Tài liệu Trắc nghiệm toán 11 chuyên đề giới hạn

[…Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN Tác giả: PHẠM TRẦN LUÂN (TP Hồ Chí Minh) Biên tập: Lê Bá Bảo (Huế) GIỚI HẠN CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ LIÊN TỤC Chủ đề 3: I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa  Cho hàm số y  f  x  xác định trên khoảng K và x0  K . y  f  x  liên tục tại x0 khi và chỉ khi lim f  x   f  x0  x  x0  y  f  x  liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.  a; b   y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  nếu nó liên tục trên khoảng và lim f  x   f  a  , lim f  x   f  b  . x a x b Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó. y y a x a O x O b Hàm số liên tục trên khoảng  a; b  b Hàm số không liên tục trên khoảng  a; b  2. Các định lí  Định lí 1 a) Hàm số đa thức liên tục trên tập số thực  . b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.  Định lí 2 Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 1 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN Giả sử y  f  x  và y  f  x  là hai hàm số liên tục tại điểm x0 . Khi đó: a) Các hàm số f  x   g  x  , f  x   g  x  và f  x  .g  x  cũng liên tục tại x0 ; b) Các hàm số f  x g  x liên tục tại x0 , nếu g  x0   0 .  Định lí 3 Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một điểm c   a; b  sao cho f  c   0 . Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau: Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f  a  . f  b   0 , thì phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng  a; b  . II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 . VD 1. Xét tính liên tục của hàm số f  x   x tại x0  3 . x2 Hướng dẫn giải Tập xác định: D   \{2} , chứa x0  3 Ta có:  f  3  3 x  3  f  3 x 3 x 3 x  2 Vậy hàm số liên tục tại điểm x0  3 .  VD 2. lim f  x   lim  x2  1  Xét tính liên tục của hàm số f  x    x  1 2  neáu x  1 neáu x  1 tại x0  1 . Hướng dẫn giải Tập xác định: D   , chứa x0  1 Ta có:  f  1  2 x2  1  lim  x  1  2  f 1 x 1 x 1 x  1 x 1 Vậy hàm số liên tục tại điểm x0  1 .  VD 3. lim f  x   lim x2  1  Xét tính liên tục của hàm số f  x    1   2 Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 2 khi x  1 khi x  1 tại x0  1 . CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN Hướng dẫn giải Tập xác định: D   , chứa x0  1 Ta có:  f  1   lim f  x   lim x2  1  2  f  1 . 1 ; 2 x 1 x 1   Vậy hàm số gián đoạn tại điểm x0  1 .  x 1  VD 4. Xét tính liên tục của hàm số f  x    2  x  1   2x  Hướng dẫn giải khi x  1 khi x  1 tại x0  1 . Tập xác định: D   , chứa x0  1 Ta có:  f  1  2 ;  lim f  x   lim  2 x   2  lim f  x   lim x 1 x 1 x 1 x 1 2  x 1 x 1  lim  x  1  x 1   lim   2 x 1 1 x x 1  2  x  1  2 Suy ra lim f  x   lim f  x   f 1  2 x 1 x 1 Vậy hàm số liên tục tại điểm x0  1 . Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng. VD 1.  2x2  2x khi x  1  Cho hàm số f  x    x  1 . Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác 5 khi x  1  định của nó. Hướng dẫn giải Tập xác định: D   . Nếu x  1 thì f  x   2 x2  2 x là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là  ;1  1;   x 1 Suy ra hàm số liên tục trên mỗi khoảng  ;1 , 1;   . Nếu x  1 thì f  x   5 Ta có:  f  1  5 ; Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 3 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN 2 x2  2 x  lim  2 x   2  f 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 Suy ra hàm số gián đoạn tại điểm x  1 .  lim f  x   lim Vậy hàm số trên liên tục trên mỗi khoảng  ;1 , 1;   và gián đoạn tại điểm x  1 . Xét tính liên tục của hàm số f  x   1  x2 trên đoạn [1;1] VD 2. Hướng dẫn giải Tập xác định: D  [1;1] . x0   1;1 , ta có lim f  x   lim 1  x2  1  x02  f  x0  x x0 x x0 Suy ra hàm số liên tục trên khoảng  1;1 . Mặt khác: lim f  x   lim 1  x2  0  f  1 x 1 x 1 lim f  x   lim 1  x2  0  f 1 x 1 x 1 Vậy hàm số liên tục trên đoạn [1;1] . Dạng 3. Tìm tham số để hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng. VD 1.  x2  x  2 khi x  2  Tìm giá trị của tham số m để hàm số f  x    x  2 liên tục tại x  1 m khi x  2  Hướng dẫn giải Tập xác định: D   , chứa x  2 Ta có:  f  2  m ;  lim f  x   lim x 2 x 2 x2  x  2  lim  x  1  0 . x 2 x2 Hàm số liên tục tại điểm x  2  f  2   lim f  x   m  0 x 2 Vậy m  0 thì hàm số liên tục tại điểm x  2 . VD 2. 2 2  khi x  2 m x Tìm giá trị của tham số m để hàm số f  x    liên tục trên  1  m x khi x  2     Hướng dẫn giải Tập xác định: D   , chứa x0  1 Nếu x   ; 2    2;   thì f  x  là hàm đa thức có tập xác định  Suy ra hàm số liên tục trên mỗi khoảng  ; 2  ;  2;   . Nếu x  2 thì Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 4 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]    Chuyên đề: GIỚI HẠN f  2   4 m2 ; lim f  x   lim 1  m  x   2 1  m  x 2  x 2 lim f  x   lim m2 x2  4m2 x 2 x 2 Hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x  2  lim f  x   lim f  x   f  2  x 2 x2 2  2 1  m   4m  m  1  m  1  2 Vậy m  1 hoặc m  1 hàm số trên liên tục trên  . 2 MỘT SỐ BÀI TẬP:  x 2  5x  4 nÕu x  1  3 x  1 Bài tập 1: Xác định a để f ( x)   a  1 nÕu x  1  2 liên tục tại x0  1 . Bài giải: Ta có: f ( x0 )  f ( 1)  a  1 2 x 2  5x  4 ( x  1)( x  4) ( x  4)  lim  lim 2  1. và lim f ( x)  lim 3 2 x  x0 x 1 x  1 x  1 x 1 ( x  1)( x  x  1) ( x  x  1) Hàm số f  x  liên tục tại x0  1  lim f ( x)  f  1   a  x 1 1 . 2 Bài tập 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0  3 :  x 2  5x  6 nÕu x  3 f ( x)   x  3  2x  1 nÕu x  3  Bài giải:  x 2  5x  6   lim  x  2   1 . Ta có lim f  x   lim  x 3 x 3 x  3  x3  và lim f  x   lim  2x  1  7 x 3 x 3 Do lim f  x   lim f  x   f  x  không tồn tại đạo hàm tại x0  3 . x 3 x 3 Vậy hàm số f  x  không liên tục tại x0  3 . Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 5 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN  x2  1  1  nÕu x  0 Bài tập 3: Cho hàm số f ( x)   x 4  x 2 m  1 nÕu x  0  (m là tham số) Tìm m để hàm số f  x  liên tục tại x  0 . Bài giải: Ta có: f  0   m  1 x2  1  1 x2 và lim f ( x)  lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 x 0 x4  x2 x2 x2  1 x2  1  1  x  1    Hàm số f  x  liên tục tại x  0  lim f ( x)  f (0)  x 0  1 x2  1  1   1 2 1 3  m1  m  . 2 2  x2  4x  3 nÕu x  1  3 Bài tập 4: Cho hàm số f ( x)   x  1 . Tìm m để hàm số liên tục tại x  1 .  1 mx  2 nÕu x  1  4 Bài giải: Ta có: lim f ( x)  lim x 1 x 1  x  1 x  3  lim  x  3   2 x2  4 x  3  lim x 1 x3  1  x  1  x2  x  1 x1  x2  x  1 3   1  m Mặt khác: lim f ( x)  lim  mx  2     2 x 1 x 1 4 4  Để hàm số có giới hạn tại x  1 khi chỉ khi: m 2 32 2   m  x 1 x 1 4 3 3 2 m Lúc đó: lim f ( x)  . Ta có: f ( 1)    2 x 1 3 4 Hàm số liên tục tại x  1 khi chỉ khi: lim f ( x)  f ( 1) lim f ( x)  lim f ( x)   x 1  m 2 32 2   m  4 3 3  x2  4 nÕu x  2  Bài tập 5: Xét tính liên tục hàm số f  x    x  2  x 3  4 nÕu x  2  trên  . Bài giải: Dễ thấy f  x  liên tục trên  ; 2  và  2;   . Ta có: f  2   4 . và lim f ( x)  4 . Suy ra: lim f ( x)  f  2  . Vậy f  x  liên tục tại x  2 . x 2 x 2 Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 6 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN Kết luận: Hàm số f  x  liên tục trên  .  x 2  5x  6 nÕu x  3  Bài tập 6: Tìm a để hàm số f  x    x  3  x 2  4a nÕu x  3  liên tục trên  . Bài giải: Dễ thấy f  x  liên tục trên  ; 3  và  3;   . Ta có: f  3   9  4a và lim f ( x)  9  4a ; lim f ( x)  1 . x 3 x 3 Hàm số f  x  liên tục trên   f  x  liên tục tại x  3  lim f ( x)  lim f ( x)  f  3   9a  4  1  a  2 . x 3 x 3 Dạng 4. Chứng minh phương trình f  x   0 có nghiệm  a; b  VD 1. Chứng minh rằng phương trình x3  2x  5  0 có ít nhất một nghiệm. Hướng dẫn giải Đặt f  x   x3  2x  5 . Tập xác định: D   . Hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] và f  0  . f  2   0 Suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm x0   0; 2  . Vậy phương trình x3  2x  5  0 có ít nhất một nghiệm. VD 2. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. 1  m  x 2 5  3x  1  0 Hướng dẫn giải   Đặt f  x   1  m2 x5  3x  1 . Tập xác định: D   . Ta có: f  0   1 , f  1  m2  1  f  0  . f  1  0, m Mặt khác: Hàm số f liên tục trên  nên liên tục trên đoạn [1; 0] . Suy ra phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm x0   1; 0  .   Vậy phương trình 1  m2 x5  3x  1  0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m. MỘT SỐ BÀI TOÁN: Bài tập 1: Chứng minh rằng phương trình: x17  x11  1 có nghiệm. Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 7 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN Bài giải: Gọi f ( x)  x17  x11  1  f ( x) liên tục trên  . f(0) = –1, f (2)  217  211  1  211 (26  1)  1  0  f (0). f (2)  0 Bài tập 2: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2x3  5x2  x  1  0 . Bài giải: Đặt f  x   2x3  5x2  x  1  f ( x) liên tục trên  .   f 0  1  f  0  . f  1  1  0  phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc  1; 0  . Ta có:  f  1   1       f 0  1 và   f  0  . f  1  1  0  phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc  0;1 . f 1   1     Kết luận: Phương trình có ít nhất 2 nghiệm thuộc  1;1 . Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 5 nghiệm: x5  5x3  4x  1  0 . Bài giải: Đặt f  x   x5  5x3  4x  1  f ( x) liên tục trên  .  f  2   1  3 73  Ta có:   3  73  f  2  . f      0 32  2  f   2   32     3  phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc  2;   . 2    3  73 73  f    và   2  32  f  0  . f  1   0 32  f  1  1   3   phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc   ; 1  .  2   f  1  1 1 13  tương tự   1  13  f  1 . f     0 2 32 f      2  32     1  phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc  1;  . 2    1  13 1 13 f   *   2  32  f  1 . f      0  phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc 32 2  f  1  1  1   2 ;1  .     f  1  1  f  1 . f  3   119  0  phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc  1; 3  . *  f 3  119     Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 8 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]  3 Mặt khác, các khoảng  2;   , 2  Chuyên đề: GIỚI HẠN  3    2 ; 1  ,    1 1   1; 2  ,  2 ;1  ,  1; 3  là các khoảng rời nhau     đôi một, suy ra phương trình có ít nhất 5 nghiệm phân biệt. Mặt khác, (1) là phương trình bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm. Kết luận: Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt. (đ.p.c.m) Bài tập 4: Chứng minh phương trình x3  6x  1  2  0 có nghiệm dương. Bài giải: Ta có: x3  6 x  1  2  0  x3  6 x  1  2  x 3  6 x  3  0 Đặt f  x   x3  6x  3 , f ( x) liên tục trên 0;1 f  0   3     f  0  . f  1  0 f  1  4   Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong  0;1 (đ.p.c.m) Bài tập 5: Chứng minh rằng phương trình x5  10x3  100  0 có ít nhất một nghiệm âm. Bài giải: Gọi f  x   x5  10x 3  100  f ( x) liên tục trên  . Ta có: f  0   100, f ( 10)  105  104  100  9.104  100  0  f  0  . f  10   0 . Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm âm c   10; 0  Bài tập 6: Chứng minh rằng phương trình x2 cos x  x sin x  1  0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng  0;   . Bài giải: Gọi f  x   x 2 cos x  x sin x  1  f  x  liên tục trên  . f  0   1, f     2  1  0  f  0  . f    0  phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc  0;   Bài tập 7: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm thực với mọi m :   a) m2  2m  2 x3  3x  3  0 Bài giải:    b) m4  m  1 x2017  x5  32  0  a) Xét hàm số f  x   m2  2m  2 x3  3x  3  f  x  liên tục trên  . Ta có m2  2m  2   m  1  1  0, m   2 f  0   3, f 1  m2  2m  2  0  f  0  . f 1  0  f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm xo   0;1 Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 9 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…]  Chuyên đề: GIỚI HẠN  b) Hàm số f ( x)  m4  m  1 x2017  x5  32 là hàm đa thức nên liên tục trên  , do đó hàm số liên tục trên đoạn 0;2  .   f  0   32  0 ; f  2   m  m  1 2 4 2017 2 2017 2 2  1  1  1 2  m     m      0, m   2  2  2   Suy ra f (0) f (2)  0, m  nên phương trình f  x   0 có một nghiệm thuộc khoảng  0; 2  nên phương trình luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập: Chứng minh các phương trình sau có nghiệm thoả yêu cầu đề ra: a) 4x 4  2 x 2  x  3  0 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm ph©n biÖt trªn  1;1 . b) 2x 3  6 x  1  0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn  2; 2  . c) sinx  x  1  0 cã nghiÖm. d) cosx  x cã nghiÖm.    e) cos2 x  2sinx  2 cã Ýt nhÊt 2 nghiÖm trªn   ;    6  5 4 f) x  3x  5x  2  0 cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn  2; 5  . g) x 5  5x 3  4 x  1  0 cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn  2; 3  h) x 3  6 x  1  2  0 cã nghiÖm d­¬ng. ------------------------------------------------------------------------MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC:  1 Bài tập 1: Giả sử hai hàm số y  f  x  và y  f  x   đều liên tục trên 0;1 và f (0)  f (1) . 2   1 Chứng minh rằng phương trình f ( x)  f  x    0 luôn có nghiệm trong đoạn 2   1 0; 2  .    1 Gợi ý: Đặt hàm số g( x)  f ( x)  f  x   liên tục trên 0;1 . 2  1 1 Ta có: g(0)  f (0)  f   ; g    2 2  1 g(0).g      f (0)  2  2 1 f    f (1)  2  1  f    0  2  1 f    f (0) 2  1 x  0;   2 Suy ra:  1  g(0).g    0  ..ycbt... 2   x  0  g(0).g  1   0   2  x  1     2 Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 10 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu: 2a  3b  6c  0 thì phương trình: ax2  bx  c  0 có ít nhất một nghiệm trên  0;1 . Gợi ý: Trường hợp1: a  0 . Ta có:  2  4 a 2b f (0)  c v¯ f     c 3 3 9 2 c c c2  f (0). f     4 a  6b  9c    2(2 a  3b  6c)  3c     0 9 3 3 9  2  f (0). f    0  ...ycbt... 3   2 2  2 2a  3b  0  x    0;   f (0). f    0  c  0   2 3  3 3  ax  bx  0 bx  c  0  3b  6c  0 Trường hợp 2: a  0 . Ta có: * Nếu b  0 th× c  0 và do đó phương trình có vô số nghiệm suy ra phương trình có nghiệm trên  0;1 . b 1 * Nếu b  0 : x0      0;1 c 2 Bài tập 3: Cho hàm số y  f ( x) : f : 0;1   0;1 và liên tục. Chứng minh rằng tồn tại c  0;1 sao cho: f (c)  c . Gợi ý: Đặt hàm số g( x)  f ( x)  x liên tục trên 0;1 L­u ý: f : 0;1   0;1 0  x  1  0  f ( x)  1 Ta có: g(0)  f (0)  0; g(1)  f (1)  1  0 do 0  f ( x)  1 ,x  0;1 Lúc đó: g(0).g(1)  0 ,x  0;1 Bài tập 4: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn   1;1 . Chứng minh rằng với mọi a, b  0 cho trước, phương trình: f ( x)  Gợi ý: Đặt h( x)  f ( x)  af ( 1)  bf (1) luôn có nghiệm thuộc   1;1 . ab af ( 1)  bf (1) liên tục trên   1;1 . ab Ta có: h(1)  f (1)  af ( 1)  bf (1) a  f (1)  f ( 1)  ; ab ab Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 11 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] h( 1)  f ( 1)  Chuyên đề: GIỚI HẠN af ( 1)  bf (1) b  f ( 1)  f (1)  ab ab  h(1).h( 1)  ab  f (1)  f ( 1) ab 2  0, a, b  0 Bài tập 5: Cho phương trình: ax2  bx  c  0  ac  0  . Biết rằng 2a  6b  19c  0 . Chứng minh phương trình có nghiệm trên  0;1 . 1 Gợi ý: Xét dấu f (0). f   3 Bài tập 6: Cho phương trình: ax3  bx2  cx  c  0  ac  0  . Biết rằng phương trình có nghiệm trên  0;1 . a b c    0 . Chứng minh 12 9 2 3 Gợi ý: Xét dấu f (0). f   4 Bài tập 7: Cho phương trình: ax2  bx  c  0  ac  0  . Biết rằng minh phương trình có nghiệm trên  0;1 . a b c    0 . Chứng 2001 2000 1999  2000  Gợi ý: Xét dấu f (0). f    2001  Bài tập 8: Cho phương trình: x4  x  2  0 (*) . Chứng minh phương trình (*) có nghiệm x0   1; 2  và x0  7 8 . Gợi ý: Xét dấu f (1). f (2) . Chứng minh x0  7 8 : x04  x0  2  0  x04  x0  2 (1). ¸p dông bÊt ®»ng thøc Cauchy: x0  2  2 x0 (2) DÊu bºng x·y ra khi x0  2, vËy víi x0   1; 2  th× dÊu bºng ë (2) kh«ng x·y ra. VËy ta cã: x0  2  2 x0 (3) Tõ (1) v¯ (3) suy ra: x04  2 x0  x08  8 x0  x0  7 8 C¸ch kh¸c: HoÆc cã thÓ chØ râ: f ( 7 8). f (2)  0..... Bài tập tương tự: Bài tập 9: Cho phương trình: x6  x  1  0 (*) . Chứng minh phương trình (*) có nghiệm x0   1; 2  và x0  13 4 . Bài tập 10: Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của tham số m : Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 12 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] a) cosx  mcos2x=0 Chuyên đề: GIỚI HẠN b) m( x  1)3 ( x  2)  2x  3  0 Gợi ý:   1  3 a) §Æt f ( x)  cosx  mcos2x. Ta cã: f    v¯ f  2 4  4     3  1 Suy ra: f   . f     0.....  2 4  4   1  2  b) §Æt f ( x)  m( x  1)3 ( x  2)  2 x  3. Ta cã: f (1)  5 v¯ f ( 2)  1 Suy ra: f  1 . f  2   1  0..... Bài tập 11: Chứng minh các phương trình sau đây luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:   a) m2  m  1 x4  2 x  2  0 b) m( x 2  16)  x7 ( x  6)  0 c) m( x  1)( x  2)  (2 x  3)x 3  0 d) m(2 cos x  2)  2 sin 5x  1 Bài tập 12: Chứng minh với mọi a, b, c các phương trình sau đây luôn có nghiệm: a) a( x  b)( x  c)  b( x  c)( x  a)  c( x  a)( x  b)  0 b) ab( x  a)( x  b)  ac( x  c)( x  a)  bc( x  b)( x  c )  0 Gợi ý: a) §Æt f ( x)  a( x  b)( x  c )  b( x  c )( x  a)  c( x  a)( x  b) Ta cã f ( x) liªn tôc trªn R v¯:  f ( a)  a( a  b)( a  c)   f (b)  b(b  c)(b  a)   f (c)  c(c  b)(c  a)  f (0)  3abc  f (0) f ( a) f (b) f (c)  3a 2 b 2 c 2 ( a  b)2 (b  c)2 (c  a)2  0  f ( a) f (b)  0 hoÆc f (0) f (c)  0  Tån t¹i x0 sao cho f  x0   0 (®pcm) Bài tập 13: a) Chứng minh rằng phương trình: x3  1000 x2  1  0 có ít nhất một nghiệm dương. 100 b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trình: x3  ax2  bx  c  0 có ít nhất một nghiệm Gợi ý: Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 13 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] a) §Æt f ( x)  x 3  1000 x 2  Chuyên đề: GIỚI HẠN 1 liªn tôc trªn R. 100 1  0 v¯ lim f ( x)   suy ra víi sè M  0 tuú ý th× f  M   0 x  100 Lóc ®ã: f (0). f  M   0  .... Ta cã: f (0)    lim f ( x)   b)  x ,a , b , c   lim f ( x )    x Do lim f ( x)   nªn tån t¹i A  0 tuú ý sao cho: f ( A)  0 x  T­¬ng tù: lim f ( x)   nªn tån t¹i B  0 tuú ý sao cho: f ( B)  0 x  Tõ ®ã suy ra: f ( A). f ( B)  0  ...ycbt.... III. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. a. Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f ( x)  x3  2 x  1 tại x0  3. . b.  x3  8 khi x  2  Xét tính liên tục của hàm số y  g  x  tại x0  2 , biết g( x)   x  2 . 5 khi x  2  c. Trong biểu thức xác định g  x  ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại x0  2. . Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại một điểm ( đoạn ) cho trước. a.  x2  3x  2 khi x  2  tại điểm x  2. . f ( x)   x  2 1 khi x  2  b.  x3  1  f ( x)   x  1  2  khi x  1 tại điểm x  1. khi x  1 c.  x2  4 khi x  2  f ( x)   x  2 tại điểm x  2. 4 khi x  2  d. 2   x  4 khi x  2 tại điểm x  2. f ( x)    2 x  1 khi x  2 e. y  1  3x tại x  2. f.  sin 3 x khi x  0  y  f ( x) với f  x    x tại x  0. 2 a  2 khi x  0  Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên các khoảng xác định của chúng. Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 14 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] a. x2  f ( x)    1  x b. 2  4  3x khi x  2 f ( x)   3 khi x  2   x Chuyên đề: GIỚI HẠN khi x  0 khi x  0 c.  x 2  5x  6 khi x  3  f ( x)   x  3 5 khi x  3  d.  x2  x  2 khi x  2  f  x   x  2 5  x khi x  2.  e.  x3  8 khi x  2  g  x    4x  8 3 khi x  2.  Bài 4.  x2  x  2 khi x  2  Tìm giá trị của tham số m để hàm số f(x) =  x  2 liên tục tại x  2 . m khi x  2  Bài 5.  3x  2 khi x  1 Cho hàm số f(x) =  2 . x  1 khi x   1  a. Vẽ đồ thị của hàm số y  f  x  . Từ đó nêu lên nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. b. Bài 6. Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh. Chứng minh rằng: a. Hàm số f ( x)  1  x2 liên tục trên đoạn   1;1 . b. Hàm số f ( x)  x  1 liên tục trên nữa khoảng   1;   . c. Hàm số f ( x)  d. Hàm số f ( x)  8  2 x2 liên tục trên nữa khoảng   2; 2  . e. 1  Hàm số f ( x)  2 x  1 liên tục trên nữa khoảng  ;   . 2  f. 2   x  1 khi x  0 Hàm số f ( x)   gián đoạn tại điểm x  0. 2 x  2 khi x  0   Bài 7. a. 1 1  x2 liên tục trên khoảng  1;1 . Tìm số thực m sao cho hàm số: x2 khi x  1  liên tục trên  . f ( x)    2mx  3 khi x  0 Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 15 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN b. 2   x  m khi x  0 liên tục trên  . f ( x)   x khi x  0  2 c.  x 2  3x  2  f  x    x 2  6 x  8 mx  m  1  khi x  2 liên tục trên  . khi x  2. Chứng minh các phương trình sau có nghiệm trên  : Bài 8. a. sin x  x  1 . b. sin x  2 tan 2x  2 . Hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  có f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 có Bài 9. nghiệm thuộc khoảng  a; b  hay không ? Cho ví dụ . Hàm số y  f  x  liên tục trên  a; b  có f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0 có Bài 10. nghiệm thuộc khoảng  a; b  hay không ? Cho ví dụ . x 1 và g  x   tan x  sin x . Với mỗi hàm số, hãy xác x  x6 định các khoảng trên đó hàm số liên tục. Cho các hàm số f ( x)  Bài 11. 2 Chứng minh rằng phương trình: Bài 12. a. x cos x  x sin x  1  0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  0;   . b. x3  x  1  0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn 1. . c. 2 x3  6 x  1  0 có ít nhất hai nghiệm. d. cos x  x có nghiệm. e. x3  3x  1  0 có ba nghiệm f. x2  1  2x  2 có ít nhất hai nghiệm phân biệt . g. 2x2  x  1  sin x có ít nhất hai nghiệm phân biệt . Bài 13. 2 Chứng minh rằng phương trình a. x4  3x2  5x  6  0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng  1; 2  . b. x5  3x4  5x  2  0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng  2; 5  . c. sin x  x  1 có ít nhất một nghiệm. d. x4  3x3  x  1  0 có nghiệm trong khoảng  1; 3  . e. x3  ax2  bx  c  0 luôn có ít nhất một nghiệm. Bài 14. Chứng minh rằng phương trình 1  m  x 2 5  3x  1  0 luôn có nghiệm với mọi tham số m . Bài 15. 1  Cho hàm số f  x    x 1  khi x  0 khi x  0. Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 16 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] a. Chuyên đề: GIỚI HẠN Chứng tỏ rằng f  1 . f  2   0 nhưng phương trình f  x   0 không có nghiệm thuộc khoảng  1; 2  . b. Kết quả trên có mâu thuẫn với hệ quả không? Vì sao? Bài 16. Xét tính liên tục của các hàm số: a. 2  khi x  0  x  1 f  x   tại điểm x0  0 ; 2 x  2 khi x  0.   b. 3x  2  f  x   2  x  1 c.  1  f  x   x  2  1  x Bài 17. khi khi khi x  1 x  1. trên tập xác định của nó ; x1 trên tập xác định của nó. khi x  1. Tìm giá trị của tham số a để hàm số sau liên tục trên 1;    x 1  2 khi x  1; 5    5;    . f  x   x  5 1 a2  a  khi x  5  2 Bài 18. Chứng minh rằng nếu hàm f  x  liên tục trên khoảng  a; b  thì hàm số F( x)  f ( x) cũng liên tục trên  a; b  . Bài 19.  sin 2 x ,x  0  x Xét tính liên tục của hàm số sau trên  : f  x     1 , x  0.  2 Bài 20. Nếu hàm f  x  liên tục trên các khoảng  a; b  và b; c  thì có thể khẳng định được chắc chắn nó liên tục trên khoảng  a; c  hay không ? Xét tính liên tuc của hàm số sau 2   1  x  1, 1  x  1 trên khoảng  1;   : f  x      x  1  1, x  1; Cần bổ xung hêm điều kiện gì để khẳng định trên chắc chắn ? Bài 21. Hàm f  x  liên tục trên các khoảng  a; b và b; c  thì có thể khẳng định được chắc chắn nó liên tục trên khoảng  a; c  hay không ? Vì sao ? Bài 22. Chứng minh rằng phương trình: a. 2x3  6x  1  0 có ít nhất hai nghiệm ; b. cos x  x có nghiệm. c. x3  x  1  0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn 1 . Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 17 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN Bài 23. Dùng định nghĩa , chứng minh các hàm số sau liên tục trên  . a. y  x2  1 b. y  cos 2x. Bài 24. Dùng định nghĩa , chứng minh hàm số 3x  1 liên tục trên R \1 . x 1 a. y b. y  x  1 liên tục trên  1;   .  1  cos 2 x ,x  0  Bài 25. Tìm giá trị của tham số a để hàm số f  x    liên tục tại x  0. x 2 a  2, x  0  IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Xét hai mệnh đề 2 x  1, I. Hàm số f ( x)   1  x , khi x  0 khi x  0  2x  1 ,  II. Hàm số f ( x)   x 2,  liên tục trên  khi x  0 liên tục tại x  0 khi x  0 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I. B. Chỉ II .   x, Câu 2. Cho hàm số f ( x)    1  m, A. m  3 . khi x  [0; 4] khi x  ( 4; 6] B. m  4 . C. Cả I và II. D. Không có . . Định m để f ( x) liên tục trên [0; 6] : C. m  0 . D. m  1 . Câu 3. Cho hàm số f ( x)  x  3x  1 xác định trên  . Số nghiệm của phương trình f ( x)  0 3 trên  là: A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [1; 4] sao cho f (1)  3 , f (4)  5 . Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình f ( x)  8 trên đoạn [1; 4] : A. Vô nghiệm. B. Có ít nhất một nghiệm. C. Có hai nghiệm. D. Không thể kết luận gì.  x4  x  2  x  x Câu 5. Hàm số f ( x)  3 1   khi x  0; x  1 khi x  1 khi x  0 A. Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn [-1;0] B. Liên tục tại mọi điểm x thuộc R. Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 18 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Chuyên đề: GIỚI HẠN C. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = -1. D. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.  x.c osx  2  x Câu 6. Hàm số f ( x)   1  x  x 3 khi x  0 khi 0  x  1 khi x  1 A. Liên tục tại mọi điểm x thuộc R. B. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0. C. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1. D. Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x = 0 và x = 1. x2  2x với x  0 . Phải bổ sung thêm giá trị f  0  bằng bao nhiêu x thì hàm số liên tục trên  . Câu 7. Cho f  x   A. 0. Câu 8. Cho f  x   B. 1. C. 1 2 . D. 1 2 2 . với x  0 . Phải bổ sung thêm giá trị f  0  bằng bao nhiêu thì x x 1 1 hàm số liên tục trên  . A. 0. B. 1. C. 2. D. 2. x 2  5x với x  0 . Phải bổ sung thêm giá trị f  0  bằng bao nhiêu thì hàm 3x số liên tục trên  . Câu 9. Cho f  x   A. 5 . 3 B.  x2   x Câu 10. Cho hàm số f  x   0   x  1 . 3 C. 0. 5 D.  . 3 khi x  1, x  0 khi x  0 . Hàm số f  x  liên tục tại: khi x  1 A. mọi điểm thuộc  . B. mọi điểm trừ x  0 . C. mọi điểm trừ x  1 . D. mọi điểm trừ x  0 và x  1 . Câu 11. Hàm số f  x  có đồ thị như hình bên không liên tục tại điểm có hoành độ là bao nhiêu? A. x  0 . B. x  1 . C. x  2 . D. x  3 . Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… 19 CLB Giáo viên trẻ TP Huế […Chuyên đề Trắc nghiệm Toán 11…] Câu 12. Cho hàm số f ( x)  A. ( 3; 2) . x2  1 , f ( x) liên tục trên các khoản nào sau đây? x2  5x  6 B. (3; ) C. (; 3) . D. (2; 3) .  tan x  Câu 13. Cho hàm số f ( x)   x  0    A.  0;  .  2 Chuyên đề: GIỚI HẠN x0 x=0    C.   ;  .  4 4   B.  ;  . 4  2 2   ax Câu 14. Cho hàm số f ( x)   2  (2  a)x A. 1 và 2 . . f  x  liên tục trên các khoản nào sau đây?  2,a x> 2 D.  ;   . . Giá trị của a để f  x  liên tục trên  là: B. 1 và 1 . C. . 1 và 2 . D. 1 và 2 . Câu 15. Cho hàm số f ( x)  x  1000x  0,01. Phương trình f (x)=0 có nghiêm trong khoảng 3 2 nào trong các khoảng sau đây? I. (-1;0) A. Chỉ I. II. (0;1) III. (1;2) B. Chỉ I và II.  x2   2x 2 Câu 16. Cho hàm số f ( x)    1 x  x sin x  C. Chỉ II. D. Chỉ III. x 1 0  x < 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng 0<0 định sau: A. f  x  liên tục trên  . B. f  x  liên tục trên  \ {1}. C. f  x  liên tục trên  \{0}. D. f  x  liên tục trên  \{0;1}.  2x  x2  1  Câu 17. Cho hàm số f  x   cos x x3  1   khi 0  x  1 khi x  0 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng khi x  1 định sau: A. Hàm số liên tục tại mọi x   . B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ x  0. C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x  1 . D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x  0 và x  1 .  3x  Câu 18. Cho hàm số f ( x)   1  (1  x)2  m   x  0  x  0 Giáo viên: PHẠM TRẦN LUÂN…09321.09324… Để f(x) liên tục tại x = 0, ta chọn: 20 CLB Giáo viên trẻ TP Huế