Tài liệu Skkn rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRUNG NGẠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Môn: TOÁN Tác giả: Nguyễn Thành Giáp Giáo viên môn Toán NĂM HỌC 2013 - 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Chương I. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3 I. BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC 3 I.1. Bài toán cực trị hình học I.2. Một số dạng Toán cực trị hình học thường gặp I.3. Một số phương pháp giải toán cực trị hình học II. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC 5 5 TRỊ HÌNH HỌC II.1 Kỹ năng II.2 Một số khó khăn và sai lầm khi giải toán cực trị hình học CHƯƠNG II. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH NHẰM RÈN LUYỆN KỸ 8 NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I. HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH CÓ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 8 ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I.1. Mục tiêu I.2. Hệ thống các bài toán điển hình I.2.1 Một số bài toán cực trị trong hình học không gian tổng hợp I.2.2. Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích 17 I.2.3. Một số bài toán cực trị hình học có ứng dụng thực tiễn 24 II. KHẢ NĂNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HS LỚP 12 29 THÔNG QUA DẠY GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC III. KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM 33 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Chương trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm giữ vai trò chủ đạo. Thực trạng dạy và học toán ở trường THPT cho thấy: Do vai trò chủ đạo của đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chương trình toán nên phần lớn giáo viên và học sinh rất chú trọng. Bên cạnh đó có nhiều sách tham khảo viết về ứng dụng của đạo hàm để giải toán nói chung. Tuy nhiên về bài toán cực trị hình học và việc ứng dụng của đạo hàm giải loại toán này thì đa số học sinh đối với cả học sinh còn chưa được rèn luyện, thậm chí ít được tiếp cận. Trên thực tế có rất ít tài liệu tham khảo viết có hệ thống về loại toán này. Vấn đề cực trị hình học khó đối với học sinh vì nó đòi hỏi kiến thức tổng hợp về hình học, đại số, giải tích và nó đòi hỏi học sinh phải có thói quen ứng dụng tổng hợp kiến thức. Nếu rèn luyện được kỹ năng giải loại toán này thì không chỉ học sinh nắm được hệ thống tri thức toán mà còn góp phần rèn luyện năng lực giải toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán vào thực tiễn, phát triển tư duy toán học cho học sinh. Vì vậy việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học là một nhu cầu thiết yếu đối với học sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi lớp 12. Vì lẽ đó tôi chọn đề tài: Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học 2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT - Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị của hàm số - Tìm hiểu thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán cực trị hình học - Tìm hiểu bài toán cực trị hình học và nêu quy tắc giải bài toán cực trị hình học có ứng dụng của đạo hàm - Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi lớp 12 1 - Bước đầu thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài. 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu một số giáo trình phương pháp dạy học môn toán, SGK phổ thông, Sách bồi dưỡng giáo viên THPT, các sách tham khảo, các tạp chí về giáo dục. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, qua trao đổi kinh nghiệm với một số giáo viên giỏi bộ môn Toán ở trường THPT. Từ đó xây dựng được hệ thống các bài tập điển hình và những gợi ý dạy học nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán cực trị hình học. - Phương pháp quan sát, điều tra: Quan sát và điều tra thực trạng dạy học giải toán cực trị hình học đối với học sinh lớp 12, qua đó nắm bắt được nhu cầu của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm cho học sinh khá, giỏi lớp 12. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học thông qua chuyên đề tự chọn môn toán lớp 12. Bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của nội dung đã được xây dựng trong đề tài. 4. ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu đề tài là học sinh lớp 12 trường THPT Nguyễn Trung Ngạn, năm học 2013 - 2014 5. BỐ CỤC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Mở đầu Chương I. Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương II. Rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học Kết luận Tài liệu tham khảo 2 CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN I. BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I.1. Bài toán cực trị hình học Trong chương trình THPT hầu như các bài toán cực trị hình học có dạng chung là: Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm hình mà một đại lượng nào đó (độ dài, khoảng cách, số đo góc, số đo diện tích, số đo thể tích,... ) có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất. Giả sử hình H thay đổi trên miền D mà vị trí hay hình dạng của nó thay đổi theo một đại lượng cho bởi biểu thức f ứng với sự biến thiên của tập các biến số X trên tập xác định D. Khi tìm vị trí hay hình dạng của hình H trên miền D sao cho f đạt giá trị lớn nhất ta phải xác định được hai điều kiện sau: 1. Với mọi vị trí hay dạng của hình H trên miền D thì f  M (là hằng số) 2. Tồn tại vị trí hay dạng của hình H trên miền D sao cho f = M Khi tìm vị trí hay hình dạng của hình H trên miền D sao cho f đạt giá trị nhỏ nhất ta phải xác định được hai điều kiện sau: 1. Với mọi vị trí hay dạng của hình H trên miền D thì f  m (là hằng số) 2. Tồn tại vị trí hay dạng của hình H trên miền D sao cho f = m. I.2. Một số dạng Toán cực trị hình học thường gặp Dạng 1: Xác định khoảng cách (độ dài đoạn thẳng) lớn nhất hay nhỏ nhất. Dạng 2: Các bài toán xác định diện tích đa giác, diện tích hình tròn lớn nhất, nhỏ nhất. Dạng 3: Các bài toán xác định thể tích đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Dạng 4: Các bài toán xác định và tính góc lớn nhất hay nhỏ nhất. Một số kỹ năng cơ bản 3 - Biết cách dựng đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng đặc biệt là đường vuông góc tới mặt phẳng. - Biết vận dụng kiến thức hình học vào việc chứng minh: song song, vuông góc, chéo nhau,... - Biết cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. - Biết cách so sánh, đặt tương ứng khoảng cách cần tìm với khoảng cách nào đó để tiện cho việc tính khoảng cách. - Biết cách vận dụng thành thạo các công thức liên quan đến tính khoảng cách, tính độ dài của đoạn thẳng - Kỹ năng vẽ hình không gian - Kỹ năng nhận dạng các hình đăc biệt như: tam giác(tam giác vuông, cân, đều), Tứ giác có hai đường chéo vuông góc, hình bình hành, hình thoi, chữ nhật.. - Kỹ năng nhận dạng các đa diện đặc biệt như: đa diện đều, hình chóp đều, lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp, hộp chữ nhật, lập phương.. - Biết vận dụng linh hoạt các công thức vào tính toán - Kỹ năng nhận dạng các khối đa diện đặc biệt - Kỹ năng xác định chiều cao của hình chóp, lăng trụ, hình trụ, hình nón - Kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức tính thể tích, công thức về tỉ số các thể tích của các khối chóp tam giác. - Kỹ năng dựng góc giữa hai đường thẳng trong không gian, góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. - Biết cách thiết lập tương ứng sự thay đổi độ lớn của đoạn thẳng (góc, diện tích, thể tích..) với các đại lượng (biến số) hay hàm số của một hay nhiều biến số - Biết vận dụng các phương pháp tìm cực trị, GTLN, GTNN. 4 I.3. Một số phương pháp giải toán cực trị hình học Phương pháp 1: Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên. Phương pháp 2: Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc, các bất đẳng thức trong tam giác. Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức trong đường tròn. Phương pháp 4: Sử dụng một số phép dời hình. Phương pháp 5: Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản. Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp hàm số. II. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC II.1 Kỹ năng 1. Các kỹ năng chung giải toán cực trị hình học: Vẽ hình, chứng minh, nhận dạng, áp dụng công thức, tính toán và biến đổi linh hoạt, so sánh, .. 2. Các kỹ năng giải toán cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số: Kỹ năng tính đạo hàm, xét dấu của đạo hàm, kỹ năng vận dụng các quy tắc tìm cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số 3. Kỹ năng vận dụng quy trình 4 bước để giải toán cực trị hình học bằng phương pháp hàm số có ứng dụng của đạo hàm II.2 Một số khó khăn và sai lầm khi giải toán cực trị hình học Khi giải toán hình học nói chung, giải toán cực trị hình học đặc biệt là hình học không gian, học sinh lớp 12 kể cả học sinh khá, giỏi môn Toán đã và có thể mắc những khó khăn và sai lầm sau: 1. Trong vẽ hình không gian: khó khăn do hình vẽ phức tạp, phương tiện hỗ trợ còn thô sơ (thước kẻ và compa), quy tắc vẽ hình không gian đơn giản song để vẽ đúng hình trong các trường hợp cụ thể còn gặp khó khăn như xác định hình chiếu, đường vuông góc, thiết diện,…. dẫn đến vẽ hình sai. 5 2. Khó khăn trong việc áp dụng các định lý, đặc biệt là cách xác định góc, khoảng, cách dẫn đến xác định sai góc, và khoảng cách. 3. Sai lầm khi không xét bài toán ở trường hợp đặc biệt, trường hợp không tồn tại theo giả thiết. 4. Khó khăn và sai lầm trong việc vận dụng các phương pháp giải toán cực trị hình học: so sánh các đại lượng, áp dụng bất đẳng thức, sử dụng phương pháp hàm số. Ví dụ 1. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Đường chéo BC’ hợp với mặt bên BAA’B’ một góc  . Tính thể tích hình lăng trụ. Nối BA’. Góc  =  C’BA’ từ đó tính toán được: V = a3 3 8 sin A’ A’ C’  1  4 sin 2  2 2 C’ I B’  A B’  C C A B B (?) Sai lầm chính của lời giải là việc xác định góc giữa BC’ với mp(BAA’B’) Lẽ ra theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta phải tìm góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó lên mp. Do tam giác A’B’C’ đều nên gọi I là trung điểm của A’B’  C’I  A’B’ và C’I  (A’B’BA) vì lăng trụ cho là đều. Từ đó suy ra  =  C’BI, sau khi tính toán ta được kết quả đúng là V = a3 3 8 sin  3  4 sin 2  . Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Lấy hai điểm M và N theo thứ tự trên AC và A’B sao cho AM = A’N = t (0  t  a 2 ). Tìm GTNN của M khi M, N lần lượt chuyển động trên AC, A’B. 6 Bài giải z B Lập hệ trục toạ độ Descartes vuông C M góc Oxyz sao cho O trùng B’,trục Ox chứa A D A’, trục Oy chứa C’ trục Oz chứa B N Ta có: A(a; 0; a), C(0; a; a), A’(a; 0; 0), y C’ B’ A’ B(0; 0; a), M(a- t D’ x 2 ; t 2 ; a ), N(a- t 2 ;0; t 2 ) nên AC  (a; a;0)  t t  ;  a A' B  (a;0; a ) , MN   0; 2 2   Do MN nhỏ nhất khi và chỉ khi MN là đoạn vuông góc chung của AC và A’B at    2  0  MN . AC  0 nên   MN . A' B  0 a t  a   0   2  hệ này vô nghiệm. Vậy giá trị nhỏ nhất không tồn tại! Lời giải sai lầm ở chỗ vì MN nhỏ nhất trong bài toán này có thể xảy ra mà MN không là đoạn vuông góc chung. Lời giải đúng là: 2 2  t   t  Từ (!) thay là:MN =      a  =t2 2  2  2 Ta có f’(t) = 2t - 2 a = 0  t = Khi đó MN nhỏ nhất bằng 2 at +a2 = f(t), (0  t  a 2 ). a 2  M, N lần lượt là trung điểm AC, A’B 2 a 2 . 2 7 CHƯƠNG II. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I. HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH CÓ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC I.1. Mục tiêu 1. Giúp giáo viên có được hệ thống các bài toán ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi 2. Giúp học sinh củng cố, nắm vững kiến thức cơ bản, và có kỹ năng giải toán cực trị hình học dựa trên kiến thức và kỹ năng giải toán cực trị của hàm số. 3. Phát huy tính tự giác,tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh thông qua việc tự rèn luyện kỹ năng giải toán dạng này 4. Rèn luyện kỹ năng ứng dụng tri thức Toán học vào nội bộ môn Toán, tăng cường khả năng ứng dụng tri thức Toán học vào thực tế cho học sinh qua đó học sinh thấy được vai trò của công cụ Toán học. I.2. Hệ thống các bài toán điển hình I.2.1 Một số bài toán cực trị trong hình học không gian tổng hợp Bài toán 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Điểm M chạy trên đoạn AA’, điểm N chạy trên BC sao cho AM = BN = x (0 < x < 1). P là trung điểm của C’D’. Dựng thiết diện tạo bởi mp(MNP) của hình lập phương. D’ Tìm x để chu vi thiết diện đạt GTNN. Bài giải Gọi Q là trung điểm của AB, P C’ S T A’ B’ Suy ra mặt phẳng (MNP) đi qua Q. Thật vậy: Gọi I là trung điểm của MN D C M M’ I kẻ MM’ // AB (M’  BB’), A Q N B 8 II’// MM’ (I’  M’N)  I’ là trung điểm của M’N Vì AM=BN  BM’ = BN  I’  BC’  II’//QB // PC’  I, P, Q thẳng hàng  Q  mp(MNP). Ta có thiết diện là lục giác MQNTPS. Thiết diện có chu vi là: 2p = 4MQ +2NT  p= 2MQ+NT = 2 x 2  1  (1  x) 2 ; (0  x  1) 4 1 4 Xét hàm số f(x) = 2 x 2   (1  x) 2 ; (0  x  1) 4x f’(x) = 4x 2  1  2 f’(x) = 0  x = 1 . 2 Ta có bảng biến thiên x 1 2 0 f’(x) 1 0 _ + + 3 2 2 f(x) + 1 2 1 2 Vậy chu vi của thiết diện đạt GTNN = 2p = 2f( ) = 3 2 khi x = . Bài toán 2. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và SA = 2a, tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a , góc A bằng 300. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC, SH  BM. Đặt AM = x, Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x. Tìm x để khoảng cách đó lớn nhất. S Bài giải Ta có SA  BM    BM  AH BM  SH  H Tính khoảng cách từ S đến BM bằng SH do SH  A M C BM tại H. Tính SH: Ta có  AHM ~  BCM  AH = BC. AM BM B 9 Mặt khác AM = x, (0  x  a 3 ) BC = a; BM = x 2  2a 3 x  4a 2  AH= ax 2 x  2 a 3 x  4a 2 . Xét tam giác vuông SAH có SH2 = SA2 + AH2  SH = a 4  Tìm x để SH lớn nhất : SH lớn nhất  f(x) = Ta có f’(x) = x2 x 2  2a 3 x  4 a 2 x2 x 2  2a 3 x  4a 2 đạt GTLN.  x0  4a 3 : f ' ( x )  0  x  ( x 2  2a 3 x  4 a 2 ) 2 3   2a 3 x 2  8a 2 x Bảng biến thiên: x a 3 0 + f’(x)  3 f(x) Từ bảng biến thiên suy ra Maxf(x) = 3 khi x = a 3 với mọi x  [0; a 3 ] khi H trùng với C Khi đó SH = a 7 . Chú ý: Thấy được kết quả này đến đây ta có thể nghiên cứu lời giải và tìm cách giải mới là: Bằng cách so sánh đường  với đường xiên suy ra được SH lớn nhất khi H trùng với M và M trùng với C. Bài toán 3. Cho tứ diện đều cạnh bằng 1. Các điểm M, N di động lần lượt trên AB và AC sao cho mp(DMN)  mp(ABC). Đặt AM =x, AN =y. a) Chứng minh hệ thức x+y = 3xy. D b) Xác định vị trí của M và N để Thể tích của tứ diện ADMN đạt GTLN, GTNN c) Diện tích toàn phần của tứ diện ADMN đạt GTLN, GTNN. y A N C H. x M Bài giải I a) Chứng minh hệ thức x+y = 3xy. Hạ DH  (ABC)  H là trọng tâm  AH là B 10 phân giác của MAN Do (DMN)  (ABC)  M, H, N thẳng hàng. Ta có S AMN  1 3 xy. sin 60 0  xy 2 4 Mặt khác: S AMN  S AMH  S ANH  1 1 3 AH .sin 30 0  AOy sin 30 0  ( x  y) 2 2 12 Từ đó  3xy = x+y. a) Cách 1 Dùng đạo hàm tìm GTLN, GTNN của V và Sxq Xác định x, y để thể tích V của tứ diện ADMN đạt GTLN, GTNN 6 xy 2 1 . Vì 3xy = x+y,  V = SAMN.DH = 3 12 3 Ta có DH = Với x, y  [0; 1]. Đặt xy = t  x+y = 3t ta có x, y là các nghiệm  [0; 1] của phương trình z2 - 3tz + t = 0 (*)  t= z2 . 3z  1 Với z  [0 ; 1]\{1/3}. z = 1/3 không là nghiệm của (*) Bài toán quy về tìm t để pt (*) có hai nghiệm thuộc [ 0 ; 1] z2 = t có hai nghiệm z  [0; 1]  Tìm t để pt 3z  1 3z 2  2 z z2 2 Xét hàm số f(z) = với z  [0 ; 1]. f’(z) = = 0  z  0, z  . 2 3z  1 3 (3z  1) Bảng biến thiên : 1 3 0 z f’(z) - || 0 2 3 - 1 0 1 2 + f(z) - + 4 9 11 Từ bảng biến thiên suy ra (*) có hai nghiệm  [0; 1]  Do V = 4 1 .  t  9 2 xy 2 t 2 2 2 = nên ta có .  V  12 27 24 12 Vậy MinV = 2 2 2 1 1 khi = y = , MaxV = khi x = 1, y = hoặc x = , y =1. 3 27 24 2 2 c) Ta có Stp = SAMD + SAND + SAMN + SDMN = 1 1 xy 3 6 x sin 600  y sin 600   x 2  y 2  xy = 2 2 4 6 3 6 ( x  y  xy)  (3xy) 2  3 xy = 4 6 Ta có f’(t) = 2 (6t  1) 3 2 > 0, Với 4 3t  t MinStp = MaxStp = 3t + 2 3t 2  t =f(t). 2 4 1  t   f(t) đồng biến trên đó Nên 9 2 3 2 (4  2 ) khi x = y = 3 9 1 1 1 (2 3  2 ) khi x = 1, y = hoặc x = , y = 1 2 2 4 Bài toán 4.Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA  mặt phẳng(ABC), SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất. Bài giải: S Ta có BC  AC nên BC  SC   SCA là góc giữa hai mp(SCB) và (ABC). a Đặt  SCA = x, (0 < x <  /2).  VS.ABC = B A Khi đó: SA = asinx, AC = acosx. x a sin x a 2 cos 2 x a 3 .  sin x. cos 2 x 3 2 6 C  Xét hàm số f(x) = sinxcos2x trên khoảng (0; ) 2 Ta có f’(x) = cos3x - 2cosxsin2x = cosx(3cos2x -2)  2  2  cos x  . f’(x) = 3cosx  cos x     3  3 12 2  x=  3  f’(x) = 0  cosx = cos  = x   0 f(x) 2 0 + -  f’(x) Vậy VS.ABC đạt GTLN khi cosx =  2 , x  (0; ) . 2 3 Chú ý : Ta có thể đặt sinx = t, (0 < t < 1) xét hàm số f(t) = t(1-t2) Bài toán 5. Cho tứ diện ABCD có một cạnh > 1, còn các cạnh khác đều  1. Gọi V là thể tích của nó hãy tìm các cạnh của ABCD sao cho V có giá trị lớn nhất Bài giải Giả sử AB > 1, khi đó max{AC,AD,BC,CD,DB}  1 Kẻ AH  mặt phẳng(BCD), AE, BF lần lượt là các đường cao của các tam giác ACD, BCD. M là trung điểm của BC. Đặt CD=x  (0; 1]. Theo hệ thức lượng trong tam giác BCD, có 4BM2 +CD2 = 2(BD2+BC2)  4BM2=2(AB2+BC2) - CD2  4 - CD2 = 4-x2  BM2  1 - x2  BM  4 BM = 1  1 x2 . 4 x2 , khi BC = BD =1(F  M). 4 Mặt khác BF  BM  BF  1 1 x2 x2 . Tương tự AE  1   AH  AE  4 4 x2 . 4 Ta có V = 1 1 x2 1 x2 1 x2  V  x 1  . AH  x(1  ) . S BCD . AH  CD.BF . AH 1  3 6 4 6 4 6 4 13 V= 1 x2 x(1  ) , khi BA = BD = AC= AD = 1 và H  E 6 4 Bài toán quy về tìm x  (0; 1] để V = f(x) = 1 6 Xét hàm số f(x)= x(1  1 x2 x(1  ) đạt giá trị lớn nhất 6 4 x2 1 x2 x2 ) ; f’(x) = [(1  )  ] = 0  x2= 4/3  x =  4 / 3 . 4 6 4 2 Ta có f’(x) > 0 với x   4 / 3; 4 / 3   hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (0; 1]  Maxf(x)(0; 1] = f(1) = 1 1 1 1 1(1  )   MaxV = , khi tứ diện ABCD có đáy 6 4 8 8 BCD, mặt bên ACD là các tam giác đều cạnh bằng 1 và (BCD)  (ACD), với 3  1. 2 AB = Bài toán 6. Cho mặt cầu (S) bán kính R, tìm hình nón (N) ngoại tiếp mặt cầu sao cho (N) có thể tích nhỏ nhất. S Bài giải Đặt SI = x, x > R. Ta có SO = x+ R, K x 2  R 2 . Do SIK ~ SAO SK = I SK IK SO.IK R( R  x)    AO   SO AO SK x2  R2 Suy ra thể tích V của hình nón là 1 3 V(x)=  .OA 2 .SO   V(x) = 3 (x2  R 2 ) 0 0 B ( R  x) R 2 ( R  x) 2 3 xR Xét hàm số f ( x)  f ' ( x)   R 2 ( R  x) 2 A ( R  x) 2 , xR x 2  2 Rx  3R 2 ; ( x  R) 2 x  R. Ta có :  x  3R f ' ( x)  0    x  R Bảng biến thiên của f(x) trên khoảng ( R;   ) 14 x R f’(x) 3R + 0 _ + + + f(x) 8R Hàm số f(x) đạt GTNN trên khoảng ( R;   ) tại x = 3R, Suy ra V(x) đạt GTNN = 8R 3 khi SO = x = 4R  AO = R 2 . 3 Vậy hình nón cần tìm có bán kính đáy AO = R 2 và chiều cao SO = 4R. Bài toán 7. Tìm hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước sao cho a) Thể tích đạt GTLN. b) Diện tích toàn phần đạt GTLN. Bài giải: a) Gọi I là tâm của mặt cầu, O là tâm của đường tròn đáy. Đặt IO = x ; 0  x  R .  AO = R 2  x 2 , SO = R+x. Ta có thể tích V của khối nón nội tiếp mặt cầu là S 1  V   .OA 2 .SO  ( R 2  x 2 )( R  x ) với 0  x  R . 3 3 Xét hàm số f(x) = (R2-x2)(R+x), x  [0;R] I A V lớn nhất  f(x) đạt GTLN B O Bài toán trở về việc tìm x  [0 ; R] để f(x) đạt GTLN Ta có f’(x) = -2x(R+x) + (R2-x2)=-(R+x)[2x-R+x]  x  R f’(x) = -(x+R)(3x-R)  f’(x) = 0   x  R / 3 x = R/3  [0; R] . Ta có f(0) = R3 , f(R) = 0, f(R/3) = 8R2/9.4R/3 = 32R3/27  f(x) đạt GTLN trên [0; R] tại x = R/3  OI = R/3  O = 2R 2 /3, SO = 4R/3 Vậy hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trước có thể tích lớn nhất khi bán kính đáy bằng 2R 2 /3, chiều cao bằng 4R/3. Max V = 32  R3/81. b) Đặt ASI   , 0<  < 900 Ta có 15 SA  2 R cos  , SO  SA. cos   2 R cos 2  AO  SA. sin   2 R sin  cos  Suy ra Stp =  AO2 +  AO.SA =  4R2sin2  .cos2  +  .2Rsin  .cos  .2Rcos  = 4  R2(sin2  +sin  )cos2  = 4  R2(sin2  +sin  )(1-sin2  ) Stp lớn nhất  P = (sin2  +sin  )(1-sin2  ) lớn nhất. Đặt sin  = t, t  (0; 1). Ta có P = f(t) = (t2+t)(1-t2) = - t4-t3+t2+t Bài toán trở về việc tìm t  (0; 1) để f(t) đạt GTLN. Ta có f’(t) = -4t3-3t2+2t+1, f’(t) = 0  t = -1, t = Bảng biến thiên x 1 17 1 17 ,t= 8 8 1 17 8 0 f’(x) + 1 0 - CĐ f(x) Vậy Stp LN  sin  = 0 0 1 17 R(23  17 ) .  chiều cao của hình nón SO = 8 16 Bài toán 8 Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy tìm hình trụ có thể tích lớn nhất. Bài giải Kí hiệu chiều cao, bán kính đáy và thể tích của hình trụ nội tiếp hình cầu lần lượt là h, r và V. h 2 R r Khi đó V =  r h. h2 Vì r = R nên 4  2 h2 V = V(h) =   R  4  2 2   h3   h    R 2 h  . 4    Bài toán quy về tìm h để hàm số V(h) đạt GTLN, với h  (0 ; 2R).  3h 2  2R , V ' ( x)  0  h  Ta có V’(h) =   R 2  . Suy ra Bảng biến thiên: 4  3  16 h 2R 3 0 V’(h) + 2R _ 0 4R 3 3 3 V(h) 0 0 Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều cao của nó bằng 2R 4R 3 . Khi đó, thể tích của hình trụ là . 3 3 3 I.2.2. Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích Bài toán 9. Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho Parabol (P): y = x2 và điểm A(-3; 0). Tìm M thuộc (P) sao cho đoạn AM nhỏ nhất, tìm giá trị đó. Bài giải Cách 1. M  (P)  M(a; a2). Ta có AM2 = (a+3)2 + a4 = a4+a2 + 6a + 9. Xét hàm số f(a) = a4+a2 + 6a + 9, a  R. f’(a) = 4a3+2a+6 = 2(2a3+a +3) = 0  a = -1. Ta có bảng biến thiên: a - -1 - f’(a) 0 + + + + f(a) Dựa vào bảng biến thiên  Minf(a) = f(-1) = 5  M(-1; 1). Vậy AM nhỏ nhất bằng 5 khi M (-1 ; 1). Cách 2. M  (P)  M(a; a2). Tiếp tuyến tại M có phương trình:y = 2ax-a2 (d), khoảng cách từ A đến (P) ngắn nhất khi AM  (d) (P) 17  AM  d. Ta có AM  (a  3; a 2 ) ; u d  (1; 2a) AM  d  AM .u d  0  a+3+2a3 = 0  a = -1  M(-1; 1)  AM = 5 Vậy AM nhỏ nhất bằng 5 khi M (-1 ; 1). Bài toán 10. Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho Elíp (E): x2  y 2  1 và đường thẳng d: x+y - 4 = 0. Tìm N  d, M  (E) sao cho MN nhỏ 4 nhất.Tìm khoảng cách giữa d và (E). Bài giải Do d nằm phía trên (E) nên MN nhỏ nhất  M  (E) và M nằm phía trên trục Ox  M  (C): y= 1   M (x; 1 4  x 2 ) ,x  [-2 ; 2]. Ta có: 2 x d(M, d) = 1 4  x2  4 2 . 2 Xét hàm số f(x)= x  f’(x) = 1- x2 1  4  x2 4 2 x 2 4  x2 0 1 4  x 2  4 , x  [-2;2] 2  0  2 4  x 2  x , x  0  16 -4x2 = x2  x = Ta có bảng biến thiên: x 4 5 -2 + f’(x) 0 4 5 2 - 54 f(x) -6 -2 Từ bảng biến thiên 18