Tài liệu Skkn “ một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THỪA THIÊN HUẾ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VINH XUÂN ------------------ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d ( a  0 )” l Lĩnh vực/môn: Toán học Họ và tên tác giả: ĐỖ VĂN SƠN Giáo viên môn: Toán Vinh Xuân, tháng 3 năm 2015 trang 0 MỤC LỤC Trang Phần A - ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………........……......……..........2 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục đích nghiên cứu đề tài 3. Phạm vi nghiên cứu đề tài 4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 5. Phương pháp nghiên cứu đề tài Phần B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ ...…….….……………..........……..…..3 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT..……… …………………….........…………............ 3 2. “MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3 2 BA y  f ( x )  ax  bx  cx  d , (a  0) ”.........................................4 3. BÀI TẬP………………………………………...…..........…......…….. .......14 Phần C - KẾT LUẬN ……………………………………………………....15 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………..16            trang 1 PHẦN A . ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Nhắc đến cực trị của hàm số là nói đến những ứng dụng của nó trong chương trình toán phổ thông và ở lớp 12 nói riêng, khi biết được cực trị của đồ thị hàm số, do đó đề tài “Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba ” đề cập đến vị trí hai giá trị cực trị của hàm bậc ba nằm phía trên trục hoành , dưới trục hoành hay ở hai phía đối với trục hoành để suy ra được số giao điểm của đồ thị hàm bậc ba cắt trục hoành tại một, hai hay ba giao điểm. Còn biết được các điểm cực trị của hàm số nằm bên trái, bên phải hoặc hai phía đối với trục tung thì ta suy ra được hoành độ các điểm cực trị đều âm, đều dương hay trái dấu nhau…. Mặt khác còn giúp cho chúng ta vẽ đồ thị của hàm bậc ba dễ dàng nếu biết hai cực trị của nó. 2. Mục đích nghiên cứu đề tài Đề tài “ Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba” nhằm giúp học sinh hệ thống lại các mối quan hệ giữa cực trị của đồ thị hàm số bậc ba và sự tương giao của nó với trục hoành, cũng như giúp cho học sinh khối 12 giải quyết một số bài toán tìm tham số để đồ thị hàm số có các hoành độ cực trị đều dương, đều âm hay lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số  cho trước. 3. Phạm vi nghiên cứu đề tài - Chương trình toán trung học phổ thông 4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài Chuyên đề “ Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba”, cung cấp cho học sinh về phương pháp tổng quát, kỹ năng và hệ thống các bài tập về cực trị của hàm số bậc ba, để chuẩn bị cho học sinh khối 12 khi gặp bài toán này giải một cách dễ dàng hơn. 5. Phương pháp nghiên cứu đề tài Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết. trang 2 PHẦN B . GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Xét hàm số y  f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d , (a  0) trên R Ta có y '  3ax 2  2bx  c b  2 b2   bc  1 Thực hiện phép chia y cho y ' ta được y   x   y '  c   x   d   9a  3 3a   9a  3 Hàm số y  f ( x) có cực đại và cực tiểu  3ax 2  2bx  c  0 (1) có hai nghiệm a  0 a  0 (*)  2  '  0 b  3ac  0 phân biệt   Với điều kiện (*) thì hàm số có hai cực trị x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1) Theo định lý Vi ét x1  x2   2b c , x1 x2  3a 3a Gọi A( x1 ; y1 ); B ( x2 ; y2 ) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  f ( x) Vì y '( x1 )  y '( x2 )  0 suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A, B là: 2 b2  bc   d : y  c   x  d   3 3a  9a    2 b2  k  c   3  3a   hay d : y  kx  q với   q   d  bc     9a   Tích giá trị cực đại và cực tiểu là y1. y2   kx1  q  kx2  q   k 2 x1 x2  kq ( x1  x2 )  q 2 k 2c 2bqk   q2  y1. y2  3a 3a và tổng y1  y2  kx1  q  kx2  q  k  x1  x2   2q   Vậy y1  y2   2bk  2q 3a 2bk  2q 3a trang 3 2. “ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA y  f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d , ( a  0) ” Bài toán 1: Đồ thị hàm số y  f ( x) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với  2 b2  k  c  b  3ac  0   '  0 3  3a   2    k c 2bqk trục hoành khi và chỉ khi  với  2   q  0  y1. y2  0   q   d  bc  3a  3a    9a   2 Hoặc phương trình hoành độ f ( x)  0 có ba nghiệm phân biệt Ví dụ 1: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  m  2 có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) của hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. Giải: Theo bài toán 1, để (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục b 2  3ac  0  '  0    k 2 c 2bqk hoành   (1)   q2  0  y1. y2  0  3a  3a ta có k  2  m  3 , q  2  m  3  kq  4  m  32 thay vào (1) ta được 3 3 9 9  3m  0 m  3    4  m3 4 24 4 2 2 3 2 m  3 m  m  3  ( m  3)  0 m  3  0        27  27 27 9 Vậy m  3 thì đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành. Cách khác: Hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành là nghiệm phương trình x3  3x 2  mx  m  2  0  ( x  1)( x 2  2 x  m  2)  0  x  1  2  x  2x  m  2  0 Để (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành  g ( x)  x 2  2 x  m  2  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 .  '  0 3  m  0   m3 g (  1)  0 m  3  0   trang 4 Vậy m  3 thì đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành. Bài toán 2: Đồ thị hàm số y  f ( x) có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía  '  0 đối với trục hoành khi và chỉ khi   y1. y2  0 b 2  3ac  0  với   k 2c 2bqk   q2  0  3a  3a  2 b2  k  c   3  3a     q   d  bc     9a   Ví dụ 2: Cho hàm số y  2 x 3  6 x 2  mx có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) của hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục hoành. Giải: Theo bài toán 2, để đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía b 2  3ac  0  '  0    k 2c 2bqk đối với trục hoành   (2) 2 y . y  0   q  0  1 2  3a  3a ta có k  2 m 2  m  6  , q   kq  m  m  6  thay vào (2) ta được 3 3 9 m  6 m  6 36  6m  0  9 9    2    m6 2  22 m   12 m 2 2 2  27  m  6  .m  27 m(m  6)  9  0 m  3 m  3   0     (m  0) 9 Vậy  m  6 thì đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với 2 trục hoành. Đặc biệt: Đồ thị (Cm) có một cực trị nằm trên trục hoành m  6 m  6 m  0   '  0  m  0    22   9  m  9  y1. y2  0 m  m  3   0   m  2   3   2 Vậy m  9 hoặc m  0 thì đồ thị (Cm) có một cực trị nằm trên trục hoành. 2 trang 5 Bài toán 3: Đồ thị hàm số y  f ( x) có hai điểm cực trị nằm phía trên trục hoành  b 2  3ac  0  '  0    2bk  2q  0 khi và chỉ khi  y1  y2  0   với 3 a  y .y  0   1 2  k 2c 2bqk 2  3a  3a  q  0   2 b2  k   c   3 3a    q   d  bc     9a   Ví dụ 3: Cho hàm số y  2 x 3  6 x 2  mx có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm cực trị nằm phía trên trục hoành . Giải: Theo bài toán 3, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trên trục hoành  b 2  3ac  0  '  0     2bk  2q  0 (3)  y1  y2  0   3 a  y .y  0   1 2  k 2c 2bqk 2  3a  3a  q  0  ta có k  2 m 2  m  6  , q   kq  m  m  6  thay vào (3) ta được 3 3 9    36  6m  0 m  6 m  6   2 9 4    2(m  4)  0  m  4   m  6  (m  6)  m  0 3 2 3   9  2 22 2 m  m  3   0 m  12 m 2  2  3  27  m  6  .m  27 m(m  6)  9  0    Vậy 9  m  6 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trên của trục hoành . 2 trang 6 Bài toán 4: Đồ thị hàm số y  f ( x) có hai điểm cực trị nằm phía dưới trục hoành   b 2  3ac  0 2 b2   '  0  k   c   3 3a     2bk  2q  0 khi và chỉ khi  y1  y2  0   với   y .y  0  3a q   d  bc  2  1 2    k c 2bqk  2 9a     q  0  3a 3a  Ví dụ 4: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  ( m  6) x  m  10 có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía dưới trục hoành. Giải: Theo bài toán 4, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía dưới trục  b 2  3ac  0  '  0    2bk  2q  0 hoành là  y1  y2  0   (4)  y .y  0  3a  1 2  k 2c 2bqk 2  3a  3a  q  0  ta có k  2  m  9  , q  4 (m  9)  kq  8  m  9 2 thay vào (4) ta được 3 9 3   b 2  3ac  0 9  3( m  6)  0   8  2bk 4  2q  0   ( m  9)  (m  9)  0  3  3a 3 2 16 16  k c 2bqk 4 2 2 2 2  3a  3a  q  0  27 ( m  9) (m  6)  9 (m  9)  9 ( m  9)  0    9  3(m  6)  0 9  m  0   8 4   (m  9)  (m  9)  0  4( m  9)  0 3 3 4 2 16 16 4   m  9   m  18   0 2 2 2  27  27 (m  9) (m  6)  9 (m  9)  9 ( m  9)  0 m  9 m  9   m  9  0    18  m  9 m   18   m  18  0  trang 7 Vậy 18  m  9 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía dưới trục hoành. Bài toán 5: Hàm số y  f ( x) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung khi và chỉ khi y '  0 có hai nghiệm x1 ; x2 trái dấu  x1 . x 2 <0  c  0  ac  0 3a Ví dụ 5: Cho hàm số y   x 3  (2m  1) x 2  ( m 2  3m  2) x  4 có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung. Giải: Theo bài toán 5, để đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung là : ac  0  m 2  3m  2  0  1  m  2 . Vậy 1  m  2 thì đồ thị (Cm) có hai cực trị trái dấu. Bài toán 6: Hàm số y  f ( x) có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía đối với trục tung khi và chỉ khi y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cùng dấu  '  0    x1 . x 2 >0  b 2  3 ac  0  b 2  3 ac  0    c    ac  0  3 a  0 1 Ví dụ 6: Cho hàm số y  x3  mx 2  (2m  1) x  3 có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị 3 (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. Giải: Theo bài toán 6, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía đối với trục tung là  m  12  0  m 2  (2m  1)  0 m  1 2 b 2  3ac  0  m  2 m  1  0     1     1 1  ac  0  2m  1  0  3 (2m  1)  0 m   m  2   2 1 Vậy m  và m  1 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía của 2 trục tung. trang 8 Bài toán 7: Hàm số y  f ( x) có hai điểm cực trị có hoành độ đều dương ( nằm phía bên phải của trục tung ) khi và chỉ khi y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2   b 2  3 ac  0  '  0  b 2  3 ac  0     2b  0   ab  0 đều dương   x1  x 2  0     x . x >0  3a  ac  0  1 2   c  0  3 a Ví dụ 7: Cho hàm số y  (m  2) x 3  3x 2  mx  5 , (m  2) có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều dương. Giải: Theo bài toán 7, để đồ thị (Cm) có hai cực trị có hoành độ đều dương là  b 2  3 ac  0 m 2  2m  3  0  9  3 m ( m  2)  0      3( m  2)  0  m  2  0  ab  0  ac  0  m ( m  2)  0 m  0     3  m  1   m  2  3  m  2 m  0  Vậy 3  m  2 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ đều dương. Bài toán 8: Hàm số y  f ( x) có hai điểm cực trị có hoành độ đều âm ( nằm phía bên trái của trục tung ) khi và chỉ khi y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 đều âm   b 2  3 ac  0  b 2  3 ac  0  '  0    2b    x1  x 2  0    0   ab  0  x . x >0  3a  ac  0  1 2   c  0  3 a Ví dụ 8: Cho hàm số y  x 3  (1  2m ) x 2  (2  m) x  m  2 có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ đều âm. trang 9 Giải: Theo bài toán 8, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ đều âm là  4m 2  m  5  0  b 2  3 ac  0  (1  2 m ) 2  3(2  m )  0  1    ab  0  1  2 m  0    m  2  ac  0 2  m  0     m  2   m  1  m  5   4  m  1  1 m   2 Vậy m  1 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ đều âm. Bài toán 9: Hàm số y  f ( x) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho x1    x2 khi và chỉ khi y '  0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x1    x2  '  0    ( x1   )( x 2   )  0  '  0   2  x1 x 2   ( x1  x 2 )    0 b 2  3ac  0  1 2  3a  3a  2b  c   0 1 Ví dụ 9: Cho hàm số y  x 3  (m  2) x 2  (5m  4) x  3m  1 có đồ thị (Cm) . Tìm 3 m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho x1  2  x2 Giải: Theo bài toán 9 với   2 , để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho x1  2  x2 là b 2  3ac  0 ( m  2) 2  5m  4  0   1 4  4(m  2)  5m  4  0  3a 12a  4b  c   0  (m  2) 2  5m  4  0 m 2  9m  8  0   4  4(m  2)  5m  4  0 9m  0 trang 10 m  1     m  8  m  0 m  0  Vậy m  0 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị thỏa mãn bài toán. Bài toán 10: Hàm số y  f ( x) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho x1  x2   khi và chỉ khi y '  0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x1  x2    '  0  '  0     ( x1   )  ( x 2   )  0   x1  x 2  2  0  ( x   )( x   )  0  2 2  1  x1 x 2   ( x1  x 2 )    0  b 2  3ac  0   2b     2  0  3a 1 2  3a  3a  2b  c   0 Ví dụ 10: Cho hàm số y  m 3 x  ( m  2) x 2  ( m  1) x  2 , (m  0) có đồ thị (Cm) . 3 Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho x1  x2  1 Giải: Theo bài toán 10 với   1 , để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho x1  x2  1 là   b 2  3 ac  0   2b 20   3a  1  3 a  3 a  2 b  c   0 trang 11  4   m  2 (m  2)  m(m  1)  0 3m  4  0 3  m  0     4m  4 m  0  2(m  2)   0    5   20 4  m m  1 m m    3 4  4m  5 m  0 1  0 m  2 m  4  m  1  0    m   m   m  5 / 4 Vậy m  0 hoặc 5 4  m  thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị thỏa mãn bài toán. 4 3 Bài toán 11: Hàm số y  f ( x) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho   x1  x2 khi và chỉ khi y '  0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn   x1  x2  '  0  '  0     ( x1   )  ( x 2   )  0   x1  x 2  2  0  ( x   )( x   )  0 x x   (x  x )   2  0 2  1 1 2  1 2  b 2  3ac  0   2b    2  0  3a 1 2  3a  3a  2b  c   0 1 Ví dụ 11: Cho hàm số y  x3  mx 2  (m 2  m  1) x  1 có đồ thị (Cm) . Tìm m để 3 đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho 1  x1  x2 Giải: Theo bài toán 11 với   1 , để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho 1  x1  x2 là   b 2  3 ac  0  m 2  ( m 2  m  1)  0    2b 20  2m  2  0   3a  2  1  2 m  m  m  1   0  1  3 a  3 a  2 b  c   0 trang 12 m  1 m  1  0    m  1  m  1  m  2 m 2  3m  2  0   m  2 Vậy m  2 thì đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị thỏa mãn bài toán.            trang 13 3. BÀI TẬP 1 1. Cho hàm số y  x3  ( m  2) x 2  (5m  4) x  m 2  1 có đồ thị (Cm) . Tìm m 3 để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho x1  1  x2 1 2. Cho hàm số y  x3  ( m  3) x 2  4(m  3) x  m 2  m có đồ thị (Cm) . Tìm m 3 để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho 1  x1  x2 1 1 3. Cho hàm số y  x3  mx 2  (m 2  3) x có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị 3 2 (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ đều dương. 4. Cho hàm số y  x3  (1  2m) x 2  (2  m) x  m  2 , (m  0) có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1 và x2 sao cho x1  x2  1 5. Cho hàm số y  4 x 3  mx 2  3 x có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục hoành. 6. Cho hàm số y  x3  3x 2  mx  2 có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục hoành. 7. Cho hàm số y  x3  3 x 2  m có đồ thị (Cm) . Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trên trục hoành . trang 14 PHẦN C. KẾT LUẬN Qua đề tài “Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba”. Nhằm hệ thống lại và khắc sâu một số dạng toán tìm tham số để hàm bậc ba có hai cực trị lần lượt có hoành độ âm, dương và so sánh hai hoành độ của điểm cực trị với một số  nào đó. Hoặc tìm tham số để hàm bậc ba có các giá trị cực trị đều dương, đều âm hay trái dấu . Làm cơ sở cho học sinh trung học phổ thông có mối liên hệ giữa các kiến thức trong chương trình phổ thông và vận dụng vào giải bài toán liên quan đến cực trị trong kỳ quốc gia sắp tới. Đây cũng là tài liệu nhằm giúp cho học sinh khối 12 chuẩn bị một phần kiến thức về cực trị của hàm số bậc ba. Trong khi viết chuyên đề này, tôi chân thành cám ơn quý thầy cô giáo trong tổ đã đóng góp nhiều ý kiến giúp đỡ để chuyên đề được hoàn thành. Rất mong quý thầy cô trong tổ và đồng nghiệp có nhiều ý kiến hơn nữa, để chuyên đề lần sau tôi viết tốt hơn. Chân thành cám ơn! Vinh Xuân, ngày 20 tháng 03 năm 2015 Người thực hiện Đỗ Văn Sơn trang 15 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục 2006 2. Giải tích 12 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục 2008 3. Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo Dục 2008 4. Nguyễn Phú Khánh, “ Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm”, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2013. 5. www. Violet.vn 6. www.moet.edu.vn trang 16 NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN NHẬN XÉT:…………………………… Vinh Xuân, ngày 20 tháng 3 năm 2015 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. (Ký và ghi rõ họ tên) ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… Đỗ Văn Sơn ĐIỂM:………………………………….. XẾP LOẠI: ……………………………. TỔ TRƯỞNG NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KH-SK CỦA ĐƠN VỊ NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KH-SK NGÀNH GD&ĐT NHẬN XÉT:…………………………… NHẬN XÉT:……………………………… ………………………………………… …………………………………………… ………………………………………… …………………………………………… ………………………………………… …………………………………………… ………………………………………… …………………………………………… ĐIỂM:………………………………….. ĐIỂM:………………………………….. XẾP LOẠI: ……………………………. XẾP LOẠI: ……………………………. CHỦ TỊCH HĐ KH-SK CỦA ĐƠN VỊ CHỦ TỊCH HĐ KH-SK NGÀNH GD&ĐT trang 17 trang 18