PHOØNG GIAÙO DUÏC ÑAØO TAÏO
QUAÄN TAÂN BÌNH
Tröôøng THCS NGOÂ SÓ LIEÂN
Giuùp hoïc sinh lôùp 7 laøm quen vôùi
“Chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng”
Giaùo vieân: Buøi Thò Giaùng Höông
I/ Ñaët vaán ñeà:
Toaùn hoïc thì caàn thieát cho moïi ngöôøi, moïi ngaønh ngheà, nhöng haàu heát hoïc
sinh ñeàu cho raèng: “Hoïc toaùn thì vaát vaû”. Ñoái vôùi hoïc sinh lôùp 7, laàn ñaàu tieân ñoái
maët vôùi 1 löôïng lôùn caùc kieán thöùc hình hoïc thì hay than raèng: “Hoïc hình hoïc, vöøa
khoù khaên, vöøa khoâ khan, laïi vöøa khaéc khoå”. Nhaát laø khi gaëp nhöõng caâu hoûi khoù; ví
duï “chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng”; Ña soá hoïc sinh thöôøng boû caâu naøy (keå caû hoïc
sinh gioûi). Ñieàu naøy cuõng deã hieåu, vì trong SGK coù raát ít daïng baøi taäp naøy. Ñeán khi
kieåm tra cuoái hoïc kì, baøi toaùn coù daïng toång hôïp nhieàu caâu hoûi, trong ñoù coù yeâu caàu
chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng, hoïc sinh khoâng bieát phaûi laäp luaän theá naøo, phaûi
trình baøy ra sao.
ÔÛ lôùp 7, khi hoïc baøi “2 ñöôøng thaúng song song”, hoïc sinh bieát caùch chöùng
minh 2 ñöôøng thaúng song song, khi hoïc baøi “2 tam giaùc baèng nhau”, hoïc sinh bieát
caùch chöùng minh 2 tam giaùc baèng nhau v.v… vaø neáu khoâng theo caùch naøy hoïc sinh
coù theå choïn caùch khaùc. Nhöng ñoái vôùi “chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng” hoïc sinh
khoâng coù söï ñònh höôùng toát nhö vaäy, nhieàu em cuõng muoán baøi laøm cuûa mình ñöôïc
troïn veïn, nhöng gaëp nhieàu khoù khaên, suy nghó lan man…
Qua nhieàu naêm giaûng daïy ôû khoái 7, vôùi nhieàu ñoái töôïng khaùc nhau toâi thaáy
moät trong nhöõng nguyeân nhaân laø do chuùng ta chöa heát söùc trong vieäc taäp cho caùc
em laøm quen vôùi vieäc “chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng”. Toâi xin pheùp ñöôïc trình
baøy 1 kinh nghieäm nhoû trong vieäc giaûi quyeát vaán ñeà naøy.
II/ Noäi dung:
A. Cô sôû lyù luaän: Chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng trong chöông trình lôùp 7 döïa
vaøo caùc phöông phaùp sau:
1. Goùc beït:
ABC = 1800
A, B, C thaúng haøng
2. Hai ñöôøng thaúng cuøng ñi qua 1 ñieåm vaø cuøng song song vôùi 1 ñöôøng thaúng
cho tröôùc
MA // xy
MB // xy
A, M, B thaúng haøng (tieân ñeà Ôclit)
3. Hai ñöôøng thaúng cuøng ñi qua 1 ñieåm vaø cuøng vuoâng goùc vôùi 1 ñöôøng thaúng
cho tröôùc
AH xy
BH xy
A, H, B thaúng haøng
4. Ba ñieåm cuøng thuoäc tia phaân giaùc cuûa 1 goùc
Tia OA laø tia phaân giaùc cuûa xOy
Tia OB laø tia phaân giaùc cuûa xOy
A, O, B thaúng haøng
5. Ba ñieåm cuøng thuoäc ñöôøng trung tröïc cuûa 1 ñoaïn thaúng
H, I, K cuøng thuoäc ñöôøng trung tröïc cuûa AB
H, I, K thaúng haøng
6. Ñöôøng trung tuyeán cuûa tam giaùc phaûi ñi qua troïng taâm
G laø troïng taâm cuûa ABC
AM laø trung tuyeán ABC
A, G, M thaúng haøng
7. Ñöôøng phaân giaùc cuûa tam giaùc phaûi ñi qua giao ñieåm chung cuûa 3 ñöôøng
phaân giaùc
I laø giao ñieåm 2 ñöôøng phaân giaùc xuaát phaùt
töø ñænh B vaø C
AD laø phaân giaùc cuûa A
A, I, D thaúng haøng
8. Ñöôøng cao cuûa tam giaùc phaûi ñi qua tröïc taâm
H laø tröïc taâm ABC
BE laø ñöôøng cao ABC
B, H, E thaúng haøng
9. Ñöôøng trung tröïc cuûa tam giaùc phaûi ñi qua giao ñieåm chung cuûa 3 ñöôøng
trung tröïc
O laø giao ñieåm 2 ñöôøng trung tröïc cuûa 2
caïnh AB vaø AC
MN laø ñöôøng trung tröïc cuûa BC
O, M, N thaúng haøng
10.
AOx =
0
BOx =
0
O, A, B thaúng haøng
B. Bieän phaùp thöïc hieän
Ñeå giuùp caùc em coù söï ñònh höôùng toát trong khi tìm toøi caùch giaûi. Toâi nghó,
chuùng ta coù theå giuùp caùc em laøm quen vôùi “3 ñieåm thaúng haøng” ngay töø ñaàu
chöông trình toaùn 7 chuùng ta vaãn daïy theo ñuùng noäi dung baøi hoïc, nhöng trong
tieát luyeän taäp, chuùng ta choïn nhöõng baøi taäp nhoû, ñôn giaûn, deã nhìn, nhöõng baøi
taäp naøy vöøa vaän duïng kieán thöùc ñaõ hoïc vöøa giuùp chuùng ta giôùi thieäu caùch chöùng
minh 3 ñieåm thaúng haøng, moãi laàn moät ít – daàn daàn hoïc sinh seõ quen vaø khi gaëp
nhöõng baøi toaùn toång hôïp, phöùc taïp, hoïc sinh coù theå töï tìm ñöôïc höôùng ñi vaø töø
ñoù giaûi quyeát ñöôïc yeâu caàu cuûa ñeà baøi.
Ngay töø baøi 1: “ Hai goùc ñoái ñænh”, ta coù theå loàng vaøo baøi toaùn yeáu toá “3
ñieåm thaúng haøng” nhö sau:
1) Treân ñöôøng thaúng AA’ laáy ñieåm O. Treân nöûa maët phaúng bôø AA’ veõ tia OB sao
cho AOB = 450. Treân nöûa maët phaúng coøn laïi veõ tia OC sao cho AOC = 900
a) Goïi OB’ laø tia phaân giaùc cuûa A’OC. Chöùng minh B, O, B’ thaúng haøng
b) Chöùng minh AOB vaø A’OB’ laø caëp goùc ñoái ñænh. So saùnh AOB vaø A’OB’
a) C/m: B, O, B’ thaúng haøng
A, O, A’ thaúng haøng AOA’ = 1800
AOC + COA’ = AOA’
900
+ COA’ = 1800
COA’ = 1800 – 900 = 900
Vì OB’ laø tia phaân giaùc cuûa COA’
COB’ =
COA'
90 0
=
= 450
2
2
BOB’ = BOA + AOC + COB’
= 450
+ 900
+ 450
= 1800
Vaäy 3 ñieåm B, O, B’ thaúng haøng
Trong baøi naøy, hoïc sinh vaãn luyeän taäp veà: Tính soá ño goùc, chöùng minh 2 goùc
ñoái ñænh, tính chaát 2 goùc ñoái ñænh. Nhöng qua ñoù, caùc em bieát caùch chöùng minh 3
ñieåm thaúng haøng döïa vaøo phöông phaùp 1.
Baøi
: “ Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc” , ta choïn baøi taäp sau:
2) Cho goùc vuoâng AOB vaø tia OC naèm trong goùc ñoù. Veõ tia OM sao cho tia OA laø
tia phaân giaùc cuûa COM. Veõ tia ON sao cho tia OB laø tia phaân giaùc cuûa CON.
Chöùng minh: 3 ñieåm M, O, N thaúng haøng.
C/m: M, O, N thaúng haøng
OA laø tia phaân giaùc cuûa COM COM = 2 COA
OB laø tia phaân giaùc cuûa CON CON = 2 COB
MON = COM + CON
= 2 COA + 2 COB
= 2.(COA + COB)
= 2. AOB
= 2. 900
= 1800
Vaäy 3 ñieåm M, O, N thaúng haøng
Trong baøi naøy, hoïc sinh vaãn luyeän taäp veà tính chaát tia phaân giaùc 1 goùc; veõ goùc
vuoâng vaø qua ñoù, caùc em chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng döïa vaøo phöông phaùp 1.
Baøi : “ Hai ñöôøng thaúng song song”, ta choïn baøi taäp sau:
3) Cho 2 goùc AOM vaø MOB keà buø (theo hình veõ)
Veõ tia MC sao cho 2 goùc CMO, MOA so le trong vaø baèng nhau
Veõ tia MD sao cho 2 goùc DMO, MOB so le trong vaø baèng nhau
Chöùng minh : C, M, D thaúng haøng
CMO vaø MOA laø caëp goùc so le trong baèng nhau
MC // OA
Maø B thuoäc ñöôøng thaúng OA
MC // AB
DMO vaø MOB laø caëp goùc so le trong baèng nhau
MD // OB
Maø A thuoäc ñöôøng thaúng OB
MD // AB
Ta coù
MC // AB (cmt)
MD // AB (cmt)
C, M, D thaúng haøng (Tieân ñeà Ôclit)
Trong baøi naøy, hoïc sinh luyeän taäp chöùng minh 2 ñöôøng thaúng song song vaø
qua ñoù bieát caùch chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng döïa vaøo phöông phaùp 2.
Baøi : “Ñònh lyù”. Hoïc sinh laøm baøi traéc nghieäm sau:
4)
a) Neáu 2 ñöôøng thaúng AB vaø CD cuøng song song vôùi ñöôøng thaúng xy thì AB // CD
b) Neáu 2 ñöôøng thaúng AB vaø AC cuøng song song vôùi ñöôøng thaúng xy thì A, B, C,
thaúng haøng
c) Neáu 2 ñöôøng thaúng EF vaø HK cuøng vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng xy thì EF // HK
d) Neáu 2 ñöôøng thaúng EF vaø EH cuøng vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng xy thì E, F, H
thaúng haøng
Hoïc sinh keát luaät A, B, C thaúng haøng (döïa vaøo phöông phaùp 2)
Vaø keát luaän E, F, H thaúng haøng (döïa vaøo phöông phaùp 3)
Baøi “ Tam giaùc baèng nhau - Tröôøng hôïp caïnh caïnh caïnh”. Ta choïn baøi taäp sau:
5) Cho ABC coù AB = AC. Goïi M laø 1 ñieåm naèm trong tam giaùc sao cho
MB = MC. N laø trung ñieåm BC (theo hình veõ)
C/m :
a) AM laø tia phaân giaùc cuûa BAC
b) Ba ñieåm A, M, N thaúng haøng
A
BAM = CAM (ccc) BAM = CAM
AM laø tia phaân giaùc ABC (1)
M
B
N
BAN = CAN (ccc) BAN = CAN
C
AN laø tia phaân giaùc BAC (2)
Töø (1) vaø (2) suy ra A, M, N thaúng haøng
Trong baøi naøy, hoïc sinh luyeän taäp chöùng minh 2 tam giaùc baèng nhau (ccc) vaø
qua ñoù chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng döïa vaøo phöông phaùp 4.
Baøi: “Tam giaùc baèng nhau – Tröôøng hôïp c-g-c”. Ta choïn caùc baøi taäp sau:
6) Cho ABC, M laø trung ñieåm BC. Veõ AD // BM vaø AD = BM (M vaø D khaùc
phía ñoái vôùi AB). I laø trung ñieåm AB
C/m: 3 ñieåm M, I, D thaúng haøng
C/m: 3 ñieåm M, I, D thaúng haøng
AID = BIM (cgc) I1 = I2
DIM = DIB + I2
= DIB + I1
= AIB
= 1800 ( vì A, I, B thaúng haøng)
Vaäy D, I, M thaúng haøng
Trong baøi naøy, hoïc sinh vaãn luyeän taäp chöùng minh tam giaùc baèng nhau (c.g.c) vaø
qua ñoù oân laïi caùch chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng döïa vaøo phöông phaùp 1.
7) Cho ABC, goïi D vaø E laàn löôït laø trung ñieåm AC, AB. Treân tia ñoái cuûa tia DB
laáy ñieåm M sao cho DM = DB. Treân tia ñoái cuûa tia EC laáy ñieåm N sao cho
EN = EC
a) C/m : A, M, N thaúng haøng.
ADM = CDB (cgc)
AMD = CBD
Maø 2 goùc naøy ôû vò trí so le trong
Neân : AM // BC
(1)
AEN = BEC (cgc)
ANE = BCE
Maø 2 goùc naøy ôû vò trí so le trong
Neân: AN // BC
(2)
Töø (1) vaø (2) suy ra A, M, N thaúng haøng (Tieân ñeà Ôclit)
Trong baøi naøy, hoïc sinh vaãn luyeän taäp chöùng minh 2 tam giaùc baèng nhau (cgc)
chöùng minh 2 ñöôøng thaúng song song vaø qua ñoù oân laïi caùch chöùng minh 3 ñieåm
thaúng haøng (döïa vaøo phöông phaùp 2)
8) Cho ABC, treân tia ñoái cuûa tia AB laáy ñieåm D sao cho AD = AB.
Treân tia ñoái cuûa tia AC laáy ñieåm E sao cho AE = AC.
Veõ AH BC (H BC). Treân DE laáy ñieåm K sao cho BH = DK
C/m:
A, H, K thaúng haøng
K
E
ABC = ADE (cgc)
D
D=B
Maø 2 goùc naøy ôû vò trí so le trong
A
Suy ra: ED // BC
AHB = AKD (cgc)
B
H
C
AKD = AHB = 900
AK ED
Ta coù:
AK BC (cmt)
AH BC (gt)
A, H, K thaúng haøng
Trong baøi naøy, hoïc sinh vaãn luyeän taäp chöùng minh tam giaùc baèng nhau (cgc), söû
duïng kieán thöùc veà 2 ñöôøng thaúng song song vaø qua ñoù oân laïi caùch chöùng minh 3
ñieåm thaúng haøng (döïa vaøo phöông phaùp 3)
Baøi “Tam giaùc caân”
9) Cho ABC coù A = 60 0 . Döïng ra ngoaøi tam giaùc ñoù caùc tam giaùc ñeàu ABM vaø
ACN
a) C/m: 3 ñieåm M, A, N thaúng haøng
b) C/m: BN = CM
N
A
M
Hoïc sinh deã daøng chöùng minh ñöôïc 3
ñieåm A, M, N thaúng haøng (döïa vaøo
600
phöông phaùp 1)
C
B
10) Cho ABC vuoâng caân taïi A. Veõ ra ngoaøi ABC tam giaùc caân BCM coù ñaùy BC
vaø goùc ôû ñaùy 150 . Veõ tam giaùc ñeàu ABN (N thuoäc nöûa maët phaúng bôø AB coù
chöùa C.
C/m: Ba ñieåm B, M, N thaúng haøng
ABM = ABC + CBM = 450 + 150 = 600
B
M
ABN ñeàu ABN = 600
N
Treân cuøng nöûa maët phaúng, coù bôø laø ñöôøng
thaúng AB, ta coù
A
C
ABM = 600
ABN =600
Vaäy B, M, N thaúng haøng
Hoïc sinh luyeän taäp veà tam giaùc caân, ñeàu, vuoâng caân vaø qua ñoù chöùng minh 3
ñieåm thaúng haøng döïa vaøo phöông phaùp 10
Baøi “ Tính chaát 3 ñöôøng trung tuyeán trong tam giaùc”. Ta choïn baøi taäp sau:
11) Cho ABC coù AD laø trung tuyeán. Treân AD laáy 2 ñieåm I vaø K sao cho
AI=IK=KD. Goïi F vaø E laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, AC. Goïi O laø giao ñieåm
cuûa BE vaø CI.
a) C/m: B, K, E vaø C, K, F thaúng haøng
b) O laø troïng taâm cuûa tam giaùc naøo?
c) Tính OE?
a)
ABC coù
AD laø trung tuyeán
1
KD = IK = AI = 3 AD
Suy ra: K laø troïng taâm ABC
Maø BE, CF laø 2 ñöôøng trung tuyeán cuûa ABC
Neân BE, CF phaûi ñi qua troïng taâm K
Vaäy
B, K, E thaúng haøng
C, K, F thaúng haøng
12) ABC vuoâng taïi A, coù BC = 10cm, AC = 8cm. Laáy ñieåm M treân AB sao cho
BM = 4cm. Veõ ñieåm D sao cho A laø trung ñieåm DC, goïi N laø trung ñieåm BD.
C/m:
Ba ñieåm C, M, N thaúng haøng
B
4
N
M
D
A
C
Hoïc sinh tính ñöôïc AB = 6cm (aùp duïng ñònh lyù Pythagore)
DBC coù BA laø trung tuyeán
MB
4
2
2
vaø BA = 6 = 3 BM = 3 BA
Vaäy M laø troïng taâm cuûa DBC
N laø trung ñieåm BD suy ra CN laø trung tuyeán BDC
Trung tuyeán CN phaûi ñi qua troïng taâm M
Vaäy C, M, N thaúng haøng
Trong baøi taäp treân, hoïc sinh luyeän taäp veà tính chaát 3 ñöôøng trung tuyeán trong
tam giaùc vaø qua ñoù chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng döïa vaøo phöông phaùp 6
Baøi “Tính chaát tia phaân giaùc cuûa 1 goùc”. Ta choïn baøi taäp sau:
13) Cho ABC caân taïi A, goïi D laø trung ñieåm BC. Töø D veõ DE AB, DF AC
(E AB; F AC)
A
a) C/m: DEF caân
b) Veõ BH // DF, CK // DE (H AC ; K AB)
C/m: A, I, D thaúng haøng
K
E
B
I
D
H
F
C
C/m: A, I, D thaúng haøng
DE AB ; DF AC
DE = DF
Suy ra: D thuoäc tia phaân giaùc cuûa BAC
IK AB, IH AC
IK = IH
Suy ra: I thuoäc tia phaân giaùc cuûa BAC
Vaäy: A, D, I thaúng haøng
Trong baøi treân, hoïc sinh luyeän taäp veà “Tính chaát tia phaân giaùc cuûa 1 goùc” vaø
qua ñoù chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng döïa vaøo phöông phaùp 4
Baøi: “Tính chaát 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa tam giaùc”
14) Cho ABC caân taïi A. Veõ phaân giaùc BD vaø CE caét nhau taïi I. Goïi M laø trung
ñieåm BC. C/m: A, I, M thaúng haøng
C/m: A, I, M thaúng haøng
ABC coù phaân giaùc cuûa B vaø C caét nhau taïi I,
suy ra I laø giao ñieåm cuûa 3 ñöôøng phaân giaùc trong
tam giaùc
ABC caân taïi A, coù AM laø ñöôøng trung tuyeán
öùng vôùi caïnh ñaùy neân AM cuõng laø phaân giaùc.
Ñöôøng phaân giaùc AM phaûi ñi qua giao ñieåm I
Vaäy A, I, M thaúng haøng
Trong baøi treân, hoïc sinh luyeän taäp veà “tính chaát 3 ñöôøng phaân giaùc trong tam
giaùc”, tính chaát tam giaùc caân vaø qua ñoù chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng döïa vaøo
phöông phaùp 7.
Baøi : “Tính chaát ñöôøng trung tröïc cuûa 1 ñoaïn thaúng”
15) Cho ba tam giaùc caân ABC, DBC, EBC coù chung ñaùy BC.
Chöùng minh 3 ñieåm A, D, E thaúng haøng
A
D
E
B
C
C/m: 3 ñieåm A, D, E thaúng haøng
AB = AC A thuoäc ñöôøng trung tröïc cuûa BC
DB = DC D thuoäc ñöôøng trung tröïc cuûa BC
EB = EC E thuoäc ñöôøng trung tröïc cuûa BC
Vaäy A, D, E thaúng haøng
Trong baøi treân, hoïc sinh luyeän taäp veà tính chaát trung tröïc vaø qua ñoù chöùng
minh 3 ñieåm thaúng haøng döïa vaøo phöông phaùp 5
Baøi : “ Tính chaát 3 ñöôøng trung tröïc cuûa tam giaùc”
16) Cho ABC caân taïi A, M laø trung ñieåm BC. Ñöôøng trung tröïc cuûa AB, AC caét
nhau ôû D. Chöùng minh: A, M, D thaúng haøng
A
D
B
C
M
C/m: A, M, D thaúng haøng
AB = AC (gt)
MB = MC (M laø trung ñieåm BC)
Suy ra: AM laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn BC
(1)
ABC coù ñöôøng trung tröïc cuûa AB vaø AC caét nhau taïi D
Suy ra: D laø giao ñieåm 3 ñöôøng trung tröïc trong ABC
Neân:
D thuoäc ñöôøng trung tröïc cuûa BC
(2)
Töø (1) vaø (2) suy ra A, M, D thaúng haøng
Trong baøi treân, hoïc sinh chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng döïa vaøo phöông phaùp 9
Baøi : “Tính chaát 3 ñöôøng cao”
17) ABC caân taïi A, veõ ñöôøng cao BH vaø CK caét nhau taïi I. Goïi M laø trung ñieåm
A
BC. Chöùng minh A, I, M thaúng haøng
K
B
I
D
H
C
C/m: A, I, M thaúng haøng
ABC coù 2 ñöôøng cao BH vaø CK caét nhau taïi I neân I laø tröïc taâm cuûa tam giaùc.
ABC caân taïi A, coù AM laø trung tuyeán öùng vôùi caïnh ñaùy neân AM cuõng laø
ñöôøng cao.
Ñöôøng cao AM phaûi ñi qua tröïc taâm I
Vaäy A, I, M thaúng haøng
Trong baøi treân, hoïc sinh chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng döïa vaøo phöông phaùp 8
III/ Keát quaû:
1/ Maët tích cöïc: Khi söû duïng phöông phaùp naøy trong quaù trình giaûng daïy, toâi thaáy
ñaït hieäu quaû toát. Noù chæ ra cho hoïc sinh con ñöôøng ñi, traùnh phaûi maát thôøi giôø suy
nghó lan man, nhieàu khi daãn ñeán ngoõ cuït. Khi coù ñöôïc höôùng suy nghó ñuùng, phaàn
lôùn caùc em giaûi quyeát ñöôïc yeâu caàu cuûa baøi toaùn. Ñieàu naøy taïo cho caùc em nieàm
say meâ, höùng thuù trong hoïc taäp boä moân.
2/ Maët haïn cheá: Phaàn chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng, hoïc sinh yeáu khoù tieáp thu.
TP Hoà chí Minh, ngaøy 05 – 04 – 2007
Ngöôøi vieát
Buøi Thò Giaùng Höông
- Xem thêm -