Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Thể loại khác Chưa phân loại Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng....

Tài liệu Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng.

.PDF
91
488
127

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62 46 01 04 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS. TS. TẠ THỊ HOÀI AN 2. GS. TSKH. HÀ HUY KHOÁI Nghệ An - 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Nguyễn Thị Ngọc Diệp ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Thị Hoài An và GS. TSKH. Hà Huy Khoái. Lời đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Tạ Thị Hoài An, người Cô nghiêm khắc và mẫu mực, đã định hướng nghiên cứu, đặt bài toán và hướng dẫn tác giả tận tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận án. Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Hà Huy Khoái, người đã thường xuyên quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên, khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin được cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Sau đại học, Ban Giám hiệu, các phòng ban chức năng của Trường Đại học Vinh đã tạo các điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong Khoa Toán, Tổ Đại số đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập và nghiên cứu. Tác giả xin cảm ơn Viện Toán học, phòng Lý thuyết số, phòng Đại số, các nhà khoa học của Viện Toán đã giúp đỡ tác giả, tạo môi trường học tập cũng như tham gia các buổi sinh hoạt khoa học của Viện để tác giả có thể hoàn thành luận án. Nhân dịp này tác giả xin cảm ơn đến TS. Chu Trọng Thanh đã quan tâm cũng như giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập. Xin cảm ơn các thầy cô, bạn bè về những trao đổi, chia sẻ trong công iii việc cũng như trong cuộc sống. Xin cảm ơn các anh chị em nghiên cứu sinh của Viện Toán, của Trường Đại học Vinh về những chia sẻ, động viên trong quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tác giả xin kính dâng luận án này đến hương hồn Bố, kính tặng Mẹ, tặng em Ngọc Bảo. Chính Mẹ và em đã chấp nhận mọi khó khăn và dành hết tình thương yêu cho tác giả trong suốt những năm tháng qua để tác giả có thể hoàn thành luận án này. Nghệ An, 2014 Nguyễn Thị Ngọc Diệp MỤC LỤC Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu 2 Mở đầu 3 1 2 Kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Đa tạp đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Cấu xạ giữa các đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Không gian Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Các nhân tử bất khả quy có giống thấp của đường cong trên trường số phức 20 2.1 Phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu Wronskian 20 2.2 Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Một số điều kiện đủ để mọi thành phần bất khả quy của 22 đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn hơn 1 . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Các đa thức thoả mãn Giả thiết I . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 Các đa thức không thoả mãn Giả thiết I . . . . . . . . . 33 2.4 Điều kiện cần và đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 . . . . . . . . . . . . . . iv 34 1 2.4.1 Bội giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.2 Phép biến đổi toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.3 Điều kiện cần và đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành 2.5 3 phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 . . . . . . . . . . . . . . 39 Một số ứng dụng và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Độ cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách 56 3.1 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Chặn trên của các độ cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Phương trình biến tách P (x) = Q(y) với P, Q thoả mãn Giả thiết I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 62 66 Điều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Kết luận và kiến nghị 78 Danh mục công trình của NCS liên quan đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81 2 MỘT SỐ KÝ HIỆU C : Trường các số phức k : Trường An (k) : Không gian afin n chiều trên trường k Pn (k) : Không gian xạ ảnh n chiều trên trường k k[x1 , . . . , xn ] : Vành đa thức n biến trên trường k degf : Bậc của đa thức f V (S) : Tập nghiệm của hệ đa thức S ∅ : Tập rỗng A ⊂ B : A là tập con của B A 6⊂ B : A không là tập con của B A ∩ B : A giao B A ∪ B : A hợp B idX : Ánh xạ đồng nhất từ tập X vào chính nó I(X) : Iđêan của X Γ(X) : Vành toạ độ của X J (V, k) : Tập hợp tất cả các hàm từ tập V vào k gcd(a, b) : Ước chung lớn nhất của a và b 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Một trong những bài toán cơ bản của Lý thuyết số được nhiều nhà toán học đặc biệt quan tâm là bài toán giải phương trình Diophant. Ban đầu người ta nghiên cứu nghiệm nguyên của những phương trình Diophant với các hệ số là những số nguyên. Sau đó, việc xem xét nghiệm của các phương trình Diophant được mở rộng trên tập các số hữu tỷ và trên trường các hàm như hàm phân hình phức, hàm phân hình không Acsimet, hàm hữu tỷ. Cho P và Q là các đa thức một biến trên trường đóng đại số k. Bài toán tồn tại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g) từ lâu đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Bên cạnh đó, bài toán về sự phân tích đa thức P (x) − Q(y) thành các nhân tử bất khả quy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đa thức này khi k là một trường số cũng được nhiều nhà toán học nghiên cứu. Theo Định lý Faltings và Định lý Picard, hai bài toán này liên quan chặt chẽ với nhau. Ngay từ những năm đầu thế kỷ XX, một số kết quả của các bài toán này đã được đưa ra bởi các công trình của J. F. Ritt [36], sau đó là A. Ehrenfeucht [19], H. Davenport, D. J. Lewis và A. Schinzel [16], M. Fried [22], ... Khi Q = cP , C. C. Yang và P. Li trong [44] đã giới thiệu khái niệm đa thức duy nhất mạnh. Cụ thể, đa thức P (x) trên trường đóng đại số k được gọi là đa thức duy nhất mạnh đối với họ các hàm F nếu với mọi 4 hàm f, g ∈ F và hằng số c khác không nào đó mà P (f ) = cP (g) thì c = 1 và f = g . Cho đến nay bài toán tìm điều kiện để một đa thức là đa thức duy nhất mạnh đối với một họ hàm đã được giải quyết trọn vẹn trong trường hợp phức cũng như trong trường hợp p-adic cho họ các hàm phân hình, hàm nguyên hay hàm hữu tỷ ([2], [3], [4], [5], [8], [24], [30], [43]). Thời gian gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu một mở rộng tự nhiên của vấn đề đa thức duy nhất mạnh, đó là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình P (x) = Q(y). Theo Định lý Picard, phương trình P (f ) = Q(g) không có nghiệm hàm phân hình (f, g) khác hằng nếu và chỉ nếu đường cong P (x) − Q(y) = 0 không chứa bất kỳ thành phần nào có giống 0 hoặc 1. Một số điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 0 đã được đưa ra bởi J. F. Ritt ([36]) và U. M. Zannier ([46]). R. M. Avanzi và U. M. Zannier ([11]) đã đưa ra một điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 1. Trong trường số phức, một số điều kiện đối với các bậc của P và Q để phương trình P (x) = Q(y) không có nghiệm hàm phân hình khác hằng cũng được xem xét bởi các tác giả H. H. Khoái và C. C. Yang trong [31], C. C. Yang và P. Li trong [45]. Gần đây, trong [7], T. T. H. An và A. Escassut đã xem xét vấn đề này trong trường không Acsimet. Họ đã đưa ra điều kiện đủ khi P và Q thoả mãn Giả thiết I, giả thiết được giới thiệu lần đầu tiên bởi Fujimoto trong [24], và điều kiện cần và đủ khi degP = degQ. Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ của đường cong không có nhân tử có giống bé hơn hoặc bằng 1 vẫn đang là vấn đề mở. Đồng thời, vấn đề xem xét phương trình P (x) = Q(y) trên trường các hàm hữu tỷ là đề tài thời sự đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm. Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên 5 cứu cho luận án của mình là: Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận án là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu tỷ của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số, đồng thời xem xét các điều kiện để đa thức hai biến có các nhân tử có giống thấp. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số. 4. Phạm vi nghiên cứu Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu tỷ, hàm phân hình của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số. 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng những phương pháp của giải tích phức và hình học đại số, lý thuyết số trong quá trình thực hiện đề tài luận án, đặc biệt là lý thuyết độ cao, lý thuyết kỳ dị, phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu Wronskian trên một đường cong đại số. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 6.1. Ý nghĩa khoa học Luận án góp phần làm sáng tỏ vấn đề khi nào phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số có nghiệm hàm hữu tỷ, hàm phân hình khác hằng. 6 6.2. Ý nghĩa thực tiễn Luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh, giúp ích cho việc xây dựng những nhóm nghiên cứu về giải tích phức, số học và hình học đại số. 7. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan luận án Bài toán giải phương trình Diophant từ lâu đã luôn hấp dẫn các nhà toán học. Một trong những bài toán khó và nổi tiếng nhất là Bài toán Fermat: không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y và z thoả mãn xn + y n = z n , trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2. Bài toán Fermat đã là bài toán mở trong suốt hơn ba thế kỷ vừa qua và cuối cùng nó đã được chứng minh bởi Andrew Wiles năm 1993. Bên cạnh việc xem xét nghiệm nguyên của các phương trình Diophant ban đầu với các hệ số nguyên, người ta mở rộng hướng nghiên cứu với việc xét các phương trình Diophant trên trường các hàm như trường các hàm phân hình phức, trường các hàm phân hình không Acsimet, trường các hàm hữu tỷ. Cho phương trình P (x) = Q(y), trong đó P và Q là các đa thức một biến trên trường đóng đại số k. Có hai vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên: Thứ nhất, tồn tại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g)? Thứ hai, vấn đề về sự phân tích đa thức P (x) − Q(y) thành các nhân tử bất khả quy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đa thức này khi k là một trường số. Liên quan tới các hướng nghiên cứu này ta có những kết quả của Faltings và Picard. Khi k là trường số phức, Định lý Picard nói rằng phương trình P (f ) = Q(g) không có nghiệm là các hàm phân hình khác hằng f và g khi đường cong phẳng P (x) = Q(y) không có các thành phần 7 bất khả quy có giống 0 hoặc 1. Tương tự, một định lý của Faltings nói rằng nếu đường cong phẳng P (x) = Q(y) không có các thành phần bất khả quy có giống bé hơn 2, thì với mỗi trường số k mà trên đó P và Q được xác định, phương trình P (x) = Q(y) chỉ có hữu hạn nghiệm k- hữu tỷ. Như vậy, thực chất hai vấn đề trong hai hướng nghiên cứu nêu trên có liên quan rất chặt chẽ với nhau. Cả hai hướng nghiên cứu này liên quan đến một vấn đề đã được nêu ra bởi D. Hilbert trong bài toán thứ 10 của ông tại Đại hội Toán học thế giới lần thứ hai ở Paris năm 1900, đó là tồn tại hay không thuật toán tổng quát để giải các phương trình Diophant? Câu trả lời phủ định được đưa ra bởi Yu. Matijasievich năm 1970. Như vậy, những vấn đề được các nhà toán học quan tâm là tìm điều kiện của các đa thức P và Q để phương trình P (x) = Q(y) có hữu hạn nghiệm nguyên, xem xét tính bất khả quy của đa thức P (x) − Q(y), đồng thời xem xét sự tồn tại nghiệm là các hàm khác hằng của phương trình P (x) = Q(y). Những vấn đề này đã thu hút được nhiều tác giả nghiên cứu. Khi bậc của P và Q nguyên tố cùng nhau, theo tiêu chuẩn của Ehrenfeucht ([19], [42]) ta có đường cong P (x) − Q(y) bất khả quy. Trong một số trường hợp đặc biệt và với giả thiết P không phân tích được (nghĩa là, P không thể viết được dưới dạng hợp thành của hai đa thức có bậc lớn hơn 1), Tverberg đã xác định trong [42, Ch. 2] khi nào P (x) − P (y) có thể chứa x−y nhân tử tuyến tính hoặc bậc hai. Tương tự, Bilu trong [13] đã xác định tất cả các cặp đa thức sao cho P (x) − Q(y) chứa nhân tử bậc hai ... Trong trường hợp đa thức Q = cP với c khác 0, cho đến nay bài toán với phương trình hàm P (f ) = cP (g) đã được giải quyết trọn vẹn ([2], [3], [4], [5], [8], [24], [30], [43]). Trong trường hợp tổng quát, bài toán tìm điều kiện để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 0 hoặc 1 vẫn còn nhiều vấn đề cần quan tâm. J. F. Ritt ([36]) và U. M. Zannier 8 ([46]) đã đưa ra một số điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 0. Sau đó, R. M. Avanzi và U. M. Zannier ([11]) đã đưa ra một điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống 1. Bằng cách sử dụng lý thuyết kỳ dị và tính toán giống của các đường cong đại số dựa vào đa giác Newton, H. H. Khoái và C. C. Yang trong [31] đã đưa ra một số điều kiện đủ đối với các bậc của P và Q. Trong trường số phức, các điều kiện chi tiết hơn khi bậc của P và Q là 2, 3, 4 được xác định bởi C. C. Yang và P. Li ([45]). Với trường hợp trường số phức, R. M. Avanzi và U. M. Zannier trong [12] đã mô tả đường cong có dạng P (x) = P (y) có giống ít nhất bằng 1. Khi đa thức P thoả mãn Giả thiết I của Fujimoto (tức P là đơn ánh trên tập các nghiệm của đạo hàm của P ), các đặc trưng đầy đủ của đường cong P (x) − cP (y) = 0 có tất cả các thành phần bất khả quy có giống ít nhất bằng 2 được đưa ra trong [2], [4] và [24], trong đó c là một hằng số phức khác 0. Năm 2008, T. T. H. An và A. Escassut ([7]) đã xem xét vấn đề này trong trường không Acsimet. Họ đã đưa ra điều kiện đủ khi P và Q thoả mãn Giả thiết I, và điều kiện cần và đủ khi P và Q có cùng bậc. Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ của đường cong không có nhân tử có giống bé hơn hoặc bằng 1 vẫn đang là vấn đề mở. Để tiếp cận bài toán nêu trên, người ta thường sử dụng hai phương pháp chính. Phương pháp thứ nhất là dùng Lý thuyết phân bố giá trị của R. Nevanlinna để đánh giá hàm đặc trưng. Phương pháp thứ hai là sử dụng các kết quả cổ điển của Lý thuyết số để nghiên cứu tính bất khả quy và giống của đường cong P (x) − Q(y). Tuy nhiên cả hai phương pháp này đều có những mặt hạn chế. Năm 2003, T. T. H. An, J. T. Y. Wang và P. M. Wong trong [3] đã đưa ra một phương pháp tiếp cận mới, đó là xây dựng các 1-dạng chính quy không tầm thường. Với phương pháp này, các tác giả không cần quan tâm đến tính bất khả quy của đường cong, 9 đồng thời việc ước lượng, tính toán cũng đơn giản hơn nhờ vào việc xem xét các điểm kỳ dị của đường cong đó. Tiếp tục sử dụng phương pháp nói trên của T. T. H. An, J. T. Y. Wang và P. M. Wong, trong luận án này, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đủ để đường cong phẳng P (x) = Q(y) không có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1, trong đó P và Q là các đa thức một biến trên trường số phức. Khi hai đa thức thoả mãn Giả thiết I của Fujimoto và có bậc bằng nhau, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để đường cong phẳng đó có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1. Khi k là trường đóng đại số bất kỳ có đặc số 0, C là đường cong trơn có giống g trên k, và K là trường hàm của nó, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đối với P và Q sao cho nếu f và g là các phần tử của K thoả mãn phương trình P (f ) = Q(g), thì các độ cao của f và g bị chặn trên. Từ đó chúng tôi đưa ra điều kiện đối với P, Q để phương trình P (x) = Q(y) có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng. 7.2. Cấu trúc luận án Nội dung của luận án được trình bày trong ba chương. Chương 1, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất làm kiến thức cơ sở cho các chương sau, bao gồm bốn mục. Mục 1.1, trình bày về đa tạp đại số; Mục 1.2, trình bày về cấu xạ giữa các đa tạp; Mục 1.3, trình bày về đường cong phẳng; Mục 1.4, trình bày về không gian hyperbolic. Chương 2, chúng tôi nghiên cứu các nhân tử bất khả quy có giống thấp của đường cong xác định bởi các đa thức biến tách trên trường số phức, bao gồm năm mục. Mục 2.1, trình bày phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu Wronskian; Mục 2.2, trình bày một số bổ đề cần cho việc chứng minh các kết quả chính trong luận án; Mục 2.3, trình bày một số điều kiện đủ để mọi thành phần bất khả quy của đường cong P (x) = Q(y) 10 có giống lớn hơn 1; Mục 2.4, trình bày điều kiện cần và đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1; Mục 2.5, trình bày một số ứng dụng và ví dụ cụ thể về sự tồn tại hoặc không tồn tại nghiệm hàm phân hình khác hằng của phương trình P (x) = Q(y) với P và Q là các đa thức một biến trên trường số phức. Chương 3, chúng tôi trình bày những kết quả về độ cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách, bao gồm bốn mục. Mục 3.1, trình bày một số kết quả bổ trợ cần cho việc chứng minh các kết quả chính; Mục 3.2, trình bày về chặn trên của độ cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách; Mục 3.3, trình bày về phương trình biến tách P (x) = Q(y) với P, Q thoả mãn Giả thiết I; Mục 3.4, trình bày điều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm hữu tỷ khác hằng. Các kết quả trong luận án đã được báo cáo tại: • Xemina tổ Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Vinh. • Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp, Huế, 8/2012. • Xemina nhóm nghiên cứu ở Viện nghiên cứu cao cấp về Toán. Các kết quả trong luận án đã được đăng ở các tạp chí: International Journal of Mathematics, Journal of Number Theory, Journal of Science Vinh university. 11 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản dùng trong việc nghiên cứu các bài toán ở các chương sau. Các khái niệm và tính chất này chủ yếu được tham khảo trong các tài liệu [27], [28], [29], [32], [33] và [40]. 1.1 Đa tạp đại số 1.1.1 Định nghĩa. Cho k là trường tuỳ ý và F (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ k[x1 , x2 , . . . , xn ]. Một điểm P = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ An (k) được gọi là không điểm của F nếu F (P ) = F (a1 , a2 , . . . , an ) = 0. Nếu F không là hằng, thì tập các không điểm của F được gọi là siêu mặt xác định bởi F , và được ký hiệu là V (F ). Một siêu mặt trong A2 (k) được gọi là một đường cong phẳng. Nếu F là một đa thức bậc 1, thì V (F ) được gọi là siêu phẳng trong An (k); nếu n = 2 thì V (F ) gọi là đường. Tổng quát hơn, nếu S là tập các đa thức bất kỳ trong k[x1 , x2 , . . . , xn ], thì V (S) = {P ∈ An (k) | F (P ) = 0 với mọi F ∈ S} gọi là tập đại số trong An (k). Do hợp của hai tập đại số là một tập đại số, giao của họ tuỳ ý các tập đại số là một tập đại số, tập rỗng và toàn bộ không gian An (k) là các tập 12 đại số nên ta có thể trang bị một tôpô gọi là tôpô Zariski trên An (k) bằng cách coi các tập đại số là các tập đóng. Từ đây về sau, các tập đóng và các tập mở đều được hiểu theo tôpô Zariski. 1.1.2 Định nghĩa. (1) Một tập đại số V ⊂ An (k) được gọi là khả quy nếu V = V1 ∪ V2 , trong đó V1 , V2 là các tập đại số trong An (k) và Vi 6= V, i = 1, 2. Ngược lại, V được gọi là bất khả quy. (2) Một tập đại số bất khả quy trong An (k) gọi là một đa tạp afin. (3) Một tập con mở của một đa tạp afin gọi là đa tạp tựa afin. 1.1.3 Định lý ([27]). Giả sử V là tập đại số trong An (k). Khi đó, tồn tại duy nhất các tập đại số bất khả quy V1 , V2 , . . . , Vm sao cho V = V1 ∪V2 ∪. . .∪Vm và Vi 6⊂ Vj với mọi i 6= j . Các Vi được gọi là các thành phần bất khả quy của V ; V = V1 ∪V2 ∪. . .∪Vm là sự phân tích V thành các thành phần bất khả quy. 1.1.4 Nhận xét. Với bất kỳ tập con X của An (k), I(X) = {F ∈ k[x1 , . . . , xn ] | F (a1 , . . . , an ) = 0 với mọi (a1 , . . . , an ) ∈ X} là một iđêan của k[x1 , . . . , xn ]. 1.1.5 Định nghĩa. I(X) được gọi là iđêan của X . Cho V ⊂ An (k) là một đa tạp afin. Khi đó, I(V ) là một iđêan nguyên tố trong k[x1 , . . . , xn ], vì vậy k[x1 , . . . , xn ]/I(V ) là một miền nguyên. Ta gọi k[x1 , . . . , xn ]/I(V ) là vành toạ độ của V , ký hiệu là Γ(V ). 1.1.6 Định nghĩa. (1) Với mỗi tập S không rỗng gồm các đa thức thuần nhất trong k[x1 , x2 , . . . , xn+1 ] thì V (S) = {P ∈ Pn (k) | F (P ) = 0 với mọi F ∈ S} được gọi là tập đại số xạ ảnh trong Pn (k). (2) Một tập đại số V ⊂ Pn (k) được gọi là bất khả quy nếu nó không là hợp của hai tập đại số bé hơn thực sự. (3) Một tập đại số bất khả quy trong Pn (k) được gọi là một đa tạp xạ ảnh. (4) Một tập con mở của một đa tạp xạ ảnh gọi là đa tạp tựa xạ ảnh. 13 Ví dụ: đường cong xạ ảnh trong P2 (k) là tập các không điểm của một đa thức thuần nhất khác hằng thuộc k[x1 , x2 , x3 ]. 1.2 Cấu xạ giữa các đa tạp Cho V 6= ∅ là một tập điểm tuỳ ý trong An (k). Ta ký hiệu J (V, k) là tập tất cả các hàm từ V vào k. J (V, k) được trang bị cấu trúc vành theo cách thông thường: nếu f, g ∈ J (V, k), (f + g)(x) = f (x) + g(x), (f g)(x) = f (x)g(x), với mọi x ∈ V . 1.2.1 Định nghĩa. Cho V ⊂ An (k) là một đa tạp afin, hàm f ∈ J (V, k) được gọi là hàm đa thức nếu tồn tại một đa thức F (x1 , . . . , xn ) ∈ k[x1 , . . . , xn ] sao cho f (a1 , . . . , an ) = F (a1 , . . . , an ) với mọi (a1 , . . . , an ) ∈ V . Tập các hàm đa thức trên V lập thành một vành con của J (V, k) chứa k. Ta có F |V = G|V khi và chỉ khi (F −G)(a1 , . . . , an ) = 0 với mọi (a1 , . . . , an ) ∈ V , tức là F − G ∈ I(V ). Vì vậy, ta có thể đồng nhất Γ(V ) với vành con k[V ] của J (V, k) chứa tất cả các hàm đa thức trên V . 1.2.2 Định nghĩa. Cho V ⊂ An (k), W ⊂ Am (k) là các đa tạp afin. Ánh xạ ϕ : V −→ W được gọi là ánh xạ đa thức nếu tồn tại các đa thức ϕ1 , . . . , ϕm ∈ k[x1 , . . . , xn ] sao cho ϕ(a1 , . . . , an ) = (ϕ1 (a1 , . . . , an ), . . . , ϕm (a1 , . . . , an )) với mọi (a1 , . . . , an ) ∈ V . Ta gọi ϕi là hàm toạ độ thứ i của ϕ. 1.2.3 Nhận xét. (1) ϕ là ánh xạ đa thức nếu ϕ1 , . . . , ϕm là các hàm đa thức. (2) Cho ϕ : V −→ W là ánh xạ tuỳ ý. Khi đó, ϕ cảm sinh một đồng cấu vành ϕ e : J (W, k) −→ J (V, k), 14 trong đó ϕ(f e ) = f ◦ ϕ. Nếu ϕ là ánh xạ đa thức, thì ϕ(Γ(W e )) ⊂ Γ(V ), do đó ϕ e hạn chế thành một đồng cấu từ Γ(W ) vào Γ(V ). 1.2.4 Mệnh đề ([27]). Cho V ⊂ An (k), W ⊂ Am (k) là các đa tạp afin. Khi đó tồn tại phép tương ứng tự nhiên 1 - 1 giữa các ánh xạ đa thức ϕ : V −→ W và các đồng cấu vành ϕe : Γ(W ) −→ Γ(V ). Mỗi ánh xạ đa thức ϕ như thế là sự thu hẹp của một ánh xạ đa thức từ An (k) vào Am (k). 1.2.5 Định nghĩa. Ánh xạ đa thức ϕ : V −→ W được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một ánh xạ đa thức ψ : W −→ V sao cho ψ ◦ ϕ = idV và ϕ ◦ ψ = idW . Từ Mệnh đề 1.2.4 ta thấy hai đa tạp afin đẳng cấu khi và chỉ khi các vành toạ độ của chúng đẳng cấu. 1.2.6 Định nghĩa. Với mọi tập X trong Pn (k), ta gọi I(X) = {F ∈ k[x1 , . . . , xn+1 ] | F (a1 , . . . , an+1 ) = 0 với mọi (a1 , . . . , an+1 ) ∈ X} là iđêan của X . Cho V là đa tạp xạ ảnh trong Pn (k). I(V ) là một iđêan nguyên tố, do đó vành thương Γh (V ) = k[x1 , . . . , xn+1 ]/I(V ) là một miền nguyên. Γh (V ) được gọi là vành toạ độ thuần nhất của V . Giả sử kh (V ) là trường thương của Γh (V ); kh (V ) được gọi là trường hàm thuần nhất của V . 1.2.7 Định nghĩa. Cho V là đa tạp xạ ảnh trong Pn (k). Trường hàm của V , ký hiệu k(V ), là f với các đa thức thuần nhất f, g ∈ Γh (V ) cùng bậc }. g Các phần tử của k(V ) được gọi là các hàm hữu tỷ trên V . {z ∈ kh (V ) | z = Cho z ∈ k(V ) là một hàm hữu tỷ trên V và P ∈ V . Ta nói rằng z xác f g thức thuần nhất cùng bậc và g(P ) 6= 0. Ký hiệu OP (V ) = {z ∈ k(V ) | z xác định tại P nếu z có thể viết được dưới dạng z = , trong đó f, g là các đa định tại P }. Tập hợp các điểm P ∈ V tại đó hàm hữu tỷ z không xác định được gọi là tập hợp cực điểm của z .
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan