Tài liệu Skkn giúp học sinh lớp 12b2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số

Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số MỤC LỤC 1. TÓM TẮT ĐỀTÀI ...............................................................................Trang 2 2. GIỚI THIỆU .........................................................................................Trang 2 3. PHƯƠNG PHÁP 3.1. Khách thể nghiên cứu ....................................................................Trang 3 3.2. Thiết kế nghiên cứu ........................................................................Trang 3 3.3. Quy trình nghiên cứu......................................................................Trang 4 3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu .........................................................Trang 4 4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ 4.1 Phân tích dữ liệu và kết quả............................................................Trang 5 4.2 Bàn luận..........................................................................................Trang 6 5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ.......................................................Trang 6 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................Trang 7 PHỤ LỤC CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN................................................................Trang 8 ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG.................................................Trang 16 ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG.........................................................Trang 18 BẢNG ĐIỂM...........................................................................................Trang 21 PHIẾU ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI NCKHSPƯD CẤP TỔ..........................Trang 25 PHIẾU ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI NCKHSPƯD CẤP TRƯỜNG..............Trang 28 PHIẾU ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI NCKHSPƯD CẤP TỈNH.....................Trang 31 Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014 Trang 1 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số 1. TÓM TẮT ĐỀ TÀI Nguyên hàm và tích phân là một phần rất quan trọng trong chương trình toán giải tích 12 và là một phần không thể thiếu trong các đề thi tốt nghiệp THPT, cao đẳng, đại học,…. Tuy nhiên khi làm các bài toán này học sinh gặp rất nhiều trở ngại, từ trở ngại việc học thuộc công thức, thuộc phương pháp, lựa chọn phương pháp giải… Xuất phát từ thực tế đó, chúng tôi nhận thấy việc giúp các em có thể tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều phương pháp giải khác nhau và chọn được một phương pháp giải tối ưu nhất là một điều rất quan trọng. Như vậy theo chúng tôi “việc giúp học sinh làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến” sẽ giúp các em giải quyết được phần nào các trở ngại trên. Giải pháp này được tiến hành trên hai lớp: Lớp 12B2 (lớp thực nghiệm) và lớp 12B3 (lớp đối chứng) trường THPT Lộc Hưng. Lớp thực nghiệm dựa vào tư duy phân tích bài toán tìm ra phương pháp giải tốt nhất. Lớp đối chứng giải một số dạng quen thuộc, phương pháp thường sử dụng theo hướng dẫn của sách giáo khoa. Kết quả cho thấy: Ở lớp đối chứng học sinh chỉ giải được các bài tập đơn giản, quen thuộc. Lớp thực nghiệm ngoài những bài tập đơn giản, quen thuộc các em còn giải được các bài tập khó hơn, các em tư duy tốt hơn. 2. GIỚI THIỆU Khi giải bài toán tìm nguyên hàm hay tính tích phân thì các em còn lúng túng trong việc lựa chọn phương pháp để làm bài, như sử dụng phương pháp từng phần hay phương pháp đổi biến số để giải, hay phải kết hợp cả hai phương pháp. Khi làm bài tập tìm nguyên hàm hay tính tích phần bằng đổi biến thì các em còn khó khăn trong việc lựa chọn cách đổi biến số. Phải đổi biến số như thế nào để bài toán trở nên đơn giải hơn bài toán ban đầu? Qua việc dự giờ tiết dạy của các giáo viên torng tổ trước tác động, chúng tôi thấy các giáo viên thường chỉ đưa ra một hướng đặt biến số trong phương pháp đổi biến làm cho các em nghĩ là chỉ có một cách đặt giống như công thức. Kết quả là các em chỉ làm được những dạng quen thuộc đã làm, nhưng chưa hiểu sau được vấn đề để giải quyết những bài toán tích phân khó hơn. Để cải thiện vấn đề trên, đề tài nghiên cứu này đã đưa ra những hướng đặt đổi biến khác nhau đối với bài toán tích phân sử dụng phương pháp đổi biến để giúp học sinh tư duy tốt hơn và làm bài đạt kết quả cao hơn. Giải pháp thay thế: Khi dạy phần này trước hết hướng dẫn học sinh cách suy luận phân tích một bài toán để biết được đối với bài toán đó chúng ta phải chọn phương pháp nào: dùng định nghĩa, biến đổi, đổi biến số hay tích phân từng phần. Khi xác định được bài toán làm theo phương pháp đổi biến số giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh cách tư duy, phân tích để đổi biến số như thế nào là tối ưu nhất. Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014 Trang 2 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số Vấn đề nghiên cứu: Việc sử dụng các phương pháp đặt đổi biến số khác nhau trong phương pháp đổi biến có nâng cao kết quả học tập của học sinh lớp 12B2 trường THPT Lộc Hưng hay không? Giả thiết nghiên cứu: Bằng tư duy phân tích bài toán tích phân giúp học sinh làm tốt các bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến. Từ đó nâng cao kết quả học tập của học sinh lớp 12 trường THPT Lộc Hưng. 3. PHƯƠNG PHÁP 3.1. Khách thể nghiên cứu Chúng tôi lựa chọn hai lớp 12B2 và 12B3 vì hai lớp có những điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu khoa khoa học ứng dụng. - Giáo viên: Hai giáo viên dạy lớp có tuổi nghề tương đương nhau, đều có lòng nhiệt tình, có tinh thần trách nhiệm trong công tác giảng dạy và giáo dục học sinh. 1. Nguyễn Hồng Yến – GV dạy lớp 12B2 (lớp thực nghiệm) 2. Huỳnh Nguyễn Hữu Thanh – GV dạy lớp 12B3 (lớp đối chứng) - Học sinh: Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu cũng có nhiều điểm tương đồng nhau. Cụ thể như sau: các em ở hai lớp ý thức tầm quan trọng của việc học, tích cực chủ động trong học tập và kết quả học tập ở hai lớp trong học kỳ 1 là tương đương nhau. 3.2. Thiết kế nghiên cứu - Chúng tôi chọn hai lớp 12B2 là nhóm thực nghiệm và lớp 12B3 là nhóm đối chứng. - Trước tác động chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp 12B2 và 12B3 có sự tương đương nhau. Chúng tôi dùng phép kiểm chứng T-Test độc lập để kiểm chứng sự tương đương điểm số trung bình của hai lớp trước khi tác động. Kết quả:  Bảng kiểm chứng để xác định hai nhóm tương đương: Thực nghiệm (Lớp 12B2) Trung bình cộng (TBC) p= Đối chứng (lớp 12B3) 6.13514 6.13158 0.99352 p = 0.99352 > 0.05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương. - Chúng tôi sử dụng thiết kế: Kiểm tra trước và sau tác động đối với hai nhóm tương đương. Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014 Trang 3 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số  Thiết kế nghiên cứu: Lớp Kiểm tra trước tác động Tác động Kiểm tra sau tác động Dạy học theo phân tích Thực nghiệm (Lớp 12B2) O1 tìm lời giải, tìm cách đổi O3 biến thuận lợi nhất. Dạy học theo hướng dẫn của sách giáo khoa, Đối chứng (Lớp 12B3) O2 không phân tích theo O4 nhiều hướng giải khác nhau. Ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập. 3.3 Quy trình nghiên cứu:  Chuẩn bị bài dạy của giáo viên: - Thầy Thanh dạy lớp 12B3 là lớp đối chứng sửa bài tập trong sách giáo khoa chỉ dùng công thức và theo hướng dẫn đổi biến của sách giáo khoa. - Nhóm nghiên cứu và cô Yến dạy lớp 12B2 là lớp thực nghiệm, thiết kế bài học và dạy học kết hợp công thức, sử dụng cách giải thay thế để học sinh lựa chọn, sắp xếp bài tập theo dạng từ dễ đến khó, có bài tập tương tự có hướng dẫn hoặc đáp án giúp học sinh tự luyện.  Tiến hành dạy thực nghiệm: Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch giảng dạy của nhà trường và thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan. - Với lớp đối chứng dạy chính khoá và tăng tiết bình thường (theo hướng dẫn của sách giáo khoa). - Với lớp thực nghiệm ở phương pháp đổi biến giáo viên dạy sử dụng hai cách giải với hai cách đặt đổi biến khác nhau, từ đó giúp học sinh phân tích xác định đặt biến như thế nào, xác định cận tích phân cho biến mới để giải bài toán nhanh nhất và ít sai sót, sau đó cho bài tập sắp xếp từ dễ đến khó để học sinh làm rồi đến tiết tự chọn, tăng tiết giáo viên dạy ôn lại các dạng bài tập và sửa bài tập cho các em. 3.4 Đo lường và thu thập dữ liệu - Bài kiểm tra trước tác động do nhóm giáo viên nghiên cứu thống nhất đưa ra. - Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong bài tích phân và bài tập ôn chương cũng do nhóm giáo viên trên ra đề kiểm tra. Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tự luận gồm 6 bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân trong đó có 2 bài ở mức độ nhận biết, 2 bài thông hiểu và 2 bài ở mức độ vận dụng. Tiến hành kiểm tra và chấm bài - Sau khi thực hiện dạy xong các nội dung đã nêu ở trên, chúng tôi tiến hành bài Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014 Trang 4 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số kiểm tra 1 tiết (nội dung kiểm tra trình bày ở phần phụ lục). - Sau đó 2 giáo viên dạy hai lớp tiến hành chấm bài theo hướng dẫn đã thiết kế. 4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ 4.1 PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ  Bảng so sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động: Thực nghiệm (Lớp 12B2) Đối chứng (lớp 12B3) Điểm trung bình 7,67568 6,47368 Độ lệch chuẩn 1,08151 1,50201 Giá trị p của T – test 0,00017 Chênh lệch giá trị trung 0,80025 bình chuẩn(SMD) Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm trước tác động là tương đương. Sau tác động kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình bằng T – test cho kết quả p = 0.00017, cho thấy: sự chênh lệch giữa điểm trung bình của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng rất có ý nghĩa, tức là sự chênh lệch kết quả điểm trung bình nhóm thực nghiệm cao hơn điểm trung bình nhóm đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động. 7,67568  6,47368 SMD   0,80025 1,50201 Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn . Điều đó cho thấy việc tác động của giáo viên tới tư duy của học sinh qua cách phân tích lựa chọn cách đặt biến số có mức độ ảnh hưởng đến kết quả học tập của nhóm thực nghiệm là lớn. Giả thuyết của đề tài “Bằng tư duy phân tích bài toán tích phân giúp học sinh làm tốt các bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến” đã được kiểm chứng và kết quả đạt được góp phần làm nâng cao dần chất lượng bộ môn toán của trường THPT Lộc Hưng.  Nhóm đối chứng  Nhóm thực nghiệm Trước tác động Sau tác động Biểu đồ so sánh điểm trung bình trước tác động và sau tác động của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014 Trang 5 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số 4.2. BÀN LUẬN Kết quả của bài kiểm tra sau tác động: nhóm thực nghiệm có điểm trung bình là 7,67568 còn nhóm đối chứng có điểm trung bình là 6,47368. Ta tính được độ chênh lệch điểm số giữa hai nhóm là 1,202. Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm trung bình cao hơn nhiều so với lớp đối chứng. Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 0,80025. Điều đó cho thấy việc tác động này có mức độ ảnh hưởng đến kết quả học tập là lớn. Phép kiểm chứng T – test điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động của hai lớp là p = 0,00017< 0,001. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm trung bình của hai nhóm không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động có ảnh hưởng lớn đến kết quả. Điều này góp phần giúp cho học sinh yêu thích toán hơn, giúp các em có được tư duy tốt hơn trong toán học và các môn học khác cũng như trong cuộc sống.  Hạn chế: Đề tài “Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số” là một trong những giải pháp góp phần nâng cao dần chất lượng bộ môn Toán của trường THPT Lộc Hưng nhưng để sử dụng có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên cần có lòng yêu nghề, hết lòng với học sinh và tính kiên nhẫn vì đôi khi có những bài học sinh chọn cách đổi biến nào cũng giải được và mất rất nhiều thời gian để phân tích cho học sinh thấy được lựa chọn tối ưu nhất. 5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 5.1 Kết luận: Trên đây là giải pháp “Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số” tiến hành giảng dạy có hiệu quả đối với học sinh lớp 12B2 của trường THPT Lộc Hưng. Khi áp dụng giải pháp này học sinh có thể giải được các bài tập với độ chính xác cao và có thể giải được các bài toán nâng cao từ đó nâng dần kết quả học tập bộ môn Toán. 5.2. Khuyến nghị: - Đối với các cấp lãnh đạo: + Về phía Sở Giáo Dục: nên triển khai, ứng dụng các nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng, các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã đạt giải để giáo viên các trường học tập và vận dụng vào giảng dạy để dạy tốt hơn. + Về phía nhà trường: hỗ trợ mua các loại sách tham khảo có các bài toán nâng cao của tích phân để các em HS có thể tham khảo, học tập tốt hơn. - Đối với giáo viên: không ngừng tự học, tự bồi dưỡng về chuyên môn qua sách tham khảo, mạng internet, đồng nghiệp,…. Và trong quá trình giảng dạy cần chú ý: + Những bài tập đưa ra cho học sinh phải từ dễ đến khó, có hệ thống, phân dạng để học sinh nắm chắc từng dạng bài. Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014 Trang 6 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số + Hướng dẫn học sinh tư duy, phân tích thật kỹ bài toán từ những bài đơn giản để hình thành thói quen tốt cho học sinh. + Chỉ dẫn các em cách tự học qua sách tham khảo, mạng internet và học nhóm bạn. Kiểm tra thường xuyên, có hiệu quả phần tự học của học sinh qua bài tập về nhà. - Với kết quả của đề tài này, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô, của Ban giám hiệu nhà trường để đề tài này được hoàn chỉnh hơn và có thể ứng dụng đề tài này vào dạy học góp phần nâng cao chất lượng bộ môn Toán, tạo cho học sinh tư duy tốt và nâng cao hơn nữa kết quả học tập của học sinh qua các kỳ thi. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sách giáo khoa giải tích 12 chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục. 2. Sách Bài tập giải tích 12 chương trình chuẩn và nâng cao Nhà xuất bản giáo dục. 3. Sách giáo viên Toán 12 chương trình chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục. 4. Nguyễn Anh Trường, Phân loại và phương pháp giải Giải tích 12 tập 2 – nhà xuất bản tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh 5. Đề thi tốt nghiệp và đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng các năm. 6. Mạng Internet: thuvientailieu.bachkim.com, http://violet.vn. Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014 Trang 7 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số PHỤ LỤC NỘI DUNG CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN I. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1 b �f [u(x)].u (x)dx ' DẠNG 1: Tính I = bằng cách đặt t = u(x) a u(b) a u(a) � u(x). u '(x)dx = � � �f � Công thức đổi biến số dạng 1: Cách thực hiện: Bước 1: Đặt b �f (t)dt t = u(x) � dt = u'(x)dx x =b t = u(b) Bước 2: Đổi cận : x = a � t = u(a) Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được b u(b) a u(a ) � I = �f � u(x). u '(x)dx = � � II. �f (t)dt (tiếp tục tính tích phân mới) Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 2 b �f (x)dx DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x = f (t) a b a a I = �f (x)dx = �f � f (t)� f '(t)dt � � Công thức đổi biến số dạng 2: Cách thực hiện: Bước 1: Đặt b x = f (t) � dx = f '(t)dt x =b t=b Bước 2: Đổi cận : x = a � t = a Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được b b a a I = �f (x)dx = �f � f (t)� f '(t)dt (tiếp tục tính tích phân mới) � � Lưu ý: � p p� - ; � x = a cost, t �� 0; p�  Với a2 - x2 , đă tă x = a sint, t �� . � � 2 2�hoă ăc � � � � � � p p� � x = acott, t �( 0;p) . - ; � �  Với a2 + x2 , đă ăt x = a tant, t �� � � �hoă ăc � 2 2� � p p� �p � a a , t �� - ; � \ { 0} hoă ăc x = t �� 0;p� \� �� � ;  Với x2 - a2 , đă tă x = � � � � �2� sint 2 2 � � cost �� . Các ví dụ : Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014 Trang 8 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số e2 dx . x ln x Ví dụ 1 : Tính tích phân I = � e (Giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách thực hiện theo các bước: Bước 1 : Đặt t = lnx  dt = dx x Bước 2 : Đổi cận x  e  t 1 x  e2  t  2 Bước 3 : Chuyển về tích phân mới 2 2 dt I = � = ln t = ln2 1 t 1 Giải : Đặt t = ln x � dt = Đổi cận: x =e� t =1 dx x 2 dt t 2 ; � I = � = ln t 1 = ln2 . x = e2 � t = 2 1 Vậy I = ln2. Nhận xét: đối với ví dụ 1 thì chỉ có duy nhất một cách đặt đổi biến. Xét các ví dụ sau có sự lựa chọn cách đổi biến. 5 2 Ví dụ 2. Tính tích phân: I = 3x x  9dx 3 (Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách đặt đổi biến khác nhau rồi so sánh rút ra nhận xét cho học sinh) Giải : Cách 1: Đặt t = x2-9 dt = 2xdx Đổi cận x = 3  t = 0; x = 5  t = 16. Khi đó 16 3 3 1 I   t 2 dt  t 2 2 0 16  43  64 0 Cách 2 : Đặt t  x 2  9  t 2  x 2  9  tdt = xdx Đổi cận x = 3  t = 0 x=5t=4 5 4 2 3 4 3 Khi đó : I = 3 x x  9dx  3t dt  t |0  4  0 = 64 2 3 0 Nhận xét: Cách 1 khó hơn, phải sử dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa với số mũ là số hữu tỷ Bài tập tương tự: Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014 Trang 9 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số Tính các tích phân sau: 3 x 1/ I = 5 1  x dx 2 0 1 1 848 ĐS: 105 2/ I =  0 3 1  xdx ĐS: 0 3 4 7 3 4 ĐS: 15 3/I= x 1  xdx  46 4/ I  x  1 dx ĐS: 0 3 3x  1 15 4 Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I   2x  1 0 1  2x  1 dx (Giáo viên yêu cầu học sinh giải với hai cách đặt đổi biến khác nhau rồi so sánh rút ra nhận xét cho học sinh) Giải : Cách 1: Đặt t  2 x  1  t 2  2 x  1  tdt  dx Đổi cận: x = 0 t = 1; x = 4  t = 3. 3 3  t2 t2 1 Khi đó: I =  dt  (t  1  )dt    t  ln 1  t 2 1  t 1  t 1 1  3    2  ln 2 .  1 Cách 2: Đặt t  1  2 x  1  (t  1)2  2 x  1  (t 1)dt=dx Đổi cận x = 0  t = 2; x = 4  t = 4 4 4 4 (t  1) 1 t2  (t  1) dt  (t  2  )dt    2t  ln | t |   2  ln 2 Khi đó : I   t t 2 2 2 2 Nhận xét : Cách 1 phải thực hiện phép chia đa thức phức tạp hơn so với cách 2. Bài tập tương tự: Tính các tích phân sau 1 1 x dx 1/ I   0 1 x 2 3/ I   0 x 3dx 3 4  x2 4 11  4 ln 2 ĐS: 3 12  183 2 ĐS: 5  4 2/ I   0 e 4. I   1 1 x 1 1  2x  2 dx ĐS: 2 ln 2  1 4   1  ln x 2 2 2 1 dx ĐS : . x 3   dx 4 4 dx dx 5/ I   HD: I  2  2    2   0 cos x.sin x  cos x.(sin x  cos x) cos x.(tan x  1)   0 0 4  đặt t = tanx + 1 ĐS: 2 ln 2 5 Ví dụ 4 : Tính tích phân I   3 Trường THPT Lộc Hưng 2x  1 dx x2  x  2 Năm học 2013 – 2014 Trang 10 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số Giải : Cách 1 : ( Sử dụng đồng nhất thức chuyển về hai tích phân nhỏ) 2x  1 A B   Đặt 2 x  x  2 x 1 x  2  2 x  1  Ax  2 A  Bx  B A B  2   2 A  B  1 A 1   B  1 Khi đó 5 I  3 5 2x 1 1   1 dx     dx x2  x  2 x  1 x  2  3 5  (ln | x  1 |  ln | x  2 |) 3 =(ln4 + ln7)  (ln2 + ln5) 14 =ln2 + ln7  ln5  ln 5 2 Cách 2: Đặt t = x + x -2  dt = (2x+1) dx Đổi cận: x = 3 t =10 ; x = 5  t = 28. 28 dt Khi đó I=   ln t t 10 28  ln 28  ln10  ln 10 14 5 Nhận xét: Cách 1 sử dụng phương pháp đồng nhất thức mà không hề phát hiện ra là nếu lấy đạo hàm của đa thức dưới mẫu ta được đa thức ở trên tử. Bài tập tương tự Tính các tích phân sau: 1 1/  0 4x  2 dx ĐS: 2ln3 2 x  x 1  2 2/ 1 2 1 1 3 x3  ln ĐS: 0 x 2  1 dx 8 2 4 3 2 1  3cos x ĐS: 34 27 s in2x 3. I  0 (2  sin x)2 dx HD: đặt t = 2 + sinx ĐS: 2 ln 2  3  2 4. I  s in2x  sin x dx HD: đặt t = 0 1  3cos x  2 5. I   0 s in2x cos x  4sin x HD: đặt t = 2 2 dx 2 cos 2 x  4sin 2 x  1  3sin 2 x ĐS: 3 Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014 Trang 11 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số 1 3 4 4 Ví dụ 5: Tính tích phân I = x ( x  1) dx 0 Cách 1: Đặt t = x  dt = 4x3dx Đổi cận x = 0  t = 0 ; x = 1  t =1 Khi đó 1 1 1 1 31 4 2 3 4 I= (1  t ) dt  (1  4t  6t  4t  t ) dt  40 40 20 4 Cách 2: Đặt t = x4 +1  dt = 4x3dx Đổi cận x = 0  t = 1 ; x=1  t = 2 Khi đó 1 2 1 4 1 4 1 5 2 31 I= t dt  t dt  t 1  40 41 20 20 Nhận xét : Với cách 1 tính toán nhiều hơn so với cách 2 và với cách 1 có thể nhiều học sinh không khai triển được (1 + t)4. Bài tập tương tự Tính các tích phân sau : 1 1/ I  x (1  x ) dx 5 3 6 0 0 1 ĐS 168 2 9 2/ I  x ( x  1) dx ĐS : 1 1 3/ I  (1  3 x)(1  2 x  3x ) dx 2 10 0 Ví dụ 6. Tính tích phân I = � 1 0 1 x 1 dx ĐS : 4/ I   3 18 (1  2 x) 0 611 1 ĐS : 22 1 2 1- x2 1 660 dx . Giải � p p� - ; � � dx = costdt (có thể đặt x = cost) Đặt x = sin t, t �� � 2 2� � � 1 p Đổi cận : x = 0 � t = 0, x = � t = 2 6 p 6 �I =� 0 Vậy I = cost p 6 cost p 6 dt = � dt = � dt = t 2 cos t 1- sin t 0 0 p 6 0 = p p - 0= . 6 6 p . 6 1 Ví dụ 7. Tính tích phân I =  1  x 2 dx 0 Giải Đặt x = sint, dx = costdt (có thể đặt x = cost) Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014 Trang 12 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số Đổi cận: khi x = 0  t = 0; x = 1  t =  2  2 0 20  2  2 Do đó: I  cos 2 tdt  1 (1  cos 2t )dt  1  t  sin 2t      2 2 0 4 1 dx Ví dụ 8. Tính tích phân I = � . 2 1 + x 0 �p p� � � � dx = (tan2 t + 1)dt � � 2� (cũng có thể đặt x = cott) Giải: Đặt x = tant, t �� - ; � � � �2 Đổi cận: x = 0 � t = 0, x = 1 � t = p 4 p 4 p 4 tan t + 1 p . Vậy I = p . �I =� dt = dt = � 4 4 1 + tan2 t 0 0 2 Nhận xét: các ví dụ 6, 7, 8 là những bài tập cơ bản của đổi biến dạng 2. Hầu hết học sinh đều có thể làm được. Ta xét tiếp các ví dụ sau.  2 Ví dụ 9: Tính tích phân I   sin 2 x2 dx 0 1  cos x Giải: Cách 1: Đặt t = cos2x  dt   s in 2 xdx  s in 2 xdx  dt Đổi cận: x = 0  t = 1; x=  t = 0 2  2 0 1 Khi đó: I  sin 2 x dx   dt  dt   ln 1  t  1  ln 2. 0 1  cos 2 x 1 1  t 0 1  t 0 Cách 2: Đặt t = 1 + cos2x  dt   s in 2 xdx  s in2 xdx  dt Đổi cận: x=0 t = 2; x =  t = 1 2  2 1 2 Khi đó: I  sin 2 x2 dx   dt  dt   ln t  2  ln 2    0 1  cos x 2 t 1 t 1 Nhận xét: Với đổi biến số theo cách 2 thì học sinh sẽ giải bài toán dễ hơn. 1 x3 dx Ví dụ 10. Tính tích phân I   8 1  x 0 Giải: Cách 1 Ta có: 1 1 x3 x3 0 1  x8 dx  0 1  x 4 2 dx   Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014 Trang 13 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số Đặt t = x4  dt = 4x3dx Đổi cận: x=0  t = 0 ; x=1 t=1 1 1 1 x3 x3 1 1 I  dx  dx  dt. 2 8 2 Khi đó: 0 1  x 0 1  x 4 4 1  t 0      2 Đặt t  tan u với u    ;   dt   1  tan u  du  2 2 Đổi cận: t = 0  u = 0 ; t = 1  u =  4  4  4  1 1 1 1  tan u 1 1  dt   du  du  u 4  . Khi đó: I   2 2 4 0 1 t 4 0 1  tan u 40 4 16 0 1 1 2 1 x3 x3 dx Cách 2: : Ta có: 1  x8 dx   4 2 0 0 1  x  1    3 2 Đặt x 4  tan t với t    ;   x dx  1  tan t dt 4  2 2  Đổi cận: x=0t=0;x=1t=   4  4  4  x x 1 1  tan t 1 1  dx   dx   dt  dt  t 4  . Khi đó: I   2 8 2 4 1 x 4 0 1  tan t 40 4 16 0 0 1  x  0 Nhận xét: với cách 1 học sinh phải đổi biến hai lần, nếu tư duy hơn thì học sinh làm theo cách 2 chỉ đổi biến một lần. 1 3 1 3 2  2 1 dx Ví dụ 11. Tính I   sin x  3 Giải: Cách 1 Đặt t  tan x 1 x 2dt  dt  1  tan 2  dx  dx  2 2 2 1 t2 1 1 dx  2t Ta tính: sin x 1 t2  Đổi cận: x   t  . 2tdt 1  dt 1 t2 t 3  ;x   t 1 3 3 2  1 1 2 1 1 3 1 Khi đó: I  sin x dx   t dt   ln t  3   ln 3  2 ln 3.  3 3 3 3 Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014 Trang 14 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số  2  2 3 3 1 sin x sin x dx   2 dx   dx 2 sin x  sin x  1  cos x Cách 2 I    3  2 Đặt t = cosx  dt = sinxdx  1  Đổi cận: x   t  ; x   t  0 3 2 2 Khi đó 1 2 0 1 1  1 1  1 1 t I  dx   dx  ln   2  1  t 2 1  t 1  t 2 1 t   1 0 1 2  0 1 ln 3 2 2 Nhận xét: Với cách 1 sử dụng tích phân theo cách đặt đã giảm tải nên nhiều học sinh không biết, còn cách 2 thì học sinh dễ sử dụng hơn. Bài tập tương tự Tính tích phân sau: 1 1 1 tan t dx HD: đặt x  1. I   2 2 (1  3 x ) 3 0 I  3  3  3 1 1 1 1 cos 2t  1 1  3 dt  cos 2 tdt  dt  ...   2    2 8 18 3 0 (1  tan t ) 30 30 1 2 2 2. I  x 4  3 x dx HD: đặt x  0 I 4 3  3 4sin 3 t cos 2 tdt  0  3 1 0 cos x dx 3. I  0 4. I  2  1 1 5. I   0 1 6. I   0 x  2x  2 dx x2  x  1 xdx 3  2 x  x2 Trường THPT Lộc Hưng  3 (1  cos 4t ) dt 3 3 0 1 ln(7  4 3) 2 ĐS: 0 dx 2 2 2 2 sin t 3 HD: I  ĐS: dx  ( x  1) 1  2  1 2 Đặt x + 1 = tant ĐS: 2 8  3 9 1 HD: I   0 xdx 4  ( x  1) 2 Đặt x – 1 = 2sint ĐS: 3  2  Năm học 2013 – 2014  6 Trang 15 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG 1) Giải phương trình: 22x+1 - 3.2x - 2 = 0 (1 điểm) 2) Giải phương trình: 7x + 2.71- x - 9 = 0 (1,5 điểm) 3) Giải phương trình: 2log2(x - 2) + log0,5(2x - 1) = 0 (1,5 điểm) 4) Giải phương trình: log22 x - log4(4x2) - 5 = 0 2x2- x 5) Giải bất phương trình: 9 2+x 2x �� 1 � � < 3.� � � �� 3� 6) Giải bất phương trình: 2log2(x �1) > log2(5 �x) + 1 7) Tính đạo hàm các hàm số sau: x4 2 x a. y  x  2 x  2 e b. y  log 2   x4   HƯỚNG DẪN CHẤM 1/ 22x+1 - 3.2x - 2 = 0 � 2.22x - 3.2x - 2 = 0 (*) – Đặt t = 2x (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành 2t2 - 3t - 2 = 0 � t = - 1 2 (loại) hoặc t = 2 (nhận) – Với t = 2: 2x = 2 � x = 1 – Vậy, phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 1. 2/ 7x + 2.71- x - 9 = 0 � 7x + 2. 7 7x (1,5 điểm) (1,5 điểm) (1,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) - 9 = 0 (*) – Đặt t = 7x (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành t+ (1,5 điểm) (0,25 điểm) � t =2 14 - 9 = 0 � t2 + 14- 9t = 0 � t2 - 9t + 14 = 0 � � � t = 7 (nhận cả hai giá trị t) t � � 7x = 7 � x = 1 (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) Vậy phương trình đã cho có các nghiệm : x = 1 và x = log7 2 (0,25 điểm) – Với t – Với t = 2: 7x = 2 � x = log7 2 = 7: 3/ 2log2(x - 2) + log0,5(2x - 1) = 0 (*) �x > 2 �x - 2 > 0 � � � � – Điều kiện: � � 1� x>2 �2x - 1> 0 � �x > � � � 2 (0,5 điểm) – Khi đó, (*) � log2(x - 2)2 - log2(2x - 1) = 0 � log2(x - 2)2 = log2(2x - 1) Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014 Trang 16 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số � (x - 2)2 = (2x - 1) � x2 - 6x + 5 = 0 � x = 1(loại) hoặc x – Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 5 4/ Điều kiện: x > 0. Khi đó phương trình đã cho tương đương với log22 x - (log4 4 + log4 x2) - 5 = 0 � log22 x - log2 x - 6 = 0 (*) (0,25 điểm) = 5 (nhận) (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) – Đặt t = log2 x , phương trình (*) trở thành � � t=3 log2 x = 3 � t2 - t - 6 = 0 � � � � � � t = 2 log x = 2 � � � � 2 � x = 23 � � - 2 (nhận cả hai nghiệm) x=2 � � (0,75 điểm) 1 – Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x = 8 và x = (0,25 điểm) 4 2x2- x 5/ Ta có: 9 2+x 2x �� 1� � � < 3.� � �� 3� 2 2 2 2 � 92x - x < 3.3- 2x - x � 34x - 2x < 31- 2x - x � 4x2 - 2x < 1- 2x2 - x � 6x2 - x - 1 < 0 – Cho 6x2 - x - 1 = 0 � x = – Bảng xét dấu: x - + 6x2 - x - 1 (0,5 điểm) 1 1 hoặc x = 2 3 -� 1 3 (0,25 điểm) 1 2 0 – (0,5 điểm) +� 0 + – Vậy tập nghiệm của bất phương trình là khoảng: S=(- 1;1) 32 6/ 2log2(x �1) > log2(5 �x) + 1 � � x - 1> 0 x>1 � �� � 1 < x < 5 (1) – Điều kiện: � � � � 5 x > 0 x < 5 � � (0,25 điểm) (0,25 điểm) 2log2(x �1) > log2(5 �x) + 1 � log2(x �1)2 > log2[2.(5 �x)] – Khi đó (0,25 điểm) � x <- 3 � (x - 1) > 2(5 - x) � x - 2x + 1 > 10 - 2x � x - 9 > 0 � � (0,5 điểm) � x > 3 � � 2 2 2 – Đối chiếu với điều kiện (1) ta nhận: 3 < x < 5 – Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = (3;5) (0,25 điểm) (0,25 điểm) 7/ a/ y  x  2 x  2 e  y '   2 x  2  e  x  2 x  2 e  x e (0,75 điểm)  2  Trường THPT Lộc Hưng x x  2  x   Năm học 2013 – 2014 2 x Trang 17 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số  8   x  4 '  2    1   x  4 1   x  4    b/ y '  ln 2  x  4  ln 2  x  4  x4   x4      8   x 2  16 ln 2     (0,75 điểm) ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG 1 x Bài 1: ( 1,5 điểm) Tính I   0  2 x  1 2 dx  2 cosx Bài 2: ( 2 điểm) Tính I  0 1  sin 2 x dx 1  Bài 3: ( 2 điểm) Tính I  x 33 1  x 4 dx 0  2 Bài 4: ( 2 điểm) Tính I  sin 2 x  1  sin 2 x  dx  3 0 e Bài 5: ( 1,5 điểm) Tính I   1 1 dx x  1  ln x  0 Bài 6: ( 1 điểm) Tính I  1 1 x 2  2 x  4 dx HƯỚNG DẪN CHẤM 1 Bài 1: ( 1,5 điểm) Tính I  x  2 x  1 2 dx 0 Giải: t 1 dt  dx  2 2 x = 0  t = 1 ; x = 1 t = 3 Đặt t  2 x  1  x  Đổi cận: (0,25 điểm) t 1 3 x dt 1  1 1  2 Khi đó: I  0  2 x  1 2 dx  1 t 2 . 2  4 1  t  t 2  dt 1 Trường THPT Lộc Hưng 3 Năm học 2013 – 2014 (0,25 điểm) (0,5 điểm) Trang 18 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số 1 1 3   ln t    4 t 1 Bài 2: ( 2 điểm) Tính I  Giải: 1 2  ln 3   4 3 (0,5 điểm)  2 cosx 0 1  sin 2 x dx    2 Đặt sin x  tan t với t    ;   cosxdx   1  tan t  dt  2 2   Đổi cận:x=0  t=0; x   t  2 4  2  4 cosx 1  tan 2 t Khi đó: I  0 1  sin 2 x dx  0 1  tan 2 t dt  4  dt  t  4 0   4 33 1  x 4 dx 0 (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) 1 Bài 3: ( 2 điểm) Tính I  x 0 Giải: 3 2 3 4 3 4 3 Đặt t  1  x  t  1  x  x dx   t dt 4 Đổi cận: x = 0  t = 1; x = 1  t = 0 1 1 3 3 33 4 Khi đó: I  x 1  x dx  t dt 40 0   2  3 41 3 t  16 0 16  Bài 4: ( 2 điểm) Tính I  sin 2 x 1  sin 2 x 0 Giải: Đặt  3  2    t=2 2  3 2  (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) 1 t4 2 1 15   4  41 4 4 Trường THPT Lộc Hưng (0,5 điểm) (0,5 điểm) Khi đó: I  sin 2 x 1  sin 2 x dx  t 3dt 0 (0,5 điểm) dx t  1  sin 2 x  2  dt  2sin xcosxdx  sin 2 xdx Đổi cận: x = 0  t = 1; x = (0,5 điểm) Năm học 2013 – 2014 (0,5 điểm) Trang 19 Giúp học sinh lớp 12B2 làm tốt bài tập tích phân bằng phương pháp đổi biến qua cách chọn đổi biến số e Bài 5: ( 1,5 điểm) Tính I  Giải: 1 1 x  1  ln x  dx dx x Đổi cận: x=1  t=1; x = e  t = 2 e 2 2 1 dt dx    ln t  ln 2. Khi đó: I   1 x  1  ln x  t 1 1 Đặt t  1  ln x  dt  (0,25 điểm) (0,5 điểm) (0,75 điểm) 0 Bài 6: ( 1 điểm) Tính I  0 Giải: Ta có 1 1 x 2  2 x  4 dx 0 1 1 dx   x 2  2 x  4 1 2 1  x  1   3 2 dx    2 Đặt x  1  3 tan t với t    ; .  dx  3 1  tan t dt  2 2 (0,25 điểm) x=-1 t = 0; x = 0  t = (0,25 điểm)  Đổi cận:  6  6 0 1 3 dx  dt  x  2 x  4 3 1 0 Khi đó: I   2  3  3  t 6 3 18 0 Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2013 – 2014  (0,25 điểm) (0,25 điểm) Trang 20