TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
MỤC LỤC
Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1. Sự đồng biến - nghịch biến của hàm số .............................................4
2. Cực trị của hàm số ..................................................................................................... 6
3. GTNN - GTLN của hàm số ............................................................................ 12
4. Tiệm cận ............................................................................................................................. 13
5. Khảo sát hàm số ........................................................................................................14
6. Một số bài toán liên quan đến hàm số, đồ thị ....................... 17
Chương II: HÀM SỐ MŨ, LŨY THỪA, LÔGARIT
1. Mũ, lũy thừa và lôgarit ......................................................................................29
2. Phương trình mũ.......................................................................................................33
3. Phương trình lôgarit .............................................................................................35
4. Bất phương trình mũ, lôgarit ....................................................................36
Chương III: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
1. Nguyên hàm ....................................................................................................................37
2. Tích phân ...........................................................................................................................41
3. Ứng dụng hình học của tích phân ....................................................... 45
Chương IV: SỐ PHỨC .............................................................................................................. 47
Chương V: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN
XOAY .......................................................................................................................................... 49
Chương VI: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN
1. Hệ tọa độ trong không gian ......................................................................... 51
2. Phương trình mặt cầu .........................................................................................55
3. Phương trình mặt phẳng .................................................................................60
4. Phương trình đường thẳng .......................................................................... 66
5. Vị trí tương đối ...........................................................................................................73
6. Khoảng cách và góc................................................................................................75
7. Tìm một số điểm đặc biệt ..............................................................................77
2 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Chương VII: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ SUNG
1. Tam thức bậc hai, PT, BPT bậc hai ...................................................79
2. Xét dấu biểu thức ................................................................................................... 84
3. Giới hạn vô cực và tại vô cực của hàm số .................................. 89
4. Đạo hàm ..............................................................................................................................92
5. Công thức lượng giác và phương trình lượng giác ........... 95
PHỤ LỤC: Kinh nghiệm làm bài thi môn Toán ....................................102
Trên con đường thành công không có dấu chân
của kẻ lười biếng.
3 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
* Định nghĩa:
- y f x đồng biến trên K
x1 ,x2 K : x1 x2 f x1 f x2
- y f x nghịch biến trên K
x1 ,x2 K : x1 x2 f x1 f x2
* Dạng toán:
Bài toán 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
1. Tìm miền xác định.
2. Tìm đạo hàm, tìm các điểm tới hạn.
3. Xét dấu đạo hàm
4. Kết luận:
a) Nếu f ' x 0 với mọi x a;b thì hàm số f x đồng
biến trên khoảng a;b
b) Nếu f ' x 0 với mọi x a;b thì hàm số f x nghịch
biến trên khoảng a;b
Chú ý: f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng
a;b thì hàm số cũng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng đó.
Bài toán 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh f x g x ,x a;b ta qua các bước sau:
1. Biến đổi:
f x g x ,x a,b f x g x 0,x a,b
2. Đặt h x f x g x
4 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số y f x luôn luôn tăng (hoặc
3. Tính h' x và lập bảng biến thiên của h x . Từ đó suy ra kết quả.
luôn luôn giảm) trên miền xác định
- Các hàm số y ax 3 bx 2 cx d a 0 và
ax 2 bx c
a 0 luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm)
Ax B
trên miền xác định của nó khi và chỉ khi y' 0 (hoặc y' 0 )
x D . Nếu a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a=0
a 0
a 0
(đối với hàm bậc 3)
(hoặc
)
y' 0
y' 0
y
-
ax b
luôn luôn tăng (hoặc luôn luôn giảm) trên
cx d
miến xác định của nó khi và chỉ khi y' 0 (hoặc y' 0 )
x D
Hàm số y
5 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài toán 1: Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số
1. Tìm miền xác định
2. Tìm f ' x
3. Tìm các điểm tại đó f ' x 0 hoặc f ' x không xác định (gọi
chung là điểm tới hạn).
4. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu
đạo hàm.
5. Nêu kết luận về cực trị.
Bảng tóm tắt:
x
xo
a
f'(x)
b
-
+
CĐ
f(x)
x
xo
a
f'(x)
b
+
-
f(x)
CT
Bài toán 2: Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số
1. Tính f ' x . Giải phương trình f ' x 0 .
Gọi xi i 1, 2 ,... là các nghiệm của phương trình.
f " x suy ra kết luận về cực trị của điểm
2. Tính f " x và f " xi
3. Dựa vào dấu của
i
xi theo định lí sau:
Định lí:
6 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
chứa điểm x và f ' x 0 . Khi đó:
a) Nếu f " x 0 thì x là điểm cực tiểu.
b) Nếu f " x 0 thì x là điểm cực đại.
Giả sử hàm số y f x có đạo hàm cấp hai trên khoảng a;b
o
o
o
o
o
o
Bài toán 3: Tìm điều kiện của m để hàm số đạt cực trị tại một điểm
cho trước.
Áp dụng định lí Fec-ma:
Giả sử y f x có đạo hàm tại điểm x xo .
Khi đó nếu y f x đạt cực trị tại điểm x xo thì f ' xo 0 .
Chú ý: Nếu f ' xo 0 thì chưa chắc hàm số đạt cực trị tại điểm
x xo . Do đó khi tìm được m thì phải thử lại.
Bài toán 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu
ax 2 bx c
Các hàm số y ax bx cx d vaø y
có một cực đại
Ax B
và một cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' 0 có hai nghiệm phân
3
2
biệt (khi đó hiển nhiên y’ đổi dấu hai lần khi qua các nghiệm). Nếu hàm
hữu tỉ thì phải khác nghiệm mẫu.
Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
1. Cho hàm số y
-
ax 2 bx c
C
Ax B
Nếu (C) có hai điểm cực trị
Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là
ax
y
2
hay y 2a x b
bx c '
Ax B '
A
A
2. Cho hàm số y ax 3 bx 2 cx d C
-
Nếu (C) có hai điểm cực trị và chia y cho y’ ta được
y y' .A x x
7 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
-
Thì phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là
y x
y' x0 0
(hoặc
y"
x
0
0
Bài toán 6: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0 :
y' x0 0
)
y' ñoåi daáu khi qua x0
Bài toán 7: Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x0 :
y' x0 0
(hoặc
y" x0 0
y' x0 0
)
y' ñoåi daáu töø +sang khi qua x0
Bài toán 8: Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x0 :
y' x0 0
(hoặc
y"
x
0
0
y' x0 0
)
y' ñoåi daáu töø sang khi qua x0
Bài toán 9: Điều kiện để hàm số đạt CĐ,CT tại x1 ,x2 thỏa
y' 0
Ax1 Bx2 C
Ax1 Bx2 C : x x b với x1 ,x2 là nghiệm của y' 0
1 2
a
c
x1 x2
a
Bài toán 10: Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT và hai giá trị cực trị
cùng dấu:
y' 0
a 0
Điều kiện để hàm bậc 3 có CĐ,CT là
8 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Gọi A x1 ; y1 ,B x2 ; y2 là hai điểm cực trị. Ta có
y x1 .y x 2 0 (trường hợp trái dấu thì ngược lại)
Chú ý: Hàm số viết thành: y P x .y' mx n (lấy hàm số chia
y x1 mx1 n
y x 2 mx 2 n
cho đạo hàm)
Bài toán 11: Điều kiện để hàm số bậc 3 có CĐ,CT nằm về hai phía đối
với trục tung: Điều kiện để ycbt được thỏa mãn là y' 0 có hai nghiệm
trái dấu. Khi đó P
c
0
a
Bài toán 12: Cách tính nhanh giá trị cực trị của hàm hữu tỉ
y
ax 2 bx c
mx n
Tìm các điểm cực trị của hàm số (nghiệm của phương trình
y’=0)
ñaïo haøm cuûa TS 2ax b
rồi thay x cực trị vào phân
ñaïo haøm cuûa MS
m
số này ta có ycöïc trò tương ứng, và cách tính trên chỉ áp dụng cho
ycöïc trò
hàm hữu tỉ
Bài toán 13: Tìm m để hàm trùng phương y ax 4 bx 2 c có 3 điểm
cực trị lập thành một tam giác đều:
TXĐ: D=R
Tính y' 4ax 3 2bx 2 x 2ax 2 b ,
x 0
x 0
y' 0
2
2
x b a 0 (1)
2ax b 0
2a
9 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Ycbt tương đương phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
khác 0. Khi đó
b
0
2a
Bài toán 14: Điều kiện để hàm số y f x C đạt cực trị bằng tại
; C
x là y' 0
y'' 0
Bài toán 15: Hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành một tam
giác. Tính diện tích tam giác đó:
Tính y' , tìm 3 điểm tới hạn, suy ra 3 điểm cực trị A, B, C.
Tính diện tích tam giac ABC theo công thức:
1
AB x; y
S | xy' x' y | với
2
AC x'; y'
Bài toán 16: Tìm m để hàm trùng phương có 3 điểm cực trị lập thành
một tam giác đều:
TXĐ: D=R
Tính
x 0
y' 4ax 3 2bx; y' 0
2
2ax b 0
x 0
2
x b a 0 (1)
2a
Điều kiện để ycbt được thỏa là phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt khác 0. Khi đó:
10 NGUYỄN THANH NHÀN
b
0 *
2a
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Với
điều
kiện
(*),
giải
phương
trình
x 0 y c A
b
y' 0 x
y ? B . Tìm được 3 điểm cực trị
2
a
b
y ? C
x
2a
2
2
AB AC
A, B, C. Do tam giác ABC đều nên 2
, từ đó tìm
2
AB BC
được m và chỉ nhận những m thỏa điều kiện (*).
11 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Bài 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
CỦA HÀM SỐ
* Định nghĩa:
f x m,x K
x0 K : m f x0
- min y m
K
f x M ,x K
x0 K : M f x0
- max y M
K
* Dạng toán:
Bài toán 1: Tìm GTNN, GTLN của hàm số trên một khoảng
Để tìm GTNN và GTLN của hàm số y f x trên khảng a;b ta lập
bảng biến thiên của hàm số trên khoảng a;b rồi dựa vào đó mà kết
luận.
Bài toán 2: Tìm GTNN, GTLN của hàm số liên tục trên một đoạn
a;b
Cách 1: Có thể lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó mà kết luận.
Cách 2: Qua 3 bước:
1. Tìm các điểm x1 ,x2 ,...,x n trên a;b mà tại đó f ' x 0 hoặc
f ' x không xác định.
2. Tính f a , f b , f x1 , f x 2 ,..., f x n .
3. Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó:
M max f x ,m min f x
a;b
a;b
Bài toán 3: Tìm m để phương trình f x m có nghiệm trên D:
Xét hàm số y f x trên D, tìm maxy, miny hoặc tìm tập giá
trị của y từ đó kết luận được m.
12 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Bài 4: TIỆM CẬN
1. Cách tìm tiệm cận:
Nếu lim y ( ) thì đường thẳng x x0 là tiệm cận đứng.
x x0
Nếu lim y y0 thì đường thẳng y y0 là tiệm cận ngang.
Nếu hàm số viết thành y thöông ax b
x
Soá dö
(chia đa thức)
Maãu soá
Soá dö
0 thì đường thẳng y ax b là tiệm cận xiên.
x Maãu soá
* Đường thẳng y ax b gọi là TCX của hàm số
mà lim
f x
a lim
x
y f x
x
b lim f (x) ax
x
2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y
ax b
là :
cx d
d
TCÑ : x c
TCN : y a
c
3. Cho M thuộc (C). Tính tích các khoảng cách từ 1 điểm trên (C) đến
2 tiệm cận:
C . Tìm TCĐ, TCX (hoặc TCN)
Gọi M x0 ; f x 0
d=d(M,TCĐ).d(M,TCN) là một hằng số.
13 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Sơ đồ khảo sát:
1. Tập xác định: D
2. Sự biến thiên:
a) Xét chiều biến thiên của hàm số:
- Tìm đạo hàm
- Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Xét dấu đạo hàm, suy ra chiều biến thiên của hàm số.
b) Tìm cực trị.
c) Tìm các giới hạn và tìm tiệm cận (nếu có)
d) Lập bảng biến thiên.
* Chú ý: Kết luận về tính đồng biến, nghịch biến phải ở trước BBT
3. Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ
thị.
Chú ý:
- Để vẽ đồ thị chính xác nên tính thêm tọa độ của một số điểm,
đặc biệt cần tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa
độ.
- Cần lưu ý các tính chất đối xứng trục, đối xứng tâm.
2. Các dạng đồ thị:
1. Hàm số bậc ba: y ax 3 bx 2 cx d a 0
14 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
2. Hàm số trùng phương: y ax 4 bx 2 c a 0
15 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.
3. Đồ thị hàm số y
ax b
c 0 ;ad bc 0
cx d
Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
* Chú ý: M x0 ; y0 C : y f x y0 f x0
16 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Bài 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Bài toán 1: Sự tương giao của các đồ thị (bằng phương trình hoành
độ giao điểm)
Cho hai đường cong C1 : y f x , C2 : y g x .
Để xét sự tương giao giữa C ,C ta lập phương trình hoành
độ giao điểm f x g x (1)
1. C không có điểm chung với C pt (1) vô nghiệm.
2. C cắt C tại n điểm phân biệt pt (1) có n nghiệm phân
1
1
2
2
1
2
biệt. Đồng thời nghiệm của pt (1) là hoành độ giao điểm của
C và C .
1
2
Chú ý:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng
Ax 2 Bx C 0 .Ta biện luận theo A và . Tức là:
- Nếu A=0. Ta có kết luận cụ thể về giao điểm của (C1) và (C2).
- Nếu A 0. Tính
+ 0 : không có giao điểm.
+ 0 : Có 1 giao điểm.
+ 0 : có hai giao điểm.
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có dạng
ax 3 bx 2 cx d 0 . Đưa phương trình này về dạng:
x Ax
2
Bx C 0 (Chia Horner, a 0 )
x
2
Ax Bx C 0 1
Biện luận theo phương trình (1) ta suy ra được số giao điểm.
Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
F x,m 0 (1)
1. Biến đổi F x,m 0 về dạng f x g m .
17 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
2. Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm
số y f x và đường thẳng y g m
3. Dựa vào đồ thị để biện luận các trường hợp.
Chú ý: y g m là đường thẳng song song với trục Ox và cắt
trục Oy tại điểm có tung độ bẳng g m
y
O
1
x
y=g(m)
g(m)
y=f(x)
Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến – Điều kiện tiếp xúc
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị:
Phương trình tiếp tuyến của (C): y f x tại điểm
M xo ; yo C là:
y y0 f ' x0 x x0
Trong đó:
+ k f ' x là hệ số góc của tiếp tuyến.
+ M x0 ; y0 gọi là tiếp điểm.
0
-
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k:
Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax b thì k a
-
Nếu tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y ax b thì k
-
Tiếp tuyến hợp với chiều dương của trục hoành một góc thì
1
a
k tan
1. Giải phương trình f ' x k tìm x0 là hoành độ tiếp điểm.
2. Tính y0 f x0 .
18 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
3. Phương trình tiếp tuyến là y k x x0 y0
Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A x A ; y A
1. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến (d). Khi đó phương trình của
(d) có dạng y k x x A y A .
f ' x k
2. (d) tiếp xúc với (C) thi và chỉ khi hệ
f x k x x A y A
có
nghiệm (hệ có n nghiệm thì có n phương trình tiếp tuyến)
3. Giải hệ tìm được hoành độ tiếp điểm là x0 và hệ số góc k.
4. Thay vào phương trình của (d) ta được tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng ( ): y=ax+b một góc bằng ( 0 90 ):
1. Gọi , lần lượt là góc hợp bởi tiếp tuyến (d), đường thẳng ( )
với chiều dương trục hoành. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, khi
đó ta có: suy ra:
tan tan tan
tan tan
k a
(1 )
1 tan tan 1 ak
2. Giải phương trình (1) tìm được hệ số góc k của tiếp tuyến.
3. Làm tương tự như dạng 2 ta có được phương trình tiếp tuyến.
Bài toán 4: Điều kiện để hàm bậc 3 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:
ax 3 bx 2 cx d 0 x Ax 2 Bx C 0 (chia
x
Horner)
Ax Bx C 0 1
2
(đặt g x Ax 2 Bx C )
Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có 2 nghiệm phân biệt
1 0
khác . Khi đó
g 0
19 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 12
Bài toán 5: Điều kiện để hàm trùng phương y ax 4 bx 2 c cắt Ox
tại 4 điểm phân biệt:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:
t x 2 0
ax bx c 0 2
at bt c 0 (1)
4
2
* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân
0
biệt. Khi đó P 0
S 0
Bài toán 6: Điều kiện để hàm trùng phương cắt Ox tại 4 điểm phân
biệt lập thành CSC:
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:
t x 2 0
ax bx c 0 2
at bt c 0 (1)
4
2
* Điều kiện để ycbt được thỏa là (1) phải có hai nghiệm dương phân
0
biệt. Khi đó P 0 (*)
S 0
* Với điều kiện (*) được thỏa ta có 4 điểm có hoành độ lập thành CSC
nên (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt thỏa t2 9t1 (2).
b
t1 t2 a (3)
Theo định lí Viét
t .t c (4)
1 2 a
* Từ (2), (3), (4) ta giải ra tham số, chỉ nhận tham số khi m thỏa điều
kiện (*).
Bài toán 7: Tìm m để d: y m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho AB=l:
20 NGUYỄN THANH NHÀN
:
[email protected].
: 0987.503.911
.PDF 
104 
1968 
50 
