Tài liệu Skkn-Phân loại phương pháp giải những bài Toán về cấu tạo khái niệm phân số

1 - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN Đề tài “Phân loại phương pháp giải những bài toán về cấu tạo khái niệm phân số” Giáo viên thực hiện Nguyễn Thị Mai Phương 2 - Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn sự động viên, khuyến khích và giúp đỡ của các thầy, các cô giáo trong Khoa giáo dục Tiểu học, trường bồi dưỡng cán bộ Hà Nội đối với tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu đề tài. Tôi xin trình bày lòng biết ơn Ban giám hiệu trường và tập thể trường Tiểu học Nghĩa Đô , quận Cầu Giấy , thành phố Hà Nội và gia đình đã khích lệ, tạo điều kiện trong quá trình học tập, nghiên cứu, điều tra, thử nghiệm và hoàn thành khoá luận này. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về lòng nhiệt tâm về phương pháp luận nghiên cứu khoa học của thầy giáo hướng dẫn TS Mai Quang Tâm trong quá trình hướng dẫn tôi hoàn thành và hoàn chỉnh khoá luận. Dù đã rất cố gắng, luận văn này vẫn còn nhiều thiếu sót, kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các đồng nghiệp gần xa. 3 - Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Hiện nay phân số được dạy ở tiểu học thông qua các ví dụ cụ thể. Học xong học sinh mơ hồ trong “cái gọi”là đơn vị. Các em có thể hiểu về cấu tạo, khái niệm phân số nhưng khi bước vào giải các bài toán về phân số rất lúng túng kể cả những bài toán mang tính đại trà.Ví dụ: Bài toán viết số a dưới dạng phân số có mẫu số cho trước, bài toán tìm x dạng x b = . Cao hơn nữa là những bài toán về chuyển động, những bàì toán tính a c diện tích, thể tích có chứa đựng yếu tố phân số, những bài toán chia phần thực tế. Những yếu điểm hạn chế nói trên có nhiều nguyên nhân khách quan và chủ quan.Thiết nghĩ để khắc phục tình trạng này không có nghĩa là đưa những lý thuyết cao xa vào giảng dạy. Dựa trên thực tế hiện nay có các loại hình lớp học nhiều buổi/tuần, 2 buổi/ngày, giáo viên có thể củng cố khắc sâu có thể nâng cao kiến thức phân số cho học sinh bằng cách giới thiệu các bài toán có nội dung phân số theo một hệ thống và có chủ định. Qua từng bài toán ấy học sinh củng cố, nâng cao kiến thức phân số. Cũng qua những bài toán ấy các em phát huy được tư duy toán học, tổng hợp những kín thức đã biết xử lí (giải) bài toán phân số tốt hơn. Trên cơ sở những lí luận và thực tiễn nói trên tôi mạnh dạn đưa ra ý tưởng “Phân loại phương pháp giải những bài toán về cấu tạo khái niệm phân số” để đồng ngiệp cùng tôi nghiên cứu áp dụng bồi dưỡng nâng cao chất lượng học sinh giỏi. 2. Mục đích nghiên cứu - Hệ thống các dạng bài có cấu tạo số thập phân và định hướng phương pháp giải 3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu 3.1 Khách thể : Những bài toán có cấu tạo phân số 3.2 Đối tượng : Các bài toán tạo phân số cho học sinh giỏi 4&5 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 5. Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp điều tra + Phương pháp phân tích tổng hợp. + Phương pháp đàm thoại + Phương pháp thực nghiệm. 6. Phạm vi giới hạn nghiên cứu: + Khai thác nội dung kiến thức về khái niệm, cấu tạo, tính chất phân số trong sách giáo khoa lớp 4,5. + Tìm phân dạng những bài toán liên quan đến khái niệm, cấu tạo phân số. + Nhắc lại bổ sung những kiến thức cần cho việc giải những bài toán nói trên. 4 - + Tìm phân tích, áp dụng những phương pháp thủ thuật cụ thể giúp học sinh giải hay những bài toán nói trên. + Điều tra vấn đáp giáo viên tìm hiểu phương pháp và nội dung dạy. + Khảo sát học sinh đánh giá chất lượng. Nội dung Chương 1: Cơ sở lí luận của đề tài Khái niệm và cấu tạo phân số đựơc hình thành ở lớp 4, khắc sâu mở rộng ở lớp 5. Học phân số các em được tiếp cận với một kiểu số mới cho phép ghi thương đúng một phép chia hai số tự nhiên. Phân số ghi một giá trị được so sánh với một đơn vị nào đó.Vậy nên hiểu sâu, nắm chắc phân số các em có thể xử lý được các tình huống, các bài toán có ý nghĩa thực tế. Chính vì thế phát huy tối đa tư duy toán học giúp các em nắm chắc phần này cần phải có những bài toán cụ thể trên cơ sở kiến thức cơ bản về phân số. Bởi lẽ sách giáo khoa giới thiệu phân số cho trẻ chỉ là những lý thuyết về phân số khái niệm, cấu tạo chưa quan tâm đến những bài toán. Điều này sẽ rất là thiếu sót đối với những học sinh có khả năng muốn tìm hiểu sâu hơn về phân số ngay ở bậc Tiểu học. Mặt khác thực tế cho thấy nếu học sinh nắm chắc về phân số sẽ có khả năng học tốt các bài toán về diện tích, bài toán thực tế, có kỹ năng thực hành những yếu tố chứa đựng kiến thức phân số. Chương 2: Nội dung kiến thức về khái niệm cấu tạo phân số ở tiểu học 2.1. Phân số: + Viết a được gọi là một phân số gồm: b 5 - - b: (dưới dấu -) mẫu số chỉ số phần bằng nhau được chia ra của một đơn vị (một cái bánh, một hình vuông, một mảnh ruộng) - a: Tử số (viết trên dấu gạch ngang) chỉ số phần lấy đi trong b phần bằng nhau được chia ra. Đọc + Phân số a 3 (a trên b). Nếu , “Ba phần tư” b 4 a a là thương đúng của phép chia a cho b (a: b = ).Vậy có thể b b coi dấu “ –’’ là dấu chỉ phép chia. + Một phân số có tử số lớn hơn mẫu số thường hay được viết dưới dạng hỗn số. Ví dụ: 7 1 = 2 đọc “hai và một phần ba” 3 3 - Các phân số có mẫu số là 10,100,1000, ... được gọi là các phân số thập phân 2.2.Các tính chất về phân số: - Khi ta nhân hay chia cả tử số và mẫu số của phân số với cùng một số tự nhiên khác không thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho. Ví dụ: 3 3x2 6 = = 7 2 x2 4 20 20 : 2 10 = = 12 12 : 2 6 2.3. ứng dụng các tính chất cơ bản của phân số: 2.3.1.Rút gọn phân số: Nếu cả tử số và mẫu số của một phân số cùng chia hết cho một số thì ta chia cả tử số và mẫu số cho số ấy được một phân số mới bằng phân số ban đầu. Việc ấy gọi là rút gọn phân số. Ví dụ: 46 46 : 2 23 = = 36 36 : 2 18 * Một phân số không rút gọn được gọi là phân số tối giản. (Không cùng chia hết cho một số nào) Ví dụ: 23 18 2.3.2.Quy đồng mẫu số: - Quy đồng mẫu số là làm cho các phân số ấy có mẫu số bằng nhau (chung) - Quy đồng mẫu số: + Bước 1: Tìm mẫu số chung + Bước 2: Chia mẫu số chung cho từng mẫu số được một giá trị gọi là thừa số phụ 6 - + Bước 3: Lần lượt nhân cả tử số và mẫu cho từng phân số với thừa số phụ tương ứng - Cách tìm mẫu số chung: + Cách 1: Nhân tất cả các mẫu số lại với nhau. 2.4. So sánh phân số: 2.4.1. Quy tắc 1: - Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn một. - Phân số có tử số bằng mẫu số thì bằng một. - Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì bé hơn một. 2.4.2. Quy tắc 2: - Trong hai phân số có cùng mẫu số phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn - Trong hai phân số có cùng mẫu số phân số nào có mẵu số lớn hơn thì nhỏ hơn. 2.4.3. Cách so sánh hai phân số: - Quy đồng mẫu số rồi so sánh theo quy tắc 2. 2.5. Các kiến thức bổ sung: 2.5.1. Cách tìm mẫu số chung: - Cách 2: Nếu mẫu số lớn nhất chia hết cho các mẫu số khác thì lấy luôn mẫu số ấy làm mẫu số chung. - Cách 2: Đem mẫu số lớn nhất lần lượt nhân với 2,3,4... cho đến khi được số chia hết cho tất cả các mẫu số còn lại thì lấy đó làm mẫu số chung. 2.5.2. Các cách so sánh phân số không qui đồng: - Phân số a, b, c có a > b và b > c thì a > c ( *T.T1). - Các phân số a và b là những phân số nhỏ hơn 1. a +x=1 x, y gọi là phần bù của phân số a, b b+y=1 + Nếu x > y thì a < b x < y thì a > b (*TT.2) - Các phân số a và b là những phân số lớn hơn 1. a - 1= x b - 1= y x, y được gọi là phần hơn của các phân số a và b + Nếu x > y thì a > b x < y thì a < b (*TT.3) 7 - - So sánh phân số bằng cách đưa các phân số về hỗn số. + Tách phần nguyên nêu phân số nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn. + Tách phần nguyên: Nếu phần nguyên bằng nhau so sánh phần phụ (chọn một trong các cách so sánh ở trên) phân số nào có phần phụ lớn hơn thì lớn hơn. - So sánh bằng cách rút gọn các phân số. 2.5.3. Các kiến thức dùng cho giải các bài toán về cấu tạo phân số - Trong một tổng gồm hai số hạng, nếu ta thêm vào số hạng này bao nhiêu đơn vị và bớt ở số hạng kia đi bấy nhiêu đơn vị thì tổng không thay đổi. - Khi cùng thêm (hoặc cùng bớt) ở các số bị trừ và số trừ một số đơn vị như nhau thì hiệu số không thay đổỉ -Khi thêm vào tử số của một phân số một số bằng mẫu số của phân số đó (mẫu số lớn hơn không) và giữ nguyên mẫu số thì giá trị của phân số tăng thêm một đơn vị. - Khi bớt ở tử số một phân số lớn hơn một, một số bằng mẫu số của phân số đó giữ nguyên mẫu số thì giá trị phân số đó giảm đi một đơn vị. - Khi thêm vào tử số của một phân số bằng tử số của phân số đó, giữ nguyên mẫu số thì giá trị của phân số đó tăng lên 2 lần. Chương 3: Các bài toán về cấu tạo khái niệm và so sánh phân số Dạng 1: Các bài toán khắc sâu về khái niệm sử dụng các tính chất của phân số. Bài 1: Viết số tự nhiên 6 thành các phân số có mẫu số lần lượt là: 5;11;12;100. 66 72 600 6 6 x5 30 , , tương tự có : = = 11 12 100 1 1x5 5 x 12 28 4 Bài 2: Tìm số tự nhiên x biết: = ; = 5 25 x 21 4 4 x5 20 Giải: = = , Vậy x = 20 5 5 x5 25 12 28 28 28 : 7 4 mà = = = Vì : x 21 21 21 : 7 3 Giải: 6 viết thành 8 - Mà 4 4 x3 12 = = , 3 3 x3 9 Vậy x=9 Bài 3: Có 7 cái bánh chia đều cho 12 người. Hỏi phải cắt thế nào để mỗi cái bánh không cắt quá 5 phần. Giải: Lấy 3 cái bánh cắt mỗi cái thành 4 phần bằng nhau. Lấy 4 cái bánh cắt mỗi cái thành 3 phần bằng nhau. Mỗi ngươi lấy 1 1 cái bánh và cái bánh. 3 4 Dạng 2: Các bài toán về cấu tạo phân số. Bài 4: Cho phân số 17 . Hỏi phải bớt ở tử số bao nhiêu đơn vị và thêm vào 28 mẫu số bấy nhiêu đơn vị thì được phân số mới giảm ước phân số mới ta được phân số 1 2 Giải: Tổng của tử số và mẫu số của phân số mới khi chưa rút gọn là: 17 + 28 = 45 Tổng của tử số và mẫu số khi giản ước là: 1 + 2 = 3 Phân số khi chưa giản ước : 1 x 15 15 = 2 x 15 30 Vậy số lần giản ước: 45 : 3 = 15 lần Phân số khi chưa giản ước : 1 x 15 2 x 15 = 15 30 Số cần tìm là: 17 – 15 = 2. Đáp số 2. Bài 5: Cho phân số: 23 . Hỏi: 83 a) Cùng phải bớt ở tử số và mẫu số của phân số đã cho bao nhiêu đơn vị để được 1 . 4 Giải: Hiệu giữa mẫu số và tử số là: 83 - 23 = 60 cùng thêm, cùng bớt ở cả tử số và mẫu số nên hiệu phân số mới chưa giản ước là: 60. Hiệu giữa tử số và mẫu số khi giản ước là: 4 – 1 = 3 Số lần giản ước là : 60 : 3 = 20 lần. Vậy phân số mới chưa giản ước là: 1x 20 20 = 4 x 20 80 Số cần tìm là: 23 - 20 = 3 Đáp số 3. a Bài 6: Cho phân số giá trị của phân số này thay đổi như thế nào nếu: b 9 - a+b ). b a+a ). b. Thêm vào tử số a một số chính bằng tử số a ( b a c. Trường hợp là một phân số lớn hơn 1, bớt ở tử số a một số đúng bằng b b a −b ). ( b a Giải: ma. Khi ta thêm vào tử số của phân số một số chính bằng b mà mẫu số b a b a+b a a+b . giữ nguyên, chứng tỏ ta đã thực hiện phép cộng: + = hay + 1 = b b b b b a Vậy phân số tăng lên một đơn vị b a. Thêm vào tử số a một số bằng mẫu số b ( b. Thêm vào tử số a một số chính bằng a ta có: a a a+a a + = = x2 b b b b a Vậy phân số tăng lên 2 lần b a a b a−b a c. > 1 hay a > b. Vậy theo đầu bài ta có: − = = −1 b b b b b a Vậy phân số giảm đi 1 đơn vị. b Bài 7: Viết 3 phân số khác nhau cho mỗi trường hợp sau: a. Nhỏ hơn đơn vị b. Lớn hơn đơn vị c. Bằng đơn vị Giải: a. 3 5 99 ; 4 3 11 1 11 3 ; ; 2 14 4 ; b. ; ; c. 3 4 111 ; ; ; 3 4 111 Bài 8: Viết các phân số sau dưới dạng hỗn số mà phần phân số của hỗn số là phân số thập phân. 5 9 113 131 60 51 363 ; ; ; ; ; ; 2 4 50 125 48 12 250 Giải: a. 5 25 5 ; =2 ; 2 10 10 113 226 26 = =2 50 100 100 303 1425 425 = =1 250 1000 1000 9 225 25 = =2 ; 4 100 100 131 524 1048 48 = = =1 125 500 1000 1000 10 - Dạng 3: Các bài toán về so sánh phân số không sử dụng phương pháp qui đồng. Bài 9: Không qui đồng mẫu số so sánh các cặp phân số sau: 3737 37 và 4141 41 17 9 và d) 5 4 a. g. 2000 2 và 10000 5 9 7 e) và ; 5 6 b) 10 13 và 3 4 Giải: a. 37 37 x101 3737 3737 3737 : 101 37 = = hoặc = = 41 41x101 4141 4141 4141 : 101 41 2 1000 x 2 2000 2000 = = > 5 1000 x5 5000 10000 13 27 và ( TT.2) Nhận xét có: 27-13 = 41-27 = 14 b. 27 47 13 14 14 14 = Do < (QT1) 127 27 27 21 27 14 13 27 < 1- = nên 41 41 27 41 12 13 13 c. và . Có > 1 (QT1) 13 12 12 12 (QT1) 1> 13 13 12 Vậy . > (T.T2) 12 13 9 7 9 9 và Có > (QT2) d. 5 6 5 6 9 7 > (QT2) 6 6 9 7 Vậy > (T.T2) 5 6 17 9 17 2 9 1 e. và Có =3 ; =2 5 4 5 5 4 4 2 1 Vậy 3 > 2 3 > 2 5 4 10 13 10 1 13 1 và Có. =3 ; =3 g. 3 4 3 3 4 4 c) 13 27 g) 12 13 và 13 12 và 27 ; 47 11 1 1 10 13 3 > 3 . Vậy > 3 4 3 4 Bài 10: Tìm phân số ở giữa hai phân số sau: 1 1 1 6 và có = 2 3 2 12 1 4 = 3 12 6 5 4 1 5 1 > > . Vậy > > 12 12 12 2 12 3 Bài 11: Xếp các phân số sau theo thứ tự tù bé đến lớn: Xếp thứ tự: 4 10 7 17 11 5 ; ; ; ; ; 7 4 3 4 3 6 4 5 7 10 11 17 ; ; ; ; ; 7 6 3 4 3 4 Chương 4: Một số phương pháp và thủ thuật nhận dạng các bài toán về phân số 4.1. Một số phương pháp cơ bản đựợc sử dụng 4.1. 1. Phương pháp trực quan. 4.1.2. Phương pháp luyện tập thực hành. 4.1.3. Phương pháp tổng hợp - Phân tích. 4.1.4. Phương pháp gợi cảm - vấn đáp. 4.1.5. Phương pháp nêu vấn đề. 4.1.6. Phương pháp giảng giải minh hoạ. Đó là 6 phương pháp thường được sử dụng để dạy cấu tạo, khái niệm, so sánh phân số cũng như dạy những bài toán dạng đó. Hiện nay các phương tiện phục vụ cho việc dạy học toán phân số còn nhiều hạn chế. Do vậy việc giáo viên chọn phương pháp nào cho phù hợp với nội dung bài, với điều kiện thực tế, với trình độ học sinh là vô cùng quan trọng. Theo tôi hiện nay ở một góc độ nào đó phương pháp trực quan đã phát huy ưu điểm của nó trong dạy học toán cũng như trong dạy học phân số. Khi học sinh đã có kiến thức biến tượng toán học mới ta cần sử dụng phương pháp luyện tập để khắc sâu kiến thức rèn kĩ năng. Phương pháp tổng hợp - phân tích giúp học sinh tìm kế hoạch giải một bài toán. Phương pháp gợi mở vấn đáp, gieo vấn đề đưa học sinh đứng trước một bài toán cần tìm hướng giải quyết (một bài tập cần tìm đáp số). Các em sẽ phân tích tổng hợp từ các dấu hiệu quen thuộc tổng hợp lại để được kết quả. Những lí luận trên cần được thực tế hoá đưa đến học sinh qua những bài tập để làm được điều có cần có sự lựa chọn phương pháp nội dung phù hợp với học sinh, với điều kiện giảng dạy hiện nay. Từng bước nâng cao chất lượng đại trà và bồi dưỡng những học sinh có khả năng, tố chất. (Bồi dưỡng học sinh giỏi) 12 - 4.2. Một số phương pháp cụ thể, những thủ thuật nhận dạng để giải các bài toán về cấu tạo, so sánh phân số. 4.2.1. Các bài toán về cấu tạo phân số đa về dạng toán điển hình. - Một số bài toán về cấu tạo phân số mà khi giải bài toán đó thực chất là giải các bài toán. - Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số. - Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số. - Trước khi thực hiện giải bài toán đến người giải toán cần phân tích, thực hiện các bước trung gian để chuyển bài toán có “hình thức phân số” sáng cốt lõi toán học là giải bài toán điển hình. Ví dụ: 17 . Hỏi phải bớt tử số bao nhiêu đơn vị và thêm vào mẫu 3 1 bấy nhiêu đơn vị thì đợc phân số . 3 Cho một phân số Nhận xét: 17 − a 1 = . Thực chất là tìm a, nhưng muốn tìm được a thì 3+ a 3 (17 − a ) phải tìm được phân số . Mặt khác ta có 17 + 3 = (17 - a) + (3 + a) = 20. Vậy (3 + a ) Tìm số a sao cho bài toán đưa về là tìm 2 số (17 - a ) và (3 + a) biết tổng của chúng là 20 và tỉ số là 1 . 3 Giải: Khi trả lời ở tử số phân số 17 đi bao nhiêu đơn vị và thêm vào mẫu của nó 3 đi bấy nhiêu đơn vị thì tổng tử số và mẫu số của chúng không thay đổi luôn là: 17 + 3 = 20. Vậy theo bài ra ta có sơ đồ sau: 20 Tử số mới: Mẫu số mới: Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 3 = 4 (phần) Tử số mới là: 20 : 4 = 5 Mẫu số mới là: (20 : 4) × 3 = 15 Phân số mới 5 1 = 15 3 Vậy số cần tìm là: 17 – 5 = 12 Đáp số 12: Ví dụ 2: 13 23 . Hỏi phải bớt ở tử số và mẫu số đi bao nhiêu đơn vị để đợc 21 5 một phân số mới có giá trị bằng . 3 Cho phân số Phân tích nhận xét. Giả sử có 2 số A và B thì A - B = (A-C) - (B - C) có nghĩa là khi cùng bớt ở số bị trừ và số trừ đi cùng một số thì hiệu quả chúng không thay đổi. Đưa A, B về dạng một phân số A thì hiệu của tử số và mẫu số không B thay đổi. Vậy bài toán thực chất là tìm 2 số A, B sao cho A + A - B = 33 – 21 = 12 và tỉ số A 5 = . B 3 Giải: Khi cùng bớt ở tử số và mẫu số của phân số 33 đi cùng một số thì hiệu giữa 21 chúng không thay đổi: 33 – 21 = 12. Bài toán trở thành tìm 2 số (tử số, mẫu) biết hiệu chúng là 12 và tỉ số là 5 . Theo bài ra ta có sơ đồ sau: 3 Tử số mới: Hiệu số mới: 1 Hiệu số phần bằng nhau: 5 – 3 = 2 (phần) 2 Mẫu số mới: (12: 2) × 3 = 18 Phân số mới: 30 5 = 18 3 Vậy số cần tìm: 33 – 30 = 3 * Ngoài ra các bài toán dạng này còn có thể có cách giải khác; sử dụng bài toán tỉ lệ thuận (bài toán 4, bài toán 5- trang 9, 10). 4.2. Một số thủ thuật nhận dạng, các phân số để giải các bài toán về so sánh cácphân số. Các bài toán về so sánh phân số có rất nhiều dạng và dù ở dạng nào thì bằng cách quy đồng mẫu số các phân số ta luôn so sánh được giá trị các phân số. Song trong phạm vi bài viết này tôi xin đề cập một vài thủ thuật nhận dạng từ đó đưa ra phương pháp áp dụng giải bài toán so sánh phân số nhanh nhất và không quy đồng mẫu số. (Yêu cầu dành cho học sinh giỏi). Giải những bài toán dạng này ngoài việc rèn cho học sinh kĩ năng mà còn bồi dưỡng tư duy, sáng tạo toán học, năng lực, nhân cách mỗi học sinh, giúp các em học tập các lớp trên tốt hơn. 4.2.1 Những bài toán so sánh phân số qua đại lượng trung gian: Ví dụ: Không gian hãy so sánh các cặp phân số sau: a) 1999 2002 và 2000 2001 b) 1999 2000 và 2000 2001 14 - c) 11 12 và 13 11 d) 15 13 và 17 16 Giải: a. (1) 1999 2002 và 2000 2001 1999 Nhận xét: có 1999 < 2000 2000 2002 có 2002 > 2004 2001 Theo quy tắc ta chọn 1 làm yếu tố trung gian để so sánh. 1999 2002 < 1< 2000 2001 1999 2002 < 2000 2001 Æ a (3) tương tự a (1) a (2) 1999 2000 < 2002 2001 Đối với những phân số này đều là những phân số nhỏ một (1999 < 2002, 2000 < 2001). Khi so sánh tử số và mẫu số trong cùng một phân số nhưng chưa tìm ra yếu tố, dấu hiệu so sánh. Ta nghĩ đến việc so sánh tử số, mẫu số của cả hai phân số. Ví dụ so sánh tử số 1 với tử số 2 mẫu số 1 với mẫu số 2… Nhận xét: Tử số 1: 1999 < Tử số 2: 2000 Mặt khác MS1 2002 > MS2 2001 chọn phân số trung gian là: 1999 2001 hoặc 2000 TS1 TS 2 ( hoặc ) 2002 MS 2 MS1 Giải: Do 2000 1999 < 2002 2001 1999 2000 < 2001 2001 nên Æ 1999 2000 < 2002 2001 * Vậy những cặp phân số như thế nào có thể áp dụng cách so sánh qua trung gian? a c và nếu a > b và d > c thì yếu tố trung gian. b d c a c a + và nếu a < c và b > d thì yếu tố trung gian là và d b b d + * Xét thấy học sinh đã thành thạo đối với những bài toán cụ thể này giáo viên có thể bồi dưỡng học sinh qua bài toán tổng quát để giúp học sinh có thể tự ra đề toán cho bạn bè. Ví dụ 4: Cho phân số a thêm 1 vào tử số và bớt 1 ở mẫu số ta được phân số lớn hơn b hay nhỏ hơn phân số ban đầu, giải thích cách làm không dùng quy đồng mẫu số. 15 - Giải a +1 a và b −1 b a a do: < b b −1 a a +1 < b −1 b −1 nên: a a +1 < b −1 b * Từ bài toán này bạn có thể dùng cho bất kì một phân số nào, từ đó trừ đi hoặc cộng thêm ở tử số và ngược lại cộng thêm hoặc trừ đi ở mẫu số được một cặp phân số cần so sánh. 4.2.1 Những bài toán về so sánh phân số bằng cách sử dụng phần bù, phần phụ: Đối với những bài toán về so sánh phân số việc tìm ra những dấu hiệu qua việc so sánh giữa các yếu tố tử số với mẫu số trong cùng một phân số, so sánh tử số, mẫu số phân số này với tử số và mẫu số phân số kia là hết sức quan trọng. Từ đó chọn phương pháp so sánh hợp lí nhất. Ví dụ 5: Không quy đồng hãy so sánh các cặp phân số sau: 19 11 và 17 25 501 212 c) và 399 110 2000 2001 và 2001 2000 2003 2001 d) và 2002 2000 a) b) Giải: a) 19 11 và 17 25 11 16 Có + =1 17 17 19 6 + =1 25 25 Do: 6 6 (QT2) > 17 25 19 11 Nên: < (T.T2) 17 25 T.T2: Thủ thuật (cách) so sánh 2. b) Tương tự như phần 1. c). 501 212 và 399 110 501 102 Có −1= 399 399 102 212 −1= 110 110 102 102 < 399 110 501 102 Nên: (T.T3) < 399 110 Do: d) Giải tương tự (3) * Các cặp phân số có dấu hiệu như thế nào thì áp dụng cách so sánh thông qua phần bù hay phần phụ? - Nếu cả hai phân số đều nhỏ hơn 1 ( hoặc đều lớn hơn 1) và hiệu quả mẫu số và tử số (hoặc hiệu quả giữa tử số và mẫu số) cảu hai phân số ấy đều bằng nhau thì 16 - sử dụng cách so sánh phần bù đối với cặp phân số nhỏ hơn 1, sử dụng cách so sánh phần phụ đối với cặp phân số lớn hơn 1. * Nguyên tắc tổng quát để ra đề đối với những phân số dạng trên: - Chọn một phân số a tối giản. b - Tìm hiệu a – b; b – a giả sử hiệu là e. Ta có: Cặp 2 phân số a c và cần so sánh không quy đồng bằng cách so sánh b d phần bù hoặc phần phụ. 4.2.3. Những bài toán về só sánh phân số bằng cách đưa về hỗn số (tách phần nguyên). * Những cặp phân số như thế nào thì chọn cách so sánh bằng cách đưa về hỗn số? - Những cặp phân số có tử số lớn hơn mẫu số đồng thời hiệu giữa tử số và mẫu số lớn hơn mẫu số (nghĩa là phần nguyên lớn hơn 1). Ví dụ 6: So sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất: 13 18 … 3 4 13 18 Giải: … 3 4 17 21 … 5 6 hay hay 17 21 … 5 6 1 1 …4 3 2 2 3 3 … 3 5 6 2 1 3 … 3 5 2 2 1 3 … 3 5 2 * Những cặp phân số dạng này khi đưa về hỗn số trường hợp các phần nguyên bằng nhau lúc này việc so sánh phần phân số lại đưa về các dạng đã để cập ở trên. 4.2.4.. Những bài toán so sánh phân số bằng cách rút gọn những phân số đặc biệt. Ví dụ: So sánh những phân số sau: 171171 171 và 623623 623 171 171 × 1001 171171 Có = = 623 623 × 1001 623623 - Những bài toán dạng này đã theo một quy tắc nhất định có: ab ×101 = abab abc x 1001 = abc abc abc x10101= abab 4.3. Thủ thuật tìm hướng giải các bài toán chia phần: * Đây là những bài toán chia phần quen thuộc để giải được những bài toán kiểu này ta cần ta chỉ cần tìm ra đề toán từ đó đi người lại có cách giải. 17 - - Những bài toán dạng chia một số vật cụ thể thành một số phần nhất định sao cho số lần cắt là ít nhất. ( dạng bài 3 trang 7) - ở dạng toán này ngời ra đề thường chọn một số vật cụ thể thực tế cần chia (Ví dụ: Cái bánh, quả cam, …). Số lượng chọn thường là các số nguyên tố: Như 5, 7, 9, 11, … Sau đó chọn một cặp số có tổng bằng: Số lượng trên sao cho các số là nhỏ nhất. Ví dụ: 3 + 2 = 5; 4 + 3 = 7; 5 + 4 = 9; 5 + 6 = 11; …từ đó mới định ra số người cần chia bằng cách nhân 2 số đã chọn. Ví dụ: 3 × 2 = 6; 4 × 3 = 12, … Cuối cùng định số phần chia ít nhất cho một yếu tốt phải chia. Ví dụ 8: Có 11 cái bánh cần chia đều cho 30 người. Hỏi phải cắt thế nào để mỗi cái bánh không cắt quá 6 lần. Giải Lấy 5 cái bánh, mỗi cái cắt thành 6 phần bằng nhau. 6 cái bánh còn lại mỗi cái cắt thành 5 phần bằng nhau. Chia mỗi ngời 1 1 và cái bánh. 5 6 4.4. Sử dụng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng kết hợp với tính ngược từ cuối trong giải các bài toán về phân số: * Những bài toán đa ra một số lượng của một yếu tố thực tế (quả cam, quả táo, hòn bi, số ngời, …). Sau một số lần chia còn lại một số lượng nhất định, yêu cầu tính số lượng ban đầu. Từ số lượng còn lại người giải toán dựa vào điều kiện của bài toán lần lượt đi từ cuối để tìm ra số lượng ban đầu. (bước làm này là tính ngược từ cuối). Để dễ diễn giải và minh hoạ cho học sinh giáo viên thường dùng sơ đồ đoạn thẳng để minh hoạ. Ví dụ 9: (bài 5 trang 18 “Vui học toán 5”) Bà nội có một số cam Chia đều làm bốn, tặng Lan một phần Số cam còn lại đem phân Ra đều ba phần, lấy một cho Tâm Số cam còn lại tặng Lâm Lâm chia đôi để biếu Ông một phần Bổ ra một quả Lâm ăn Còn thừa hai quả dành phần cho Nhung Đố các bạn nhỏ tính cùng Số cam Bà đã chia chung cả nhà? 1 3 còn chia 3 cho 4 4 1 2 1 3 2 Tâm một phần Tâm nhận : 3 = (số cam) còn tặng Lâm. Ông nhận : 2 = số 4 4 4 4 4 1 cam còn số cam Lâm ăn 1 quả còn phần Nhung 2 quả. 4 * Phân tích: Bà có một số cam chia làm bốn. Lan nhận Giải: Theo đề bài ra ta có sơ đồ: Lan Tâm Ông 1 2 18 - Lâm 1 số cam còn lại của Lâm: Lâm ăn 1 phần phần Nhung 2. 4 Tổng cộng: 1 + 2 = 3 (quả) Vậy số cam của Bà là 3 × 4 = 12 (quả) Đáp số: 12 quả Ví dụ 10: Một phụ huynh học sinh hỏi thầy giáo “trong lớp thầy có bao nhiêu học sinh?”. Thầy cười trả lời: Nếu có thêm một số trẻ em bằng số hiện có và thêm một nửa số đố rồi lại thêm 1 số đó rồi thêm cả con quí vị nữa thì vừa đúng 4 100. Em tính giúp vị phụ huynh học sinh? - Phân tích: Nếu trừ con của phụ huynh thì theo lời thầy giáo ta có 100 -1 = 99 (em). Vậy theo đầu bài ta có sơ đồ sau:? em Số học sinh của lớp: Thêm số học sinh hiện có: 1 số học sinh: 2 1 Thêm số học sinh: 4 Thêm 99 em Giải: Nếu coi số học sinh của lớp là 4 phần bằng nhau thì phần, 1 số học sinh sẽ là 2 2 1 số học sinh sẽ là 1 phần như thế. 4 Theo sơ đồ ta có phần bằng nhau là: 4 + 4 + 2 + 1 = 11 (phần) Số học sinh của lớp là: (99:11) × 4 = 36 (em) Đáp số 36 em * ở những bài toán dạng này khi tiến hành giải toán ngời giải toán đi từ những giữ kiện ban đầu dẫn đến số liệu thực (đã cho) ở cuối bài toán bước này ta gọi là phân tích và trên thực tế là bước vẽ sơ đồ. Sau khi phân tích xong từ sơ đồ kết hợp với số liệu đã biết bài toán được tính ngược từ cuối (bước … tổng hợp). Toàn bộ những bài toán được tiến hành như vậy là đã sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối trên cơ sở phương pháp cơ bản là phân tích tổng hợp. 4.5. ứng dụng thủ thuật “Gán sai chỉnh đúng” (thủ thuật giải toán – Phạm Đình Thực) vào giải những bài toán về phân số: 19 - * Muốn tìm một giá trị chưa biết ta gán cho nó một giá trị cụ thể nào đó trên cơ sở của đề toán. Sau đó tính toán ra một giá trị sai khác theo điều kiện của bài toán, rồi tìm cách chỉnh cho đúng với điều kiện bài toán giá trị chỉnh được đó là đáp số của bài toán. * Đối với những bài toán về phân số áp dụng phương pháp tính ngược từ cuối (mục 4) đều có thể áp dụng thủ thuật này: - Chẳng hạn ở ví dụ 10 + Theo bài ra: Tổng số học sinh hiện có và thêm bằng số học sinh có và số học sinh và 1 2 1 số học sinh thì bằng 100 -1 = 99 (em) 4 + ở đây ta cần tìm số học sinh của lớp. Vậy ta gán cho nó một giá trị tuỳ ý. Để dễ tính toán ta chọn số chia hết cho 4. Ví dụ 12: 1 số học sinh là: 12 : 2 = 6 (em) 2 1 - số học sinh là: 12 : 4 = 3 (em) 4 - Vậy theo bài ra ta tính được tổng như sau: 12 + 12 + 6 + 3 = 33 (em). Nhưng thực tế tổng ấy là 9 em gấp 3 lần 33. Vậy ta chỉnh giá trị 12 cho đúng. Giá trị này sẽ phải tăng 3 lần thì đúng. Vậy số học sinh của lớp là: 12 × 3 = 36 (em) Đáp số 36 em * Chú ý: Có thể chọn bất kì giá trị nào khác 12. Xong ta để ý đây là số học sinh nên không thể là số thập phân vậy chọn số chia hết cho 4 tuỳ ý. Ví dụ: 16; 20; 24; … Ví dụ 11 (Bài 7 trang 17 sách “vui học toán 5”) - Thưa ông Pi - ta - go lỗi lạc, trường ông có bao nhiêu môn đồ? Nhà hiền triết trả lời: - Một nửa học toán, một phần tư học nhạc, một phần bẩy ngồi suy nghĩ và ngoài ra có 6 phụ nữ. Em hãy tính số môn đồ của nhà hiền triết Pi - ta - go. * Nhận xét: ở đây số cần tìm là môn đồ của Pi - ta - go theo lời của ông thì số môn đồ là số chia hết cho cả 4 và 7: Giải: Chọn số môn đồ là: 28 ( 4 × 7= 28) Giả sử số môn đồ là: 28 (người) Một nửa học toán là: 28 : 2 = 14 (người) Một phần tư học nhạc là: 28 : 4 = 7 (người) Một phần bẩy suy nghĩ là: 28 : 7 = 4 (người) Vậy số người còn lại là phụ nữ là: 28 - 14 - 7 - 4 = 3 (người) Thực tế phụ nữ còn lại là 6 người gấp 2 lần ở 3 người. 20 - Vậy số môn đồ của Pi - ta - go là: 28 × 2 = 56 (người) Đáp số 56 người Kết quả Sau khi nghiên cứu thu thập số liệu tôi tiến hành thực nghiệm với số học sinh lớp 5A và nhóm học sinh bồi dưỡng. - Cách thức tiến hành: * Sau khi học sinh đã được học xong về cấu tạo và khái niệm phân số để khắc sâu về các kiến thức này bằng cách cho học sinh làm các bài tập dạng 1, dạng 2. ở từng dạng toán tiếp theo các em được nhận dạng, được định vị phương pháp. Các dạng toán tiếp theo được giới thiệu tiếp trong các tiết bồi dưỡng và tăng buổi. - Với cách thức tiến hành như trên kết quả thu được ở học sinh rất khả quan: + Học sinh nắm chắc về khái niệm, cấu tạo phân số. + Biết phân loại, nhận dạng, và sử dụng phương pháp vào giải một bài toán liên quan đến cấu tạo, khái niệm phân số. + Nắm chắc các bước tiến hành từng phương pháp được giới thiệu, có thủ thuật giải toán phù hợp. + Có kĩ năng phân tích tìm bản chất toán học trong một bài toán. + Bồi dưỡng cho học sinh có tư duy lôgíc có khả năng (phân tích, tổng hợp, lập luận có căn cứ) để học toán. + Khi giải được những bài toán các em đã có được khả năng lập luận, ứng dụng xử lí những vấn đề trong cuộc sống. - Với kết quả bước đầu này đã khẳng định thành công bước đầu cho bài viết của tôi tuy chưa cao, xong nó mở ra một hướng cho học sinh giải giai đoạn tiếp. - Với những đánh giá nhận định trên đã được khẳng định, minh chứng qua bài chắc nghiệm và khảo sát sau: Cho các bài toán: Bài toán 1: Viết số tự nhiên 8 thành các phân số có mẫu số lần lượt là: 3, 5, 112, 105 (2 điểm) Bài toán 2: Tìm số tự nhiên x biết 2 x 10 15 (2 điểm) = ; = 3 54 x 6 Bài toán 3: So sánh các cặp phân số sau bằng phương pháp nhanh nhất: (2 điểm) a. 29 17 và 15 32 b. 12 13 và 18 17 Bài toán 4: Có 9 quả cam chia đều cho 20 người. Hỏi phải chia như thế nào để mỗi quả cam không bị cắt quá 5 phần. (1 điểm)