Tài liệu Skkn đổi mới trong rèn luyện, ôn tập cho bộ môn toán và đổi mới kiểm tra đánh giá trong dạy và học toán lớp 12 ở trường thpt

MỤC LỤC NỘI DUNG TT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 TRANG Lý do chọn đề tài 2 Cơ sở lý luận 3 A . Thực trạng học tập bộ môn Toán ở trường THPT Tràm Chim B . Biê nê pháp đổi mới trong rèn luyê ên, ôn tâ pê cho bô ê môn toán và đổi mới kiểm tra đánh giá trong dạy và học toán lớp 12 ở trường THPT Tràm Chim Thuận lợi, khó khăn khi thực hiện đề tài 4 5 10 C . Khảo sát ý kiến học sinh về đổi mới phương pháp ôn tập, kiểm tra đánh giá cho học sinh khối 12 về môn toán. Phần ôn tập củng cố kiến thức các bước giải bài toán lớp 12, Chủ đề I, II, III Ôn tập chủ đề IV : Nguyên hàm tích phân 11 13 19 Ôn tập chủ đề V : Phương pháp tọa độ. 24 Các bài toán số phức trong các kỳ thi TN và ĐHCĐ 31 Đề kiểm tra thử HKI Toán 12 năm học 2010 – 2011 Đề kiểm tra HKI Toán 12, năm học 2010 – 2011 Bảng Câu hỏi Khảo sát . “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 4 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI “Đổi mới trong rèn luyên, ê ôn tâpê cho bô ê môn Toán và đổi mới Kiểm tra đánh giá trong dạy và học Toán lớp 12 ở trường THPT Tràm Chim” Khi thực hiện chủ trương “ Nói không với bệnh thành tích trong giáo dục”, Thực hiện mùa thi nghiêm túc với phương pháp thi chung cụm, chấm thi chéo, coi thi nghiêm túc. Trong các năm học qua, tỉ lệ tốt nghiệp trung học phổ thông của trường Trung học phổ thông trong tỉnh nói chung và trường Trung học phổ thông Tràm Chim có chiều hướng đi xuống. Kết quả đó có trách nhiệm của việc dạy và học môn Toán. Nhiều năm liền, tỉ lệ trên trung bình của học sinh Tràm Chim tuy có nâng cao, nhưng vẫn chưa bằng mặt bằng chung của tỉnh. Để khắc phục tồn tại đó, Tôi chọn đề tài “Đổi mới trong rèn luyên, ê ôn tâ êp cho bô ê môn Toán và đổi mới Kiểm tra đánh giá trong dạy và học Toán lớp 12 ở trường THPT Tràm Chim”, với mục đích góp phần nâng cao tỉ lệ trung bình của học sinh về môn Toán , từng bước từ kiểm tra thường xuyên, đến học kỳ, thi tốt nghiệp THPT và tiến tới các kỳ thi vào Cao Đẳng, Đại học. Được sự ủng hộ của ban giám hiệu, của tổ bộ môn Toán và học sinh, Tôi xin trình bày quá trình thực hiện và bước đầu kết quả của đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Đổi mới trong rèn luyên, ê ôn tâpê cho bô ê môn Toán và đổi mới Kiểm tra đánh giá trong dạy và học Toán lớp 12 ở trường THPT Tràm Chim” Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của Ban giám hiệu, Của Tổ chuyên môn đã góp phần cùng Tôi thực hiện chuyên đề nay ! *** “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 5 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI “Đổi mới trong rèn luyên, ê ôn tâpê cho bô ê môn Toán và đổi mới Kiểm tra đánh giá trong dạy và học Toán lớp 12 ở trường THPT Tràm Chim” 1/ Với chủ trương đổi mới phương pháp dạy và học, đổi mới kiểm tra đánh giá, để từng bược nâng cao hiệu quả dạy và học trong nhà trường phổ thông. Đã được các cấp lãnh đạo triển khai khi thực hiện thay sách giáo khoa bậc trung học phổ thông. Giáo viên đã được tập huấn và thực hành trong quá trình đổi mới phương pháp. 2/ Dựa vào tài liệu chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán Trung học phổ thông được bộ giáo dục ban hành kèm theo phân phối chương trình dạy toán . 3/ Trên tài liệu ôn tập thi tốt nghiệp môn toán của bộ giáo dục ban hành cho các năm 2009 , 2010. 4/ Tài liệu ôn tập của hội đồng bộ môn Toán Đồng tháp: Về đề thi mẫu học kỳ I, II, Thi tốt nghiệp trung học phổ thông. 5/ Dựa vào đề thi, đáp án thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2008 , 2009, 2010. 6/ Theo kế hoạch năm học của trường trung học phổ thông Tràm Chim , và kế hoạch hoạt động tổ Toán của trường THPT Tràm Chim. 7/ Phạm vi áp dụng : Khối 12, năm học 2010 – 2011. Các số liệu tính đến thời điểm kết thúc học kỳ I, và bước đầu điểm kiểm tra ở học kỳ 2 , năm học 2010 – 2011. Đó là những cơ sở cho việc thực hiện đề tài : “Đổi mới trong rèn luyên, ê ôn tâpê cho bô ê môn Toán và đổi mới Kiểm tra đánh giá trong dạy và học Toán lớp 12 ở trường THPT Tràm Chim”. “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 6 A . THỰC TRẠNG HỌC TÂÂP BÔ MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPT TRÀM CHIM 1/ Nguồn đầu vào : + Học sinh từ các Xã , Thị trấn vùng sâu, vùng xa: Nên chất lượng dạy và học không đồng đều. Có nhiều học sinh mất căn bản về môn Toán . + Phong trào tự học, tự làm bài tâ êp ở nhà quá yếu. 2/ Điểm số các bài kiểm tra 15’ , 45’ , thi học kỳ : + Nhiều lớp đa số chỉ phổ điểm 1,2,3. Điểm trên 5.0 và trên 8.0 rất ít. + Cuối năm thi lại môn Toán chiếm tỉ lê ê cao. + Điểm thi tốt nghiê êp 12 nhiều năm thua mă êt bằng tỉnh. 3/ Nguyên nhân : 3.1/ Cách dạy : Thực tế giáo viên dạy bám sát chương trình. Nhiều năm liên hầu như không có dạy phụ đạo hoặc dạy rất ít, không hệ thống, ít có dạy tăng tiết và củng cố các dạng bài toán cho học sinh trước và sau khi kiểm tra , lý do: không có phòng học trống trái buổi. Dẫn đến chỉ có số ít học sinh có trình đô ê khá nắm được bài trên lớp và theo kịp chương trình học. Đa số còn lại bị hụt hẫng kiến thức , dẫn đến dần mất căn bản bô ê môn . Đó là nguyên nhân chính làm cho các em sợ và chán học môn Toán. 3.2/ Cách học : Đa số các em chỉ biết làm bài theo các ví dụ sách giáo khoa mà giáo viên truyền đạt, cũng như làm theo bài tâ êp sách giáo khoa. Mà chưa nắm vững cách giải bài toán theo thuâ êt toán và quy trình khép kín của từng dạng toán trong chương trình từng lớp ở bâ êc THPT. Các em ít có cơ hô êi để khắc phục sai sót khi làm kiểm tra Toán : Nâng cao điểm số, Nhâ nê thức hiểu biết về cách giải các bài Toán đã học và kiểm tra. Trên mô êt số nhâ nê xét và đánh giá trên ,Tôi đề xuất mô êt số biênê pháp “đổi mới trong rèn luyên, ê ôn tâ êp cho bô ê môn Toán và đổi mới kiểm tra đánh giá trong dạy và học Toán lớp 12 ở trường THPT Tràm Chim”. Đã và đang được Tổ bô ê môn Toán áp dụng trong hai năm học qua. Nhằm thực hiê ên tốt viê êc dạy và học môn Toán, có mô êt mùa thi Tốt nghiê êp , Đại học , Cao đẳng tới đạt kết quả cao về môn Toán. Góp phần làm cơ sở cho viê êc dạy và học bô ê môn Toán ngày càng đạt kết quả cao hơn. “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 7 B/ BIÊÂN PHÁP: “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN “ PHẦN I / BIÊÂN PHÁP “ĐỔI MỚI TRONG RÈN LUYÊÂN, ÔN TÂÂP CHO BÔ MÔN TOÁN” A/ Yêu cầu đối với Giáo viên : 1/ Giáo viên dạy khối lớp nào thì phải nắm vững trọng tâm kiến thức từng bài, chương từ đầu năm. Có phương pháp luyê nê tâ pê giải Toán theo thuâ êt Toán, từng bước rõ ràng. Thống nhất trọng tâm từng chương trong các giáo viên dạy cùng khối lớp. 2/ Cụ thể cho chương trình Toán 12 : Ngay từ đầu năm học , 5 giáo viên được phân công dạy Toán 12 , đã sinh hoạt chuyên môn thống nhất các bước giải từng bài toán trọng tâm trong chương trình học kỳ một. Và từ đó, nhóm giáo viên đã lên sơ đồ, thuật toán thống nhất theo từng bước nhỏ. Dựa trên đáp án chấm thi tốt nghiệp của bộ giáo dục đào tạo ban hành, bám sát chương trình Toán 12 ban cơ bản. được thể hiê ên trong tài liê êu kèm theo ( Các bước giải bài toán trong chương trình Toán 12 Cơ bản ). Pho to đến từng học sinh. B/ Yêu cầu đối với Học sinh: 1/ Nắm vững trọng tâm từng bài, từng chủ đề, từng thuật toán cụ thể. Làm bài tập ở nhà theo yêu cầu của giáo viên bộ môn. Giải lại bài tập những bài chưa hiểu , sau khi được giáo viên sửa trên lớp. 2/ Tham gia các buổi học khép kín đầy đủ. Vận dụng được kiến thức đã học vào giải bài tập và kiểm tra. Có ý chí vươn lên trong học tập để đạt kết quả cao hơn các lần kiểm tra trước. 3/ Nghiêm túc trong kiểm tra đánh giá, kiểm tra lại. Để giáo viên biết nhược điểm , yếu điểm của mình mà uốn nắn sửa chữa kịp thời. 4/ Có đầy đủ tài liệu ôn tập mà giáo viên đã phổ biến: Các bước giải bài toán, tài liệu ôn tập của hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp biên soạn, Tài liệu ôn tập của bộ giáo dục ban hành. *** “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 8 PHẦN II / ĐỔI MỚI KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ KIẾN THỨC HỌC SINH, CỦNG CỐ VÀ ÔN TÂÂP LẠI KIẾN THỨC CÒN THIẾU HỤT HOĂÂC HỌC SINH CHƯA NẮM VỮNG 2.1/ Qua mỗi bài kiểm tra, giáo viên nên có ghi nhâ Ân sư tiếp thu của từng đối tượng học sinh, có biê n  pháp củng cố cu thể từng mảng kiến thức cho các đối tượng học sinh yếu – kém ; trung bình, khá giỏi. Với chủ trương kiểm tra chung các bài 45’ trong hai năm qua cho khối 12 về môn Toán, theo trọng tâm mà sách giáo viên hướng dẫn, đề xuất. Những bài đầu, kết quả rất thấp. Chúng tôi phải cho học sinh ôn tập, kiểm tra lại có khi đến hai lần, mới có kết quả trên trung bình khả quan xem được. Trên cơ sở đó, qua từng chương, bài, cuối học kỳ. Tổ thống nhất ôn tập theo phương phải giải cho từng bài toán thống nhất kèm theo ( Các bước giải bài toán trong chương trình Toán 12 Cơ bản ). Minh họa : Khi chuẩn bị kiểm tra học kỳ I , Năm học 2010 – 2011. Các lớp được kiểm tra đề theo bô ê đề ôn tâ êp của hô êi đồng bô ê môn như sau ( đề thi thử)(1). Sau thi thử , chấm và có bảng phân tích kết quả trên 2 lớp ( 80 học sinh ). Theo từng chủ đề : + Khảo sát , vẽ đồ thị hàm số. + Biê ên luâ nê số nghiê êm theo đồ thị, viết phương trình tiếp tuyến, tương giao đường thẳng và đồ thị + Đơn giản biểu thức, chứng minh biểu thức + Bài toán hình học không gian. + Gỉai phương trình lôgarít. + Giải bất phương trình mũ. + Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất . Có kết quả như sau: BẢNG KẾT QUẢ (TỔNG ĐIỂM) THEO NHÓM HỌC SINH, THEO CHỦ ĐỀ: Bài – Số câu Tổng 1 - 2 Câu 2 – 3 Câu 3 4 -2Câu 5 Số HS 1:2đ 2:1 đ 1:1đ 2:1đ 1:1đ 1 đ 1 đ 1 đ 1 đ 1 đ Nhóm \ Điểm Giỏi – Khá 34 67,75 21,75 32,5 33 13 33 8 31 29 7 Trung bình 26 52 8 23,5 20 13 6,5 2,5 8 15 8,5 Yếu – Kém 20 30 2,5 13,5 12,25 1 3 3 5 3 1 CÔêNG 80 149,75 32,25 69,5 65,25 27 42,5 13,5 44 47 16,5 “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 9 Phân tích bảng điểm trên, ta thấy: * Số học sinh nắm vững bài toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số chiếm : 149,75/160 = 93,6% . * Bài toán biê ên luâ nê số nghiê êm : 32,25 / 80 = 40% . * Bài toán đơn giản biểu thức mũ và lô ga rít : 69,5/80 = 86,7% ; 65,25/80 = 81,6% . * Bài toán tìm thể tích hình chóp (3.2) : 42,5/80 = 53,1%. * Bài toán tìm tâm bán kính mă êt cầu ngoai tiếp : 13,5/80 = 16,9% . * Bài toán giải phương trình, bất phương trình logarit và hàm số mũ đạt = 57,5%. * Bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất , đạt : 16,5/80 = 20,6% . Phân loại học sinh : Khá giỏi : 34 / 80 = 42,5% . Trung bình : 26/80 = 32,5%. Yếu – kém : 20/80 = 25%. Tỉ lê ê này khá cao do : - Chất lượng dạy có nâng lên so khảo sát đầu năm , Do ôn tập và phân loại kỹ đối tượng để dạy sát kiên thức, sát đối tượng . Nhưng nhìn chung ta có thể an tâm về viê êc nắm trọng tâm bài của học sinh. Qua đó chúng ta biết những vấn đề học sinh còn yếu để tâ êp trung ôn tâ pê cho các em an tâm trước khi vào thi học kỳ. Tập trung luyện tập các vấn đề sau trong thời gian còn lại trước thi HKI: * Bài toán biện luận số nghiệm. * Bài toán tìm tâm , bán kính mặt cầu. * Bài toán tìm giá trí lớn nhất, nhỏ nhất. 2.2 / Kết quả bài thi học kỳ và chênh lê c h giữa điểm thi HKI - TBM ở HKI: năm học 2010 – 2011( Đề thi HKI ) ) (2 BẢNG KẾT QUẢ (TỔNG ĐIỂM) THI HKI, ĐỀ CHUNG CỦA SGD THEO NHÓM HỌC SINH ( 2 lớp 12CB1 & 12CB2), THEO CHỦ ĐỀ: Bài – Số câu Tổng 1 – 2 Câu 2 – 2 Câu 3 – 2 Câu 4a 5a – 2 Số HS câu Nhóm \ Điểm 1:2đ 2:1 đ 1:1đ 2:1đ 1 đ 1 đ 1đ 1đ 1đ Giỏi – Khá 32 63,5 28 32 16 6 20 28 32 10 Trung bình 34 28 24 30,5 6 5 17 20 25 3 Yếu – Kém 14 10 4 8 0 2 10 5 7 0 CÔêNG 80 101,5 56 70,5 22 13 47 53 64 13 Phân tích bảng điểm trên, ta thấy: * Số học sinh nắm vững bài toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số chiếm : 101.5/160 = 63.4 % . * Bài toán biê ên luâ nê số nghiê êm : 56/80 = 93.3 % . “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 10 * Bài toán đơn giản biểu thức mũ : 70,5 / 80 = 88.1 % * Bài toán tìm thể tích hình chóp (3.2) : 13/ 80 = 16.2 %. * Bài toán tìm tâm bán kính mă êt cầu ngoai tiếp : 47/80 = 58.75 % . * Bài toán giải phương trình : 64/80 = 80 % * bất phương trình logarit 13/80 = 16.25%. * Bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất , đạt : 22/80 = 27.5% . Phân loại học sinh : Khá giỏi : 32 / 80 = 40 % . Trung bình : 34/80 = 22,5%. Yếu – kém : 14/80 = 17,5%. Kết quả thi học kỳ I tương đối đạt yêu cầu so với kiểm tra thử, sau khi ôn tâ êp củng cố. Ta có bảng so sánh kết quả điểm giữa thi thử / thi học ky theo chủ đề như sau : Thi thử Chủ đề\ Nhóm HS Khảo sát HS(2) Khá – giỏi(34) 2.0 Biện luận số nghiệm theo đồ thị (1) Đơn giản biểu thức(1) Tìm thể tích(1) (32) 1.0 0.2 1.0 0.9 Chứng minh biểu thức/ Viết PTTT(1) 0.4 Tìm max min (1) 0.2 7.2 0.8 Thi HKI 2.0 (34) 2.0 0.8 0.3 0.9 Giải bpt logarit(1) ĐTB Nhóm (TB/10) Chênh lệch ( Thi – Kiểm tra thử) Thi thử TB(26) 0.6 1.0 Tìm tâm bán kính(S)(1) Gỉai phương trình mũ(1) Thi HKI 1.0 0.6 0.9 1.0 0.3 0.9 0.5 8.0 Thi thử Yếu – Kém( (14) 20) 1.5 0.3 0.1 0.3 0.6 0.9 0.3 5.6 -0.6 0.7 0.1 0.7 0.9 Thi HK I 0.9 0.5 0.5 0.7 0.1 0.6 0.2 5.0 ĐTB Theo Chủ Đề Thi thử 1.9 1.3 0.4 0.3 0.7 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 2.9 0.6 “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN Thi HKI 0.6 0.1 0.7 0.5 0.0 0.6 0.0 3.5 0.7 0.9 0.9 0.5 0.5 0.2 0.7 0.6 0.8 0.6 0.2 0.5 0.7 0.2 0.3 5.6 6.0 0.4 11 Kết quả sau thi HKI, cao hơn thi thử cả về điểm trên TB và cả điểm TBM. Điểm TBM Của 80 HS cuối HKI là 6.1, chênh lệch 0%. Cả khối 12 ban cơ bản :6.1, chênh lệch 0.1% . Cao hơn so HK2 Năm trước : ĐTBM : 5.1/ Điểm thi HK2 : 4.8. Đây là thành công bước đầu khi áp dụng đổi mới phương pháp ôn tập, kiểm tra đánh giá cho học sinh khối 12 về môn Toán. 2.3 / Kết quả điểm TBKT ở HKII: năm học 2010 – 2011: 1/ Trên cơ sở của việc áp dụng đổi mới phương pháp ôn tập, kiểm tra đánh giá cho học sinh khối 12 về môn Toán. Đã bước đầu thành công ở HKI, Chúng tôi tiếp tục áp dụng ở HK2, Kết quả bước đầu cho thấy : ĐTB kiểm tra của các lớp đã tăng lên rõ rệt, cao hơn hẳn ĐTBKT HK2 năm trước, và cao hơn ĐTBKT ở HKI. Các lớp đang tiếp tục ôn thi HK2, và ôn thi TN theo đề cương thống nhất từ HĐBM và của tổ. Nhất định chúng ta sẽ đạt kết quả cao trong các kỳ thi tới về môn Toán và kết quả chung của kỳ thi TN Năm 2011. 2/ Kết quả ban đầu : ĐTBKT Của 80 học sinh đã đạt 6.2/6.0 So HKI . Số học sinh thiếu điểm còn 8/26 so HKI Năm học 2010 – 2011. PHẦN ÔN TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN 12 “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 12 Dùng cả cho ôn thi TN , Chủ đề I,II,III) Chủ đề I : A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: 8 bước( 8 dấu :+ ) I / Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) . 1) Tập xác định : +/ D = R . 2) Sư biến thiên : +/ Chiều biến thiên :  y’ = 3ax2 + 2bx + c .  y’ = 0 <=> xi = ? ; f(xi) = ? . +/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến . Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến . +/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số . Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = …. Hàm số đạt cực Đại tại x = …., yCĐ = …. + / Giới hạn ở Vô cực : lim y  x   ? ; lim y  x   +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? y’ ? y ? ?. ? ? ? ? ? ? +∞ 3) Đồ thị : + ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d .  Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? ., Các điểm khác : … +) Đồ thị : y 0 x II / Hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) . 1) Tập xác định : +/ D = R . 2) Sư biến thiên : +/ Chiều biến thiên :  y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b ) . “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 13  y’ = 0 <=> x  0  f ( )0  c    x  ?   f ( x)   x  ?  f ( x)    . +/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến . Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến . +/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số . Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = …. Hàm số đạt cực đại tại x = …., yCĐ = …. + / Giới hạn ở Vô cực : lim y  x   ? lim y  ; x   +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? y’ ? ? y ?. ? ? ? ? ? ? +∞ 3) Đồ thị :  Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng.  Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? . Các điểm khác … Đồ thị : y 0 III / Hàm số : y  1) Tập xác định : +/ D = R /{ - d .} c x ax  b cx  d 2) Sư biến thiên : +/ Chiều biến thiên : “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 14 ad  bc  y’ = (cx  d ) 2 .  y’ > 0 ( y < 0 ) , x  D +/ : Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) . trên các khoảng (….) và (…..) +/ Cực trị : Hàm số không có cực trị . + / Tiệm cận và Giới hạn : lim y  x   lim y  ? a x c a và c Và lim y  ac x   lim y  ? a x c => tiệm cận ngang : y = => tiệm cận đứng : a . c x= d . c +/ Bảng biến thiên : x y’ y -∞ ? ? ? ? ? ? 3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = Giao điểm đồ thị với truc Ox : y = 0 => x = +∞ b . d b d a , Đồ thị nhận giao điểm I( ; ) a c c của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng y 0 x B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1/ y = ax3 + bx2 + cx + d ( C ) 2/ y = ax4 + bx2 + c (C) BÀI 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: a’x3 + b’x2 + c’x + n = 0 (2).  (2)  ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; (  ax4 + bx2 + c = k.m )  Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với đường thẳng d: y = k.m (vẽ d)  Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT và yCĐ của ( C ). “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 15 Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại : 1) Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) . 2) Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ). 3) Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p HƯỚNG DẪN : 1/ Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) :  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*)  k = f’(x0) ; thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm . 2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ).  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) k = f’(x0 )  giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 .  Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. 3/ Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*)  Trong đó k.k’ = -1  k = 1 . k' thế k = f’(x0 )  giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 .  Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. 4/ Các dạng khác : cho biết x0 hoặc y0 tìm các yếu tố còn lại suy ra có (*) 3/ y  ax  b cx  d (C) Bài toán : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ? Hướng dẫn : Số giao điểm của f(x;m ) với ( C ) , bằng số nghiệm phương trình : f( x ) = f ( x ; m ) . Từ đó ta tìm ra điều kiện của m cần tìm . Chủ đề II : C/ Hàm sô lũy thừa, Mũ và logarit 1)Phương trình, Bất phương trình mũ và Lô ga rít. a)Phương trình mũ : Bước 1/ Dùng tính chất của luỹ thừa, đưa phương trình mũ đã cho về phương trình đặt được ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp. ( t = aX , t > 0 ). Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm ra nghiệm của biến t. Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm ra nghiệm của bài toán. Và kết luận nghiệm. b)Phương trình logarít: Bước 1/ Dùng tính chất của lô ga rít, đưa phương trình lô ga rít đã cho về phương trình đặt được ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp. ( t = logaX , điều kiện X > 0 ). Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm ra nghiệm của biến t. Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm ra nghiệm của bài toán. Và kết luận nghiệm . c) Bất phương trình : Biến đổi tương tự các bước giải phương trình chứa ẩn số ở luỹ thừa hay dưới dấu lô ga rít . 2) Gía trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : y = f(x) trên đoạn [ a ; b ] ? Bước 1: Tìm tập xác định D của f(x) : D = ?, xét xem [a ; b ]  D ? “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 16 Bước 2 : */Tìm đạo hàm y’ = f’(x) = ? */ Giải phương trình y’ = 0 => xi = ? loại các giá trị xi  [ a ; b ] */ Tính các giá trị : f(a) ; f(b) ; f(xi) . Bước 3 : So sánh các giá trị vừa tìm được . Tìm ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . Chủ đề III: D/ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN: I/ Tìm thể tích hình chóp: 1/ Các loại bài toán : a) Cho hình chóp S.ABC ( Đáy tam giác : thường, vuông, đều, cân, hinh vuông, thoi, chữ nhật, hình bình hành …) Có SA ┴ ( ABC) ( SO ┴ (ABC)…. ) biết cạnh SA , góc giữa SB và đáy ( (ABC) và đáy ) là α . 1) Tính thể tích S.ABC. 2) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. Cách giải : gồm 2 bước: Bước 1 : Vẽ hình : Muc đích : Xác định các yếu tố về giả thiết bài toán. Tìm các yếu tố : Góc , đường cao . Vẽ từ đáy vẽ lên Xây dựng được hình vẽ đã cho 0.25đến 0.5 đ). Bước 2: Tính toán: a)Tính Thể tích hình chóp VS.ABC = 1/3B.h Trong đó B = SABC ; h = SO ( SH: đường cao ). b)Tìm tâm và bán kính: + Xác định tâm đáy ( tam giác : tâm đường tròn ngoại tiếp, tứ giác(hcn): giao điểm 2 đường chéo..). Xác định trục d đáy : vuông góc đáy qua tâm. + Xác định mặt phẳng trung trưc: 1 cạnh bên, hoặc trung trực đường cao. Giao của trục d và mp vừa vẽ, ký hiệu I : là tâm mặt cầu cần tìm Khoảng cách IA = IB = IC = IS = R là bán kính. Tìm vị trí I , R . Kết luận. Chú ý : Các bài toán đã học phải giải đúng sơ đồ trên mới đạt điểm tối đa. Giaỉ cách khác, nếu đúng , chỉ đạt điểm tối đa từng phần. “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 17 Phần kết luận kết quả bài toán ( đáp số ) chiếm 0.25 điểm mỗi bài. II/ Bài toán hình hộp, lăng tru: Các bước giải tương tự bài toán hình chóp. ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV : NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN A/Nguyên hàm: I .Định nghĩa và ký hiệu: 1. Định nghĩa : F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) 2. Ký hiệu:  f ( x ).dx  F ( x ).  3. Định lí : f ( x ).dx  F ( x ). + C II. Tính chất: 1.  f ' ( x ).dx  f(x) +C 2.  k . f ( x ).dx  k . f ( x).dx  [ f ( x)  g ( x )]dx   f ( x)dx   g ( x)dx 3. Chú ý 1 : Nguyên hàm dạng tích , và hữu tỷ không có công thức phải biến đổi đưa về tổng hiệu: Ví dụ 1 : Tìm Nguyên hàm : A =  sin 3 x. cos 5 xdx . 2x  1 Ví dụ 2 : Tìm Nguyên hàm : B =  2 x  3.x  4 III .Công thức: 1. Nhóm 1: Hàm số lũy thừa. 1.1 /  kdx  k .x  C . k  R. 1.2 /  x  .dx = .   1 1.3 /  dx = ln x x x  1 C  1 +C. 2 . Nhóm II: Hàm số lượng giác  sin xdx   cos x  C  cos xdx  sin x  C 2.3 / 2.5 /  cos  tan x  C 2.7 /  tan 2.6 /  sin   cot x  C 2.8 /  cot 2.1 / 2.2 / dx 2 x dx 2 x 2.4 /  tan xdx   ln cos x  C  cot xdx  ln sin x  C dx 2 x dx 2 x   x  cot x  C   x  tan x  C 4. Nhóm III: Hàm số Mũ : 3.1 / x  a dx  ax C ln a 3.2/ e x dx  e x  C Chú ý 2 : Nếu : F(x)’ = f(a) , thì :  f ( ax  b) dx  1 F ( ax  b)  C a “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 18 B/ Phương pháp tính tích phân: b  Công thức : f ( x ).dx  F ( x ) b a  F (b)  F ( a ) a I/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN b  f  u ( x).u ' ( x).dx 1. Dạng 1: Tính : I a Phương pháp chung : Bước 1 : Đặt : t=u(x) Bước 2 : Đổi cận : Bước 3 : Tính I :  dt = u’(x).dx x t a u(a) b u(b) u (b ) I=  f (t ) dt  F (t )  F [u (b)]  F [u ( a )] u (b ) u(a) u(a) CÁC DẠNG CƠ BẢN THƯỜNG GẶP : b  2. Dạng 2 : Tính : I = f ( x ).dx ; Với f(x) = x  ( a.x  1  b)  a .   R* Phương pháp: Bước 1 : x  .dx  Đặt t = ( a.x  1  b)  dt = a .(  1).x  dx .  dt (  1).a Bước 2 : Đổi cận : x t a u(a) b u(b) Bước 3 : Tính I : u (b ) I=  u(a) t  .dt 1  t (  1) (  1).a (  1).(   1).a u (b ) u(a) . Ví dụ 3: Tính các tích phân sau : 2 1. A = 3 4 5  x (2 x  1) dx . 1 2 2. C = x 3 ( 2 x 4  1) 5 dx. 2 ;B=  1 x3 dx . ( 2 x 4  1) 5 . ( Ta đặt t = ( 2 x 4  1) 5 ) 1 b 3. Dạng 3 : Tính : I =  f ( x ).dx ; Với f(x) = cos x.( a. sin x  b)  . a Phương pháp: Bước 1 : Đặt t = ( a. sin x  b)  dt = a . cos x.dx .  cosx.dx = “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN dt . a 19 1  t dt . ta đưa về bài toán quen thuộc. a f(x)dx = Ví dụ 4 : Tính các tích phân sau :  4.D= 3  cos x(2 sin x  3) 3  3 ;5.E= dx. cos x dx . 3 ( 2 sin x  3)  0 0  6.G= 3  cos x ; Ta đặt t = ( 2 sin x  3) 3 . ( 2 sin x  3) 3 dx. 4 0 b 4 Dạng 4 : Tính : I =  f ( x ).dx ; Với f(x)dx = a dx b  x2 2 . Phương pháp: Bước 1 : Đặt x = b.tant ,  dx = b dt  b(1  tan 2 t ) .dt. cos 2 t b2 + x2 = b2.( 1 + tan2t) .  f(x).dx = Bước 2: 1 dt . b Đổi cận, tính kết quả .  b 5. Dạng 5 : Tính : I =  f ( x ).dx ; Với a    f ( x ) dx =   dx a2  x2 dx . (a> 0) Phương pháp: Bước 1 : Bước 2: Đặt x = a.sint  dx = a.cost.dt ; a2  x2  a 2 .(sin 2 t )  a cos t . Đổi cận, tính kết quả . II/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 2.1 Dạng áp dụng phương pháp tích phân từng phần : b I=  U .dV . a Phương pháp: u  u ( x) Đặt :  dv  v'.dx  du  u ' ( x).dx  v   v'.dxv' b  U .dV = U.V  a ; b b a   V .dU . a 2.2 Các dạng tích phân thường gặp : b Dạng 1 : Tính : I =  f ( x ).dx ; Với f(x)dx = P(x). cosx.dx , hoặc P(x).sinx.dx . a Ta đặt : U = P(x) ; dv = sinx.dx. “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 20 b  Dạng 2 : Tính : I = f ( x ).dx ; Với f(x)dx = P(x). ex.dx . a Ta đặt : U = P(x) ; dv = ex.dx . b  Dạng 3 : Tính : I = f ( x ).dx ; Với f(x)dx = P(x). ln(x).dx . a Ta đặt : U = ln(x) ; dv = P(x).dx . Chú ý 3 : Thông thường bài toán tích phân cho dưới dạng : b I=  [ f ( x)  h( x)].g ( x).dx , a ta khai triển thành tổng hai tích phân, rồi áp dụng các phương pháp trên để tính , xong cộng kết quả lại. Ví dụ 5: Tính các tich phân sau :  2 e 0 6. I  (sin 3 x  x).cos xdx ; 8. I  C/  2 0  7. I  2 x (1  ln x) dx ; 1 1 x x  1  sin  cos dx ; 2 2  x x 9 . I  e (e  x ) dx 0 Ứng dung tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết:  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tuc); b x= a; x= b và y = 0 (truc hoành) được tính bởi: S =  f ( x) dx (1). a  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) b (liên tuc); x = a; x= b được tính bởi: S =  f ( x)  g ( x) dx (2). a Ví du 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2. b Giải: Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S =  f ( x) dx a 2 thì S = x 2  1dx 0  Phương trình: x2 -1= 0  x =  1 , nghiệm x = 1  [0;2] 1  1 2 2 x3 x3 Vậy S = ( x  1)dx + ( x  1)dx = (  x) + (  x) = 2 (đvdt) 3 3 0 1 0 1 2 2 Vídu 7:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y =x. Giải:  Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x  x2 + x – 2 = 0  x = 1 và x = -2  Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 21 b  S=  f ( x)  g ( x) dx thì S = a 1 1 x 2  x  2 dx 2 1 1 x3 x 2 9 x  x  2 dx ( x  x  2) dx   2x Vậy S =  =  = = (đvdt) 3 2 2 2 2 2 2  2 * Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b]. 2) Thể tích vật thể tròn xoay: Cơ sở lí thuyết: Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y b 2 = 0 khi xoay quanh truc Ox được tính bởi: V =   f ( x)dx (3) a Ví du 8: a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox., Giải:  Phương trình 2x – x2 = 0  x = 0 và x = 2 b 2  Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V =   f ( x )dx a 2 0 0 0 5 4 x 2 2 2 2 3 4 Ta có V =  (2 x  x ) dx   (4 x  4 x  x )dx =  ( x3  x 4  ) 0 = 3 5 2 16 (đvtt) 15 3 b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x và y = x . Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox. Giải:  Phương trình – x2 = x3  x = 0 và x = –1  Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox: 0 1 5 2 2 Có V1 =  ( x ) dx =  1  Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, x = 0, x = -1 và trục Ox…: 0 3 2 Có V2 =  ( x ) dx = 1 1  7 Vậy thể tích V cần tính là: V = V1  V2 = 2  (đvtt) 35 Chú ý:4 Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nó quay quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng công thức b V   ( f ( x)  g ( x)) 2 dx dẫn đến kết quả sai KQs : V = a 1  đvtt. 105 “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 22  Các bài tập tư luyện: 1) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P): y = – x 2 + 4x vaø truïc hoaønh. KQ: S = 32 ñvdt 3 2)Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi hai ñöôøng (P): y = – x 2 vaø y = – x – 2 . KQ: S = 9 ñvdt 2 3) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y = 5x 4 – 3x2 – 8, truïc Ox treân [1; 3] KQs: S = 200 ñvdt 4) Tính theå tích caùc hình troøn xoay sinh bôûi caùc hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau ñaây khi quay quanh truïc Ox: a) (P): y 2 = 8x vaø x = 2 KQ: 16  ñvtt 162 b) y = x2 vaø y = 3x KQ: ñvtt 5 c) y = sin x  ; y = 0; x = 0; x = 2 4 KQ:  2 2 ñvtt 8 D/ Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân : Bài 1: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y2 = 2x +1 vaø y = x -1 (TNTHPT năm 2001 – 2002 ) 3 2 1 x  3x  3x  1 Bài 2: 1.Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá y = , bieát F(1) = 2 3 x  2x  1 2x 2  10x  12 vaø x2 (TNTHPT năm 2002 – 2003 ) 2.Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y= truïc hoaønh Ox. Bài 3: Cho haøm soá y = 1 3 x – x2 (C). Tính theå tích vaät theå troøn xoay do hình phaúng 3 giôùi haïn bôûi (C) vaø caùc ñöôøng y = 0, x =0, x = 3 quay quanh truïc Ox. (TNTHPT năm 2003 – 2004 )  /2  ( x  sin Bài 4: Tính tích phaân: I = 2 (TNTHPT năm 2004 – x ). cos x.dx 0 2005 ) Bài 5: a. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò caùc haøm soá : y = ex, y = 2 vaø ñöôøng thaúng x = 1.  /2 sin 2 x dx b. Tính tích phaân: I =  (TNTHPT năm 2005– 2006) 2 4  cos x 0 e ln 2 x dx . Bài 6: Tính tích phân J =  x 1 (TNTHPT năm 2006– 2007) 1 2 3 4 Bài 7: Tính tích phân I  x (1  x ) dx (TNTHPT năm 2007– 2008) 1  Bài 8: Tính tích phân I = x(1  cos x)dx (TNTHPT năm 2008– 2009) 0 “ ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP RÈN LUYỆN, ÔN TẬP, KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ CHO HỌC SINH KHỐI 12 VỀ MÔN TOÁN 23