SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
MỤC LỤC
1. Cơ sở đề xuất giải pháp................................................................................2
1.1-Sự cần thiết hình thành giải pháp.............................................................2
1.2-Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp........................................2
1.3-Mục tiêu của giải pháp...............................................................................2
1.4-Các căn cứ để xuất giải pháp.....................................................................3
1.5-Phương pháp thực hiện..............................................................................3
1.6-Đối tượng và phạm vi áp dụng...................................................................3
2. Quá trình hình thành và nội dung giải pháp.................................................3
2.1- Quá trình hình thành nên giải pháp .........................................................3
2.2-Những cải tiến để phù hợp với thực tiến phát sinh .................................4
2.3-Nội dung của giải pháp mới hiện nay .......................................................4
3. Hiệu quả giải pháp........................................................................................19
3.1. Thời gian áp dụng hoặc áp dụng thử của giải pháp.................................19
3.2. Hiệu quả đạt được hoặc dự kiến đạt được................................................19
3.3. Khả năng triển khai, áp dụng giải pháp ...................................................20
3.4. Kinh nghiệm thực tiễn khi áp dụng giải pháp...........................................20
4. Kết luận và đề xuất, kiến nghị......................................................................20
4.1. Kết luận.....................................................................................................20
4.2. Đề xuất, kiến nghị......................................................................................21
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................22
GV: Lê Thị Huyền
1
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
1. Cơ sở đề xuất giải pháp
1.1-Sự cần thiết hình thành giải pháp (nhu cầu phải có giải pháp)
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong
quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm
hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với
kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Như luật giáo dục có viết:
“Phương pháp GD phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự gác , chủ động sáng tạo
của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương
pháp tự học, rèn ruyện kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại
niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn nghiên cứu tìm tòi các phương pháp
mới phù hợp với từng bài dạy và các đối tượng học sinh để truyền thụ các kiến
thức, đặc biệt là trong việc dạy bài tập giới hạn. Nhận thấy học sinh còn nhiều lúng
túng trong giải bài tập phần giới hạn của hàm số. Hơn nữa, theo tinh thần đổi mới
của bộ giáo dục thì năm học 2018 chương trình lớp 11 sẽ có mặt trong kì thi tốt
nghiệp, đại học, cao đẳng.
Vì vậy để giúp học sinh khối 11 khắc phục lúng túng trong giải bài tập giới hạn
hàm số, tôi đã chọn đề tài “ Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11”.
1.2-Tổng quan các vấn đề liên quan đến giải pháp (các giải pháp đã có của
các tác giả khác).
Các bài toán tìm giới hạn hàm số tại 1 điểm, tại vô cực, giới hạn vô cực,
giới hạn một bên,...
1.3-Mục tiêu của giải pháp.
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho
học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới hạn
hàm số. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
GV: Lê Thị Huyền
2
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
1.4-Các căn cứ đề xuất giải pháp.
Học sinh còn lúng túng trong giải quyết các bài toán giới hạn hàm số. Nhất là
phân loại các dạng bài tập giới hạn hàm số, kinh nghiệm này giúp học sinh hệ
thống và phân loại các dạng bài tập và giúp học sinh tránh những sai lầm trong giải
quyết những bài toán trên.
1.5-Phương pháp thực hiện.
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi
đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.
Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, ……………….)
Phương pháp thực nghiệm.
1.6-Đối tượng và phạm vi áp dụng.
Đề tài này có thể áp dụng cho học sinh lớp 11 các trường THPT.
2. Quá trình hình thành và nội dung giải pháp
2.1- Quá hình hình thành nên giải pháp:
Thời gian
Nội dung
Từ tháng 5 năm 2015 đến
Nghiên cứu, đề xuất
hết tháng 9 năm 2016
Từ tháng 01 năm 2016 đến
Áp dụng thử nghiệm
giữa tháng 02 năm 2016
2.2-Những cải tiến để phù hợp với thực tiễn phát sinh.
GV: Lê Thị Huyền
3
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
Hệ thống lại định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, giới hạn hữu hạn, giới
hạn vô cực, giới hạn một bên.
Học sinh cần nắm rõ các định lí về giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, quy tắc về
giới hạn vô cực.
2.3-Nội dung của giải pháp mới hiện nay
Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số ta thường gặp 3 trường
hợp tìm giới hạn cơ bản sau:
Một là : Giới hạn của hàm số tại một điểm:
lim f x
x a
lim f x
Hai là: Giới hạn vô cực của hàm số :
x
Ba là: Giới hạn một bên của hàm số:
x a
lim f x , lim f x
x a
Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tôi không
xét tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp bằng cách nhìn vào
giá trị mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới
hạn phải).
Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất định. Ở
đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số theo sơ đồ sau:
GV: Lê Thị Huyền
4
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
Đềề bài
Phân
dạng
Giới hạn tại một điểm
Dạng 2: ()
Giới hạn tại vô cực
Dạng 1:
Giới hạn một bên
Dạng 3:()
Dạng:
Dạng 1:
Dạng 2
Dạng3:
Tính trực tiếp
Sau đây tôi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu
trong sơ đồ tư duy trên.
GV: Lê Thị Huyền
5
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
2.3.1 GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CỦA HÀM SỐ:
Dạng 1:
lim f x
x a
lim f x f (a)
x a
Phương pháp:
Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x). Kết luận:
lim f x f (a)
x a
Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:
lim 2 x 3
lim ( x 2 5 1)
1/ x2
2/ x 2
x 1
lim
x 3 x 2
3/
2x 2 + 3x +1
lim
x -1 -x 2 + 4x + 2
4/
Bài giải:
1 / lim 2 x 3 2.2 3 7
x 2
2 / lim (
x 2
x 2 5 1)
( 2) 2 5 1 2
x 1
3 1
2
3 x2
3 2 5
3 / lim
x
GV: Lê Thị Huyền
6
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
2 x 2 3x 1 2. 1 2 3. 1 1 0
4 / lim 2
0
x1 x 4 x 2 1 2 4 1 2 3
Bài tập tham khảo
Tính các giới hạn sau:
1.
4.
lim(x 2 + 2x+1)
2.
x -1
lim
x 1
x +1
2x - 1 ;
lim
Dạng 2:
x a
3.
x 1
lim 3 - 4x
2
x 3
x 2 + x +1
-1 2x 5 + 3
lim
5. x
f x 0
.
g x 0
Ta tính nhẩm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x).
lim
Ta thấy f(a) = g(a) = 0. Nên
lim(x + 2 x +1)
x a
f x
g x
0
.
lúc này có dạng 0
Phương pháp:
Phương pháp 1: Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức ta có thể chia tử số
và mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử
và mẫu cho các biểu thức liên hợp
GV: Lê Thị Huyền
7
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau:
x3
1/lim 2
x 3 x 2 x 3
x2 2x 3
2 / lim 2
x 1 2 x x 1
4x
4 / lim
x 0 9 x 3
5 / lim
x 2
3 / lim
1 x
x 0
2x 2
x2
6 / lim
x 1
3
1
x
x2 2
x7 3
Bài giải.
x3
1
1
x3
1/ lim 2
lim
lim
4
x 3 x 2x 3
x 3 x 1 x 3
x 3 x 1
x2 2 x 3
x 1 x 3 lim x 3 4
2 / lim 2
lim
x 1 2 x x 1 x 1
x 1
1
1
2( x 1)( x )
2( x ) 3
2
2
1 x
3 / lim
x 0
x
3
1
lim
x 0
1 x 1 1 x
x
x( x 3x 3)
lim x 2 3 x 3 3
0
x 0
x
4x
4 / lim
lim
x 0 9 x 3 x 0
lim
x 0
GV: Lê Thị Huyền
1 x 1
2
lim
x
2
4x
9 x 3
9 x 3
4x
9 x 3
9 x 3
x
lim 4
x 0
8
lim
x 0
4x
9 x 3
9 x9
9 x 3 24
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
5 / lim
2x 2
lim
x 2
x2
6 / lim
x22
lim
x 7 3 x 1
2x 2
2x 2
lim
2x 4
x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2
2 x 2
2
1
lim
lim
x 2 x 2
2 x 2 x 2 2 x 2 2
x 2
x 2 2 x 7 3
x 7 3 x 7 3 x 2 2
x 2 x 7 3
x7 3 6 3
lim
lim
x2 2 4 2
x 2 x 2 2
x 1
x2 2
x 1
x 1
Bài tập tham khảo:
Tính các giới hạn sau:
1 / Lim
x 3
2
x + 2x - 15
x-3
3
8x 1
4 / Lim
2
x 1 6x 5x 1
2
lim
Dạng 3:
x a
GV: Lê Thị Huyền
2 / lim
x 0
5 / lim
x 1
x4 2
x 2x 1
3 / lim
x 1 x 2 12x 11
x
2x 1
x 1
x
x 1 1
6 / lim
x 0 3 2x 9
f x
L
g x
0
dạng (với L 0 ).
9
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
Ta tính nhẩm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(a)=L, g(a)=0
lim
nên
x a
f x
g x
L
.
lúc này có dạng 0
Phương pháp:
lim f ( x ) L
Bước 1: Tính x a
(với L 0 )
lim g( x ) 0
Bước 2: : Tính x a
và xét dấu biểu thức g(x) với x a
lim
Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận
x a
f x
g x
f x
g x
lim f ( x ) L
lim g( x ) 0
L>0
g(x) > 0
L>0
g(x) < 0
L<0
g(x) > 0
L<0
g(x) < 0
x a
x a
lim
x a
Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:
GV: Lê Thị Huyền
10
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
1/ lim
x 4
x2
x 4
2 / lim
2
x 3
x5
x 3
2
3x 1
2 x 2
x3 8
3/ lim
x
Bài giải:
x2
1/ lim
x 4
x 4
2
Ta có:
lim x 2 6 0
x 4
2
2
lim4 x 4 0 va x 4 0 (x 4)
x
lim
x 4
Vậy
2 / lim
x 3
x2
x 4
2
x5
x 3
2
Ta có:
lim x 5 2 0
x 3
2
2
lim3 x 3 0 va x 3 0 (x 3)
x
GV: Lê Thị Huyền
11
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
lim
x 4
Vậy
3 / lim
x5
x 3
2
3x 1
x 2
x 2 x
3
8
lim
x 2
lim
x 2
3x 1
x 2 x 2 x
2
2x 4
3x 1
x 2 x
2
2
2x 4
lim 3 x 1 5 0
x 2
2
2
2
2
lim2 x 2 x 2 x 4 0, x 2 x 2 x 4 0 (x 2)
x
Ta có:
lim
x 2
Vậy
3x 1
x 2 x3 8
Bài tập tham khảo:
Tính các giới hạn sau:
1/ lim
x 2
x2
x 2
3 / lim
x 2
2 / lim
2
x 2
2x 1
x 2
GV: Lê Thị Huyền
2
x 2
4 / lim
x 3
12
x3 1
2
x 1
x 3 x
2
4x 3
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
2.3.2- GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ:
lim
Dạng 1:
x
lim f x
x
f x
g x
dạng
Phương pháp:
Rút xp với p là lũy thừa cao nhất của tử và rút xq với q là lũy thừa cao nhất
của mẫu rồi đơn giản. Chú ý rằng nếu x thì coi như x>0, nếu x
thì coi như x < 0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn
Ví dụ 4:Tính các giới hạn sau:
2x 1
lim
1/ x x 2
x 1
lim 2
2/ x x 1
x2 1
x 1
x2 x 9
lim
5/ x 2 x 18
lim
4/ x
3/
lim
x
x2 1
x 1
Bài giải:
1
1
x2
2
2x 1
x
x 22
lim
lim
lim
x x 2
x
2 x 1 2 1
x 1
x
x
1/
GV: Lê Thị Huyền
13
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
1
1
x 1
1
x 1
1
x
x = 0.1= 0
lim 2
Lim
= lim .
x x 1 x 2
1
1 x x
1 2
x 1 2
x
x
2/
x 1
lim
x
x 1
2
3 / lim
x
1
1
x 2 1 2
x 1 2
x
x
lim
x
x 1
1
x 1
x
1
x 1 2
x
lim
lim
x
x
1
x 1
x
x 1
lim
x
x 1
2
4 / lim
x
1
1 2
x 1
1
1
1
1
x
1
1
x 2 1 2
x 1 2
x
x
lim
x
x 1
1
x 1
x
1
1
x 1 2
1 2
x
x 1
lim
lim
1
x
x
1
1
1
1
x 1
x
x
1 9
1 9
x 2 1 2
1 2
x x9
x x
lim
lim
lim x. x x
x 2 x 18
x
x
18
18
2
x 2
x
x
5/
2
GV: Lê Thị Huyền
14
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
lim x
x
1 9
1 2
x x 1
xlim
18
2
2
x
vì
Bài tập tham khảo:
Tính các giới hạn sau:
2 / lim
2x 3
1/ lim
x 1 3 x
x
x 2 3x 8
4 / lim 4
x x 6 x 1
7 / lim
x
x 2 2 x 1 1 4 x
3x 4
5 / lim
x
14 x
Dạng 2:
x2 2x 3
3
3x 1
x 2 1 2x
x
lim f x .g x
x
4x2 1
6 / lim
x
3x 1
x3 x 1
8 / lim
x x2 1
x4 2x2 1
3 / lim
x
x 3 27
3
dạng
0.
Phương pháp:
Ta biến đổi
lim f x .g x
x
dạng
0.
lim
về dạng 1:
x
f x
g x
Sau đó sử dụng phương pháp của dạng 1 để giải
GV: Lê Thị Huyền
15
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
2
Chú ý: A B A B với A, B 0
A B A2 B với A 0, B 0
Ví dụ 5:Tính các giới hạn sau:
1 ) lim x+ 2
x +
x -1
x3 + x
2) lim x+1
x -
2x+1
x 3 + x+2
Bài giải:
2
1 ) lim x+ 2
x +
2 1
x 1+ .x 1-
x x
1
x 3 1+ 2
x
2
x+ 2 x -1 lim
2
x -1
lim
x 3 + x x +
x3 + x
x +
2
2
2 1
2 1
x 1+ .1-
1+ . 1-
x x lim x x 1 1
lim
x +
x +
1
1
1
x 3 1+ 2
1+ 2
x
x
3
2) lim x+1
x -
2x+1
lim
3
x + x+ 2 x -
x+1 2x+1
2
x 3 + x+ 2
2
1 1
x 1+ .x 2+
2
x+1 2x+1 lim x x
lim
x -
x -
1 2
x 3 + x+ 2
x 3 (1+ 2 + 3 )
x x
2
GV: Lê Thị Huyền
16
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
2
2
1 1
1 1
x 1+ . 2+
1+ . 2+
x x lim x x 2 2
lim
x -
x -
1 2
1 2
1
x 3 (1+ 2 + 3 )
1+ 2 + 3
x x
x x
3
Bài tập tham khảo
Tính các giới hạn sau:
2x 3 + x
2 ) lim x 5 2
.
x -
x - x +3
3x +1
x 3 +1
1 ) lim 1- 2x
x +
lim f x
Dạng 3: x
g x
3 ) lim x
x -
2x +1
.
3x x 2 2
3
Phương pháp:
1. Rút xk với k là lũy thừa cao nhất của f(x) và g(x) để đưa về giới hạn
dạng .L (nếu được).
2. Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa
lim
dạng
x
f x g x
f x g x
GV: Lê Thị Huyền
lim
hoặc
x
lim f x
x
g x
về
f x g x
f x g x
17
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
Nếu gặp căn bậc 3 ta cũng nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp
Chú ý:
A neu A 0
A2 A
A neu A 0
Ví dụ 6:Tính các giới hạn sau:
1/ lim
x +
x2 x x2 2
3 / lim x+ x 2 x 1
x +
2 / lim
x
x2 x x2 2
4 / lim x+ x 2 x 1
x
Bài giải:
1 ) lim
x +
lim
x +
x2 x
x 2 lim
2
x2 x - x2 2
x2 x x2 2
x2 x x2 2
x +
x2 x x2 2
x2 x x2 2
x +
lim
x2
x2 x x2 2
2
2
x 1
x 1
x
x
lim
lim
x +
1
2 x +
1
2
x 1 x 1 2
x 1 x 1 2
x
x
x
x
GV: Lê Thị Huyền
18
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
2
2
x 1
1
1
x
x
lim
lim
x +
1
2 2
1
2 x +
1 1 2
x 1 1 2
x
x
x
x
2 ) lim
x
lim
x
x2 x x2 2
x x- x 2
2
2
x2 x x2 2
2
x 1
x
lim
x
1
2
-x 1 - x 1 2
x
x
lim
lim
x
x2 x x2 2
x2 x x2 2
x2 x x2 2
x
2
x 1
x2
x
lim
x 2 x x 2 2 x x 1 1 x 1 2
x
x2
2
2
x 1
1
1
x
x
lim
lim
x +
2
1
2
1
2 x +
1 1 2
-x 1 1 2
x
x
x
x
1 1
3 / lim x+ x 2 x 1 lim x x 1 2
x +
x +
x x
1 1
lim x 1 1 2
x +
x x
GV: Lê Thị Huyền
19
Trường THPT Nguyễn Du
SKKN:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số lớp 11
lim x
x +
1 1
lim 1 1 2
x +
x x
Vì
2
x+
4 / lim x+ x x 1 lim
2
x
x
x2 x 1 x - x2 x 1
x - x2 x 1
1
x 1
x - x x 1
x 1
x
lim
lim
lim
x
x - x 2 x 1 x x - x 2 x 1 x x - x 1 1 1
x x2
2
2
1
x 1
x
lim
lim
x
1 1 x +
x+ x 1 2
x x
1
x 1
x
1 1
x 1+ 1 2
x x
1
x
lim
x +
1 1
1+ 1 2
x x
1
1
2
Như vậy sau khi giải bài 4 của ví dụ 6 nhiều học sinh sẽ thắc mắc rằng bài 4
này có thể giải theo cách của bài 3 như trên không?
Câu trả lời là không vì nếu giải theo giải theo của bài 3 ta sẽ có:
GV: Lê Thị Huyền
20
Trường THPT Nguyễn Du
- Xem thêm -