Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
TÀI LIỆU TẶNG HỌC SINH
PHƯƠNG PHÁP TƯ DUY GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM
Dành cho học sinh ôn thi THPT quốc gia 2017
Biên soạn Thầy: Nguyễn Bá Tuấn
Giáo viên Toán, Giảng viên ĐH Công nghiệp Hà Nội
Tác giả bộ sách “Phương pháp tư duy giải nhanh Toán trắc nghiệm”
Mọi thắc mắc, khó khăn cần tư vấn, c|c em có thể liên hệ qua facebook
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/| hoặc email
[email protected]
Khóa học online trong 2 tháng cuối
http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Khóa học cung cấp:
Hệ thống hóa kiến thức theo cấu trúc thi THPT quốc gia 2017
Cung cấp phương pháp tư duy giải nhanh Toán trắc nghiệm
Bộ công thức giải Toán trắc nghiệm
Chỉ ra những lỗi sai thường gặp và hướng dẫn cách tránh lỗi, tránh bẫy
Trang|1
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
Lưu ý về cấu trúc đề thi Toán qua đề thử nghiệm
Đề thi THPT quốc gia môn Toán gồm 50 câu, thời gian làm bài 90p, dạng trắc nghiệm
lựa chọn đáp án đúng nhất trong 4 đáp án cho sẵn. Đề gồm các phần kiến thức:
Hàm số và các bài toán liên quan: 11 câu
Mũ và logarit: 10 câu
Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tích phân: 7 câu
Số phức: 6 câu
Hình học không gian, mặt trụ, mặt nón: 8 câu
Hình học tọa độ Oxyz: 8 câu
Kiến thức trong đề thi nằm trọn trong chương trình kiến thức lớp 12.
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP TƯ DUY GIẢI NHANH ĐIỂN HÌNH
1. Kĩ năng dùng MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO HOẶC VINACAL
1.1 Ứng dụng MODE 7:
Chức năng của phím MODE 7 ( TABLE) l{ một bảng gi| trị của h{m số f(x). Từ bảng đó ta
quan s|t có thể :
+ Tìm nghiệm phương trình khi c|c đ|p |n c|ch nhau một khoảng không đổi
+ Dự đo|n tính đơn điệu của h{m số
+ Tình giới hạn
+ Dự đo|n được min, max h{m số nếu có
Lưu ý: m|y casio 570vnplus chỉ chạy được 10 đoạn trong khi es chạy dc 29 đoạn. nguyên
nh}n do 570vn chạy với 2 h{m l{ f(x) v{ g(x) còn es chỉ có f(x). Ta có thể chuyển vn sang
dạng es bằng phím S, mode, mũi tên xuống, 5, 1 (lựa chọn f(x))
+step =(b-a)/n với n l{ số đoạn muốn m|y chạy. Đoạn c{ng nhiều sự khảo s|t c{ng tỉ mỉ.
VD1: Tìm m để phương trình 3 21 4 x x 2 m 4 x 2 có nghiệm
A. 35 x 15
B. 40 x 15
C. 30 x 15
D. 20 x 15
Hướng dẫn
Gi| trị của m l{ miền gi| trị của f ( x) 3 21 4 x x 2 4 x 2
Dùng MODE 7 nhập h{m số trên với khởi tạo START = -10, END = 10, STEP = 1 được
miền gi| trị l{ (-30;15)
VD2: H{m số y x 4 2 x 2 3 nghịch biến trên khoảng:
A. ( ; 1)
B. ( 1;0)
C. (1; )
D. R
Hướng dẫn
Nhập h{m số v{o MODE 7 với khởi tạo START= -10, END = 10, STEP = 1 thấy trong
khoảng ( ; 1) gi| trị giảm dần, còn c|c khoảng trong c|c đ|p |n còn loại không giảm
dần. Do đó chọn đ|p |n A.
Trang|2
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
VD3: ( Đề Sở GD H| Nội) Tìm tất cả c{c gi{ trị thực của tham số m để h|m số
y 2 x3 mx2 2 x đồng biến trên khoảng 2;0 .
A. m 13
C. m 2 3
B. m 13
2
2
D. m 2 3
Hướng dẫn
Thay m = 0 v|o h|m số rồi khảo s{t h|m số trên trong MODE 7 với khởi tạo START =
-10, END = 10, STEP = 1 thấy c{c gi{ trị ở cột f(x) tăng dần nên h|m số đồng biến. Do
đó m = 0 thỏa mãn, loại đ{p {n B.
Tương tự thử với m = -4 thấy không thỏa mãn nên loại đ{p {n A, C
VD4: (Đề Minh họa 01)Tìm tất cả gi| trị thực của tham số m sao cho h{m số
tan x 2
y
đồng biến trên khoảng 0; .
tan x m
4
A. m 0 hoặc 1 m 2
C. 1 m 2
B. m 0
D. m 2
Hướng dẫn giải:
Dùng tư duy điểm biên điển thuận lợi để chọn m=0 v{ m=1 ta được h{m
tan x 2
tan x 2
bấm mode7 v{ nhập hai h{m trên đối với m|y 570vn
f ( x)
; g ( x)
tan x
tan x 1
0
ba 4
plus (vinacal) với START =0; END =
; STEP=
thấy cả hai h{m đều
4
n
20
80
tăng. Từ đó, f(x) đồng biến nên m=0 thỏa m~n từ đó loại C,D. Còn lại A, B m{ g(x) đồng
biến nên m=1 thỏa m~n từ đó loại B.
Vậy Chọn A.
1.2. Ứng dụng phím CALC :
GÁN GIÁ TRỊ
VD1: (Đề chuyên Hưng Yên) H{m số n{o trong c|c h{m số sau có tập x|c định D=(-1;3)
A. y 2 x
2
2 x 3
C. y ( x 2 2 x 3)2
B. y log2 ( x 2 2 x 3)
D. y x 2 2 x 3
Hướng dẫn :
Lấy 1 gi| trị ngo{i D thay v{o c|c đ|p |n. Nếu không b|o MATH ERROR thì loại đ|p |n
đó vì khi đó h{m số có tập gi| trị lớn hơn D.
Nhập c|c h{m số rồi CALC x= 5 thì đ|p |n A, B, C đều ra kết quả.
VD2 : Nghiệm của phương trình log4 (log2 x) log2 (log4 x) 2 là:
A. x = 2
B. x = 4
C. x = 8
D. x = 16
TÍNH LIM
Trang|3
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
x 3
có:
5 x
A. một đường tiệm cận đứng x 5 v{ một đường tiệm cận ngang y 1 .
VD1: Đồ thị h{m số y
B. một đường tiệm cận đứng x 5 v{ một đường tiệm cận ngang y 1 .
C. một đường tiệm cận đứng x 5 v{ một đường tiện cận ngang y 1 .
D. một đường tiệm cận đứng x 5 v{ một đường tiệm cận ngang y 1 .
Hướng dẫn
X 3
sau đó nhấn CALC x= 5,00001 v{ x = 4,99999 được
5 X
một số rất lớn nên x = 5 l{ TCĐ
X 3
+ Tìm tiệm cận ngang: Nhập
sau đó nhấn CALC x = 105 được xấp xỉ - 1 nên TCN y =
5 X
-1
(lưu ý: Trong qu| trình tính giới hạn sử dụng CALC ta không nên lấy c|c gi| trị lớn qu|
đối với b{i to|n x ra vô cùng v{ không nên lấy gi| trị s|t qu| đối với giới hạn tại một
điểm).
TÌM NGHIỆM ( SHIFT + CALC)
x 4 5 y 2z 1
VD1: Giao điểm M của đường thẳng (d ) :
và ( P) : 2 x 4 y 3z 8
1
2
5
là:
Hướng dẫn
x 4 5 y 2z 1
5t 1
Ta có (d ) :
t M (t 4;5 2 t;
)
1
2
5
2
5X 1
Nhập v{o ( P) : 2(X 4) 4(5 2 X ) 3.
8 0 sau đó nhấn SHIFT+CALC với gi| trị
2
khởi tạo X = 0 được nghiệm x =1 hay ns cách khác t =1
Kinh nghiệm: kết hợp MODE 7 để tìm ra khoảng nghiệm, từ đó nhập gi| trị khởi tạo
chuẩn hơn
+ Tìm tiệm cận đứng: Nhập
VD2: Biết phương trình 9 x 2
1
P a log 9 2
2
2
A. P
1
2
x
1
2
2
x
3
2
32 x 1 có nghiệm a. Tính gi| trị biểu thức
1
C. P 1 log 9 2
2
2
B. P = 1
D. P 1 log 9 2
2
Hướng dẫn
C|ch tìm gi| trị a:
Bước 1: Nhập f ( x) 9 2
X
X
1
2
2
X
3
2
32 X 1
Bước 2: Nhấn SHIFT + CALC cho x bằng gi| trị bất kì , m|y sẽ tự tìm ra nghiệm a nhưng
rất l}u.
Trang|4
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
Kết hợp MODE 7 thì biết được nghiệm nằm trong khoảng (0,7 ; 0,8) nên sẽ cho gi| trị bắt
đầu x= 0,75. Tìm được nghiệm x 0,7695. G|n ( SHIFT+RCL) nghiệm đó với A rồi tính
gi| trị P
TÍNH ĐẠO HÀM CẤP 1, 2
+) Tính đạo hàm cấp 1
Tính đạo h{m h{m số tại 1 điểm ( SHIFT+ tích ph}n )
VD1 : ( Đề minh họa) Tính đạo h{m của h{m số y ln(1 x 1)
A. y '
1
2 x 1(1 x 1)
B. y '
C. y '
1
x 1(1 x 1)
D. y '
1
1 x 1
2
x 1(1 x 1)
Hướng dẫn
Ta tính đạo h{m h{m số tại một điểm bất kì x0 bằng SHIFT + TÍCH PHÂN. Sau đó so s|nh
với y’(x0) ở c|c đ|p |n xem có bằng nhau hay không .
+) Tính đạo hàm cấp 2
VD1. H{m số y 3 3x 2 có đạo h{m cấp 2 l{:
2
A.
3
2
B.
(3x 2)5
3
5
C.
(3x 2)5
3
(3x 2) 4
D.
2
3 3 (3x 2)5
Hướng dẫn giải
Bấm SHIFT
d
dx
x
rồi nhập h{m cần tính đạo h{m v{ gi| trị cần tính đạo
hàm cấp 1 tại điểm.
f '(x 0 A) f'(x 0 )
A 0
A
Để tính đạo h{m cấp 2 :
df
df
dx X ( x0 A) dx X x0
CALC A 0, 001;... f ''( x0 )
A
Áp dụng : tính f’’(2) của h{m số. Tính gi| trị tại 2 của c|c h{m số ở đ|p |n A, B, C, D. So
s|nh để tìm kết quả bằng với f’’(2). Từ đó chọn được đ|p |n A.
TÌM NGUYÊN HÀM
f ''( x0 ) lim
VD1: Với gi| trị n{o của a, b, c thì f (x) x 3 2 x có một nguyên h{m l{
F ( x) (ax 2 bx c) 3 2 x
A. a 2, b 1, c 3
2
1
1
C. a , b , c
3
2
3
Hướng dẫn
2
B. a , b
5
1
D. a , b
3
1
3
,c
5
5
2
2
,c
5
3
Trang|5
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
Nhập h{m v{ CALC (ở đ}y lúc CALC m|y vẫn hỏi gi| trị X nhưng khi thực hiện tính đạo
h{m thì nó vẫn hiểu tính đạo h{m tại x=1 mặc dù lúc đầu cho gi| trị kh|c của X)
2. Các phương pháp tư duy giải nhanh
2.1. Phương pháp tư duy loại dùng điểm biên và điểm thuận lợi
VD1: ( Đề chuyên Lương Thế Vinh – H| Nội )
Tìm tập nghiệm của bất phương trình log e ( x 2 2 x ) log e ( x 4)
A. S (4; 1) (4; )
B. S (; 1) (4; )
C. S (;0) (2; )
D. S
Hướng dẫn
Để x x0 l| nghiệm của bất phương trình thì log e ( x 2 2 x ) log e ( x 4) 0
Nhập v|o m{y tính biểu thức log e (X 2 2X) log e (X 4) sau đó CALC
x = -4,0001 m{y b{o MATH ERROR nên loại được đ{p {n A, C.
Ta nhập tiếp x = -3,999 ta được f(x) = -85,59.. < 0 nên x = -3,999 thỏa mãn. Do đó loại
nốt được đ{p {n D.
VD2: Giải bất phương trình 3x
A. D 2;
2
4
x 2 4 3x 2 1 có nghiệm :
B. D ; 2
C. D ; 2 2; D.
D=[-2;2]
Hướng dẫn:
Nghiệm của phương trình thỏa m~n khi thay v{o biểu thức 3X
2
4
( X 2 4).3X 2 1 ra gi| trị
lớn hơn hoặc bằng 0.
Nhập 3X
2
4
( X 2 4).3X 2 1 sau đó CALC x = 2 thấy thỏa m~n nên loại được đ|p |n A, B.
Sau đó CALC x = 1,9999 thấy không thỏa m~n nên loại được đ|p |n D.
VD3:Cho h{m số y x 3 6 x 2 mx 1 , tìm m để h{m số đồng biến trên (0; )
A. m 0
B. m 12
C. m 12
D. m 0
Hướng dẫn
Ta lấy f(0)= 1 m{ f(1) = m – 2. Vì h{m số đồng biến trên (0; ) nên f(1)> f(0) hay m > 3.
Từ đó loại được ngay đ|p |n A, B, D.
2.2. Phương pháp tư duy đặc biệt hóa
Ví dụ 1: Hệ thức đúng trong c{c hệ thức sau là:
A. log a (a 2 b) 1 loga b2
B. log 1 (a b) 1 log a b
a
C. log a (ab3 )
b
1
3
1 log a b log b a 1
a
D. log a2 2 2 log a b
b
Trang|6
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Ví dụ 2: Cho a, b 0,a, b 1,n N* . Cho P
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
1
1
1
. Khi đó
...
log a b log a2 b
log an b
biểu thức P bằng
A. n 1 n log a b
B. n log b a
C. n loga b
D. n 1 n log b a
Chọn giá trị đặc biệt của a, b , n rồi thay vào biểu thức để so sánh với đáp án.
Ví dụ 3: Cho họ đường thẳng (dm) : (1 m)2 x 2my m2 4m 1 0 . Khi tham số m thay
đổi thì (dm) luôn tiếp xúc với một đường tròn (C) cố định. Phương trình của đường tròn
(C) là :
A. ( x 1)2 y 2 1
B. x 2 ( y 1)2 1
C. x 2 ( y 2)2 1
D. ( x 1)2 y 2 1
Hướng dẫn
Trước hết ta thấy 4 đ|p |n đều l{ đường tròn có b|n kính bằng 1 nên d(I,dm)= 1.
Vì tham số m thay đổi nên chọn m l{ những gi| trị đặc biệt.
Chọn m = 0 ta được dm: x +1 = 0. Tới đ}y ta kiểm tra c|c đ|p |n xem d(I,dm)= 1 hay
không thì loại được đ|p |n B, C.
Chọn tiếp m = 1 ta được dm : y – 1 = 0. Tiếp tục xét d(I,dm)= 1 ta loại được đ|p |n B.
Ví dụ 4 : Tìm tất cả c|c gi| trị thực của tham số m để h{m số y = x + m(sinx + cosx) đồng
biến trên R ( Đề chuyên Lê Hồng Phong)
1
1
1
)(
; )
A. m ( ;
B. 3 m
2
2
2
1
1
1 1
m
C.
D. m ;
;
2
2
2 2
Hướng dẫn
Chọn m = 0 ta được y = x, h{m số n{y đồng biến trên nên m = 0 thỏa m~n. Vậy loại đ|p
án A, D.
Chọn m = -2 ta được y x 2(sinx cosx) . Dùng MODE 7 khảo s|t thấy h{m số không
đồng biến nên m = -2 không thỏa m~n. Vậy chọn B.
(lưu ý nếu chúng ta không chọn chế độ radian trong b{i n{y thì sẽ bị nhầm trường hợp
m=-2 l{ h{m số đồng biến v{ chọn đ|p |n B)
Ví dụ 5 : (Chuyên Lê Quý Đôn ) Cho x, y l| c{c số thực thỏa mãn
x y x 1 2 y 2 . Gọi M v| m lần lượt l| gi{ trị lớn nhất v| gi{ trị nhỏ nhất của
P x 2 y 2 2( x 1)( y 1) 8 4 x y . Khi đó M + m có gi{ trị l| :
A. 44
B. 41
Hướng dẫn
Từ đề b|i ta có điều kiện 0 x y 4 .
Ta thấy đ{p {n đều l| c{c số nguyên nên
C. 43
D. 42
4 x y phải l| c{c số nguyên.
Do đó xét x y 0;3;4
Trang|7
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
x y 0
x 1
P 18
TH1 : Xét
y 1
x y x 1 2 y 2
x y 3
x 2
P 25
TH2 : Xét
y 1
x y x 1 2 y 2
x y 4
TH3 : Xét
. Hệ vô nghiệm
x y x 1 2 y 2
Vậy từ 3 trường hợp trên ta có M + m = 18 + 25 = 43
2.3. Phương pháp tư duy tổng quát hóa
VD1 : Nguyên h{m của h{m số f ( x ) x 3 2 x là :
A.
C.
1
3
2
3 2 x x2 x
5
5
5
1
1
2
3 2 x x2 x
2
3
3
B.
3 2 x 2 x 2 1x 3
D.
4
1
3 2 x x2 x 2
5
3
Hướng dẫn
Nhận thấy c|c đ|p |n đều có dạng
3 2 x (ax 2 bx c) nên ta sẽ sử dụng CALC v{ tính
năng tính đạo h{m h{m số tại 1 điểm để kiểm tra c|c đ|p |n.
d
Nhập v{o m|y tính
để tính đạo h{m h{m số tại 1.
3 2 x AX 2 BX C
x 1
dx
Sau đó nhập CALC, m|y hỏi c|c gi| trị của X,A,B,C thì ta nhập A,B,C tương đương với c|c
đ|p |n v{ X l{ gi| trị kh|c 1. Nếu ra gi| trị bằng f(1)=1 thì đ|p |n đó đúng.
2.4. Tư duy truy hồi
VD1 : GTNN v{ GTLN của h{m số f ( x) 2 x 3 12 x 2 18x 10 trên đoạn [0 ;4] là :
A. -10 và -2
B. 1 và 3
C. -10 và 8
D. 1 và 8
Hướng dẫn
Sắp xếp c|c gi| trị ứng với GTNN theo thứ tự tăng dần l{ -10, 1
x 0
Xét f ( x ) 10
đều thuộc [0 ;4] nên gi| trị -10 thỏa m~n l{ GTNN
x 3
Do đó loại được đ|p |n B, D.
Sắp xếp c|c gi| trị ứng với GTLN theo thứ tự giảm dần l{ 8, -2
Xét f ( x) 8 x 4,4 [0;4] nên gi| trị 8 không thỏa m~n l{ GTLN. Vậy loại đ|p |n C.
VD2 : ( Đề Sở GD H| Nội) Tìm gi{ trị nhỏ nhất của h|m số y x 1 trên đoạn
2
3; 2 .
A. min y 3
3;2
B. min y 8
3;2
C. min y 1
3;2
D. min y 3
3;2
Trang|8
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
Hướng dẫn
Ta sắp xếp c{c đ{p {n theo thứ tự tăng dần được -3; -1; 3; 8.
Xét x 2 1 3 x 2 2 ( vô nghiệm)
Xét x 2 1 1 x 0 [ 3;2] . Vậy y = -1 l| gi{ trị nhỏ nhất của h|m số.
Câu 3: Một công ty bất động sản có 20 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi
căn hộ với gi{ 3 triệu đồng một th{ng thì căn hộ n|o cũng có người thuê. Nếu cứ
tăng gi{ cho thuê lên 300.000 một th{ng thì sẽ có 1 căn hộ không được thuê. Hỏi
muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó cho thuê mỗi căn hộ với gi{ bao nhiêu một
tháng?
A. 3 triệu 300 nghìn
B. 3 triệu 900 nghìn
C. 4 triệu 500 nghìn
D. 4 triệu 800 nghìn
Hướng dẫn
Cách 1 :Thử giá trị ở đáp án rồi tính ra tiền, từ đó chọn giá trị lớn nhất( chú ý số
căn hộ cho thuê phải nằm trong khoảng từ 0 đến 20)
Cách 2 : Gọi số lần tăng tiền lên l| n . Số tiền m| công ty đó thu nhập được l|:
f (n) (30 3n)(20 n) (trăm nghìn). Có max f (n) f (5) 45 . Vậy công ty cần cho
n 0;20
thuê với gi{ 4 triệu 500 nghìn.
2.5. Tư duy ước lượng
VD1 : Cho hình trụ có chiều cao h nội tiếp mặt cầu b|n kính R biết h = kR. Tỉ số thể tích
của hình trụ v{ hình cầu l{ :
3
5
A.
B. (4 k 2 )(k 1)
C.
(4 k 2 )k
16
7
3
3
D.
(2 k 2 )k
(4 k 2 )(k 1)
16
16
Hướng dẫn
Khi ta kéo hình trụ theo chiều cao thì chiều cao dần đến đường kính mặt cầu bằng 2R hay
k = 2. Lúc đó V dần tới 0.
Nếu ta kéo cho chiều cao dần tới 0 thì đường kính mặt đ|y cũng dần tới đường kính mặt
cầu. Vậy h dần tới 0 tức k dần tới 0 khi đó V dần tới 0.
Từ hai trường hợp trên ta thấy khi k xấp xỉ 2 v{ 0 thì V gần bằng 0. Chỉ có đ|p |n A thỏa
mãn.
VD2(Câu 9 Đề Minh họa 02) Tìm tập hợp tất cả c|c gi| trị của tham số thực m để h{m
số y ln( x2 1) mx 1 đồng biến trên khoảng (; )
A. (; 1]
B. (; 1)
C. [ 1;1]
D. [1;+)
Đạo h{m v{ chuyển vế ta được dạng m g ( x) khi đó ta chọn đ|p |n phải lấy dấu đoạn v{
không có đ|p |n dạng m lớn hơn gi| trị n{o đó. Từ đó loại c|c đ|p |n còn mỗi A.
Trang|9
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
Trang|10
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
II. CÔNG THỨC TÍNH NHANH THEO CHUYÊN ĐỀ
1. Công thức bài toán thực tế
1.1 Lãi kép:
- Dạng 1: Gửi v|o lượng tiền A sau n kì hạn nhận được An A(1 r )n
- Dạng 2: Gửi th{ng đầu tiên l| A v| sau mỗi kì hạn gửi thêm một lượng B khi đó
số tiền nhận được sau n kì hạn l|: Sn A(1 r )n B(1 r )
(1 r )n1 1
r
(1 r )n1 1
(1 r ) n 1
Đặc biệt khi A = B ta có : Sn A(1 r ) A(1 r )
A(1 r )
r
r
Đặc biệt: Khi vay một số tiền l| P v| sau đó mỗi th{ng trả số tiền bằng m thì m
(1 r )k
được tính theo công thức m rP.
. Có thể tính trực tiếp công thức như
(1 r ) k 1
c{ch tính ở trong s{ch Phương ph{p tư duy giải nhanh 12 hoặc {p dụng công
thức dạng 2 khi coi th{ng ban đầu gửi một lượng tiền l| –P khi đó ta có
(1 r )n 1
(1 r ) n
n 1
Sn1 P(1 r ) m(1 r )
0 m Pr
r
(1 r )n 1
(chú ý l| nếu trả trong n kì hạn thì trong công thức S n phải thay n bằng n+1 vì
n
tính thêm tháng vay)
Áp dụng cho c}u 21 đề Minh Họa 01
1.2 Bài toán về tuổi cổ vật, chất phóng xạ.
C}u 21 Đề 01:
Chu kì bán rã của chất phóng xạ plutoni Pu 239 l| 24360 năm (tức l| một lượng
Pu 239 sau 24360 năm ph}n hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự ph}n hủy được tính
theo công thức S Aert , trong đó A l| lượng chất phóng xạ ban đầu, r l| tỉ lệ
ph}n hủy h|ng năm ( r 0 ), t l| thời gian ph}n hủy, S l| lượng còn lại sau thời
gian ph}n hủy t. Để 10 gam Pu 239 ph}n hủy còn 1 gam thì cần thời gian ph}n hủy
xấp xỉ (năm)
A. 80922
B. 48720
C. 73080
D. 12180
Hướng dẫn
Ta có A=10g, S=1g.
A
ln 2
ln10 24360ln10
A.e24360 r r
;1 10.ert t
80922
2
24360
r
ln 2
S
ln
A .T với T l| chu kì b{n rã.
Công thức chung t
ln 2
Trang|11
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
C}u 21 Đề 03:
Hạt nh}n
14
6
C l| một chất phóng xạ có chu kỳ b{n rã T = 5730. Trong c}y cối có
chất phóng xạ ấy. Độ phóng xạ của một mẫu gỗ tươi v| một mẫu gỗ cổ đại đã chết
có cùng khối lượng lần lượt l| 0,250 Bq v| 0,215 Bq. Biết độ phóng xạ l| số hạt
nhân phân rã trong một gi}y được tính theo công thức H (t ) H 0e
ln 2
t
T
với H 0 là
độ phóng xạ ban đầu, H (t ) l| độ phóng xạ tại thời điểm t. X{c định xem mẫu gỗ cổ
đại đã chết c{ch đ}y xấp xỉ bao nhiêu năm?
A. 2492 năm
B. 2865 năm
C. 1432 năm
D. 1246 năm
Hướng dẫn giải:
H (t )
Thay H 0 = 0,250 và H (t ) = 0,215, ta tính tỉ số
được đ{p {n l| 1246 năm.
H0
Đ{p {n: D.
Câu 7: Thầy Nguyễn B{ Tuấn nhận lương 5 triệu qua ngân hàng vào ngày 1 hàng
tháng. Để d|nh tiền cho sự kiện tổ chức lớp off miễn phí cho học sinh trong TP Hồ
Chí Minh nên thầy không rút tiền từ th{ng 1 năm 2016. Do sự kiện diễn ra trong
th{ng 4 năm 2017 nên thầy rút tiền v|o cuối ng|y 1/4/2017. Khi đó thầy rút được bao
nhiêu tiền. Biết rằng tiền gửi được tính theo hình thức lãi kép với lãi suất l| 12%/năm
A. 86,3 triệu
B. 75,2 triệu
C. 87,1 triệu
D. 92,1 triệu
Hướng dẫn
Lưu ý ta có công thức tính to{n với b|i to{n: “h|ng th{ng gửi v|o ng}n h|ng a đồng,
lãi suất r%, tính số tiền thu được sau n th{ng l|
Sn A(1 r )n A(1 r )
(1 r )n1 1
(1 r )n 1
A(1 r )
81,3tr
r
r
Vì thầy rút v|o cuối ng|y 1/ 4 nên thầy nhận thêm tiền lương l| 5 triệu. Nên số tiền
thầy rút được l| 86,3 triệu.
2. Các công thức dùng phương pháp tọa độ hóa
Tam giác: S ABC
1
AB,AC
2
Hình bình hành: S ABCD AB,AD
Tứ diện: VABCD
1
AB,AC AD
6
Trang|12
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Hình lăng trụ tam gi{c VABC. A' B'C '
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
1
AB; AC . AA'
2
Hình hộp: VABCD.A ' B' C ' D' AB,AD AA'
AB và CD (chéo nhau): d( AB,CD )
AB,CD .BD
AB,CD
3VSABC AB, AC .AS
Khoảng c{ch từ điểm đến mặt phẳng d(S;(ABC))
SABC
AB; AC
Góc giữa hai đường thẳng : cos(a; b) cos(u a ; ub )
ua .ub
ua . ub
Góc giữa đường thẳng v| mặt phẳng : sin(a;(P)) cos(u; nP )
Góc giữa hai mặt phẳng: cos((P);(Q)) cos( nP ; nQ )
u.nP
u . nP
nP .nQ
nP . nQ
3. Các công thức khác:
3.1. Hàm số
Cho h|m số y ax4 bx 2 c với a, b 0 x{c định v| liên tục trên
Đồ thị h|m số có 3 cực trị A, B, C luôn lập th|nh 1 tam gi{c c}n
1. Nếu ABC l| tam gi{c đều thì 24a b3 0
8a
2. Nếu ABC c}n có góc ở đỉnh l| thì tan 2 3
2 b
3. Nếu ABC là tam giác vuông cân thì 8a b3 0
4. Nếu ABC có c{c góc đều l| góc nhọn thì 8a b3 0
5. Nếu ABC có diện tích S0 thì 32a3 S02 b5 0 ( Ứng dụng trong c}u hỏi tìm m để
ABC có diện tích lớn nhất)
6. Nếu ABC nhận gốc tọa độ O l|m trọng t}m thì b2 6ac 0
7. Nếu ABC nhận gốc tọa độ O l|m t}m đường tròn ngoại tiếp thì
b3 8a 4bc 0
8. Nếu ABC nhận gốc tọa độ O l|m trực t}m thì b2 6ac 0
9. Ba điểm A, B, C cùng gốc tọa độ O tạo th|nh hình thoi thì b2 2ac 0
Trang|13
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
10. Nếu ABC b{n kính đường tròn ngoại tiếp l| R thì R
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
1 b 2 2a 2
( )
2a 4
b
3.2. Số phức
Dạng b|i tìm số phức z khi có cả số phức z
VD : Cho (2 3i) z (1 2i) z 5 7i
Hướng dẫn :
a1 x b1 y c1
Gọi z = x + yi. Khi đó x, y sẽ l| nghiệm của hệ
a2 x b2 y c2
Trong đó : 5 7i c1 c2i
Nhập v|o máy tính (2 3i)( X Yi) (1 2i)( X Yi) sau đó CALC X = 1, Y = 0 ra kết
quả chính l| a1 a2i . Còn CALC X = 0, Y = 1 thì ra kết quả chính l| b1 b2i
(c{ch nhập kh{c : nhập theo z, chú ý conjg(z) biểu thị z v| dùng CALC thì nhập
z=1 và z=i)
3.3. Khối tròn xoay
1. Hình nón có chiều cao x nội tiếp khối cầu có b{n kính R thì b{n kính đ{y
1
r x(2 R x ) và V x 2 (2 R x )
3
8R
4R
Thể tích nón lớn nhất khi chiều cao x
hoặc r
3
3
2. Cho lăng trụ chiều cao h, b{n kính r nội tiếp hình cầu b{n kính R. Ta có tỉ số thể
V
3
tích tru (4 k 2 )k
Vcau 16
3.4 Hình Oxyz
1. Tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng :
C{ch l|m: Tính khoảng c{ch từ điểm M ( x0 , y0 , z0 ) đến đường thẳng
x a y b z c
d:
m
n
q
Hướng dẫn
x a y1 b z1 c
Gọi M1 ( x1 , y1 , z1 ) l| hình chiếu của M lên d. Khi đó ta có d : 1
t
m
n
q
( x a)m ( y0 b)n ( z0 c)q
Khi đó t 0
. Có được t ta sẽ suy ra x1 , y1 , z1
m2 n 2 q 2
2. Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng :
Tìm hình chiếu của A(x 0 , y0 , z0 ) lên mặt phẳng (P) : ax+by+cz+d=0
Cách làm:
Tính t
ax0 by0 cz0 d
a 2 b2 c 2
H(x 0 at; y0 bt; z0 ct )
Trang|14
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
Ví dụ: Tìm hình chiếu của A(2;3;4) lên (P) : x 2 y z 3 0
Hướng dẫn
Cách 1: Tính k 2 2 2.3 2 4 2 3 9
1 2 1
Hính chiếu l| H (2 1.(
6
9
9
9
); 3 2.(
); 4 1.(
))
6
6
6
1
5
; 0; ) . Trong thực tế ta tính t bằng casio v| g{n cho A sau đó tính c{c
2
2
tọa độ của H
Cách 2 : Dùng m{y tính cầm tay : Nhập biểu thức (2 X ) 2(3 2 X ) (4 X ) 3
Hay H (
dùng phím shift solve để giải phương trình tìm ra X chính l| t theo c{ch 1.
Trang|15
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
III. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI MINH HỌA THEO CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH
ĐỀ THI MINH HỌA - 01 THPT QUỐC GIA 2017
Nguồn: Bộ Giáo dục và Đào tạo
Hướng dẫn giải: thầy Nguyễn Bá Tuấn
Câu 1: Đường cong trong hình bên l{ đồ thị của một h{m số trong bốn
h{m số được liệt kê ở bốn phương |n A,B,C,D dưới đ}y. Hỏi h{m số
đó l{ h{m số n{o?
A y x 2 x 1 B. y x3 3x 1
C y x 4 x 2 1 D. y x3 3x 1
Lời giải
C1: Nhìn v{o đồ thị có ngay a>0 nên loại A, B. Đồ thị đ~ cho l{ đồ thị h{m bậc 3 nên chọn
luôn D
C2:
Đồ thị h{m số ở hình bên có hai điểm cực trị v{ lim y ;lim
x
x
A Sai vì đ}y l{ đồ thị h{m bậc hai chỉ có một điểm cực trị
C Sai vì đồ thị h{m trùng phương nhận Oy l{m trục đối xứng
B Sai do lim y , hệ số a<0.
x
Vậy chọn D.
Câu 2:Cho h{m số y f x có lim f x 1 và lim f x 1 . Khẳng định n{o sau đ}y
x
x
l{ khẳng định đúng ?
A. Đồ thị h{m số đ~ cho không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị h{m số đ~ cho có đúng một tiệm cận ngang
C. Đồ thị h{m số đ~ cho có hai tiệm cận ngang l{ c|c đường thẳng y 1 và y 1
D. Đồ thị h{m số đ~ cho có hai tiệm cận ngang l{ c|c đường thẳng x 1 và x 1
Lời giải:
Ta có:
+) lim f ( x) 1 y 1 l{ một đường tiệm cận ngang
x
+) lim f ( x) 1 y 1l{ một đường tiệm cận ngang.
x
Vậy chọn C.
Câu 3: Hỏi h{m số y 2 x 4 1 đồng biến trên khoảng n{o?
1
A. ;
2
1
C. ;
2
B. 0;
D.
;0
Lời giải:
Trang|16
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
Ta có y 8x3 0 x 0 . Do đó h{m số đ~ cho đồng biến trên khoảng (0; )
Vậy chọn B.
Câu 4: Cho h{m số y f x xác định, liên tục trên R v{ có bảng biến thiên:
Lời giải:
Sai vì h{m số có hai cực trị
Sai vì h{m số có gi| trị cực tiểu bằng -1
Sai vì h{m số không có gi| trị lớn nhất v{ gi| trị nhỏ nhất trên R
Đúng
Vậy chọn D.
A.
B.
C.
D.
Câu 5: Tìm gi| trị cực đại yCD của h{m số y x3 3x 2
A. yCD 4
B. yCD 1
C. yCD 0
D.
yCD 1
Lời giải:
x 1 y 4
Ta có y 3x 2 3 0
x 1 y 1
Vậy gi| trị cực đại của h{m số bằng 4(h{m bậc 3 có gi| trị cực đại lớn hơn gi| trị cực
tiểu).
Vậy chọn A.
x2 3
trên đoạn 2; 4
x 1
B. min y 2
C. min y 3
Câu 6:Tìm gi| trị nhỏ nhất của h{m số y
A. min y 6
2;4
min y
2;4
2;4
2;4
D.
19
3
Lời giải:
C1: Do xét trên [2;4] nên dễ thấy y>0 từ đó loại B,C. Còn lại A v{ D thử thấy x=3 thì y=6
v{ do nên chọn D. ( có thể dùng casio để tìm x)
Trang|17
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Ta có: y
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
x 1(loai)
x2 2 x 3
( do ta xét trên đoạn 2; 4 )
0
x 1
x 3
H{m số liên tục trên đoạn 2; 4 và ta có y 2 7; y 3 6; y 4
19
.
3
Vậy chọn A.
Câu 7:Biết rằng đường thẳng y 2 x 2 cắt đồ thị h{m số y x3 x 2 tại điểm duy
nhất ; ký hiệu x0 ; y0 l{ toạ độ của điểm đó. Tìm y0
A. y0 4
B. y0 0
C. y0 2
D.
y0 1
Lời giải:
C|ch
1:
Phương
trình
ho{nh
3
3
2 x 2 x x 2 x 3x 0 x 0 y 2
độ
giao
điểm:
Vậy chọn C.
Câu 8: Tìm tất cả c|c gi| trị thực của tham số m sao cho đồ thị của h{m số
y x 4 2mx 2 1 có 3 điểm cực trị tạo th{nh tam gi|c vuông c}n
1
A. m 3
9
m 1
Lời giải:
B. m 1
C. m
1
3
9
D.
x 0
Ta có: y 4 x3 4mx 0 2
x m
Điều kiện h{m số có 3 điểm cực trị–m>0(có thể nhìn nhanh để hs bậc 4 trùng phương
có 3 cực trị thì a.b<0) m<0 => Ta loại đ|p |n C, D (*)
Khi đó tọa độ 3 điểm cực trị l{ A(0;1); B ( m ; m2 1) ; C ( m; m2 1)
Ta thấy AB=AC nên tam gi|c ABC luôn c}n tại A.
m 0(loai)
Vậy YCBT AB. AC 0 m m4 0
m 1
Hướng kh|c: Từ (*) Đến đ}y chỉ còn đ|p |n A hoặc B đúng. Thay m=1 ta có tọa độ 3
điểm A(0;1); B(1;0);C(-1:0) thấy TM tam gi|c ABC vuông c}n nên chọn B. Nếu ko thỏa
m~n ta sẽ chọn A.
Vậy chọn B.
Câu 9:Tìm tất cả c|c gi| trị thực của tham số m sao cho đồ thị của h{m số : y
x 1
mx 2 1
có 2 tiệm cận ngang.
A. Không có gi| trị thực n{o của m thỏa m~n yêu cầu đề b{i.
Trang|18
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
Khóa học online http://bit.ly/khoa-pen-m-mon-Toan
Thầy Nguyễn Bá Tuấn
B. m 0
C. m 0
D. m 0
Lời giải:
Khi m=0 ta có y= x+1 Đồ thị h{m số không có tiệm cận => Loại
1
1
x 1
x 1 => y= 1 l{ một tiệm cận ngang
Khi m>0 có lim
lim
2
x
x
1
m
m
mx 1
m 2
x
1
1
x 1
x 1 => y= - 1 l{ một tiệm cận ngang
lim
lim
2
x
x
1
m
m
mx 1
m 2
x
Khi m<0 Đồ thị h{m số không có tiệm cận.
Vậy chọn D.
C2: m=1 thay v{o rồi dùng casio tìm tiệm cận ngang sẽ thấy có 2 tiệm cận ngang l{ y=1
và y=-1 nên chọn D
Câu 10: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm
nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm , rồi gập tấm
nhôm lại như hình vẽ dưới đ}y để được một c|i hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được
có thể tích lớn nhất.
A. x 6
x4
B. x 3
C. x 2
D.
Lời giải:
Gọi x l{ cạnh hình vuông bị cắt ( 0
0 x>1
Phương trình trở th{nh x 1 43 x 65 ( TM)
Vậy chọn B.
Câu 13:Tính đạo h{m của h{m số y 13x .
Trang|20
https://www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan/
.PDF 
72 
1475 
117 
