Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
MỤC LỤC
1. TÓM TẮT ĐỀTÀI ...............................................................................Trang 2
2. GIỚI THIỆU .........................................................................................Trang 2
3. PHƯƠNG PHÁP...................................................................................Trang 3
3.1. Khách thể nghiên cứu ....................................................................Trang 3
3.2. Thiết kế nghiên cứu ........................................................................Trang 3
3.3. Quy trình nghiên cứu......................................................................Trang 4
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu .........................................................Trang 4
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ.........................Trang 4
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ.......................................................Trang 6
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................Trang 7
PHỤ LỤC CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN.............................................Trang 8
PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA MỘT TIẾT ...............................................Trang 20
PHỤ LỤC BẢNG ĐIỂM........................................................................Trang 25
BẢNG ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC ..........................Trang 28
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
-1-
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
1. TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đại học, cao đẳng, trung
cấp chuyên nghiệp của các năm, bài toán tính tích phân hầu như không thể thiếu
nhưng đối với học sinh phổ thông bài toán tích phân là bài toán khó và đặc biệt
khó hơn là bài toán tích phân từng phần.
Học sinh đã cảm thấy khó ngay từ khi học công thức tích phân từng phần,
học sinh cảm thấy rất lúng túng không phân biệt được bài toán tích phân từng phần
cũng như khi đã xác định được là bài toán tích phân từng phần thì lại không biết
đặt như thế nào hợp lý. Các em loay hoay đặt thử cách này cách khác và dĩ nhiên
rất mất thời gian, các em thiếu tự tin ngay cả khi mình giải ra được đáp số.
Trước thực trạng đó, trong quá trình giảng dạy, tôi đã hướng dẫn học sinh
nhận dạng bài toán tích phân từng phần và cách giải đơn giản dễ nhớ từ đó giúp
học sinh hứng thú hơn khi học tích phân và giải được bài toán tích phân từng phần
với độ chính xác cao.
Giải pháp này được tiến hành trên hai lớp: lớp 12B4 (lớp thực nghiệm) và
12B5 (lớp đối chứng) trường THPT Lộc Hưng. Lớp thực nghiệm thực hiện giải
toán có hướng dẫn học sinh nhận dạng cùng cách đặt đơn giản dễ nhớ. Lớp đối
chứng thực hiện theo công thức định nghĩa chỉ với lưu ý đặt sao cho tích phân sau
đơn giản hơn tích phân ban đầu.
Kết quả cho thấy: tác động của giải pháp này có ảnh hưởng lớn đến kết quả
học tập của học sinh, lớp thực nghiệm đã đạt kết quả cao hơn so với lớp đối chứng.
Điểm bài kiểm tra đầu ra của lớp thực nghiệm là 7,285714; lớp đối chứng là
5,742857. Kết quả kiểm chứng t-test cho thấy p = 0,00037797 < 0,001 có nghĩa là
có sự khác biệt lớn giữa điểm của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. Điều đó cho
thấy rằng việc giải bài toán tính tích phân từng phần bằng hướng dẫn đặt đơn giản
giúp học sinh nhận được dạng và giải được bài toán chính xác
2. GIỚI THIỆU
Tích phân từng phần là dạng toán hay đòi hỏi người học phải có tư duy cao,
phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục. Đây là dạng toán nằm
trong chương trình thi tốt nghiệp cũng như thi đại học – cao đẳng.
Khi học phần này học sinh thường gặp khó khăn không biết xác định đây có
phải là bài toán tích phân từng phần không và cách đặt như thế nào là đúng
Giải pháp thay thế:
Khi dạy về phần này ngay từ định nghĩa giáo viên hướng dẫn học sinh nhận
dạng biểu thức dưới dấu tích phân là tích của hai hàm và thử xem có giải được
bằng cách đổi biến không. Nếu đã khẳng định bài toán tích phân từng phần thì áp
dụng thứ tự ưu tiên khi đặt
“mũ – lượng – đa – lốc”
dv
u
Ở mỗi ví dụ giáo viên giúp học sinh xác định lí do giải bài toán bằng tích
phân từng phần và cách đặt cụ thể, sắp xếp ví dụ cùng dạng, giáo viên soạn bài tập
về nhà từ dễ đến khó có hướng dẫn đối với bài khó, có đáp án; kiểm tra tập bài
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
-2-
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
làm, phát hiện và chỉnh sửa kịp thời cho học sinh từ đó giúp hình thành thói quen
cho học sinh giải bài toán.
Vấn đề nghiên cứu: Giải pháp “Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học
sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần”
Giả thiết nghiên cứu: Sử dụng cách nhớ ngắn gọn khi giải bài toán tích
phân từng phần sẽ nâng cao kết quả học tập của HS lớp 12 trường THPT Lộc
Hưng.
3. PHƯƠNG PHÁP
3.1. Khách thể nghiên cứu
Chúng tôi lựa chọn hai lớp 12B4 và 12B5 vì có những thuận lợi cho việc áp
dụng giải pháp này.
- Giáo viên: Hai giáo viên dạy lớp có tuổi nghề tương đương, có lòng yêu nghề,
có tinh thần trách nhiệm đối với giảng dạy và giáo dục HS.
1. Nguyễn Thị Phương Toàn – GV dạy lớp 12B4 (lớp thực nghiệm)
2. Huỳnh Nguyễn Hữu Thanh – GV dạy lớp 12B5 (lớp đối chứng)
- Học sinh: Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu cũng có nhiều điểm tương
đồng; cụ thể: hầu hết các em này có học lực trung bình yếu, hay quên, thiếu ý thức
học tập, kỹ năng tính toán yếu.
3.2. Thiết kế nghiên cứu
- Lựa chọn thiết kế: kiểm tra trước và sau tác động với hai lớp tương đương.
- Chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra trước tác động. Kết quả kiểm tra cho
thấy điểm trung bình của hai lớp 12B4 và 12B5 có sự tương đương nhau.Chúng tôi
dùng phép kiểm chứng T-Test độc lập để kiểm chứng sự tương đương điểm số
trung bình của hai lớp trước khi tác động.
Bảng kiểm chứng để xác định hai lớp tương đương:
Thực nghiệm (Lớp 12B4)
Đối chứng (Lớp 12B5)
5,1428571
5,17142857
Trung bình cộng
P1 =
0,948741
P1 = 0,948741 > 0.05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai
lớp thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai lớp được coi là tương
đương.
Thiết kế nghiên cứu:
Kiểm tra
Kiểm tra
Lớp
trước
Tác động
sau
tác động
tác động
Dạy học có hướng
dẫn học sinh nhận
Thực nghiệm (Lớp 12B4)
O1
O3
dạng và cách nhớ
ngắn gọn
Dạy học theo sách
Đối chứng (Lớp 12B5)
O2
giáo khoa, dùng công
O4
thức tính
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
-3-
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
Ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập.
3.3. Quy trình nghiên cứu:
Chuẩn bị bài dạy của giáo viên:
- Giáo viên dạy Toán lớp 12B5 là lớp đối chứng sửa bài tập trong sách giáo
khoa chỉ dùng công thức.
- Giáo viên dạy Toán lớp 12B4 là lớp thực nghiệm, dạy học kết hợp công
thức, giúp học sinh nhận dạng đưa ra cách nhớ ngắn gọn, sắp xếp bài tập
theo dạng từ dễ đến khó, có bài tập tương tự có đáp án giúp học sinh tự
luyện.
Tiến hành dạy thực nghiệm:
Tuân theo kế hoạch giảng dạy của nhà trường và thời khóa biểu để đảm bảo
tính khách quan:
Với lớp đối chứng dạy chính khoá và tăng tiết bình thường (dùng công thức
giải), còn lớp thực nghiệm ở định nghĩa cũng như ví dụ tôi đều giúp học sinh nhận
dạng, nêu rõ lí do vì sao ta phải đặt như vậy sau đó cho bài tập sắp xếp từ dễ đến
khó các bài giống dạng gần nhau rồi đến tiết tăng tiết tôi giải thêm ví dụ, ôn lại các
dạng bài tập và sửa bài tập cho các em.
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu:
- Bài kiểm tra trước tác động do giáo viên nhóm Toán lớp 12 của trường THPT
Lộc Hưng thống nhất.
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong bài tích phân và
bài tập ôn chương cũng do nhóm giáo viên trên ra đề kiểm tra. Kiểm tra bằng
hình thức tự luận, nội dung gồm 4 bài tập: tính tích phân bằng phương pháp
tích phân từng phần, 1 bài ở mức độ nhận biết, 2 bài thông hiểu, 1 bài vận
dụng.
Tiến hành kiểm tra và chấm bài
- Sau khi thực hiện dạy xong các nội dung đã nêu ở trên, chúng tôi tiến hành bài
kiểm tra 1 tiết (nội dung kiểm tra như đã trình bày ở trên).
- Sau đó 2 giáo viên tiến hành chấm bài theo hướng dẫn đã thiết kế.
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ
4.1 PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ
Bảng so sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động:
Thực nghiệm (Lớp 12B4)
Đối chứng (Lớp 12B5)
ĐTB
7,285714
5,742857
Độ lệch chuẩn
1,582467
1,852548
Giá trị P của T - test
0,00037797
Chênh lệch giá trị TB
chuẩn(SMD)
0,83282994
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
-4-
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 lớp thực hiện trước tác động là tương
đương.Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T – test cho kết quả
P = 0, 00037797, cho thấy: sự chênh lệch kết quả ĐTB lớp thực nghiệm và lớp đối
chứng rất có ý nghĩa, tức là sự chênh lệch kết quả ĐTB lớp thực nghiệm cao hơn
ĐTB lớp đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả đạt được của tác động.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD =
7,285714 5,742857
0,83282994 . Điều đó cho thấy mức độ ảnh hưởng của
1,852548
dạy học có hướng dẫn học sinh cách nhớ ảnh hưởng đến kết quả học tập của lớp
thực nghiệm là rất lớn.
Giả thuyết của đề tài “Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp
12B4 học tốt tích phân từng phần” đã được kiểm chứng và kết quả đạt được rất
khả quan góp phần làm nâng cao dần chất lượng bộ môn của trường THPT Lộc
Hưng.
Biểu đồ so sánh điểm trung bình trước tác động và sau tác động của lớp thực nghiệm và
lớp đối chứng
4.2. BÀN LUẬN
Qua kết quả của bài kiểm tra sau tác động: lớp thực nghiệm có TBC =
7,285714 còn lớp đối chứng có TBC = 5,742857. Ta tính được độ chênh lệch điểm
số giữa hai lớp là 1.542857. Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối chứng và
thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn
nhiều so với lớp đối chứng.Và chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm
tra là SMD = 0,83282994. Từ đó cho thấy việc tác động này có ảnh hưởng rất lớn
đến kết quả học tập.
Phép kiểm chứng T – test ĐTB sau tác động của hai lớp là
p = 0,00037797 < 0,001. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai lớp
thực nghiệm và đối chứng không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động có ảnh
hưởng rất lớn đến kết quả. Điều này góp phần giúp cho học sinh yêu thích toán
hơn, giúp các em thấy được việc giải toán tích phân cũng như tính tích phân từng
phần không có gì đáng sợ.
Hạn chế:
Đề tài “Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích
phân từng phần” là một trong những giải pháp rất hữu hiệu góp phần nâng cao
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
-5-
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
dần chất lượng bộ môn Toán của trường THPT Lộc Hưng và một số trường THPT
vùng sâu khác nhưng để sử dụng có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên cần có
lòng yêu nghề, hết lòng với học sinh uốn nắn kịp thời những sai sót của học sinh.
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
5.1. Kết luận:
Trên đây là bài viết về “Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4
học tốt tích phân từng phần” tiến hành giảng dạy có hiệu quả đối với học sinh lớp
12B4 của trường. Khi áp dụng giải pháp này học sinh có thể giải được các bài tập
tính tích phân, biết nhận dạng và áp dụng công thức tính tích phân từng phần với
độ chính xác cao.
5.2. Khuyến nghị:
- Đối với các cấp lãnh đạo:
+ Về phía Sở Giáo Dục: nên mở rộng các đề tài đã đạt giải để các giáo viên
vùng sâu, vùng xa chúng tôi học hỏi kinh nghiệm, áp dụng để dạy tốt hơn.
+ Về phía nhà trường: hỗ trợ mua các loại sách tham khảo có các chuyên đề
về tích phân để các em HS có thể tham khảo, học tập tốt hơn.
- Đối với giáo viên:
+ Tích cực nghiên cứu tài liệu, trao đổi kinh nghiệm dạy học từ đồng nghiệp.
+ Những bài tập đưa ra cho HS phải từ dễ đến khó, có hệ thống, phân dạng để
HS nắm chắc từng dạng bài.
+ Hướng dẫn học sinh nhận dạng, nhận biết loại hàm, chỉ ra cái sai nếu đặt
không đúng và quan trọng hơn là học sinh phải học thuộc bảng nguyên hàm của
một số hàm thường gặp, phân biệt khi nào dùng nguyên hàm khi nào dùng đạo
hàm.
+ Kiểm tra thường xuyên, có hiệu quả phần chuẩn bị bài tập về nhà của HS,
khuyến khích, chỉ dẫn các em cách học nhóm...
- Do năng lực và thời gian có hạn, đề tài chưa có nhiều bài tập, bài tập chưa hay,
chưa thực sự điển hình nhưng thấy tính hiệu quả, thiết thực của đề tài nên giới
thiệu với quý thầy cô và các em học sinh. Rất mong nhận được sự đóng góp của
quý thầy cô, của Ban giám hiệu nhà trường để đề tài này được hoàn chỉnh hơn, góp
phần nâng cao chất lượng bộ môn, nâng cao hơn nữa kết quả học tập của học sinh
qua các kỳ thi.
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
-6-
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12 chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục.
2. Sách Bài tập giải tích 12 chương trình chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo
dục.
3. Sách giáo viên Toán 12 chương trình chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo
dục.
4. Đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng các năm.
5. Mạng Internet: thuvientailieu.bachkim.com.
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
-7-
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
PHỤ LỤC
CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN
Bài toán dùng phương pháp tính tích phân từng phần
b
b
Dựa trên công thức u ( x)v '( x) dx (u ( x)v( x)) u '( x)v( x) dx
b
a
a
b
b
a
a
a
b
Hay u dv uv a v du
Giáo viên lưu ý học sinh khi gặp bài toán sử dụng công thức tích phân từng
phần ta phải chọn u, dv sao cho:
du đơn giản, v dễ tính
-
Tích phân sau
b
b
a
a
vdu phải đơn giản hơn tích phân cần tính udv .
Đối với học sinh yếu chắc chắn các em sẽ gặp lúng túng, khó khăn: trước hết
em không biết nhận dạng, nếu có phát hiện bài toán tích phân từng phần các em
không biết đặt ra sao.
Vì vậy tôi đưa ra cách giúp học sinh nhận dạng bài toán tích phân từng phần:
+ Biểu thức dưới dấu tích phân là tích hai hàm.
+ Ta kiểm tra xem có làm được bằng phương pháp đổi biến số không
+ Nếu đã khẳng định dùng phương pháp tích phân từng phần ta áp dụng thứ
tự ưu tiên khi gặp:
“mũ – lượng – đa – lốc”
dv
u
GV giải thích: mũ là nói tắt của hàm số mũ, lượng là hàm số lượng giác, đa
là hàm đa thức (có thể là hàm phân thức), lốc là hàm lôgarit. Nếu đề bài chứa hàm
số lôgarit thì ta ưu tiên đặt cho u, nếu không có hàm lôgarit thì mới xét ưu tiên kế
tiếp cho hàm đa thức và tương tự đối với dv.
Lần lượt giáo viên cho ví dụ để học sinh nắm vững thứ tự ưu tiên đã nêu.
2
Ví dụ 1: Tính I1 = 4 x ln xdx (HKII 2008 - 2009)
1
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng biểu thức dưới dấu tích phân là tích của
hàm đa thức 4x và hàm lốc là lnx. Nên theo thứ tự ưu tiên ta đặt u = lnx còn lại
là dv với lí do là trong bảng nguyên hàm ta không có nguyên hàm của lnx
1
u ln x
du dx
x
Đặt
dv
4
xdx
v 2x2
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
-8-
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
2
2
2
2
2
I1 = 4 x ln xdx = 2 x ln x 1 2 xdx 2 x ln x 1 x 1 8ln 2 3
2
1
2
2
1
e2
Ví dụ 2: Tính I2 =
x
1
2
x ln xdx
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng biểu thức dưới dấu tích phân là tích của
hàm đa thức x2 + x và hàm lốc là lnx. Nên theo thứ tự ưu tiên ta đặt u = lnx
còn lại là dv.
u ln x
Đặt
2
dv x x dx
1
du x dx
3
2
v x x
3 2
e2
I2 = x 2 x ln xdx
1
e2
2
e
x
x2 x
x
ln x dx
3 2 1 1 3 2
3
2
e2
e2
x3 x 2
x3 x 2
ln x
4 1
3 2 1 9
5e6 3e 4 13
9
4 36
3
2
Ví dụ 3: Tính I3 = ln x x dx (ĐHKD – 2004)
2
Giải:
Giáo viên hướng dẫn đây là bài toán dùng tích phân từng phần vì nếu đổi biến
thì sẽ không chuyển tích phân cần tính về theo biến mới được. Biểu thức dưới dấu
tích phân chứa lốc nên ta
2x 1
u ln x 2 x
dx
du 2
x x
Đặt
v x
dv dx
3
3
3
2x 1
1
dx = x ln( x 2 x) 2
I3 = x ln( x x) 2
dx = 3ln3 – 2
2
x
1
x
1
2
2
2
3
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
-9-
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
2
ln x
x
Ví dụ 4: Tính I4 =
3
dx (ĐHKD – 2008)
1
Giải:
1
du
dx
x
v 1
2x2
u ln x
Đặt
dx
dv
x3
2
2
2
2
2
ln x
ln x
dx ln x
1
3 2ln 2
I4 = 3 dx
x
2x2 1
2 x3
2x2 1 4x2 1
16
1
1
3
Ví dụ 5: Tính I5 =
3 ln x
x 1
2
dx (ĐHKB – 2009)
1
3
I5 =
3
3 ln x
x 1
dx =
2
1
3
x 1
1
3
dx
2
1
ln x
x 1
2
dx 3 A B
3
3
1
3
ln x
1
1
dx
Tính A =
2
x 11 4
1 x 1
B=
x 1
2
dx
1
1
u ln x
du
dx
x
dx
Đặt
dv
v 1
(1 x) 2
1 x
3
3
3
3
ln x
dx
ln 3
1
1
dx =
B=
2
dx
x 1 1 1 x( x 1)
4
x x 1
1 x 1
1
ln x
3
ln 3
x
3ln 3
ln
ln 2
4
x 1 1
4
Vậy I5 =
3 3ln 3
ln 2
4
4
e
3
Ví dụ 6: Tính I6 = 2 x ln xdx (ĐHKD – 2010)
x
1
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
- 10 -
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
e
e
e
3
ln x
dx 2 A 3B
I6 = 2 x ln xdx = 2x ln xdx 3
x
x
1
1
1
e
Tính A = x ln xdx
1
1
du
dx
u ln x
x
Đặt
2
dv xdx v x
2
e
e
x 2 ln x
1
e2 1
A
xdx =
2 1 21
4
e
Tính B =
ln x
1 x dx
1
Đặt t = lnx dt dx
x
Đổi cận x = 1, t = 0; x = e, t = 1
1
1
t2
1
tdt
B=
20 2
0
e2 1 3 e2 2
Do đó I6 = 2
- =
2
4
2
e
3
2
Ví dụ 7: Chẳng hạn: I7 = x ln xdx (ĐHKD – 2007)
1
1
du
2
ln xdx
u ln x
x
Đặt
4
3
dv
x
dx
v x
4
2
e
e
x4
1 3
3
2
(ln
x
.
)
x ln xdx
I7 = x ln xdx
4 1 2
1
14
2 43
1
e
2
K
e
3
Tính K = x ln xdx
1
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
- 11 -
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
1
du dx
u ln x
x
Đặt
3
4
dv x dx v x
4
e
e 3
e 4 e4 1 3e4 1
x4
x
x
ln
xdx
K=
(ln x. ) dx
4
16
16
16
16
4
4
1
1
1
e
3
5e 4 1
Do đó I7 =
32
Nhận xét: do không có công thức nguyên hàm của lnx nên mục đích đặt là
khử lnx, nên số lần tính tích phân phụ thuộc vào số mũ của lnx
GV chốt lại các ví dụ trên là tích của hàm đa thức (có thể là hàm phân thức) và
hàm lôc nên ta phải đặt u = lốc và dv là hàm đa thức (hoặc hàm phân thức)
1
ln( x 1)
dx .
Bài tập tự luyện: 1. Tính M =
2
(
x
2)
0
Hướng dẫn đặt
u ln( x 1)
1
4
dv dx . Kết quả: ln 2 ln
3
3
2
x 2
e
2
2. Tính N = ( x ln x) dx . Kết quả:
1
5e3 2
27
2
3. Tính P = cos x ln(1 cos x)dx .
0
u ln(1 cos x )
Hướng dẫn đặt
. Kết quả: 1
2
dv cos xdx
1
4. Tính Q =
2 x 1 ln( x
3
1)dx .
0
3x 2
3x2
du
dx
dx
u ln( x 1)
3
2
x
1
(
x
1)(
x
x
1)
Hướng dẫn đặt
.
dv (2 x 1)dx
2
v x x 1
3
Kết quả:
3
2ln 2
2
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
- 12 -
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
2
Ví dụ 8: Tính I 8 (2 x 1)cos xdx (TN 2008)
0
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng bằng cách nhận xét biểu thức dưới dấu
tích phân là tích của hàm đa thức 2x – 1 và hàm lượng giác cosx. Do đó dựa vào
thứ tự ưu tiên
u 2 x 1
du 2dx
Ta đặt
dv cos xdx v sin x
2
2
0
2
Do đó: I (2 x 1)cos xdx (2 x 1)sin x 2 sin xdx
8
0
0
2
0
2
0
(2 x 1)sin x 2cos x 3
Nếu đặt ngược lại:
u cos x
dv
(2
x
1)
dx
2
0
2
du sin xdx
2
v x x
I8 ( x 2 x)cos x ( x 2 x)sin xdx
0
2
Rõ ràng tích phân ( x 2 x)sin xdx phức tạp hơn I8 nên ta phải đặt theo thứ
0
tự ưu tiên như đã giải
Ví dụ 9: Tính I9=
2
x
2
sin xdx
0
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng bằng cách nhận xét biểu thức dưới dấu
tích phân là tích của hàm đa thức x2 và hàm lượng giác sinx.
u x2
du 2 xdx
Đặt
dv sin xdx v cos x
Do đó I9 =
2
x
2
2
sin xdx = x cos x
0
Ta thấy J =
2
x cos xdx
2
0
2
+ 2 x cos xdx
0
đơn giản hơn I9 nhưng vẫn còn là tích của hàm đa
0
thức và hàm lượng giác nên tiếp tục tính tích phân từng phần
u x
du dx
Đặt
dv cos xdx v sin x
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
- 13 -
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
2
2
0 x cos xdx = x sin x 02 0 sin dx x sin x 02 cos x 02 2 1
Nên I9 = 2
J=
3
Ví dụ 10: Tính I10= 1 x sin x dx (ĐHKB – 2011)
0 cos2 x
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng bằng cách nhận xét biểu thức dưới dấu
tích phân là tích của hàm đa thức x và hàm lượng giác nhưng ta phải tách ra
thành tổng hai tích phân.
3
I10= 1 x sin x dx =
0 cos2 x
Tính A =
Tính B =
3
3
1
x sin x
dx
2
0 cos x 0 cos2 x dx A B
3
1
0 cos2 xdx tan x 03 3
3
x sin x
dx
2
x
cos
0
u x
Đặt
sin x
dv
dx
cos 2 x
3
x
cos x 0
B=
Với I =
3
3
du dx
1
v
cos x
2
1
I
=
dx
0 cos x
3
1
cos x dx
0
Đặt t =sinx, dt = cosxdx
Đổi cận x = 0, t = 0; x =
I=
3
3
,t
3
2
3
3
2
1
cos x
dt
dx
dx
0 cos x 0 1 sin 2 x
0 1 t 2
3
2
= 1 ln t 1 ln(2 3)
2 t 1 0
2
B
ln(2 3)
3
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
- 14 -
Trường THPT Lộc Hưng
3
Do đó I10 =
Năm học 2013 - 2014
2
ln(2 3)
3
Ví dụ 11: Tính I11=
4
x(1 sin 2 x)dx (ĐHKD – 2012)
0
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng bằng cách nhận xét biểu thức dưới dấu
tích phân là tích của hàm đa thức x và hàm ( 1+ sin 2x) ta có thể áp dụng cách
nhớ tính tích phân từng phần bằng cách đặt
du dx
u x
cos 2 x
dv (1 sin 2 x)dx v x
2
Hoặc giải bằng cách tách thành tổng hai tích phân
I11=
4
4
2 4
= x
xdx
x
sin
2
xdx
0
0
2
Tính I =
0
2
I
I
32
4
x sin 2 xdx
0
du dx
u x
Đặt
cos 2 x
dv sin 2 xdx v
2
4
4
4
I = x cos 2 x cos 2 x dx sin 2 x 1
0 2
2
4 0 4
0
2 1 2 8
Do đó I11 =
32 4
32
Ví dụ 12: Tính I12 =
2
2 x 1 cos xdx
2
0
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng bằng cách nhận xét biểu thức dưới dấu
tích phân là tích của hàm đa thức 2x – 1 và hàm lượng giác cos 2 x . Nhưng ta
không thể giải ngay được vì nếu theo thứ tự ưu tiên ta đặt dv = cos 2xdx và việc tìm
v rất khó khăn. Do đó ta phải dùng công thức biến đổi trước
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
- 15 -
Trường THPT Lộc Hưng
I12 =
2
Năm học 2013 - 2014
2
1 cos2x
dx
2
2 x 1 cos xdx 2 x 1
2
0
2
0
2
1
1
x dx 2 x 1 cos2xdx
2
20
0
2
1
1 2
1 2 1
Tính : x dx x x 2
2
2
2 4 2
2
0
0
Tính : H =
2
2 x 1 cos2xdx
0
du 2dx
u 2 x 1
Ta đặt
1
dv cos 2 xdx v sin 2 x
2
2
2
2
2
H = 2 x 1 cos2xdx = 1 2 x 1 sin 2 x sin2 xdx 1 cos 2 x 1
0
0
2
2
0
0
1 2 1
Vậy I12 = 2 4 2 2
Ví dụ 13: Tính I13 =
2
2
0
0
x
x sin x cos 2 xdx = 2 sin3x sin x dx
Giải:
x
u
2
Đặt
dv sin 3 x sin x dx
2
1
du
dx
2
v 1 cos3x cos x
3
2
x 1
1 1
I13 cos3 x cos x cos3 x cos x dx
2 3
0 2 0 3
2
= 0 + 1 sin 3 x 1 sin x 5
2
9
18
0
GV chốt lại từ ví dụ 8 đến ví dụ 13 là tích phân của tích hàm đa thức và
hàm lượng giác ta đặt u là hàm đa thức và dv là hàm lượng giác vì nếu đặt ngược
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
- 16 -
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
b
udv uv
lại khi áp dụng công thức
b
a
a
b
b
b
a
a
a
vdu thì vdu sẽ phức tạp hơn udv và
dĩ nhiên là tính tiếp không được.
Bài tập tự luyện:
2
2
Kết quả
1
4
1. I x (2 sin x)dx
0
2. J
2
x sin xdx
Hướng dẫn đổi biến đặt t =
x sau đó tích bằng
0
tích phân từng phần. Kết quả 2 2 8
4
x
3. K
0 1 cos 2 x dx
Kết quả:
6
4. L x sin x cos 2 xdx Kết quả:
0
1
Ví dụ 14: Tính I14 =
x 1
1
ln 2
8 4
3 11
48
72
2 x
e dx
0
Giải:
Giáo viên giúp học sinh nhận dạng đây là tích của hàm đa thức (x+ 1) 2 và
hàm mũ ex nên ta đặt
du 2 x 1 dx
x
v e
u ( x 1) 2
x
dv e dx
Do đó: I14 x 1 e
2
x
1
0
1
2 x 1 e x dx
0
1
Tiếp tục tính tích phân từng phần
x
x
x
x 1 e dx x 1 e 0 e 0 e
1
1
0
Vậy I14 =2e – 1
1
3 x
Ví dụ 15: Tính I15 = x e dx (Dự bị 1 Khối D - 2003)
2
0
Giải:
u x 2
Đặt
x2
dv xe dx
du 2 xdx
1 x2
v 2 e
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
- 17 -
Trường THPT Lộc Hưng
1
Năm học 2013 - 2014
3 x
Do đó I15 = x e dx =
2
0
1
1
1
2
1 2 x2
1
1 2
1
x e xe x dx e e x
2
2
2 0 2
0
0
0
x
Ví dụ 16: Tính I16= x.2 dx
1
du dx
u x
Đặt
2x
x
dv 2 dx v
ln 2
Do đó
0
0
1
1
1
1 x0
1
1
1
x
x.2 x
2
dx
2
I16 =
ln 2
ln 2 1
2.ln 2 ln 2 2 1 2.ln 2 ln 2 2 2.ln 2 2
1
Giáo viên chốt lại từ ví dụ 14 đến ví dụ 16 biểu thức dưới dấu tích phân là tích
của hàm đa thức và hàm mũ nên ta đặt u là hàm đa thức, dv là hàm mũ
2
2 x
Bài tậptự luyện: 1. (3x 4).e dx
0
u 3x 4
Hướng dẫn: Ñaët
2 x
dv e dx
7e4 5
Kết quả
4
1
2
3
e
3
2. ( x 1).e dx . Hướng dẫn tích phân từng phần 2 lần Kết quả
2
0
2
ln 3
3.
0
2x
xe x
ex 1
dx
ux
du dx
x
e
Hướng dẫn: Ñaët
x
dx
dv x
v 2 e 1 dx
e 1
Kết quả 6ln 3 8 4 2 4ln( 2 1 )
2
Ví dụ 17: Tính I17= e x .cos xdx
0
Giải:
u ex
du e x dx
Đặt
dv cos xdx v sin x
Do đó
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
- 18 -
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
2
I17 = e x .sin x 2 e x sin xdx
0
0
2
Tính I = e x .sin xdx
0
u e x
du e x dx
Đặt
dv sin xdx v cos x
2
0
2
Nên I = e x .cos x e x cos xdx
0
2
2
0
2
0
2
0
2
Vì vậy: I17 = e x .sin x e x sin xdx = e x .sin x (e x .cos x e x cos xdx)
0
2
0
0
2
2 I17 e (sin x cos x) e 1
x
I17
2
e 1
2
Giáo viên lưu ý ở ví dụ trên ta đặt u là hàm mũ, dv là hàm lượng giác ở cả hai lần
tính tích phân từng phần và có thể đặt ngược lại tức u là hàm lượng giác, dv là hàm
mũ nhưng phải cho cả hai lần đặt.
2
2
Bài tậptự luyện: 1. I = e x .sin xdx Kết quả: e 1
0
2
2
3e 2
2. e .cos3 xdx Kết quả:
13
2x
0
e 2 1
3. e .sin xdx Kết quả:
8
0
2x
2
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
- 19 -
Trường THPT Lộc Hưng
Năm học 2013 - 2014
PHỤ LỤC
ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG
BÀI 1: Giải các phương trình (8 điểm)
3 x1
1
a.
3
3
c. 2 x 2 22 x 15
b. 9 x 8.3x1 1 0
d. e6 x 3.e3 x 2
f. 2log 2 x log 2 x log 1 x 9
2
e. log 2 x 6 log 2 3 x 6
2
log 2 x 3
g.
log 2 6 x 10 1 0
2
h. log
2
2
x 3log 2 x log 1 x 2
2
BÀI 2: Giải các bất phương trình(2 điểm)
2 x2 3 x
a. 7
9
9
b.
7
3 x1
log 0,2 x log 5 x 2 log 0,2 3
Hướng dẫn chấm
1
Bài 1: a.
3
3
33 x1 3
3x 1 1
x0
Vậy nghiệm của phương trình x= 0
b. 9 x 8.3x1 1 0
3x
x
9 8. 1 0
3
x
3 3
x
3 1 ( ptvn)
3
x 1
Vậy nghiệm của phương trình x =1
Sử dụng cách nhớ ngắn gọn giúp học sinh lớp 12B4 học tốt tích phân từng phần
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
- 20 -
- Xem thêm -