Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo án - Bài giảng Sáng kiến kinh nghiệm Skkn phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vận dụng...

Tài liệu Skkn phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vận dụng

.DOC
25
1143
77

Mô tả:

Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 I. ĐẶT VẤN ĐỀ Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của những người yêu thích toán học. Đối với học sinh, để có một kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi rất nhiều và bền bỉ. Đối với giáo viên: Làm thế nào để trang bị cho các em đầy đủ kiến thức? Đó là câu hỏi mà giáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân. Nội dung "Phân tích đa thức thành nhân tử" được học khá kỹ ở chương trình đại số lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên. Vì vậy, yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề vô cùng cần thiết và rất quan trọng. Trong nhiều năm gần đây tôi được phân công giảng dạy toán lớp 8, tôi nhận ra học sinh rất cứng nhắc, thiếu sáng tạo trong việc sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và gặp lúng túng, khó khăn khi giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liên quan. Nắm được tinh thần này trong quá trình giảng dạy toán lớp 8 tôi đã dày công tìm tòi, nghiên cứu, rút ra các ''kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' đa dạng và dễ hiểu. Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong SGK đã trình bày các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm các hạng tử, dùng hằng đẳng thức ... . Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi giới thiệu thêm một số ''kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' bằng cách sử dụng các phương pháp sáng tạo và đa dạng như: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp tìm nghiệm của đa thức ... .Đồng thời vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập. Khi lồng ghép sáng kiến này vào quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất thích thú và đạt được kết quả hết sức tốt, không những học sinh nắm vững Giáo viên: Bùi Tấn Vược 1 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 vàng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà còn rất linh hoạt và sáng tạo trong việc giải các bài tập có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử như bài toán giải phương trình, bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, bài toán tìm nghiệm nguyên ..., với tinh thần trên tôi quyết tâm thực hiện sáng kiến kinh nghiệm: '' Kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong huyện nhà. Giáo viên: Bùi Tấn Vược 2 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Giáo viên: Bùi Tấn Vược Năm học 2013-2014 3 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 II. NỘI DUNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1. Mục đích nghiên cứu: - Chỉ ra những phương pháp dạy loại bài “ Phân tích đa thức thành nhân tử” - Đổi mới phương pháp dạy học - Nâng cao chất lượng dạy học 1.2. Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu: 1.2.1. Nhiệm vụ:  Nhiệm vụ khái quát: Nêu các phương pháp dạy loại bài “ Phân tích đa thức thành nhân tử”  Nhiệm vụ cụ thể: - Tìm hiểu thực trạng học sinh - Những phương pháp đã thực hiện - Những chuyển biến sau khi áp dụng - Rút ra bài học kinh nghiệm 1.2.2. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp đọc sách và tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề 1.3. Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu: - Đề tài nghiên cứu “Phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vận dụng” - Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8 trường THCS Ba Động 2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU Từ năm học 2009 - 2010 đến nay, tôi được nhà trường phân công giảng bộ môn toán lớp 8. Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ thăm lớp của các giáo Giáo viên: Bùi Tấn Vược 4 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 viên trong trường, thông qua các kỳ thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Quy đồng mẫu thức, giải các loại phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vì lý do để giải được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng phân tích các đa thức thành nhân tử. Nếu như các em học sinh lớp 8 không có thủ thuật và kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thì việc nắm bắt các phương pháp để giải các dạng toán và kiến thức mới trong quá trình học toán là một vấn đề khó khăn. Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, ra phương pháp làm toán ở dạng cơ bản như các phương pháp thông thường mà còn phải dùng một số phương pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó. Người thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải được các dạng bài tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết quả tốt trong các kỳ thi. Từ đó tôi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phương pháp giải phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau. 3. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử là gì và ngoài giải những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử thì những dạng bài tập nào được vận dụng nó và vận dụng nó như thế nào ? - Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thành một tích của các đa thức. - Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toán khác. Giáo viên: Bùi Tấn Vược 5 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Ví dụ: + Bài toán chứng minh chia hết. + Rút gọn biểu thức + Giải phương trình bậc cao + Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất... 3.1. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 3.1.1. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử: Ví dụ 1: x4 + 5x3 +15x - 9 Giải: Đa thức đã cho có 4 số hạng không thể đặt ngay nhân tử chung hoặc áp dụng ngay các hằng đẳng thức, vì vậy ta nghĩ tới cách nhóm các số hạng hoặc thêm bớt số hạng. Ta có thể phân tích như sau: Cách 1: x4 + 5x3 + 15x - 9 = x4 - 9 + 5x3 + 15x = (x2 - 3) (x2 + 3) + 5x (x2 + 3) = (x2 + 3) (x2 - 3 + 5x) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Cách 2: x4 + 5x3 + 15x - 9 = x4 + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - 9 = x2 (x2 + 5x - 3) + 3 (x2 + 5x - 3) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Bài này cần lưu ý học sinh trong tập hợp số hữu tỉ đa thức x 2 + 5x - 3 không phân tích được nữa. Ví dụ 2: x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz. Giải: Đa thức đã cho có 7 số hạng lại không đặt nhân tử chung được mà có hạng tử 3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành 3 hạng tử để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử. x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz = x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz = x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy) = (xy + xz + yz) (x + y + z). Ví dụ 3: x2 + 6x + 8 Giáo viên: Bùi Tấn Vược 6 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Giải: Với các phương pháp đã biết như đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng hằng đẳng thức ta không thể phân tích được đa thức này. Nếu tách một số hạng thành hai số hạng để đa thức trở thành 4 số hạng thì có thể nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức ... Từ đó có nhiều khả năng biến đổi đa thức đã cho thành tích. Cách 1: x2 + 6x + 8 = x2 + 2x + 4x + 8 = x (x+2) + 4 (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 2: x2 + 6x + 9 - 1 = (x+3)2 - 1 = (x + 3 - 1) (x+ 3 +1) = (x+2) (x+4) Cách 3: x2 - 4 + 6x + 12 = (x-2) (x+2) + 6 (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 4: x2 + 6x + 8 = x2 - 16 + 6x + 24 = (x - 4) (x + 4) + 6 (x + 4) = (x + 4)(x - 4 + 6) = (x+2)(x+4). Ví dụ 4: x3 - 7x - 6 Giải: Ta có thể tách như sau: Cách 1: x3 - 7x - 6 = x3 - x - 6x - 6 = x (x2 - 1) - 6 (x + 1) = x (x - 1)(x + 1) - 6 (x + 1) = (x + 1)(x2 - x - 6) = (x + 1)(x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1)[ x (x - 3) + 2 (x - 3)] = (x + 1)(x + 2)(x - 3) Cách 2: x3 - 7x - 6 = x3 - 4x - 3x - 6 = x (x2 - 4) - 3 (x + 2) = x (x - 2) (x + 2) - 3 (x + 2) = (x + 2) (x2 - 2x - 3) = (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1) Cách 3: x3 - 7x - 6 = x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x2 + 3x + 9 - 7) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2) = (x - 3) (x + 2) (x + 1) Giáo viên: Bùi Tấn Vược 7 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Cách 4: x3 - 7x - 6 = x3 + 1 - 7x - 7 = (x + 1) (x2 - x + 1) - 7 (x + 1) = (x + 1) (x2 - x + 1 - 7) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 5: x3 - 7x - 6 = x3 + 8 - 7x - 14 = (x + 2) (x2 - 2x + 4 - 7) = (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3) = (x + 2) (x + 1) (x - 3) Cách 6: x3 - 7x - 6 = x3 - 9x + 2x - 6 = x (x - 3) (x + 3) + 2 (x - 3) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2). Chú ý: Cần lưu ý học sinh khi phân tích đa thức này phải triệt để, tức là kết quả cuối cùng không thể phân tích được nữa. Tất nhiên yêu cầu trên chỉ có tính chất tương đối vì nó còn phụ thuộc tập hợp số mà ta đang xét. Nếu phân tích không triệt để học sinh có thể gặp tình huống là mỗi cách phân tích có thể có một kết quả khác nhau. Chẳng hạn ở bài tập trên, cách 1, cách 4 có thể cho ta kết quả là: x3 - 7x - 6 = (x + 1) (x2 - x - 6). Cách 2, cách 5 cho kết quả là: x3 - 7x - 6 = (x + 2) (x2 - 2x - 3) Cách 3, cách 6 cho kết quả là: x3 - 7x - 6 = (x - 3) (x2 + 3x + 2) Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh chú ý sau: - Một đa thức dạng ax2 +bx + c chỉ phân tích được thành nhân tử trong tập hợp Q khi đa thức đó có nghiệm hữu tỉ   (hoặc  , ) là một số chính phương (trong đó  = b2 - 4ac (  , = b,2 - ac) - Một đa thức dạng ax2 + bx + c tách làm xuất hiện hằng đẳng thức được khi :  (hoặc  ' )là một số chính phương và chứa 2 trong 3 hạng tử của A2 +2AB +B2 hoặc A2 - 2AB +B2 Ví dụ 5: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) Giáo viên: Bùi Tấn Vược 8 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Giải: Đa thức trên ta có thể dự đoán có 1 nhân tử là b+c hoặc c-a hoặc a+ b. Ta có các cách phân tích như sau: Cách 1: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) ac2 - a2c - a2b - ab2 = bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b) = bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a2 (c+ b) = (b + c) (bc + ac - ab - a2) = (b + c) [(bc - ab ) + (ac - a2) ] = (b + c) [b (c - a) +a (c - a)] = (b + c) (b + a) (c -a) Cách 2: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c bc2 + ac (c -a) - a2b - ab2 = ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c2 - a2) = ac (c -a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a) = (c - a) (ac + b2 + bc + ab) = (c - a) (a +b) (c+ b) Cách 3: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab (a + b) = c (b2 - a2) + c2 (a + b) - ab (a + b) = c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b)= (a + b) (cb - ca + c2 - ab) = (a + b) [c (b + c) - a (c + b)] = (a + b) (b + c) (c - a) Cách 4: Nhận xét: c - a = (b + c) - (a + b) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b) = c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b) = (b + c) (a + b) (c - a) Cách 5: Nhận xét: b + c = (c - a) + (a + b) Ta có: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b) = bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b). = c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b). Cách 6: Nhận xét: a + b = (b + c) - (c - a) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a) = b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b) = (c - a) (c + c) (b + a). Ví dụ 6: a5 + a + 1. Giải: Số mũ của a từ 5 xuống 1 nên giữa a 5 và a cần có những số hạng với số mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử chung. Giáo viên: Bùi Tấn Vược 9 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Cách 1: a5 + a + 1 = a5 + a4 - a4 + a3 - a3 + a2 - a2 + a + 1 = a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1 = a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + 1 = (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1) Cách 2: a5 + a + 1 = a5 - a2 + a2 + a + 1 = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1). 3.1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3. Giải: Đặt x = b - c; y = c - a; z = a - b. Ta thấy: x + y + z = 0 => z = - x - y (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 = x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + (- x - y)3 = x3 + y3 - x3 - y3 - 3x2y - 3xy2 = - 3xy ( x + y) = 3xyz = 3 (b - c) (c - a) (a - b) Ví dụ 2: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 Thông thường khi gặp bài toán này học sinh thường thực hiện phép nhân đa thức với đa thức sẽ được đa thức bậc 4 với năm số hạng. Phân tích đa thức bậc 4 với năm số hạng này thường rất khó và dài dòng. Nếu chú ý đến đặc điểm của đề bài: Hai đa thức x 2 + x + 1 và x2 + x + 2 chỉ khác nhau bởi hạng tử tự do, do đó nếu ta đặt y = x 2 + x + 1 hoặc y = x 2 + x thì biến đổi đa thức thành đa thức bậc hai sẽ đơn giản hơn nhiều. Đặt y = x2 + x + 1. Ta có: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = y2 + 4y - 3x - 12 = (y +4 ) (y - 3) = (x2 + x + 1 + 4) (x2 + x + 1 - 3) = (x2 + x + 5) (x2 + x - 2) = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1) = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5). Ví dụ 3: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 Giáo viên: Bùi Tấn Vược 10 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Giải: Nhận xét: Ta có: 1 + 7 = 3 + 5 cho nên nếu ta nhân các thừa số x+1 với x +7 và x + 3 với x + 5 ta được các đa thức có phần biến giống nhau. (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 = (x2 + 7x + x + 7) (x2 + 5x + 3x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15. Đặt x2 + 8x + 7 = y ta được: y (y + 8) + 15 = y2 + 8 y + 15 = y2 + 3 y + 5 y + 15 = (y + 3) (y + 5) =(x2 + 8x + 7 + 3) (x2 + 8x + 7 + 5) = (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12) = (x2 + 6x + 2x + 12) (x2 + 8x + 10) = (x + 6) (x + 2) (x2 + 8x + 10) 3.1.3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức.  Phương pháp tìm nghiệm nguyên của đa thức: Nghiệm nguyên (nếu có ) của một đa thức phải là ước của hạng tử tự do. Ví dụ: . Tìm nghiệm nguyên của đa thức sau: x3 + 3x2 - 4 Giải: Cách 1: Các ước của 4 là : 1;2;4;-1;-2;-4 . Thử các giá trị này ta thấy x = 1 và x = -2 là nghiệm của đa thức đã cho. Cách 2: Tổng các hệ số của đa thức bằng 0 nên đa thức đã cho có nghiệm x = 1.  Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ của một đa thức: Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do; q là ước dương của số hạng có bậc cao nhất. Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức sau: 2x3 + 5x2 + 5x + 3 Giải: Các ước của 3 là : 1;-1;3;-3 (p) Các ước dương của 2 là : 1;2 (q) Xét các số 1; 3;1/2; 3/2 ta thấy -3/2 là nghiệm của đa thức đã cho. Chú ý: Giáo viên: Bùi Tấn Vược 11 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 -Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm bằng 1. Ví dụ: Đa thức a) 3x4 - 4x +1 có 3+ (-4) + 1 = 0 nên có một nghiệm x = 1. b) 4x3 +5x2 - 3x - 6 có 4 + 5 + (-3) + (-6) = 0 nên có một nghiệm x = 1. - Nếu đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì đa thức đó có một nghiệm là -1 . Ví dụ: Đa thức a) 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - 3 Tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng : 5 + 11 + (-3) = 13 Tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng : 4 + 7 + 2 = 13 Ta thấy tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ nên đa thức đó có một nghiệm là -1. b) x3 + 3x2 + 6x + 4 Tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng : 3 + 4 = 7 Tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng : 1 + 6 = 7 Ta thấy tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ nên đa thức đó có một nghiệm là -1.  Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức: Nếu đa thức F(x) có nghiệm x = a thì sẽ chứa nhân tử x - a do đó khi phân tích cần làm xuất hiện các nhân tử chung sao cho có nhân tử x - a. Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a) x3 + 3x2 - 4 b) 2x3 + 5x2 + 5x + 3 Giải: a) x3 + 3x2 - 4 Cách 1: Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x= 1 nên chứa nhân tử x-1 Ta có : x3 + 3x2 - 4 = x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - 4 = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1) = (x-1)(x2 + 4x + 4) = (x-1) (x+2)2 Giáo viên: Bùi Tấn Vược 12 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Cách 2: Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x= -2 nên chứa nhân tử x + 2 Ta có: x3 + 3x2 - 4 = x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x -4 = x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2) = (x+2) (x2 +x -2) = (x+2) (x2 - x + 2x -2) = (x+2) x(x-1) +2(x-1) = (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1) (x+2)2 b) 2x3 + 5x2 + 5x + 3 Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + 3 có nghiệm là x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3 Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + 3 = 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3 = x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3) = (2x+3) (x2 + x +1) 3.2. Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử . 3.2.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải bài toán rút gọn một biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng. Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: A x  4 x  19 x  106 x  120 x  7 x  x  67 x  60 Giải: Ta có A x  4 x  19 x  106 x  120 x  7 x  x  67 x  60 Ta thấy tử thức của phân thức có các nghiệm là 2; 3 ; 4 ; -5 Mẫu thức của phân thức có các nghiệm là -1 ; 3 ; -4;-5 Do đó: A x  4 x  19 x  106 x  120 x  7 x  x  67 x  60 Giáo viên: Bùi Tấn Vược 13 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 A= ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5) ( x  1)( x  3)( x  4)( x  ) A= ( x  2)( x  4) ( x  1)( x  4) Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức: B x  3x  4 xx2 Giải: Ta thấy tử thức có nghiệm là 1; mẫu thức cũng có nghiệm là 1; nên ta có: B x  3x  4 xx2 = x  x  x  x  4x  4 x  x  2x  2x  2x  2 = xx4 . x  2x  2 Ta thấy cả tử và mẫu đều không phân tích được nữa. 3.2.2. Dạng 2: Chứng minh chia hết Để giải bài toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải nhưng ở đây tôi chỉ trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ,ta có: [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15]  (x+6) Giải: Ta có: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x2 + 8x +11  (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - 1 = (t + 1)(t - 1) Thay t = x2 + 8x +11 , ta có: (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) = (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6)  (x+6). Giáo viên: Bùi Tấn Vược 14 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ta có (4x + 3) 2 - 25 chia hết cho 8. Giải: Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 ra thừa số (4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + 3 + 5) (4x + 3 - 5) = (4x + 8) (4x - 2) = 4 (x + 2) 2 (2x - 1) = 8 (x + 2) (2x - 1) Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên. Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8. Ta suy ra ĐPCM. Cách 2: (4x + 3)2 - 25 = 16x2 + 24x + 9 - 25 = 16x2 + 24x - 16 = 8 (2x2 + 3x - 2). Vì x là số nguyên nên 2x2 + 3x - 2 là số nguyên Do đó 8 (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n biểu thức: n n2 n3 A=   là số nguyên. 3 2 6 Giải: Ta có: n n 2 n 3 2n  2n 2  2 3    3 2 6 6 Muốn chứng minh biểu thức là số nguyên chỉ cần chứng minh 2n + 3n 2 + n3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Ta có: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2) = n (2 + 2n + n + n2) = n [ 2 (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2). Giáo viên: Bùi Tấn Vược 15 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 Ta thấy n (n + 1) (n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên ít nhất có một thừa số chia hết cho 2 và một thừa số chia hết cho 3 . Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên tích này chia hết cho 6. n 3 Vậy mọi số nguyên n biểu thức A=  n2 n3  là số nguyên. 2 6 Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 chia hết cho đa thức x16 + x15 + ... + x2 + x + 1. Giải: Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia như sau: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 = (x50 + x49 + ... + x35 + x34) +(x33 + x32 + ... + x18 + x17) + x16 ... x2 + x + 1. = (x34) (x16 + x15 + ... + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + ... + x2 + x + 1) + x16 ... +x2 + x + 1 = (x16 + x15 + ... +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Rõ ràng: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 chia hết cho x16 + x15 + ... x + 1. Kết quả của phép chia là : x34 + x17 + 1 Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a+b+c Giải: Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c. Dự đoán đa thức A phân tích thành nhân tử có một nhân tử là a + b + c. Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb - ac2 - acb - b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = B. (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B. Ví dụ 6: Cho 1 1 1 1    a b c abc Giáo viên: Bùi Tấn Vược 16 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động CMR: Năm học 2013-2014 1 1 1 1  n  n  n với n lẻ. n a b c a  bn  cn Giải: Ta có: 1 1 1 1 bc  ac  ab 1      a b c abc abc abc => (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc. => abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc => (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = 0 => bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = 0 => (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = 0 => (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = 0 => (a + b) (b + c) (a + c) =0 => a + b = 0 => a = - b hoặc b + c = 0 => b = - c hoặc a + c = 0 => a = - c Vì n lẻ nên a2 = -bn hoặc bn = - c2 hoặc an = - cn Thay vào ta suy ra điều phải chứng minh. 3.2.3. Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng phương trình. a) Giải phương trình nghiệm nguyên. Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Giải: Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2 = 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = x (3x + 4y) + 2y (3x + 4y) = (3x + 4y) (x + 2y) = 96 Ta có: 96 = 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 Mà x, y > 0 => 3x + 4y > 7; x + 2y > 3 Ta có các hệ phương trình sau: x + 2y = 4 3x + 4y = 24 x + 2y = 6 (I) Giáo viên: Bùi Tấn Vược 3x + 4y = 16 17 nghiệm (II) Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động x + 2y = 8 Năm học 2013-2014 x + 2y = 12 (III) 3x + 4y = 12 3x + 4y = 8 (IV) Giải hệ (I) ta được x = 16; y = - 6 (Loại). Giải hệ (II) ta được x = 4; y = 1 (Loại) Giải hệ (III) ta được x = 4; y = 6 (Loại) Giải hệ (IV) ta được x = - 16;y = 14 (Loại) Vậy nghiệm của hệ x = 4; y = 1. Vậy nghiệm của phương trình: x= 4; y = 1 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x3 + xy - 7 = 0 Giải: 2x3 + xy - 7 = 0 => 2x3 + xy = 7 => x (2x2 + y) = 7 => Hoặc x=1 => 2x2 + y = 7 x=7 x=-1 2x2 + y =-7 Hoặc y=5 x=7 2x2 + y =1 Hoặc x=1 => => y = - 97 x=-1 y=-9 x=-7 x=-7 2x2 + y = - 1 => y = -99 Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > 0 thỏa mãn: x3 + 7 y = y3 + 7x Giải: x3 + 7 y = y3 + 7x => x3 - y3 - 7x + 7y = 0 => (x - y)3 (x2 + xy + y2) - 7 (x - y) = 0 => (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = 0 Vì x > y > 0 => x2 + xy + y2 - 7 = 0 => x2 - 2xy + y2 = 7 - 3xy => (x - y)2 = 7 - 3xy Giáo viên: Bùi Tấn Vược 18 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 => 7 - 3xy > 0 => 3xy < 7 => xy < 7 3 x.y  2 => x = 2; y = 1 b) Giải phương trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phương trình ( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0 Giải: Ta có: ( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0  ( 3x - 5 + x - 1 )(3x - 5 - x + 1) = 0  ( 4x - 6)(2x - 4) = 0  4x - 6 = 0  x = 3/2 hoặc 2x - 4 = 0  x = 2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =3/2 hoặc x = 2 Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0 Giải: Ta có: ` x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0  x3 + x2 +2x2 +2x +2x + 2 = 0 x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = 0 (x + 1)(x2 + 2x + 2) = 0 hoặc (x + 1) = 0 => x = -1 hoặc (x2 + 2x + 2) = 0 không có giá trị nào của x  Q Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -1 3.3. Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1) x3 - 4x2 + 8x - 8 2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz 3) x2 + 7x + 10 4) y2 + y - 2 5) n4 - 5n2 + 4 6) 15x3 + x2 - 2n Giáo viên: Bùi Tấn Vược 19 nghiệm Sáng kiến kinh Trường THCS Ba Động Năm học 2013-2014 7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b) 8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b) 9) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1 10) x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 9 11) (x2 + x) (x2 + x + 1) - 2 12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 3 13) Tính nhanh giá trị của biểu thức sau với: a) x = - 5 3 4 b) a = 5,75; P = (x+ 2)2 - 2 (x + 2) (x - 8) + (x - 8)2 b = 4,25 Q = a3 - a2b - ab2 + b3 14) CMR biểu thức (2n + 3)2 - 9 chia hết cho 4 với mọi n nguyên. 15) CM biểu thức n n 2 n3   là số nguyên với mọi số chẵn n. 12 8 24 16) Chứng minh đa thức: x79 + x78 + ... + x2 + x+ 1 chia hết cho đa thức x19 + x18 + ... + x2 + x + 1 4. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường THCS Ba Động trong năm học 2013 - 2014 đã thu được các kết quả khả quan. Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỳ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết quả tốt. Đa số các em học sinh đã biết sử dụng các phương pháp phân tích thông thường một cách thành thạo, 80% các em học sinh có kỹ năng nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào các phương pháp phân tích đã được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm, kết quả kiểm tra định kỳ chương I đại số 8 mà phần lớn kiến thức liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử, các em làm bài rất tốt, hơn 95% học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên so với khi chưa áp dụng sáng kiến này là tăng 20%. Bên cạnh đó các phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó Giáo viên: Bùi Tấn Vược 20 nghiệm Sáng kiến kinh
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan

Tài liệu vừa đăng