Tài liệu Skkn kinh nghiệm dạy bài tập góc và cung lượng giác. công thức lượng giác theophương pháp hệ thống

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM DẠY BÀI TẬP GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THEO PHƯƠNG PHÁP HỆ THỐNG Người thực hiện: Lê Thị Thu Lý Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán. THANH HÓA NĂM 2013 Mục lục Trang i. Đặt vấn đề……………………………………………………………….. 1 1.1 Lý do chọn đề tài. 1.2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ii. Giải quyết vấn đề………………………………………………………..2 2.1 Cơ sở lí luận. 2.2 Thực trạng vấn đề. 2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết các vấn đề của đề tài…….……...2 2.4 Kiểm nghiệm……………………………….………….…….………18 iii. Kiến nghị, đề xuất………………………………………………….……19 1 I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. 1. Lý do chọn đề tài: Góc và cung lượng giác là một chương có nhiều kiến thức mới, khó nhưng lạirất quan trọng trong chương trình đại số lớp 10. Nó là một chương tiếp nối với chương “phương trình lượng giác” ở lớp 11 và đồng thời là một dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các kì thi đại học, cao đẳng. “Hệ thống bài tập Góc, cung lượng giác, công thức lượng giác lớp 10” là một trong những vấn đề rất quan trọng mà các em học sinh cần rèn luyện để làm nền tảng cho mình trước khi bước vào lớp 11 với toán lượng giác thú vị và hấp dẫn. Do phần kiến thức lí thuyết của chương mới nên khi tiếp cận học sinh sẽ khó tiếp thu dẫn đến kĩ năng giải bài tập của các em còn hạn chế. Nếu giáo viên không có phương pháp hợp lý để giúp các em tiếp thu kiến thức, ghi nhớ và sử dụng thành thạo các công thức lượng giác thì sau này việc giải các phương rình lượng giác với các em sẽ rất khó khăn. Chính vì lí do trên mà qua những năm trực tiếp giảng dạy tôi đã rút ra cho bản thân một số kinh nghiệm khi giảng dạy chương này qua dạy phần bài tập của chương bằng phương pháp hệ thống các dạng bài tập cơ bản nhằm giúp học sinh tiếp thu bài dễ dàng hơn qua đó nâng cao chất lượng dạy và học. Sự đổi mới đó bước đầu đã thu được những kết quả khả quan. 1. 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu trong đề tài này là học sinh khối 10 qua các năm tôi trực tiếp giảng dạy và năm học 2012-2013 là các lớp 10B6 và 10B7. - Phạm vi nghiên cứu của đề tài này là “Chương VI: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác” - Sách giáo khoa Đại số 10. 2 II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2. 1. Cơ sở lí luận Khi giải một bài tập lượng giác, việc đầu tiên giáo viên yêu cầu học sinh đọc đề bài, qua đó giúp các em nhận dạng bài toán, từ đó sẽ đưa ra được phương pháp giải phù hợp. Bài tập ở chương này khó với lí do nó rất đa dạng, bài tập thiên về tính toán cũng có và bài tập dòi hỏi tư duy sáng tạo cũng có,…Chính vì thế việc rèn luyện kĩ năng giải bài tập, kĩ năng vận dụng công thức lượng giác một cách thành thạo là một việc làm cần thiết mà giáo viên cần rèn cho học sinh. 2. 2. Thực trạng vấn đề - Nội dung chương có rất nhiều kiến thức khó và nhiều dạng bài tập nên nếu không tập trung học để có kiến thức nền tảng vững chắc thì khó có thể nắm bắt được kiến thức. - Đa số học sinh khi bắt đầu tiếp cận với các kiến thức này đều thấy ngại học vì các em chưa nhớ công thức và kĩ năng vận dụng công thức kém. - Trong khuôn khổ SKKN này tôi chỉ đưa ra các dạng bài tập cơ bản nhưng có ý nghĩa quan trọng hỗ trợ cho các em kiến thức nền tảng lượng giác vững chắc. 2. 3. Các biện pháp tiến hành giải quyết các vấn đề của đề tài * Trong quá trình giảng dạy, qua mỗi bài giáo viên cần giúp học sinh hệ thống lại các kiến thức cơ bản trong chương mà các em cần ghi nhớ, bên cạnh đó (tùy vào đối tượng học sinh) mà giáo viên có thể chứng minh thêm một số công thức hỗ trợ cho các em trong quá trình làm bài tập. sin 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác: tang I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác: T Cho (OA, OM ) = α . Giả sử M ( x; y) . B cosα = x = OH sin α = y = OK sinα tan α = = AT cosα cosα cot α = = BS sin α K   π  α ≠ + kπ   2  cotang S M α O H A cosin (α ≠ kπ ) Nhận xét: +) ∀α , − 1 ≤ cosα ≤ 1; − 1 ≤ sin α ≤ 1 +) tanα xác định khi α ≠ π 2 + kπ , k ∈ Z +) cotα xác định khi α ≠ kπ , k ∈ Z 3 +) sin(α + k2π ) = sinα +) tan(α + kπ ) = tanα cos(α + k2π ) = cosα cot(α + kπ ) = cot α 2. Dấu của các giá trị lượng giác: Phần tư Giá trị lượng giác cosα sinα tanα cotα I II III IV + + + + – + – – – – + + + – – – 3. Giá trị lượng giác của các cung (góc) đặc biệt: 0 00 π π π π 6 300 4 3 2 2π 3 3π 4 π 3π 2 2π 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 3 2 2 2 0 –1 0 –1 0 1 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 tan 0 3 3 1 3 3 1 3 3 cot 0 − 1 2 − 2 2 − 3 –1 3 3 –1 − 0 0 0 4. Hệ thức cơ bản: sin2α + cos2α = 1 ; tanα .cotα = 1 ; 1 + tan2 α = 1 2 ; 1 + cot 2 α = cos α 1 sin2 α 5. Giá trị lượng giác của các cung(góc) có liên quan đặc biệt: 4 Góc đối nhau Góc bù nhau cos( −α ) = cosα sin(π − α ) = sin α sin( −α ) = − sinα cos(π − α ) = − cosα tan( −α ) = − tan α tan(π − α ) = − tan α cot( −α ) = − cot α cot(π − α ) = − cot α Góc hơn kém π Góc phụ nhau π  sin  − α  = cosα 2  π  cos − α  = sinα 2  π  tan  − α  = cot α 2  π  cot  − α  = tanα 2  Góc hơn kém π 2 sin(π + α ) = − sin α π  sin  + α  = cosα 2  cos(π + α ) = − cosα π  cos + α  = − sinα 2  tan(π + α ) = tan α π  tan  + α  = − cot α 2  cot(π + α ) = cot α π  cot  + α  = − tanα 2  II. Công thức lượng giác: 1. Công thức cộng: sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a sin( a − b) = sin a.cos b − sin b.cosa cos( a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b cos( a − b) = cosa.cosb + sin a.sin b Hệ quả: π  1 + tanα tan  + α  = , 4  1 − tanα tan a + tan b 1 − tan a.tan b tan a − tan b tan(a − b) = 1 + tan a.tan b tan( a + b) = π  1 − tanα tan  − α  = 4  1 + tan α 2. Công thức nhân đôi: sin2α = 2sinα .cosα cos2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − 1 = 1 − 2sin2 α 5 tan2α = Công thức hạ bậc 1 − cos2α sin2 α = 2 1 + cos2α cos α = 2 1 − cos2α 2 tan α = 1 + cos2α 2 2tanα 1 − tan2 α ; cot 2α = cot 2 α − 1 2cot α Công thức nhân ba (*) sin3α = 3sinα − 4sin3 α cos3α = 4cos3 α − 3cosα 3tanα − tan3 α tan3α = 1 − 3tan2 α 3. Công thức biến đổi tổng thành tích: a+ b a− b .cos 2 2 a+ b a− b cosa − cosb = − 2sin .sin 2 2 a+ b a− b sin a + sin b = 2sin .cos 2 2 a+ b a− b sin a − sin b = 2cos .sin 2 2 cosa + cosb = 2cos sin( a + b) cosa.cosb sin( a − b) tan a − tan b = cosa.cosb sin(a + b) cot a + cot b = sin a.sin b sin( b − a) cot a − cot b = sin a.sin b tan a + tan b =   π π sin α + cosα = 2.sin  α +  = 2.cos α −  4 4     π π sinα − cosα = 2sin α −  = − 2 cosα +   4  4 4. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1  cos( a − b) + cos( a + b)  2 1 sin a.sin b =  cos( a − b) − cos( a + b)  2 1 sin a.cosb = sin( a − b) + sin( a + b)  2 cosa.cosb = * Phân dạng bài tập giúp học sinh ghi nhớ và tiếp thu bài dễ hơn: A. VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc)lượng giác ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) lượng giác đó thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. Bài 1: Xác định dấu của các biểu thức sau: 6 a) A = sin500.cos(−3000 ) c) C = cot b) B = sin2150.tan  2π  3π .sin  −  5  3  d) D = cos 21π 7 4π π 4π 9π .sin .tan .cot 5 3 3 5 Bài 2: Cho 00 < α < 900 . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = sin(α + 900 ) b) B = cos(α − 450 ) c) C = cos(2700 − α ) d) D = cos(2α + 900 ) Bài 3: Cho 0 < α < π 2 . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = cos(α + π )   c) C = sin  α + b) B = tan(α − π ) 2π   5    d) D = cos α − 3π   8  B. VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một cung (góc) lượng giác Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại: 1. Cho biết sinα, tính cosα, tanα, cotα: - Từ sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ cosα = ± 1 − sin2 α . + Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cosα = 1 − sin2 α . + Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì cosα = − 1 − sin2 α . - Tính tanα = sinα ; cosα cot α = 1 . tanα 2. Cho biết cosα, tính sinα, tanα, cotα: - Từ sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ sin α = ± 1 − cos2 α . + Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì sinα = 1 − cos2 α . + Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin α = − 1 − cos2 α . - Tính tanα = sinα ; cosα cot α = 1 . tanα 3. Cho biết tanα, tính sinα, cosα, cotα: - Tính cot α = 1 . tanα 7