Tài liệu Tính ổn định và đặt chỉnh tikhonov của bài toán cân bằng từ điển

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN QUỐC DUY TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐẶT CHỈNH TIKHONOV CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG TỪ ĐIỂN Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số ngành: 62460112 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TP. Hồ Chí Minh – Năm 2017 ' Công trình này được hoàn thành tại trường Đại Học Khoa học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. $ Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lâm Quốc Anh GS.TSKH. Phan Quốc Khánh Phản biện 1: TS. Nguyễn Bá Thi Phản biện 2: TS. Nguyễn Đình Tuấn Phản biện 3: TS. Nguyễn Hồng Quân Phản biện độc lập 1: PGS.TS. Trương Xuân Đức Hà Phản biện độc lập 2: TS. Nguyễn Xuân Hải Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Cơ sở đào tạo tại trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - HCM vào lúc ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM. 2. Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - HCM. & % Chương 1 Kiến thức bổ trợ Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở được dùng cho các chương sau. 1.1 Tính liên tục của ánh xạ đơn trị Định nghĩa 1.1.1. Cho f : E → R ∪ {+∞}, a ∈ R, x ∈ E và {xn } là dãy bất kỳ trong ¯ E hội tụ về x. Hàm f được gọi là ¯ (a) a-mức trên đóng tại x nếu mệnh đề kéo theo sau đây thỏa mãn ¯ [ f (xn ) ≥ a, ∀n] =⇒ [ f (x) ≥ a] . ¯ (b) a-mức trên đóng mạnh tại x nếu ∀νn ↓ 0 ta có mệnh đề kéo theo sau đây ¯ [ f (xn ) + νn ≥ a, ∀n] =⇒ [ f (x) ≥ a] . ¯ (c) nửa liên tục dưới tại x nếu ¯ f (x) ≤ lim inf f (xn ). ¯ n→∞ (d) giả liên tục dưới tại x nếu mệnh đề kéo theo sau đây thỏa mãn ¯ [ f (x) < f (x)] =⇒ f (x) < lim inf f (xn ), ∀xn → x . ¯ ¯ n→∞ (e) nửa liên tục trên (tương ứng, giả liên tục trên) tại x nếu (− f ) là nửa liên tục dưới ¯ (tương ứng, giả liên tục dưới) tại x; Hàm f được gọi là liên tục (tương ứng, giả ¯ liên tục) tại x nếu f là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới (tương ứng, giả liên ¯ tục trên và giả liên tục dưới) tại x. ¯ Ta nói rằng f thỏa mãn một tính chất nào đó ở trong X ⊂ E nếu nó thỏa mãn tính chất đó với mọi điểm x ∈ X. 1.2 Tính lồi và tính đơn điệu của hàm giá trị thực Định nghĩa 1.2.1. Cho X ⊂ E là tập lồi. Hàm f : X → R ∪ {+∞} được gọi là (i) lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X và t ∈ (0, 1), ta có f (tx + (1 − t)y) ≤ t f (x) + (1 − t) f (y). 1 Chương 1 Kiến thức bổ trợ (ii) lồi mạnh với hệ số α > 0 trên X nếu với mọi x, y ∈ X và t ∈ (0, 1), ta có f (tx + (1 − t)y) ≤ t f (x) + (1 − t) f (y) − α t(1 − t) x − y 2 , 2 Hàm f được gọi là lõm (tương ứng, lõm mạnh) trên X nếu − f là hàm lồi (tương ứng, lồi mạnh) trên X. Định nghĩa 1.2.2. (Xem Crouzeix et al., 20001 ) Song hàm g : X × X → R được gọi là (a) giả đối xứng, nếu với mỗi cặp x, y ∈ X, g thỏa mãn điều kiện sau đây: g(x, y) = 0 =⇒ g(y, x) = 0; (b) tựa đơn điệu, nếu g(x, y) > 0 =⇒ g(y, x) ≤ 0, với mọi x, y ∈ X; (c) giả đơn điệu, nếu g(x, y) ≥ 0 =⇒ g(y, x) ≤ 0, với mọi x, y ∈ X; (d) giả đơn điệu∗ , nếu nó là giả đơn điệu trên X và với mỗi cặp x, y ∈ X, nếu g(x, y) = g(y, x) = 0 thì với mọi z ∈ X tồn tại một số thực dương k phụ thuộc vào x, y, z sao cho g(x, z) = kg(y, z); (e) giả đối xứng∗ , nếu g là giả đối xứng và giả đơn điệu∗ . 1.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ đa trị F đi từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là nửa liên tục trên (tương ứng, nửa liên tục dưới) tại x nếu với mọi tập mở ¯ U của Y thỏa mãn F(x) ⊂ U (tương ứng, F(x) ∩U = 0) tồn tại một lân cận mở N của ¯ ¯ / x sao cho với mọi x ∈ N, F(x) ⊂ U (tương ứng, F(x) ∩U = 0). ¯ / Ta nói rằng F có một tính chất nào đó trong A ⊂ E nếu F thỏa mãn tính chất đó với mọi điểm thuộc A. 1 Crouzeix, J.P., Marcotte, P., Zhu, D.: Conditions ensuring the applicability of cutting-plane methods for solving variational inequalities. Mathematical Programming 88, 521–539 (2000) 2 Chương 1 Kiến thức bổ trợ Mệnh đề 1.3.1. Cho ánh xạ đa trị F : X Y. (i) Giả sử F có giá trị compact. Khi đó, F là nửa liên tục trên tại x khi và chỉ khi ∀ xγ , yγ γ∈I ⊂ gph F, xγ → x thì {yγ }γ∈I có một điểm tụ trong F(x). (ii) F là nửa liên tục dưới tại x khi và chỉ khi với mọi xγ → x và y ∈ F(x), tồn tại yγ ∈ F(xγ ) sao cho yγ → y. 1.4 Độ đo tính không compact Định nghĩa 1.4.1. Cho M là một tập con khác rỗng của không gian metric E. Độ đo Kuratowski của M được xác định như sau n µ(M) = inf{ε > 0 | M ⊂ Mk , Mk ⊂ X và diamMk ≤ ε, ∀k, n ∈ N}. k=1 Định nghĩa 1.4.2. Cho A, B là hai tập con khác rỗng của E. Khoảng cách Hausdorff giữa A và B được xác định như sau H(A, B) = max {H ∗ (A, B), H ∗ (B, A)} , ở đó H ∗ (A, B) = supa∈A d(a, B) với d(a, B) = infb∈B d(a, b). Mệnh đề 1.4.1. Các khẳng định sau đây là đúng: (i) µ(M) = 0 nếu M là compact; (ii) µ(M) = µ(M); (iii) µ(conv M) = µ(M); (iv) Nếu {Mn } là một dãy các tập con đóng trong E thỏa mãn Mn+1 ⊂ Mn với mọi n ∈ N và limn→∞ µ(Mn ) = 0, thì K := n∈N Mn là một tập compact khác rỗng và limn→∞ H(Mn , K) = 0. (v) M ⊂ N kéo theo µ(M) ≤ µ(N). 1.5 Nón thứ tự từ điển trong không gian Rn Cho {r1 , r2 , ..., rn } là một cơ sở trực chuẩn trong Rn . Khi đó, nón từ điển trong không gian Rn được xác định như sau: n k ∈ Rn | k, r j = 0, ∀ j < i và k, ri > 0 Clex = i=1 3 ∪ {0}. Chương 1 Kiến thức bổ trợ Định nghĩa 1.5.1. Với a = (a1 , a2 , ..., an ), b = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Rn , thứ tự từ điển trên Rn , ký hiệu lex , là một quan hệ thứ tự được xác định như sau a 1.6 lex b ⇐⇒ a = b hoặc ai > bi với tọa độ khác nhau đầu tiên thứ i của a và b. Mô hình bài toán cân bằng từ điển Cho X các tập con khác rỗng của không gian Banach E. Gọi E ∗ là không gian đối ngẫu của E. Chuẩn và cặp đối ngẫu của E và E ∗ lần lượt được ký hiệu bởi · và ·, · . Cho f = ( f1 , f2 ) : X × X → R2 là một hàm giá trị vectơ. Bài toán cân bằng từ điển được phát biểu như sau: (LEP) Tìm x ∈ X sao cho ¯ f (x, y) ¯ lex 0, ∀y ∈ X. Tập nghiệm của bài toán (LEP) được ký hiệu là SLEP . Ký hiệu EP(X, fi ), i = 1, 2, là bài toán cân bằng: Tìm x ∈ X sao cho fi (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ X. Tập nghiệm của bài toán ¯ ¯ EP(X, fi ) được ký hiệu là SEPi . Xét ánh xạ đa trị Z : X X được xác định bởi Z(x) := {z ∈ X | f1 (x, z) = 0}. Khi đó, bài toán (LEP) có thể được phát biểu một cách tương đương như sau: Tìm x ∈ X sao cho ¯   f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ X, 1 ¯  f2 (x, z) ≥ 0, ∀z ∈ Z(x). ¯ ¯ Cho ánh xạ Ti : E → E ∗ , i = 1, 2. Bằng cách đặt fi (x, y) = Ti (x), y − x . Khi đó, ¯ ¯ bài toán (LEP) trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển (LVI) Tìm x ∈ X sao cho ¯ ( T1 (x), y − x , T2 (x), y − x ) ¯ ¯ ¯ ¯ lex 0, ∀y ∈ X. Cho g = (g1 , g2 ) : X → R2 . Đặt fi (x, y) = gi (y) − gi (x), i = 1, 2. Khi đó, bài toán cân bằng từ điển trở thành bài toán tối ưu từ điển (LOP) Tìm x ∈ X sao cho ¯ g(x) ¯ lex g(y), 4 ∀y ∈ X. Chương 2 Tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng từ điển Chương này nghiên cứu tính nửa liên tục trên, tính đóng và tính liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng từ điển. Áp dụng các kết quả thu được vào bài toán tối ưu từ điển. 2.1 Tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng từ điển Cho Λ tập con khác rỗng của không gian Banach E . Với λ ∈ Λ, xét bài toán cân bằng từ điển phụ thuộc tham số (LEPλ ) Tìm x ∈ X sao cho ¯ f1 (x, y, λ ) ≥ 0, ∀y ∈ X và f2 (x, z, λ ) ≥ 0, ∀z ∈ Z(x, λ ), ¯ ¯ ¯ với Z(x, λ ) := {y ∈ X | f1 (x, y, λ ) = 0}. Định lý 2.1.1. Giả sử cho bài toán (LEPλ )λ ∈Λ như sau: (i) X là tập compact; ¯ (ii) fi là giả liên tục trên ở trong X × X × {λ } với i = 1, 2; ¯ ¯ (iii) Z là nửa liên tục dưới ở trong SEP1 (λ ) × {λ }. ¯ Khi đó, ánh xạ nghiệm SLEP là nửa liên tục trên và đóng tại λ . Mệnh đề sau đây cho ta điều kiện đủ cho tính nửa liên tục dưới của Z ngay cả khi Z(x, λ ) không nhất thiết phải là tập đơn phần tử. ¯ ¯ Mệnh đề 2.1.1. Với (x, λ ) ∈ X × Λ, giả sử rằng ¯ ¯ (i) Z(x, λ ) = 0 và f1 là liên tục trong một lân cận của (x, y, λ ), với mọi y ∈ Z(x, λ ); ¯ ¯ / ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (ii) đạo hàm Fréchet ∇2 f1 của f1 theo biến thứ hai tồn tại và ∇2 f1 (x, y, λ ) là khả ¯ ¯ ¯ nghịch với mọi y ∈ Z(x, λ ) \ {x}. ¯ ¯ ¯ ¯ Khi đó, Z là nửa liên tục dưới tại (x, λ ). ¯ ¯ Tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm cho bài toán (LEPλ ) được thể hiện qua các định lý sau. 5 Chương 2 Tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng từ điển Định lý 2.1.2. Với các giả thiết trong Định lý 2.1.1 và giả sử thêm rằng ¯ (iv) f2 (·, ·, λ ) là tựa đơn điệu ở trong X × X; ¯ ¯ ¯ (v) với mỗi x ∈ SLEP (λ ) và y ∈ SLEP (λ ) \ {x}, f2 (x, y, λ ) > 0. ¯ Khi đó, SLEP là liên tục tại λ . Định lý 2.1.3. Giả sử cho bài toán (LEPλ )λ ∈Λ như sau: (i) X là tập compact; ¯ (ii) fi , i = 1, 2, là các hàm giả liên tục trên ở trong X × X × {λ }; ¯ (iii) với mỗi lân cận W của λ và λ ∈ W , f1 (·, ·, λ ) là giả đối xứng∗ ở trong X × X; ¯ ¯ ¯ (iv) với x ∈ SEP1 (λ ) và y ∈ SEP1 (λ ) \ {x}, f1 (x, y, λ ) > 0. ¯ Khi đó, ánh xạ nghiệm SLEP là liên tục tại λ . 2.2 Áp dụng vào bài toán tối ưu từ điển Cho hàm g : X × Λ → R2 . Ký hiệu SOP1 (λ ) := {x ∈ X | g1 (x, λ ) = minX g1 (·, λ )}. Với mỗi λ ∈ Λ, bài toán tối ưu ứng với thứ tự từ điển được phát biểu sau: (LOPλ ) Tìm x ∈ SOP1 (λ ) sao cho x ∈ arg minZ(x,λ ) g2 (·, λ ), ¯ ¯ ở đó Z(x, λ ) := {y ∈ K(λ ) | g1 (y, λ ) = g1 (x, λ )}. Định lý 2.2.1. Giả sử cho bài toán (LOPλ ) như sau: (i) X là tập compact; ¯ (ii) gi là giả liên tục ở trong X × {λ }, với i = 1, 2; ¯ ¯ (iii) Z là nửa liên tục dưới ở trong SOP1 (λ ) × {λ }. ¯ Khi đó, ánh xạ nghiệm SLOP là nửa liên tục trên và đóng tại λ . Định lý 2.2.2. Với các giả thiết của Định lý 2.2.1 và ¯ (iv) g2 là đơn điệu ở trong X × {λ }. ¯ Khi đó, ánh xạ nghiệm SLOP là liên tục tại λ . Định lý 2.2.3. Với các giả thiết (i) và (ii) của Định lý 2.2.1 và ¯ (v) g1 đơn điệu ở trong X × {λ }. ¯ Khi đó, ánh xạ nghiệm SLOP là liên tục tại λ . 6 Chương 3 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán cân bằng từ điển Trong chương này, chúng ta nghiên cứu tính đặt chỉnh Tikhonov và đặt chỉnh Tikhonov theo dãy của bài toán (LEP). 3.1 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán cân bằng từ điển Với mỗi số thực ε ∈ [0, +∞), ta xét bài toán xấp xỉ ứng với e = (0; 1) như sau: (LEPε ) Tìm x ∈ X sao cho ¯ f (x, y) + εe lex 0, ∀y ∈ X. Tập nghiệm của bài toán xấp xỉ (LEPe,ε ) được xác định như sau: S(ε) = {x ∈ X | f1 (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ X và f2 (x, z) + ε ≥ 0, ∀z ∈ Z(x)}. Định nghĩa 3.1.1. Dãy {xn } được gọi là dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán (LEP), nếu tồn tại dãy số thực dương {εn }, với εn ↓ 0, sao cho xn ∈ S(εn ), ∀n ∈ N. Định nghĩa 3.1.2. Bài toán (LEP) được gọi là (i) đặt chỉnh Tikhonov mở rộng, nếu SLEP = 0 và mỗi dãy nghiệm xấp xỉ bất kỳ / {xn } của bài toán (LEP) đều tồn tại một dãy con {xnk } hội tụ về một điểm ở trong tập nghiệm SLEP . (ii) đặt chỉnh Tikhonov, nếu nó là đặt chỉnh Tikhonov mở rộng và tập nghiệm của nó là tập đơn phần tử. Định lý sau đây cho ta các điều kiện đủ cho tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán (LEP). Định lý 3.1.1. Giả sử X là tập compact và (i) f1 là hàm số liên tục; đạo hàm Fréchet ∇2 f1 của f1 theo biến thứ hai tồn tại và ∇2 f1 (x, y) là khả nghịch, với mọi x, y ∈ X, x = y; (ii) f2 là hàm 0-mức trên đóng mạnh. 7 Chương 3 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán cân bằng từ điển Khi đó, bài toán (LEP) là đặt chỉnh Tikhonov mở rộng. Hơn nữa, nó là đặt chỉnh Tikhonov nếu SLEP là tập đơn phần tử. Sau đây, chúng ta xét một đặc trưng metric của tính đặt chỉnh Tikhonov cho bài toán (LEP) thông qua đường kính của các tập nghiệm xấp xỉ. Định lý 3.1.2. Giả sử rằng (i) f1 là hàm liên tục; đạo hàm Fréchet của f1 theo biến thứ hai tồn tại và ∇2 f1 (x, y) là khả nghịch với mọi x, y ∈ X, x = y; (ii) f2 là hàm 0-mức trên đóng mạnh. Khi đó, bài toán (LEP) là đặt chỉnh Tikhonov khi và chỉ khi S(ε) = 0, ∀ε > 0 và lim diam(S(ε)) = 0. / ε→0 Tiếp theo, chúng ta khảo sát tính đặt chỉnh Tikhonov mở rộng của bài toán (LEP) bằng cách sử dụng độ đo Kuratowski của tính không compact của tập nghiệm xấp xỉ. Định lý 3.1.3. Giả sử rằng (i) f1 là hàm liên tục; đạo hàm Fréchet của f1 theo biến thứ hai tồn tại và ∇2 f1 (x, y) là khả nghịch với mọi x, y ∈ X, x = y; (ii) f2 là hàm δ -mức trên đóng với mọi δ < 0. Khi đó, bài toán (LEP) là đặt chỉnh Tikhonov mở rộng khi và chỉ khi S(ε) = 0, ∀ε > 0 và lim µ(S(ε)) = 0. / ε→0 3.2 Tính đặt chỉnh Tikhonov theo dãy của bài toán cân bằng từ điển Trong mục này, chúng ta nghiên cứu tính đặt chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng từ điển bị nhiễu bởi một dãy các bài toán xấp xỉ được mô tả dưới dạng nhiễu các ràng buộc và hàm mục tiêu Cn ⊂ X và f (n) : X 2 → R2 . Khi đó, bài toán này được nhúng vào họ bài toán sau đây: (LEP(Cn , f (n) ) ) Tìm x ∈ Cn sao cho ¯ f (n) (x, y) ¯ lex 0, ∀y ∈ Cn . Đặt C := {C ⊂ X | C là tập đóng khác rỗng}, 8 Chương 3 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán cân bằng từ điển F := { f = ( f1 , f2 ) : X 2 → R2 | f là một hàm}, và M := {(C, f ) ∈ C × F | tồn tại x ∈ C sao cho f (x, y) ¯ ¯ lex 0, ∀y ∈ C}. Để đơn giản trong cách trình bày, trong phần này, ta ký hiệu (LEP) thay cho một họ các bài toán cân bằng từ điển {(LEPϕ ) | ϕ ∈ C × F }. Bây giờ ta xét các giả thiết sau: (A1 ) f1 là hàm liên tục; đạo hàm Fréchet theo biến thứ hai của f1 tồn tại và ∇2 f1 (x, y) là khả nghịch với mọi x, y ∈ X, x = y; (A2 ) f2 là nửa liên tục trên. Ta xét tập con sau đây của F : F d = {( f1 , f2 ) ∈ F | f1 thỏa mãn (A1 ) và f2 thỏa mãn (A2 )}. Với mỗi ϕm = (Cm , f (m) ), ϕn = (Cn , f (n) ) ở trong C × F , ta định nghĩa khoảng cách giữa ϕm và ϕn như sau: d(ϕm , ϕn ) := H(Cm ,Cn ) + sup d( f (m) (x, y), f (n) (x, y)), (x,y)∈X 2 ở đó d(( f1 , f2 ), (g1 , g2 )) = sup {| f1 (x, y) − g1 (x, y)| + | f2 (x, y) − g2 (x, y)|}. (x,y)∈X 2 Khi đó, (C × F , d) là một không gian giả-tựa-metric. Với mỗi ϕ ∈ M , ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán (LEPϕ ) là S(ϕ). Khi đó, ϕ → S(ϕ) là một ánh xạ đa trị từ M vào X. Định nghĩa 3.2.1. Với một phần tử ϕ cho trước ở trong C × F , lấy {ϕn } ⊂ C × F là một dãy hội tụ về ϕ. Dãy {xn } ⊂ Cn , được gọi là dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán (LEPϕ ) ứng với {ϕn }, nếu tồn tại một dãy {εn }, εn ↓ 0 sao cho f (n) (xn , y) + εn e lex 0, ∀y ∈ Cn . Với mỗi ϕ = (C, f ) ∈ C × F và ε, δ ∈ [0, +∞), đặt S(ϕ, ε) := {x ∈ C | f1 (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C, và f2 (x, z) + ε ≥ 0, ∀z ∈ Z(x)}, Π(ϕ, δ , ε) = S(ρ, ε), ρ∈Bδ (ϕ) ở đó Z(x) = {z ∈ X | f1 (x, z) = 0}. 9 Chương 3 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán cân bằng từ điển Định nghĩa 3.2.2. Bài toán (LEP) được gọi là đặt chỉnh Tikhonov mở rộng bị nhiễu bởi một dãy các bài toán xấp xỉ (gọi tắt là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy mở rộng) tại ϕ, nếu (i) tập nghiệm S(ϕ) khác rỗng; (ii) với bất kỳ dãy {ϕn } hội tụ về ϕ, mỗi dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán (LEPϕ ) ứng với {ϕn } phải có một dãy con hội tụ về một phần tử ở trong S(ϕ). Định nghĩa 3.2.3. Bài toán (LEP) được gọi là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy tại ϕ, nếu (i) bài toán (LEPϕ ) có nghiệm duy nhất x; ¯ (ii) với bất kỳ dãy {ϕn } hội tụ về ϕ, mỗi dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán (LEPϕ ) ứng với {ϕn } đều hội tụ về x. ¯ Định lý 3.2.1. Giả sử X là tập compact. Khi đó, bài toán (LEP) là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy mở rộng ở trong M ∩ (C × F d ). Hơn nữa, nó là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy nếu tập nghiệm của nó là đơn phần tử. Định lý sau đây cho ta một đặc trưng metric cho tính đặt chỉnh Tikhonov theo dãy của bài toán (LEP) thông qua các tập nghiệm xấp xỉ. ¯ Định lý 3.2.2. Bài toán (LEP) là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy tại điểm ϕ ở trong C × F d khi và chỉ khi điều kiện sau đây được thỏa mãn ¯ ¯ Π(ϕ, δ , ε) = 0, ∀δ , ε > 0 và diam Π(ϕ, δ , ε) ↓ 0 khi (δ , ε) → (0, 0). / (3.1) Bằng cách sử dụng độ đo Kuratowski của sự không compact của các tập nghiệm xấp xỉ, ta thu được các điều kiện đặc trưng cho tính đặt chỉnh Tikhonov theo dãy mở rộng của bài toán (LEP). Định lý 3.2.3. ¯ (a) Nếu bài toán (LEP) là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy mở rộng tại ϕ ∈ C × F , thì ¯ ¯ Π(ϕ, δ , ε) = 0, ∀δ , ε > 0 và µ(Π(ϕ, δ , ε)) ↓ 0 khi (δ , ε) → (0, 0). / (3.2) ¯ (b) Giả sử C × F là không gian compact và ϕ ∈ C × F d . Khi đó, bài toán (LEP) ¯ là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy mở rộng tại ϕ nếu điều kiện (3.2) nghiệm đúng. 10 Chương 3 3.3 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán cân bằng từ điển Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển Trong mục này, chúng ta sẽ áp dụng các kết quả thu được trong những phần trước cho bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển. 3.3.1 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển Các hệ quả sau đây được suy ra một cách trực tiếp từ các kết quả tương ứng trong Mục 3.1. Hệ quả 3.3.1. Giả sử X là tập compact và (i) T1 là liên tục và khả nghịch; (ii) T2 là liên tục. Khi đó, bài toán (LVI) là đặt chỉnh Tikhonov mở rộng. Hơn nữa, nó là đặt chỉnh Tikhonov nếu tập nghiệm của nó là tập đơn phần tử. Hệ quả 3.3.2. Giả sử (i) T1 là liên tục và khả nghịch; (ii) T2 là liên tục. Khi đó, bài toán (LVI) là đặt chỉnh Tikhonov khi và chỉ khi S(ε) = 0, ∀ε > 0 và lim diam(S(ε)) = 0. / ε→0 Hệ quả 3.3.3. Giả sử (i) T1 là liên tục và khả nghịch; (ii) T2 là liên tục. Khi đó, bài toán (LVI) là đặt chỉnh Tikhonov khi và chỉ khi S(ε) = 0, ∀ε > 0 và lim µ(S(ε)) = 0. / ε→0 11 Chương 3 3.3.2 Tính đặt chỉnh Tikhonov của bài toán cân bằng từ điển Tính đặt chỉnh Tikhonov theo dãy của bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển Đặt C = {C ⊂ X | C là tập đóng khác rỗng }, A = {(T1 , T2 ) | Ti : X → X ∗ , i = 1, 2} M := {(C, (T1 , T2 )) | ∃x ∈ C sao cho ( T1 (x), y − x , T2 (x), y − x ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ lex 0, ∀y ∈ C}. Với mỗi ϕ = (C, (T1 , T2 )), ρ = (C , (B1 , B2 )) ở trong C × A , khoảng cách giữa ϕ và ρ được xác định như sau: d(ϕ, ρ) := H(C,C ) + sup {| (T1 − B1 )(x), y − x | + | (T2 − B2 )(x), y − x |} . (x,y)∈X×X Khi đó, (C × A , d) là một không gian giả-tựa-metric. Ta xét tập con sau của A A d := {(T1 , T2 ) | T1 là liên tục và khả nghịch; T2 là liên tục}. Hệ quả 3.3.4. Giả sử X là tập compact. Khi đó, bài toán (LVI) là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy mở rộng ở trong M ∩ (C × A d ). Hơn nữa, nó là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy nếu tập nghiệm của nó là đơn phần tử. ¯ Hệ quả 3.3.5. Bài toán (LVI) là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy tại ϕ ∈ C × A d khi và chỉ khi điều kiện sau đây được thỏa mãn ¯ ¯ Π(ϕ, δ , ε) = 0, ∀δ , ε > 0 và diam Π(ϕ, δ , ε) ↓ 0 khi (δ , ε) → (0, 0). / Hệ quả 3.3.6. ¯ (a) Nếu bài toán (LVI) là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy mở rộng tại ϕ ∈ C × A , thì ¯ ¯ Π(ϕ, δ , ε) = 0, ∀δ , ε > 0 và µ(Π(ϕ, δ , ε)) ↓ 0 khi (δ , ε) → (0, 0). / (3.3) ¯ (b) Giả sử C × A là không gian compact và ϕ ∈ C × A d . Khi đó, bài toán (LVI) ¯ là đặt chỉnh Tikhonov theo dãy mở rộng tại ϕ nếu điều kiện (3.3) nghiệm đúng. 12 Chương 4 Tính đặt chỉnh Zolezzi của bài toán cân bằng từ điển có tham số Trong chương này, phần đầu tiên chúng ta nghiên cứu tính đặt chỉnh Zolezzi và đặt chỉnh Levitin-Polyak theo nghĩa Zolezzi cho bài toán bài toán cân bằng từ điển có tham số. 4.1 Tính đặt chỉnh Zolezzi của bài toán cân bằng từ điển có tham số Với mỗi số ε ∈ [0; ∞), xét bài toán xấp xỉ sau: (LEPλ ,ε ) Tìm x ∈ SEP1 (λ ) sao cho ¯ f2 (x, z, λ ) + ε ≥ 0 ¯ với Z : SEP1 (λ ) × Λ ∀z ∈ Z(x, λ ), ¯ X được xác định bởi Z(x, λ ) = {z ∈ X | f1 (x, z, λ ) = 0}. Với mỗi λ ∈ Λ và ε, δ > 0, ta ký hiệu S(λ , ε) là tập nghiệm của bài toán xấp xỉ (LEPλ ,ε ) và đặt ¯ Π(λ , δ , ε) := S(λ , ε). ¯ λ ∈Bδ (λ ) Định nghĩa 4.1.1. Dãy {xn } với xn ∈ X được gọi là một dãy nghiệm xấp xỉ của bài ¯ toán (LEPλ ) ứng với dãy {λn } ⊂ Λ, λn → λ nếu tồn tại một dãy số thực dương {εn } ¯ hội tụ về 0 sao cho xn ∈ S(λn , εn ), với mỗi n ∈ N. ¯ Định nghĩa 4.1.2. Bài toán (LEP) được gọi là đặt chỉnh Zolezzi mở rộng tại λ nếu ¯ , mọi dãy nghiệm xấp xỉ ứng với {λn } của bài toán với mọi {λn } trong Λ hội tụ về λ ¯ (LEPλ ) đều có một dãy con hội tụ về một điểm nào đó trong SLEP (λ ). ¯ ¯ Định nghĩa 4.1.3. Bài toán (LEP) được gọi là đặt chỉnh Zolezzi tại λ nếu (i) bài toán (LEPλ ) có nghiệm duy nhất x, ¯ ¯ ¯ (ii) với mọi dãy {λn } trong Λ hội tụ về λ , mọi dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán (LEPλ ) ứng với {λn } đều hội tụ về x. ¯ ¯ 13 Chương 4 Tính đặt chỉnh Zolezzi của bài toán cân bằng từ điển có tham số Sau đây, chúng ta xét các điều kiện đủ để bài toán (LEP) là đặt chỉnh Zolezzi tại ¯ λ ∈ Λ. Định lý 4.1.1. Giả sử X là tập compact và (i) f1 là hàm số liên tục; đạo hàm Fréchet ∇2 f1 của f1 theo biến thứ hai tồn tại ¯ và ∇2 f1 (x, y, λ ) là khả nghịch, với mọi x, y ∈ X, x = y; ¯ (ii) f2 là hàm 0-mức trên đóng mạnh trong X × X × {λ }. ¯ Khi đó, bài (LEP) là đặt chỉnh Zolezzi mở rộng tại λ . Hơn nữa, nó là đặt chỉnh ¯ Zolezzi tại điểm này nếu SLEP (λ ) là tập đơn phần tử. Định lý 4.1.2. ¯ (a) Nếu bài toán (LEP) là đặt chỉnh Zolezzi tại λ , thì ¯ diam Π(λ , δ , ε) ↓ 0 khi δ ↓ 0 và ε ↓ 0. (b) Giả sử rằng các giả thiết (i) và (ii) trong Định lý 4.1.1 nghiệm đúng. Khi đó, ¯ ¯ bài toán (LEP) là đặt chỉnh Zolezzi tại λ nếu diam Π(λ , δ , ε) ↓ 0 khi δ ↓ 0 và ε ↓ 0. Thông qua độ đo Kuratowski của các tập nghiệm xấp xỉ, ta thu được một đặc trưng metric cho tính đặt chỉnh Zolezzi mở rộng của bài toán (LEP). Định lý 4.1.3. ¯ ¯ (a) Nếu bài toán (LEP) là đặt chỉnh Zolezzi mở rộng tại λ , thì µ(Π(λ , δ , ε)) ↓ 0 khi δ ↓ 0 và ε ↓ 0. (b) Giả sử Λ compact và (i) f1 là hàm số liên tục; đạo hàm Fréchet ∇2 f1 của f1 theo biến thứ hai tồn ¯ tại và ∇2 f1 (x, y, λ ) là khả nghịch, với mọi x, y ∈ X, x = y; ¯ (ii) f2 là a-mức trên đóng trong X × X × {λ }, với mọi a ↑ 0. ¯ Nếu µ(Π(λ , δ , ε)) ↓ 0 khi δ ↓ 0 và ε ↓ 0, thì bài toán (LEP) đặt chỉnh Zolezzi ¯ mở rộng tại λ . 14 Chương 4 4.2 Tính đặt chỉnh Zolezzi của bài toán cân bằng từ điển có tham số Tính đặt chỉnh Levitin-Polyak theo nghĩa Zolezzi của bài toán bài toán cân bằng từ điển Để đơn giản trong cách trình bày, chúng ta sẽ giản lược cụm từ “theo nghĩa Zolezzi” trong các phát biểu. Định nghĩa 4.2.1. Một dãy {xn } ⊂ E được gọi là dãy nghiệm xấp xỉ Levitin-Polyak ¯ (gọi tắt là dãy nghiệm xấp xỉ LP) của bài toán (LEP) ứng với dãy {λn } ⊂ Λ, λn → λ nếu tồn tại một dãy số thực dương {εn } hội tụ về 0 sao cho d (xn , X) ≤ εn , (4.1) và f (xn , y, λn ) + εn e lex 0, với mọi y ∈ X. (4.2) ¯ Định nghĩa 4.2.2. Bài toán (LEP) được gọi là đặt chỉnh LP mở rộng tại λ nếu (i) tập nghiệm của bài toán (LEPλ ) là khác rỗng; ¯ ¯ (ii) với mọi dãy {λn } trong Λ hội tụ về λ , mỗi dãy nghiệm xấp xỉ LP của bài toán ¯ (LEPλ ) đều có một dãy con hội tụ về một phần tử ở trong SLEP (λ ). ¯ ¯ Định nghĩa 4.2.3. Bài toán (LEP) được gọi là đặt chỉnh LP tại λ nếu ¯ (i) bài toán (LEPλ ) có nghiệm duy nhất x; ¯ ¯ (ii) với mọi dãy {λn } trong Λ hội tụ về λ , mọi dãy nghiệm xấp xỉ LP của bài toán (LEPλ ) ứng với {λn } đều hội tụ về x. ¯ ¯ Với mỗi ε > 0, ta ký hiệu tập nghiệm xấp xỉ LP của bài toán (LEP) bởi T (λ , ε) := {x ∈ E | d(x, X) ≤ ε, f1 (x, y, λ ) ≥ 0, ∀y ∈ X và f2 (x, z, λ ) + ε ≥ 0, ∀z ∈ Z(x, λ )}, và đặt ¯ Π(λ , δ , ε) := T (λ , ε). ¯ λ ∈Bδ (λ ) ¯ ¯ Định lý 4.2.1. Bài toán (LEP) là đặt chỉnh LP mở rộng tại λ khi và chỉ khi SLEP (λ ) là tập khác rỗng, compact và ¯ ¯ H Π λ , δ , ε , SLEP λ 15 ↓ 0 khi δ ↓ 0 và ε ↓ 0. Chương 4 Tính đặt chỉnh Zolezzi của bài toán cân bằng từ điển có tham số Tiếp theo, ta thiết lập các điều kiện đủ cho tính đặt chỉnh Levitin-Polyak của bài toán (LEP) tại điểm đang xét. Định lý 4.2.2. Giả sử rằng X là tập compact và ¯ (i) f1 là hàm số liên tục; Đạo hàm Fréchet ∇2 f1 của f1 tồn tại và ∇2 f1 (x, y, λ ) là khả nghịch với mọi x, y ∈ X, x = y; ¯ (ii) f2 là hàm số nửa liên tục trên ở trong X × X × {λ }. ¯ Khi đó, bài toán (LEP) là đặt chỉnh LP mở rộng tại λ . Hơn nữa, nó là đặt chỉnh LP ¯ ¯ tại λ nếu SLEP (λ ) là tập đơn phần tử. Kết quả sau đây cho thấy tính đặt chỉnh LP của bài toán (LEP) có thể được đặc trưng bởi đường kính tập nghiệm xấp xỉ LP. Định lý 4.2.3. ¯ (a) Nếu bài toán (LEP) là đặt chỉnh LP tại λ , thì ¯ diam Π(λ , δ , ε) ↓ 0 khi δ ↓ 0 và ε ↓ 0. (4.3) (b) Giả sử rằng các giả thiết (i) và (ii) trong Định lý 4.2.2 được thỏa mãn. Nếu ¯ điều kiện (4.3) nghiệm đúng thì bài toán (LEP) là đặt chỉnh LP tại λ . Định lý 4.2.4. ¯ (a) Nếu bài toán (LEP) là đặt chỉnh LP mở rộng tại λ , thì ¯ Π λ , δ , ε = 0, / ¯ µ Π λ,δ,ε ↓ 0 khi δ ↓ 0 và ε ↓ 0 (4.4) (b) Giả sử Λ là không gian compact hoặc hữu hạn chiều và các giả thiết (i) và (ii) của Định lý 4.2.2 được thỏa mãn. Nếu điều kiện (4.4) nghiệm đúng thì bài toán ¯ (LEP) là đặt chỉnh LP mở rộng tại λ . 4.3 Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển Trong mục này, chúng ta sẽ áp dụng các kết quả thu được trong những phần trước cho bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển. 16 Chương 4 4.3.1 Tính đặt chỉnh Zolezzi của bài toán cân bằng từ điển có tham số Tính đặt chỉnh Zolezzi của bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển Với mỗi λ ∈ Λ, ε > 0, xét bài toán bất đẳng thức biến phân xấp xỉ sau: (LVIλ ,ε ) Tìm x ∈ X sao cho ¯   T (x, λ ), y − x ≥ 0 ¯ 1 ¯  T2 (x, λ ), z − x + ε ≥ 0 ¯ ¯ ∀y ∈ X, ∀z ∈ Z(λ , x). ¯ Ký hiệu S là ánh xạ nghiệm xấp xỉ, tức là, S(λ , ε) := {x ∈ SVI1 (λ ) | T2 (x, λ ), z − x + ε ≥ 0 ∀z ∈ Z(λ , x)} . Các hệ quả sau được suy ra trực tiếp từ các Định lý 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3 bằng cách đặt fi (x, y, λ ) := Ti (x, λ ), y − x , i = 1, 2. Hệ quả 4.3.1. Giả sử X là tập compact và ¯ (i) T1 là liên tục và khả nghịch ở trong X × λ ; ¯ (ii) T2 là liên tục ở trong X × λ . ¯ Khi đó, bài toán (LVI) đặt chỉnh Zolezzi mở rộng tại λ . Hơn nữa, nó là đặt chỉnh ¯ Zolezzi tại điểm này nếu SLEP (λ ) là đơn phần tử. Hệ quả 4.3.2. ¯ (a) Nếu bài toán (LVI) là đặt chỉnh Zolezzi tại λ , thì ¯ diam Π(λ , δ , ε) ↓ 0 khi δ ↓ 0 và ε ↓ 0. (4.5) (b) Giả sử các giả thiết (i)-(ii) trong Hệ quả 4.3.1 được thỏa mãn. Nếu điều kiện ¯ (4.5) nghiệm đúng thì bài toán (LVI) là đặt chỉnh Zolezzi tại λ . Hệ quả 4.3.3. ¯ (a) Nếu bài toán (LVI) là đặt chỉnh Zolezzi mở rộng tại λ , thì ¯ µ(Π(λ , δ , ε)) ↓ 0 khi δ ↓ 0 và ε ↓ 0. (4.6) (b) Giả sử Λ là compact và các giả thiết (i)-(ii) trong Hệ quả 4.3.1 được thỏa mãn. Nếu điều kiện (4.6) nghiệm đúng thì bài toán (LVI) là đặt chỉnh Zolezzi mở ¯ rộng tại λ . 17 Chương 4 4.3.2 Tính đặt chỉnh Zolezzi của bài toán cân bằng từ điển có tham số Tính đặt chỉnh Levitin-Polyak theo nghĩa Zolezzi của bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển Với mỗi ε > 0, ta ký hiệu tập nghiệm xấp xỉ LP của bài toán (LVI) bởi Ξ(λ , ε) := x ∈ E | d(x, X) ≤ ε, T1 (x, λ ), y − x ≥ 0, ∀y ∈ X và ¯ ¯ T2 (x, λ ), y − x + ε ≥ 0, ∀z ∈ Z(x, λ ) , ¯ ¯ và đặt ¯ Π(λ , δ , ε) := Ξ(λ , ε). ¯ λ ∈Bδ (λ ) Các hệ quả sau được suy ra trực tiếp từ các Định lý 4.2.2, 4.2.3, 4.2.4 bằng cách đặt fi (x, y, λ ) := Ti (x, λ ), y − x , i = 1, 2. Hệ quả 4.3.4. Giả sử X là tập compact và ¯ (i) T1 là liên tục và khả nghịch ở trong X × λ ; ¯ (ii) T2 là liên tục ở trong X × λ . ¯ Khi đó, bài toán (LVI) đặt chỉnh LP mở rộng tại λ . Hơn nữa, nó là đặt chỉnh LP tại ¯ điểm này nếu SLEP (λ ) là đơn phần tử. Hệ quả 4.3.5. ¯ (a) Nếu bài toán (LVI) là đặt chỉnh LP tại λ , thì ¯ diam Π(λ , δ , ε) ↓ 0 khi δ ↓ 0 và ε ↓ 0. (4.7) (b) Giả sử các giả thiết (i)-(ii) trong Hệ quả 4.3.4 được thỏa mãn. Nếu điều kiện ¯ (4.7) nghiệm đúng thì bài toán (LVI) là đặt chỉnh LP tại λ . Hệ quả 4.3.6. ¯ (a) Nếu bài toán (LVI) là đặt chỉnh LP mở rộng tại λ , thì ¯ µ(Π(λ , δ , ε)) ↓ 0 khi δ ↓ 0 và ε ↓ 0. (4.8) (b) Giả sử Λ là không gian compact hoặc hữu hạn chiều và các giả thiết (i)-(ii) trong Hệ quả 4.3.4 được thỏa mãn. Nếu điều kiện (4.8) nghiệm đúng thì bài ¯ toán (LVI) là đặt chỉnh LP mở rộng tại λ . 18