Tài liệu Phân loại dạng và phương pháp giải nhanh hình học không gian chuyên đề hình chóp

PHÂN LOẠI DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH TẬP 01 HÌNH CHÓP Biên Hòa – Ngày 10 tháng 07 năm 2017 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP Phần 01 : HÌNH CHÓP – KHỐI CHÓP 1. Định nghĩa : Cho đa giác A1 A2 An và điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó . Hình gồm n tam giác và đa giác A1 A2 An là hình chóp S. A1 A2 An . • Tứ diện là hình chóp tam giác . S • Tứ diện đều là hình chóp tam giác có tất cả các cạnh bằng nhau h + Thể tích khối chóp C A S là diện tích đa giác đáy, H h : là đường cao của hình chóp B Ví dụ : (Trích đề minh họa lần 3 – BGD-ĐT): Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt . A. 6 . B. 10 . C. 12 . D. 11 . 2. Hình chóp đều : S • Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau . • Hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và đường cao của nó qua tâm của đáy A ( tâm đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp ) • Hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau . D B O C Gv cần file word xin liên hệ trực tiếp qua zalo – facebook – sđt : 0914449230 1 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT Hình chóp tam giác đều S Hình chóp tam giác đều:  Đáy là tam giác đều  Các mặt bên là những tam giác cân Đặc biệt: Hình tứ diện đều có: A   Đáy là tam giác đều Cách vẽ:  Vẽ đáy ABC C H  Các mặt bên là những tam giác đều  Dựng trọng tâm H h  I B  Vẽ trung tuyến AI  Vẽ SH  (ABC) S  Ta có: SH là chiều cao của hình chóp  Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH   .  Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH   Hình chóp tứ giác đều A D Hình chóp tứ giác đều:   Đáy là hình vuông  Các mặt bên là những tam giác cân  I H B C Cách vẽ: Gv cần file word xin liên hệ trực tiếp qua zalo – facebook – sđt : 0914449230  Vẽ đáy ABCD  Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC & BD S  Vẽ SH  (ABCD)  Ta có:  SH là chiều cao của hình chóp  Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SAH   .  Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH    A  C B 2 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy S Loại 1 : đáy là tam giác ABC  SA  (ABC)  Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA    A   Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA   D  B C Loại 2 : đáy là hình vuông ABCC  SA  (ABCD)  Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA    Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA   S  Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: SDA   B' TỈ SỐ THỂ TÍCH C' A' C S A M B C M  SC, ta có : A B TỔNG HỢP LẠI MỘT SỐ HÌNH CƠ BẢN HAY GẶP TRONG ĐỀ THI (SƢU TẦM) HÌNH 1 Hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy  Đáy là tam giác ABC .  Đường cao SA . S  Cạnh bên SB, SC, SA .  SAB, SAC là các tam giác vuông tại A . C A  Góc giữa cạnh SB với đáy ABC là góc SBA .  Góc giữa cạnh SC với đáy ABC là góc SCA . B 3 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP Ví dụ minh họa Hình 1 : Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc mới mặt phẳng  ABC  , AC  AD  4a , AB  3a , BC  5a . Thể tích khối tứ diện ABCD là A. 4a3 . C. 8a 3 . B. 3a 3 . D. 6a 3 . Hƣớng dẫn giải :Ta có BC 2  25a2  16a2  9a2  AC 2  AB2 nên ABC vuông tại A . S ABC  1 1 AB. AC  .3a.4a  6a 2 . 2 2 1 1 Vậy VABCD  . AD.S ABC  .4a.6a 2  8a3 . Chọn C 3 3 Tài liệu đƣợc sƣu tầm từ nhiều nguồn để phục vụ cho học sinh Gv cần file word xin liên hệ trực tiếp qua zalo – facebook – sđt : 0914449230 HÌNH 2 Hình chóp tam giác đều S.ABC S  Đáy là tam giác đều ABC .  Đường cao SG , với G là trọng tâm tam giác ABC .  Cạnh bên SA, SB, SC hợp với đáy một góc bằng nhau. A C  Góc giữa cạnh bên với đáy bằng SAG (hoặc SCG, SBG ).  Mặt bên SAB, SBC, SCA hợp với đáy một góc bằng nhau. G M B  Góc giữa mặt bên với đáy là góc SMG . Ví dụ minh họa Hình 2 : Cho hình chóp đều S. ABC có SA  2a ; AB  a . Thể tích khối chóp S. ABC là. a3 a3 3 a 3 11 a 3 11 A. . B. . C. . D. . 12 4 12 12 Hƣớng dẫn giải : Gọi I là trung điểm của BC , O là trọng tâm tam giác ABC . Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên S ABC  3 2 a . 4 4 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP AI  2 3 3 a ; AO  AI  a. 3 2 3 Xét tam giác SAO vuông tại O có SO  SA2  AO 2  4a 2  a2 33  a. 3 3 1 1 33 3 2 11 3 Vậy thể tích khối chóp S. ABC là VS . ABC  SO.S ABC  . a. a  a . 3 3 3 4 12 Chọn C HÌNH 3 Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật (hoặc hình vuông) và SA vuông góc với đáy S  Đáy là hình chữ nhật (hình vuông) ABCD .  Đường cao SA .  Cạnh bên SB, SC, SD, SA . A B  SAB, SAC, SAD là các tam giác vuông tại A .  Góc giữa cạnh SB với đáy ABCD là góc SBA . D C  Góc giữa cạnh SC với đáy ABCD là góc SCA .  Góc giữa cạnh SD với đáy ABCD là góc SDA . Ví dụ minh họa Hình 3 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 450 và SC  2a 2 . Thể tích khối chóp S. ABCD bằng: A. a3 . 3 B. 2a 3 . 3 C. 2a 3 3 . 3 D. a3 3 . 3 Hƣớng dẫn giải : Vì SA   ABCD  suy ra AC là hình chiếu vuông góc của SC lên  ABCD    SC,  ABCD    SCA  45o . SAC vuông tại A có: SA  AC  SC.sin 45o  2 2a. 2  2a . 2 ABC vuông tại B có: BC  AC 2  AB2  4a 2  a 2  3a . 5 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP S ABCD  AB.BC  a.a 3  3a 2 . 1 1 2 3 3 Vậy VS . ABCD  SA.S ABCD  .2a. 3a 2  a . Chọn C 3 3 3 HÌNH 4 Hình chóp tứ giác đều S.ABCD S  Đáy là hình vuông ABCD .  Đường cao SO , với O là giao điểm của AC và BD .  Cạnh bên SA, SB, SC, SD hợp với đáy một góc bằng nhau. A B  Góc giữa cạnh bên với đáy bằng SBO (hoặc SAO, SCO, SDO )  Mặt bên SAB, SBC, SCA hợp với đáy một góc bằng nhau. D M O C  Góc giữa mặt bên với đáy là góc SMG Ví dụ minh họa Hình 4 (THPT Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam): Một hình chóp tứ giác đều có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng 60 và diện tích xung quanh bằng 8a 2 . Tính diện tích S của mặt đáy hình chóp. A. S  4a 2 3 . B. S  2a 2 3 . C. S  4a 2 . D. S  2a 2 . Hƣớng dẫn giải : Gọi H là trung điểm của AB . Vì S. ABCD là hình chóp tứ giác đều nên  SH  AB .  OH  AB   SAB  ;  ABCD    SH ; OH   SHO (1). Trong SOH vuông tại O , có SH  OH  2.OH  AB cos 60 Diện tích xung quanh của hình chóp S xp  4.SSAB  2.SH . AB  2 AB 2 Mà S xq  8a 2 nên 2 AB2  8a2  AB  2a 6 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP Vậy diện tích đáy của mặt chóp là S  AB2  4a 2 . Chọn C B\I TẬP MINH HỌA PHƯƠNG PHÁP CHUNG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Gv cần file word xin liên hệ trực tiếp qua zalo – facebook – sđt : 0914449230 Phƣơng pháp trực tiếp: Sử dụng trực tiếp công thức PHƢƠNG PH[P TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Tính thể tích bằng cách chia nhỏ Phƣơng pháp gián tiếp Tính thể tích bằng cách bổ sung Tính thể tích bằng tỉ số thể tích Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a, AC  2a. Cạnh bên SA vuông góc với  ABCD  . Tính thể tích khối chóp S. ABCD trong các trường hợp sau: a) Biết SA  3a. b) Biết SB  a 5 . c) Biết góc giữa SC với mặt đáy bằng 60o . Hƣớng dẫn giải S a)  BC  AC 2  AB2  4a2  a 2  a 3.  Diện tích đáy: S ABCD  AB.BC  a 2 3 3a  Đường cao: SA  3a  Thể tích khối chóp S. ABCD là: 1 1 VS . ABCD  .S ABCD .SA  .a 2 3.3a  a3 3. 3 3 D C S a 5  Đường cao SA  SB2  AB2  5a 2  a 2  2a. a A  Thể tích khối chóp S. ABCD là: VS . ABCD B 2a D S C c)  Diện tích đáy S ABCD  AB.BC  a 2 3  Góc giữa SC với  ABCD  bằng góc SCA  60o B 2a b)  Diện tích đáy S ABCD  AB.BC  a 2 3 1 1 2 3 3  .S ABCD .SA  .a 2 3.2a  a . 3 3 3 a A a A 2a D 60o C 7 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) B 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP SA  SA  AC.tan 60 o  2 3 a. AC  SAC vuông tại A  tan SCA   Thể tích khối chóp S. ABCD là: 1 1 VS . ABCD  .S ABCD .SA  .a 2 3.2 3a  2a3. 3 3 Bài 2. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và góc giữa SC với  ABC  bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S. ABC . Hƣớng dẫn giải  SABC  S a2 3 .  Góc giữa SC với đáy bằng SCG  60o 4 a 3 2 a 3 a 3  CG  .  2 3 2 3  SGC vuông tại G , suy ra:  CK  60o A SG a 3 tan 60   SG  CG.tan 60o  . 3  a. CG 3  Thể tích khối chóp S. ABC là: o 2 C G K B 3 1 1 a 3 3a . V  SABC .SG  . .a  3 3 4 12 Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp S. ABCD trong các trường hợp sau: a) Biết cạnh bên SB  a 2 . b) Biết góc giữa cạnh bên SB với đáy bằng 45o . c) Biết góc giữa mặt bên SBC với đáy bằng 60o . Hƣớng dẫn giải S a)  Diện tích đáy ABCD là S ABCD  a 2 .  ABCD là hình vuông  BD  a 2  BO  a 2 BD a 2  2 2 a2 a 6  SBO vuông tại O  SO  SB  OB  2a   . 2 2 2 2  Thể tích khối chóp S. ABCD là: 2 O D b)  Diện tích đáy ABCD là S ABCD  a 2 . C D 45o a A  Góc giữa SB với đáy bằng góc SBO  45o a 2  Đường cao SO  BO.tan 45  . 2 B S 1 1 a 6 a3 6 VS . ABCD  S ABCD .SO  .a 2 .  . 3 3 2 6 o a A O B C 8 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP  Thể tích khối chóp S. ABCD là: S 1 1 a 2 a3 2 VS . ABCD  S ABCD .SO  .a 2 .  . 3 3 2 6 c)  Diện tích đáy ABCD là S ABCD  a 2 . a A  Góc giữa mặt bên SBC với đáy bằng góc SIO  60o a a 3  Đường cao SO  IO.tan 60o  . 3  . 2 2 B 600 I O D C 3  Thể tích khối chóp S. ABCD là: 1 1 a 3 a 3 VS . ABCD  S ABCD .SO  .a 2 .  . 3 3 2 6 Bài 4. (THPT Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi) Cho khối tứ diện OABC với OA , OB , OC vuông góc từng đôi một và OA  a , OB  2a , OC  3a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC . Thể tích của khối tứ diện OCMN tính theo a bằng. 3a 3 A. . 4 a3 D. . 4 2a 3 C. . 3 3 B. a . Hƣớng dẫn giải C Ta có thể tích VOABC Ta có: 1 1    OA.OB  .OC  a 3 (đvtt). 3 2  VOCMN CM .CN 1   VOCAB CA.CB 4 Vậy thể tích VOCMN N 3a M 1 a3  VOABC  (đvtt). Chọn D 4 4 2a B O a A Bài 5. (THPT Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi) hối đa diện nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều A. Bát diện đều. B. h thập diện đều. C. Tứ diện đều. D. Thập nh diện đều. Hƣớng dẫn giải Bát diện đều có 8 mặt là các tam giác đều. Nh thập diện đều có 20 mặt là các tam giác đều. Tứ diện đều có 4 mặt là các tam giác đều. 9 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP Thập nh diện đều có 12 mặt là các ngũ giác đều. Chọn D Bài 6. (THPT Chuyên Tuyên Quang) hối Cho khối chóp S. ABC , trên ba cạnh SA, SB, SC lần 1 1 1 lượt lấy ba điểm A, B, C sao cho SA  SA , SB  SB , SC  SC . Gọi V và V  lần lượt là thể 3 3 3 V tích của các khối chóp S. ABC và S. ABC . hi đó tỉ số là V 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 27 3 9 6 Hƣớng dẫn giải: Ta có V  SA SB SC 1 1 1 1  . .  . .  V SA SB SC 3 3 3 27 Chọn B Bài 7. (THPT Chuyên Tuyên Quang) Cho hình chóp đều S. ABCD có chiều cao bằng a 2 và độ dài cạnh bên bằng a 6 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD . A. 8a 3 2 . 3 B. 10a 3 2 . 3 C. 8a 3 3 . 3 D. 10a 3 3 . 3 Hƣớng dẫn giải: Ta có BO  SA2  SO2  2a . Vậy BD  4a , suy ra AB  2a 2 . 1 1 8a3 2 Vậy V  S ABCD .SO  AB 2 .SO  3 3 3 Chọn A Bài 8. (THPT Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam) Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  và SA  a 3 . Tính thể tích V của 3 khối chóp S. ABC . a3 A. V  . 8 a3 B. V  . 12 a2 C. V  . 4 a3 D. V  . 6 Hƣớng dẫn giải: a2 3 . 4 Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là Vì ABC đều cạnh a  S ABC  1 1 a 3 a 2 3 a3 . Chọn B V  SA.S ABC     3 3 3 4 12 Bài 9. (THPT Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam) Cho hình chóp S. ABC . Gọi M là trung điểm cạnh SA và N là điểm trên cạnh SC sao cho SN  3NC . Tính tỉ số k giữa thể tích khối chóp A.BMN và thể tích khối chóp S. ABC . 10 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP 3 A. k  . 8 B. k  1 C. k  . 3 2 . 5 3 . 4 D. k  Hƣớng dẫn giải S Ta có: M là trung điểm SA nên VA.BMN  VS .BMN Ta có: M VS .BMN SM SN 1 3 3  .  .  . VS .BAC SA SC 2 4 8 N A V 3 Vậy: k  A.BMN  . Chọn A VS .BAC 8 C B Bài 10. (THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Hà Nội) Cho khối chóp S. ABC có thể tích bằng 16 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB , SC . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP . B. V  6 . A. V  2 . C. V  4 . D. V  8 . Hƣớng dẫn giải: 3 V SM SN SP  1  1 . .    Ta có S .MNP  VS . ABC SA SB SC  2  8 Do đó VS .MNP S M 16  2. 8 P N Do M là trung điểm SA , ta có d ( A,(MNP))  d (S ,(MNP)) C A Suy ra VAMNP  VS .MNP  2 . Chọn A. B Bài 11. (THPT Chuyên Ngoại Ngữ – Hà Nội) Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 . A. V  2 3 3 a . 3 B. V  4 3a3 . Hƣớng dẫn giải: C. V  4 3 3 a . 2 D. V  4 3 3 a . 3 Tài liệu đƣợc sƣu tầm từ nhiềuSnguồn để phục vụ Gọi G là trung điểm của đoạn CD , dễ thấycho học sinh CD  SG   SCD   CD  GO   ABCD  .   SCD    ABCD   CD Suy ra Gv cần file word xin liên hệ trực tiếp qua A zalo – facebook – sđt : 0914449230  SCD  ,  ABCD   SGO  60 D G O B C 11 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP Vậy, trong tam giác vuông SGO , ta có tan 60  SO  SO  a 3 . OG 1 1 4 3 3 Vậy thể tích khối chóp là VSABCD  .SO.S ABCD  a 34a 2  a Chọn D. 3 3 3 Bài 12. (THPT Chuyên Thái Bình) Cho hình chóp đều S. ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , các cạnh bên tạo với đáy góc 45 . Diện tích toàn phần của hình chóp trên theo a là A. 2 3a 2 . B.   3 1 a2 . C. 4a 2 . D.   3  1 a2 . Hƣớng dẫn giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . hi đó SO   ABCD  . Suy ra OB là hình chiếu của SB trên  ABCD  nên góc giữa SB và  ABCD  là SBO  45o . Ta có cos 45o  BO BO 2 2  SB  a : a o SB cos 45 2 2 Suy ra SB  SA  SC  SD  a hay SAB , SBC , SCD , SDA là các tam giác đều cạnh a . Diện tích toàn phần của hình chóp S. ABCD là S  SSAB  SSBC  SSCD  SSDA  S ABCD    a2 3 a2 3 a2 3 a2 3     a 2  1  3 a 2 . Chọn D. 4 4 4 4 Bài 13. (THPT Chuyên Phan Bội Châu– Nghệ An) Cho khối chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại A , SB   ABC  , AB  a , ACB  30 , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC  là 60 . Tính thể tích V của khối chóp S. ABC theo a. A. V  3a . 3 B. V  a . 3 3a 3 D. V  . 2 C. V  2a . Hƣớng dẫn giải: Ta có tam giác ABC vuông tại A và 3 S ACB  300  ABC  600 ; AB  a  BC  2a . Vì SB   ABC   góc giữa SC và  ABC  chính là góc SCB  600 . Vậy đường cao của hình chóp SB  BC.tan 600  2 3a 600 B 600 a A 12 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) C 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP 1 AB. AC a.a 3.a 2 3 Thể tích hình chóp là V  . .SB   a3 Chọn B. 3 2 6 Bài 14. (THPT Chuyên Phan Bội Châu– Nghệ An) Cho khối chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA   ABCD  , AB  3a , AD  2a , SB  5a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD theo a. B. V  24a3 . A. V  8a 2 . Hƣớng dẫn giải: Ta có: VS . ABCD D. V  8a3 . C. V  10a3 . S 1  .SA.S ABCD 3 5a Xét tam giác vuông SAB có: SA  SB2  AB 2  4a Và S ABCD  AB. AD  6a 2 (ñvdt) ên VS . ABCD 3a A B 2a 1  .4a.6a 2  8a3 (ñvtt) Chọn D. 3 D C Bài 15. (THPT Chuyên Phan Bội Châu– Nghệ An) Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đôi một vuông góc với nhau, AB  a, AC  b, AD  c. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD theo a , b , c A. V  abc . 2 B. V  abc . 6 C. V  abc . 3  AB  AC Hƣớng dẫn giải: Có :   AB   ACD   AB  AD B 11 1 Thể tích tứ diện ABCD là : VABCD  S ACD . AB  AC. AD. AB 32 3 Hay V  D. V  abc . D A abc Chọn B. 6 C Bài 16. (THPT Chuyên ĐH Vinh– Lần 3) Cho hình chóp S. ABC có SC  2a và SC   ABC  . Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và có AB  a 2 . Mặt phẳng   đi qua C và vuông góc với SA,   cắt SA, SB lần lượt tại D, E . Tính thể tích khối chóp S.CDE . A. 4a 3 . 9 Hƣớng dẫn giải : Ta có B. 2a 3 . 3 C. 2a 3 . 9 D. a3 . 3 VS .CDE SD SE SD SE  .  VS .CDE  . .VS .CAB . VS .CAB SA SB SA SB 1 1 1 1 2a 3 VS .CAB  .SC. BA.BC  .2a. .2a 2  . 3 2 3 2 3 13 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP Xét SAC ta có SC 2  SD.SA  SD SC 2 4a 2 1  2  2  . 2 SA SA 4a  4a 2 S Ta có AB   SBC   AB  CE  CE   SAB   CE  SB . Tương tự xét SBC ta có SC 2  SE.SB  2 D 2a 2 SE SC 4a 2   2  . 2 2 SB SB 4a  2a 3 E A C a 2 1 2 2a 3 2a 3 Vậy suy ra VS .CEF  . . . Chọn C  2 3 3 9 B Bài 17. (THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm– Quảng Nam) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x . Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. hi đó thể tích của khối chóp bằng: A. x3 . 3 . 6 B. x3 . 3 . 2 C. x3 . 3 . 12 D. x3 . 3 . 3 S ABCD  x 2 ; Sxq  4.SSCD  2SI .x Hƣớng dẫn giải S Theo yêu cầu bài toán thì 2SI .x  x2  SI  x x2 3 SO  SI  OI  x  x 4 2 2 2 2 1 1 3 2 x3 . 3 VSABCD  SO.S ABCD  .x .x  Chọn A 3 3 2 6 A D I O B C Bài 18. (THPT Chuyên Thái Nguyên) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng  SAC  . A. a 3 . 6 B. a 2 . 6 C. a 3 . 2 D. a 2 . 4 Hƣớng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của AB và gọi AC cắt BD tại O . Ta có d  G,  SAC   d  M ,  SAC    d  G,  SAC     SG 2  SM 3 2 d  M ,  SAC   . 3 Gọi H là hình chiếu của M trên AC . 14 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP hi đó MH   SAC  nên d  M ,  SAC    MH  1 1 a 2 . BO  BD  2 4 4 2 a 2 a 2 Vậy  d  G,  SAC    . . Chọn B.  3 4 6 Bài 19. (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An) Cho tứ diện ABCD . Gọi B ' và C ' lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB ' C ' D và khối tứ diện ABCD . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 8 4 2 6 Hƣớng dẫn giải: A   V AB AC 1 1 1 Ta có: ABCD      . VABCD AB AC 2 2 4 C B C D B Bài 20. (THPT Lƣơng Thế Vinh – Hà Nội) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3 . Cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V . A. V  9 2 . 2 B. V  9 3 . 2 C. V  9 6 . 2 D. V  3 6 . 2 Hƣớng dẫn giải : Gọi O là giao của AC và BD suy ra SO   ABCD  . Trong tam giác SAO có SO  OA.tan SAO  3 2 3 6 .tan 60  . 2 2 Diện tích đáy là S ABCD  AB2  9. 1 1 3 6 9 6 V  SO.S ABCD  . .9  . Chọn C 3 3 2 2 Bài 21. (THPT Lƣơng Thế Vinh – Hà Nội) Thể tích của khối tứ diện đều cạnh 1 là A. V  1. B. V  1. C. V  3 . 12 D. V  2 . 12 Hƣớng dẫn giải : 15 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP Cách 1: + Gọi I là trung điểm CD , H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có: AH  ( BCD) . 2 3 BI  . 3 3 6 AH  AB 2  BH 2  . 3 1 1 6 3 2 Vậy VABCD  AH .S BCD  . .  . 3 3 3 4 12 Cách 2: Có thể cho học sinh nhớ công thức: Thể tích khối tứ diện đều cạnh + Ta có: BH  a là V  A B D H I C a3 2 2 , thay a  1 ta được V  . 12 12 Chọn D Bài 22. (THPT Lê Hồng Phong – Khánh Hòa) Hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a , góc BAC  60 , SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và đáy bằng 60 . Thể tích hình chóp S. ABCD bằng a3 A. . 2 a3 B. . 6 a3 D. . 3 a3 3 C. . 2 Hƣớng dẫn giải : Đáy là hình thoi cạnh a và có góc BAC  60 nên ABC đều , S ACBD  2SABC  2. a2 3 a2 3  4 2 Góc giữa SC và đáy bằng 60 nên góc SCA  60 Suy ra SA  tan 60. AC  3.a Vậy thể tích hình chóp S. ABCD là : 1 1 a2 3 a3 Chọn A V  S ABCD .SA  .a 3  3 3 2 2 Bài 23. (THPT Hoàng Hoa Thám – Khánh Hòa) Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng A. V  a3 3 . 8 a 21 . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABC . 6 B. V  a3 3 . 12 C. V  a3 3 . 24 D. V  a3 3 . 6 Hƣớng dẫn giải Gọi G là trọng tâm ABC 16 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP  AG  a 3 a  SG  SA2  AG 2  3 2 1 a 2 3 a a3 3 V  . .  3 4 2 24 Chọn C. Bài 24. (THPT Hoàng Hoa Thám – Khánh Hòa) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 1 , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600 . Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SBC  . A. 1 . 2 B. 2 . 2 C. 7 . 2 D. 42 . 14 Hƣớng dẫn giải  SC;  ABCD   SCO  60 0 OC  , 2 6  SO  OC tan 600  2 2 Gọi I là trung điểm BC , kẻ OH  SI tại H  OH   SBC   d  O;  SBC    OH 1 1 1 42 . Chọn D.  2  OH  2 2 OH OI SO 14 Bài 25. (THPT ISCHOOL NHA TRANG – Khánh Hòa) Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích V của khối chóp đó theo a . A. V  a3 2 . 3 B. V  a3 2 . 6 C. V  a3 10 . 6 D. V  S Hƣớng dẫn giải Gọi O là giao điểm của AC và BD . Ta có AO  a3 . 2 a 2 a 10  SO  SA2  AO 2  2 2 A D 3 1 a 10 Do đó VS . ABCD  SO.S ABCD  Chọn C. 3 6 O B C 17 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP Bài 26. (THPT ISCHOOL NHA TRANG – Khánh Hòa) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng  ABCD  trùng với trung điểm của cạnh AD ; M là trung điểm đoạn thẳng CD ; cạnh bên SB hợp với đáy một góc 60O . Tính thể tích V của khối chóp S. ABM . A. V  a3 15 . 3 B. V  a3 15 . 4 C. V  a3 15 . 6 D. V  a3 15 . 12 Hƣớng dẫn giải Ta có: BH  AB 2  AH 2   SH  BH tan 60O  SABM a 5 2 S a 15 2 A 1 1  S ABCD  a 2 2 2 B H D 1 a3 15 . Chọn D. VS . ABM  SH .S ABM  3 12 M C Bài 27. Cho khối chóp S. ABCD , hỏi hai mặt phẳng  SAC  và  SBD  chia khối chóp S. ABCD thành mấy khối chóp A. 4. B. 3. C. 5. D. 2. Hƣớng dẫn giải : Gọi O là giao điểm của AC và BD . Mặt phẳng  SAC  và  SBD  chia khối chóp S. ABCD thành 4 khối chóp, là các khối chóp sau S. ABO , S. ADO , S.CDO , S.BCO . Chọn A Bài 28. Cho hình chóp S. ABC có tam giác SAB đều cạnh a, tam giác ABC cân tại C . Hình chiếu của S lên  ABC  là trung điểm của cạnh AB ; góc hợp bởi cạnh SC và mặt đáy là 30o . Thể tích khối chóp S. ABC tính theo a là A. V  a3 3 . 4 Hƣớng dẫn giải : S SAB  B. V  a2 3 . 4 a3 2 . 8 C. V  a3 3 . 2 D. V  a3 3 . 8 S 18 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook) 2018 Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – THỂ TÍCH HÌNH CHÓP Gọi H là trung điểm AB . CH  AB    CH  ( SAB) . CH  SH ( vi` SH  ( ABC )  CH )  a 3 2  3a 2 3 3 2 1 1 a 3 3a a 3 3 VSABC  S SAB .HC  . .  . 3 3 4 2 8 Chọn D. SH SH tan 30o   HC   HC tan 30o Bài 29. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh x . Góc tạo bởi mặt 4 bên và mặt đáy bằng 450 . Biết thể tích của khối chóp S. ABCD bằng a 3 , biểu thức thể hiện mối 3 liên hệ giữa x và a là A. x  a . B. x  2a . C. x  4a . D. x  a 2 . Hƣớng dẫn giải :Gọi H là tâm của hình vuông ABCD . Và K là trung điểm của BC . Suy ra BC   SHK  . hi đó  SBC  ,  ABCD   SK , KH  SKH  450 . Suy ra SHK vuông cân tại H nên SH  HK  Ta có VS . ABCD x . 2 1 1 4a 3 2  .SH .S ABCD  .SH .x  3 3 3 1 x 4a 3  . .x 2   x3  8a3  x  2a . Chọn B. 3 2 3 Tài liệu đƣợc sƣu tầm từ nhiều nguồn để phục vụ cho học sinh Gv cần file word xin liên hệ trực tiếp qua zalo – facebook – sđt : 0914449230 19 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)