Tài liệu Skkn sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử giải một số hệ phương trình đại số

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Học sinh khối 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định. - Học sinh khối 11, 12 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định. - Học sinh tham gia các đội tuyển thi học sinh giỏi các cấp. 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 05 tháng 08 năm 2015 đến ngày 20 tháng 05 năm 2016 4. Tác giả: Họ và tên : Cao Thị Mai Len Năm sinh : 1976 Nơi thường trú : Số nhà 12 ngõ 36 - Đường Trần Nhật Duật - Phường Trần Tế Xương- T.P Nam Định. Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ sư phạm toán học. Chức vụ công tác: Giáo viên Toán Nơi làm việc: Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong- Nam Định Địa chỉ liên hệ: Cao Thị Mai Len Tổ Toán Tin- Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong- Nam Định. Điện thoại: 0915703577 1 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len 5. Đồng tác giả (nếu có): Không có 6. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong- Nam Định Địa chỉ: 76 Vị Xuyên TP Nam Định. Điện thoại: 0350 3640297 2 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN: 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học. - Trong xu thế giáo dục mới của thời đại, người giáo viên ngoài đóng vai trò là người truyền đạt tri thức còn phải là người tổ chức, chỉ đạo, hướng dẫn, gợi mở, cố vấn, trọng tài cho các hoạt động học tập tìm tòi, khám phá, giúp học sinh tự lực chiếm lĩnh kiến thức mới. Giáo viên phải có năng lực đổi mới phương pháp dạy học chuyển từ kiểu dạy tập trung vào vai trò giáo viên và hoạt động dạy sang cách dạy tập trung vào vai trò của học sinh và hoạt động học, từ cách dạy thông báo- giải thích- minh họa sang cách dạy hoạt động tìm tòi khám phá. - Trong sự phát triển nhanh như vũ bão của công nghệ thông tin, xã hội thời đại mới đòi hỏi người giáo viên phải có ý thức, có nhu cầu, có tiềm năng không ngừng tự hoàn thiện nhân cách, đạo đức, lối sống, nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ phát huy tính chủ động độc lập, sáng tạo trong việc thực hiện các mục tiêu giáo dục. Giáo viên phải có năng lưc giải quyết những vấn đề nảy sinh trong thực tiễn dạy học giáo dục bằng con đường tổng kết kinh nghiệm, phát huy sáng kiến, thực nghiệm sư phạm. - Trong bối cảnh hiện nay đòi hỏi người giáo viên trung học phổ thông phải đạt yêu cầu cao về phẩm chất, năng lực chuyên môn nghiệp vụ, phải có trình độ tin học ngoại ngữ để đáp ứng yêu cầu phát triển nội dung, đổi mới phương pháp dạy học nhu cầu, trình độ nhận thức của học sinh THPT. - Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong Nghị Quyết Trung ương 4 khóa VII (1-1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII (12- 1996) và được thể chế hóa trong Luật Giáo dục sửa đổi ban hành ngày 27/6/2005, điều 2.4, đã ghi "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh". 3 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam( khóa VIII, 1997) khẳng định: “ Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh...”. Phương pháp dạy học hiện đại (phương pháp dạy học tích cực) xuất hiện ở các nước phương Tây (ở Mỹ, ở Pháp...) từ đầu thế kỷ XX và được phát triển mạnh từ nửa sau của thế kỷ, có ảnh hưởng sâu rộng tới các nước trên thế giới, trong đó có Việt Nam. Đó là cách thức dạy học theo lối phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh, ở đó giáo viên là người giữ vai trò hướng dẫn, gợi ý, tổ chức, giúp cho người học tự tìm kiếm, khám phá những tri thức mới theo kiểu tranh luận, hội thảo theo nhóm. Người thầy có vai trò là trọng tài, cố vấn điều khiển tiến trình giờ dạy. Phương pháp dạy học này chú ý đến đối tượng học sinh, coi trọng việc nâng cao quyền năng cho người học. Giáo viên là người nêu tình huống, kích thích hứng thú, suy nghĩ và phân xử các ý kiến đối lập của học sinh; từ đó hệ thống hoá các vấn đề, tổng kết bài giảng khắc sâu những tri thức cần nắm vững. 1.2. Những khó khăn trong dạy học phần hệ phương trình đại số. Trong các kỳ thi học sinh giỏi tỉnh Nam Định, học sinh giỏi Quốc gia môn Toán, đặc biệt là trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán, phần hệ phương trình đại số luôn là bài tập không dễ đối với các em học sinh, đây là phần bài tập có mức độ khó sau phần bài tập bất đẳng thức hoặc phần bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong mỗi đề thi Toán. Các bài tập phần này thường yêu cầu học sinh tư duy suy nghĩ sáng tạo, biết vận dụng kiến thức tổng hợp đã biết trong các năm học trung học phổ thông, phối hợp đa dạng các phương pháp giải của hệ phương trình đại số như biến đổi tương đương, phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp nhẩm nghiệm, tách, thêm bớt, nhân chia liên hợp, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số, phương pháp lượng giác ...đặc biệt là phương pháp phân tích thành nhân tử, một phương pháp giải quen thuộc với cả giáo viên và học sinh khi tiếp cận. Tuy nhiên các bài tập giải theo phương pháp này nhiều khi cũng gây rắc rối cho cả 4 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len giáo viên và học sinh khi phân tích bài giải. Nhân tử chung của phương pháp phân tích thành nhân tử thường không có sẵn ngay trong từng phương trình mà phải biến đổi theo các thủ thuật như cộng đại số, thế, nhân chia liên hợp...có khi phải kết hợp cả hai phương trình mới tìm ra được nhân tử chung. Các hệ phương trình giải được bằng phương pháp phân tích thành nhân tử rất đa dạng, xu thế mới của thời đại công nghệ thông tin còn có phương pháp nhẩm nghiệm bằng máy tính bỏ túi casio sau đó sẽ phân tích thành nhân tử dựa theo nghiệm đó. Cách làm đó còn khá mới mẻ với giáo viên và học sinh khi tiếp cận nên còn gặp rất nhiều khó khăn. Vì những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 5 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua giải bài tập toán học, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp ( thuật toán ), những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Giải bài tập toán học thực chất là quá trình tư duy. Điều đó có nghĩa là tìm kiếm sự hợp lý (hợp logic ) của các luận điểm (quy tắc) chung của toán học (định nghĩa, định lý, lý thuyết, quy tắc, định luật, công thức) mà khi vận dụng chúng vào các điều kiện của bài tập hay các kết quả trung gian của nó, ta thu được cái mà bài tập yêu cầu lời giải của bài tập. Phương pháp chung để giải bài toán như sau : +) Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài - Phát biểu đề bài dưới dạng thức khác nhau để tìm hiểu rõ nội dung bài toán. - Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh. - Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài . +) Bước 2: Tìm cách giải - Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán, biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích,…. - Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hoá kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan,… - Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để có thể chọn được cách giải hợp lí nhất. +) Bước 3: Trình bày lời giải. - Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó. 6 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len +) Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải - Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải. - Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp câ ân với hệ phương trình đại số cũng như cách giải mô ât vài dạng toán cơ bản của phần này. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải hệ phương trình đại số rất phong phú và đa dạng. Đă âc biê ât, trong các đề thi học sinh giỏi Tỉnh- Quốc gia, THPT Quốc gia các em sẽ gă âp mô ât lớp các bài toán về hệ phương trình đại số mà mức độ phức tạp phân tích tìm lời giải không dễ dàng. Bên cạnh các phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số, phương pháp đánh giá …thì phương pháp phân tích thành nhân tử cũng là phương pháp quen thuộc dễ tiếp cận với đa số học sinh từ lực học trung bình đến lực học khá giỏi, tuy quen thuộc gần gũi nhưng khi áp dụng vào mỗi hệ phương trình cụ thể tìm được cách nhóm nhân tử chung- mấu chốt của bài toán lại gặp rất nhiều rắc rối. Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao, phần hệ phương trình đại số chỉ là mô tâ mục nhỏ trong bài: Mô ôt số ví dụ về hệ phương trình bâ ôc hai hai ẩn của chương III. Trong SGK Đại số lớp 10 ban cơ bản thậm chí phần hệ phương trình đại số chỉ điểm qua rất sơ sài qua một vài bài tập trong sách bài tập của chương III. Tóm lại ở các SGK thời lượng dành cho phần này rất ít, các ví dụ và bài tâ pâ trong phần này cũng rất hạn chế và chỉ ở dạng cơ bản. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác hệ phương trình đại số đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có kĩ năng biến đổi toán học nhanh nhẹn và thuần thục. Muốn vâ ây, trong các tiết luyê ân tâ pâ giáo viên cần tổng kết lại cách giải các dạng hệ phương trình thường gă pâ , nhắc nhở và khắc phục ngay những sai lầm thường mắc phải của học sinh, cũng như bổ sung thêm các dạng bài tâ pâ nâng cao, chú ý rèn luyê nâ cho học sinh kĩ năng giải hệ phương trình đại số theo phương pháp phân tích thành nhân tử. 7 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len Trong kỳ thi đại học năm 2011-2012, đề thi khối A môn Toán câu II ý 2 có bài toán � 5 x 2 y - 4 xy 2 + 3 y 3 - 2( x + y ) = 0 � � ( x; y ��) � 2 2 2 � xy x + y + 2 = x + y ( ) ) � ( giải hệ phương trình: � Hay trong đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2012-2013 có xuất hiện hệ phương trình ở câu 3: �xy + x - 2 = 0 � ( x; y ��) � 3 2 2 2 � 2 x x y + x + y 2 xy y = 0 Giải hệ phương trình � Trong đề thi tuyển sinh đại học khối B môn Toán năm 2013-2014 cũng xuất hiện hệ phương trình ở câu 3: Giải hệ phương trình �2 x 2 + y 2 - 3xy + 3 x - 2 y +1 = 0 � ( x; y ��) � 2 2 � 4 x y + x + 4 = 2 x + y + x + 4 y � Trong đề thi tuyển sinh đại học khối B năm học 2014-2015 cũng xuất hiện hệ phương trình ở câu 8: Giải hệ phương trình � (1- y ) x - y + x = 2 + ( x - y - 1) y � ( x; y ��) � 2 � � �2 y - 3 x + 6 y +1 = 2 x - 2 y - 4 x - 5 y - 3 Để giải các hệ phương trình này có nhiều cách tiếp cận và nhiều phương pháp giải đưa ra, ta có thể sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử với một phương trình của hệ, có thể coi một phương trình của hệ là phương trình bậc hai một ẩn, ẩn còn lại là tham số mục đích tìm mối liên hệ giữa hai ẩn x và y để phân tích một phương trình thành tích các nhân tử để giải quyết dễ dàng bài tập. có thể thêm bớt nhóm nhân tử chung, cũng có thể thực hiện thao tác nhẩm nghiệm, tách nhân chia liên hợp nếu phương trình có chứa căn bậc hai, bậc ba,… 8 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len Thời đại công nghệ thông tin phát triển như vũ bão, máy tính Casio với tính năng SHIFT, CALC, TABLE… hỗ trợ rất nhiều cho quá trình tiếp cận và giải hệ phương trình đại số theo phương pháp phân tích thành nhân tử, tiếp cận với các tính năng ưu việt của máy tính hỗ trợ ta giải quyết dễ dàng bài toán Có thể nhận thấy rằng các bài tập trên, nếu không nắm vững kiến thức và phương pháp phân tích thành nhân tử để giải sẽ gặp khá nhiều rắc rối khi bắt tay vào giải bài tập đó. Một số các em học sinh khi thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi Quốc gia hoặc thi THPT Quốc gia môn toán gặp bài toán giải hệ phương trình đại số mà giải theo phương pháp phân tích thành nhân tử đều cảm thấy khó khăn và lúng túng tìm nhân tử chung, mất thời gian đáng tiếc. CÁC GIẢI PHÁP TRỌNG TÂM Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này gồm 3 phần: Phần thứ nhất: LÝ THUYẾT CƠ BẢN Phần thứ hai: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Phần thứ ba: MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO 9 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len Phần thứ nhất: LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Phương pháp phân tích thành nhân tử Phân tích nhân tử là một thuật ngữ toán học dùng để chỉ một cách viết một số nguyên, hay tổng quát là một vật thể toán học, thành một phép nhân của các số nguyên khác, hay tổng quát là các vật thể toán học khác. Các số nguyên, hay vật thể toán học, nằm trong phép nhân gọi là nhân tử. Phân tích một biểu thức chứa biến thành nhân tử là biến đổi biểu thức đó về tích của các biểu thức chứa biến khác, các biểu thức chứa biến nằm trong phép nhân là các nhân tử của biểu thức chứa biến đó. 2. Các cách phân tích thành nhân tử a. Phương pháp đặt nhân tử chung Nếu các hạng tử của đa thức đều có nhân tử chung thì ta có thể đặt nhân tử chung đó làm thừa số. VD: ab - ac = a ( b - c ) b. Phương pháp nhóm các hạng tử Nếu một đa thức có nhiều hạng tử, nhóm lại với nhau mà phân tích thành nhân tử chung được thì nhóm chúng lại theo từng nhóm thích hợp để phân tích đa thức đó thành nhân tử. Ví dụ: bc - ad - bd + ac = b( c - d ) + a ( c - d ) = ( c - d )( a + b) c. Áp dụng các hằng đẳng thức Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức. Những hằng đẳng thức đáng nhớ 1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2. (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 10 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len 3. A2 - B2 = (A + B)(A - B) 4. (A + B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5. (A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6. A3 + B3 = (A + B) (A2 - AB + B2) 7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) 2 2 2 Mở rộng: ( a + b + c ) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc . 2 d. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm hoặc bớt hạng tử, nhẩm nghiệm của biểu thức chứa biến cần phân tích. + Nếu f ( x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f ( x) có một nhân tử là x - 1 + Nếu f ( x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f ( x) có một nhân tử là x +1 Ta nhận thấy nghiệm của f ( x) nếu có là x0 thì luôn tách f ( x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x - x0 e. Tách hạng tử dựa vào nghiệm của tam thức bậc hai 2 Tam thức bậc hai ax + bx + c ( a �0) có nghiệm x1; x2 thì ax 2 + bx + c = a ( x - x1 )( x - x2 ) f. Phương pháp đặt ẩn phụ. g. Sử dụng máy tính casio để nhẩm nghiệm, tách nhân tử… 11 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len Máy tính Casio với nhiều tính năng tiện lợi hỗ trợ rất nhiều trong quá trình làm toán như tính toán các phép toán cộng trừ nhân chia các biểu thức phức tạp. Cùng với việc sử dụng tính năng SOLVE, CALC, TABLE đã có nhiều những kỹ năng hỗ trợ giúp chúng ta tìm được nhân tử chung hoặc từ một phương trình của hệ hoặc từ hai phương trình của hệ. h. Phối hợp đa dạng các phương pháp Lưu ý: - Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức, biểu thức chứa biến có thể phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, hoặc phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức, biểu thức mới phải xuất hiện nhân tử chung. - Với một đa thức, biểu thức chứa biến có thể có nhiều cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp. - Khi phân tích đa thức, biểu thức chứa biến thành nhân tử ta phải phân tích đến cuối cùng (không còn phân tích được nữa). - Khi đa thức có nhiều hơn một ẩn, ta cũng thực hiện các thao tác hoàn toàn tương tự như đối với một ẩn x. - Đối với các phương trình từ bậc hai trở lên việc áp dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử rất quan trọng giúp ta dễ dàng giải quyết bài toán � f ( x) = 0 f ( x ) .g ( x ) = 0 � � � g ( x) = 0 � 12 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len - Khi giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích thành nhân tử ta có thể phân tích từ một phương trình của hệ, hoặc phối hợp giữa hai phương trình của hệ tìm nhân tử chung để giải quyết bài toán thuận lợi hơn. 13 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len Phần thứ hai: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I. Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung  4 x 2  3 y  x  1  7  2 3 y  4 x  y  1  3 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  Nhận xét: Ta thấy nhân tử chung đã xuất hiện ngay ở phương trình thứ 2 của hệ. Thực hiện thao tác chuyển vế phát hiện nhân tử chung và nhóm nhân tử chung đó ta giải quyết dễ dàng bài toán. Giải: Điều kiện xác định: x; y  �.  4 x 2  3 y  x  1  7   y  1 3 y  1  4 x   0 Hệ phương trình đã cho �   5  x  4  2   x  x  10  y  1 2   x  3 y  x  1  7   x  2    y 1   y  1     3 y  3  4 x  y  1 3 y  3  4 x      x  4  x  4  19  y  3  5   19   ;1,  2;1 ,  4;  3   Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (x; y) là  4  14 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len  x 3  4 y  y 3  16 x (1)  2 2 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : 1  y  5(1  x ) (2) Nhận xét: Nhân tử chung chưa thấy xuất hiện từ các phương trình của hệ, tuy nhiên 3 2  x 3  4 y  y 3  16 x  x  16 x   y  4  y    2 2 2 2 1  y  5(1  x )  y  4  5x nếu thực hiện thao tác biến đổi sau đó thực hiện thao tác thế từ phương trình (2) lên phương trình (1) ta có ngay nhân tử chung là x. Giải Điều kiện xác định: x; y  �. 2 2 Phương trình (2) tương đương với y  4  5 x (3) Thay vào phương trình (1) ta có: x  0   2 x3  16 x  5 x 2 y  x 3  5 x 2 y  16 x  0  x  x  5 xy  16   0 x  5 xy  16  0 2 2 - Với x = 0  y  4  y   2 - Với x 2  5 xy  16  0  y  x 2  16 , 5 x thay vào (3) ta có : 2  x 2  16  x  1  y  3 2 2 2 2    5 x  4  124 x  132 x  256  0  x  1    x  1  y  3  5x  Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là :(x; y)=(0;  2 ),(1;3),(-1;3). 15 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len 2 2  x  x  y   7 x  2 y  2  1  2 x  y 2  xy  1  4 x  2 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  Nhận xét: Ta chưa nhìn thấy ngay nhân tử chung của một trong hai phương trình đã 2 cho. Tuy nhiên có một lượng y  1 xuất hiện ở cả hai phương trình của hệ, nếu khéo 2 léo rút y  1 từ phương trình (2) thế vào phương trình (1) ta sẽ thấy xuất hiện nhân tử chung Giải: Điều kiện xác định: x; y  �. Hệ phương trình  x  x  y  2  7 x  2 y 2  2  2 2  x  y  xy  1  4 x  2 2  x  x  y   7 x  2  y  1   2 2  y  1  4 x  x  xy   x  x  y   7 x  2  4 x  x 2  xy   x  x  y   2  x  y   15  0 2 2 x  0  x  x  y  3  x  y  5   0  x  y  3  x  y  5 2 Trường hợp 1: x  0  y  1  0 ( loại) Trường hợp 2: x  y  3  x  3  y . Từ phương trình (1) ta được y  1 y2  x  1  0  y2   3  y   1  0  y2  y  2  0    y  2 16 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len Vậy hệ phương trình có nghiệm là  2;1 ;  5;2  Trường hợp 3: x  y  5  x  5  y . Từ phương trình (1) ta được y 2  9 x  1  0  y 2  9  5  y   1  0  y 2  9 y  46  0 ( phương trình vô nghiệm) Vậy nghiệm của hệ phương trình là  2;1 ;  5;2  .  x4  x2 y 2  y 2  y3  x2 y  x2  3 2 y  5  2x2  1  0  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện xác định: x 5 2  x 4  x 2 y 2  y 2  y 3  x 2 y  x 2  1  3 2  2 2 y  5  2x 1  0 Biến đổi phương trình (1)  x 4  x 2 y 2    x 2  y 2    y 3  x 2 y   0  ( x 2  1  y )( x 2  y 2 )  0 x  y  0   2 x  y  1 Trường hợp x  y  0 thế vào (2) không thoả mãn. 3 2 Trường hợp x  y  1 thế vào phương trình (2): 2 y  3  2 y  1  0  3 17 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len 3  f (t )  2t 3  3  2t  1; t    ;  2  là hàm số liên tục.  Xét hàm số f (t )  6t 2  1 f (t )  0; t  3  2t ; 3    ;  2  3    ;  2  ; mà f (1)  0 Vậy hàm số f (t ) luôn đồng biến trên  Suy ra phương trình (3) có nghiệm duy nhất y  1 2 Với y  1  x  2  x   2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( 2;1);(  2;1) .  x 2  3 xy  3  x  y   0  4 x  9 y  x2  y   5x2  0  Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: Nhận xét: Chưa thể phát hiện ngay được nhân tử chung trong từng phương trình của hệ, hướng dẫn học sinh có thể nhận xét tìm cách liên hệ giữa 2 phương trình để tìm nhân tử chung. Có thể thấy có 1 lượng xuất hiện ở cả 2 phương trình của hệ đó là x 2  3 y . Thực hiện thao tác thế ta có nhân tử chung. Giải: Điều kiện xác định x; y  �  x 2  3xy  3  x  y   0   4 2 2 x  9 y x  y  5 x  0    2  x  3 y  3x  3xy  2 2 2 2   x  3 y   5 x  3x y 18 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len   3x  3xy  2  3x 2 y  5 x 2  0  x 2  9 y 2  15 y  4   0  x  0  1 2  x  3 y  1  3 y  4   0   y   3  4 y  3  1 x  0  y  0; y   x  1 3 Với y 1 4  0;0  ; 1;   x2  x  4  0  3 3 ( vô nghiệm). Vậy nghiệm của hệ phương trình là: �x 3 + 2xy 2 = 5 � � 2 � 2x + xy + y2 = 4x + y � Ví dụ 6: Giải hệ phương trình (1) (2) Giải: Điều kiện xác định x; y  � 19 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2015-2016- Cao Thị Mai Len Dễ thấy với x = 0 không phải là nghiệm của hệ phương trình, với x �0 từ phương 5- x3 y = 2x thế vào phương trình (2) ta được trình (1) ta có 2 5 - x3 2 x + xy + = 4x + y 2x � 3 x3 - 8 x 2 + 5 + 2 x 2 y - 2 xy = 0 2 � ( x - 1)(3x 2 - 5 x - 5) + 2 xy ( x - 1) = 0 � ( x - 1) � (3x 2 - 5 x - 5) + 2 xy � =0 � � � 1+ 2 y2 = 5 � � y =� 2 � 2 � 2 + y + y = 4 + y + Nếu x  1  0 thì ta có hệ � � (x; y) = (1; 2 );(x; y) = (1;- 2 ) � 1+ 2 y2 = 5 � � y =� 2 � 2 � + Nếu x -1 = 0 thì ta có hệ �2 + y + y = 4 + y � ( x; y ) = (1; 2);( x; y ) = (1; - 2) 2 ( 3 x - 5 x - 5) + 2 xy = 0 thế vào phương trình (2) ta có Nếu 20