Tài liệu Skkn phân loại và phương pháp giải các dạng toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối toán 7 thcs

Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than PHẦN MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài: Toán học là bộ môn khoa học đòi hỏi tư duy trừu tượng cao độ, hệ thống toán học có kết cấu hết sức chặt chẽ, lôgíc và đa dạng. Nhưng trong thực tế giảng dạy luôn tồn tại mâu thuẫn giữa tầm quan trọng của nó với việc dạy và học ở trường trung học cơ sở. Là một giáo viên giảng dạy Toán bậc trung học cơ sở, bản thân tôi lại được nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán 7 tôi nhận thấy dạng toán “Tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối” là một trong những dạng toán khó với các em học sinh lớp 7. Đồng thời học tốt dạng toán này là bước quan trọng để chuẩn bị cho việc học phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình vô tỉ ở lớp 8, 9 sau này. Qua quá trình trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy nhiều em còn vướng mắc về phương pháp giải, quá trình giải thiếu lôgic và chưa chặt chẽ, chưa xét hết các trường hợp xảy ra. Lí do là học sinh chưa nắm vững biểu thức về giá trị tuyệt đối của một số, của một biểu thức, chưa biết vận dụng kiến thức này vào giải bài tập. Nhiều em học sinh còn yếu về kĩ năng nhận dạng, phương pháp giải không phù hợp. Một số em còn tâm lí lo sợ khi học dạng toán này. Mặt khác phạm vi kiến thức ở lớp 6, 7 chưa rộng, học sinh mới bắt đầu làm quen về vấn đề này, nên chưa thể đưa ra đầy đủ các phương pháp giải bài toán một cách có hệ thống, cần có cái nhìn tổng quát hơn để tìm ra phương pháp giải dễ hiểu giúp cho việc lĩnh hội kiến thức và nâng cao chất lượng giáo dục. Chính vì vậy, tôi nghĩ cần phải làm thế nào để học sinh biết áp dụng định nghĩa tính chất về giá trị tuyệt đối để phân chia được các dạng, tìm ra được phương pháp giải đối với từng dạng bài. Từ đó học sinh thấy tự tin hơn khi gặp loại bài tập này và có kỹ năng giải chặt chẽ hơn, có ý thức tìm tòi, sử dụng phương pháp giải nhanh gọn, hợp lí. Bước đầu hình thành cho các em các kĩ năng suy luận biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán. 1 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than Chính vì những lí do trên mà tôi mạnh dạn trình bày một vài kinh nghiệm: “Phân loại và phương pháp giải các dạng toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối toán 7 trung học cơ sở” II. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: 1. Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối trong chương trình toán lớp 7. 2. Đối tượng nghiên cứu: Phân loại và phương pháp giải các dạng toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối toán 7 trung học cơ sở. III. Mục đích nghiên cứu: - Nghiên cứu dạng toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. - Đưa ra các phương pháp giải dạng toán trên để học sinh lựa chọn cách giải hay. - Hạn chế, khắc phục sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải dạng toán này. IV. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: - Các em biết lựa chọn các phương pháp giải toán phù hợp biết tìm nhiều cách để giải toán, tìm ra cách giải ngắn gọn, thông minh nhất, phù hợp với trình độ của các em. - Đặc biệt các em yêu thích môn toán, các em hào hứng thi đua trao đổi thảo luận sôi nổi khi gặp các bài toán khó. Biết cách trình bày bài giải một cách mạch lạc, rõ ràng, ngắn gọn. - Rút ra được những kinh nghiệm cho bản thân và đồng nghiệp khi dạy về dạng toán này. - Thời gian nghiên cứu khá dài (hai năm học) nên bản thân tôi đúc rút được nhiều kinh nghiệm, khắc phục và thay đổi cách làm, hướng đi cho phù hợp tình hình thực tế. 2 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than PHẦN NỘI DUNG I. Cơ sở lí luận: Đề tài trên được nghiên cứu trên thực tế giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi về dạng toán tìm x trong đẳng thức, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Khi dạy về dạng toán này gặp rất nhiều khó khăn do học sinh chưa học về phương trình, các phép biến đổi tương đương… Các em thường e ngại, lúng túng, nhầm lẫn không tìm ra hướng giải hoặc thường mắc sai lầm trong lời giải, tìm được x nhưng chưa đầy đủ còn thiếu trường hợp. Cần yêu cầu học sinh nắm vững và ghi nhớ các kiến thức cần thiết để giải bài tập tìm x trong đẳng thức, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối như: - Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế. - Tìm x trong đẳng thức. - Thực hiện phép tính, chuyển vế … đưa về dạng ax = - b  x = b a - Định lí và tính chất về giá trị tuyệt đối.  A khi A  0 | A |     A khi A  0 ; |A| = |-A| ; |A|  0 - Định lí về dấu nhị thức bậc nhất. Phương pháp chung để tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối. Bên cạnh đó ta còn có thể trình bày thành các cách giải đơn giản hơn với một số dạng cơ bản như: Dạng 1: Dạng |A(x)| = B với B  0 Dạng 2: |A(x)| = B(x) (trong đó B(x) là biểu thức chứa biến x) Dạng 3: |A(x)| = |B(x)| hay |A(x)| - |B(x)| = 0 Dạng 4: |A(x)| + |B(x)| = 0 Dạng 5: |A(x)| < B hoặc |A(x)| > B (B là hằng số dương) II. Thực trạng của vấn đề: Dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối là dạng toán trừu tượng và quan trọng vì nó được sử dụng nhiều trong quá trình dạy Toán ở lớp 8, 9 và cấp 3 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than THPT,... Việc nắm vững dạng toán này ở lớp 7 sẽ là nền tảng cơ bản cần thiết để các em có thể tiếp thu những kiến thức cao hơn ở các lớp học sau. Trong toán học: “tìm x trong đẳng thức, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối” là một vấn đề trừu tượng nhưng nó lại góp phần giải quyết các bài toán phức tạp sau này. Khi gặp các dạng toán này bản thân tôi và các em học sinh thấy được một số thuận lợi và khó khăn như sau: 1) Thuận lợi: - Trường THCS Mường Than đã đạt chuẩn quốc gia và luôn được sự quan tâm giúp đỡ của các cấp lãnh đạo Đảng và Nhà nước. Sở giáo dục, Phòng giáo dục và Ban giám hiệu nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất cả các hoạt động của trường. - Bên cạnh đội ngũ giáo viên nhiều kinh nghiệm nhà trường còn có một đội ngũ thầy cô giáo trẻ, khoẻ, nhiệt tình và hăng say công việc. - Đa số các học sinh đều ham thích học bộ môn toán. 2) Khó khăn: + Về khách quan: - Trường THCS Mường Than có phần lớn HS là con em dân tộc, cuộc sống của các em còn gặp nhiều khó khăn. Ngoài giờ lên lớp các em còn phải phụ giúp gia đình để kiếm sống cho nên các em không thực hiện tốt được việc tự học ở nhà. - Trong thời đại thông tin, khoa học kỹ thuật phát triển, nhiều trò vui chơi giải trí như điện tử, bi a,... đã làm một số em sao nhãng việc học tập của mình dẫn tới kết quả học tập bị giảm sút. - Bên cạnh những gia đình quan tâm chu đáo cho việc học tập của con em mình còn một số gia đình chưa quan tâm tới việc học tập của các em do còn phải lo cho việc làm ăn kinh tế, lao động kiếm sống hàng ngày. Từ sự quản lí không chặt chẽ của gia đình dẫn tới các em quen thói chơi bời, tụ tập và tư tưởng ỷ nại, lười học dần dần xuất hiện. + Về chủ quan: - Trong chương trình đại số lớp 7, việc tìm giá trị của biến trong đẳng thức, bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối với học sinh còn gặp những khó khăn 4 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than như kiến thức chưa được tường minh, lời giải chưa được trình bày một cách đầy đủ và chính xác. Học sinh thường mắc một số sai lầm cơ bản như: Chưa xác định xem đẳng thức có xảy ra không đã thực hiện các phép biến đổi hoặc khi tìm được x đã kết luận ngay không đối chiếu với điều kiện để chọn x rồi kết luận. Học sinh thường bỏ qua phép biến đổi tương đương mà trình bày rời rạc không theo một qui trình, không khoa học, thiếu thẩm mĩ. - Mức độ kiến thức của dạng toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối tương đối trừu tượng và phức tạp. - Do những khó khăn nêu trên và khi chưa áp dụng đề tài tôi khảo sát 30 học sinh lớp 7 trường THCS Mường Than năm học 2011 - 2012; 2012 - 2013 với đề bài: Tìm x biết: a) |2x – 5| = 7 (5điểm) b) |x – 5| < 8 (5 điểm) Kết quả đạt được như sau: Giỏi Năm học Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 2011 - 2012 0 0 3 10 10 33,3 17 56,7 2012 - 2013 0 0 1 3,3 11 36,7 18 60 Nguyên nhân chủ yếu của những khó khăn trên là: - Mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng làm bài của đa số học sinh còn yếu. - Học sinh không nắm được các kiến thức cơ bản, không nhận dạng được các dạng bài toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối. - Học sinh còn lúng túng trong việc sử dụng định nghĩa và các tính chất của giá trị tuyệt đối:  A khi A  0 | A |     A khi A  0 - Không đặt điều kiện đã phá dấu giá trị tuyệt đối. - Khi tìm được x, bỏ quên bước so sánh với điều kiện mà kết luận ngay. - Giáo viên chưa phân biệt cho học sinh thấy rõ được các dạng bài toán cơ bản của tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối . 5 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than - Giáo viên xem nhẹ việc nhắc lại kiến thức cũ cho học sinh mà tập chung chủ yếu cho nội dung bài học mới. Qua thực tế giảng dạy và kết quả bài làm khảo sát của 30 học sinh tôi nhận thấy sai lầm mà các em thường mắc phải nhất là: * Sai lầm do không nắm vững kiến thức. Ví dụ: Tìm x biết: |x + 5| - x = 3 Các em giải: + Bước 1: |x + 5| - x = 3  x+5–x =3 + Bước 2: 0x = - 2 + Bước 3: Không tìm được giá trị nào của x thỏa mãn đề bài yêu cầu. Nhận xét: Các em sai ngay ở bước 1, bỏ ngay dấu giá trị tuyệt đối, cho rằng |A| = A mà không cần điều kiện gì của A. Có em giải cách khác: + Bước 1: Đưa về dạng | x + 5| = 3 + x + Bước 2: x + 5 = x + 3 hoặc x + 5 = -(3 + x) + Bước 3: 0x = - 2 hoặc 2x = - 8  x =-4 Nhận xét: Các em sai ở bước 2, nguyên nhân dẫn đến sai lầm này là do các em không nắm vững kiến thức, chưa hiểu được ở đây 3 + x có chứa biến x (nên chưa khẳng định được 3 + x  0 hay 3 + x < 0 để giải tiếp). * Sai lầm do chủ quan mặc dù nắm vững kiến thức. Ví dụ : Tìm x biết | 2x – 3| = 5 Học sinh chủ quan vội vàng cho rằng cần xét giá trị của biến để 2x – 3  0 hoặc 2x – 3 < 0 và giải 2 trường hợp tương ứng, trong khi ở đây đẳng thức luôn xảy ra (vì 5 > 0). Cách làm này của học sinh chưa nhanh gọn. Khi tôi áp dụng đề tài này vào quá trình hướng dẫn học sinh giải được bài, hiểu rất rõ cơ sở của việc giải bài toán đó. Các em đã biết lựa chọn ngay cách giải nhanh. Cụ thể : |2x - 3| = 5 (vì 5 > 0) 6 Nguyễn Mạnh Hùng  2x  3  5   2x  3   5 Giáo viên Trường THCS Mường Than 2x  8  2x   2 x  4  x  1 III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề. Do khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa đồng bộ nên việc áp dụng lí thuyết cơ bản của dạng tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối còn gặp rất nhiều khó khăn, đa phần học sinh chưa có kỹ năng giải dạng toán này vì các em chưa biết bài toán đó cần áp dụng phương pháp nào để giải cho kết quả đúng nhất, nhanh nhất và đơn giản nhất. Nắm bắt được tình hình trên trong tiết dạy tự chọn tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng. Để giúp các em phát triển tư duy suy luận và óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. Tôi đã đưa ra hệ thống bài tập từ dễ đến khó, bên cạnh đó cũng có những bài tập nâng cao. Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó giúp các em hứng thú học tập hơn rất nhiều. Ngoài ra còn phối hợp với giáo viên chủ nhiệm, gia đình học sinh thường xuyên quan tâm tới các em động viên giúp đỡ nhiệt tình, tạo điều kiện thuận lợi cho việc học của các em. Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng nghe ý kiến của các em. Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao đổi nhóm khi cần thiết. Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách nhiệm với bản thân và tập thể. Từ định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối hướng dẫn học sinh phân chia từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản sang các dạng khác, từ phương pháp giải dạng cơ bản, dựa vào định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối tìm tòi các phương pháp giải khác đối với mỗi dạng bài, loại bài. Cụ thể như sau: 7 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than 1. Một số dạng cơ bản: 1.1. Dạng cơ bản |A(x)| = B với B  0. 1.1.1. Cách tìm phương pháp giải: Đẳng thức trên có xảy ra không? Vì sao? Nếu đẳng thức xảy ra thì cần sử dụng kiến thức nào để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối (ta sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau). 1.1.2. Phương pháp giải: Ta lần lượt xét: + Trường hợp 1: A(x) = B. + Trường hợp 2: A(x) = -B. 1.1.3. Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm x biết |x - 2| = 5 Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán: Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao? (có xảy ra vì |A|  0 , 5 > 0). Đây là dạng cơ bản đầu tiên của đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi và nắm vững các kiến thức để giải, để bỏ được dấu giá trị tuyệt .Giáo viên trình bày bài tập mẫu, lưu ý cho các em về các bước giải bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bài giải |x - 2| = 5 ( 5 > 0)   x x  x  x  25  25 7  3 Vậy x = 7 hoặc x = -3 Ví dụ 2: Tìm x biết: |2x – 1| + 3 = 2 Có học sinh giải như sau: |2x – 1| + 3 = 2 2 x 1  1 x  0     2 x 11 x 1 Vậy x = 0 hoặc x = 1. 8 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than Cách giải ở ví dụ 2 của bạn học sinh bị sai. Mục đích ở đây là tôi muốn giúp học sinh nhận dạng và phương pháp giải dạng 1 cần lưu ý đến B  0 hay không? Do đó chỉ rõ lỗi sai lầm của học sinh và giải lại như sau: Cách giải đúng: |2x – 1| + 3 = 2 |2x – 1| = - 1 Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn |2x – 1| = - 1. Từ ví dụ đơn giản, phát triển đưa ra các ví dụ có độ khó được nâng dần lên. Nhận xét: Sau mỗi ví dụ tôi lưu ý cho các em phương pháp chung giải dạng toán đó. Nếu có điểm khác biệt riêng giữa các ví dụ các em cần tìm hiểu và so sánh chúng với nhau. Một bài toán có thể có nhiều con đường để giải. 1.2. Dạng |A(x)| = B(x) (trong đó B(x) là biểu thức chứa biến x) 1.2.1. Cách tìm phương pháp giải: Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao? Học sinh thấy được rằng đẳng thức không xảy ra nếu B(x) < 0 (tôi nhấn mạnh thêm: chúng ta đã vừa tìm hiểu ở ví dụ 2). => Cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản trên để suy luận tìm ra cách giải không? Có thể tìm ra mấy cách? 1.2.2. Phương pháp giải: - Học sinh có thể hình thành nên cách giải từ mâu thuẫn ở ví dụ 2. Cách 1: (Dựa vào tính chất) |A(x)| = B(x)   A(x)  B(x)  A(x)   B (x)  (giải 2 trường hợp với điều kiện B(x)  0) Cách 2: Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. |A(x) | = B(x) + Xét A(x)  0  x = ? Ta có A(x) = B(x) (giải để tìm x thoả mãn A(x)  0). + Xét A(x) < 0  x = ? Ta có A(x) = - B(x) (giải để tìm x thoả mãn A(x) < 0). + Sau đó kết luận về giá trị của x . Chú ý: Qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau (đều chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối) và khác nhau (|A(x)| = k  0 dạng đặc biệt vì k > 0) của 9 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than 2 dạng. Điểm mới ở đây là tôi đã nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp giải loại đẳng thức chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối, đó là đưa về dạng cơ bản |A(x)| = B(x) (Nếu B(x)  0 đó là dạng đặc biệt, còn nếu B(x) < 0 thì đẳng thức không xảy ra). 1.2.3. Ví dụ: Ví dụ 3: Tìm x biết: |9 - 7x| = 5x - 3 Cách 1: Điều kiện: 5x – 3 ≥ 0  5x  3  x 3 5 Khi đó: |9 - 7x| = 5x - 3 9  7 x  5x  3 12x  12 x  1    9  7 x  (5x  3) 2x  6 x = 3 Vậy x = 1 hoặc x = 3 Cách 2: + Xét 9 - 7x  0  7x ≤ 9  x ≤ 9 7 Ta có: 9 – 7x = 5x – 3  x = 1 (thoả mãn). + Xét 9 - 7x < 0  7x > 9  x > 9 7 Ta có: - 9 + 7x = 5x – 3  x = 3 (thoả mãn). Vậy x = 1 hoặc x = 3. Sau khi giải xong yêu cầu học sinh so sánh 2 cách giải để tìm con đường tối ưu. Trong 2 cách giải trên thì cách giải 1 sẽ thuận lợi ngắn gọn hơn cho học sinh trong việc giải bài tập. 1.3. Dạng 3: |A(x)| = |B(x)| hay |A(x)| - |B(x)| = 0 1.3.1. Cách tìm phương pháp giải: Trước hết tôi cho các em quan sát, rút ra nhận xét đây là dạng đặc biệt (vì đẳng thức luôn xảy ra do cả 2 vế đều không âm), từ đó các em tìm tòi hướng giải. Cần áp dụng kiến thức nào về giá trị tuyệt đối để bỏ được dấu giá trị tuyệt 10 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than đối và cần tìm ra phương pháp giải ngắn gọn. Có hai cách giải: Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) (dựa theo định nghĩa) và cách giải dựa vào tính chất 2 số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để suy ra ngay A(x) = B(x); A(x) = - B(x) (vì ở đây cả hai vế đều không âm do |A(x)| ≥ 0 và |B(x)| ≥ 0). Để học sinh lựa chọn ra cách giải nhanh, gọn, hợp lí để các em có ý thức tìm tòi trong giải toán, vận dụng tốt trong quá trình học tập. 1.3.2. Phương pháp giải: Cách 1: Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá trị tuyệt đối. Cách 2: Dựa vào tính chất hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau ta tìm x thoả mãn một trong hai điều kiện A(x) = B(x) hoặc A(x) = -B(x) 1.3.3. Ví dụ: Ví dụ1: Tìm x biết |x + 2| = |6 - x| |x + 2| = |6 - x| x  2  6  x 2x  4 x  2    x 2 x  2  x 6 0 x  8 0 x  8 (vô lí) Vậy x = 2 Ví dụ 2: Tìm x biết: |x - 3| + |x + 2| =7 Để khử các dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét khi nào x – 3  0 và x + 2  0. Ta có thể trình bày theo các bước sau: Bước 1: Lập bảng xét dấu: Trước hết cần xác định nghiệm của nhị thức: x–3=0  x=3 x+2=0  x = -2 Lập bảng xét dấu ta có: x x–3 x+2 -2 - + 0 3 0 + + Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến.  Trường hợp 1: 11 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than Nếu x  - 2 ta có x - 3  0 và x  2  0 nên x - 3 3 - x và x + 2= - x – 2 Đẳng thức trở thành: 3 - x – x –2 = 7  -2x + 1 = 7  -2x = 6  x = -3 ( thoả mãn x  -2) + Trường hợp2: Nếu 2  x  3 ta có x - 3= 3 - x và x + 2= x + 2 Đẳng thức trở thành: 3 - x + x +2 = 7  0x + 5 = 7 (vô lí) Nếu x  3 đẳng thức trở thành: x-3+x+2=7  2x – 1 = 7  2x = 8  x = 4 (thoả mãn x  3) Vậy x = -3 ; x = 4 Chú ý: Qua 2 cách giải trên tôi cho học sinh so sánh để thấy được lợi thế trong mỗi cách giải. Ở cách giải 2 thao tác giải sẽ nhanh hơn, dễ dàng xét dấu trong các khoảng giá trị hơn, nhất là đối với các dạng chứa 3; 4 dấu giá trị tuyệt đối (các em cần quan sát, có ý thức lựa chọn phương pháp giải sao cho phù hợp). Tuy nhiên với cách giải 2 (lập bảng xét dấu) sẽ dễ mắc sai sót về dấu trong khi lập bảng, nên khi xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối cần phải hết sức lưu ý và tuân theo đúng qui tắc lập bảng như ví dụ dưới đây: Ví dụ 3 : Tìm x biết  x - 4  +  x - 9  =5 Lập bảng xét dấu: x 4 9 x-4 0 + + x-9 0 + Xét các trường hợp xảy ra, trong đó với x  9 thì đẳng thức trở thành: x - 4 + x - 9 = 5. Khi đó x = 9 thỏa mãn x  9, như vậy nếu không kết hợp với x = 9 để x – 9 = 0 mà chỉ xét tới x  9 để x - 9  0 thì sẽ bỏ qua mất giá trị x = 9 1.4. Dạng 4: |A(x)| + |B(x)| = 0 1.4.1. Cách tìm phương pháp giải: Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị tuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm).Vậy 12 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than tổng của hai số không âm bằng không khi nào? (cả hai số bằng 0). Vậy ở bài này tổng trên bằng 0 khi nào? (A(x) = 0 và B(x) = 0). Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện: A(x) = 0 và B(x) = 0. 1.4.2. Phương pháp giải: Ta tìm x thoả mãn hai điều kiện A(x) = 0 và B(x) = 0. 1.4.3. Ví dụ: Tìm x biết: |x + 1| + |x 2 + x| = 0 Bài giải: |x + 1| + |x 2 + x| = 0  |x + 1| = 0 và |x2 + x| =0 + Xét |x + 1| = 0  x+1=0  x = -1 (1) + Xét |x 2 + x| = 0  x2 + x = 0  x(x + 1) = 0 x  0   x 1 0  x  0 x  1  (2) Từ (1) và (2) suy ra x = -1 Chú ý: Ở dạng này tôi lưu ý cho học sinh khi tìm được giá trị đề bài yêu cầu thì giá trị đó cần phải thay vào các đẳng thức |A(x)| = 0 và |B(x)| = 0 sao cho hai đẳng thức này thỏa mãn. 1.5. Dạng: |A(x)| < B hoặc |A(x)| >B. 1.5.1. Phương pháp giải: - Trường hợp |A(x)| < B  - B < A(x) < B (B là hằng số dương) - Trường hợp |A(x)| > B  A(x) > B hoặc A(x) < -B Việc đưa ra phương pháp giải cụ thể, nhấn mạnh dấu của biểu thức giúp các em dễ dàng giải được bài tập, tránh mắc sai lầm trong lời giải. 13 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than 1.5.2. Ví dụ: Tìm x, biết: |3 – 8x| < 19 Bài giải: |3 – 8x| < 19  - 19 < 3 – 8x < 19  2  x  11 4 Chú ý: Sau khi học sinh hiểu được cách giải dạng toán này sẽ vận dụng linh hoạt vào các dạng toán khác có liên quan đến giá trị tuyệt đối, chuẩn bị cơ sở vững chắc cho việc giải bất phương trình (toán 8). 2. Dạng mở rộng: Từ những dạng cơ bản đó đưa ra các dạng bài tập mở rộng khác về loại toán này: dạng lồng dấu, dạng chứa từ 3 dấu giá trị tuyệt đối trở lên. 2.1. Dạng lồng dấu giá trị tuyệt đối: 2.1.1. Cách tìm phương pháp giải: Với bài tập chứa lồng dấu giá trị tuyệt đối trước hết tôi cũng hướng dẫn học sinh xác định dạng bài, rồi tìm cách giải quyết, xét xem cần bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách nào? Phải trải qua mấy lần? Và áp dụng cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối nào? (Chẳng hạn bỏ dấu từ ngoài vào trong để đưa bài tập từ phức tạp đến đơn giản.) 2.1. 2. Phương pháp giải: Ta phá dấu giá trị tuyệt đối theo thứ tự từ ngoài vào trong. Tuỳ theo đặc điểm của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối thuộc dạng cơ bản nào thì ta áp dụng phương pháp của dạng cơ bản đó. 2.1.3. Ví dụ: Tìm x biết: ||x - 5| + 9| = 10 Bài giải: ||x - 5| + 9| = 10 |x - 5| + 9 = 10 hoặc |x - 5| + 9 = -10 + Xét |x - 5| + 9 = 10  |x - 5| = 1 14 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than  x5 1    x  5  1 x  6   x  4 + Xét |x - 5| + 9 = -10  |x - 5| = -19 (loại vì |x - 5|  0) Vậy x = 6 hoặc x = 4. Chú ý: Qua ví dụ tôi lưu ý cho các em kĩ hơn các bước làm vì dạng toán này khó hơn các dạng toán trước dễ nhầm lẫn hơn. 2.2. Dạng chứa ba dấu giá trị tuyệt đối trở lên: 2.2.1. Cách tìm phương pháp giải: Với dạng này có nên dùng cách xét các giá trị của các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối không? (Không nên dùng vì cách đó lâu và rối), vậy nên phá các giá trị tuyệt đối bằng cách nào nhanh, gọn hơn? (Lập bảng xét dấu để bỏ giá trị tuyệt đối). 2.2.2. Phương pháp giải: Với dạng này học sinh nên xét các khoảng giá trị, lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối. 2.2.3. Ví dụ: Tìm x biết:  x - 1 - 2 x - 2 + 3 x - 3 = 4 (1) Bài giải : Xét x - 1 = 0  x=1 x–2=0  x=2 x–3=0  x=3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x - 1; x - 2; x - 3 sau: x 1 x-1 - x-2 - - x-3 - - *Xét: x ≤ 1 (1)  0 2 + 0 + + + + - 1 - x – 2(2 – x) + 3(3 – x) = 4  3 1 – x – 4 + 2x + 9 – 3x = 4 15 0 + Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than  *Xét 1 < x ≤ 2: (1)  x = 1 (thỏa mãn) x - 1 - 2(2 - x) + 3(3 - x) = 4  x - 1- 4 + 2x + 9 - 3x = 4  0x = 0 (thoả mãn với mọi x)  1 3 (1)  x - 1 - 2(x - 2) + 3(x - 3) = 4  x - 1 - 2x + 4 + 3x - 9 = 4  x = 5 (thỏa mãn) Vậy: 1 ≤ x ≤ 2 và x = 5 Nhận xét : Với dạng toán này tôi luôn lưu ý các em về việc lập bảng xét dấu và xét hết các trường hợp. Sau khi xét riêng từng trường hợp thì phải kết hợp lại và rút ra kết luận. 3. Phương pháp giải và cách tìm phương pháp giải: Sau khi giới thiệu cho học sinh hết các dạng bài tôi chốt lại cho học sinh: 3.1. Phương pháp giải dạng toán “tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối”: Phương pháp 1: Sử dụng tính chất |A| = |-A| và |A|  0 để giải các dạng |A| = |-A| và |A(x)| = |B(x)|, |A(x)| = B(x). Phương pháp 2: Xét khoảng giá trị của biến (dựa vào định nghĩa) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, thường sử dụng để giải đối với dạng |A(x)| = B(x) hay |A(x)| = |B(x)| + C (nhưng đây là dạng cơ bản nhất để giải loại toán này). Phương pháp 3: Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối để xét các trường hợp xảy ra, áp dụng đối với đẳng thức chứa từ hai dấu giá trị tuyệt đối trở lên. 3.2. Cách tìm tòi phương pháp giải: 16 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than Bản chất của phương pháp giải các dạng bài tập tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, đó là tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối. + Trước tiên ta phải xác định được dạng bài rơi vào dạng đặc biệt không. Nếu là dạng đặc biệt |A| = B (B  0) hay |A| = |B| thì áp dụng tính chất về giá trị tuyệt đối (giải bằng phương pháp 1 đã nêu) không cần xét tới điều kiện của biến. + Khi đã xác định được dạng cụ thể chọn cách nhanh gọn hơn để giải. + Khi chọn được phương pháp giải thì giải bài toán, đồng thời giải xong thì phải đối chiếu kết quả tìm được để kết luận giá trị của biến tìm được có phù hợp với điều kiện không, tránh đề thừa hoặc thiếu kết quả. IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm. Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào giảng dạy học sinh lớp tôi dạy đã biết cách làm các dạng bài toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức và bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối một cách nhanh và gọn. Học sinh không còn lúng túng và thấy ngại khi gặp dạng bài tập này, các em yêu thích môn học hơn, chất lượng bộ môn tăng lên, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi hiệu quả hơn. Trong 2 năm áp dụng liên tiếp vào quá trình giảng dạy tôi đã thu hoạch được một số kết quả có sự chuyển biến khá rõ rệt. Cụ thể khi điều tra 30 học sinh lớp 7 trường THCS Mường Than với đề bài sau: Tìm x biết: a) |5x + 4| + 7 = 26 b) 8 - |4x +1| = x + 2 c) |2x – 5| + 4 > 25 Kết quả nhận được như sau: - Học sinh của tôi không còn lúng túng về phương pháp giải cho từng dạng bài trên. - Biết lựa chọn cách giải hợp lí, nhanh, gọn. - Hầu hết đã trình bày được lời giải chặt chẽ. - Đã biết trình bày nhiều cách giải khác nhau trong mỗi dạng toán. * Kết quả cụ thể như sau: Giỏi Năm học Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 2011 - 2012 4 13,3 12 40 12 40 2 6,7 2012 - 2013 7 23,3 15 50 8 26,7 0 0 17 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than PHẦN KẾT LUẬN I. Những bài học kinh nghiệm. Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau: - Đối với học sinh: + Đối với học sinh yếu kém: Cần có một quá trình liên tục được củng cố và sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng nắm được phương pháp, cho học sinh bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung sách giáo khoa, chú ý sửa ngay các lỗi nhỏ, nhấn mạnh, thường xuyên quan tâm tới các em. + Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh chỉ nắm chắc các phương pháp cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và việc vận dụng từng phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự học, gợi sự say mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức. + Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp nâng cao khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải toán tốt hơn. Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em. - Đối với giáo viên: Khi nghiên cứu đề tài này tôi đã rút ra một số bài học cho bản thân trong việc bồi dưỡng học sinh khá - giỏi. Những bài học đó là: + Hệ thống kiến thức bổ trợ cho dạng toán sắp dạy. + Hệ thống các phương pháp cơ bản để giải loại toán đó, phân chia dạng và dạy học phù hợp với đối tượng học sinh, đối tượng vùng miền. + Khái quát hoá, tổng quát hoá từng dạng, từng loại bài tập. 18 Nguyễn Mạnh Hùng Giáo viên Trường THCS Mường Than + Tham gia học tập bồi dưỡng chuyên môn, tập trung tìm ra giải pháp hoàn thành tốt công tác giảng dạy. + Tìm tòi, khai thác sâu kiến thức. Sưu tầm và tích luỹ nhiều bài toán, sắp xếp thành từng loại để khi dạy sẽ giúp học sinh nắm vững dạng toán. + Trao đổi với đồng nghiệp để sáng tỏ hơn các nội dung kiến thức. + Khảo sát, kiểm tra thường xuyên để ghi nhận sự tiến bộ của các em và động viên kịp thời để nâng cao hiệu quả giảng dạy. II. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm. - Qua việc phân loại và tìm hiểu bản chất của dạng toán này các em học sinh có thể nhận dạng, bài toán đó thuộc dạng bài toán nào, từ đó các em tìm được đầy đủ các yếu tố có liên quan cần thiết để có thể giải bài toán nhanh nhất. - Việc phân loại và đưa ra các phương pháp giải dạng toán này giúp bản thân tôi và các bạn đồng nghiệp có cơ hội trao đổi và tìm ra phương pháp dạy dạng toán này đạt hiệu quả cao, nâng chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi. - Các em có thêm lòng say mê, không ngại khó khi học toán. III. Khả năng ứng dụng triển khai. Những kinh nghiệm trên có thể được triển khai phổ biến và áp dụng rộng rãi trong chương trình toán THCS (đặc biệt ở lớp 7), làm cơ sở cho việc học phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức cho năm học sau. IV. Những kiến nghị đề xuất. Để sáng kiến kinh nghiệm trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả cần phải có lượng thời gian nhất định. Vì vậy tôi xin có một vài kiến nghị sau: - Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về thời gian, không gian, tổ chức các chuyên đề cấp trường để giáo viên có thể áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy. - Đối với phòng giáo dục: Tổ chức các cuộc hội thảo về công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, đây là cơ hội tốt để mỗi giáo viên chúng tôi được gặp gỡ, trao đổi, bày tỏ quan điểm để vững vàng về chuyên môn nghiệp vụ. Trên đây là một số kinh nghiệm của tôi trong việc dạy học sinh khá, giỏi giải một dạng toán. Rất mong được sự ủng hộ đóng góp ý kiến của các bạn đồng 19