) là một nghiệm của bài toán (2.1) và khả vi loại (ii). 10 Tồn tại và duy nhất nghiệm bó mờ. Cho B(x0 , ρ) = {z ∈ Ed : D0 [z, x0 ]) ≤ ρ}, ρ > 0. Định lý 2.1.1. Giả sử các điều kiện sau đây thỏa mãn: (i) Hàm f : [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ) → Ed liên tục, tồn tại M1 > 0 sao cho D0 [ f (t, z), 0̂] ≤ M1 , ∀(t, z) ∈ [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ); (ii) Hàm g ∈ C([t0 , t0 + ζ] × [0, ρ], R+ ), g(t, 0) ≡ 0, tồn tại M2 > 0 sao cho 0 ≤ g(t, k) ≤ M2 , ∀t ∈ [t0 , t0 + ζ], 0 ≤ k ≤ ρ, g(t, k) không giảm theo k và bài toán giá trị đầu thực dk = g(t, k(t)), k(t0 ) = 0 dt (2.2) chỉ có nghiệm k(t) ≡ 0 trên [t0 , t0 + ζ]; (iii) D0 [ f (t, x1 ), f (t, x2 )] ≤ g(t, D0 [x1 , x2 ]), ∀(t, x1 ), (t, x2 ) ∈ [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ), tồn tại M3 > 0 sao cho D0 [x1 , x2 ] ≤ M3 ; (iv) Tồn tại q > 0 sao cho với mọi t ∈ [t0 , t0 + q], dãy e xm : [t0 , t0 + q] → Ed sau đây Zt e x0 (t) = x0 , e xm+1 (t) = x0 (−1) f (s, e xm (s))ds t0 được xác định hợp cách (nghĩa là hiệu Hukuhara trước đó tồn tại) với bất kỳ m ∈ N. Khi đó, bài toán (2.1) có nghiệm duy nhất cho mỗi loại khả vi (loại (i) và loại (ii)) b x, e x : [t0 , t0 + r] → B(x0 , ρ), trong đó r = min{ζ, q, ρ/M1 , ρ/M2 } và những dãy Zt b x0 (t) = x0 , b xm+1 (t) = x0 + f (s, b xm (s))ds, t ∈ [t0 , t0 + ζ], (2.3) t0 cho trường hợp khả vi loại (i), Zt e x0 (t) = x0 , e xm+1 (t) = x0 (−1)
f s, e xm (s) ds, t ∈ [t0 , t0 + q], t0 cho trường hợp khả vi loại (ii), hội tụ lần lượt về nghiệm b x(t), e x(t). 11 (2.4) Giải bài toán nghiệm bó mờ. Xét bài toán giá trị đầu dạng mờ g DH x(t) = f (t, x(t)), x(0) = x0 ∈ E1 , (2.5) trong đó f : [0, b] × E1 → E1 . Cho [x(t)]α = [x(t, α), x(t, α)]. Bằng việc sử dụng nguyên lý mở rộng của Zadeh, chúng ta thu được [ f (t, x(t))]α = [ f (t, α, x(t, α), x(t, α)), f (t, α, x(t, α), x(t, α))], với α ∈ [0, 1]. h i g 0 Trường hợp 1. Nếu x(t) khả vi loại (i) thì [DH x(t)]α = x0 (t, α), x (t, α) . Khi đó bài toán (2.5) được chuyển thành hệ phương trình vi phân thường sau:  0    x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α)), x(0, α) = x0 , (2.6)    x0 (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α)), x(0, α) = x0 . i h 0 g 0 α Trường hợp 2. Nếu x(t) khả vi loại (ii) thì [DH x(t)] = x (t, α), x (t, α) . Khi đó bài toán (2.5) được chuyển thành hệ phương trình vi phân thường sau:  0    x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α)), x(0, α) = x0 , (2.7)    x0 (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α)), x(0, α) = x0 . 2.1.2 Bài toán nghiệm bó tập mờ Xét bài toán giá trị đầu dạng tập mờ dưới đạo hàm Hukuhara tổng quát: g DH x(t) = f (t, x(t)), x(t) = x0 ∈ H0 ⊂ Ed , (2.8) trong đó f ∈ C([t0 , t0 + ζ] × Ed , Ed ), t ∈ [t0 , t0 + ζ]. Định nghĩa 2.1.3. Nghiệm bó tập mờ của (2.8) tại thời điểm t ∈ [t0 , t0 + ζ] dưới đạo hàm Hukuhara tổng quát là tập (i) Ht,x ( ) Zt = x(t) = x0 + f (s, x(s))ds : x0 ∈ H0 , t0 trong đó x(t) khả vi loại (i) và là nghiệm của (2.8) với mỗi x0 ∈ H0 ; hoặc ( ) Zt (ii) Ht,x = x(t) = x0 (−1) f (s, x(s))ds : x0 ∈ H0 , t0 trong đó x(t) khả vi loại (ii) và là nghiệm của (2.8) với mỗi x0 ∈ H0 . 12 Định lý 2.1.2. Giả sử các điều kiện sau đây thỏa mãn: (i) Hàm f : [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ) → Ed liên tục, tồn tại M0 > 0 sao cho D0 [ f (t, z), 0̂] ≤ M0 , ∀(t, z) ∈ [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ); (ii) Tồn tại L0 > 0 sao cho với mọi x, y ∈ B(x0 , ρ), ta có D0 [ f (t, x), f (t, y)] ≤ L0 D0 [x, y]; (iii) Tồn tại q > 0 sao cho với mọi t ∈ [t0 , t0 + q], dãy e xm : [t0 , t0 + q] → Ed sau đây Zt e x0 (t) = x0 , e xm+1 (t) = x0 (−1) f (s, e xm (s))ds t0 được xác định hợp cách (nghĩa là hiệu Hukuhara trước đó tồn tại) với bất kỳ m ∈ N. Khi đó, bài toán (2.8) có duy nhất nghiệm bó tập mờ loại (i) (tương ứng loại (ii)) trên [t0 , t0 + r], trong đó r = min{ζ, q, ρ/M0 , 1/L0 }. 2.2 2.2.1 Bài toán giá trị đầu dạng mờ có chậm Bài toán nghiệm bó mờ có chậm Cho σ > 0, ta gọi Cσ = C([−σ, 0], Ed ) là không gian của những ánh xạ mờ liên tục từ [−σ, 0] vào trong Ed . Khoảng cách Dσ trong không gian Cσ được định nghĩa bởi     Dσ x, y = sup D0 x(t), y(t) . t∈[−σ,0] Cho ζ > 0, ta xét các khoảng [t0 , t0 + ζ], [t0 − σ, t0 ] ∪ [t0 , t0 + ζ] = [t0 − σ, t0 + ζ]. Với mỗi t ∈ [t0 , t0 + ζ], phần tử xt của Cσ được định nghĩa bởi xt (s) = x(t + s), s ∈ [−σ, 0]. Xét bài toán giá trị đầu dạng bó mờ có chậm: ( g DH x(t) = f (t, xt ), t ≥ t0 , x(t) = ϕ(t − t0 ) = ϕ0 ∈ Cσ , t0 − σ ≤ t ≤ t0 , g (2.9) trong đó f : [t0 , t0 + ζ] × Cσ → Ed , ϕ ∈ Cσ và DH x(t) là đạo hàm Hukuhara tổng quát của x(t). Nghiệm của (2.9) là ánh xạ mờ x ∈ C([t0 − σ, t0 + ζ], Ed ) thỏa mãn x(t) = ϕ(t − t0 ) với t ∈ [t0 − σ, t0 ]; x khả vi trên [t0 , t0 + ζ] và g DH x(t) = f (t, xt ), t ∈ [t0 , t0 + ζ]. 13 Định nghĩa 2.2.1. Cho hàm mờ x : [t0 − σ, t0 + ζ] → Ed khả vi-(i) (khả vi-(ii)). g Nếu x và DH x thỏa mãn (2.9) thì ta nói x là nghiệm loại (i) (loại (ii)) của (2.9). Chú ý 2.2.1. Dựa vào nguyên lý mở rộng của Zadeh, ta có thể định nghĩa nghiệm của bài toán (2.9) dưới dạng phân lớp α ∈ [0, 1]. Khi đó, nghiệm được biểu diễn dưới dạng phân lớp được gọi là nghiệm bó mờ của bài toán (2.9). Cho α ∈ [0, 1], nghiệm bó mờ của bài toán (2.9) dưới đạo hàm Hukuhara tổng quát tại thời điểm t ∈ [t0 , t0 + ζ] là tập  Rt     [ϕ(0) + f (s, xs )ds]α , t ∈ [t0 , t0 + ζ], (i) Ht,x = [x(t)]α =    [ϕ(t − t t0)]α , t ∈ [t − σ, t ], 0 0 0 trong đó x(t) là nghiệm của bài toán (2.9) và khả vi-(i); hoặc  Rt     [ϕ(0) (−1) f (s, xs )ds]α , t ∈ [t0 , t0 + ζ], (ii) , Ht,x = [x(t)]α =    [ϕ(t − t )]α , t0 t ∈ [t − σ, t ], 0 0 0 trong đó x(t) là nghiệm của bài toán (2.9) và khả vi-(ii). (i) (ii) Ta thấy rằng nghiệm bó mờ Ht,x và Ht,x của bài toán (2.9) là hai tập con lồi, compact và khác rỗng của Rd . Bài toán (2.9) cùng với nghiệm bó của nó được gọi là bài toán nghiệm bó mờ có chậm. Tồn tại và duy nhất nghiệm bó mờ có chậm. ∗ Nghiệm địa phương. Định lý 2.2.1. Cho m ∈ C([t0 − σ, ∞), R) và thỏa mãn bất đẳng thức D+ m(t) ≤ g(t, |mt |σ ), t > t0 , trong đó g ∈ C([t0 , ∞) × R+ , R+ ) và |mt |σ = sup |m(t + s)|, s ∈ [−σ, 0]. t∈[−σ,0] Giả sử rằng r(t) = r(t, t0 , u0 ) là nghiệm cực đại của bài toán giá trị đầu thực d u = g(t, u), u(t0 ) = u0 ≥ 0, dt trên [t0 , ∞). Khi đó, nếu |mt0 |σ ≤ u0 thì m(t) ≤ r(t), t ∈ [t0 , ∞). 14 (2.10) Cho ρ là hằng số dương, Ω(x0 , ρ) = {x ∈ Ed : D0 [x, x0 ] ≤ ρ} và S(x0 , ρ) = {ξ ∈ Cσ : Dσ [ξ, x0 ] ≤ ρ}. Ta xét các ánh xạ f : [t0 , t0 + ζ] × S(x0 , ρ) → Ed , g : [t0 , t0 + ζ] × [0, ρ] → R+ , trong đó ( ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ] , x0 (t) = ϕ(0), t ∈ [t0 , t0 + ζ]. Định lý 2.2.2. Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn: (i) f ∈ C([t0 , t0 + ζ] × S(x0 , ρ), Ed ), tồn tại M5 > 0 sao cho D0 [ f (t, ξ), 0̂] ≤ M5 , ∀(t, ξ) ∈ [t0 , t0 + ζ] × S(x0 , ρ); (ii) g ∈ C([t0 , t0 + ζ] × [0, ρ], R+ ), g(t, 0) ≡ 0, tồn tại M6 > 0 sao cho 0 ≤ g(t, u) ≤ M6 , ∀t ∈ [t0 , t0 + ζ], 0 ≤ u ≤ ρ và g(t, u) là hàm không giảm theo u và bài toán giá trị đầu du = g(t, u(t)), u(t0 ) = 0 dt (2.11) có nghiệm thực duy nhất u(t) ≡ 0 trên [t0 , t0 + ζ]; (iii) D0 [ f (t, ξ), f (t, ψ)] ≤ g(t, Dσ [ξ, ψ]), ∀(t, ξ), (t, ψ) ∈ [t0 , t0 + ζ] × S(x0 , ρ) và tồn tại M7 > 0 sao cho Dσ [ξ, ψ] ≤ M7 . Khi đó, những dãy xấp xỉ cho bởi   ( ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ] ,    [t ] ϕ(t − t ), t ∈ − σ, t ,  t 0 0 0 R
b b x0 (t) = xn+1 (t) =   ϕ(0) + f s, b xns ds, t ∈ [t0 , t0 + ζ], ϕ(0), t ∈ [t0 , t0 + ζ],    t0 (2.12) (n = 0, 1, 2, . . .) cho trường hợp khả vi loại (i);   ( ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ] ,    ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ] ,  t 0 n+1 R
e e x (t) = x (t) =  n  e ϕ(0) (−1) f s, x ds, t ∈ [t0 , t0 + η], ϕ(0), t ∈ [t0 , t0 + η],  s   t0 (2.13) (n = 0, 1, 2, . . .) cho trường hợp khả vi loại (ii) (trong đó η > 0 sao cho dãy xấp xỉ (2.13) được xác định hợp cách), lần lượt hội tụ đều về nghiệm b x(t), e x(t) của (2.9) trên [t0 , t0 + r], với r = min{ζ, ρ/M5 , ρ/M6 , η}. 15 ∗ Nghiệm toàn cục. Cho hằng số B > 0, ký hiệu S(B) = {ξ ∈ Cσ : Dσ [ξ, 0̂] ≤ B} và Ω(B) = {x ∈ d E : D0 [x, 0̂] ≤ B}. Định lý 2.2.3. Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn: (i) f ∈ C(R+ ×Cσ , Ed ), f bị chặn trên các tập bị chặn và tồn tại nghiệm địa phương loại (i) hoặc loại (ii) của (2.9) với mỗi (t0 , ϕ0 ) ∈ R+ × Cσ ; (ii) hàm V ∈ C([−σ, +∞) × Ω(B) × S(B), R+ ), tồn tại L1 > 0 sao cho |V(t, y, ξ) − V(t, z, ξ)| ≤ L1 .D0 [y, z], ∀(t, y, ξ), (t, z, ξ) ∈ R+ × Ω(B) × S(B), V(t, y, ξ) → +∞ đều trên [t0 , t0 + ζ] khi D0 [y(t), 0̂] → +∞ và với mọi t > t0 , y ∈ Ω(B), ξ ∈ S(B), đạo hàm Dini của V thỏa mãn
i
1h D V t, y, ξ ≡ lim+ sup V(t + h, y + h f (t, yt ), yt+h ) − V t, y, yt h→0 h

≤ g t, V t, y, ξ , + cho trường hợp x khả vi loại (i),


1 D+ V t, y, ξ ≡ lim+ sup V t + h, y (−1)h f (t, yt ), yt+h − V t, y, yt h→0 h

≤ g t, V t, y, ξ , cho trường hợp x khả vi loại (ii), trong đó g ∈ C(R+ × R+ , R); (iii) nghiệm cực đại r(t) = r(t, t0 , u0 ) của bài toán du = g(t, u(t)), u(t0 ) = u0 ≥ 0 dt (2.14) tồn tại trên [t0 , ∞) và r(t) > 0 nếu u0 > 0. Khi đó, với mỗi (ϕ(0), ϕ0 ) ∈ Ω(B) × S(B) thỏa mãn V(t0 , ϕ(0), ϕ0 ) ≤ u0 , bài toán (2.9) có nghiệm toàn cục loại (i) hoặc loại (ii) x(t0 , ϕ0 )(t) tương ứng trên [t0 , +∞) và thỏa mãn đánh giá V(t, x(t0 , ϕ0 )(t), xt (t0 , ϕ0 )) ≤ r(t, t0 , u0 ), t ≥ t0 . (2.15) Tính ổn định của nghiệm bó mờ có chậm. Định nghĩa 2.2.2. Nghiệm tầm thường x = 0̂ của bài toán (2.9) được gọi là (S1) ổn định, nếu với bất kỳ ε > 0 và t0 ∈ R, tồn tại một hàm dương δ = δ(t0 , ε) liên tục theo t0 với mỗi ε sao cho nếu Dσ [ϕ0 , 0̂] < δ thì D0 [x(t0 , ϕ0 )(t), 0̂] < ε, t ≥ t0 ; (S2) ổn định đều, nếu δ trong (S1) không phụ thuộc t0 ; 16 Định lý 2.2.4. Giả sử những điều kiện sau đây được thỏa mãn: (i) V ∈ C([−σ, +∞) × Ω(B) × S(B), R+ ), tồn tại L3 > 0 sao cho |V(t, y, ξ) − V(t, z, ξ)| ≤ L3 .D0 [y, z], ∀(t, y, ξ), (t, z, ξ) ∈ R+ × Ω(B) × S(B);
(ii) với t > t0 , (x, ξ) ∈ Ω(B) × S(B) thì D+ V t, y, ξ ≤ 0; (iii) b(D0 [x(t0 , ϕ0 )(t), 0̂]) ≤ V(t, x, ξ) ≤ a(D0 [x(t0 , ϕ0 )(t), 0̂]), trong đó (t, x, ξ) ∈ [t0 , +∞) × Ω(B) × S(B), b, a ∈ K . Khi đó, nghiệm tầm thường của bài toán (2.9) là ổn định đều. 2.2.2 Bài toán nghiệm bó tập mờ có chậm Xét bài toán giá trị đầu dạng bó tập mờ dưới đạo hàm Hukuhara tổng quát: ( g DH x(t) = f (t, xt ), t ≥ t0 , (2.16) x(t) = ϕ(t − t0 ) = ϕ0 ∈ H0 , t0 ≥ t ≥ t0 − σ, trong đó f ∈ C[[t0 , t0 + ζ] × Cσ , Ed ], H0 ⊂ Cσ . Định nghĩa 2.2.3. Nghiệm bó tập mờ có chậm của (2.16) tại thời điểm t ∈ [t0 , t0 + ζ] dưới đạo hàm Hukuhara tổng quát là tập   x (t) = ϕ (t − t0 ) ∈ H0 , t ∈ [t0 − σ, t0 ]       t   (i) R , (2.17) Ht,bx =     b b (0) x (t) = ϕ + f (s, x (s))ds, t ∈ [t , t + ζ]   0 0   t0 trong đó x(t) khả vi loại (i) và là nghiệm của (2.16) với mỗi ϕ(t − t0 ) ∈ H0 ⊂ Cσ ; hoặc   x (t) = ϕ (t − t0 ) ∈ H0 , t ∈ [t0 − σ, t0 ]       t   (ii) R . (2.18) Ht,ex =     e e (0) x (t) = ϕ (−1) f (s, x (s))ds, t ∈ [t , t + ζ]   0 0   t0 trong đó x(t) khả vi loại (ii) và là nghiệm của (2.16) với mỗi ϕ(t−t0 ) ∈ H0 ⊂ Cσ . 17 Chương 3 Một số bài toán điều khiển nghiệm bó mờ 3.1 Bài toán điều khiển nghiệm bó mờ Xét bài toán điều khiển nghiệm bó mờ: g DH x(t) = f (t, x(t), u(t)), x(t0 ) = x0 ∈ Ed , (3.1) trong đó f : [t0 , t0 + ζ] × Ed × Ep → Ed và điều khiển mờ u(t) ∈ Ep . Định nghĩa 3.1.1. Cho x : [t0 , t0 + ζ] → Ed là hàm mờ khả vi khả vi loại (i) g (hoặc loại (ii)) trên [t0 , t0 + ζ]. Nếu x và DH x thỏa mãn (3.1) thì ta nói x là nghiệm loại (i) (hoặc loại (ii)) của (3.1). Nghiệm x của (3.1) là duy nhất nếu D0 [x(t), x̂(t)] = 0, với x̂ : [t0 , t0 + ζ] → Ed là nghiệm bất kỳ của bài toán (3.1). Định nghĩa 3.1.2. Cho α ∈ [0, 1]. Nghiệm bó mờ của bài toán (3.1) dưới đạo hàm Hukuhara tổng quát tại thời điểm t ∈ [t0 , t0 + ζ] là tập t (i) Ht,x,u Z h iα α = [x(t)] = x0 + f (s, x(s), u(s))ds , t0 trong đó x(t) là một nghiệm của bài toán (3.1) và khả vi loại (i); hoặc t (ii) Ht,x,u Z h iα α = [x(t)] = x0 (−1) f (s, x(s), u(s))ds , t0 trong đó x(t) là một nghiệm của bài toán (3.1) và khả vi loại (ii). Định nghĩa 3.1.3. Hàm u : [t0 , t0 + ζ] → Ep được gọi là hàm điều khiển chấp nhận được nếu u(t) là hàm đo được. 18 3.1.1 Bài toán điều khiển được Định nghĩa 3.1.4 (Điều khiển được). Cho hai trạng thái x0 , x1 ∈ Ed . Cặp (x0 , x1 ) được gọi là điều khiển được nếu tồn tại điều khiển u(t) ∈ Ep sao cho sau khoảng thời gian t1 ∈ [t0 , T] nghiệm x(t) của bài toán (3.1) thỏa mãn điều kiện: x(t1 ) = x(t0 , x0 , t1 , x(t1 )) = x1 . (3.2) Khi đó, bài toán (3.1) được gọi là điều khiển được theo u(t). Tiếp theo, ta xét bài toán (3.1) dưới những giả thiết sau: (A1) f : [t0 , t0 + ζ] × Ed × Ep → Ed liên tục. (A2) Tồn tại L5 > 0 sao cho D0 [ f (t, x1 , u1 ), f (t, x2 , u2 )] ≤ L5 .(D0 [x1 , x2 ] + D0 [u1 , u2 ]), với mọi x1 , x2 ∈ Ed , u1 , u2 ∈ Ep và t ∈ [t0 , t0 + ζ]. (A3) X(ii) là tập khác rỗng, nghĩa là tồn tại x ∈ C([t0 , t0 + ζ], Ed ) sao cho hiệu Rt Hukuhara x0 (−1) f (s, x(s), u(s))ds tồn tại với mọi t ∈ [t0 , t0 + ζ]. t0 (A4) Nếu x ∈ C([t0 , t0 + ζ], Ed ) sao cho hiệu Hukuhara Zt f (s, x(s), u(s))ds tồn tại với mọi t ∈ [t0 , t0 + ζ], x0 (−1) t0 thì hiệu Hukuhara Zt f (s, (Px)(s), u(s))ds tồn tại với mọi t ∈ [t0 , t0 + ζ]. x0 (−1) t0 Định nghĩa toán tử T : X(i) → {x | x : [t0 , t0 + ζ] → Ed } : Zt f (s, x(s), u(s))ds, t ∈ [t0 , t0 + ζ] (Tx)(t) = x0 + (3.3) t0 và dãy xấp xỉ liên tiếp (xm )m∈N ⊂ X(i) được cho bởi: x0 (t) = x0 và xm (t) = (Txm−1 )(t), t ∈ [t0 , t0 + ζ]. Trong giả thiết (A4), xét ánh xạ P : X(ii) → {x | x : [t0 , t0 + ζ] → Ed } xác định bởi: Zt (Px)(t) = x0 (−1) f (s, x(s), u(s))ds, t ∈ [t0 , t0 + ζ], t0 và dãy xấp xỉ (xm )m∈N ⊂ X(ii) được cho bởi: x0 (t) = x0 và xm (t) = (Pxm−1 )(t), t ∈ [t0 , t0 + ζ]. 19 (3.4) Định lý 3.1.1. Cho u ∈ C([t0 , t0 + ζ], Ep ) là điều khiển chấp nhận được. Giả sử rằng những giả thiết (A1)-(A4) thỏa. Hơn nữa, nếu C = L5 .ζ < 1 thì (i) bài toán (3.1) có duy nhất nghiệm bó mờ loại (i) (nghiệm bó mờ loại (ii)) xác định trên [t0 , t0 + ζ]. (ii) nghiệm bó mờ loại (i) (nghiệm bó mờ loại (ii)) của bài toán (3.1) bị chặn và liên tục Lipschitz. 3.1.2 Bài toán điều khiển ngược Định nghĩa 3.1.5. Hàm điều khiển chấp nhận được u(t) ∈ Ep được gọi là điều khiển ngược của bài toán (3.1) nếu u(t) phụ thuộc vào trạng thái mờ x(t) của bài toán (3.1) và có dạng u(t) = h(t, x(t)), trong đó h : [t0 , ∞) × Ed → Ep . Cho hàm mờ h : [t0 , ∞) × Ed → Ep . Ta xét bài toán (3.1) với các giả thiết sau: (U1) Hàm h : [t0 , t0 + ζ] × Ed → Ep liên tục. (U2) Tồn tại Lu > 0 sao cho D0 [h(t, x1 ), h(t, x2 )] ≤ Lu D0 [x1 , x2 ], với mọi x1 , x2 ∈ Ed và t ≥ t0 . (U3) Tồn tại Ku > 0 sao cho D0 [h(t, x1 ), 0̂] ≤ Ku , với mọi t ≥ t0 . Định lý 3.1.2. Cho u(t) = h(t, x(t)) là điều khiển ngược, trong đó h : [t0 , ∞) × Ed → Ep và h(t, 0̂) = 0̂. Giả sử rằng hàm f thỏa mãn các giả thiết (A1)-(A4), h thỏa mãn các giả thiết (U1)-(U3) và 2 max{L5 , Lu } ζ < 1. Khi đó, bài toán (3.1) có nghiệm duy nhất loại (i) (loại (ii)) xác định trên [t0 , t0 + ζ]. 3.1.3 Thuật toán giải g DH x(t) = f (t, x(t), u(t)), x(0) = x0 ∈ E1 , (3.5) trong đó f : [0, b]×E1 ×E1 → E1 . Cho [x(t)]α = [x(t, α), x(t, α)]. Sử dụng nguyên lý mở rộng của Zadeh, ta thu được [ f (t, x(t), u(t))]α = [ f (t, α, x1 , x2 , u1 , u2 ), f (t, α, x1 , x2 , u1 , u2 )], trong đó f (t, α, x1 , x2 , u1 , u2 ) = f (t, α, x(t, α), x(t, α), u(t, α), u(t, α)), f (t, α, x1 , x2 , u1 , u2 ) = f (t, α, x(t, α), x(t, α), u(t, α), u(t, α)), với α ∈ [0, 1]. Phương pháp giải sau tương tự như cách thức trong các mục 2.1 và mục 2.2. Dựa vào hai loại khả vi của hàm mờ, ta có hai trường hợp sau: 20