Tài liệu Skkn một số giải pháp giúp học sinh năng khiếu toán làm tốt các bài toán tìm chữ số tận cùng của tích.

THÔNG TIN CÁ NHÂN Họ và tên: Nguyễn Thị Tuyết Đơn vị: Tiểu học Hiệp Cường Ngày tháng năm sinh: 03/11/1968 Nhiệm vụ được giao: Giáo viên chủ nhiệm lớp 5D Năm học 2015-2016 Đề tài nghiên cứu: Giúp học sinh năng khiếu toán làm tốt các bài toán Tìm chữ số tận cùng của một tích. 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bậc Tiểu học là bậc học nền tảng, là nơi cung cấp những tri thức cơ sở ban đầu và bền vững cho mỗi cuộc đời. Bồi dưỡng học sinh giỏi ở Tiểu học là nền móng cho chiến lược đào tạo người tài của đất nước, là việc làm cần thiết và có ý nghĩa quan trọng, được các nhà quản lí, các cấp lãnh đạo, các bậc phụ huynh quan tâm. Để có được thành quả giáo dục nói chung hay những thành tích cao của học sinh giỏi nói riêng, ngay từ cấp Tiểu học, các nhà trường phải có sự quan tâm, đầu tư. Thời điểm bồi dưỡng học sinh giỏi không phải đợi đến lớp 4,5 mới tiến hành mà là cả một quá trình tạo nguồn, nuôi nguồn. Bởi cái tháp cao nào cũng bắt đầu xây từ mặt đất. Ở Tiểu học giáo dục toàn diện là dạy đủ các môn học trong chương trình và dạy cho mọi học sinh, sao cho tất cả học sinh đều được học, được tiếp thu, được vận dụng theo khả năng, trình độ của mình. Tuy nhiên đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài là hai nhiệm vụ song song mà mỗi giáo viên Tiểu học có trách nhiệm phát hiện và bồi dưỡng ngay từ đầu bậc học. Mặt khác, chất lượng học sinh giỏi là một tiêu chí không thể thiếu để đánh giá sự phát triển của một nhà trường. Thành tích học sinh giỏi góp phần tạo nên chất lượng và thương hiệu của một trường. Ước mơ trở thành học sinh giỏi là ước mơ chính đáng của mỗi học sinh, phụ huynh học sinh. Một học sinh giỏi không những là niềm tự hào của cha mẹ, thày cô mà là niềm tự hào của cả cộng đồng. Giáo viên và nhà trường có trách nhiệm cho phụ huynh biết năng lực của con em họ để cùng phối hợp bồi dưỡng. Để có kết quả của học sinh giỏi thì công tác tạo nguồn, bồi dưỡng nguồn là chiến lược hết sức quan trọng, có tính chất bền vững trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở Tiểu học. Thực hiện Thông tư số 30/2014/TT-BGD ĐT ngày 28 tháng 8 năm 2014; Chỉ thị số 5105/CT- BGD ĐT ngày 03/11/2014 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, các trường Tiểu học không tổ chức các lớp bồi dưỡng, nâng cao dành cho học sinh giỏi, không tổ chức các hội thi hay giao lưu học sinh giỏi. Tôi rất tán thành với chủ trương của Bộ Giáo dục là xóa bỏ trường chuyên, lớp chọn đối với Tiểu học. 2 Học sinh Tiểu học phải được học đều các môn, được giáo dục phát triển toàn diện. Tuy nhiên cuộc thi giải toán trên Internet (Giải toán Violympic) vẫn thu hút sự quan tâm của không ít phụ huynh và học sinh. Nhiều học sinh rất có hứng thú với các vòng thi toán trên mạng và cũng có rất nhiều phụ huynh mong muốn con em mình thử sức và rèn luyện tư duy toán học. Cuộc thi giải toán Violympic là một sân chơi dành cho học sinh Tiểu học và THCS. Các bài thi nhằm giúp các em củng cố, nâng cao kiến thức, phát triển khả năng tư duy, sáng tạo. Khi các em làm bài, đồi hỏi phải nhanh, chính xác, thao tác trên máy tính thành thạo. Nó tích hợp rất nhiều kĩ năng của học sinh: kĩ năng tính và giải toán, kĩ năng xử lí tình huống, thu thập thông tin, … Học sinh cần rèn kĩ năng phát hiện nhanh nhạy những tình huống có vấn đề trong các bài toán trên mạng, phát hiện dạng toán, tìm phương pháp giải toán cho phù hợp. Qua mỗi bài toán, học sinh cần rút ra bản chất của một dạng bài, những điều cần lưu ý, những sai lầm có thể mắc phải. Trong khi đó các đề thi violimpic, nội dung kiến thức rất phong phú, bài tập đa dạng. Nếu học sinh chỉ có kiến thức tích lũy được trong các bài học trên lớp theo chương trình sách giáo khoa thì khó có thể tham gia cuộc thi giải toán trên Internet. Vì vậy có những dạng toán, bài toán giáo viên phải dạy, phải hướng dẫn học sinh rút ra quy tắc, quy luật, công thức để làm bài. Thế nhưng không phải giáo viên nào cũng có thể giúp học sinh trong lĩnh vực này, đặc biệt là đối với học sinh lớp 4,5. Qua hai năm được giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh có năng khiếu giải toán Violimpic, tôi đã hướng dẫn học sinh nẵm vững cách giải một số dạng toán, trong đó có dạng toán Tìm chữ số tận cùng của một tích. Tôi luôn mong muốn giúp học sinh vượt qua các vòng thi tự luyện violimpic toán một cách nhanh nhất. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu những bài toán Tìm chữ số tận cùng của một tích, những lúng túng, sai sót của học sinh khi thực hiện, từ đó đề xuất một số biện pháp giúp học sinh tìm đáp số bài toán một cách nhanh nhất. 3 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu cơ sở toán học, nguyên tắc dạy học sinh năng khiếu toán - Khảo sát thực trạng dạy và học dạng toán Tìm chữ số tận cùng của một tích - Đề xuất một số biện pháp nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh năng khiếu ở Tiểu học 4. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 1. Mục đích nghiên cứu: + Các bài toán liên quan tìm chữ số tận cùng của một tích. + Cách giải các bài toán trên. + Biện pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán đó. 2. Khách thể nghiên cứu: Học sinh năng khiếu Toán lớp 5 trường Tiểu học Hiệp Cường- huyện Kim Động- tỉnh Hưng Yên. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. 5.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. 5.1. Phương pháp điều tra. 5.3. Phương pháp thống kê. 5.4. Phương pháp phân tích và tổng hợp. PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN Mục đích của quá trình dạy học ở bậc Tiểu học là nhằm cung cấp tới học sinh những kiến thức cơ bản, toàn thể về tự nhiên và xã hội. Nhằm giúp học sinh từng bước hình thành nhân cách, từ đó trang bị cho học sinh các phương pháp ban đầu về hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn. Mục tiêu đó được thực hiện thông qua việc dạy học các môn và thực hiện theo định hướng yêu cầu giáo dục, nhằm trang bị cho trẻ những kiến thức, kĩ năng cần thiết để trẻ tiếp tục học ở bậc Trung học hay cho công việc lao động của trẻ sau này. Trong 9 môn học, môn Toán đóng vai trò quan trọng, nó cung cấp những kiến thức cơ bản về số 4 học, các yếu tố hình học, đo đại lượng, giải toán, …môn Toán Tiểu học thống nhất không chia thành môn khác. Bên cạnh đó khả năng giáo dục của môn Toán rất phong phú còn giúp học sinh phát triển tư duy, khả năng suy luận, trau dồi trí nhớ, giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, chính xác. Nó còn giúp học sinh phát triển trí thông minh, tư duy độc lập sáng tạo, kích thích óc tò mò, tự khám phá và rèn luyện một phong cách làm việc khoa học. Yêu cầu đó rất cần thiết cho mọi người, góp phần giáo dục những đức tính quý báu: chịu khó, nhẫn nại, cần cù trong học tập. Bồi dưỡng, phát triển năng khiếu Toán ở Tiểu học là rất quan trọng và cần thiết, nhưng vẫn đảm bảo những nguyên tắc sau: 1. Một số nguyên tắc dạy Toán nói chung và bồi dưỡng năng khiếu toán nói riêng: 1.1. Đảm bảo sự thống nhất giữa tính khoa học và tính giáo dục Tính khoa học trong quá trình dạy học ở Tiểu học trước hết bằng chính nội dung dạy học ở Tiểu học. Tính khoa học được thể hiện trong phương pháp dạy học, hình thức tổ chức dạy học. Đảm bảo tính khoa học trong dạy Toán ở Tiểu học là dạy đúng, dạy đủ những tri thức khoa học được quy định trong chương trình cấp học. Tính giáo dục là thuộc tính bản chất của quá trình dạy học ở Tiểu học nhằm đạt tới sự phát triển nhân cách toàn diện cho học sinh. Hình thành ở học sinh thế giới quan khoa học và những phẩm chất đạo đức của con người mới. Đảm bảo tính thống nhất giữa khoa học và giáo dục là trong quá trình dạy học đồng thời giúp học sinh nắm tri thức khoa học và hình thành phẩm chất đạo đức cho học sinh. Vì vậy, yêu cầu mỗi giáo viên phải có trình độ chuyên môn vững vàng, kĩ năng ngôn ngữ, tổ chức hợp lí các hoạt động dạy học, xử lí linh hoạt, sáng tạo các tình huống có vấn đề. Bằng bản thân những kiến thức Toán học ta bồi dưỡng cho học sinh một cách có hệ thống giúp học sinh có tình cảm đúng đắn đối với môn học. Ngược lại, tình cảm yêu mến Toán học giúp các em tiếp tục làm chủ kiến thức Toán học mới. 5 1.2. Đảm bảo sự thống nhất giữa tính khoa học và tính thực tiễn. Trong quá trình dạy học, đồng thời giúp học sinh nắm kiến thức Toán học (Kiến thức phù hợp với thực tiễn), hình thành kĩ năng vận dụng thành thạo nhằm góp phần cải tạo hiện thực, cải tạo bản thân. Qua thực tiễn, nó khẳng định tính đúng đắn của khoa học. Hệ thống các quy tắc, công thức Toán học chính là sản phẩm nghiên cứu tìm ra chân lí của các nhà khoa học. 1.3. Đảm bảo tính cụ thể và tính trừu tượng. Học sinh Tiểu học nhận thức từ cái riêng đến cái chung, từ cái cụ thể đến cái khái quát. Vì vậy, giáo viên phải giúp học sinh tìm hiểu, phân tích qua những ví dụ cụ thể rồi mới khái quát thành quy tắc, công thức Toán học. 1.4. Đảm bảo sự thống nhất giữa dạy và học Trong quá trình dạy học, hoạt động học đóng vai trò chủ đạo. Học sinh tự giác, tự lực tiếp thu kiến thức dưới tác động của giáo viên. Thông qua vai trò của người giáo viên, học sinh phát huy được tính tự giác, tích cực, ham mê tìm kiến thức mới. 1.5. Đảm bảo tính vững chắc của kiến thức với tính mềm dẻo của tư duy. Tính vững chắc của kiến thức có nghĩa là hệ thống kiến thức mà học sinh lĩnh hội được sẽ vận dụng vào các tình huống tương tự. Học sinh lĩnh hội vững chắc kiến thức làm nền tảng lĩnh hội kiến thức mới. Tính mềm dẻo của tư duy là khả năng linh hoạt, sáng tạo của học sinh khi vận dụng kiến thức vào từng bài học cụ thể. Để đảm bảo nguyên tắc này trong quá trình dạy học, đòi hỏi người giáo viên phải làm cho học sinh nắm vững hệ thống kiến thức Toán học và khi cần có thể nhớ và vận dụng linh hoạt trong từng tình huống. Người giáo viên biết hòa kinh nghiệm của nhân loại với kinh nghiệm bản thân để giúp học sinh nắm được bản chất vấn đề; Giúp học sinh biết nhớ nhiều, nhớ nhanh, nhớ lâu, nhớ chính xác điều đã học. 1.6. Đảm bảo tính khoa học với tính vừa sức Đây là một nguyên tắc vô cùng quan trọng khi bồi dưỡng học sinh năng khiếu. Bởi yêu cầu, nhiệm vụ học tập phải phù hợp với trí tuệ học sinh. Dạy học 6 phù hợp khả năng, năng lực, trình độ phát triển của đối tượng học sinh, đảm bảo học sinh đều được phát triển ở mức cao nhất. Những kiến thức toán học chúng ta truyền tải đến học sinh phải được học sinh tiếp thu trên cơ sở phát huy hết khả năng của mình. Bồi dưỡng học sinh giỏi không phải là dạy trước chương trình và cũng không nên dạy những bài quá khó. Mà phải bắt đầu từ dạy chuẩn kiến thức từng khối lớp. Trên cơ sở chuẩn kiến thức, giáo viên có thể mở rộng, khắc sâu kiến thức cho học sinh có tư duy, tiếp thu nhanh hơn so với các bạn trong lớp, trong khối. Bồi dưỡng theo nhóm trình độ là mấu chốt của sự thành công bởi trong một lớp có nhiều đối tượng học sinh, không phải đối tượng nào cũng có thể mở rông, khắc sâu kiến thức được. Nếu đưa những kiến thức quá cao đối với các em, các em không những không hiểu mà còn dẫn đến việc chán học, lâu dần các em sẽ bị mặc cảm với các bạn trong lớp. Hoặc nếu chỉ dừng lại ở việc cung cấp kiến thức theo chuẩn thì khó có học sinh giỏi và không phát huy được tính sáng tạo, tích cực học tập của học sinh. Như vậy, để đảm bảo nguyên tắc này đòi hỏi người giáo viên phải có trình độ chuyên môn giỏi, toàn diện, quan tâm đến trình độ phát triển chung của học sinh cả lớp, trình độ phát triển riêng từng đối tượng học sinh. Từ đó mới có nội dung dạy học phù hợp. 2. Nội dung dạy học Tìm chữ số tận cùng của một tích Trong các đề thi violympic Toán Tiểu học, có rất nhiều kiến thức, nhiều dạng bài các em chưa được học trên lớp, chưa được giới thiệu trong chương trình học cơ bản. Dạng bài tập Tìm chữ số tận cùng của một tích cũng vậy. Chương trình Toán ở Tiểu học không đề cập tới nội dung này. Nếu có thì chỉ dừng lại ở những bài tập đơn giản, cụ thể. Nhưng trong các đề thi Violympic Toán Tiểu học thì lại đề cập đến và có nhiều dạng bài phong phú. 7 CHƯƠNG 2: CƠ SỞ THỰC TIỄN 1. Thực trạng bồi dưỡng học sinh năng khiếu tham gia giải toán violympic. Tại trường Tiểu học Hiệp Cường- nơi tôi đang công tác, việc dạy bồi dưỡng học sinh năng khiếu nói chung, năng khiếu Toán nói riêng, nhất là học sinh khối lớp 5 trong những năm qua đã có nhiều chuyển biến và đạt được những kết quả tích cực, góp phần vào kết quả chung của địa phương. Nhưng 2 năm vừa qua, Cuộc thi Giải toán violympic không bắt buộc mà chỉ là khuyến khích học sinh tham gia, nên thực trạng bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán đang gặp những vấn đề sau: 1.1. Thuận lợi: - Được sử chỉ đạo, quan tâm sâu sát và kịp thời của BGH, có kế hoạch cụ thể, lâu dài trong công việc bồi dưỡng học sinh năng khiếu. - Giáo viên có trình độc huyên môn vững vàng, có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy HS năng khiếu nhiều năm. - Học sinh ngoan, có ý thức học tập, yêu thích môn học, say mê, ham học hỏi. Học sinh cần cù tích lũy, chăm đọc sách tham khảo và tài liệu khác như Toán Tuổi thơ, tích cực luyện thi các vòng để nắm chắc các dạng bài. 1.2. Khó khăn: + Đối với giáo viên: Nói chung, công tác bồi dưỡng học sinh có năng khiếu ở nhiều trường chưa được quan tâm thỏa đáng, giống như “mì ăn liền”. Vì vậy, cứ có kế hoạch thi cấp huyện thì mới tổ chức ôn luyện. Bên cạnh đó, thời gian dành cho bồi dưỡng học sinh cũng ít, giáo viên chỉ tranh thủ ở buổi học thứ hai. Đa số giáo viên vừa phải đảm bảo chất lượng đại trà, vừa phải hoàn thành chỉ tiêu mũi nhọn và công tác chủ nhiệm lớp, công tác kiêm nhiệm do đó cường độ làm việc quá tải. Và việc đầu tư cho bồi dưỡng còn hạn chế. Giáo viên đều phải tự soạn chương trình dạy, theo kinh nghiệm của bản thân, theo chủ quan, tự nghiên cứu, tự sưu tầm tài liệu. Ngoài ra, một số giáo viên chưa thực sự gắn bó với công tác bồi dưỡng học sinh năng khiếu với nhiều lí do khác nhau nên cũng ảnh hưởng đến chất lượng 8 công tác này. Một số giáo viên, việc tiếp cận bài tập nâng cao hay tìm ra bước trung gian để đi đến kết quả nhanh nhất, chính xác nhất chẳng mấy khi được nghiên cứu kĩ. + Đối với học sinh: Học sinh phải học đầy đủ các môn học chính khóa cộng với chương trình bồi dưỡng nên rất hạn chế về thời gian. - Học sinh có năng khiếu thì lại hay tham gia các hội thi khác. Cụ thể, năm học 2012-2013 đến nay, học sinh Tiểu học có các hội thi: - Olympic Toán, Tiếng Anh, Toán- Tiếng Anh trên mạng - Viết chữ đẹp - Nghi thức Đội - Chiếc ô tô mơ ước - An toàn giao thông - Giải bóng đá thiếu nhi - Trạng nguyên Tiếng Anh - Trạng nguyên Tiếng Việt, …. Các cuộc thi cứ nối tiếp nhau, do vậy cũng gây áp lực cho cả giáo viên và học sinh. Thời gian dành cho việc bồi dưỡng học sinh năng khiếu nhiều khi bị gián đoạn, hoặc tranh thủ một ít thời gian hiếm hoi ở các buổi học thứ hai. Hơn nữa, việc nắm kiến thức cơ bản nhiều khi ở dạng ghi nhớ là chủ yếu, ít khi hiểu bản chất của vấn đề nên rất khó khăn trong việc tiếp cận các bài toán nâng cao đòi hỏi chiều sâu về trí tuệ. 2. Thực trạng dạy và học dạng toán Tìm chữ số tận cùng của một tích: - Đây là dạng toán hay nhưng không xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi những năm trước. Trong các vòng thi violimpic cũng xuất hiện không nhiều. Có năm, cả 19 vòng thi chỉ xuất hiện dạng bài này 2 đến 3 lần (thường là ở vòng 14, 15 trở đi). Mà kiến thức cơ bản học sinh cần phải nhớ để vận dụng giải quyết vấn đề từng bài tập lại nhiều nên học sinh hay quên hoặc nhầm lẫn kiến thức này với kiến thức khác. Vì vậy, giáo viên chưa quan tâm, chú trọng đến phương pháp giải dạng toán này. 3. Một số lỗi sai sót, nhầm lẫn 9 Khi hướng dẫn học sinh những khóa học trước làm bài dự thi Olympic Toán cấp Tiểu học, tôi nhận thấy phần Tìm chữ số của một tích của các em còn rất hạn chế. Hầu như các em không biết cách làm. Nguyên nhân dẫn đến những sai sót: + Chưa được trang bị kiến thức cơ bản về cách tìm chữ số tận cùng của một tích. + Chưa được làm quen, thực hành thường xuyên với các dạng bài. + Bỏ sót một số thông tin, dữ liệu trong bài toán. + Nhầm lẫn dạng toán này với dạng toán khác + Tính toán với dãy số có nhiều số hạng còn lúng túng…. Do vậy ngay từ tuần 3 của năm học 2012-2013, tôi đã tiến hành cho học sinh thực hiện bài khảo sát như sau với 6 học sinh lớp 5B, trường Tiểu Hiệp Cường, huyện Kim Động, tỉnh Hưng Yên (thời điểm tháng 9 năm 2013) gồm các em có tên sau: 1. Trần Anh Vũ 2. Dương Thị Hường 3. Dương Thị Nga 4. Lê Thị Ngọc Ánh 5. Dương Thu Hồng 6. Dương Công Mạnh. 2. Bài khảo sát số 1 ( Thời gian 20 phút) Đề bài Bài 1: (3điểm) Tích sau có chữ số tận cùng là chữ số nào: 4 x 14 x 24x 34 x 44 x 54 Bài 2: (3điểm) Thay dấu * bằng chữ số thích hợp: 21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 26= 165765*** Bài 3: (4điểm) Tích sau có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ..... 96x 97x 98x 99x 100 10 Kết quả Tổng Điểm số HS 9 – 10 SL % 0 7- 8 SL % 0 5-6 SL % 5 64 Dưới 5 SL % 1 36 Kết quả như vậy là chưa cao, học sinh không biết cách làm. Có em ngồi viết hết tất cả các số rồi tính, rồi đếm, mất rất nhiều thời gian. CHƯƠNG 3 MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH LÀM TỐT CÁC BÀI TOÁN “TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT TÍCH” Trong quá trình dạy học, từ kết quả nghiên cứu, tôi xin mạnh dạn đưa ra một số giải pháp sau: 1. Giải pháp 1: Giúp học sinh nắm vững một số kiến thức về dãy số tự nhiên cách đều Mục đích: Học sinh biết cách xác định số các thừa số trong một tích, xác định thừa số đầu tiên hoặc thừa số cuối cùng của một tích, … Cách thực hiện: Bằng các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp hơn, kết hợp phương pháp thuyết trình, giảng giải, giáo viên cung cấp cho học sinh một số công thức toán học tổng quát: Số các số hạng của một dãy số cách đều= (số cuối- số đầu): khoảng cách giữa hai số liền nhau + 1 Các công thức được suy ra: Số cuối của dãy= (Số các số -1) x khoảng cách giữa hai số liền nhau+ số đầu Ví dụ áp dụng: Tích sau có bao nhiêu thừa số: 2 x 12 x 22 x 32 x …x …x 2012 Học sinh dễ dàng tìm được số các thừa số của tích như sau: (2012- 2): 10 + 1= 202 (thừa số) 2. Giải pháp 2: Giúp học sinh nắm vững một số kiến thức về chữ số tận cùng của tích 11 Mục đích: Học sinh ghi nhớ chữ số tận cùng của tích các thừa số có chữ số tận cùng giống nhau. Cách thực hiện: Giáo viên cung cấp cho học sinh một số công thức toán học tổng quát: 1. Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng đó. 2. Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích đó. 3. Tổng 1 + 2 + 3 + 4 +….+ 9 có tận cùng bằng 5 4. Tích 1 x 3 x 5 x 7 x 9 có tận cùng bằng 5 5. Tích của a x a không thể có tận cùng là 2; 3; 7 hoặc 8. 6. Tích của tất cả các thừa số có tận cùng là 1 thì có tận cùng là 1. 7. Tích của tất cả các thừa số có tận cùng là 6 thì có tận cùng là 6. 8. Tích của tất cả các thừa số có tận cùng là 5 thì có tận cùng là 5. 9. Tích của các số có tận cùng là 5 với 1 số chẵn có tận cùng là 0. Ví dụ 1: Không tính cụ thể, hãy cho biết chữ số tận cùng của mỗi kết quả sau: a) 21 x 23 x 25 x 27 – 11 x 13 x 15 x 17 b) 56 x 66 x 76 x 86 + 51 x 61 x 71 x 81 Ví dụ 2: Không làm tính, xét xem kết quả sau đúng hay sai: ab x ab – 8557 = 0 3. Giải pháp 3: Giúp học sinh nắm được một số thủ thuật tính toán để nhanh chóng tìm được kết quả. Mục đích: Dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tích là dạng toán hay. Nhiều khi nó không đòi hỏi ta phải tìm tích nhưng bằng một số thủ thuật tính toán ta sẽ nhanh chóng tìm được chữ số tận cùng của tích. Muốn vậy, học sinh cần nắm được một số thủ thuật đố để tìm kết quả một cách nhanh nhất mà không mất nhiều thời gian tính toán. Cách thực hiện: Giáo viên giúp học sinh ghi nhớ một số thủ thuật sau: - Trong mét d·y tÝch gåm c¸c thõa sè gièng nhau, ta chia thµnh c¸c nhãm ®Ó xÐt ch÷ sè tËn cïng. C¸c thõa sè cã ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ ch÷ sè lÎ ta chia 12 nhãm ®Ó cã ch÷ sè tËn cïng cña tÝch nhãm lµ 1. C¸c thõa sè cã ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ ch÷ sè ch½n ta chia nhãm ®Ó cã ch÷ sè tËn cïng cña tÝch nhãm lµ 6. Nh vËy: * Ch÷ sè 2 ë hµng ®¬n vÞ ta chia nhãm 4 (2 x 2 x 2 x 2 = 16) VÝ dô 1: T×m ch÷ sè tËn cïng cña tÝch: 2 x 12 x 22 x 32 x 42 x 42 x 62 x 72 x 82 x 92 x 102 x 112 Ta cã: (2 x 12 x 22 x 32) x (42 x 42 x 62 x 72) x (82 x 92 x 102 x 112) … cã tËn cïng lµ 6 x … cã tËn cïng lµ 6 x … cã tËn cïng lµ 6 Cã tËn cïng lµ 6 VËy TÝch 2 x 12 x 22 x 32 x 42 x 42 x 62 x 72 x 82 x 92 x 102 x 112 cã tËn cïng lµ 6. * Ch÷ sè 3 ë hµng ®¬n vÞ ta chia nhãm 4 (3 x 3 x 3 x 3 = 81) * Ch÷ sè 4 ë hµng ®¬n vÞ ta chia nhãm 2 (4 x 4 = 16) * Ch÷ sè 7 ë hµng ®¬n vÞ ta chia nhãm 4 ( 7 x 7 x 7 x 7 = 2401) * Ch÷ sè 8 ë hµng ®¬n vÞ ta chia nhãm 4 (8 x 8 x 8 x 8 = 4096) * Ch÷ sè 9 ë hµng ®¬n vÞ ta chia nhãm 2 (9 x 9 = 81) Ví dụ 2: T×m ch÷ sè tËn cïng cña tÝch: 209 x 219 x 229 x239 x 249 x 259 x 269 Ta cã: (209 x 219) x (229 x 239) x (249 x 259) x 269 cã tËn cïng lµ 1 x cã tËn cïng lµ 1 x cã tËn cïng lµ 1 x cã tËn cïng lµ 9 …cã tËn cïng lµ 1 x … cã tËn cïng lµ 9 cã tËn cïng lµ 9 Vậy tích 209 x 219 x 229 x 239 x 249 x 259 x 269 có tận cùng là 9. Ví dụ 3: Tích sau có tận cùng là chữ số nào? 2017x 2007 x 1997 x 1987x …… x 17 x 7 Ta thấy tích trên có: (2017-7) :10 + 1= 202 (thừa số) Vì mỗi thừa số đều có chữ số tận cùng là 7 nên ta chia nhóm 4 ®Ó cã ch÷ sè tËn cïng cña tÝch mỗi nhãm lµ 1. 13 202: 4 = 50 (dư 2 thừa số) => (2017 x 2007 x 1997 x 1987) x …… x 17 x 7 … có tận cùng là 1 x …… (50 nhóm) x … có tận cùng là 1 17 x 7 x … có tận cùng là 9 … có tận cùng là 9 Vậy 2017x 2007 x 1997 x 1987x …… x 17 x 7 có tận cùng là 9 4. Giải pháp 4: Vận dụng một số kiến thức liên quan dấu hiệu chia hết Mục đích: Nhiều bài tập tìm chữ số tận cùng của tích lại liên quan đến dấu hiệu chia hết. Học sinh biết dựa vào các dấu hiệu chia hết để xét chữ số tận cùng. Cách thực hiện: Giáo viên đưa ra một số ví dụ cụ thể để học sinh vận dụng Ví dụ: Biết 21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 26= 165765***. Hãy tìm giá trị của chữ số * Như vậy, học sinh phải xác định 3 chữ số tận cùng của tích một cách nhanh nhất dựa trên dâu hiệu chia hết. Hướng dẫn học sinh phân tích: 21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 26= 3 x 7 x 22 x 23 x 8 x 3 x 5 x 5 x 26 Khi lấy 5 nhân với 1 số chẵn thì có chữ số tận cùng bằng 0. Vậy tích trên có 2 chữ số 0 tận cùng. Mà tích trên là số chia hết cho 9 (3 x 3) nên tổng các chữ số chia hết cho 9. Ta cã: 165765*00 cã tæng c¸c ch÷ sè lµ: 1 + 6 + 5 + 7 + 6 +5 + * + 0 + 0 = 30 + * VËy * = 6. KÕt qu¶ ®óng lµ: 165765600 5. Giải pháp 5: Phân loại dạng toán Mục đích: Mỗi dạng toán lại có phương pháp, suy luận khác nhau. Vì vậy phân loại các dạng toán và giúp học sinh nắm chắc cách giải từng dạng các em sẽ nhớ lâu hơn. 14 Cách thực hiện: Qua nghiên cứu, sưu tầm, thu thập các bài toán tìm chữ số tận cùng của một tích, tôi phân loại thành các dạng toán cơ bản sau: Dạng 1: Xác định chữ số tận cùng của một tích: Bài toán 1: T×m c¸c ch÷ sè tËn cïng cña tÝch sau: 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x … x 2009 x 2011 (§Ò thi Violympic vßng 18, n¨m häc 2011-2012) Ph©n tÝch: Ta thÊy r»ng tÝch trªn gåm c¸c thõa sè lµ sè lÎ. Mµ 5 nh©n víi 1 sè lÎ lu«n cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5. VËy ta cã c¸ch gi¶i nh sau: Bµi gi¶i: Trong phÐp nh©n cã chøa thõa sè 5 nªn tÝch lµ mét sè chia hÕt cho 5. Do ®ã ch÷ sè tËn cïng cña tÝch lµ 0 hoÆc 5. V× c¸c thõa sè lµ sè lÎ nªn tÝch lµ sè lÎ. VËy ch÷ sè tËn cïng cña tÝch lµ 5. Bµi to¸n 2. Cho T= 2 x 2 x 2 x … x 2 x 2 (tÝch cã 2013 thµ sè 2). T cã ch÷ sè tËn cïng lµ mÊy? (§Ò thi Violympic vßng 17, n¨m häc 2012-2013) Ph©n tÝch: NÕu ta chia tÝch trªn thµnh c¸c nhãm, mçi nhãm cã 4 thõa sè th× kÕt qu¶ cña mçi nhãm ®Òu cã tËn cïng lµ 6 (v× 2 x 2 x 2 x 2 = 16) mµ tÝch cña tÊt c¶ c¸c sè cã tËn cïng lµ 6 th× tÝch ®ã cã tËn cïng lµ 6. Do ®ã, tÝch cã sè thõa sè chia hÕt cho 4 th× cã tËn cïng lµ 6, nÕu d 1 th× cã tËn cïng lµ 2, d 2 th× cã tËn cïng lµ 4, d 3 th× cã tËn cïng lµ 8. Tõ ®ã ta cã c¸ch gi¶i nh sau: Bµi gi¶i: NÕu nhãm c¸c thõa sè trªn vµ c¸c nhãm gåm 4 thõa sè, th× tÝch trªn cã sè nhãm lµ: 2013 : 4 = 504(nhãm), d 1 thõa sè V× T gåm 2013 thõa sè 2 nªn ch÷ sè tËn cïng trong mçi nhãm lµ 6. TÝch nµy nh©n víi 2( kh«ng thuéc 504 nhãm) ®îc sè cã tËn cïng lµ 2. VËy ch÷ sè tËn cïng cña T lµ 2. Dạng 2: Xác định số chữ số 0 tận cùng của một tích Bµi to¸n 3. Cho P= 1 x 2 x 3 … x 99 x 100 cã bao nhiªu ch÷ sè 0 tËn cïng. Ph©n tÝch: 15 Ta thÊy r»ng: 5 nh©n víi 1 sè ch½n th× sÏ ®îc tÝch lµ 1 ch÷ sè 0. VËy ta nhãm thµnh c¸c nhãm gåm 1 thõa sè cã tËn cïng lµ 5 víi 1 ch÷ sè 0, còng t¹o thµnh 1 nhãm. Trong tÝch cã bao nhiªu nhãm th× sÏ cã bÊy nhiªu ch÷ sè 0. Tõ c¸ch ph©n tÝch ®ã ta cã híng gi¶i nh sau: Bµi gi¶i: C¸c thõa sè cã ch÷ sè 5 tËn cïng trong tÝch trªn lµ:5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95. Mµ 25 = 5 x 5, 75= 5 x 5 x 5 nªn thay 5 x 5 vµ 5 x 5 x 5 x 5 x 3 vµo tÝch trªn th× tÝch ®ã cã 12 thõa sè cã tËn cïng lµ 5. Cø lÊy mét thõa sè ch½n nh©n víi mét sè cã tËn cïng lµ 5 ta ®îc tÝch lµ sè cã tËn cïng lµ mét ch÷ sè 0. MÆt kh¸c, tÝch trªn cã 9 thõa sè trßn chôc lµ:10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 mµ 50=5 x 10 nªn lÊy 50 nh©n víi mét sè ch½n ta cã 2 ch÷a sè 0 tËn cïng. Thõa sè 100 cã 2 ch÷ sè 0 tËn cïng n÷a. VËy tÝch trªn cã sè ch÷ sè 0 tËn cïng lµ: 12 +10+ 2= 24 ( ch÷ sè 0 tËn cïng) Bài toán 4: Tích của tất cả các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2015 có tận cùng bao nhiêu chữ số 0. (§Ò thi Violympic vßng 14, n¨m häc 2014-2015) Ph©n tÝch: Ta thÊy, bài toán 4 cũng tương tự như bài toán 3 những ta có thể phân tích như sau: + Những số chia hết cho 5 có thể phân tích thành tích của ít nhất 1 thừa số 5 tạo thành 1 dãy số cách đều 5 đơn vị: 5; 10 ; 15; 20 ; 25; …. + Những số chia hết cho 5 có thể phân tích thành tích của ít nhất 2 thừa số 5 tạo thành 1 dãy số cách đều 25 đơn vị: 25; 50; 75; 100; … + Những số chia hết cho 5 có thể phân tích thành tích của ít nhất 3 thừa số 5 tạo thành 1 dãy số cách đều 125 đơn vị: 125; 250; 375; ….2000 + Những số chia hết cho 5 có thể phân tích thành tích của ít nhất 4 thừa số 5 tạo thành 1 dãy số cách đều 625 đơn vị: 625; 1250; 1875; … Bµi gi¶i: 16 + Trong tích trên có các thừa số chia hết cho 5 mà tách thành tích của ít nhất 1 thừa số là 5 là: 5; 10; 15; 20; …; 2010; 2015 và có: (2015- 5) : 5 + 1 = 403 (thừa số) + Trong tích trên có các thừa số chia hết cho 5 mà tách thành tích của ít nhất 2 thừa số là 5 là: 25; 50; 75; 100; … 2000 và có: (2000 - 25) : 25 + 1 = 80 (thừa số) + Trong tích trên có các thừa số chia hết cho 5 mà tách thành tích của ít nhất 3 thừa số là 5 là: 125; 250; 375; …….. và có: 2000 (2000 - 125) : 125 + 1 = 16 (thừa số) + Trong tích trên có các thừa số chia hết cho 5 mà tách thành tích của ít nhất 4 thừa số là 5 là: 625; 1250; 1875 và có: 3 thừa số Tích trên phân tích thành tích trong đó có số thừa số là 5 là: 404 + 80+ 16 + 3= 502 (thừa số 5) Mỗi thừa số là 5 nhân với 1 số chẵn cho ta số có tận cùng là 1 chữ số 0. Vậy tích trên có 502 chữ số 0 tận cùng. Dạng 3: Xác định chữ số tận cùng của tích dựa vào điều kiện Bài toán 5: Cho y = 1 x 2 x 3 x … x 19 x 20 Hái tæng cña 5 ch÷ sè tËn cïng cña y lµ bao nhiªu? Bài giải: Ta cã: 4 x 5 x 10 x 14 x 15 x 20 = 840000 TÝch cña c¸c thõa sè cßn l¹i lµ: (1 x 2 x 3 x 6 x 7 x 8) x (11 x 12 x 13 x 16 x 17 x 18) Có tận cùng là 4 Có tận cùng là 4 17 Có tận cùng là 6 VËy tÝch c¸c ch÷ sè tËn cïng lµ …40000 hay tæng 5 ch÷ sè tËn cïng cña y lµ 4 (4 + 0 + 0 +0 +0). Bài toán 6: Cho A= 2004 x 2004 x 2004 x 2004x …. x 2004 (có 2003 thừa số) B= 2003 x 2003 x 2003 x 2003 x ….x 2003 (có 2004 thừa số) Hỏi A + B có chia hết cho 5 không? Phân tích: Ta thấy rằng A+B có chia hết cho 5 thì phải có tận cùng là 0 hoặc 5. Như vậy ta phải tìm chữ số tận cùng của A, chữ số tận cùng của B, rồi tìm chữ số tận cùng của A + B. NÕu ta chia chia tÝch A trªn thµnh c¸c nhãm, mçi nhãm cã 2 thõa sè th× kÕt qu¶ cña mçi nhãm ®Òu cã tËn cïng lµ 6 (v× 4 x 4 = 16) mµ tÝch cña tÊt c¶ c¸c sè cã tËn cïng lµ 6 th× tÝch ®ã cã tËn cïng lµ 6. Do ®ã, tÝch cã sè thõa sè chia hÕt cho 2 th× cã tËn cïng lµ 6, nÕu d 1 th× cã tËn cïng lµ 4. NÕu ta chia chia tÝch B trªn thµnh c¸c nhãm, mçi nhãm cã 4 thõa sè th× kÕt qu¶ cña mçi nhãm ®Òu cã tËn cïng lµ 1 (v× 3 x 3 x 3 x 3 = 81) mµ tÝch cña tÊt c¶ c¸c sè cã tËn cïng lµ 1 th× tÝch ®ã cã tËn cïng lµ 1. Do ®ã, tÝch cã sè thõa sè chia hÕt cho 4 th× cã tËn cïng lµ 1, nÕu d 1 th× cã tËn cïng lµ 3, d 2 cã tËn cïng lµ 9, d 3 cã tËn cïng lµ 7. Tõ ®ã ta giúp học sinh sử dụng thuật toán để giải bài toán như sau: Bµi gi¶i: * A= 2004 x 2004 x 2004 x 2004x …. x 2004 (có 2003 thừa số) Ta chia A thµnh c¸c nhãm gåm 2 thõa sè, th× tÝch A trªn cã sè nhãm lµ: 2003 : 2 = 1001 (nhãm), d 1 thõa sè V× A gåm 2013 thõa sè cã tËn cïng lµ 4 nªn ch÷ sè tËn cïng trong mçi nhãm lµ 6. TÝch nµy nh©n víi 2004 ( kh«ng thuéc 1001 nhãm) ®îc sè cã tËn cïng lµ 4. VËy ch÷ sè tËn cïng cña A lµ 4. * B= 2003 x 2003 x 2003 x 2003 x ….x 2003 (có 2004 thừa số) Ta chia B thµnh c¸c nhãm gåm 4 thõa sè, th× tÝch B trªn cã sè nhãm lµ: 2004 : 4 = 501 (nhãm) V× A gåm 2004 thõa sè cã tËn cïng lµ 3 nªn ch÷ sè tËn cïng trong mçi nhãm lµ 1. VËy ch÷ sè tËn cïng cña B lµ 1. + Ch÷ sè tËn cïng cña A + B lµ 4 + 1 = 5 VËy A + B chia hÕt cho 5. 18 - Trên đây là một số dạng toán điển hình Tìm chữ số tận cùng của một tích. Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau. Nhưng làm cách nào để học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và vận dụng thành thạo là điều quan trọng. 6. Giải pháp 6. Nâng cao kĩ năng tìm chữ số tận cùng của tích Mục đích: Trong các vòng thi violimpic toán 4, 5 có khá nhiều bài toán dạng Tìm chữ số tận cùng của một tích. Các bài toán có nội dung phong phú, đa dạng, đòi hỏi học sinh phải thật sự linh hoạt khi tính toán, tìm đáp số nhanh nhất. Đây là dạng toán hay, rèn kĩ năng tư duy khoa học và tính cẩn thận. Nếu xét không theo quy luật nhất định và thiếu một trường hợp thì dẫn đến kết quả sai. Với mỗi chữ số tận cùng của một thừa số lại cho chữ số tận cùng của tích khác nhau. Vì vậy, giáo viên thường xuyên đưa ra các dạng bài tập với nội dung gần gũi, gắn thực tế để học sinh được củng cố, rèn kĩ năng, hứng thú với việc học tập. Giáo viên sưu tầm các bộ đề thi các cấp thông quan công nghệ thông tin nhằm giúp các em tiếp xúc, làm quen với dạng đề; luôn tìm đọc, tham khảo các tài liệu hay để hướng dẫn học sinh. Giáo viên hướng dẫn học sinh đọc, tìm hiểu tài liệu, sách vở phù hợp với trình độ của các em để các em luyện tập thêm. Đồng thời cho các em luyện đi luyện lại nội dung kiến thức của một vòng thi để các em nắm rõ cách giải từng dạng toán. Thực hiện: Giáo viên sưu tầm, thiết kế nhiều dạng bài để học sinh được thường xuyên củng cố, luyện tập. Bài toán vận dụng: Bài 1: Lan hỏi cô giáo: “Thưa cô, năm nay cô bao nhiêu tuổi ạ?”. Cô trả lời: “Tuổi của cô bằng chữ số 0 ở tận cùng của tích: 1 x 2 x 3 x 4 x .... x 159 x 160”. Lan chưa nghĩ ra. Các bạn hãy tính giúp Lan tuổi của cô nhé. Như vây, học sinh vận dụng thuật toán đã học để giúp bạn Lan tìm số tuổi của cô giáo là 39 tuổi. Bài 2: Cho tÝch: A = 1 x 2 x 3 x… 2012 x 2013 G¹ch bá c¸c thµ sè chia hÕt cho 5 ta ®îc tÝch B. T×m ch÷ sè tËn cïng cña B 19 Sau ®©y lµ bµi gi¶i gîi ý: NhËn xÐt: A = 1 x 2 x 3 x … 2012 x 2013 B = 1 x 2 x… x 8 x 9 x 11 x 12 x… 18 x 19 x … 2001 x 2002 x … 2008 x 2009 x 2011 x 2012 x 2013 Chia B thµnh c¸c nhãm nh sau: B = (1 x 2 x… x 8 x 9) x (11 x 12 x… 18 x 19) x … x (2001 x 2002 x … 2008 x 2009) x 2011 x 2012 x 2013 B = … x 6 …6 x…x …6 x …6 Do tÝch c¸c sè tËn cïng lµ 6 th× tËn cïng lµ 6 nªn ch÷ sè tËn cïng cña B lµ 6. Bµi 3: Cho A= 2013 x 2013 x 2013 x … x 2013 + 2014 x 2014 x 2014 x …. X 2014 Có 2014 thừa số có 2013 thừa số Tìm chữ số tận cùng của A Bài 4 : Hãy cho biết chữ số tận cùng của kết quả dãy tính sau: a) 81 x 82 x 83 x 84 + 85 x 86 + 87 x 88 x 89 x 90 + 91 x 92 x 93 b) 81 x 63 x 45 x 27 – 37 x 29 x 51 x 12. Giải: a) Ta thấy : - Do 1 x 2 x 3 x 4 = 24 nên 81 x 82 x 83 x 84 có chữ số tận cùng là 4. - Do 5 x 6 = 30 nên 85 x 86 có chữ số tận cùng là 0. - Do 7 x 8 x 9 x 0 = 0 nên 87 x 88 x 89 x 90 có chữ số tận cùng là 0. - Do 1 x 2 x 3 = 6 nên 91 x 92 x 93 có chữ số tận cùng là 6. Vì 4 + 0 + 0 + 6 = 10 nên kết quả dãy tính có chữ có tận cùng là 0. b) Ta thấy: - Do 1 x 3 x 5 x 7 = 105 nên 81 x 63 x 45 x 27 có số tận cùng là 5. - Do 7 x 9 x 1 x 2 = 126 nên 37 x 29 x 51 x 12 có chữ số tận cùng là 6. Vậy : 81 x 63 x 45 x 27 – 37 x 29 x 51 x 12 = *…*5 - *...*6 = *…*9. Dãy số có tận cùng là 9. Bài 5: Các tích sau tận cùng bằng chữ số nào: a) 24 x 34 x 44 x … x 114 x 124. 20