NGUYỄN BẢO VƢƠNG
CHƯƠNG III.
VECTO-QUAN
HỆ VUÔNG GÓC
TẬP 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. HAI
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 hoặc
Facebook: https://web.facebook.com/phong.baovuong
Page: https://web.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Website: http://tailieutoanhoc.vn/
Email:
[email protected] hoặc
[email protected]
0946798489
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
MỤC LỤC
GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG. HAI ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC. ................................................... 2
A. CHUẨN KIẾN THỨC ............................................................................................................................................ 2
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. ............................................................................................... 2
Bài toán 01: TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG. ................................................................................. 2
Bài toán 02: DÙNG TÍCH VÔ HƢỚNG ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.. 4
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP ................................................................................................................................... 6
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần
lượt song song hoặc trùng với a và b.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Bài toán 01: TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG.
Phƣơng pháp:
Để tính góc giữa hai đường thẳng d1 , d2 trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách
Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d1 , d2 bằng cách chọn một điểm O
d1
thích hợp ( O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).
'
1
d'1
'
2
Từ O dựng các đường thẳng d , d lần lượt song song ( có thể tròng nếu O
O
nằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d2 . Góc giữa hai đường
'
1
d'2
'
2
thẳng d , d chính là góc giữa hai đường thẳng d1 , d2 .
d2
Lƣu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác
cos A
b2 c 2 a2
.
2bc
Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1 , u2 của hai đường thẳng d1 , d2
Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1 , d2 xác định bởi cos d1 , d2
u1 .u2
.
u1 u2
Lƣu ý 2: Để tính u1 u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a , b , c không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc
giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1 , u2 qua các vec tơ a , b , c rồi thực hiện các tính toán.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD , biết
AB CD a , MN
a 3
. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD .
2
Lời giải.
Cách 1.
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | 2
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Gọi I là trung điểm của AC . Ta có
A
IM AB
AB, CD = IM , IN
IN CD
N
Đặt MIN
I
B
Xét tam giác IMN có IM
AB a
CD a
a 3
, IN
, MN
Theo định lí
2
2
2
2
2
D
M
2
2
2
a a a 3
IM 2 IN 2 MN 2 2 2 2
1
côsin, ta có cos
0
a a
2 IM.IN
2
2. .
2 2
C
MIN 1200 suy ra AB, CD =060 .
Cách 2. cos AB, CD cos IM , IN =
2
MN IN IM MN IN IM
IN.IM
2
IM.IN
IM IN
IM 2 IN 2 2IN.IM
IM 2 IN 2 MN 2
a2
2
8
cos AB, CD cos IM , IN =
IM.IN
IM IN
1
2
Vậy AB, CD =600 .
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m . Các điểm M , N lần lượt là trung điểm của AB và
CD . Tính góc gữa đường thẳng MN với các đường thẳng AB, BC và CD .
Lời giải.
Đặt AD a, AB b, AC c .
Khi đó, ta có a b c m và a, b b, c c , a 600 .
Ta có a.b b.c c.a
A
m
.
2
M
Vì M , N là trung điểm của AB và CD nên
MN
1
1
AD BC a c b
2
2
2
2
1 2
m2
MN 2 a b c 2ac 2ab 2b.c
4
2
B
D
N
C
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 3
THẲNG VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
m 2
.
2
MN
MN AB
-
2
1
1
a c b b ab bc b 0
2
2
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và AB bằng 90 0 .
MNCD
-
2
1
1 2
a c b a c a ac ab ac c bc 0
2
2
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và CD bằng 90 0 .
m2
MNBC
1
m
2
2
cos MN , BC
MNBC a c b b c
.
2
2
2
m 2
MN BC
m.
2
-
2
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 450 .
Bài toán 02: DÙNG TÍCH VÔ HƢỚNG ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.
Phƣơng pháp:
Để chứng minh d1 d2 ta có trong phần này ta có thể thực hiện theo các cách sau:
Chứng minh d1 d2 ta chứng minh u1 u2 0 trong đó u1 , u2 lần lượt là các vec tơ chỉ phương của d1
và d2 .
b c
Sử dụng tính chất
a b.
a c
Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa d1 , d2 và tính trực tiếp góc đó .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn noại tiếp tam giác BCD . Chứng minh
AO CD .
Lời giải.
A
Ta có CD OD OC , ta lưu ý trong tam giác ABC thì
ABAC
AB2 AC 2 BC 2
2
B
suy ra
D
O
AOCD AO OD OC OAOD OAOC
2
OA2 OD2 CD OA2 OC 2 AC 2
0
2
2
C
( Vì AC AD a, OD OC R )
Vậy AO CD .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 4
THẲNG VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có CD
JK
4
AB . Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của BC , AC , BD . Cho biết
3
5
AB . Tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB .
6
Lời giải.
Ta có IJ
1
1
2
AB , IK CD AB
2
2
3
IJ 2 IK 2
1
4
25
AB2 AB2
AB2
4
9
36
Mà JK
5
25
AB JK 2
AB2
6
36
A
1
2
J
B
Từ 1 và 2 suy ra IJ 2 IK 2 JK 2 JI IK .
K
D
I
Mặt khác ta có IJ AB, IK CD AB CD .
IJ AB
Tương tự
IJ CD .
AB CD
C
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB AC AD . Gọi O là điểm thỏa mãn OA OB OC OD và G là
trọng tâm của tam giác ACD , gọi E là trung điểm của BG và F là trung điểm của AE . Chứng minh OF
vuông góc với BG khi và chỉ khi OD vuông góc với AC .
Lời giải.
Đặt OA OB OC OD R 1 và OA a, OB b, OC c , OD d .
A
Ta có AB AC AD nên AOB AOC AOD c c c suy ra
AOB AOC AOD 2 , từ 1 và 2 suy ra a.b a.c a.d
3 .
F
O
Gọi M là trung điểm của CD và do AG 2GM nên
B
3BG BA 2BM BA BC BD
E
G
D
OA OB OC OB OD OB a c d 3b 4
M
Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AE, BG ta có
C
12OF 6 OA OE 6OA 3 OB OG 6OA 3OB 3OG
6OA 3OB OA 2OM 7OA 3OB OC OD 7 a 3b c d
36BG.OF 7 a 3b c d a 3b c d
2
2
2
5 Từ 4
và 5 ta có
2
=7 a 9b c d 18ab 8ac 8ad 2cd .
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 5
THẲNG VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
Theo (3) ta có 36BG.OF 2d c a 2OD.AC suy ra BG.OF 0 OD.AC 0 hay OF BG OD AC .
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Câu 16. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều
a) Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
A. AB và CD chéo nhau
B. AB và CD vuông góc với nhau
C. AB và CD đồng phẳng
D. AB và CD cắt nhau
b) Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC , BC , BD, DA . Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật.
A. MNPQ là hình vuông B. MNPQ là hình bình hành
C. MNPQ là hình chữ nhật
D. MNPQ là hình thoi
Bài làm 16.
a) Đặt AB AD AC a
C
Ta có CD.AB AD AC AB
1
1
AB AD cos 600 AB AC cos 600 a.a. a.a. 0
2
2
N
M
Vậy AB CD .
b) Ta có MN PQ AB và MN PQ
AB a
nên tứ giác
2
2
B
P
MNPQ là hình bình hành.
D
MN AB
Lại có NP CD MN NP , do đó MNPQ là hình chữ nhật.
AB CD
A
Q
Câu 17. Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a . Trên các cạnh DC và BB ' lấy các điểm M và N
sao cho MD NB x 0 x a . Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AC ' B ' D '
B. AC’ cắt B’D’
C.AC’và B’D’ đồng phẳng
D. Cả A, B, C đều đúng
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 6
THẲNG VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
b) khẳng định nào sau đây là đúng ?.
B
A
A. AC ' MN
B. AC’ và MN cắt nhau
C. AC’ và MN đồng phẳng
M
D
C
D. Cả A, B, C đều đúng
N
Bài làm 17. Đặt AA ' a, AB b, AD c .
a) Ta có AC ' a b c , B ' D ' c b nên
AC '.B ' D ' a b c c b
2
B'
A'
C'
D'
2
a c b c b a2 a2 0
AC ' B ' D ' .
x
x x
x
b) MN AN AM AB BN AD DM b a - c b a 1- b - c
a
a a
a
x
x x
x
Từ đó ta có AC '.MN a b c [ b a - c b a 1- b - c]
a
a
a
a
x 2
x 2 2
x
a 1 b c x.a 1 a2 a2 0 .
a
a
a
Vậy AC ' MN .
Câu 18. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a và BC a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và
SC .
A. AB, SC 600
B. AB, SC 450
C. AB, SC 300
D. AB, SC 900
S
Bài làm 18. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SA, SB, AC , khi
đó MN AB nên
AB, SC MN , SC .
M
Đặt NMP , trong tam giác MNP có
cos
MN 2 MP 2 NP 2
2 MN.MP
1 .
a
Ta có MN MP , AB2 AC 2 BC 2 ABC vuông tại A , vì vậy
2
PB2 AP 2 AC 2
N
φ
2
A
B
P
2
5a
3a
, PS2
.Trong tam giác PBS theo công
4
4
C
thứ tính đường trung tuyến ta có
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 7
THẲNG VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
5a 2 3a 2
2
2
PB PS SB
4 a 3a .
PN 2
4
2
4
2
4
4
2
2
2
Thay MN , MP, NP vào
1 ta được cos 2 120
1
0
.
Vậy AB, SC MN , SC 600 .
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA AB và SA BC .
a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC .
A. BC , SD 300
B. BC , SD 450
C. BC , SD 600
D. BC , SD 500
b) Gọi I , J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ BD . Chứng minh góc giữa AC và IJ không
phụ thuộc vào vị trí của I và J .
A. IJ , AC 900
B. IJ , AC 600
Bài làm 19. a) BC , SD 450
C. IJ , AC 300
D. IJ , AC 450
b) IJ , AC 900 .
Câu 20. Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.
a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
A. AD BC
B.AD cắt BC
C. AD và BC chéo nhau
D. Cả A, B, C đều đúng
b) Gọi M , N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho MA kMB, ND kNB . Tính
góc giữa hai đường thẳng MN và BC .
A. MN , BC 900
B. MN , BC 800
C. MN , BC 600
D. MN , BC 450
Bài làm 20.
a) Gọi P là trung điểm của BC , thì các tam giác
A
AP BC
ABC và DBC cân nên
.
DP BC
Ta có BC.AD BC PD PA 0
Vậy BC AD .
M
N
B
D
P
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI
C ĐƯỜNG 8
THẲNG VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
b) Ta có MA kMB
MA
ND
k , ND kNB
k
MB
NB
MA ND
MB NB
suy ra MN AD MN , BC AD, BC 900 ( Theo câu a)
Câu 21. Cho hình hộp thoi ABCD.A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh đều bằng a và
ABC B ' BA B ' BC 600 .Tính góc giữa hai đường thẳng AC và B’D’.
A. AC, B 'D' 900
B. AC, B 'D' 600
C. AC, B 'D' 450
D. AC, B 'D' 300
Bài làm 21. HS tự giải.
Câu 22. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và AD . Cho biết AB CD 2a
và MN a 3 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD .
A. AB, CD 300
B. AB, CD 450
C. AB, CD 600
D. AB, CD 900
Bài làm 22. Gọi O là trung điểm của AC , ta có OM ON a .
OM AB
AB, CD OM , ON
ON CD
A
Áp dụng định lí côsin cho tam giác OMN ta có
cos MON
OM 2 ON 2 MN 2
2OM.ON
N
O
a2 a2 a 3
2.a.a
2
1
.
2
Vậy AB, CD 60 .
0
B
D
M
C
Câu 23. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N , P , Q, R lần lượt là trung điểm của
AB, CD, AD, BC và AC .
a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
A. MN RP, MN RQ
B. MN RP, MN cắt RQ
C. MN chéo RP; MN chéo RQ
D. Cả A, B, C đều sai
b) Tính góc của hai đường thẳng AB và CD?
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 9
THẲNG VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
A. AB, CD 600
B. AB, CD 300
Bài làm23. a) Ta có MC MD
C. AB, CD 450
D. AB, CD 900
a 3
nên tam giác MCD cân tại
2
A
M , do đó MN CD .
Lại có RP CD MN RQ .
M
b) Tương tự ta có QP AD
P
R
Trong tam giác vuông PDQ ta có
2
a 3 a 2 a2
Ta có :
QP 2 QD2 DP 2
2 2
2
2
B
Q
2
a a
RQ RP a2 QP 2
2 2
2
D
2
N
C
Do đó tam giác RPQ vuông tại R , hay RP RQ .
AB RQ
Vì vậy CD RP AB CD .
RP RQ
Câu 24. Cho tứ diện ABCD có AB CD a, AC BD b, AD BC c .
a)Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.
A. các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó
B. các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì không vuông góc với hai cạnh đó
C. các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì có thể vuông góc có thể không vuông góc với hai cạnh đó
D. cả A, B, C đều sai
b) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD .
A. AC , BD
a
arccos
B. AC , BD arccos
C. AC , BD arccos
2
c2
A
b2
2 a2 c 2
b
M
P
2
2 a2 c 2
3b
2
B
D
N
C
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 10
THẲNG VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
D. AC , BD arccos
2 a2 c 2
b
2
Bài làm 24. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD .
a) Do hai tam giác ACD và BCD có CD chung và AC BD, AD BC nên chúng bằng nhau, suy ra
MC MD
Vậy tam giác MCD cân tại M và có trung tuyến MN nên MN CD .
Tương tự MN AB .
Chứng minh tương tự cho hai cặp cạnh đối còn lại .
PM BD
b) Ta có
BD, AC PM , PN
PN AC
Theo công thức tính đường trung tuyến ta có
2
2
2
CA2 CB2 AB2 2 b c a
CM
2
4
4
2
Tương tự DM 2
2 b2 c 2 a2
4
, nên MN 2
2
2
2
MC 2 MD2 CD2 2 b c a a2 b2 c 2 a2
2
4
4
4
2
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác PMN ta có
2
2
b b b2 c 2 a2
2 a2 c 2
2
PM 2 PN 2 MN 2 2 2
cos MPN
2.PM.PN
b b
b2
2
2 2
Vậy AC , BD arccos
2 a2 c 2
b
2
.
Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB a, AD 2a .
Tam giác SAB vuông can tại A , M là một điểm trên cạnh AD ( M khác A và D ). Mặt phẳng đi qua
M và song sog với SAB cắt BC , SC , SD lần lượt tại N , P , Q .
a) MNPQ là hình gi?.
A. MNPQ là hình thang vuông.
B. MNPQ là hình vuông.
C. MNPQ là hình chữ nhật.
D. MNPQ là hình bình hành.
b)Tính diện tích của MNPQ theo a .
A. SMNPQ
3a 2
8
B. SMNPQ
a2
8
C. SMNPQ
3a 2
4
D. SMNPQ
a2
4
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 11
THẲNG VUÔNG GÓC
NGUYỄN BẢO VƯƠNG [CHƯƠNG III. VECTO-QUAN HỆ VUÔNG GÓC]
SAB
Bài làm 25. a) Ta có SAB ABCD AB MN AB .
ABCD MN
SAB
Tương tự SBC SAB SB NP SB
SBC NP
SAB
SAD SAB SA MQ SA
SAD MQ
Dễ thấy MN PQ AB CD nên MNPQ là hình bình hành
MN AB
Lại có MQ SA MN MQ .
AB SA
S
Vậy MNPQ là hình thang vuông.
Q
SA a
CD a
, PQ
.
b) Ta có MN AB a , MQ
2
2
2
2
Vậy SMNPQ
P
1
MN PQ .MQ
2
D
A
1
a a 3a 2
a
.
2
22
8
B
N
M
C
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 | HAI ĐƯỜNG 12
THẲNG VUÔNG GÓC
.PDF 
13 
1754 
114 
