Tài liệu Tổng ôn hình học lớp 11 rất hay

ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 1) I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1. Mặt phẳng Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn. Ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc () để ghi tên mặt phẳng. Cách biểu diễn trong không gian: Dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn. 2. Điểm thuộc mặt phẳng Điểm A thuộc mặt phẳng    được kí hiệu: A     . Điểm B không thuộc mặt phẳng    được kí hiệu: B     . 3. Một số quy tắc cơ bản biểu diễn hình học trong không gian Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng. Hình biểu diễn của 2 đường thẳng cắt nhau là 2 đường thẳng cắt nhau. Hình biểu diễn của 2 đường thẳng song song là 2 đường thẳng song song. Hình biểu diễn của đoạn thẳng là đoạn thẳng. Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. Đường nhìn thấy được vẽ bằng nét liền. Đường bị che khuất được vẽ bằng nét đứt. II. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Tính chất 3. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó. Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng    thì ta nói đường thẳng d nằm trong    hay    chứa d. Kí hiệu d     . Tính chất 4. Tồn tại 4 điểm không thuộc cùng một mặt phẳng. Những điểm cùng thuộc một mặt phẳng là những điểm đồng phẳng. Những điểm không cùng thuộc một mặt phẳng là những điểm không đồng phẳng. Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa. Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Tính chất 6. Trên một mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng. III. CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG 3 điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng. Kí hiệu mp(ABC). 1 điểm và 1 đường thẳng không chứa nó xác định một mặt phẳng. Kí hiệu mp(A, d). 2 đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng. Kí hiệu mp(d’, d). Ví dụ 1: Trong mp () lấy bốn điểm A, B, C, D sao cho ABCD là tứ giác lồi có các cặp cạnh đối không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mp(). Tìm giao tuyến của các mặt phẳng a) (SAD) và (SCD) b) (SBD) và (SAC) Ví dụ 2: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi O là một điểm ở miền trong của tam giác BCD; M, N lần lượt là hai điểm trên các cạnh AD, AC sao cho MN không song song với CD. a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD). b) Tìm giao điểm của BC và (OMN). IV. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN 1. Hình chóp Hình gồm đa giác A1 A2 ...An và n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 ,..., SAn A1 được gọi là hình chóp SA1 A2 ...An Đỉnh S, mặt đáy là A1 A2 ...An . Các cạnh của đa giác đáy là cạnh đáy. n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 ,..., SAn A1 là các mặt bên. Các đoạn thẳng SA1 , SA2 ,...,SAn là các cạnh bên. 2. Hình tứ diện Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện (tứ diện). Tứ diện có các cạnh bằng nhau được gọi là tứ diện đều. ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 2) I. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIỮA HAI MẶT PHẲNG 1. Phƣơng pháp Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng. Đường thẳng đi qua 2 điểm đó là giao tuyến cần tìm. 2. Ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. M là điểm trên đoạn SD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng: a) (SAB) và (SCD). b) (MBC) và (SAD). Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn AD và BC. a) Tìm giao tuyến của (IBC) và (KAD). b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN). (Bài 7/54 – SGK Hình học 11) Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm trên BC, CD và SO. a) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAC). b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD). II. XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. Phƣơng pháp Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta làm như sau: Chọn mặt phẳng (Q) chứa d (giao tuyến của (Q) và (P) có sẵn hoặc dễ tìm). d’ d Tìm giao tuyến d’ của 2 mặt phẳng (P) và (Q) (nếu chưa có sẵn giao tuyến). Giao điểm của d và d’ là giao điểm của d và (P). P Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD có các cặp cạnh đối không song song. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên SD và SB sao cho MN không song song với BD. Tìm giao điểm của: a) MN và (ABCD). b) MN và (SAC). Q Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn AC và BC. Trên đoạn BD, lấy P sao cho NP và CD cắt nhau. Tìm giao điểm của: a) CD và (MNP). b) AD và (MNP). Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm trên AB và SC. a) Tìm giao điểm I của AN và (SBD). b) Tìm giao điểm K của MN và (SBD). ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 3) III. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VÀ HÌNH CHÓP 1. Phƣơng pháp Để xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp, ta làm như sau: Xác định các giao tuyến của (P) với các mặt bên hoặc mặt đáy của hình chóp. Khi các giao tuyến khép kín tạo thành một đa giác thì đa giác đó là thiết diện cần tìm 2. Ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, BC. Trên đoạn thẳng CD, lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của mặt phẳng (HKM) và tứ diện ABCD. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. P là một điểm bất kì trên đoạn SA. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD và mp(PMN). Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy, vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh hình bình hành, d cắt BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC. a) Tìm giao điểm M của CD và (C’AE). b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE). (Bài 9/54 – SGK Hình học 11) IV. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 1. Phƣơng pháp Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng là điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt. 2. Ví dụ Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC. Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. Giả sử AB cắt A’B’ tại I , BC cắt B’C’ tại J , AC cắt A’C’ tại K. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng. Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi I là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (Q) qua AI cắt SB, SD lần lượt tại M, N. IM cắt BC tại P, IN cắt CD tại K. Chứng minh rằng PK qua một điểm cố định. V. CHỨNG MINH BA ĐƢỜNG THẲNG ĐỒNG QUI 1. Phƣơng pháp Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh giao điểm của hai đường này thuộc đường thẳng thứ ba. 2. Ví dụ Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh rằng CD, IG, HF đồng quy. Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Giả sử AB cắt CD tại E, A’B’ cắt C’D’ tại E’. a) Chứng minh S, E, E’ thẳng hàng. b) Chứng minh A’C’, B’D’, SO đồng quy. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG (PHẦN 1) I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Định nghĩa Cho a, b là hai đường thẳng trong không gian. Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b (a và b đồng phẳng).  a và b cắt nhau tại M. Kí hiệu a  b  M .  a và b không có điểm chung hay a và b song song. Kí hiệu a // b.  a trùng b. Kí hiệu a  b . Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Ta nói a và b chéo nhau. II. TÍNH CHẤT Định lí 1 Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Nhận xét: a // b xác định một mặt phẳng. Kí hiệu: mp (a, b) hay (a, b). Định lí 2 Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S lần lượt là bốn điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì: a) PQ, RS, AC hoặc song song hoặc đồng quy. b) PS, RQ, BD hoặc song song hoặc đồng quy. Hệ quả Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC). Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD, (P) là mặt phẳng qua IJ và cắt AC, AD lần lượt tại M, N. a) Chứng minh IJNM là hình thang. b) Nếu M là trung điểm AC thì IJNM là hình gì ? Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là một điểm bất kì trên SC. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABM). Hỏi thiết diện là hình gì ? Định lí 3 Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Kí hiệu a, b, c song song với nhau: a // b // c. Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AC, BD, AB, CD, AD và BC. Chứng minh MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn. Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB. a) Chứng minh MN // CD. b) Tìm giao điểm P của SC với (ADN). c) I là giao điểm của AN và DP. Chứng minh SI // AB // CD. HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG (PHẦN 2) I. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIỮA HAI MẶT PHẲNG (TRƯỜNG HỢP 2) 1. Phương pháp Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song a và b, ta làm như sau: Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng (Giả sử là I). a Giao tuyến cần tìm là đường thẳng d đi qua I và song song với a, b.  d b  2. Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD và các điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao tuyến của (PQR) và (ACD) trong các trường hợp: a) PR cắt AC. b) PR song song với AC. E A P D B R Q C Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang có đáy lớn là AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm SAB. a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG). b) Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG) là hình gì? Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện là hình bình hành. S N G M A B E I J II. CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG HOẶC ĐỒNG QUY 1. Phương pháp Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt. Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. 2. Các ví dụ S Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi H, I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD. I H J K a) Chứng minh HIJK là hình bình hành. B A b) Chứng minh HJ, KI, SO đồng quy. O D BÀI TẬP TỔNG HỢP Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình chữ nhật. a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC), (SAB) và (SCD). b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB và E là điểm tùy ý trên SC. Tìm giao điểm F của SD và (MNE). c) Chứng minh rằng khi E di động trên SC thì giao điểm I của ME và NF di động trên đường thẳng cố định. S N M F I D E A O B C C Ví dụ 5: Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD. Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình thang cân. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG (PHẦN 1) I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Trường hợp 1. d và (P) không có điểm chung. Ta nói d song song (P). Kí hiệu d // (P). Trường hợp 2. d và (P) có một điểm chung duy nhất. Ta nói d cắt (P) tại I. Kí hiệu d  P   I . Trường hợp 3. d và (P) có nhiều hơn hai điểm chung. Ta nói d chứa trong (P) hay (P) chứa d. Kí hiệu d  P  . II. ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT 1. Định lí 1 Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng b nằm trong (P) thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), ta thường làm như sau: Tìm b  (P) sao cho b // a Khẳng định a  (P) Kết luận a // (P) Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh MN // (BCD). 2. Định lí 2 Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến d thì d song song với a. 3. Hệ quả 3 Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC. Một mặt phẳng (P) song song với BC lần lượt cắt các cạnh SB, SC, AC, AB tại M, N, I, K. Chứng minh MN // IK. 4. Định lí 3 Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Phương pháp Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (Trường hợp 3) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (Q) chứa đường thẳng a song song với (P): Tìm điểm chung I của (P) và (Q). d = (P)  (Q) (d qua I và d // a). Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, M là một điểm bất kì trên cạnh SA (M khác S và A). a) Biết () chứa MB song song với SD. Tìm giao tuyến của () và (SAD), từ đó tìm thiết diện tạo bởi mp() và hình chóp S.ABCD. b) Biết () qua M đồng thời song song với SB và AD. Tìm giao tuyến của () với các mặt (SAB), (SAD), (ABCD), từ đó tìm thiết diện tạo bởi mp () và hình chóp S.ABCD. Thiết diện tìm được là hình gì? Vì sao? ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG (PHẦN 2) I. VẤN ĐỀ 1 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), ta thường làm như sau: a // b  b  P   a // P   a  P  Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm của các cạnh AB, CD. a) Chứng minh rằng MN // (SBC). b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SC // (MNP). Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm CD, G và H lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và tam giác BCD. Chứng minh rằng GH // (ABD). II. VẤN ĐỀ 1 Phần A: xác định giao tuyến của hai mặt phẳng Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (Q) chứa đường thẳng a song song với (P): I  P    Q    P    Q   d  I  d, d // a  a   Q   a // P  Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi () là mặt phẳng chứa SM và song song với CD. Xác định giao tuyến của () với đáy (ABCD). Phần B: xác định thiết diện của mặt phẳng và hình chóp. Bài tập 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD và M là một điểm nằm trên cạnh SA. Mặt phẳng () qua M và song song với SD, AC. Xác định thiết diện của () và hình chóp S.ABCD.