Tài liệu Tập hút của một số lớp phương trình đạo hàm riêng với trễ vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— ĐẶNG THỊ PHƯƠNG THANH TẬP HÚT CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VỚI TRỄ VÔ HẠN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— ĐẶNG THỊ PHƯƠNG THANH TẬP HÚT CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VỚI TRỄ VÔ HẠN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. Cung Thế Anh Hà Nội - 2017 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Cung Thế Anh. Các kết quả được phát biểu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Đặng Thị Phương Thanh 2 LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo của PGS.TS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Cung Thế Anh, người Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ những ngày học đại học. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của Thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là PGS.TS. Trần Đình Kế và các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi cho tác giả. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Hùng Vương, các thầy cô và các anh chị đồng nghiệp công tác tại Khoa ToánTin, Trường Đại học Hùng Vương đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin gửi đến các anh chị em NCS chuyên ngành Phương trình vi phân và tích phân của Khoa Toán-Tin,Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các bạn bè gần xa, lời cảm ơn chân thành về tất cả những giúp đỡ, động viên mà tác giả đã nhận được trong suốt thời gian qua. Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án. 3 Mục lục Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Một số kí hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . 8 3. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU . . . 12 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1. TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.2. Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.3. Sự tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2. CÁC TOÁN TỬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.1. Toán tử xác định dương có phổ rời rạc . . . . . . . . . . 20 1.2.2. Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 1.3. CÁC KHÔNG GIAN HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.1. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.2. Không gian hàm phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . 24 1.3.3. Không gian pha chứa trễ vô hạn . . . . . . . . . . . . . 24 1.4. MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . 27 1.4.2. Một số bổ đề và định lí quan trọng . . . . . . . . . . . . 29 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI TRỄ VÔ HẠN . . . . . . . . . 31 2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM . . . . . . . . . . . . 33 2.3. SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . 35 Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH GIẢ PARABOLIC VỚI TRỄ VÔ HẠN . . . . 42 3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM . . . . . . . . . . . . 44 3.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG . . 62 Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN CÓ NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM . . . . . . . . . . . . 72 4.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . . . . 80 4.3.1. Sự tồn tại tập hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.3.2. Tính compact tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3.3. Chứng minh Định lí 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5 2. KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . 90 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN Ω, ∂Ω miền bị chặn trong RN với biên ∂Ω Id ánh xạ đồng nhất D(A) miền xác định của toán tử A σ(A) phổ của toán tử A Aα , D(Aα ) lũy thừa cấp α của toán tử A với miền xác định D(Aα ) → hội tụ mạnh ⇀ hội tụ yếu ⇀∗ hội tụ *-yếu Y X bao đóng của Y trong X dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B ∗ tích chập ut hàm trễ ut (·) xác định bởi ut (s) = u(t + s) L1 (E), Cγ (E) g các không gian pha dùng để nghiên cứu trễ vô hạn tron luận án (xem định nghĩa chi tiết trong Chương 1) S(t) nửa nhóm liên tục sinh bởi bài toán đạo hàm riêng A tập hút toàn cục của nửa nhóm S(t) ω(B) tập ω-giới hạn của tập B Cb ([0, ∞)) không gian các hàm giá trị thực liên tục và bị chặn trên khoảng [0, ∞) 7 MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Các phương trình đạo hàm riêng có trễ xuất hiện trong nhiều quá trình của vật lí và sinh học, chẳng hạn các quá trình truyền nhiệt và khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các mô hình quần thể trong sinh học (xem [31, 70]). Việc nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ. Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Khi xét một quá trình thay đổi theo thời gian mô tả bởi phương trình tiến hóa, sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng rất quan trọng vì nó cho phép chúng ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của hệ trong tương lai, từ đó có thể có những điều chỉnh thích hợp để đạt được kết quả mong muốn. Về mặt toán học, điều này làm nảy sinh một hướng nghiên cứu mới, được phát triển mạnh mẽ trong khoảng ba thập kỉ gần đây là Lí thuyết các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều. Bài toán cơ bản của lí thuyết này là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút. Đó là một tập compact, bất biến, hút mọi tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ động lực đang xét. Từ khi ra đời đến nay, lí thuyết này đã và đang là một trong những hướng nghiên cứu lớn, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Sau khoảng ba thập kỉ phát triển, sự tồn tại và các tính chất cơ bản của tập hút đã được nghiên cứu cho một lớp khá rộng các phương trình đạo 8 hàm riêng phi tuyến và phương trình vi phân thường có trễ (xem, chẳng hạn, các cuốn chuyên khảo của Hale [31], Temam [58]). Tuy nhiên, bài toán này đối với các hệ động lực sinh bởi phương trình đạo hàm riêng có trễ thường rất phức tạp vì hệ động lực tương ứng là vô hạn chiều theo cả biến không gian (do toán tử đạo hàm riêng gây ra) và biến thời gian (do trễ gây ra). Trong những năm gần đây, tính ổn định nghiệm và sự tồn tại tập hút đã được nghiên cứu cho một số lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính có trễ và một số lớp phương trình trong cơ học chất lỏng có trễ. Tuy nhiên, bởi những khó khăn cơ bản xuất hiện do số hạng chứa trễ gây ra nên phần lớn các kết quả đã đạt được là trong trường hợp trễ hữu hạn; xem, chẳng hạn, [4, 6, 7, 8, 17, 39, 40, 50, 60, 61, 63] và các tài liệu trong đó. Việc phát triển các kết quả này cho trường hợp trễ vô hạn, trường hợp khó hơn rất nhiều do tính không bị chặn của trễ, mới chỉ đạt được một số ít tiến bộ trong vài năm gần đây trong một vài trường hợp đặc biệt của không gian pha [5, 14, 15, 25, 34, 45]. Do đó, đây đang là vấn đề rất thời sự và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. 2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Phương trình parabolic nửa tuyến tính ôtônôm có trễ là phương trình tiến hóa có dạng du(t) = Au(t) + F (ut ), dt t > 0, trong đó A là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian Banach X; F là một ánh xạ phi tuyến từ B vào X, B là không gian pha (hay không gian trạng thái); và ut ∈ B là hàm trạng thái xác định bởi ut (θ) = u(t + θ) với mọi θ ∈ [−r, 0], r là một hằng số không âm (hữu hạn hoặc vô hạn). Phương trình parabolic nửa tuyến tính có trễ thường được xét trong khá nhiều mô hình như phương trình phản ứng-khuếch tán, phương trình dân số phụ thuộc độ tuổi (đặc biệt là thời kì trưởng thành), . . . Ý nghĩa của những 9 lớp phương trình parabolic có trễ được trình bày trong cuốn sách chuyên khảo của Wu [70] và các tài liệu trích dẫn trong đó. Một số kết quả gần đây về sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình parabolic có trễ như sau: Sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại tập hút đã được chứng minh cho một số lớp phương trình parabolic chứa trễ hữu hạn trong một số trường hợp đặc biệt của phần phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức (xem một số công trình gần đây của A.V. Rezounenko và J. Wu [50], J. Li và J. Huang [39], X. Li và Z. Li [40], C.T. Anh và L.V. Hien [4], C.T. Anh và L.V. Hieu [6], C.T. Anh, L.V. Hieu và T.T. Loan [8], . . . ); Sự tồn tại tập hút đối với phương trình parabolic với trễ vô hạn trong một trường hợp rất đặc biệt của không gian pha (không gian Cγ ) và không chứa hàm phi tuyến f (u) được chứng minh trong [14, 15]. Trong các mở rộng của phương trình parabolic chứa trễ, phương trình giả parabolic (pseudoparabolic) nửa tuyến tính chứa trễ sau đây rất được quan tâm   ∂t u(t, x) + A∂t u(t, x) + Au(t, x) + f (u(t, x)) = g(ut ) + h(x), t > 0, x ∈ Ω,  u(s, x) = ϕ(s, x), s ∈ (−r, 0], x ∈ Ω, trong đó Ω là một miền bị chặn trong RN với biên ∂Ω trơn, A là một toán tử tuyến tính (không bị chặn) thỏa mãn một số điều kiện nhất định, g là một ánh xạ phi tuyến từ không gian pha B vào không gian Banach X = L2 (Ω), f (u) là số hạng phi tuyến, và ut ∈ B là hàm trạng thái xác định bởi ut (θ) = u(t + θ) với mọi θ ∈ (−r, 0], r là một hằng số không âm (hữu hạn hoặc vô hạn). Toán tử A chứa một lớp rộng lớn các toán tử elliptic mạnh với điều kiện biên thích hợp, ví dụ toán tử −∆ với điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann thuần nhất (xem [21]), hoặc một số lớp toán tử elliptic suy biến với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất như là toán tử Caldiroli-Musina dạng −div(σ(x)∇) trong [16] hay toán tử suy biến mạnh −∆λ trong [37]. Trong trường hợp đặc biệt A = −∆, phương trình trên (trong trường hợp 10 không chứa trễ) trở thành phương trình khuếch tán không cổ điển được giới thiệu trong [1] khi Aifantis chỉ ra rằng phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển không mô tả được hết các khía cạnh của bài toán phản ứng-khuếch tán, cụ thể là nó bỏ qua tính nhớt, sự đàn hồi, và áp suất của môi trường trong quá trình khuếch tán chất rắn. Bên cạnh đó, Aifantis cũng chỉ ra rằng, năng lượng từ phương trình phát ra trong quá trình khuếch tán chất rắn trong môi trường truyền dẫn khác nhau sẽ có tính chất khác nhau. Và do đó, ông đã xây dựng mô hình toán học qua một số ví dụ cụ thể và đưa ra lớp phương trình khuếch tán không cổ điển. Lớp phương trình này thường sử dụng để mô tả các hiện tượng vật lí như dòng chảy không Newton, các hiện tượng trong cơ học chất lỏng, cơ học chất rắn và sự tỏa nhiệt (xem, chẳng hạn [1, 49, 62]). Trong những năm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm đối với phương trình khuếch tán không cổ điển đã được nghiên cứu rộng rãi trong cả trường hợp ôtônôm [44, 54, 64, 72, 73] và trường hợp không ôtônôm [2, 3, 10, 11, 55, 74]. Mặt khác, có những tình huống mà mô hình sẽ mô tả tốt hơn nếu một hàm chứa trễ xuất hiện trong phương trình. Hàm chứa trễ có thể xuất hiện, chẳng hạn như khi một muốn điều khiển hệ bằng cách sử dụng các lực không chỉ tính đến hiện tại mà cả lịch sử của nghiệm. Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, các kết quả nghiên cứu về sự tồn tại tập hút đạt được đối với phương trình khuếch tán không cổ điển chứa trễ chủ yếu là trong trường hợp trễ hữu hạn [12, 18, 76], ngoại trừ công trình rất gần đây [51], ở đó xét trễ vô hạn và số hạng phi tuyến f (u) tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev. Với những phân tích ở trên, ta thấy rằng, bên cạnh các kết quả đã đạt được, còn nhiều vấn đề mở đặt ra khi nghiên cứu lớp phương trình parabolic chứa trễ vô hạn và các phương trình liên quan, chẳng hạn: • Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại tập hút trong các trường hợp khác nhau của không gian pha. • Nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng. 11 Bên cạnh việc nghiên cứu lớp các phương trình đạo hàm riêng có trễ, các phương trình đạo hàm riêng có nhớ, một loại phương trình có trễ đặc biệt mà số hạng trễ xuất hiện ở ngay phần chính của phương trình, cũng đang được nhiều nhà toán học như Borini, Chepyzhov, Conti, Giorgi, Marchini, Miranville, Pata, . . . quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây; xem, chẳng hạn, các công trình [13, 19, 20, 22, 23, 29, 30, 35, 47, 68, 69]. Một lớp phương trình có nhớ được nghiên cứu nhiều là lớp phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớ sau đây:  ∫ ∞  ∂ u − ∆∂ u − ∆u −  t κ(s)∆u(t − s)ds + f (u) = g(x), t    0    u(t, x) = 0,  u(0, x) = u (x),  0       u(−s, x) = g0 (s, x), x ∈ Ω, t > 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, x ∈ Ω, x ∈ Ω, s > 0, trong đó Ω là miền bị chặn trong RN với biên ∂Ω trơn. Tốc độ tiêu hao năng lượng của phương trình trên nhanh hơn so với phương trình khuếch tán không cổ điển thông thường. Sự truyền dẫn năng lượng không chỉ bị ảnh hưởng bởi ngoại lực hiện tại mà còn phụ thuộc vào lịch sử của nó trong quá khứ. Trong những năm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớ được nghiên cứu bởi nhiều tác giả (xem [22, 23, 67, 68, 69]). Tuy nhiên, trong các công trình nghiên cứu này, hàm µ(s) := −κ′ (s) luôn được giả thiết thỏa mãn bất đẳng thức µ′ (s) + δµ(s) ≤ 0, điều kiện này được giới thiệu trong bài báo tiên phong của Dafermos [24], và hàm phi tuyến được giả thiết là liên tục Lipschitz địa phương và thỏa mãn điều kiện tăng trưởng kiểu Sobolev f (u) > −λ1 , |u|→∞ u lim inf |f ′ (u)| ≤ C(1 + |u| N −2 ), 4 12 trong đó λ1 là giá trị riêng đầu tiên của toán tử −∆ trong Ω với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất. Dưới các giả thiết tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev này của hàm phi tuyến, trong [23] Conti, Marchini và Pata đã chứng minh được sự tồn tại của tập hút toàn cục; kết quả này cải thiện kết quả trước đó trong [67]. Bằng cách kết hợp các kĩ thuật trong [23, 67] và kĩ thuật trong [29, 30] cho phương trình phản ứng-khuếch tán có nhớ, ta có thể chứng minh được kết quả tương tự khi hàm phi tuyến f (u) thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức. Do đó, việc cố gắng loại bỏ các hạn chế trên về độ tăng trưởng của hàm phi tuyến và chứng minh sự tồn tại của nghiệm yếu và của tập hút toàn cục, dưới giả thiết tổng quát hơn của κ (như trong [23]) và lớp hàm phi tuyến rộng hơn (thỏa mãn cả hai trường hợp trên và cho cả trường hợp tăng trưởng kiểu mũ) sẽ là vấn đề nghiên cứu có ý nghĩa đối với lớp phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớ. Tóm lại, những vấn đề mở mà chúng tôi quan tâm nghiên cứu trong luận án này bao gồm: • Sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự tồn tại tập hút toàn cục đối với lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính với trễ vô hạn trong trường hợp không gian pha là L1 (D(Aα )). g • Sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự tồn tại tập hút toàn cục, sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng đối với lớp phương trình giả parabolic nửa tuyến tính với trễ vô hạn trong trường hợp hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức. • Sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớ với lớp hàm phi tuyến kiểu mới và điều kiện rất tổng quát của nhân nhớ. 3. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU • Mục đích của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận 13 nghiệm (thông qua sự tồn tại tập hút toàn cục, sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng) của một số lớp phương trình đạo hàm riêng có trễ vô hạn xuất hiện trong vật lí và cơ học. • Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng có trễ vô hạn xuất hiện trong vật lí và cơ học. • Phạm vi nghiên cứu: ◦ Nội dung 1: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic trừu tượng có trễ vô hạn:   ′  u (t) + Au(t) = F (ut ), t > 0,  u(s) = ϕ(s), s ≤ 0, trong đó A là toán tử quạt dương có giải thức compact trên không gian Banach X, F là ánh xạ Lipschitz từ B vào X với B là không gian pha phù hợp. ◦ Nội dung 2: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự tồn tại tập hút toàn cục, sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng đối với phương trình giả parabolic có trễ vô hạn:  ∂ u(t, x) + A∂ u(t, x) + Au(t, x) + f (u(t, x)) = g(u ) + h(x),  t t t    t > 0, x ∈ Ω,     u(s, x) = ϕ(s, x), s ∈ (−∞, 0], x ∈ Ω, trong đó Ω là một miền bị chặn trong RN với biên ∂Ω trơn, A là một toán tử tuyến tính dương tự liên hợp xác định trù mật với giải thức compact trong X = L2 (Ω) (ví dụ điển hình của A là toán tử −∆ với điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann thuần nhất), g là ánh xạ Lipschitz từ không gian pha B = Cγ (D(A1/2 )) vào không 14 gian X = L2 (Ω), f (u) là hàm phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức, ngoại lực h ∈ L2 (Ω). ◦ Nội dung 3: Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớ với lớp hàm phi tuyến kiểu mới:  ∫ ∞ ∂ u − ∆∂ u − ∆u −  t κ(s)∆u(t − s)ds +f (u) = g(x),  t   0      x ∈ Ω, t > 0,    u(t, x) = 0,     u(0, x) = u0 (x),       u(−s, x) = g (s, x), 0 x ∈ ∂Ω, t > 0, x ∈ Ω, x ∈ Ω, s > 0. trong đó Ω là miền bị chặn trong RN với biên trơn ∂Ω, f (u) thỏa mãn điều kiện tiêu hao và không bị giới hạn về độ tăng trưởng (nói riêng, lớp phi tuyến mới này chứa tất cả những lớp phi tuyến trước đây như kiểu Sobolev, kiểu đa thức, và thậm chí kiểu mũ), nhân nhớ κ(·) thỏa mãn điều kiện rất tổng quát. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, các bổ đề compact [42] và phương pháp năng lượng [45]. • Nghiên cứu sự tồn tại tập hút: sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều [58]. • Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng: sử dụng các phương pháp của lí thuyết ổn định Lyapunov. 5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN Luận án đạt được những kết quả chính sau đây: 15 • Chứng minh được sự phụ thuộc liên tục của nghiệm tích phân vào dữ kiện ban đầu, sự tồn tại tập hút toàn cục trong không gian pha L1 (D(Aα )) g của một lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính với trễ vô hạn. Đây là nội dung chính của Chương 2. • Chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu, sự tồn tại tập hút toàn cục trong không gian pha Cγ , sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng yếu đối với phương trình giả parabolic có trễ vô hạn trong trường hợp hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức. Đây là nội dung chính của Chương 3. • Chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu, sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớ trong trường hợp hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu mới (bao gồm cả kiểu đa thức, kiểu Sobolev và đặc biệt là kiểu mũ), và nhân chứa nhớ thỏa mãn điều kiện rất tổng quát. Đây là nội dung chính của Chương 4. Các kết quả của luận án là những đóng góp có ý nghĩa khoa học cho Lí thuyết các hệ động lực vô hạn chiều và Lí thuyết các phương trình đạo hàm riêng có trễ; góp phần vào việc hoàn thiện các lí thuyết này và giải quyết một số vấn đề mở mà nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm. Mặt khác, các lớp phương trình được nghiên cứu trong luận án là các lớp phương trình có nhiều ứng dụng trong thực tế kĩ thuật nên các kết quả đạt được trong luận án cũng góp phần tăng khả năng ứng dụng trong các bài toán thực tiễn. Các kết quả chính đạt được đã được công bố trong 03 bài báo trên các tạp chí chuyên ngành quốc tế (xem Danh mục công trình đã công bố liên quan đến luận án) và đã được báo cáo tại các seminar và hội thảo khoa học sau: 16 • Seminar của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; • Seminar của Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Hùng Vương; • Hội thảo khoa học "Tối ưu và Tính toán Khoa học" lần thứ 15, Ba Vì, Hà Nội, 20-22/4/2017; • Hội nghị khoa học giảng viên trẻ, Trường Đại học Hùng Vương, 2016. 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương: • Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày các khái niệm và các kiến thức cơ sở cần thiết được sử dụng trong luận án. • Chương 2. Phương trình parabolic với trễ vô hạn. Chương này trình bày sự tồn tại nghiệm tích phân, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu và sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic nửa tuyến tính trừu tượng với trễ vô hạn. • Chương 3. Phương trình giả parabolic với trễ vô hạn. Chương này chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, sự tồn tại tập hút toàn cục, sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng đối với một lớp phương trình giả parabolic nửa tuyến tính với trễ vô hạn. • Chương 4. Phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớ. Chương này chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu và sự tồn tại tập hút toàn cục đối với một lớp phương trình khuếch tán không cổ điển có nhớ. 17 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả tổng quát về sự tồn tại và tính chất của tập hút toàn cục, về toán tử, các không gian hàm và một số kết quả bổ trợ (các bổ đề compact, dạng yếu của định lí hội tụ bị chặn, các bất đẳng thức thường dùng) được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận án ở các chương sau. 1.1. TẬP HÚT TOÀN CỤC Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tập hút toàn cục sẽ được sử dụng trong luận án. Nội dung của mục này được viết dựa trên các tài liệu [52, 58]. Giả sử (X, ∥ · ∥) là một không gian Banach và nửa khoảng cách Hausdorff distX (·, ·) giữa hai tập con A, B của X được định nghĩa như sau: distX (A, B) := sup inf ∥a − b∥, với A, B ⊂ X. a∈A b∈B 1.1.1. Các khái niệm Định nghĩa 1.1. Hệ động lực là một cặp (X, S(t)) gồm một không gian Banach X và một họ các ánh xạ S(t) : X → X, t ≥ 0, thỏa mãn: 1) S(0) = Id; 2) S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t + s); 3) với mọi t ≥ 0, S(t) ∈ C 0 (X, X); 18 4) với mọi u ∈ X, ánh xạ t → S(t)u thuộc C 0 ((0, +∞), X). Họ các ánh xạ S(t) : X → X, t ≥ 0 thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một nửa nhóm liên tục trên X. Không gian X được gọi là không gian pha (hay không gian trạng thái). Định nghĩa 1.2. Giả sử A ⊂ X. Tập ω-giới hạn của A được định nghĩa bởi ω(A) = ∩ ∪ X S(t)A s≥0 t≥s ở đó S(t)A = {v = S(t)u : u ∈ A}. Định nghĩa 1.3. Nửa nhóm S(t) gọi là tiêu hao bị chặn (gọi tắt là tiêu hao) nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X sao cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại T = T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0 , ∀ t ≥ T . Tập B0 như vậy được gọi là một tập hấp thụ đối với nửa nhóm S(t). 1.1.2. Tập hút toàn cục Định nghĩa 1.4. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút toàn cục đối với nửa nhóm S(t) nếu: 1) A là một tập compact; 2) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t ≥ 0; 3) A hút mọi tập con bị chặn B của X, tức là lim dist(S(t)B, A) = 0. t→+∞ Từ định nghĩa của tập hút toàn cục, ta có các tính chất sau: Mệnh đề 1.1. [58] Giả sử S(t) có tập hút toàn cục A. Khi đó: 1) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A (tính cực đại);