Tài liệu Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ bose – einstein hai thành phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VÂN ANH SỰ PHỤ THUỘC VÀO VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN VÀO SỐ HẠT TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Thụ HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2016 Tác giả Nguyễn Vân Anh LỜI CAM ĐOAN Dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Thụ luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán với đề tài “Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2016 Tác giả Nguyễn Vân Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 2 5. Những đóng góp mới của đề tài ................................................................ 2 6. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 2 Chương 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN ......................................................................................................... 3 1.1. Hệ hạt đồng nhất .................................................................................... 3 1.1.1. Nguyên lý đồng nhất ....................................................................... 3 1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng ...................................... 3 1.2. Thống kê Bose – Einstein ...................................................................... 6 1.3. Tình hình nghiên cứu về ngưng tụ Bose – Einstein ............................. 15 1.4. Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein .......................................... 18 1.4.1. Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tố erbium............ 18 1.4.2. Loại ánh sáng mới tạo đột phá về vật lý ....................................... 19 1.4.3. Các nhà Vật lý khẳng định sự tồn tại của trạng thái ngưng tụ polartion .................................................................................................. 21 1.4.4. Chất siêu dẫn mới .......................................................................... 24 1.4.5. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một ngưng tụ Bose Einstein .................................................................................................... 25 Chương 2. LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII ......................................... 28 2.1. Gần đúng trường trung bình ................................................................. 28 2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii ............................................................. 31 Chương 3. SỰ PHỤ THUỘC VÀO VỊ TRÍ MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN VÀO SỐ HẠT TRONG KHÔNG GIAN NỬA VÔ HẠN ...................................................... 34 3.1. Gần đúng Parabol kép (Double parabola approximation - DPA) ........ 34 3.2. Trạng thái cơ bản trong gần đúng Parabol kép .................................... 36 3.3. Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn................................... 40 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 46 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý học là một môn khoa học tự nhiên tập trung vào sự nghiên cứu vật chất và chuyển động của nó trong không gian và thời gian hay nó chính là sự phân tích tổng quát về tự nhiên. Đầu thế kỉ XVII, các môn khoa học tự nhiên nổi lên như các ngành nghiên cứu riêng độc lập với nhau, vật lý học giao nhau với nhiều lĩnh vực nghiên cứu, các phát hiện mới trong vật lý thường giải thích những cơ chế cơ bản của các môn khoa học khác đồng thời mở ra những hướng nghiên cứu trong đó có trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein (BEC Bose - Einstein condensate). Năm 1917, Einstein sử dụng thuyết thương đối tổng quát để miêu tả mô hình cấu trúc của toàn tinh thể vũ trụ, một trong những thành tựu khoa học của ông đó là ý tưởng về BEC bắt đầu từ năm 1924 khi nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath Bose suy ra định luật Planck cho bức xạ vật đen lúc xem photon như một chất khí của nhiều hạt đồng nhất. Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng của mình với Einstein và hai nhà khoa học đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose cho một khí lý tưởng các nguyên tử và tiên đoán rằng nếu các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước sóng cùa chúng trở thành lớn đến mức chồng lên nhau. Các nguyên tử mất nhận dạng các nhân và tạo nên một trạnh thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác một siêu nguyên tử tức là một BEC. Mãi đến năm 1980 khi kĩ thuật laser đã đủ phát triển đủ để làm siêu lạnh các nguyên tử tới nhiệt độ rất thấp thì BEC mới thực hiện được. Trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein được tạo ra đầu tiên trên thế giới từ những nguyên tử lạnh năm 1995. Điều này có ý nghĩa lớn là tạo nên một dạng vật chất mới trong đó các hạt bị giam chung trong trạnh thái có năng lượng thấp nhất đã mờ ra nhiều triển vọng nghiên cứu vật lý. Đây là một lĩnh vực khoa học hay, có hướng phát triển mạnh mẽ, đa dạng trong thời gian tốt, có thể tạo ra nhiều dạng vật chất mới mang ý nghĩa quan trọng trong ngành vật 2 lý. Chính vì thế mà tôi chọn đề tài nghiên cứu khoa học của mình là: “Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn.” 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu những đóng góp của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần trong vật lý thống kê và cơ học lượng tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Xuất phát từ hệ các hạt đồng nhất, thống kê Bose - Einstein đối với các boson là những hạt có spin nguyên, phương trình Gross - Pitaevskii. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu  Phương trình Gross - Pitaevskii.  Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn. 5. Những đóng góp mới của đề tài Sự phụ thuộc vào vị trí mặt phân cách của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần vào số hạt trong không gian nửa vô hạn có những đóng góp quan trọng trong Vật lý thống kê và cơ học lượng tử nói riêng, trong Vật lý lý thuyết nói chung. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu  Đọc sách và tra cứu tài liệu.  Sử dụng thống kê cổ điển, lượng tử và các phép tính giải tích toán học.  Sử dụng phần mềm Mathematica.  Sử dụng phép gần đúng parabol kép. 3 Chƣơng 1 TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1. Hệ hạt đồng nhất 1.1.1. Nguyên lý đồng nhất Chúng ta nghiên cứu một hệ gồm N hạt chuyển động phi tương đối tính. Trong trường hợp này toán tử Hamilton có thể viết dưới dạng N P ˆ2 ˆ ˆ , H   i  Vˆ  r1, r2, ..., rn   W 2 m i 1 i (1.1) trong đó Vˆ là toán tử tương tác với các hạt với bản chất là hàm của tọa độ của tất cả các hạt, Ŵ là toán tử đặc trưng cho tương tác spin – quỹ đạo, tương tác giữa các spin của các hạt và thế năng của trường ngoài… Hàm sóng của hệ phải thỏa mãn phương trình Schrodinger     Hˆ  1,2,..., N , t   0 , i  t  (1.2) với toán tử Hamilton (1.1) là hàm của thời gian, của tọa độ không gian và spin của các hạt 1,2,3,…,N. Nếu các hạt có đặc trưng như điện tích, khối lượng, spin,… không phân biệt được với nhau thì chúng ta có một hệ N hạt đồng nhất. Trong một hệ như thế ta có thể phân biệt các hạt theo trạng thái của chúng, nghĩa là nêu ra các tọa độ và xung lượng của từng hạt. 1.1.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng Ta kí hiệu toán tử hoán vị hạt i và j với nhau là P̂ij và kí hiệu trạng thái của hệ N hạt đồng nhất là  1,2,..., N , t     i, j  . Nếu thế Pˆij  i, j     i, j  ; Pˆij  j, i     i, j  , Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử P̂ij (1.3) 4 Pˆij  i, j     i, j  (1.4) Phương trình (1.4) có   Pˆ ij2  i, j    2  i, j   Pˆij Pˆij  i, j   Pˆij  i, j     i, j  . Từ đây suy ra trị riêng của toán tử P̂ij là   1 Nên các hàm riêng của toán tử hoán vị P̂ij được chia làm hai lớp: a) Lớp các hàm đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kỳ (hàm phản đối xứng) Pˆij a   a tương ứng với trị riêng   1 b) Lớp các hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kỳ (hàm đối xứng) Pˆij s   s tương ứng với trị riêng   1 Tính đối xứng và phản đối xứng của một hạt là tích phân chuyển động. Các thí nghiệm đã chứng tỏ rằng, tính chất đối xứng và phản đối xứng của các hàm sóng liên quan đến tính chất nội tại của các hạt. Các hạt có các hàm sóng  s đối xứng được gọi là hạt Bose hay các Boson, chúng tuân theo thống kê Bose – Einstein. Các hạt có hàm sóng  a phản đối xứng gọi là cac hạt femi hay các fermion, chúng tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Các Boson là các hạt có spin nguyên, các fermi là các hạt có spin bán nguyên. 1.1.3. Nguyên lý Pauli là hàm sóng của hệ tương tác yếu Đối với Fermion có một nguyên lý cấm do Pauli đưa ra. Nguyên lý này được phát biểu như sau: “Nếu có một bộ 4 đại lượng động lực  L1, L2 , L3 , St  bất kỳ đủ để đặc trưng cho trạng thái của một hạt thì trong hệ Fermion không thể có hai hạt có trạng thái được đặc trưng bởi 4 số  L1, L2 , L3 , St  giống nhau”. 5 Nguyên lý này được rút ra từ tính phản đối xứng của hàm sóng của các Fermion. Ta giả sử trong hệ có hai hạt i và j ở trong hai trạng thái giống nhau Pˆij a  i, j    a  j, i    a  i, j  theo giả thiết  a  i, j    a  j , i  cho nên  a  i, j    a i, j  Từ đây 2 a  i, j   0 và  a  i, j   0 nghĩa là trạng thái của hệ như vậy không tồn tại. Ta đi xét một hệ đồng nhất mà các hạt tương tác yếu với nhau, trong một phép gần đúng nào đó ta coi các hạt không tương tác với nhau. Giả sử hàm nl  l  là nghiệm đúng của phương trình  Hˆ  l    n  n  l   0 l l  ở đây Ĥ  l  là toán tử Hamilton cho hạt thứ l  l  1,2,..., N  , nl là tập hợp các số lượng tử đủ để đặc trưng cho trạng thái của hạt l . Khi đó các hàm riêng của toán tử Ĥ của hệ tương ứng với năng lượng En    nl sẽ là tổ hợp tuyến l tính của các tích dạng n1 1  n2  2  ...nN  N  . Đối với hệ Boson, hàm sóng phải có dạng của tích đã đối xứng hóa s    N1 ! N 2 !...N s !  P n1 1  n2  2 ...nN  N  N!  (1.5) trong đó, P là tất cả các hoán vị khả dĩ để cho tất cả các tích n1 1  n2  2  ...nN  N  khác nhau từng đôi một N1, N2 ,...Ns là số các hạt 6 trong các trạng thái lượng tử n1, n2 ,...ns tương ứng khác nhau từng đôi một N1  N2  ...  N s  N Đối với hệ Fermion, hàm sóng có dạng phản đối xứng n1 1 s  n1  2  n1  3 1 n 1 n2  2  n2  3 N! 2 nN 1 nN  2  nN  3 (1.6) Từ (1.6) chúng ta có thể suy ra nguyên lý Pauli 1.2. Thống kê Bose – Einstein Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt. Xuất phát từ công thức chính tắc lượng tử [2], , trong đó (1.7) là độ suy biến. Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có (1.8) ở đây, là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ, là số chứa đầy tức là số hạt có cùng năng lượng . Số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ suy biến với xác suất khác nhau. Độ trong (1.7) sẽ tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác nhau về phương diện Vật lý ứng với cùng một giá trị đó chính là số mới vì số hạt trong hệ không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ điển thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử hay phân bố Gibbs suy rộng. Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng 7 , trong đó , là thế nhiệt động lớn, Sở dĩ có thừa số (1.9) là thế hóa. xuất hiện trong công thức (1.9) là vì có kể đến tính đồng nhất của các hạt và tính không phân biệt của các trạng thái mà ta thu được do hoán vị các hạt. Ta kí kiệu (1.10) Khi đó (1.10) được viết lại như sau (1.11) Từ đây ta có hai nhận xét về công thức (1.11) như sau Một là vế phải của (1.11) có thể coi là hàm của các nhận công thức đó như là xác suất để cho có nên ta có thể đoán hạt nằm trên mức , hạt nằm trê mức , nghĩa là, đó là xác suất chứa đầy. Do đó nhờ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng . Hai là đại lượng (1.12) xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái Vật lý mới hoán vị (về tọa độ) các hạt. Đối với hệ boson và hệ fermion, tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, thì các phép hoán vị đều không đưa đến một trạng thái Vật lý mới nào cả, bởi vì 8 khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử. Do đó đối với các hạt boson và hạt fermion ta có . (1.13) Tìm Trong phân bố Maxwell – Boltzmann tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt có cùng một năng lượng . Do đó số tổng cộng các trạng thái khác nhau về phương diện Vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng cho số hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho chia . Khi đó , thay giá trị của (1.14) vào (1.10) ta thu được (1.13). Để tính trị trung bình của các số chứa đầy (số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau) ta gắn cho đại lượng trong công thức (1.11) chỉ số , tức là ta sẽ coi hệ ta xét hình như không phải chỉ có một thế hóa học . Và cuối phép tính ta cho mà ta có cả một tập hợp thế hóa học . Tiến hành phép thay thế như trên ta có thể viết điều kiện chuẩn hóa như sau , với (1.15) , nghĩa là Khi đó đạo hàm của . theo dựa vào (1.16) và (1.17) (1.16) (1.17) 9 (1.18) Nếu trong biểu thức (1.18) ta đặt thì theo (1.12) vế phải của công thức (1.18) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy tức là ta thu được . (1.19) Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ ) và do đó theo (1.15) ta có , (1.20) khi đó . (1.21) Theo (1.19) ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình , (1.22) ta có (1.22) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học trong công thức (1.22) được xác định từ điều kiện (1.23) Đối với khí lí tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein, số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ bằng 10 , trong đó (1.24) là số các mức năng lượng trong khoảng . Tìm Theo quan điểm lượng tử, các hạt boson chứa trong thể tích xem như các sóng dừng de Broglie. Vì vậy có thể xác định có thể bằng cách áp dụng công thức , cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của véctơ . từ (1.25) và véctơ sóng Theo hệ thức de Broglie giữa xung lượng , (1.26) khi đó (1.25) có thể được viết dưới dạng . (1.27) Đối với các hạt phi tương đối tính tức là hạt có vận tốc thì suy ra , , do đó (1.27) có dạng . Vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau nên số trạng thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của spin của hạt . Do đó, số các mức 11 năng lượng trong khoảng là . (1.28) Theo (1.24) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng . là (1.29) nên ta có phương trình sau Vì số hạt toàn phần là . (1.30) Phương trình này về nguyên tắc cho ta xác định thế hóa học . Ta xét một số tính chất tổng quát của thế hóa học đối với khí bose lí tưởng. Đầu tiên ta chứng minh rằng . Thực vậy, số hạt trung bình (1.31) chỉ có thể là một số dương, do đó, theo (1.29), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.29) luôn luôn dương (nghĩa là khi , để cho luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của ). Tiếp theo chúng ta có thể chứng minh rằng, giảm dần khi nhiệt độ tăng lên. Thực vậy, áp dụng qui tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.30) ta có: 12 1.32) Nhưng do (1.30) nên , do đó biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải (1.32) luôn luôn dương với mọi giá trị của , vì vậy và của hàm . Từ các tính chất ta thấy khi nhiệt độ giảm thì tăng đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm”) và tới nhiệt độ giá trị cực đại bằng không ( tăng (từ giá trị âm nào đó sẽ đạt ). Xác định nhiệt độ Chọn và . Khi đó phương trình trở thành . Mà ta biết , nên từ (1.33) và (1.33) , ta được . (1.34) 13 14 Đối với tất cả các khí bose quen thuộc thì nhiệt độ đó là rất nhỏ. Chẳng hạn như đối với 4He [2], ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ 120kg/m3 ta được = 2,190 . Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ có ý nghĩa rất quan trọng. Để hiểu ý nghĩa của nó ta xét khoảng nhiệt độ . Khi giảm nhiệt độ xuống tới , mà độ nên thì Với nhiệt độ thì thế hóa học tăng tới giá trị không thể giảm nữa, do đó trong khoảng nhiệt . số hạt có năng lượng là . (1.35) So sánh (1.33) và (1.35) ta thấy hay . Vì số hạt toàn phần trong hệ là không đổi, nên kết quả trên phải được đoán nhận Vật lý một cách đặc biệt. Khi toàn phần chỉ có một phần số hạt thì chỉ ra rằng số hạt có thể phân bố theo các mức năng lượng một cách tương ứng với công thức (1.24), tức là . Các hạt còn lại (1.36) , cần phải được phân bố như thế nào đó khác đi, chẳng hạn như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ. Như vậy ở các nhiệt độ thấp hơn , một phần các hạt của khí bose sẽ nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được phân bố trên các mức khác theo định luật . Hiện tượng mà ta vừa 15 mô tả, trong đó một số hạt của khí bose chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối ( ) tất cả các hạt bose sẽ nằm ở mức không. 1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose – Einstein Ngưng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí boson loãng bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K hay -2730C). Dưới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái lượng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lượng tử trở lên rõ rệt ở mức vĩ mô. Những hiệu ứng này được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ mô. Hiện tượng này được dự đoán bởi Einstein vào năm 1925 cho các nguyên tử với spin toàn phần có những giá trị nguyên. Dự đoán này dựu trên ý tưởng về một phân bố lượng tử cho các photon được đưa ra bởi Bose trước đó một năm để giải thích phổ phát xạ và hấp thụ của các vật đen tuyệt đối. Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất. Những nỗ lực của Bose và Einstein cho kết quả về khái niệm khí bose trong khuôn khổ lý thuyết thống kê Bose – Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson. Các hạt boson bao gồm photon cũng như các nguyên tử Heli-4 được phép tồn tại ở cùng trạng thái lượng tử như nhau. Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng thái lượng tử thấp nhất có thể và tạo lên trạng thái mới của vật chất. Cho đến nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được làm cho ngưng tụ. Mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [3]. Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải thích cho tính siêu chảy của 4He cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của một số vật liệu.