Tài liệu Skkn toán hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.

Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Khối 10, 11, 12. 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 1 tháng 9 năm 2015 đến ngày 1 tháng 9 năm 2016. 4. Tác giả: Họ và tên: Lê Thị Phượng Năm sinh: 1987 Nơi thường trú: Nam Định Trình độ chuyên môn: Cử nhân toán Chức vụ công tác: Giáo viên toán Nơi làm việc: trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Địa chỉ liên hệ: 76 Vị Xuyên Nam Định Điện thoại: 0972313265. 5. Đồng tác giả (nếu có): Không 6. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Địa chỉ: 76 Vị Xuyên Nam Định Điện thoại: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 1 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ I. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến: Năm học 2015-2016, tôi được phân công giảng dạy môn toán khối 10, 11. Vì vậy tôi luôn ý thức tự học tập và nghiên cứu nhằm nâng cao chất lượng bài giảng phát huy tối đa năng lực tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh thường lúng túng và gặp nhiều khó khăn khi giải quyết một số phương trình vô tỉ. Trong kì thi THPT Quốc Gia thường xuất hiện câu giải phương trình vô tỉ, bất phương trình vô tỉ, hệ phương trình gây nhiều khó khăn cho học sinh khi làm bài thi. Chính vì vậy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm : “ Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ ” nhằm giúp học sinh biết cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp, đặt ẩn phụ hoặc phương pháp hàm số. Trong bài viết sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhắc lại những kiến thức cơ bản để giải phương trình vô tỉ đồng thời đưa ra hệ thống bài tập có chọn lọc được chia ra ba dạng: phương pháp nhân liên hợp, đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số. Trong mỗi dạng bài tập thường có nhận xét và hướng dẫn học sinh cách sáng tạo bài toán mới. Mặc dù đã có nhiều cố gắng song bài viết của tôi không tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong sự đóng góp ý kiến quí báu của các thầy giáo, cô giáo để hoàn thiện hơn nữa sáng kiến kinh nghiệm của mình. II. Nội dung sáng kiến: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 2 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 1. Phương pháp nhân liên hợp. a. Mục đích: Biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình tích. b. Phương pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức. a b am b a b 3 a 3b  a, b  0, a  b  a b 3 a 2 m3 ab  3 b c. Bài tập áp dụng. 1.1. Nhân lượng liên hợp bằng cách thêm bớt hằng số. +) Phương pháp chung: dự đoán nghiệm x0 cuả phương trình, sau đó thêm bớt hằng số rồi nhân liên hợp để xuất hiện nhân tử x  x0 . +) Sử dụng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay tìm nghiệm của phương trình. Ví dụ 1: ( ĐHKB- 2010) Giải phương trình : 3x 2  14 x  8  3 x  1  6  x  0 . Phân tích: + Nhận xét: x  5 là một nghiệm của phương trình trên. + Ta đưa phương trình trên về dạng  x  5  f  x   0 bằng phương pháp nhân liên hợp. Như vậy ta tìm hai số a, b  0 sao cho:  3 x  1  a  0  a  4    b  6  x  0 b  1  Lời giải:  1  D   ;6   3  Tập xác định: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 3 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ  x thỏa mãn điều kiện xác định ta có: 3x 2  14 x  8  3 x  1  6  x  0  3x 2  14 x  5      3x  1  4  1  6  x  0 3x  15 x 5  0 3x  1  4 1  6  x 3 1     x  5    3 x  1  0  3x  1  4 1  6  x  x  5  t / m    3 1    3x  1  0  1  3 x  1  4 1  6  x   x  5  3x  1   1  x   ;6   3  ta có: 3 1   3x  1  0 3x  1  4 1  6  x Vậy tập nghiệm của phương trình là: S   5 . Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x2  5x  1  x  2  4  x . Phân tích: ý tưởng tương tự ví dụ 1. Nhận xét pt có một nghiệm x  3 . Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp. Lời giải: Tập xác định: D   2;4  x thỏa mãn điều kiện xác định ta có: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 4 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ x  2  4  x  2x2  5x  1     x  2 1   4  x  1  2 x2  5x  3 x 3 x 3    x  3  2 x  1 x  2 1 4  x 1 1 1     x  3    2 x  1  0 4  x 1  x  2 1   x  3  t / m    1 1    2 x  1  1  x  2  1 4  x 1 Nhận xét:  x   2;4 ta có:  1 1 x  2 1 , 1 1   2 1 4  x 1 1 2 1 1   2 2 x  2 1 4  x 1 Mặt khác: 2 x  1  5  x   2;4 Do đó pt (1) vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của pt là S   3 . 2 Ví dụ 3: ( ĐHKD 2006 ) Giải phương trình: x  3x  1  2 x  1  0 . Lời giải: Nhận xét x  1 là một nghiệm của pt. Đkxđ: x 1 2  x thỏa mãn điều kiện xác định ta có: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 5 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ x 2  3x  1  2 x  1  0  x 2  3x  2     x  1  x  2    2x 1 1  0 2  x  1 0 2x  1  1 2     x  1  x  2   0 2 x  1  1   x  1  t / m    2 x  2   0  1  2x  1  1 Giải pt (1) , đặt t  2 x  1  0 . Phương trình (1) trở thành: t  1  2  l  t 2  2t  1  0   t  1  2  t / m  Với t  2  1  x  2  2  t / m  Vậy tập nghiệm của pt ( 1 ) là:  S  1;2  2 . 2 2  Cách 2: x  3 x  1  2 x  1  0  x   2 x  1  x  2 x  1  0 . 2 2 Đặt: t  2 x  1  0 . Phương trình trở thành: x  t  x  t .  Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương. Ví dụ 4: Giải phương trình: Nhận xét : x 1  x x2  2x  x 1  x2 . 1 2 là một nghiệm của pt. Lời giải: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 6 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ Điều kiện xác định: 0  x  1 .  x thỏa mãn điều kiện xác định ta có: 1  x x2  2x   x 1  x2  x2   1 x  2   1 x  x  1  x   x2  2x  x  1  x  2x x  0 x2  1  2x  1  x  4 x3  0 1 x  x 1  x  2x x  x2 2 x2  x  1  1  2 x     0 1  x  x 1  x  2 x x   1  x  2  t / m    x2 2x2  x  1    0  1  1  x  x 1  x  2x x  Với mọi 0  x  1 ta dễ dàng chứng minh được pt (1) vô nghiệm. 1 S   2 . Vậy tập nghiệm của pt là Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 3x  2  x 3x  2  2 2 x 2  1 Nhận xét: phương trình chứa căn bậc hai, căn bậc ba thường giải bằng phương pháp nhân liên hợp. + phương trình trên có nghiệm x0  2 . Lời giải: x Điều kiện xác định: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ 2 3. Page 7 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ  x thỏa mãn điều kiện xác định ta có: 3   3x  2  x 3x  2  2 2 x 2  1  3   3x  2  2  x 3x  6 3  3x  2  2   3x  2  2  2  2 3 3x  2  4   2x2  1  x  1 x  3x  6  3x  2  2  2x  x  2 2 x2  1  x  1   3 3x 2x   0   x  2   2 2  3  3x  2   2 3 3 x  2  4 3x  2  2 2x  1  x  1    x  2  t / m   3 3x 2x      0  1 2  3 3x  2 2  2 3 3x  2  4 3 x  2  2 2 x  1  x  1    Ta có:      3x  1  0 2   x   18 x 2  12 x  17 2 0 3  3 2 x  1  2 3x  2  3 2 x 2  1  2 3x  2  Suy ra  x 3 2 x 2  1  2 3x  2  3x  1 3x 2x   3x  2  2 2 x2  1  x  1 3x  2  2 2 x2  1  x  1 3x 2x  0 3x  2  2 2x2  1  x  1 do đó pt (1) vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của pt là S   2 Ví dụ 6: Giải phương trình : . x2  x  1 x2   x4 2 Phân tích: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 8 1 x2  1 2 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ Sử dụng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay ta tính được phương trình có hai  x1  x2  0  x x  3 x1 , x2 nghiệm thỏa mãn:  1 2 Do đó x1 , x2 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình: x  3  0 . Vậy phương trình trên có hai nghiệm là: x 3 . Lời giải: Điều kiện xác định: x  4 Với  x thỏa mãn điều kiện xác định ta có: x2  x  1 x2   x4 2 1 x2  1 2  x2  x  1   x2 3   1 1     1         0 2    2 2 2 x  4 x 1    x2  3 x2  3 x2  3    0 2 2 2 2 x  x 1 2 x 1 x 1  2 1 x4   x 2  3  0  x   3  t / m   1 1 1      0  ptvn   x2  x  1 2 2 x2  1 x2  1  2  1 x4    Vậy phương trình có tập nghiệm: S  3;  3 . Tương tự ta có thể giải một số pt vô tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp. Bài tập: Giải các phương trình: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 9 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ 1. 2. 3. x 2  9 x  20  2 3 x  10 . Đáp án: x  3 . x  7  10  x  x 2  2 x  66  0 . Đáp án: x  9 . 2 x 2  3x  2  3x  2  x  2 . Đáp án: x  2 . x 2  12  5  3x  x 2  5 . 4. 5. 1.2. 9   Đáp án: x  2 . 4 x  1  3x  2  x  3 . Đáp án: x  6 . Nhân liên hợp bằng cách thêm bớt ẩn số. Phương pháp: Sử dụng máy tính CASIO tìm nghiệm của phương trình, sau đó thêm bớt biểu thức thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung. 2 Ví dụ 1: Giải phương trình: 4 x  2  22  3 x  x  8 . Phân tích: + Bước 1: Sử dụng máy tính ta có hai nghiệm của pt là x  1; x  2 . Do đó 2 phương trình có nhân tử chung là: x  x  2 + Bước 2: Ta tìm bộ số a, b sao cho 4 x  2   ax  b   0 Cho x  2  2a  b  8 Cho x  1  a  b  4 4   a  3    b  16  3 Ta tìm bộ số c, d sao cho 22  3 x   cx  d   0 Cho x  2  4  2c  d Cho x  1  5  c  d Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 10 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ 1  c    3    d  14  3 Lời giải: Điều kiện xác định: 2  x  22 3 . Với  x thỏa mãn điều kiện xác định ta có: 4 x  2  22  3 x  x 2  8  16   14  4  1  4 x  2   x     22  3 x    x    x 2  x  2 3   3  3  3   x2  x  2  x2  x  2  4.   x2  x  2 9 x  2  3 x  12 9 22  3 x  3 x  42 4 1     x 2  x  2  1    0  9 x  2  3 x  12 9 22  3 x  3 x  42  x 2  x  2  0   4 1 1    0  1  9 x  2  3 x  12 9 22  3 x  3 x  42 Ta có:  9 x  2  3x  12  0   9 22  3 x  3 x  42  0 4 1  1  0 9 x  2  3x  12 9 22  3 x  3 x  42 2  x  22  3  phương trình (1) vô nghiệm.  x  1  t / m  x2  x  2  0   x  2  t / m  Ta có: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 11 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ Vậy tập nghiệm của phương trình là: S   1; 2 . Ví dụ 2: Giải phương trình: x 3  3 x 2  4 x  1   x 2  3 x 2  x  1 . Phân tích: Sử dụng máy tính CASIO ta nhận thấy phương trình có một nghiệm x 8 7 . Như vậy phương trình có nhân tử chung là 7 x  8 . Lời giải: Điều kiện xác định: x  � + ta có nhận xét:  x  3  x  3  x  3  x  x 1  0   2   8 2  x  x  1  x  6x  9  x   7 ( không thỏa mãn )  2 Với mọi x  � ta có: x 3  3 x 2  4 x  1   x 2  3 x 2  x  1   x x 2  3  x  3  7 x  8   x 2  3 x 2  x  1 2  3 x  3  x 2  x  1   7 x  8   0    x  3 2   x 2  x  1     7 x  8  0   x  3   x  3  x 2  x  1    x2  3   7 x  8   1  0 2  x  3  x  x 1  8  x    t / m  7   x 2  3  x  3  x 2  x  1  1 2 2 2 Giải phương trình  1  x  x  x  x  1 Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 12 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ 2 t  x  x  1  t  0  . Phương trình (1) trở thành: Đặt  1 5  l t  2 2 t 1  t    1 5  t / m t   2 Ta có: t 1 5  2 x2  x  1  1 5 1 5 1 3  2 5  x2  x  0 x  t / m 2 2 2  8 1  3  2 5  S   ;  7 2  . Vậy tập nghiệm của phương trình là:  4x Ví dụ 3: Giải phương trình : 2  x  7  x  2  8 x 2  4 x  10 Lời giải: Điều kiện xác định: x  2 . Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có:  4 x  x  7  x  2  8 x  4 x  10   4 x  x  7  x  2  8 x  4 x  10  0   4x  x  7   x  2  2   2x  4  0   4x  x  7   x  2  2  2 x  2  2  2 2 2 2 2 2    x  2  2 4 x 2  x  3  2    x2 2 0   x  2  2  0  ptvn    4 x 2  x  3  2 x  2  0  1 Giải pt (1) ta có: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 13  x2 2 0 . Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ  x  2  1     4x2  x  3  0  2 2   4 x  x  3  4  x  2   x  1  3    x   4  16 x 4  8 x3  23x 2  6 x  9  4  x  2   x  1  3    x   4  16 x 4  8 x3  23x 2  2 x  1  0  x  1  3    x    4    x  1  4 x  1  4 x 2  5 x  1  0   x  1  t / m   x  1  l   4   x  5  41  t / m   8  x  5  41  l  8   5  41  S   1;  8   Vậy tập nghiệm của pt là . 2 2 x  x  1  x  2 x  2x  2 .   Ví dụ 4: Giải phương trình : Lời giải: Điều kiện xác định: x  � Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 14 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có: x2  x  1   x  2  x2  2 x  2    x2  2 x  7   x  2 3  x2  2x  2  0       x2  2x  7  x  2 x  7   x  2   0 2  3  x  2x  2    x2  x 2  2 x  7  1   0 2  3  x  2x  2    x  1 2  1   x  1  2 0  x  2 x  7   2 3  x  2x  2    x 2  2 x  7  0  1    x  1 2  1   x  1  0  2   2 Giải pt (1) ta có:  1  x  1  2 2  t / m  Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có  x  1 2 1  x 1  x 1  x  1 Vậy tập nghiệm của phương trình là 2  1   x  1  0  pt (2) vô nghiệm.  S  1 2 2 3  x 2  2 x  3 Ví dụ 5: Giải phương trình: 7 x 2  19 x  12   16 x 2  11x  27 x  4 1 12  7 x . Lời giải: 12   4  x  7   x  3 Điều kiện: Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ . Page 15 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ 3  x 2  2 x  3 x  4 1   x  1  3  7 x 2  19 x  12  16 x 2  11x  27 12  7 x  x  4  12  7 x  16 x  24  0 x  1  t / m    3 x  4  12  7 x  16 x  24  0  2   2  3 x  4  12  7 x  16 x  24  3 x  4  12  7 x  9   12  7 x   3 x4   2 12  7 x   2  3 x  4  12  7 x  3 x  4  12  7 x 3 x  4  12  7 x  3 x4  x  4  12  7 x  1  0 3 x  4  12  7 x  0  ptvn    3 x  4  12  7 x  1  0  3  3  3 x  4  12  7 x  1  9  x  4   12  7 x  1  2 12  7 x  2 12  7 x  16 x  23   48-28x  256 x 2  736 x  529 382  6 633   x  t / m  23 12 256   x   16 7   382  6 633  S   256 .  Vậy tập nghiệm của phương trình là: 3 3 Ví dụ 6: Giải phương trình: x  x  2  2 3x  2 Lời giải: Điều kiện xác định: x  � Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 16  Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ x3  x  2  2 3 3x  2  x 3  3x  2  2 3 3x  2  2 x  x  3x  2  2 3  x3  3x  2 3 3x  2  2  x 3x  2  x 3 2 0   2   0   x  3x  2  1  2   3  3x  2  x 3 3x  2  x 2    x3  3x  2  0  1  2  1   0  ptvn  2  2 3 3 3x  2  x 3x  2  x  x  1  t / m  2  1   x  1  x  2   0    x  2  t / m  3     Vậy tập nghiệm của phương trình là: S   1; 2 . Ví dụ 7: Giải phương trình: 7 x 2  20 x  86  x 31  4 x  x 2  3x  2 Lời giải:  7 x 2  20 x  86  0  2 Điều kiện xác định:  31  4 x  x  0 Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có Xét trường hợp 1: x  2 7 x 2  20 x  86  x  2   2  x  2  19  6 x  24 x  90  0 Thử lại: x  2  19 không là nghiệm của phương trình trên. Xét trường hợp 2: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 17 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ 7 x 2  20 x۹86 x 2 x 2 19 Ta có: 7 x 2  20 x  86  x 31  4 x  x 2  3x  2   7 x 2  20 x  86   2  x    x   6  x 2  4 x  15   7 x 2  20 x  86  2  x   31  4 x  x 2  4  0 x  x 2  4 x  15   31  4 x  x 2  4 0 x 2  4 x  15  0  1    6 x   0  2 2  7 x 2  20 x  86  2  x 31  4 x  x  4  x  2  19  t / m   1    x  2  19  l   2  6 31  4 x  x 2  24  x 7 x 2  20 x  86  2 x  x 2 7 x 2  20 x  86  3 x  2  x 31  4 x  x 2  6 31  4 x  x 2  24  x 3 x  2  x 31  4 x  x 2     x  6  31  4 x  x  2 x  4 x  24  31  4 x  x    x  6  31  4 x  x  x 2 2 2  2 2  31  4 x  x 2  1  2 2 70  31  4 x  x 2  x 2  7  0  31  4 x  x 2  1  1    31  4 x  x 2  x 2  7  0  ptvn    1  x  2  34  t / m  31  4 x  x  1  x  4 x  30  0   x  2  34  l  2 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ  S  2  19;  2  34 Page 18 . Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ Ví dụ 8: Giải phương trình:  5x 2  5 x  10  x  7   2 x  6  x  2  x 3  13 x 2  6 x  32 Lời giải: Điều kiện xác định: x  2 Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có  5x  5x  10  x  7   2 x  6  x  2  x  13x  6 x  32   5 x  5 x  10   x  7  3   2 x  6   x  2  2   x  2 x 2 3 2 2 3 2  5 x  10 5 x 2  5 x  10  2x  6   x  2     x 2  5   0 x22  x7 3  x  2  t / m    5 x 2  5 x  10 2x  6    x 2  5   0  1  x  7  3 x22  1   5x 2 1 1 1 1    5 x  10       2x  6   0  x 7 3 5  x2 2 2  5 x 2  5 x  10  0  2x  6  0  1 1 x  2    0  x7 3 5  1 1  0   x22 2   5x 2 1 1 1 1    5 x  10       2x  6    0  x 7 3 5  x2 2 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là S   2 . Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 19 Hướng dẫẫn học sinh một sốố phương pháp giải phương trình vố tỉ Hướng dẫn học sinh tự học và nghiên cứu. Phân tích: Phương pháp nhân lượng liên hợp là một phương pháp thường dùng khi giải các phương trình, bất phương trình chứa căn. Việc sáng tác bài toán mới dựa trên phương pháp này cũng rất đơn giản, ta chỉ cần chọn sẵn một nghiệm rồi xây dựng các biểu thức thỏa mãn đẳng thức xảy ra. Một kĩ thuật rất quan trọng của phương pháp này là đoán được nghiệm của phương trình từ đó ta sẽ biết được cần thêm bớt hằng số nào, biểu thức nào. Ta có thể dựa vào máy tính cầm tay CASIO để đoán nghiệm của phương trình. Ví dụ 1: Cho x  2 ta có: 5 x  1  3, x  2  2, 5x  1  x  2  5  7  x Như vậy ta có bài toán sau. Bài 1: Giải phương trình: 5x  1  x  2  7  x . Ví dụ 2: Cho x  3 ta có: x  2  1, 4  x  1, 2 x  5  1, 2 x 2  5 x  3 Như vậy ta có bài toán sau. Bài 2: Giải phương trình: x  2  4  x  2 x  5  2 x2  5x Ví dụ 3: Cho x  3 ta có: 3 x 2  1  x  5, x3  2  5 Như vậy ta có bài toán sau. Bài 3: ( Đề nghị Olympic 30/4/2011 ) Giải phương trình: 3 x 2  1  x  x3  2 Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ Page 20