Tài liệu Skkn vận dụng phương pháp dạy học đàm thoại phát hiện để xây dựng hệ thống câu hỏi dạy học dãy số lớp 11 thpt

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐÀM THOẠI PHÁT HIỆN ĐỂ XÂY DỰNG HỆ THỐNG CÂU HỎI DẠY HỌC DÃY SỐ LỚP 11 THPT DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT Viết tắt DH ĐC GQVĐ GV HS NXB PP PPDH THPT TN Tr SGK SBT Viết đầy đủ Dạy học Đối chứng Giải quyết vấn đề Giáo viên Học sinh Nhà xuất bản Phương pháp Phương pháp dạy học Trung học phổ thông Thực nghiệm Trang Sách giáo khoa SBT MỤC LỤC Trang A. PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................ 3 1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................. 3 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................ 4 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................... 4 4. Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu ...................................... 4 5. Phương pháp nghiên cứu …………………………………………........4 6. Thời gian nghiên cứu …………………………………………………..4 B. PHẦN NỘI DUNG ……………………………………………………. 5 I. Cơ sở lí luận liên quan đến đề tài …………………………………….. 5 1. Phương pháp dạy học Đàm thoại phát hiện ............................................. 5 1.1. Khái quát …………………………………………………………5 1.2. Hệ thống câu hỏi trong phương pháp Đàm thoại phát hiện…..…6 2. Phân phối chương trình cho nội dung Dãy số …………………………9 II. Vận dụng PPDH Đàm thoại phát hiện để xây dựng hệ thống câu hỏi dạy học dãy số lớp 11 THPT ………………………………………………….10 1. DÃY SỐ ……………………………………………………………….10 2. CẤP SỐ CỘNG………………………………………………………..14 3. ÔN TẬP CHƯƠNG III………………………………………………..21 4. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0…………………………………………….26 5. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN…………………………………31 6. TỰ CHỌN……………………………………………………………..36 C. THỰC NGHIỆM ............................................................................................. 41 1. Tổ chức thực nghiệm ....................................................................................... 41 2. Đánh giá kết quả thực nghiệm: .............................................................. 41 2.1. Đề bài kiểm tra…………………………………………………...41 2.2. Thống kê kết quả bài kiểm tra giữa lớp thực nghiệm sư phạm và lớp đối chứng……………………………………………………………..…...42 2.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm………………………….42 3. Tồn tại và hạn chế .................................................................................. 44 D. KẾT LUẬN ............................................................................................. 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 45 A. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Đổi mới PPDH không chỉ là quy luật mà còn là nhu cầu của người học lẫn người dạy. Nghị quyết Ban chấp hành Trung ương Đảng lần thứ II khoá IX đã chỉ rõ “Cuộc cách mạng về PP giáo dục phải hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động, độc lập, sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở nhà trường phổ thông. Áp dụng những PP giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề”. Mục đích của giáo dục ngày nay đòi hỏi mỗi người cần phải có kiến thức, có năng lực tư duy, có khả năng làm việc độc lập, chủ động, tự giác sáng tạo. Tuy nhiên hiện nay, trong nhà trường phổ thông có thực trạng là thầy nặng về thuyết trình, truyền thụ kiến thức một chiều, còn rất nhiều hạn chế trong việc xác định PPDH nào phù hợp nhất cho từng nội dung kiến thức, thậm chí dạy học với mục tiêu chính là hoàn thành đủ chương trình mà không hề quan tâm đến mục tiêu dạy học; trò tiếp thu thụ động, học tập một cách máy móc, rập khuôn, thiếu tích cực và gặp nhiều khó khăn khi gặp các vấn đề cần giải quyết. Thực hiện Luật Giáo dục Việt Nam năm 2005 và định hướng đổi mới PPDH của Bộ Giáo dục và Đào tạo giai đoạn 2005 – 2015, GV toàn ngành đã tích cực suy nghĩ, đổi mới PPDH trong các cấp học, bậc học. Theo phương châm của giáo dục và đào tạo hiện nay “lấy học sinh làm vị trí trung tâm trong các giờ học”, học sinh phải là chủ thể tích cực thì việc lựa chọn PP phù hợp bài giảng phát huy được tính chủ động tích cực sáng tạo của học sinh, đây là một vấn đề không đơn giản. Có nhiều PPDH theo những xu hướng dạy học không truyền thống được vận dụng, như: DH theo thuyết kiến tạo, DH theo lí thuyết tình huống.... Song cũng có một số PPDH truyền thống vẫn được khai thác, cải tiến, vận dụng một cách thích hợp, như: PPDH Đàm thoại phát hiện, PPDH luyện tập, củng cố.... Bởi vì những PP này vẫn phát huy được tính tích cực hoạt động học tập của HS. Trong chương trình Đại số và giải tích lớp 11, Dãy số là nội dung mở đầu cho chương trình Giải tích THPT. Một mặt, giáo viên gặp khó khăn nhất định trong việc tổ chức các hoạt động trong hoạt động, mặt khác, học sinh gặp khó khăn trong việc chiếm lĩnh kiến thức và rèn luyện kĩ năng tương ứng. Các khái niệm mở đầu này có vai trò quan trọng đặc biệt, làm cơ sở, nền tảng cho toàn bộ môn Giải tích. Đồng thời những khái niệm mới cũng được bắt nguồn từ các khái niệm đã có, nên GV có thể dẫn dắt để HS có thể tiếp cận các khái niệm, định lí bằng PP Đàm thoại phát hiện. Hưởng ứng phong trào thi đua dạy tốt – học tốt, nâng cao chất lượng dạy và học, đổi mới PPDH trong các cấp học, bậc học của ngành giáo dục, tôi có mong muốn tìm ra cách thức cải tiến, nâng cao PPDH cho bản thân, từ đó được đóng góp một phần nhỏ bé vào công cuộc đổi mới PPDH của tỉnh nhà nói riêng và toàn ngành nói chung. Chính vì những lí do trên tôi mạnh dạn viết đề tài: Vận dụng phương pháp dạy học Đàm thoại phát hiện để xây dựng hệ thống câu hỏi dạy học Dãy số lớp 11 THPT. 2. Mục đích nghiên cứu Đề xuất hệ thống câu hỏi dạy học Dãy số lớp 11 THPT theo PP Đàm thoại phát hiện nhằm nâng cao hiệu quả dạy học nội dung này. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận về PPDH Đàm thoại phát hiện. - Nghiên cứu mục đích, yêu cầu, nội dung phần Dãy số, Cấp số cộng và cấp số nhân, Giới hạn của dãy số trong chương trình lớp 11 THPT. - Xây dựng hệ thống câu hỏi dạy học một vài nội dung cụ thể về Dãy số lớp 11 THPT theo PP Đàm thoại phát hiện. - Thực nghiệm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 4. Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học nội dung Dãy số lớp 11 THPT. Phạm vi nghiên cứu: Các giáo án dạy học nội dung Dãy số lớp 11 THPT. Khách thể nghiên cứu: HS lớp 11 THPT học Toán theo chương trình nâng cao. 5. Phương pháp nghiên cứu PP nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về phương pháp dạy học Đàm thoại phát hiện; nghiên cứu mục đích, yêu cầu, nội dung phần Dãy số, Cấp số cộng, cấp số nhân và Giới hạn của dãy số trong chương trình lớp 11 THPT. PP điều tra quan sát: Sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tình hình dạy và học phần Dãy số, Cấp số cộng, cấp số nhân và Giới hạn của dãy số, lớp 11 THPT. PP TNSP: Dạy TNSP một số giáo án với hệ thống câu hỏi đã biên soạn tại một số lớp 11 ở trường THPT, để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 6. Thời gian nghiêm cứu Đề tài bắt đầu nghiên cứu từ tháng 11/2012; Đề tài được thử nghiệm từ tháng 01/2013 trong thời gian 6 tuần đầu tiên của học kỳ II năm học_đây là thời gian khối 11 Ban Nâng cao đang học nội dung nghiên cứu; Đề tài được hoàn thành vào tháng 03/2013. B. PHẦN NỘI DUNG I. Cơ sở lí luận liên quan đến đề tài 1. Phương pháp dạy học Đàm thoại phát hiện 1.1. Khái quát a) Lịch sử PPDH Đàm thoại phát hiện có nguồn gốc từ thời Khổng Tử, khi đó gọi là kiểu dạy học đối thoại. b) Quan niệm Đàm thoại phát hiện là PPDH mà GV tổ chức đối thoại, trao đổi ý kiến tranh luận giữa thầy và trò hoặc giữa trò và trò, thông qua đó HS nắm được tri thức mới, có được kĩ năng mới. PP Đàm thoại phát hiện dựa trên các câu hỏi – đáp, nên hệ thống câu hỏi phải được sắp đặt hợp lí giữ vai trò chỉ đạo, tìm tòi, sự ham muốn hiểu biết. GV đóng vai trò người tổ chức sự tìm tòi còn HS thì tự lực phát hiện kiến thức mới. Kết thúc cuộc đàm thoại HS sẽ có được niềm vui của sự khám phá. PP Đàm thoại phát hiện, nếu vận dụng khéo léo sẽ có tác dụng điều khiển hoạt động nhận thức của HS, kích thích HS tích cực độc lập tư duy, bồi dưỡng cho HS năng lực diễn đạt bằng lời các vấn đề khoa học. GV có thể thu được tín hiệu ngược nhanh chóng từ HS để điều chỉnh kịp thời hoạt động dạy và hoạt động học. Tuy nhiên, với PP này, nếu vận dụng không khéo sẽ dễ làm mất thời gian, ảnh hưởng đến kế hoạch dự kiến, hoặc cũng dễ trở thành cuộc đối thoại kém hiệu quả. Khi người thầy đặt câu hỏi cần nhằm vào hai mục đích: thứ nhất giúp HS lĩnh hội được, thứ hai là phát triển những khả năng của HS để họ có thể tự lực khám phá những kiến thức khác. Việc đặt ra các câu hỏi cũng có một chức năng như vậy. Khi đàm thoại, cần tập trung vào những vấn đề quan trọng, trọng tâm chứ không phải là những gì bất thường. Khoảng thời gian “chờ đợi” trước khi tiếp nhận câu trả lời của HS có tác dụng làm cho hiểu biết của các em sâu sắc hơn. Khi thầy hướng dẫn HS qua một hệ thống câu hỏi đàm thoại HS từng bước suy nghĩ trả lời, tìm kiểm kiến thức mới. Qua đó tư duy và một số phẩm chất nảy nở và phát triển như tính chủ động, tự tin, niềm phấn khởi, hứng thú dẫn đến tư duy sáng tạo trong việc chọn câu trả lời chính xác. Tư tưởng chỉ đạo của PP này là: GV không trực tiếp cung cấp thông tin có sẵn mà chỉ đặt ra các tình huống liên tiếp để hướng ý nghĩ của HS vào việc nghiên cứu, phân tích đối tượng và tìm cách giải quyết. Trong dạy học môn Toán, GV thường tạo ra các cuộc đàm thoại để HS phát hiện và giải quyết vấn đề, để tìm cách giải một bài toán (có thể theo bảng gợi ý của Polya). Thậm chí, trong quá trình tìm lời giải một bài toán, HS có thể tự đối thoại với chính mình. Nếu khả năng của HS còn hạn chế, người thầy cần làm cho HS có cảm giác rằng tự HS làm được, do đó thầy phải giúp đỡ kín đáo mà không bắt HS lệ thuộc vào mình. Người thầy phải đặt vị trí mình là một HS, nghiên cứu trường hợp cụ thể của HS, cố gắng hiểu xem HS nghĩ gì, đặt ra câu hỏi để HS có thể trả lời được. Để có thể đặt mình vào vị trí người học, người thầy phải nghĩ đến những kinh nghiệm của bản thân mình, nhớ lại những khó khăn và những thành công của mình trong việc giải toán. c) Những ưu điểm, nhược điểm của dạy học đàm thoại phát hiện Bản chất của PPDH đàm thoại phát hiện là: Thông qua hệ thống các câu hỏi của thầy, HS trả lời và dần dần hình thành tri thức mới. Bên cạnh những ưu điểm và nhược điểm chung của PP vấn đáp thì PP đàm thoại phát hiện còn có các ưu điểm, nhược điểm nhất định. Ưu điểm cơ bản của PP đàm thoại phát hiện là HS làm việc tích cực, độc lập; trong quá trình dạy học có thông tin cả hai chiều: từ phía thầy và từ phía trò. Nhược điểm cơ bản của PP đàm thoại phát hiện là tốn thời gian; nếu hệ thống câu hỏi không tốt có thể làm chệch hướng của bài giảng. PP Đàm thoại phát hiện có thể kích thích được phần nào tính tích cực của HS, song cũng chưa phát huy được tính chủ động, tự giác, sáng tạo của người học, bởi người học hoàn toàn lệ thuộc vào câu hỏi của người thầy. Đàm thoại một chiều sẽ dẫn HS vào tình trạng thụ động. HS vẫn là khách thể, bị “giật dây” và thụ động trả lời theo các câu hỏi đôi khi là vụn vặt, nội dung hỏi đáp tủn mủn, khiến cho HS rất khó giải quyết vấn đề "ra tấm, ra miếng”. 1.2. Hệ thống câu hỏi trong phương pháp Đàm thoại phát hiện Câu hỏi trong dạy học là câu hỏi được sử dụng trong quá trình dạy học nên có tính hướng dẫn để HS đạt được nội dung cần học, hoặc biết được chỉ dẫn phải làm gì hoặc làm như thế nào. Câu hỏi đặt ra trong quá trình dạy học là để dẫn dắt HS tư duy, khám phá những điều HS chưa biết; để kiểm tra kiến thức, kỹ năng của HS; để kích thích khả năng tư duy của HS; hay có thể chỉ để cung cấp kiến thức, kỹ năng cho HS. a) Vai trò của hệ thống câu hỏi Trong đàm thoại phát hiện, hệ thống câu hỏi của GV giữ vai trò chỉ đạo, quyết định chất lượng lĩnh hội của lớp học. Trật tự logic của các câu hỏi hướng dẫn HS từng bước phát hiện ra bản chất của sự vật, quy luật của hiện tượng, kích thích tính tích cực tìm tòi, sự ham muốn hiểu biết. Ở đây GV là người tổ chức sự tìm tòi còn HS là người tự lực phát hiện kiến thức mới, vì vậy kết thúc cuộc đàm thoại HS có được niềm vui của sự khám phá, vừa nắm được kiến thức mới, vừa nắm được cách thức đi tới kiến thức đó, trưởng thành thêm một bước về trình độ tư duy. Cuối đoạn đàm thoại, GV cần biết vận dụng các ý kiến của HS để kết luận vấn đề đặt ra, dĩ nhiên là có bổ sung, chỉnh lí khi cần thiết. Làm được như vậy, HS càng hứng thú, tự tin vì thấy trong kết luận của thầy có phần đóng góp ý kiến của mình. b) Một số yêu cầu về câu hỏi, hệ thống câu hỏi Câu hỏi phải chính xác: thể hiện trong hình thức rõ ràng, đơn giản giúp người học hình thành được câu trả lời đúng; nếu câu hỏi đa nghĩa, phức tạp sẽ gây khó khăn cho tư duy của HS. Các câu hỏi cần được xây dựng ngắn, gọn, dễ hiểu, rõ ràng và có tính đến đặc điểm lứa tuổi, trình độ nhận thức chung của cả lớp cũng như từng HS. Câu hỏi phải được xây dựng theo hệ thống logic chặt chẽ. Để xây dựng hệ thống câu hỏi theo yêu cầu này cần căn cứ vào cấu trúc nội dung bài học. Lời giải đáp phải thể hiện một logic chặt chẽ các bước giải quyết một vấn đề lớn. Câu hỏi không quá chung chung và cũng không nên quá chi tiết. Có thể sử dụng cả câu hỏi gây sự tranh luận cho HS. Đặt câu hỏi phải hướng tới cả lớp; chỉ định một HS trả lời, cả lớp lắng nghe và phân tích câu trả lời. Hệ thống câu hỏi được thiết kế theo quy luật nhận thức và khả năng nhận thức của đối tượng cụ thể: Xây dựng câu hỏi từ dễ đến khó; Từ cụ thể đến khái quát, từ khái quát đến cụ thể; Câu hỏi từ tái tạo đến sáng tạo. Số lượng câu hỏi vừa phải, sử dụng câu hỏi tập trung vào trọng tâm bài học. Các câu hỏi phải giữ vai trò chủ đạo, bằng những câu hỏi liên tiếp xếp theo một logic chặt chẽ dẫn dắt HS từng bước đi tới bản chất của sự vật, hiện tượng. Mỗi khái niệm, mệnh đề toán học đều có cấu trúc logic nhất định. Ta có thể phân giải thành các yếu tố cấu thành và diễn đạt một cách tường minh bên ngoài người học, đồng thời lại có thể sắp xếp các yếu tố đó theo một trật tự liên tiếp nhau. Vì vậy, hệ thống câu hỏi (được xây dựng nhằm nghiên cứu cấu trúc đó) cũng phải được sắp xếp “gần” tương ứng với trật tự đó (gần là vì nhiều khi cần có câu hỏi rẽ nhánh theo yêu cầu sư phạm), tức là trong hệ thống, mỗi câu hỏi sau phải được suy ra từ câu hỏi trước. Câu hỏi phải được đặt ra sao cho kích thích tối đa hoạt động nhận thức của HS. Muốn vậy trong mỗi câu hỏi phải chứa đựng một tình huống có vấn đề (vấn đề ở đây là những tìm tòi, những nghiên cứu nhỏ được phân, tách từ các vấn đề chính), tức là mỗi câu hỏi phải hướng HS tới những mục tiêu đã được sắp đặt lôgic. Bằng con đường nghiên cứu trả lời các câu hỏi mà HS giải quyết được vấn đề đặt ra. GV không những phải suy tính cả một hệ thống câu hỏi mà còn phải suy tính đến cả những câu trả lời của HS, tới sự “gỡ nút” có thể có (trong trường hợp các em đi chệch khỏi phương hướng tìm tòi đúng đắn). Sự gỡ nút này có khi là câu hỏi phụ trợ, có khi là lời gợi ý, là điều giải thích, … chỉ rõ sự nhầm lẫn trong suy nghĩ của HS. Cuối cùng HS tự rút ra được kết luận đúng đắn. Chẳng hạn, khi dạy khái niệm dãy số có giới hạn vô cực GV có thể sử dụng hệ thống câu hỏi đàm thoại sau: ? Em có nhận xét gì về tính chất chung của ba dãy số sau: (u n ) :  4;1;4;7;10;...; 3n  2;... (v n ) : 1;4;9;...;n 2 ;... (w n ) : 3;2 3;4 3;...;2n 1 3;... (Ba dãy số tăng, bị chặn dưới, không bị chặn trên) ? Em hãy nhắc lại thế nào là dãy số tăng? (mỗi số hạng luôn lớn hơn số hạng ngay trước nó). ? Em có bao giờ chỉ ra được số hạng lớn nhất trong một dãy số tăng hay không? ? Em có thể chỉ ra số hạng lớn nhất trong ba dãy số ở trên hay không? Vì sao? GV: Ta nói, các số hạng của hai dãy số trên tăng lên “dương vô cực”. ? Vậy thế nào là dãy số tăng lên “dương vô cực”? ? Một dãy số tăng (mỗi số hạng luôn lớn hơn số hạng ngay trước nó) có phải là dãy số tăng lên “dương vô cực” không? ? Một dãy số không bị chặn trên có là dãy số tăng lên “dương vô cực” không? ? Một dãy số tăng và không bị chặn trên có là dãy số tăng lên “dương vô cực” không? ? Em có thể lí giải vì sau không tìm được số hạng lớn nhất của dãy (un) ở trên được không? ? Em hãy cho một số dương rất lớn và chỉ ra trong dãy (un) vẫn có rất nhiều số hạng lớn hơn nó? Từ những vấn đề trên, đi đến khái niệm: Dãy số (un) có giới hạn  , nếu với mỗi số dương bất kỳ cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. ? Tương tự, em hãy xây dựng khái niệm dãy số (un) có giới hạn  ? Các dãy số có giới hạn  và   được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực. ? Một dãy số có giới hạn  thì có đặc điểm gì? ? Dãy số (un) có giới hạn  thì có ngay dãy số nào sẽ có giới hạn  ? 2. Phân phối chương trình cho nội dung Dãy số Dãy số (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Cấp số cộng (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Cấp số nhân (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Ôn tập (2 tiết) Dãy số có giới hạn 0 (1 tiết) Dãy số có giới hạn hữu hạn (1 tiết) Dãy số có giới hạn vô cực (1 tiết) Luyện tập (2 tiết) Tự chọn nội dung giới hạn dãy số (1 tiết) Trong đề tài này, tác giả sẽ tập trung xây dựng hệ thống câu hỏi một số nội dung sau:  Dãy số  Cấp số nhân  Ôn tập (về Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân)  Dãy số có giới hạn 0  Tự chọn (Xây dựng bài toán về cấp số cộng và hệ thống giới hạn ở dạng vô định) II. Vận PPDH Đàm thoại phát hiện để xây dựng hệ thống câu hỏi dạy học Dãy số ở lớp 11 THPT. 1. DÃY SỐ I. Khái niệm dãy số Hoạt động 1: Hình thành khái niệm dãy số + Cho một dãy gồm những số sau 1; 2; 3. Em hãy viết thêm nhiều số tiếp theo để được một dãy các số viết theo một quy luật nhất định, nói rõ quy luật đó? + Nếu ta kí hiệu u1 = 1, u2 = 2, u3 = 3 với chỉ số chính là số thứ tự của nó trong dãy số thì quy tắc trên còn được mô tả như thế nào? Tổng quát ta viết được một số ở vị trí bất kỳ như thế nào? + Nếu ta viết thêm những số 5; 8; 13; … sau ba số của dãy ban đầu ở trên thì dãy các số hình thành có được viết theo quy luật xác định không? Nêu quy luật này? Vẫn với kí hiệu như trên thì những số từ vị trí thứ 4 trở đi được viết như thế nào? + Nếu ta coi dãy những số đã cho được viết theo quy luật: Số sau, kể từ số thứ ba trở đi, mỗi số bằng hai lần số thứ tự của nó trong dãy bớt đi 3, thì ta được dãy các số như thế nào? Và khi đó các số từ vị trí thứ 4 trở đi được viết như thế nào? + Nếu ta coi dãy những số đã cho được viết theo quy luật: Số sau, kể từ số thứ ba trở đi, mỗi số bằng bình phương số đứng ngay trước nó bớt đi 1, ta được dãy các số nào? Và khi đó các số từ vị trí thứ 4 trở đi được viết như thế nào? + Như vậy ứng với mỗi quy tắc cho ta một dãy các số khác nhau. Trong một quy luật xác định, ứng với mỗi số nguyên dương n chỉ thứ tự số hạng trong dãy ta chỉ viết được một số thực un duy nhất. Quy tắc này ăn khớp với khái niệm nào mà các em đã học? Kiến thức thu được: u(n) : *  Như vậy: n  u(n)  u n Một cách tổng quát, ta có khái niệm Dãy số: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương * được gọi là dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số) * Dãy số hữu hạn: Hàm số u xác định trên tập hợp gồm m số nguyên dương đầu tiên (m tùy ý thuộc * ) là một dãy số, ta gọi đó là dãy số hữu hạn. * Kí hiệu: ta thường kí hiệu dãy số u  u(n) bởi (un) và gọi un là số hạng tổng quát. Ngoài ra có thể kí hiệu như sau: (u n )n 1 ; (u n ) mn 1 ; n  u n ; … Kí hiệu các giá trị u(1),u(2),...tương ứng bởi u1 ,u 2 ,... là số hạng thứ nhất (số hạng đầu tiên), số hạng thứ hai, … Hoạt động 2: Củng cố khái niệm dãy số + Theo định nghĩa mỗi dãy số là một hàm số, vậy ngược lại mỗi hàm số có là một dãy số không? Vì sao? 1 xác định trên D  {1;2;3;4;....;2013} (5) + Ví dụ 1: Cho hàm số u  n 1 a/ Hàm số trên có xác định một dãy số hay không? b/ Tính các giá trị của u(n) và điền vào bảng sau: n 4 5 6 7 … 2012 2013 u(n) c/ Nếu hàm số trên là dãy số thì nó là dãy số hữu hạn hay vô hạn? Hãy biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số? II. Cách cho dãy số Hoạt động 3: Hình thành các cách cho một dãy số. + Quan sát dãy số (1), (2), (3), (4) và cho biết có các cách nào khi cho một dãy số? + Quan sát dãy số (2) và cho biết ta còn có thể thể hiện quy luật của dãy số bằng công thức như thế nào? + Với quy luật nêu cho dãy số (2) ta có u 1  1; u 2  2 ; u3 = u1 + u2; u4 = u2 + u3; u5 = u3 + u4 thì tổng quát un được viết như thế nào?  u1  1  Như vậy dãy số (2) còn được mô tả qua công thức u 2  2 u  u  u ,n  3 n 1 n 2  n + Quan sát dãy số (3), viết công thức thể hiện quy luật của nó? + Quan sát dãy số (4), viết công thức thể hiện quy luật của nó? + Cách cho dãy số bằng công thức như dãy số (2), (3), (4) ở trên là cách cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay là cho bằng quy nạp), vậy em hãy cho biết cho dãy số bởi hệ thức truy hồi là cách cho như thế nào? Kiến thức thu được: Các cách cho một dãy số? Cách 1: Liệt kê các số hạng trong dãy. Cách 2: Cho bởi công thức của số hạng tổng quát Cách 3: Cho bằng lời diễn tả cách xác định mỗi số hạng của dãy số Cách 4: Cho bởi hệ thức truy hồi. III. Dãy số tăng, dãy số giảm Hoạt động 3: Hình thành khái niệm và cách nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm. + Em hãy nhắc lại khái niệm hàm số u  u(n) xác định trên * đồng biến (tăng), nghịch biến (giảm)? + Hàm số trên xác định một dãy số (u n ) , nếu hàm số đồng biến thì dãy số có đặc điểm gì? nghịch biến thì dãy số có đặc điểm gì? Kiến thức thu được: Dãy số có đặc điểm như trên lần lượt gọi là dãy số tăng, dãy số giảm. Vậy ta có khái niệm sau: Dãy số (u n ) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có: u n  u n 1 Dãy số (u n ) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có: u n  u n 1 Dãy số không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên là dãy số không tăng không giảm. + Quan sát các dãy số (1), (2), (3), (4), (5) và cho biết dãy số nào là dãy số tăng, dãy số nào là dãy số giảm? + Muốn xét tính tăng, giảm của một dãy số em làm như thế nào? + Để so sánh hai đại lượng u n và u n 1 em có thể làm theo các cách nào? + Trong ba cách trên cách nào không đúng với mọi trường hợp? Để làm theo cách đó thì phải có điều kiện gì? Kiến thức thu được: Khi xét tính tăng, giảm của dãy số (un) ta có thể làm theo các cách sau: Cách 1: Dùng các bất đẳng thức, các tính chất so sánh trực tiếp u n và u n 1 Nếu u n  u n 1 , n thì dãy số (un) là dãy số giảm Nếu u n  u n 1 , n thì dãy số (un) là dãy số tăng Cách 2: Xét hiệu H  u n  u n 1 Nếu H  0, n thì dãy số (un) là dãy số giảm Nếu H  0, n thì dãy số (un) là dãy số tăng u Cách 3: Nếu u n  0, n thì xét tỷ số T  n u n 1 Nếu T  1, n thì dãy số (un) là dãy số giảm Nếu T  1, n thì dãy số (un) là dãy số tăng 2n + Xét tính tăng giảm của dãy số (v n ) với v n  n 1 theo các cách có thể? (làm 3 được theo cả 3 cách) v + Trong ba cách trên, em thấy cách nào nhanh nhất? (cách xét tỷ số n ) v n 1 Vậy khi xét tính tăng, giảm của một dãy số ta cần cân nhắc điều kiện của dãy để lựa chọn cách làm thuận lợi nhất. IV. Dãy số bị chặn Hoạt động 4: Hình thành khái niệm dãy số bị chặn. + Các em đọc mục 4 trong sách giáo khoa và cho biết dãy như thế nào được gọi là dãy số bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn? Hoạt động 5: Củng cố khái niệm dãy số bị chặn. + Em hãy nối một câu ở cột A với một cụm từ cần điền vào dấu ba chấm ở cột B để được 6 khẳng định đúng: Cột A Cột B a/ Dãy số mà mọi số hạng đều thuộc khoảng “dãy số tăng” “dãy số bị chặn” (m;M) nào đó thì là … b/ Dãy số mà mỗi số hạng là bình phương số “dãy số bị chặn dưới” “dãy số giảm” thứ tự của nó là … “dãy số bị chặn trên” c/ Dãy số vô hạn: 1, 1,1, 1,1,... là …. “dãy số không tăng không giảm” d/ Nếu … thì nó là dãy số bị chặn dưới. “dãy số hữu hạn” e/ Nếu dãy số giảm thì nó là … “dãy số vô hạn” f/ Nếu … thì nó là dãy số bị chặn. + Ví dụ 2: Xét sự bị chặn của a/ Dãy số (rn) với rn  n 2  2n  2 b/ Dãy số (cn) với c n  2n  1 n 1 + Củng cố GV: Hình thành 2 bàn là một nhóm, phát phiếu học tập cho từng nhóm, yêu cầu suy nghĩ trong 3 phút, sau đó sẽ gọi bất kỳ thành viên nào đó trình bày từng ý ? Phiếu học tập: u  1 Bài 1. Cho dãy số  1 u n 1  u n  2n  1, n  1 a. Viết năm số hạng đầu của dãy số b. Dự đoán công thức của un và chứng minh nó bằng PP quy nạp c. Dãy số trên có là dãy tăng, dãy giảm, bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn hay không? Bài 2. Trong các dãy số sau đây, hãy chỉ ra dãy số hữu hạn, vô hạn, tăng, giảm, bị chặn: a. 0, 2, 4, 6, 8, …, 2n, …. b. 1,3, 9,27, 81. n 1 c. (u n ) với u n  n d. 1,1,1,1,1,... (1) n e. (v n ) với v n  n Bài 3. Xác định số thực a để dãy số (un) với u n  an  3 , là: 3n  2 a. Một dãy số tăng b. Một dãy số giảm + Hướng dẫn học ở nhà * Trả lời các câu hỏi sau: 1. Dãy số được định nghĩa như thế nào? 2. Một dãy số có thể cho bởi những cách nào? 3. Nêu khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn (trên, dưới)? 4. PP xét tính tăng, giảm, bị chặn của một dãy số như thế nào? * Dạng bài tập cơ bản cần làm: 1. Xác định các số hạng của dãy số. Tìm công thức biểu diễn số hạng tổng quát của dãy số. 2. Xét tính tăng, giảm, bị chặn của dãy số. 2. CẤP SỐ CỘNG + Kiểm tra bài cũ: Hoạt động 1. Hoạt động 1: Tái hiện kiến thức đồng thời phát hiện khái niệm cấp số cộng. Hệ thống câu hỏi đàm thoại và dự kiến câu trả lời Slide trình chiếu Giới thiệu sơ lược nội dung mỗi bức tranh, yêu cầu HS Thao tác thông thường: nghe câu hỏi và ghi câu trả lời ra nháp. Kích chuột trái. Tại các siêu thị sản phẩm thường được trưng bày dạng hình tháp: tầng dưới nhiều hơn tầng trên một sản phẩm. Nếu ta cứ xếp mãi số lon bia ở mỗi tầng theo quy luật này thì số lon ở mỗi tầng (từ tầng trên cùng trở xuống) lập thành dãy số như thế nào? Trên mạng ta bắt gặp rất nhiều quảng cáo cực “hot” như: mua 1 chiếc áo phải trả 140 nghìn đồng nhưng mua 2 được giảm 10 nghìn, mua 3 được giảm 30 nghìn, mua 4 được giảm 60 nghìn,.... Nếu giá thành giảm cho mỗi chiếc áo là như nhau và giảm tối đa cho 15 chiếc áo thì số tiền trả cho mỗi chiếc áo giảm dần lập thành dãy số nào? Công ty A thông báo tuyển nhân viên là kĩ sư với mức lương tháng đầu 4,5 triệu đồng và kể từ tháng thứ hai mức lương sẽ tăng 0,3 triệu đồng cho mỗi tháng. Số tiền lương hàng tháng của một kỹ sư lập thành dãy số nào? Công ty TNHH A thông báo: + Hãy mô tả dãy số tương ứng với bức tranh thứ nhất theo các cách đã học? Liệt kê: 1, 2, 3, 4, … Công thức của số hạng tổng quát: u n  n u  1 Công thức truy hồi:  1 u n  u n 1  1, n  2 + Tương tự với bức tranh thứ hai, ba. Cho hiện dần kết quả vào bảng tổng kết. + Nhìn bảng, em thấy ba dãy số có đặc điểm gì chung? Tuyển kĩ sư điện tử giỏi: Mức lương của tháng làm đầu tiên là 4,5 triệu đồng và kể từ tháng thứ hai, mức lương sẽ tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi tháng. Số tiền lương hàng tháng của một kĩ sư lập thành dãy số nào? (HS có thể có một hoặc một vài phát hiện. Nếu không để phát hiện tiếp ở các mục sau và chuyển sang câu hỏi tiếp theo) - Từ số thứ hai, số đứng sau bằng số đứng trước nó cộng thêm với cùng một số. (1) - Các số trong dãy cách đều nhau. (2) - Hiệu hai số đứng sau và số đứng ngay trước nó là như nhau. (3) - Số đứng giữa là trung bình cộng của hai số kề bên. (4) - Tổng số đầu và số cuối của dãy thứ hai (hay của một đoạn dãy số trong dãy thứ nhất, thứ ba) bằng tổng của hai số cách đều số hạng đầu và cuối này. (5) + Quan sát công thức truy hồi của ba dãy số, em có thể đưa ra đặc điểm chung gì? (đặc điểm (1)) Đặc điểm chung của ba dãy số chính là đặc điểm của cấp số cộng_một dãy số đặc biệt mà bài hôm nay chúng ta nghiên cứu. + Bài mới I. Định nghĩa Hoạt động 2: Hình thành khái niệm cấp số cộng Hệ thống câu hỏi đàm thoại và dự kiến câu trả lời Slide trình chiếu + Từ đặc điểm chung của ba dãy số trên em hãy nêu khái niệm cấp số cộng? + Trường hợp công sai d  0 thì cấp số cộng có đặc điểm gì? + Muốn cho một cấp số cộng ta làm như thế nào? Hoạt động 3: Củng cố khái niệm cấp số cộng + Em hãy lấy hai ví dụ (ví dụ 1,2) về dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn là cấp số cộng. + Muốn chỉ ra một dãy số là một cấp số cộng ta làm như thế nào? + Muốn tìm công sai của một cấp số cộng ta làm như thế nào? + Nếu viết các số hạng của cấp số cộng hữu hạn mà em vừa cho ví dụ theo thứ tự ngược lại thì dãy số mới có đặc điểm gì? + Dãy số: 0,5; 2; 3,5; 5; 6,5; 9; 10,5; 12. có phải là một cấp số cộng hay không? Vì sao? + Muốn chỉ ra một dãy số không phải là cấp số cộng ta làm như thế nào? II. Tính chất Hoạt động 4: Hình thành tính chất của một cấp số cộng. + Nếu HS đã phát hiện ra đặc điểm (4) ở mục I. thì yêu cầu kiểm chứng đối với cấp số cộng tổng quát (u n ) với công sai d. (Nếu không tiếp tục đàm thoại) + Ví dụ 3: Cho cấp số cộng:  2, 0, 2, 4, 6, … với công sai d  2 . Quan sát 3 số liên tiếp trong dãy số:  2, 0, 2/ 0, 2, 4/ 2, 4, 6/ … và cho biết các mối quan hệ chung nhất giữa số hạng ở giữa và hai số hạng kề bên? Cho cấp số cộng tổng quát (u n ) với công sai d: + Với số hạng u n bất kỳ, em hãy viết công thức xác định hai số hạng kề bên nó? + Kiểm chứng mối quan hệ trên? u n 1  u n 1 không còn? 2 Hoạt động 5: Củng cố tính chất của một cấp số cộng. Hệ thống câu hỏi đàm thoại và dự kiến câu trả lời Slide trình chiếu + Với vị trí của un như thế nào thì tính chất u n  + Cho cấp số cộng (u n ) có u1  1 và u 3  3 . Hãy tìm u2 và u4. + Kiểm chứng tính chất trên với ba dãy số ứng với ba bức tranh. III. Số hạng tổng quát Hoạt động 6: Gợi động cơ mở đầu để hình thành công thức số hạng tổng quát un của cấp số cộng + Ở ví dụ 3, hãy tìm u7? + Tương tự, hãy tìm u10 ? + Hãy tìm u 2011 ? Hoạt động 7: Hình thành công thức số hạng tổng quát un của cấp số cộng + Vậy nếu một cấp số cộng biết số hạng đầu tiên u1 và công sai d thì có cách nào tìm được số hạng u n hay không? Hãy tính các số hạng u 2 ,u 3 ,u 4 ,..., u n theo u1 và d (chú ý phát hiện quy luật trong cách tính)? Kiến thức thu được: Ta có: u 2  u1  d u 3  u 2  d  u1  2d u 4  u 3  d  u1  3d …………………..  u n  u1  (n  1)d Công thức cuối cùng này là công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng. + Về nhà các em hãy chứng minh công thức trên (gợi ý chứng minh bằng quy nạp). Hoạt động 8: Củng cố công thức số hạng tổng quát un của cấp số cộng Hệ thống câu hỏi đàm thoại và dự kiến câu trả lời Slide trình chiếu + Tìm u 2011 trong ví dụ 3 trên? + Kiểm chứng tính chất trên với ba dãy số ứng với ba bức tranh. + Người kĩ sư làm việc cho Công ty TNHH A (bức tranh1), nửa năm sau tiền lương đạt đến mức lương nào? IV. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng Hoạt động 9: Hình thành công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng + Em nào nhớ cách tính nhanh tổng S  1  2  3  ...  100 ở lớp dưới? 101.100 ( S  (1  100)  (2  99)  ...(50  51)   5050 )  2 100 sô Theo cách nhóm trên thì các tổng (1  100),(2  99),..,(50  51) đều bằng nhau và bằng tổng của số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng. Như vậy, theo cách nhóm trên ta có thể tính tổng n (chẵn) số hạng đầu tiên của một cấp số cộng như sau: (u  u 2 )n . Số số hạng của Sn là lẻ thì tính như thế nào? Sn  u 1  u 2  ...  u n  1 2 Công thức còn như vậy hay không? + Từ công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng, kiểm nghiệm lại cách nhóm trên với một vài cặp số hạng của cấp số cộng bất kỳ (chính là đặc điểm (5)), xem có đúng không? u1  u n  u1  u1  (n  1)d  2u1  (n  1)d u 2  u n 1  u1  d  u1  (n  2)d  2u1  (n  1)d u 3  u n 2  u1  2d  u1  (n  3)d  2u1  (n  1)d u 4  u n 3  u1  3d  u1  (n  4)d  2u1  (n  1)d …. + Trong trường hợp số số hạng của Sn là lẻ thì có cách ghép tổng nào không bị lẻ hãy không? (Nếu HS không có câu trả lời thì làm rõ ở câu tiếp). + Mỗi số hạng của tổng Sn ta sẽ tính hai lần, khi ghép tổng không bị lẻ. Từ đó Sn được tính như thế nào? 2Sn  (u1  u n )  (u 2  u n 1 )  ...  (u n 1  u 2 )  (u n  u1 )  (u1  u n )n (u  u n )n  Sn  1 2