SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA
TRƯỜNG THPT PHAN BỘI CHÂU
TỔ VẬT LÍ
-----------***-------------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI :
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC
TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU
Người thực hiện
ĐẶNG THANH HỒNG
Cam Ranh, ngày 20 tháng 05 năm 2014
Trang 1
I/ Đặt vấn đề.
1/ Lý do chọn đề tài :
Vật lý là môn khoa học cơ bản nên việc dạy vật lý trong trường phổ thông phải giúp học sinh nắm
được kiến thức cơ bản, trọng tâm của bộ môn, mối quan hệ giữa vật lý và các môn khoa học khác để vận
dụng các quy luật vật lý vào thực tiễn đời sống. Vật lý biểu diễn các quy luật tự nhiên thông qua toán học
vì vậy hầu hết các khái niệm, các định luật, quy luật và phương pháp… của vật lý trong trường phổ thông
đều được mô tả bằng ngôn ngữ toán học, đồng thời cũng yêu cầu học sinh phải biết vận dụng tốt toán học.
Vật lý là môn khoa học khó vì cơ sở của nó là toán học, bài tập Vật lý rất đa dạng và phong phú.
Trong chương trình Vật lý 12, bài tập về điện xoay chiều là một phần quan trọng và chiếm tỉ
trọng lớn trong đề thi của các kì thi Quốc gia hiện hành, đây cũng là một phần có lượng kiến thức lớn và
khó đối với nhiều học sinh Trung Học Phổ Thông. Với lí do đó, tôi chọn nghiên cứu đề tài: “PHÂN
LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU”
2/ Mục đích nghiên cứu:
Tìm một phương pháp để tạo ra không khí hứng thú và lôi cuốn nhiều học sinh tham gia giải các
bài tập về điện xoay chiều, đồng thời giúp các em đạt được kết quả cao trong các kì thi.
Nghiên cứu phương pháp giảng dạy bài tập vật lý với quan điểm tiếp cận mới “PHÂN LOẠI VÀ
PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU”
3/ Đối tượng nghiên cứu:
Các tiết bài tập của “ Chương IV: Điện xoay chiều” môn vật lý 12 ban cơ bản
Đối tượng sử dụng đề tài: Học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp và thi tuyển sinh Đại học, Cao
đẳng.
4/ Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu lí thuyết.
Giải các bài tập vận dụng.
Xác định đối tượng học sinh áp dụng đề tài.
Đưa ra một số công thức, ý kiến chưa ghi trong sách giáo khoa nhưng được suy ra khi giải một số
bài tập điển hình.
Kiểm tra sự tiếp thu của học sinh bằng các đề ôn luyện.
Đánh giá, đưa ra sự điều chỉnh bổ sung cho phù hợp.
5/ Phạm vi và giới hạn nghiên cứu:
*Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 12, ôn thi tốt nghiệp và đại học.
Trang 2
*Giới hạn nghiên cứu: chương trình vật lý 12 phần dòng điện xoay chiều: bài toán cực trị trong dòng
điện xoay chiều và một số trường hợp vận dụng.
II/ Giải quyết vấn đề :
1/ Cơ sở lý luận:
Hiện nay giải bài tập về dòng điện xoay chiều đòi hỏi giáo viên phải cung cấp cho học sinh những
phương pháp giải bài tập tối ưu nhất, chính xác nhất và nhanh nhất để tiết kiệm thời gian trong quá trình
làm bài tập và bài thi, việc ứng dụng phương pháp cực trị, giúp học sinh vận dụng toán học để giải nhanh
bài tập về dòng điện xoay chiều.
2/ Thực trạng:
*Thuận lợi :
Các bài tập áp dụng trong đề tài này có thể có nhiều cách để giải tuy nhiên với mỗi bài tập, học
sinh phải phân tích kỹ đề bài để từ đó chọn phương pháp giải phù hợp nhất.
Những bài tập đề nghị nhằm giúp các em học sinh lựa chọn cách giải phù hợp để rèn luyện kỹ
năng và phương pháp làm bài.
*Khó khăn:
Việc giải bài tập này đòi hỏi học sinh không những có kiến thức vững vàng và nắm được bản chất
vật lý mà còn phải có kiến thức cơ bản về toán học tối thiểu như : Tính chất của phân thức đại số; Tính
chất của các hàm số lượng giác ; Bất đẳng thức Cô-si và đặc biệt là công cụ đạo hàm của hàm số…
3/ Các biện pháp:
3.1. Những kiến thức toán học bổ trợ
3.1.1. Tính chất của phân thức đại số
Xét một phân số P =
A
, trong điều kiện A là hằng số dương, thì phân số P đạt giá trị lớn nhất nếu
B
mẫu số B nhỏ nhất.
3.1.2. Tính chất của các hàm số lượng giác
Đối với các hàm số lượng giác :
+ y = sinx thì y max = 1 khi x = /2 + k
(kZ)
+ y = cosx thì y max = 1 khi x = k
(kZ)
3.1.3. Bất đẳng thức Cô-si
Với hai số thực dương a,b thì ta luôn có : a + b 2 ab
Trang 3
Điều kiện để đẳng thức xảy ra là: a = b, và nếu ab không đổi thì khi đó tổng (a + b) bé nhất
3.1.4. Tính chất đạo hàm của hàm số
Xét hàm số y = f(x); (x R) có đạo hàm tại x = xo và liên tục trong khoảng chứa xo. Nếu hàm số đạt cực
trị tại x = xo thì f’(xo) = 0
Và :
+ Nếu f’’(xo) > 0 thì xo là điểm cực tiểu.
+ Nếu f’’(xo) < 0 thì xo là điểm cực đại.
3.2. Những trường hợp vận dụng cụ thể
3.2.1. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu điện thế hai đầu ổn định : u U 0 cos(t u )
R
L,R0
R là một biến trở, các giá trị R0, L và C không đổi.
C
Gọi Rtd = R + R0
A
B
a. Có hai giá trị R1 R2 cho cùng một giá trị công suất
- Công suất tiêu thụ trên mạch là : P Rtd I 2 Rtd
U2
Rtd2 ( Z L Z C ) 2
- Vì P1 = P2 = P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một số không đổi ứng với hai
giá trị R1 và R2 . Khai triển biểu thức trên ta có:
PRtd2 U 2 Rtd2 P ( Z L Z C ) 2 0
- Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2 trên có hai nghiệm
phân biệt R1 và R2. Theo định lý Viet
R1td .R2td ( Z L ZC )2
( R1 R0 )( R2 R0 ) ( Z L Z C ) 2
điều kiện R0 < Z L Z C
U2
U2
R1td R2td
R1 R2 2 R0
P
P
- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R1 và R2 khác nhau cho cùng giá trị công suất
b. Giá trị của R làm cho công suất cực đại
+ Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại
- Ta có: P Rtd I 2 Rtd
- Đặt A Rtd
U2
Rtd2 ( Z L ZC )2
U2
(Z L Z C )2
Rtd
Rtd
(Z L Z C )2
, áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A
Rtd
(Z L Z C )2
( Z L ZC ) 2
- A Rtd
2 Rtd
2 Z L Z C const
Rtd
Rtd
Trang 4
- Ta thấy rằng Pmax khi Amin => “ =” xảy ra. Vậy: Rtd Z L Z C
- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:
Pmax
U2
U2
U2
2 Z L Z C 2 R1td .R2 td 2 ( R1 R0 )( R2 R0 )
Với R1td và R2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất.
Lưu ý: Khi Z L Z C R0 thì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến trở làm cho công suất
toàn mạch cực đại là R = 0.
+ Giá trị R làm cho công suất của R cực đại
- Công suất của biến trở R là PR R I 2 R
- Đặt mẫu của biểu thức trên là :
U2
U2
( R R0 )2 ( Z L Z C ) 2 ( R R0 )2 ( Z L Z C ) 2
R
( R R0 ) 2 (Z L Z C )2
R02 (Z L Z C )2
A
R
2 R0
R
R
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được:
A R
R02 (Z L Z C )2
R 2 (Z L Z C )2
2 R0 2 R 0
2 R0 2 R02 (Z L Z C ) 2 2 R0 const - Ta thấy
R
R
rằng PRmax khi Amin nghĩa là dấu “ =” phải xảy ra, khi đó:
- Công suất cực đại của biến trở R là: PR max
R R02 (Z L ZC )2
U2
2 R02 ( Z L Z C ) 2 2 R0
+ Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điện cực đại, hiệu điện thế cuộn dây
cực đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại.
- Ta có :
Pdây R0 I 2 ;U d I Z L2 R02 ;U c IZ C
I
U
2
( R R0 ) ( Z L Z C )2
- Vì R0 ; ZL; ZC và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần cường độ dòng
điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng I max khi giá trị của biến trở R = 0.
c. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R
- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người ta thường dùng
phương pháp khảo sát hàm số:
- Ta có công suất toàn mạch biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:
Trang 5
P Rtd I 2 Rtd
U2
Rtd2 ( Z L Z C ) 2
Rtd R R0
- Đạo hàm P theo biến số Rtd ta có: P ' ( R) U 2
( Z L ZC )2 Rtd2
( Rtd2 ( Z L Z C ) 2 )2
Khi P ' ( R ) 0 (Z L Z C ) 2 Rtd2 0 Rtd Z L ZC R Z L Z C R0
Bảng biến thiên :
R
0
P’(R)
+
0
Pmax
P(R)
P R0
+
Z L Z C R0
-
U2
2 Z L ZC
U2
R02 ( Z L ZC ) 2
0
Đồ thị của P theo R:
P
Pmax
Pmax
U2
P R0 2
R0 (ZL ZC )2
U2
2 Z L ZC
P
0
R1
R
R2
R=ZL - ZC - R0
Nhận xét đồ thị :
a. Từ đồ thị ta thấy rằng có hai giá trị R1 và R2 cho cùng một giá trị
của công suất.
b. Công suất đạt giá trị cực đại khi R Z L Z C R0 0
c. Trong trường hợp R Z L Z C R0 0 thì đỉnh cực đại nằm ở phần
R< 0 do đó ta thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0.
d. Nếu R0 = 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R
làm cho công suất của toàn mạch cực đại là R Z L Z C
Trang 6
Kết luận:
e. Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1
và 2 sẽ không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng thức Cauchy.
f. Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo biến trở R nhằm
định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi điện trở.
d. Tìm điều kiện để UAN hoặc UMB có giá trị không đổi và không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R
A
L
M
N
R
C
B
Cho mạch điện như hình vẽ: Điện trở R có giá trị thay đổi, L và C không đổi.
điện áp giữa hai đầu đoạn mạch u = U0 cos(t )
+ TH1: Tìm điều kiện để UAN có giá trị không đổi và không phụ thuộc vào giá trị điện trở R.
Ta có biểu thức
U AN IZ AN
U R 2 Z L2
R 2 (Z L Z C ) 2
U R 2 Z L2
R 2 Z L2 2 Z L Z C Z C2
U
1
Z C2 2Z L Z C
R 2 Z L2
Nhận xét : Nếu Z C2 2Z L Z C 0 Z C 2 Z L với R thì UAN = U = hằng số
+TH2: Tìm điều kiện để UMB có giá trị không đổi và không phụ thuộc vào giá trị điện trở R.
Ta có biểu thức
U MB IZ MB
U R 2 Z C2
2
R (Z L Z C )
2
U R 2 Z C2
2
2
L
R Z 2Z L Z C Z
2
C
U
1
2
L
Z 2Z L Z C
R 2 Z C2
Nhận xét : Nếu Z L2 2 Z L Z C 0 Z L 2Z C với R thì UMB = U = hằng số
Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là:
u 150 2 cos(100t ) V, L
1, 4
1
H,C=
10 4 F . Tìm R để:
2
a) Mạch tiêu thụ công suất P = 90W và viết biểu thức của cường độ dòng điện trong mạch khi đó.
b) Công suất tỏa nhiệt trên mạch cực đại Pmax và tính giá trị Pmax
Hướng dẫn giải:
Ta có: Z L 200, Z C 125, U 150V
a) Công suất của mạch tiêu thụ chính là công suất tỏa nhiệt trên điện trở R:
U2
150 2
P I 2 R 90 2 R 2
90 90 R 2 150 2 R 90.75 2 0
2
Z
R 75
Trang 7
R = 225
R = 25
Với R = 225 Z 225 2 75 2 75 10 I 0
U 0 150 2
2
( A)
Z
75 10
5
Độ lệch pha của u vµ i thỏa mãn
tan
Z L ZC
75 1
1
1
arctan( ) u i i arctan( )
R
225 3
3
3
1
cos 100t arctan ( A )
5
3
2
Biểu thức cường độ dòng điện là i =
Với R 25 Z 25 2 75 2 25 10 ( ) I 0
U 0 150 2
6
( A) .
Z
25 10
5
Độ lệch pha của u vµ i thỏa mãn:
tan
Z L Z C 75 1
1
1
arctan( ) u i i arctan( )
R
25 3
3
3
1
cos 100t arctan ( A )
5
3
6
Biểu thức cường độ dòng điện là: i =
P = I2R
U2
U2
R
R
Z2
R 2 (Z L Z C ) 2
(Z L Z C ) 2
U2
U2
víi
y
=
R
y
R
(Z Z C ) 2
R L
R
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
(Z L Z C ) 2
Z Z
y= R
2 R. L C 2 Z L Z C y min 2 Z L Z C
R
R
Dấu bằng xảy ra khi R
(Z L Z C ) 2
R Z L Z C 75 ( )
R
Khi đó công suất cực đại của mạch
Pmax
U2
U2
150 2
150(W )
y min 2 Z L Z C
2.75
Vậy khi R = 75 ( ) thì Pmax = 150(W)
Ví dụ 2: (Đại học – 2009)
Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp
với tụ điện. Dung kháng của tụ điện là 100Ω. Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị R1 và R2 công suất tiêu
thụ của đoạn mạch như nhau. Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R1 bằng hai lần điện áp
hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R2. Các giá trị R1 và R2 là:
A. R1 = 50Ω, R2 = 100Ω.
B. R1 = 40Ω, R2 = 250Ω.
C. R1 = 50Ω, R2 = 200Ω.
D. R1 = 25Ω, R2 = 100Ω.
Trang 8
Hướng dẫn giải:
U2
U2
R
R2 R1 R22 Z C2 R2 R12 Z C2
1
R12 Z C2
R22 Z C2
Theo giả thiết ta có P1 = P2 I 12 R1 I 22 R2
Sau khi biến đổi ta được R1 R2 Z C2 R1 R2 100 2 (1)
Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi
2
I
R
R = R2 . Khi đó theo bài ta được P1 P2 I R1 I R2 2 1 4 (2)
R1 I 2
2
1
2
2
Giải (1) và (2) ta được R1 = 50Ω, R2 = 200Ω.
Ví dụ 3: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến trở R được
mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện thế xoay chiều u = 120 2 cos(120t ) (V ) . Biết
rằng ứng với hai giá trị của biến trở: R1 = 18Ω và R2 = 32Ω thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như
nhau. Công suất P của đoạn mạch có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
Hướng dẫn giải:
Theo chứng minh công thức ở trên ta được P
U2
120 2
288(W )
R1 R2 18 32
10 4
Ví dụ 4: Một mạch điện gồm một tụ điện C =
( F ) , một cuộn cảm
2
A
L=
R
C
L
N
1
( H ) thuần cảm kháng và một biến trở R được mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu
điện thế xoay chiều u= 150 2 cos(120t ) (V ) . Tìm giá trị UAN để UAN không phụ thuộc vào giá trị của
điện trở R.
Hướng dẫn giải:
ZL = 100( ), ZC = 200( )
U AN IZ AN
U R 2 Z L2
R 2 (Z L Z C ) 2
U R 2 Z L2
R 2 Z L2 2 Z L Z C Z C2
U
1
Z C2 2Z L Z C
R 2 Z L2
Nhận xét : Nếu Z C2 2Z L Z C 0 Z C 2 Z L với R thì UAN = U = hằng số = 150(V)
Trang 9
B
3.2.2. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : u U 0 cos(t u )
R
L là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi, R và C không đổi.
C
L
A
B
a. Có hai giá trị L1 L2 cho cùng giá trị công suất
- Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:
U2
U2
R
R 2 (Z L1 ZC )2
R 2 (Z L2 Z C )2
P1 P2 R
- Khai triển biểu thức trên ta thu được :
2
Z L1 Z C
Z L1 Z C Z L 2 Z C (loại)
2
(Z L2 Z C )
Z L1 Z C ( Z L 2 Z C ) (thỏa mãn)
Suy ra : Z C
Z L1 Z L2
2
L1 L2
2
2C
b. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng ZL
U2
+ Ta có công suất toàn mạch là: P R 2
R (ZL ZC )2
với R, C là các hằng số, nên công suất của mạch là một hàm số theo biến số ZL
+ Đạo hàm của P theo biến số ZL ta có:
P ' ( Z L ) 2U 2 R
ZC ZL
R
2
(Z L Z C )
2 2
P ' ( Z L ) 0 khi Z L ZC
+ Bảng biến thiên
ZL
0
P’(ZL)
ZL = ZC
+
0
Pmax
P(ZL)
PR
U2
R2 ZC 2
+
-
U2
R
0
Đồ thị của công suất theo ZL :
Trang 10
P
Pmax
U2
R
Pmax
U2
PR 2
R ZC 2
P
0
ZL1
ZL2
ZL = ZC
ZL
* Nhận xét đồ thị:
- Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất
- Công suất của mạch cực đại khi Z L ZC
Z L1 Z L2
2
UL
, với Z L1 ; Z L2 là
U
hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất.
Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của
ZL sẽ cho phép định tính được sự tăng hay giảm của P theo ZL. Từ đó ta
0
có thể tiên đoán được sự thay đổi của công suất theo giá trị của Z L
UR
i
trong một số bài toán.
c. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax
UC
+ Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là U L IZ L Z L
U
R 2 ( Z L Z C )2
URC
,
trong đó R; ZC và U là các hằng số không đổi. Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số này theo biến
số là ZL. Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp. Với phương pháp dùng giản đồ Vectơ bài
toán này có thể giải dễ hơn và rút ra nhiều kết luận hơn.
+ Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác ta có :
+ Vì sin cos
UR
U RC
R
R 2 ZC2
const , suy ra U L
UL
U
sin( ) sin
U
U
sin( )
sin( )
sin
cos
+ Do cos và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế ULmax khi sin( ) 1
2
+ Theo hệ thức của tam giác vuông ta có: U RC
U CU L , từ đó suy ra Z L ZC R 2 Z C2
Trang 11
2
* Tóm lại:
- Khi Z L
U R2 U C2
R 2 ZC2
=U
R
UR
R 2 ZC2
thì U L max U
ZC
- Khi ULmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn uRC một góc 900.
d. Có hai giá trị L1 L2 cho cùng giá trị UL, giá trị L để ULmax tính theo L1 và L2.
+ Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:
U L1 U L2 Z L1 I1 Z L2 I 2
Z L1
R 2 ( Z L1 ZC ) 2
Z L2
R 2 ( Z L2 ZC )2
+ Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:
Z L21
R 2 ZC2 Z L21 2Z L1 ZC
Z L22
R 2 Z C2 Z L22 2 Z L2 ZC
* Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại thì Z L ZC R 2 Z C2 với giá
trị ZL là giá trị làm cho ULmax . Thay vào biểu thức trên:
Z L21
Z L Z C Z L21 2Z L1 Z C
Z L22
Z L ZC Z L22 2Z L2 Z C
+ Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được: ( Z L21 Z L22 ) Z L 2Z L1 Z L2 ( Z L1 Z L2 )
+ Vì L1 L2 nên đơn giản biểu thức trên ta thu được:
ZL
2Z L1 Z L2
Z L1 Z L2
L
2 L1 L2
với L là giá trị làm cho ULmax
L1 L2
e. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULRmax
+ Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :
2
2
L
U LR I R Z
U R 2 Z L2
2
R (Z L Z C )
2
U
2
R (Z L ZC )
R 2 Z L2
2
U
=
1
2
C
Z 2Z L Z C
R 2 Z L2
U
1 y
2 Z C ( Z L2 Z C Z L R 2 )
ZC2 2 Z L Z C
'
Đặt y=
y
y ' 0 Z L2 Z C Z L R 2 0 .
2
2
2
2 2
R ZL
(R Z L )
Z 4 R 2 Z C2
Z L1 C
0
2
Nghiệm của phương trình bậc hai này là:
.
2
2
Z L ZC 4 R Z C 0
2
2
Lập bảng biến thiên ta có:
Trang 12
ZL
ZL
0
MT’(ZL)
ZC 4 R 2 Z C2
2
-
+
0
+
4R2 Z 2 Z
C
C
2R
MT (ZL)
2
+ Từ bảng biến thiên ta thấy rằng MT đạt giá trị nhỏ nhất nên ULR đạt giá trị lớn nhất. Ta thu được kết quả
sau:
ZC 4 R 2 Z C2
2UR
Khi Z L
thì U RLMax
2
2
4 R Z C2 ZC
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ. Trong đó R 100 3 , C =
10 4
( F ) . Cuộn dây thuần cảm có độ
2
tự cảm L thay đổi được. Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là u = 200cos(100πt) (V). Xác định độ tự cảm
của cuộn dây trong các trường hợp sau:
a) Hệ số công suất của mạch cosφ = 1.
R
b) Hệ số công suất của mạch cosφ =
3
.
2
C
L
A
B
c) Điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm L là cực đại.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có ZC
cos 1
1
200()
C
R
1
1 R Z ZL ZC L 2
Z
C
1
4
(100 ) 2 .
10
2
2
(H )
b) Hệ số công suất
cos
3
R
3
2
2 R 3Z 4 R 2 3 R 2 Z L Z C R 2 3( Z L Z C ) 2
2
Z
2
Trang 13
Khi Z L Z C
R
3
ZL = 300
L=
3
(H)
ZL = 100
L=
1
(H)
c) Theo chứng minh trên ta được khi
ZL
R 2 Z C2 (100 3 ) 2 200 2
35
350() L
( H ) thì điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại.
ZC
200
10
Giá trị cực đại: U L max
U
100 2
100 42
R 2 Z C2
(100 3 ) 2 200 2
(V )
R
3
100 3
Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là u 170 2 cos(100t )(V ) .
Các giá trị R = 80 , C =
10 4
( F ) . Tìm L để:
2
a) Mạch có công suất cực đại. Tính P max.
b) Mạch có công suất P = 80W.
c) Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu L đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
* Hướng dẫn giải:
Ta có R = 80 , Z C = 200
a) Công suất của mạch P = I2R. Do R không đổi nên:
P max I max Z L Z C 200 L
U 2 170 2
2
2
(H) Khi đó P max I max
R
(W )
R
80
2
P I 2R 200
U2
170 .80
R
80
80
Z2
802 (ZL 200)2
ZL = 350
L=
3,5
(H)
L=
0,5
(H)
ZL = 50
R 2 Z C2 80 2 200 2
232
c) Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại khi Z L
232() L
(H ) .
ZC
200
100
Giá trị cực đại U L max
U
170
R 2 Z C2
80 2 200 2 85 29 (V )
R
80
Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC, điện áp hai đầu mạch điện là u =200 2 cos(100πt) (V). L thay đổi được.
Trang 14
Khi mạch có L = L1 =
3 3
3
(H) và L = L2=
(H). Thì mạch có cùng cường độ dòng điện hiệu dụng
nhưng giá trị tức thời lệch pha nhau góc
2
.
3
a) Tính R và C
b) Viết biểu thức của i
Hướng dẫn giải:
Ta có ZL1 = 300 3 , ZL2 = 100 3
a) Do:
I 1 I 2 Z1 Z 2 R 2 (Z L1 Z C ) 2 R 2 ( Z L 2 Z C ) 2
Theo bài thì u1 và u2 lệch pha nhau góc
Z L1 Z C ZL2
Z L1 Z C Z C Z L 2
2
nên có một biểu thức là nhanh pha hơn i và một biểu thức
3
chậm pha hơn i. Do Z L1 300 3 () Z L 2 100 3 () nên u1 nhanh pha hơn i còn u2 chậm pha hơn i.
Khi đó 1 2
tan 1 tan 2
2
tan( 1 2 ) 3
3 (1)
3
1 tan 1 tan 2
Trong đó tan 1
Z L1 Z C 100 3
Z Z L 2 100 3
; tan 2 C
R
R
R
R
100 3 100 3
R
R 3
3.10 4 200
(1)
1 0
100 3 2
R
R2
1 (
)
R
Vậy các giá trị cần tìm là R = 100 ( ), C =
10
R = - 300 ( )
R = 100 ( )
4
2 3
(F )
b) Viết biểu thức của i
• Với R = 100 , ZC = 200 3 , ZL1 = 300 3 ( )
Tổng trở của mạch Z = 100 2 (100 3 ) 2 200() I 0
Độ lệch pha của u và i: tan
200 2
2 ( A)
200
Z L1 Z C 100 3
3 i (rad)
R
100
3
3
Biểu thức của cường độ dòng điện i là: i =
2 cos(100t
) ( A)
3
• Với R = 100 , ZC = 200 3 , ZL2 = 100 3 ( )
Tổng trở của mạch: Z = 100 2 (100 3 ) 2 200() I 0
Trang 15
200 2
2 ( A)
200
Độ lệch pha của u và i: tan
Z L 2 Z C 100 3
3 i (rad)
R
100
3
3
2 cos(100t
Biểu thức của cường độ dòng điện i là: i =
) ( A)
3
* Nhận xét: Cách giải trên là tổng quát cho trường hợp độ lệch pha bất kỳ. Tuy nhiên trong bài toán trên
chúng ta có thể nhận xét được rằng do cường độ dòng điện trong hai trường hợp bằng nhau nên trong hai
trường hợp đó độ lệch pha của u và i có cùng độ lớn. Khi đó u1 sẽ nhanh pha hơn i góc
là giải ra R luôn
3
chứ không cần phải khai triển công thức lượng giác.
3.2.3 Sự thay đổi C trong mạch R - L - C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)
R
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu thế hai đầu ổn định:
C
L
A
B
u U 0 cos(t u ) . R là điện trở, L là một cuộn dây thuần cảm
không đổi và C có giá trị thay đổi
Nhận xét: Vì trong công thức tổng trở Z R 2 (Z L Z C )2 R 2 ( ZC Z L ) 2 do đó ta thấy rằng bài toán
thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L. Do đó khi thực hiện việc khảo sát ta cũng
thực hiện tương tự thu được các kết quả sau:
a. Có hai giá trị C1 C2 cho cùng giá trị công suất P. Tìm C = C0 để Pmax
Với hai giá trị C1 và C2 cho cùng giá trị công suất ta có
C1C2
C
2
0
ZC1 ZC2
C1 C2
ZL
ZC0
1 1
2
2
2 L C C
1
2
Với giá trị C0 là giá trị làm cho công suất mạch cực đại
b. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng
-
Bảng biến thiên:
ZC
0
P’(ZC)
ZC = ZL
+
P(ZC)
0
+
-
U2
Pmax
R
U2
PR 2
R Z L2
0
Trang 16
Đồ thị của công suất theo giá trị ZC
P
U2
R
Pmax
Pmax
U2
PR 2
R Z L2
P
0
ZC1
ZC2
ZL = ZC
ZC
c. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCmax
Khi Z C
+ U CMax
R 2 Z L2
thì :
ZL
U R 2 Z L2
2
2
2
2
2
2
và U CM
ax U U R U L ; U CMax U LU CMax U 0
R
+ uRL vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch
d. Có hai giá trị C1 C2 cho cùng giá trị UC, giá trị ZC để UCmax
- Khi có hai giá trị C = C1 hoặc C = C2 cho cùng giá trị UC thì giá trị của C làm cho UCmax khi
1 1 1
1
C C2
(
)C 1
Z C 2 Z C1 Z C2
2
e. Giá trị ZC để hiệu điện thế URCmax
- Khi Z C
Z L 4 R 2 Z L2
2UR
thì U RCMax
(Với điện trở R và tụ điện mắc gần nhau).
2
4 R 2 Z L2 Z L
Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có R = 100( ), L =
1
( H ) , C thay đổi. Điện áp hai đầu đoạn mạch u =
100 2 cos(100πt) (V). Tìm C để:
a) Mạch tiêu thụ công suất P = 50W
b) Mạch tiêu thụ công suất cực đại. Tính P max
c) UC max
* Hướng dẫn giải:
a) Ta có R = 100( ), ZL = 100( )
U2
100 2.100
P = I R = 50 2 R 50
50
Z
100 2 (100 Z C ) 2
2
100 – ZC = 100
100 – ZC = - 100
Trang 17
ZC = 0
→
ZC = 200( )
Nhận nghiệm ZC = 200(Ω) ta được C =
10 4
(F )
2
b) Công suất của mạch P = I2R. Do R không đổi nên:
Pmax I max
10 4
Z L Z C 0 Z C Z L 100() C
(F )
Khi đó Pmax = I
2
max
U 2 100 2
R
100(W )
R
100
c) Theo công thức đã chứng minh được điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ cực đại khi: Z C
R 2 Z L2
=
ZL
100 2 100 2
10 4
200 C
(F )
100
2
Khi đó U CMax
U R 2 Z L2 100
=
100 2 100 2 100 2 (V )
R
100
Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch:
u = 200 2 cos(100πt) (V) Khi C = C1=
10 4
10 4
(F) và C = C2 =
(F) thì mạch có cùng công suất P =
4
2
200(W).
a) Tính R và L.
b) Tính hệ số công suất của mạch ứng với C1, C2.
* Hướng dẫn giải
a) ZC1 = 400( ), Z C 2 200 () . Theo giải thiết ta có:
P P1 P2 200 I12 R I 22 R Z12 Z 22 Z L Z C1 Z C 2 Z L
ZL
Z C1 Z C 2
3
300 L ( H )
2
Với ZL = 300Ω P1 200
U2
200 2 R
R
200
200 R 2 200 R 100 2 0
2
2
2
2
R ( Z L Z C1 )
R 100
Giải phương trình ta được nghiệm duy nhất R = 100Ω. Vậy R 100, L
Trang 18
3
(H )
b) Tính hệ số công suất ứng với các trường hợp
•Khi C C1
10 4
R
100
1
( F ) Z 100 2 (300 400) 2 100 2 cos
4
Z 100 2
2
•Khi C C 2
10 4
R
100
1
( F ) Z 100 2 (300 200) 2 100 2 cos
2
Z 100 2
2
Nhận xét : Trong hai trường hợp L thay đổi và C thay đổi chúng ta thấy vai trò của L và C là bình đẳng
nên hoán đổi vị trí của L và C ta sẽ được kết quả. Vậy nên trong trắc nghiệm chúng ta chỉ cần nhớ kết quả
với C hoặc L.
(UC max) =
R 2 Z L2
U
R 2 Z L2 khi ZC =
R
ZL
(UL max) =
R 2 Z C2
U
R 2 Z C2 khi ZL =
R
ZC
3.2. 4 Sự thay đổi trong mạch R - L - C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm)
a. Giá trị làm cho Pmax, URmax, Imax
- Ta có P RI 2 R
U2
1
R2 L
C
mạch đạt giá trị cực đại khi: L
2
, từ công thức này ta thấy rằng công suất của
1
0 0
C
1
LC
. Với Pmax U
2
R
- Khi đó Zmin = R và hiệu điện thế giữa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua mạch đồng pha nhau.
b. Có hai giá trị 1 2 cho cùng công suất và giá trị làm cho Pmax
- Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì:
P1 P2 R
U2
R 2 (1 L
1 2
)
1C
R
- Biến đổi biểu thức trên ta thu được:
U2
1 2
)
2C
1
1
1 L
2 L
(1)
1C
2C
R 2 ( 2 L
1 L
- Vì 1 2 nên nghiệm (1) bị loại
- Khai triển nghiệm (2) ta thu được: 12
1
1
( 2 L
)(2)
1C
2C
1
LC
Trang 19
- Theo kết quả ta có : 02 12
1
với 0 là giá trị cộng hưởng điện.
LC
c. Khảo sát sự biến thiên công suất theo .
- Ta có P RI 2 R
U2
1
R2 L
C
2
. Việc khảo sát hàm số P theo biến số bằng việc lấy đạo hàm và
lập bảng biến thiên rất khó khăn vì hàm số này tương đối phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể thu được kết quả
đó từ những nhận xét sau:
+ Khi = 0 thì Z C
+ Khi 0
1
làm cho P = 0
C
1
thì mạch cộng hưởng làm cho công suất trên mạch cực đại
LC
+ Khi thì Z L L làm cho P = 0. Từ những nhận xét đó ta dễ dàng thu được sự biến thiên và
đồ thị:
0
0
1
LC
+
U2
R
P()
0
0
P
Pmax
P
0
1
1
LC
2
Nhận xét đồ thị
Từ đồ thị ta thấy rằng sẽ có hai giá trị 1 ≠ 2 cho cùng một giá trị công suất, điều này phù hợp với
những biến đổi ở phần trên.
d. Giá trị làm cho hiệu điện thế ULmax
Trang 20
- Xem thêm -