Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo án - Bài giảng Sáng kiến kinh nghiệm Skkn toán thpt rèn luyên tư duy cho học sinh thông qua việc sáng tác một số phươ...

Tài liệu Skkn toán thpt rèn luyên tư duy cho học sinh thông qua việc sáng tác một số phương trình, hệ phương trình từ các đẳng thức điển hình

.DOCX
57
700
95

Mô tả:

Sáng kiếến kinh nghiệm THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN ********** 1. Tên sáng kiến: RÈN LUYÊN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC SÁNG TÁC MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỪ CÁC ĐẲNG THỨC ĐIỂN HÌNH 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Chương trình Toán lớp 10 THPT, 11 THPT. - Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia. 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ 8 - 2015 đến 5 - 2016 4. Tác giả: Họ và tên: Bùi Văn Toan Năm sinh: 1985 Nơi thường trú: Thái học, Trực Cường, Trực Ninh, Nam Định Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Điện thoại: 0977.012.356 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên, TP Nam Định Điện thoại: 03503.640297 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 1 Sáng kiếến kinh nghiệm ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng, THPT Quốốc gia và thi h ọc sinh gi ỏi chúng ta thường bắốt gặp các dạng toán liên quan tới phương trình, hệ ph ương trình. Bài toán liên quan tới phương trình, hệ phương trình có khá nhiêều d ạng và có nhiêều cách gi ải khác nhau. Đó là những dạng toán khó đốối v ới h ọc sinh, và hệ thốống bài t ập khá phong phú. Tuy nhiên ngoài việc nắốm vững được các dạng ph ương trình và tìm ra cách gi ải thì chúng ta cũng cầền tự xầy dựng cho mình một hệ thốống các bài t ập liên quan t ới ph ương trinh, hệ phương trình. Hơn nữa trong quá trình xầy d ựng h ệ thốống bài t ập, ta có th ể rút ra được các phương pháp giải một bài toán theo cách t ự nhiên nhầốt, t ại sao l ại gi ải quyêốt bài toán như thêố,...và từ đó có thể rèn luyện tư duy và kích thích trí tò mò c ủa h ọc sinh.Vì vậy, tối xin lựa chọn đêề tài : “Rèn luyện tư duy cho học sinh thồng qua việc sáng tác một sồố ph ương trình, hệ phương trình từ các đẳng thức điển hình” Chương trình giáo dục phổ thống phải phát huy tính tích c ực, t ự giác, ch ủ đ ộng sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng mốn học, đặc điểm đốối t ượng h ọc sinh, điêều kiện của từng lớp học; Bốềi dưỡng học sinh phương pháp t ự h ọc, kh ả nắng h ợp tác; Rèn luyện kyỹ nắng vận dụng kiêốn thức vào thực tiêỹn; Tác đ ộng đêốn tình c ảm, đem lại niêềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho h ọc sinh. Quá trình d ạy h ọc v ới các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn luy ện các kyỹ nắng ho ạt đ ộng nh ận th ức, hình thành thái độ tích cực... được xầy dựng trên quá trình ho ạt đ ộng thốống nhầốt gi ữa thầềy và trò, trò và trò, tính tự giác, tích c ực t ổ ch ức, t ự điêều khi ển ho ạt đ ộng h ọc nhắềm thực hiện tốốt các nhiệm vụ đã được đêề ra. Qua thực tiêỹn học tập và giảng dạy, tối nhận thầốy gi ải các bài toán liên quan đêốn phương trình và hệ phương trình học sinh thường khống mạnh dạn, tự tin, th ường lúng túng vêề phương pháp cũng như tính toán, đ ặc bi ệt khống nắốm chắốc các tính chầốt của hình học phẳng ở cầốp học THCS. Phương trình, hệ ph ương trình h ọc sinh bắốt đầều được làm quen ở chương trình THCS, đêốn cầốp THPT học sinh đã đ ược tiêốp xúc v ới rầốt nhiêều bài toán vêề dạng này, nhưng học sinh khống nh ận di ện đ ược các d ạng toán và chưa được hướng dầỹn một cách hệ thốống phương pháp để giải quyêốt bài toán tr ọn vẹn. Sốố lượng bài toán thuộc các dạng toán nêu trên xuầốt hi ện ngày càng nhiêều trong các đêề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và học sinh gi ỏi nh ững nắm gầền đầy.Tài Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 2 Sáng kiếến kinh nghiệm liệu tham khảo khá nhiêều nhưng học sinh đối khi tiêốp cận m ột cách th ụ đ ộng ho ặc chầốp nhận lời giải một cách khống tự nhiên, đối khi khống hi ểu t ại sao bài toán l ại đ ược gi ải quyêốt theo hướng đó. Giúp học sinh nhận dạng được các bài toán có m ột ph ương pháp mang l ại hi ệu quả rõ nét. Bốềi dưỡng cho học sinh vêề phương pháp, kyỹ nắng gi ải toán, kh ả nắng sáng tạo và tự sáng tác các phương trình, hệ phương trình. Qua đó h ọc sinh nầng cao kh ả nắng tư duy, sáng tạo. Nầng cao khả nắng tự học, t ự bốềi d ưỡng và khả nắng gi ải các bài toán trong kỳ thi THPT Quốốc gia mốn Toán 2016. Điểm mới trong kêốt quả nghiên cứu: Hệ thốống các dạng toán có liên quan đêốn phương trình và hệ phương trình được gắốn vào các bài toán tổng quát, xầy d ựng h ệ thốống bài tập cho riêng mình, áp dụng vào gi ảng d ạy th ực têố đốối v ới h ọc sinh khá, gi ỏi các lớp 11A1, 10A2, 10L, 10A2 trường THPT Chuyên Lê Hốềng Phong trong đ ợt ốn thi học kì và học sinh ốn thi THPT Quốốc gia nắm 2016. Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 3 Sáng kiếến kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾẾN A. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. PHƯƠNG PHÁP BIẾẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ Bước 1: Tìm điêều kiện cho các biêốn x, y của hệ phương trình (nêốu có) Bước 2: Biêốn đổi một phương trình của hệ vêề dạng phương trình tích sốố đ ể đ ược các hệ thức đơn giản chứa x,y. Các kyỹ thuật thường sử dụng: + Nhóm nhần tử chung + Phần tích tam thức b ậc hai thành nhần t ử + Nhẩm nghiệm + nhần liên h ợp Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cầền ốn tập tốốt các phương pháp gi ải ph ương trình 1 ẩn) Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  2 x 2  y 2  3xy  3x  2 y  1  0  2 2  4x  y  x  4  2x  y  x  4 y Bài giải 2x  y  0  x  4y  0 +) Điếều kiện:  (*) Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 4 (1) (2) Sáng kiếến kinh nghiệm +) Biêốn đổi phương trình (1) vêề dạng tích sốố. Xem (1) là m ột ph ương trình b ậc hai theo ẩn y, phần tích tam thức bậc hai thành nhần tử. Ta được y  x 1 (1)  y 2   3x  2  y  2 x 2  3 x  1  0   y   x  1  y   2 x  1   0    y  2x  1 +) Thêố y  x  1 , thay vào (2) ta được phương trình một ẩn: 3x 2  x  3  3x  1  5 x  4 (3) Do phương trình (3) có hai nghiệm x  0 và x  1 nên ta định hướng phần tích (3) x thành dạng  3 x2  x   x  2 2  x . f  x  0 ,     3  x 2  x   x  1  3x  1  x  2  5 x  4  0  3  x2  x x2  x  0 x  1  3x  1 x  2  5 x  4 2 1    x  3    0 x 41 4 43 x44 2 1 4x4 4 2 4 45 x4453  1 4 4 0 Với x  0  y  1 x  0   x  1  x2  x  0 Với x  1  y  2 [thỏa (*)] ; [thỏa (*)] +) Thêố y  2 x  1 , thay vào (2) ta được phương trình một ẩn: 3  3x  4 x  1  9 x  4 (4) Do phương trình (4) có hai nghiệm x  0 nên ta định hướng phần tích (4) thành dạng x. f  x   0 ,  4  3x     4x  1 1   9x  4  2  0 4 9   x 3   0 4x 9x 1 4 49 x444 4  23  1 4 444x 4142 3x   0 4x  1  1 9x  4  2    x0 0 Với x  0  y  1 [thỏa (*)] . Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y  là  0;1 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 5 và  1;2  Sáng kiếến kinh nghiệm   1  y  x  y  x  2   x  y  1 y  2 2 y  3x  6 y  1  2 x  2 y  4 x  5 y  3 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  (1) (2) Bài giải y  0  x  2y  +) Điêều kiện :  4 x  5 y  3 (*) +) Biêốn đổi phương trình (1) vêề dạng tích sốố. Do y  1 luốn thỏa (1) nên định hướng phần tích theo nhần tử y  1 hoặc 1  y . Ta được:  1   1  y       x  y  1   x  y  1 1  y  0  1 1     0 y  1 x  y  1 1  y 1 4 4 4 2 4 4 4 3   y  x 1 0  1  y   x  y  1  Thêố y  1 , thay vào (2) ta được phương trình một ẩn: 9  3x  0  x  3 .Thêố y  x  1 , 2 thay vào (2) ta được phương trình một ẩn: 2 x  x  3  2  x (3)  2 x 2  x  3  0   2 2 2 x  x  3  2 x     Điêều kiện: 1  x  2 , Khi đó: (3) 3   x ‫ڳ‬1 x 2   1 5   x  3  3 2  x  ‫ڳ‬ 1 x    x ‫ڳ‬1 x 2      2 7 2 2  x     x  x  1  4 x  7   0  4 x 4  4 x 3  11x 2  7 x  7  0 2     1 5 x  2    7 x    2 . Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 6 Sáng kiếến kinh nghiệm So với điêều kiện (*) ta chỉ nhận x 1 5 1  5  y 2 2 [thỏa (*)]  1  5 1  5  ;   2 2  x; y   3;1   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là và . BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải các hệ phương trình 2  xy  x  2  0  y   5 x  4   4  x   2  y  5 x 2  4 xy  16 x  8 y  16  0  2 x 3  x 2 y  x 2  y 2  2 xy  y  0  1) 2)  x 2  3 x  y 2  y  2  2   x  y  x  4 x  5   2  x  3)  x 3  18 x  y  1  y  19   0  2  x  y   1 4)  x3  2 x 2  7 y  xy  12 2  x  y   2x  1  2 y  1   2   x  y   x  2 y   3x  2 y  4 5)   x3  2 y 2  x 2 y  2 xy  2 x 2  2 y  1  3 y 3  14  x  2 6)  II. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐẾ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điêều kiện cho các biêốn x, y của hệ phương trình (nêốu có) Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bắềng phương pháp hàm sốố + Biêốn đổi một phương trình của hệ vêề dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y) + Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đầy là hệ thức đơn giản chứa x, y) Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn. Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 7 Sáng kiếến kinh nghiệm Với phương trình một ẩn, nêốu f(x) đốềng biêốn hoặc nghịch biêốn trên D thì phương trình f  x  0 có tốối đa một nghiệm trên D.  8 x3  y 3  6 y 2  6 x  9 y  2  0  2 4 x  1  4 x 2  3  y  1  3  y   1  0   Ví dụ 1. Giải hệ phương trình (1) (2) Bài giải 1 1   x  ,1 y  3 2 +) Điêều kiện 2 3 3 2 3 3 +) Khi đó: (1)  8 x  6 x  y  6 y  9 y  2  (2 x)  3(2 x)  ( y  2)  3( y  2) (a) 1 1   x 2 nên 1  2 x  1 và 1  y  3 nên 1  y  2  1 . +) Do 2 3 2 2 t   1;1 Xét hàm đặc trưng f (t )  t  3t , với .Ta có f '(t )  3t  3  3(t  1)  0 , với mọi t   1;1 . Suy ra f  t nghịch biêốn trên đoạn  1;1 .  a   f (2 x)  f ( y  2)  2 x  y  2  y  2 x  2 . Do đó: Thay y  2 x  2 vào phương trình (2) ta được phương trình: 4 x 2  2 1  4 x 2  1  0  4 x 2  1  2 1  4 x 2  16 x 4  24 x 2  3  0  x   2 3 3 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  2 3 3    2 3 3 ; 2  2 3  3 ;  x; y     ; 2  2 3 3    2 2    .  x; y     x3  x 2 y  x 2  x  y  1  3 x  9 y 2  6  x  3 y   15  3 3 6 x 2  2  Ví dụ 2. Giải hệ phương trình (1) (2) Bài giải Ta có:  1  x3  x 2 y  x 2  x  y  1  x 2  x  y    x  y   x 2  1   x  y  1  0 (vì x 2  1  0, x ) Thay y  x  1 vào phương trình (2) ta được phương trình Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 8  x  y   x 2  1  x 2  1 Sáng kiếến kinh nghiệm x3  9 x 2  6 x  6  3 3 6 x 2  2   x  1 3  3  x  1   6 x 2  2   3 3 6 x 2  2 (a) 3 2 Xét hàm đặc trưng f (t )  t  3t , với t  �.Ta có f '(t )  3t  3  0 , với mọi t  �. Suy ra f  t đốềng biêốn trên �. Do đó:  a  f ( x  1)  f ( 3 6 x 2  2)  x  1  3 6 x 2  2  x 3  9 x 2  3 x  3  0 . 3 2 1 2 1 2   x  1  2  x  1  x  1  2  x  1  x  3 x 3  y 3 2  1 . Với 2 1 2 1 3 2 3 3  3 2 1 2 x ; y  ;3   3 2  1 2 1  Vậy nghiệm của hệ phương trình là   .   4 x 2  1 x   y  3 5  2 y  0  1  2 2  2 4x  y  2 3  4x  7 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  Bài giải +) Điêều kiện +) Khi đó: x 3 5 ,y  4 2  4x (1)  Xét hàm đặc trưng 2  1 .2 x   5  2 y  1 5  2 y f (t )   t 2  1 t  t 3  t ( a) 2 , với t  �. Ta có f '(t )  3t  1  0 , với mọi t  �. Suy ra f  t  đốềng biêốn trên �.Do đó:  a  x  0  f (2 x)  f ( 5  2 y )  2 x  5  2 y   5  4 x2 y    2 . 5  4x2 y 2 Thay vào phương trình (2) ta được phương trình: 2 5  4x    2 x2   2 3  4 x  7  0 2  2  Nhận thầốy x  0 và x (b) 3 4 khống là nghiệm của phương trình (b) 2 5   3 g ( x)  4 x    2 x 2   2 3  4 x  7 x   0;  2   4  , khi đó:  Xét hàm sốố với 2 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 9 Sáng kiếến kinh nghiệm  b  1  g  x  g   2 (3)  3  0;  g  x  Khảo sát tính đơn điệu của hàm sốố trên khoảng  4  4 4 5  g '( x)  8 x  8 x   2 x 2    4 x  4 x 2  3  0 2 3  4 x 3  4 x   Ta có:  3 x   0;   4  3 1 0;  3  x    2  y2 Do đó f đốềng biêốn trên khoảng  4  . Suy ra: Vậy nghiệm của hệ phương trình là  x; y    1  ;2   2 .  3 x 2  3 y 2  8   y  x   y 2  xy  x 2  6      x  y  13 3 y  14  x  1  5 Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:.    1   2 Bài giải  x  1  x 1  0     14  3 y  14  0  y  3  * +) Điêều kiện: +) Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn gi ản c ủa x và y  1   x  1 Xét hàm đặc trưng trên �.  3  x  1   y  1  3  y  1 3 3 f  t   t 3  3t , t  � f  t  3t 2  3  0, t  � . Do   3 Do x  1  0 và y  1  0 nên    Ta nhận thầốy f  t đốềng biêốn f  x  1  f  y  1  x  1  y  1  x  2  y Thêố(4) vào (2) để được phương trình một ẩn x (3)  2 x  11  11 2 khống là nghiệm của phương trình  5  nên Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 10  3x  8  x  1  5  5 (4) Sáng kiếến kinh nghiệm  5  3x  8  x  1  Xét hàm sốố : 5  0. 6   2 x  11 g  x   3x  8  x  1  g  x   Do 5 ,x 2 x  11 8 11   3 ; 2    11   ;   2  3 1 10 3 x  1  3x  8 10     0 2 2 2 3x  8 2 x  1  2 x  11 2  3 x  8   x  1  2 x  11  8 11   11  x   ;  &  ;   3 2   2   8 11   11  ;  &  ;      g  x  đốềng biêốn trên các khoảng  3 2   2 8 11  8 11  3   ; , g  3  0  3 ; 2  g x 3 2  +) Trên khoảng thì   đốềng biêốn, nên  6    g  x   g  3  x  3    y  5 thoả mãn (*) 4  11  ;  +) Trên khoảng  2  6    11 8   ;    thì g  x  đốềng biêốn, 2 g  x   g  8   x  8     y  10 4 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  , g  8   0  nên thoả mãn (*)  x, y    3;5 ,  x, y    8;10   BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải các hệ phương trình  x3  y 3  3x 2  6 x  3 y  4  2 x  y 2  6 x  y  10  y  5  4 x  y 1)    4 x 2  1 x   y  3 5  2 y  0  2 4x  y2  2 3  4x  7 2)   x  3 x  y y  1  0   17  3 x  5  x   3 y  14  4  y  0  4  3 x  x 3  x 2  1  x  y  1  1 2 2 x  y  5  3 3 x  2 y  11  x 2  6 x  13  3) 4)  Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 11 Sáng kiếến kinh nghiệm   2012  3 x  4  x   6 y  2009  3  2 y  0  x 3  y 3  3 y 2  4 y  x  2   x  y  3 x  3 y  19  105  y 3  xy 2 7 x  8 y  3 14 x  18 y  x 2  6 x  13   5) 6)   53  5 x  10  x   5 y  48  9  y  0  2 x  y  6  x 2  2 x  66  2 x  y  11 7)   4 x  2  2 y  4  6  3 2  2 x  1  2 x  1   2 y  3   8) y2 III. PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điêều kiện cho các biêốn x, y của hệ phương trình (nêốu có). Bước 2: Biêốn đổi hai phương trình của hệ sao cho có hai biểu thức giốống nhau. Bước 3: Thay hai biểu thức đó bởi hai biêốn mới u, v chuyển sang hệ mới và giải tìm u, v. Bước 4: Với u, v tìm được ta seỹ tìm được x, y. Với phương trình ta có thể đặt ẩn phụ u  u  x để đưa vêề phương trình đơn giản hơn, hoặc đặt ẩn phụ khống hoàn toàn, hoặc đặt ẩn phụ đưa vêề h ệ.  x 2  1  y  x  y   4 y  2  x  1  x  y  2   y Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  (1) (2) (*) Bài giải +) Biêốn đổi sao cho hai phương trình của hệ xuầốt hiện hai bi ểu th ức giốống nhau  x2  1  y   x  y  4  *   2  x  1  x  y  2  1  y Do y  0 khống thỏa mãn hệ trên nên x2  1 u y Đặt và v  x  y  2 , hệ trở thành Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 12 u  v  2 u  1     u.v  1 v  1 Sáng kiếến kinh nghiệm  x2  1 1  x  1  x  2     u  1  y y  2   y 5  x  y 1  1 v 1   +) Với ta được hệ phương trình +) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  x; y    1; 2  ;  2;5 .  x2  y 2  6  0  4  x  y 1 2  3   2  x  y   Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  (1) (2) (*) Bài giải +) Điêều kiện: x  y  0 . +) Biêốn đổi hệ phương trình thành dạng có chứa hai biểu th ức x  y và x  y  x  y   x  y   6  4  x  y 1 2  3  2  x  y    +) Đặt u  x  y và v  x  y hệ phương trình trở thành  uv  6    4 2   u  1  v 2  3 6  v   u   2  u 2  2u  1  u  3  9 x  y  3   x  y  2 Suy ra: 5   x  2  y  1  2 6  v   u   8u 2  18u  18  0   u  3; v  2   3  u   4 ; v  8 35  3 x   x  y    8 4    x  y  8  y  29  8 và Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là  x; y    5 1   35 29  ; ;   ;   2 2   8 8 .  x  y  2 y  1  x  y  5  2 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình :  y  2  xy  y Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 13 Sáng kiếến kinh nghiệm Đặt x  y  a, 2 y  1  b . Khi đó ta có hệ :  a 2  b 2  a  b  4   2 2 a  1 b  1  4    2   a  b   a  b  4  2ab  2 2   ab    a  b   2ab  3 2 Đặt a  b  2t  ab  2t  t  2 2 Ví dụ 4. Giải phương trình : 33  2 x  x  4 x  1  x  5 pt   33  2 x  x 2  2  x  1 Đặt u  x  1, v  2  x  1  2   v4  2  x  1  4   34   x  1 2  2  34  u 4 . u  v  2 u  v  2    4 4  uv  1 Khi đó ta có hệ :  u  v  34 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Giải các hệ phương trình  x 2  xy  3x  y  0  4 2 2 2 x  3 x y  5 x  y 0  1)  y 2  x  xy  6 y  1  0  3 2 2 y x  9 y  x yx0  2)  x2  x  y 2  4 y 2  y  1  0   2 2 3 3  xy  x y  1   4  x  y  0 3)  x 2  y  1  6 y  2  4 2 x y  2 x 2 y 2  y  x 2  1  12 y 2  1   4)  x 2  y 2  xy  3 x  2  2 4 4 2 4   x  xy    y  2   17 x 5)   x 2  y 2   x  y  1  25  y  1  2 2 6)  x  xy  2 y  x  8 y  9  x 2  2  y 2  3  x  y  5  2  x  2  y 2  3  x  y  2 7)  x 2  y 2  xy  x  y  2 2 x  y 3  8) Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 14 Sáng kiếến kinh nghiệm  4  x 4  2 x3 y  x 2 y 2   2 x  2 y  9  2 3 x  2 xy  y 2  6  x  y  1   10)  x 2  2 x  6  y  1  2 x  xy  y 2  7 9)  IV. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Tìm điêều kiện cho các biêốn x, y của hệ phương trình (nêốu có) Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bắềng phương pháp đánh giá. Thường là sử dụng các bầốt đẳng thức cơ bản: Cố-si, bầốt đẳng th ức vêề giá tr ị tuy ệt đốối,... Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cầền ốn tập tốốt các phương pháp gi ải ph ương trình 1 ẩn).  x 12  y  y  12  x 2   12    x 3  8 x  1  2 y  2 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình (1) (2) Bài giải  2 3  x  2 3  2  y  12 +) Điêều kiện:  (*) Đánh giá phương trình (1) để tìm hệ thức đơn giản liên h ệ gi ữa x và y. S ử d ụng BĐT Cố-si ta có:  x 2  12  y  x 12  y  2  2 x  0  y 12  x 2  y  12  x 2   x 12  y  y  12  x   12 1   y  12  x 2    2  nên 2 Thêố y  12  x vào phương trình (2) ta được phương trình một ẩn: x 3  8 x  1  2 10  x 2 (3) Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 15 Sáng kiếến kinh nghiệm Phương trình (3) có một nghiệm là x  3 nên ta định hướng phần tích (3) thành dạng  x  3 . f  x   0 ,  (3)   x  3  x 2  3x  1    x 3  8 x  3  2 1  10  x 2  0 2  x  9 1  10  x 2  x  3  2 0   0 2  x 1 4 4 4 4 214 410 4 4 43   x  3  x 2  3 x  1  2  0  x3 Với x  3  y  3 [thỏa (*)] Vậy hệ phương trình có một nghiệm  x; y  là  3;3 . Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  5 x 2  2 xy  2 y 2  2 x 2  2 xy  5 y 2  3( x  y ) (1)   2 x  y  1  2 3 7 x  12 y  8  2 xy  y  5 (2) . Bài giải  5 x 2  2 xy  2 y 2  0  2 2  2 x  2 xy  5 y  0  x  2 y  1  0  x  2y 1  0 +) Điêều kiện:  . +) Khi hệ có nghi ệm  x; y    1  x y  0 . Ta thầốy 5 x 2  2 xy  2 y 2  2 x  y  * *  5 x 2  2 xy  2 y 2   2 x  y    x  y bắềng khi . Thật vậy 2 mọi x, y  �. Tương tự * & **  Từ     2 x 2  2 xy  5 y 2  x  2 y  **  x  y 2 0 luốn đúng với dầốu bắềng khi x  y VT    5 x 2  2 xy  2 y 2  2 x 2  2 xy  5 y 2  3  x  y   VP  1 1 3 Dầốu đẳng thức xẩy ra khi x  y   Thêố y = x vào (2), ta được: Ta có: (3)  3x  1  2. 3 19 x  8  2 x 2  x  5 3 x  1  ( x  1)  2  3 19 x  8   x  2    2 x 2  2 x Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 16 dầốu (3) Sáng kiếến kinh nghiệm    x2  x  3x  1  x  1 x2  x  3x  1  x  1 2  x3  6 x 2  7 x  3  19 x  8  2  ( x  2) 3 19 x  8  ( x  2) 2 2  x 2  x  ( x  7) 3 x 2  x  0  1    3x  1  x  1   19 x  8  2  ( x  2) 3 19 x  8  ( x  2) 2  2x2  2x  2( x 2  x)  0 2( x  7) 3  19 x  8  2  ( x  2) 19 x  8  ( x  2) 3 2  2  0(*) Vì x ≥ 0 nên (*) vố nghiệm. Do đó (3) x = 0 hay x = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y )    0;0  ,  1;1   8 xy 17  x y  21      2 2  x  y  6 xy 8  y x  4  x  16  y  9  7 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  (1) (2) Bài giải  x  16  y9 Điêều kiện:  Đánh giá phương trình (1) để tìm hệ thức đơn giản liên h ệ gi ữa x và y.  1  Ta có: Đặt t 8 17  x y  3      6 x y  6 8  y x 4 y x x y x y   2 . 2  t  2  x  y  và sử dụng BĐT Cố-si ta có: y x y x 8 17  x y  3 8 17 3 8 1       t    t  6   2t  2  2.2  6 x y 4 t6 8  6 8  y x  4 t 6 8 y x Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 17 Sáng kiếến kinh nghiệm 8 1   t  6  t  2  x  y Dầốu “=” xảy ra khi t  6 8 Thêố y = x vào (2), ta được:  x  16   x  9  x  16  x  9  7   37  x  x  25 Với x  25  y  25 [thỏa (*)]. Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y )    25; 25  . B. MỘT SỐẾ ĐỊNH HƯỚNG XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỪ CÁC ĐẲNG THỨC. Xuầốt phát từ một biêốn đổi tương đương do ta chọn :  x  2 3   y  3  x3  6 x 2  12 x  y 3  9 y 2  27 y  35 3 3 3 Khi đó, chọn x  3; y  2 thì (1) đúng. Do vậy, cũng với x  3; y  2 thì x  y  35 . 2 2 Ta seỹ thu được : 2 x  3 y  4 x  9 y . 0Từ đó ta có bài toán sau:  x 3  y 3  35  1  2 2x  3 y2  4x  9 y  2 Giải hệ phương trình :  . Nhần hai vêố của (2) với -3 rốềi cộng với (1) ta được: x 3  y 3  6 x 2  9 y 2  35  12 x  27 y   x  2 3   y  3  x  y  5 3 .  y  2 5 y 2  25 y  30  0    y  3 . Thay vào (2) ta được : Nghiệm của hệ là :  x; y    3; 2  ,  x; y    2; 3  . Nhận xét: tại sao ta biêốt nhần hai vêố của phương trình (2) v ới -3 rốềi c ộng v ới ph ương trình (1), tại sao lại là sốố -3 mà khống phải sốố khác, t ại sao l ại c ộng v ới ph ương trình (1) mà khống phải trừ? Ta có thể giải thích vầốn đêề đó thống qua vi ệc s ử d ụng ph ương pháp hệ sốố bầốt định. Xét  1   . 2  3 3 2 2 ta được : x  y  2 x  3 . y  35  4 x  9 y (3) Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 18 Sáng kiếến kinh nghiệm Từ (3) ta chọn  , a, b sao cho thỏa mãn : x 3  2 x 2  4 x  y 3  3 . y 2  9 y  35   x  a    y  b  3 3   3 2  2  3a; 4  3a     a  2 2 3 3  3  3b;9  3b ; 35  b  a  b  3  Chú ý rắềng: việc xét  . 1   .  2   1   . 2  vầỹn khống giảm tổng quát hơn so với việc xét , vì khi ta giải phương trình có quyêền chia cả hai vêố cho một sốố khác 0. Tương tự khi xuầốt phát từ một biêốn đổi tương đương do ta chọn:  x  2 3   y  1  x3  6 x 2  12 x  y 3  3 y 2  3 y  9  1 3 3 3 Khi đó, chọn x  2; y  1 thì (1) đúng. Do vậy, cũng với x  2; y  1 thì x  y  9 2 2 Ta seỹ thu được : 2 x  y  4 x  y . Từ đó ta có bài toán sau: 3 3  x  y  9  2 2 Giải hệ phương trình :  2 x  y  4 x  y . Với việc xuầốt phát từ đẳng thức :  x  2 4   y  4   x 4  8 x 3  24 x 2  32 x  y 4  16 y 3  96 y 2  256 y  240  * 4 x 4  y 4  240  ** Khi đó, chọn x  4; y  2 thì (*) đúng. Do vậy, cũng với x  4; y  2 thì . Từ (*) và (**) ta được : 8 x3  24 x 2  32 x  16 y 3  96 y 2  256 y  x 3  2 y 3  3  x 2  4 y 2   4  x  8 y  Khi đó ta có bài toán sau: (HSG Quốốc gia 2010) Giải hệ phương trình :  x 4  y 4  240  3 3 2 2  x  2 y  3  x  4 y   4  x  8 y   3  4 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 19 Sáng kiếến kinh nghiệm Nhần phương trình (4) với -8 rốềi cộng với phương trình (3) ta đ ược : x 4  y 4  8 x 3  16 y 3  240  24 x 2  96 y 2  256 y  32 x   x  2 4   y  4 4 x  2  4  y x  6  y     x  2  y  4 x  y  2 +) Khi y  x  2 thay vào phương trình thứ nhầốt của hệ ta được : x 3  3x 2  4 x  32  0   x  4   x 2  x  8  0  x  4 +) Khi y  6  x thay vào phương trình thứ nhầốt của hệ ta được : x 3  9 x 2  36 x  64  0   x  4   x 2  5 x  16   0  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm : x4  4;2  ;  4; 2  . Nhận xét: Cầu hỏi được đặt ra như trước là tại sao lại nhần ph ương trình (4) v ới -8 rốềi lại cộng với phương trình (3) ? Điêều này được lý giải t ương t ự nh ư ở trên và đ ược xuầốt 2 2 3 3 4 4 phát từ những đẳng thức : x  y ; x  y ; x  y . Xuầốt phát với ý tưởng như trên, sau đó ta có thể thống qua phép biêốn đ ổi ẩn n ữa ta có thể thu được một bài toán phức tạp hơn. Chẳng hạn, xuầốt phát từ đẳng thức và qua biêốn đổi tương đương do ta ch ọn :  u  3 3   v  5   0  u 3  9u 2  27u  v 3  15v 2  75v  98  0 3  * 3 3 Khi đó, chọn u  3; v  5 thì (*) đúng. Do vậy, cũng với u  3; v  5 thì u  v  98 .Ta 2 2 seỹ thu được : 3u  5v  9u  25v . Đặt u  x  y; v  x  y , và qua một sốố phép biêốn đổi cơ bản, ta có hệ :  x 3  3 xy 2  49  2 2  x  8 xy  y  8 y  17 x  1  2 . Ta có bài toán sau : Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồồng Phong 20
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan

Tài liệu vừa đăng