Tài liệu Về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ trong không gian với cấu trúc đều và ứng dụng.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ KHÁNH HƯNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN VỚI CẤU TRÚC ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ KHÁNH HƯNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN VỚI CẤU TRÚC ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62 46 01 02 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. PGS. TS. TRẦN VĂN ÂN 2. TS. KIỀU PHƯƠNG CHI NGHỆ AN - 2015 0 MỤC LỤC Mục lục 0 Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Các ký hiệu được dùng trong luận án vi Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . 2. Mục đích nghiên cứu . . . . . 3. Đối tượng nghiên cứu . . . . . 4. Phạm vi nghiên cứu . . . . . . 5. Phương pháp nghiên cứu . . . 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 7. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án 7.2 Cấu trúc luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Không gian đều và định lý điểm bất động 1.1. Không gian đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Điểm bất động của các ánh xạ co yếu . . . . . . . . . 1.3. Điểm bất động của các ánh xạ (β,Ψ1 )-co . . . . . . . 1.4. Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 5 5 6 6 6 6 8 . . . . 10 10 12 23 33 2 Điểm bất động của một số lớp ánh xạ trong không gian 40 đều sắp thứ tự bộ phận và ứng dụng 2.1. Điểm bất động bộ đôi trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận 40 2.2. Điểm bất động bộ ba trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận 51 2.3. Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . 69 3 Điểm bất động trong đại số lồi địa phương và ứng dụng 3.1. Đại số lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Điểm bất động trong đại số lồi địa phương . . . . . . . . . . 3.3. Ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . 82 82 84 90 Kết luận và kiến nghị 97 Danh mục công trình của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án 99 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 iii LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi. Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và luận án không trùng lặp với bất kỳ tài liệu nào khác. Tác giả iv LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi. Trước hết, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người Thầy của mình: PGS. TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi, những người đã đặt bài toán và hướng nghiên cứu cho tác giả. Các Thầy đã dạy bảo, chỉ dẫn tác giả nghiên cứu một cách kiên trì và nghiêm khắc. Tác giả đã học được rất nhiều kiến thức khoa học, nhận được sự chia sẻ, yêu thương của các Thầy trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Đinh Huy Hoàng, người đã dạy bảo tác giả từ những bước đi đầu tiên trong nghiên cứu khoa học ngay từ khi còn là sinh viên. Trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, Thầy luôn tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả học tập và hoàn thành luận án. Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Vinh, Trường THPT Chuyên - Trường Đại học Vinh đã quan tâm động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Khoa Sư phạm Toán học, Tổ Giải tích, Phòng đào tạo Sau đại học và các Phòng chức năng khác của Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của nghiên cứu sinh. Xin cảm ơn các thầy cô giáo, các anh chị em nghiên cứu sinh của Trường Đại học Vinh và tất cả bạn bè của tác giả về những chia sẻ, động viên trong quá trình học tập và nghiên cứu. v Cuối cùng, tác giả vô cùng biết ơn mọi thành viên trong gia đình của mình, đã luôn tạo mọi điều kiện và dành tất cả sự quan tâm, chia sẻ mọi khó khăn cùng tác giả suốt những năm tháng qua để tác giả có thể hoàn thành luận án này. Nghệ An, năm 2015 Tác giả vi CÁC KÝ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : Tập hợp các số tự nhiên, hay tập hợp {0, 1, 2, . . .}. N∗ : Tập hợp các số tự nhiên khác 0, hay tập hợp {1, 2, 3, . . .}. R : Tập hợp các số thực. R+ : Tập hợp các số thực không âm, hay [0, +∞). I : Tập hợp chỉ số. An : Tích Descartes của n tập A. idX : Ánh xạ đồng nhất từ tập X vào chính nó. ¡ ¢ f n (x) : Hợp thành f f (. . . (x) . . .) với n lần f . C(X, R) : Không gian tất cả các hàm liên tục từ X vào R. Φ : Họ các hàm φα : R+ → R+ , α ∈ I , đơn điệu tăng, liên tục thỏa mãn φα (0) = 0 và 0 < φα (t) < t với mọi t > 0. Φ1 : Họ các hàm φα : R+ → R+ , α ∈ I , đơn điệu không giảm thỏa mãn φα (0) = 0 và 0 < φα (t) < t với mọi t > 0. Ψ : Họ các hàm ψα : R+ → R+ , α ∈ I , đơn điệu tăng, liên tục thỏa mãn ψα (t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0. Ψ1 : Họ các hàm ψα : R+ → R+ , α ∈ I , đơn điệu không giảm thỏa mãn ψα (0) = 0 và với mỗi α ∈ I tồn tại ψ α ∈ Ψ1 sao cho +∞ X © ª n sup ψj n (α) (t) : n = 0, 1, 2, . . . ≤ ψ α (t) và ψ α (t) < +∞ n=1 với mọi t > 0. Π : Họ các hàm ϕα : R+ → R+ , α ∈ I , liên tục thỏa mãn ϕα (t) = 0 nếu và chỉ nếu t = 0. 1 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài 1.1. Kết quả đầu tiên về điểm bất động của các ánh xạ thu được từ năm 1911. Lúc đó, L. Brouwer đã chứng minh rằng: Mỗi ánh xạ liên tục từ một tập lồi compắc bất kỳ trong không gian hữu hạn chiều vào chính nó có ít nhất một điểm bất động. Năm 1922, S. Banach đã giới thiệu lớp ánh xạ co trong các không gian mêtric và chứng minh nguyên lý ánh xạ co nổi tiếng: Mỗi ánh xạ co từ một không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó có duy nhất điểm bất động. Sự ra đời của Nguyên lý ánh xạ co Banach cùng với ứng dụng của nó để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân đánh dấu một sự phát triển mới của hướng nghiên lý thuyết điểm bất động. Sau đó, nhiều nhà toán học đã tìm cách mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach lên các lớp ánh xạ và không gian khác nhau. Chỉ riêng việc mở rộng ánh xạ co, đến năm 1977 đã được B. E. Rhoades tổng kết và so sánh với 25 dạng tiêu biểu ([62]). 1.2. Nguyên lý ánh xạ co Banach ([14]) gắn liền với lớp ánh xạ co T : X → X trong không gian mêtric đầy đủ (X, d) với điều kiện co (B) d(T x, T y) ≤ kd(x, y), với mọi x, y ∈ X trong đó 0 ≤ k < 1. Đã có nhiều nhà toán học tìm cách mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach lên các lớp ánh xạ và không gian khác nhau. Mở rộng đầu tiên thu được bởi E. Rakotch ([59]) bằng cách làm giảm nhẹ điều kiện co có dạng ¡ ¢ (R) d(T x, T y) ≤ θ d(x, y) d(x, y), với mọi x, y ∈ X , trong đó θ : R+ → [0, 1) là hàm đơn điệu giảm. Năm 1969, D. W. Boyd và S. W. Wong ([22]) đã đưa ra một dạng mở rộng hơn của kết quả trên, khi xét điều kiện co có dạng 2 ¡ ¢ (BW) d(T x, T y) ≤ ϕ d(x, y) , với mọi x, y ∈ X , trong đó ϕ : R+ → R+ là hàm nửa liên tục trên bên phải và thỏa mãn 0 ≤ ϕ(t) < t với mọi t ∈ R+ . Cùng thời gian trên, F. E. Browder ([23]), M. Furi và A. Vignoli ([40]) cũng xét một điều kiện co dạng tương tự. Trong các bài báo của M. Furi ([39]), R. M. Bianchini và M. C. Grandolfi ([20]), các tác giả đã đưa ra điều kiện co dạng ¡ ¢ (F) d(T x, T y) ≤ ϕ d(x, y) , với mọi x, y ∈ X , trong đó ϕ(t) là hàm đơn điệu tăng và thỏa mãn lim ϕn (t) = 0 với mọi t > 0. n→∞ Năm 1975, F. Matkowski ([55]) đã làm nhẹ hơn điều kiện (F) khi xét điều kiện co sau đây ¡ ¢ (M) d(T x, T y) ≤ ϕ d(x, y) , với mọi x, y ∈ X , trong đó ϕ(t) < t với mọi t > 0. Năm 2001, B. E. Roades ([63]) khi cải tiến và mở rộng kết quả của Y. I. Alber và S. Guerre-Delabriere đã đưa ra điều kiện co dạng ¡ ¢ (R1) d(T x, T y) ≤ d(x, y) − ϕ d(x, y) , với mọi x, y ∈ X , trong đó ϕ : R+ → R+ là hàm liên tục, đơn điệu tăng sao cho ϕ(t) = 0 khi và chỉ khi t = 0. Tiếp tục theo hướng giảm nhẹ điều kiện co, năm 2008, P. N. Dutta và B. S. Choudhury ([34]) đã đưa ra điều kiện co dạng ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ (DC) ψ d(T x, T y) ≤ ψ d(x, y) − ϕ d(x, y) , với mọi x, y ∈ X , trong đó ψ, ϕ : R+ → R+ là hàm liên tục, đơn điệu không giảm sao cho ψ(t) = 0 = ϕ(t) khi và chỉ khi t = 0. Lưu ý rằng trong điều kiện co (DC), nếu ta lấy ψ(t) = t và ϕ(t) = (1−k)t với mọi t ∈ R+ , thì ta thu được điều kiện co (B). Năm 2009, R. K. Bose và M. K. Roychowdhury ([21]) đã đưa ra khái niệm ánh xạ co yếu suy rộng mới với điều kiện co sau đây nhằm nghiên cứu điểm bất động chung của các ánh xạ. ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ (BR) ψ d(T x, Sy ≤ ψ d(x, y) − ϕ d(x, y) , với mọi x, y ∈ X , trong đó ψ, ϕ : R+ → R+ là các hàm liên tục sao cho ψ(t) > 0, ϕ(t) > 0 với t > 0 và ψ(0) = 0 = ϕ(0), hơn nữa, ϕ là hàm đơn điệu không giảm và ψ là hàm đơn điệu tăng. 3 Năm 2012, B. Samet, C. Vetro và P. Vetro ([64]) đã giới thiệu khái niệm ánh xạ kiểu α-ψ -co trên không gian mêtric đầy đủ, với điều kiện co dạng ¡ ¢ (SVV) α(x, y)d(T x, T y) ≤ ψ d(x, y) , với mọi x, y ∈ X trong đó ψ : P+∞ R+ → R+ là hàm đơn điệu không giảm thỏa mãn n=1 ψ n (t) < +∞ với mọi t > 0 và α : X × X → R+ . 1.3. Trong những năm gần đây, nhiều tác giả tiếp tục theo hướng tổng quát hóa các điều kiện co cho các ánh xạ trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận. Theo hướng này, năm 2006, T. G. Bhaskar và V. Lakshmikantham ([19]) đã đưa ra khái niệm điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ F : X × X → X có tính chất đơn điệu trộn và thu được một số kết quả cho lớp ánh xạ đó trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận và thỏa mãn điều kiện co ³ ´ ¡ ¢ (BL) Tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho d F (x, y), F (u, v) ≤ với mọi x, y, u, v ∈ X mà x ≥ u, y ≤ v . k d(x, u)+d(y, v) , 2 Năm 2009, tiếp tục mở rộng các định lý điểm bất động bộ đôi, V. Lakshmikantham và L. Ciric ([51]) đã thu được một số kết quả cho lớp ánh xạ F : X × X → X có tính chất g -đơn điệu trộn với g : X → X trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận và thỏa mãn điều kiện co sau đây. ³ d¡g(x), g(u)¢ + d¡g(y), g(v)¢ ´ ¡ ¢ , (LC) d F (x, y), F (u, v) ≤ ϕ 2 với mọi x, y, u, v ∈ X mà g(x) ≥ g(u), g(y) ≤ g(v) và F (X × X) ⊂ g(X). Năm 2011, V. Berinde và M. Borcut ([18]) đưa ra khái niệm điểm bất động bộ ba cho lớp các ánh xạ F : X × X × X → X và đã thu được một số định lý điểm bất động bộ ba cho các ánh xạ có tính chất đơn điệu trộn trên không gian mêtric sắp thứ tự bộ phận thỏa mãn điều kiện co (BB) Tồn tại các hằng số j, k, l ∈ [0, 1) sao cho j + k + l < 1 thỏa mãn ¡ ¢ d F (x, y, z), F (u, v, w) ≤ jd(x, u)+kd(y, v)+ld(z, w), với mọi x, y, z, u, v, w ∈ X mà x ≥ u, y ≤ v, z ≥ w. Sau đó, năm 2012, H. Aydi và E. Karapinar ([12]) đã mở rộng kết quả trên và thu được một số định lý điểm bất động bộ ba cho lớp các ánh xạ F : X × X × X → X có tính chất đơn điệu trộn trên không gian mêtric 4 sắp thứ tự bộ phận thỏa mãn điều kiện co yếu sau đây. (AK) Tồn tại hàm φ sao ³ cho ©với mọi x ≤ u, y ≥ v, z ≤ wªta ´ có ¡ ¢ d T F (x, y, z), T F (u, v, w) ≤ φ max d(T x, T u), d(T y, T v), d(T z, T w) . 1.4. Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có động lực từ những ứng dụng rộng rãi của nó, đặc biệt là trong lý thuyết phương trình vi phân và tích phân mà dấu ấn đầu tiên là việc áp dụng Nguyên lý ánh xạ co Banach để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân thường. Trong lý thuyết phương trình vi phân và tích phân hiện đại, việc chứng minh sự tồn tại hay việc xấp xỉ nghiệm vẫn thường được quy về áp dụng thích hợp một định lý điểm bất động nào đó. Đối với các bài toán biên với miền bị chặn thì các định lý điểm bất động trong không gian mêtric là đủ để làm tốt công việc trên. Tuy nhiên, đối với các bài toán biên với các miền không bị chặn thì các định lý điểm bất động trong không gian mêtric là không đủ để thực hiện. Vì vậy, vào thập niên 70 của thế kỷ trước, song song với việc tìm cách mở rộng lớp ánh xạ người ta đã tìm cách mở rộng lên các lớp không gian rộng hơn. Một trong những hướng mở rộng tiêu biểu là tìm cách mở rộng các kết quả về điểm bất động của các ánh xạ trên không gian mêtric lên lớp các không gian lồi địa phương, rộng hơn nữa là các không gian đều và đã thu hút được sự quan tâm của nhiều toán học mà nổi bật là V. G. Angelov. Trong ([10]), V. G. Angelov đã xét họ các hàm thực Φ = {φα : α ∈ I} sao cho với mỗi α ∈ I , φα : R+ → R+ là hàm đơn điệu tăng, liên tục, φα (0) = 0 và 0 < φα (t) < t với mọi t > 0. Từ đó ông đã giới thiệu khái niệm ánh xạ Φ-co, đó là ánh xạ T : M → X thỏa mãn điều kiện ¡ ¢ (A) dα (T x, T y) ≤ φα dj(α) (x, y) với mọi x, y ∈ M và với mọi α ∈ I , trong đó M ⊂ X và thu được một số kết quả về điểm bất động của lớp ánh xạ này. Bằng cách đưa ra khái niệm không gian có tính chất j -bị chặn, V. G. Angelov đã thu được một số kết quả về tính duy nhất điểm bất động của lớp ánh xạ trên. Theo hướng mở rộng các kết quả về điểm bất động lên lớp các không gian lồi địa phương, năm 2005, B. C. Dhage ([29]) thông qua nghiên 5 cứu nghiệm của phương trình toán tử x = AxBx trong đó A : X → X , B : S → X là hai toán tử thỏa mãn A là D-Lipschitz, B là hoàn toàn liên tục và x = AxBy kéo theo x ∈ S với mọi y ∈ S , với S là một tập con đóng, lồi và bị chặn của đại số Banach X , sao cho thỏa mãn điều kiện co ¡ ¢ (Dh) ||T x − T y|| ≤ φ ||x − y|| với mọi x, y ∈ X , trong đó φ : R+ → R+ là hàm liên tục không giảm, φ(0) = 0, đã thu được một số định lý điểm bất động trong các đại số Banach. 1.5. Trong thời gian gần đây, cùng với sự xuất hiện những lớp ánh xạ co mới, những kiểu điểm bất động mới trong không gian mêtric, hướng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động đã có những bước phát triển mới mạnh mẽ. Với những lý do trên, nhằm mở rộng các kết quả về lý thuyết điểm bất động trên cho lớp các không gian có cấu trúc đều, chúng tôi chọn đề tài ‘‘Về sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ trong không gian với cấu trúc đều và ứng dụng” làm đề tài luận án tiến sĩ. 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận án là mở rộng các kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric của một số lớp ánh xạ lên lớp không gian với cấu trúc đều và ứng dụng chúng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn. 3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các không gian đều, các ánh xạ co suy rộng trên không gian đều, điểm bất động, điểm bất động bộ đôi, điểm bất động bộ ba của một số lớp ánh xạ trong không gian với cấu trúc đều, một số lớp phương trình tích phân. 4 Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu các định lý điểm bất động trong không gian đều và ứng dụng vào bài toán sự tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân với hàm độ lệch không bị chặn. 6 5 Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của Giải tích hàm, Lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân và Lý thuyết điểm bất động trong quá trình thực hiện đề tài. 6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án đã mở rộng được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric cho không gian với cấu trúc đều. Đồng thời đã xét được sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn, mà chúng ta không thể áp dụng các định lý điểm bất động trong không gian mêtric. Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích nói chung, Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng nói riêng. 7 7.1 Tổng quan và cấu trúc luận án Tổng quan luận án Trong luận án này, chúng tôi trình bày một số mở rộng các định lý điểm bất động của một số lớp ánh xạ với các điều kiện co suy rộng trong không gian với cấu trúc đều, đưa ra một số ví dụ minh họa. Sau đó, áp dụng các kết quả thu được để chứng minh sự tồn tại cũng như tồn tại duy nhất nghiệm của một số lớp phương trình tích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn. Trong Chương 1, trước hết chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và các kết quả đã biết về không gian đều cần dùng cho các trình bày về sau. Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu khái niệm ánh xạ (Ψ, Π)-co, mà nó là mở rộng khái niệm (ψ, ϕ)-co của P. N. Dutta và B. S. Choudhury trên không gian đều, và thu được một kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ (Ψ, Π)-co trên không gian đều. Bằng cách đưa ra khái niệm không gian đều có tính chất j -đơn điệu giảm, chúng tôi thu được kết quả về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ (Ψ, Π)-co. Tiếp theo, mở rộng khái niệm ánh xạ α-ψ -co trên không gian mêtric cho không gian 7 đều, chúng tôi đưa ra khái niệm ánh xạ (β, Ψ1 )-co trên không gian đều và thu được một số định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ này. Các định lý thu được trong không gian đều xem như là các mở rộng của những định lý trong không gian mêtric đầy đủ. Cuối cùng, ứng dụng định lý thu được về điểm bất động của lớp ánh xạ (β, Ψ1 )-co trên không gian đều, chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn. Lưu ý rằng, khi xét một lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn, chúng ta không thể áp dụng các định lý điểm bất động đã biết trong không gian mêtric. Các kết quả chính của Chương 1 là Định lý 1.2.6, Định lý 1.2.9, Định lý 1.3.11 và Định lý 1.4.3. Cụ thể, Định lý 1.2.6 chỉ ra sự tồn tại, tồn tại duy nhất điểm bất động của một lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co trên không gian đều; Định lý 1.2.9 khẳng định sự tồn tại, tồn tại duy nhất điểm bất động chung của hai ánh xạ co trên không gian đều; Định lý 1.3.11 đưa ra điều kiện tồn tại và tồn tại duy nhất điểm bất động của các ánh xạ (β, Ψ1 )-co. Cuối cùng, Định lý 1.4.3 khẳng định sự tồn tại nghiệm trong C(R+ , R) của một lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn. Trong Chương 2, chúng tôi xét trên không gian đều sắp thứ tự bộ phận. Đầu tiên, trong mục 2.1, chúng tôi thu được các kết quả về điểm bất động bộ đôi cho một lớp ánh xạ trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận khi mở rộng điều kiện co (LC) của V. Lakshmikantham và L. Ciric cho ánh xạ trong không gian đều. Trong mục 2.2, bằng cách mở rộng điều kiện co (AK) của H. Aydi và E. Karapinar cho ánh xạ trong không gian đều, chúng tôi thu được các kết quả về điểm bất động bộ ba của một lớp ánh xạ trong không gian đều sắp thứ tự bộ phận. Trong mục 2.3, bằng cách đưa vào các khái niệm nghiệm bộ đôi trên và dưới, nghiệm bộ ba trên và dưới, áp dụng các kết quả thu được trong mục 2.1, 2.2, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm duy nhất của một vài lớp phương trình tích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn. Kết quả chính của Chương 2 là Định lý 2.1.5, Hệ quả 2.1.6, Định lý 2.2.5, Hệ quả 2.2.6, Định lý 2.3.3 và Định lý 2.3.6. Cụ thể, Định lý 2.1.5, Hệ quả 2.1.6 kết luận sự tồn tại, tồn tại duy nhất điểm bất động bộ đôi của một lớp ánh xạ; Định lý 2.2.5, Hệ quả 2.2.6 khẳng định sự tồn tại, tồn tại duy nhất điểm bất động bộ ba của một lớp ánh xạ. Cuối cùng, các Định 8 lý 2.3.3 và Định lý 2.3.6 khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm trong C(R+ , R) của một vài lớp phương trình tích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn. Trong Chương 3, đầu tiên chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về đại số lồi địa phương cần dùng cho các trình bày về sau. Tiếp theo, trong mục 3.2, bằng cách mở rộng khái niệm D-Lipschitz cho các ánh xạ trên các đại số lồi địa phương và dựa vào các kết quả đã biết trong đại số Banach, không gian đều, chúng tôi thiết lập một định lý điểm bất động trong đại số lồi địa phương mà nó là mở rộng của kết quả thu được bởi B. C. Dhage ([29]). Cuối cùng, trong mục 3.3, áp dụng định lý thu được chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân trong đại số lồi địa phương với độ lệch không bị chặn. Kết quả chính của Chương 3 là Định lý 3.2.5, Định lý 3.3.2. Cụ thể, Định lý 3.2.5 khẳng định phương trình toán tử x = AxBx trong đại số lồi địa phương có nghiệm; Định lý 3.3.2 kết luận phương trình tích phân phi tuyến với độ lệch không bị chặn có nghiệm trong C(R+ , R). Trong luận án này, chúng tôi cũng giới thiệu nhiều ví dụ nhằm minh họa cho các kết quả thu được và ý nghĩa mở rộng của các định lý được đưa ra. 7.2 Cấu trúc luận án Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra, luận án còn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, Kết luận và Kiến nghị, Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và Tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày mở rộng các định lý điểm bất động của một số lớp ánh xạ trên không gian mêtric cho không gian đều. Trong phần đầu của chương, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về không gian tôpô, không gian đều. Trong mục 1.2, chúng tôi nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ co yếu trong không gian đều. Mục 1.3 dành cho việc nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ (β, Ψ1 )-co trong không gian đều. Mục 1.4, ứng dụng các kết quả về điểm bất động của ánh xạ (β, Ψ1 )-co để xét sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến. 9 Chương 2 nhằm trình bày một số mở rộng các kết quả trong không gian mêtric cho không gian đều sắp thứ tự bộ phận. Trong mục 2.1, chúng tôi đưa ra các định lý điểm bất động bộ đôi. Mục 2.2, chúng tôi xét sự tồn tại điểm bất động bộ ba. Mục 2.3, chúng tôi ứng dụng các kết quả thu được để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình tích phân phi tuyến. Chương 3 dành cho việc nghiên cứu định lý điểm bất động trong đại số lồi địa phương và ứng dụng của kết quả thu được. Trong mục 3.1, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức, khái niệm về đại số lồi địa phương. Mục 3.2 dành cho việc trình bày và chứng minh định lý điểm bất động của một lớp ánh xạ trên đại số lồi địa phương. Cuối cùng, trong mục 3.3, chúng tôi đã ứng dụng kết quả thu được để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến. Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo, trong đó có 01 bài thuộc danh mục SCIE; đã được nhận đăng trong 02 bài báo khác, trong đó có 01 bài thuộc danh mục SCIE và đang gửi công bố trong 01 bài báo. Từng phần trong nội dung của luận án cũng đã được trình bày tại • Seminar của Tổ Giải tích; thuộc Khoa Toán Trường Đại học Vinh; • Các Hội nghị NCS; của Trường Đại học Vinh (2010 - 2014); • Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp tại Huế 20-24/8/2012; • Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8 tại Nha Trang 10-14/8/2013. 10 CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN ĐỀU VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian đều và những kết quả sử dụng cho phần sau. Tiếp theo, chúng tôi đưa ra các định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ (Ψ, Π)-co trong không gian đều. Trong phần cuối của chương, chúng tôi mở rộng các định lý điểm bất động của lớp ánh xạ α-ψ -co trong không gian mêtric được trình bày trong ([64]) lên không gian đều. Sau đó, chúng tôi ứng dụng các kết quả mới này để chứng tỏ một lớp phương trình tích phân với độ lệch không bị chặn có nghiệm duy nhất. 1.1 Không gian đều Mục này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về không gian đều cần dùng cho những trình bày về sau. Những kiến thức này đã được trình bày trong các tài liệu ([2], [9], [48]). Cho tập X khác rỗng, U, V ⊂ X × X . Ta ký hiệu 1) U −1 = {(x, y) ∈ X × X : (y, x) ∈ U }. 2) U ◦ V = {(x, z) : ∃y ∈ X, (x, y) ∈ U, (y, z) ∈ V } và viết U 2 thay cho U ◦ U. 3) ∆(X) = {(x, x) : x ∈ X} và gọi ∆(X) là đường chéo của X . 4) U [A] = {y ∈ X : ∃x ∈ A để (x, y) ∈ U }, với A ⊂ X và viết U [x] thay cho U [{x}]. 1.1.1 Định nghĩa. Họ U các tập con của X × X được gọi là cái đều hay cấu trúc đều trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau 11 1) ∆(X) ⊂ U với mọi U ∈ U . 2) Nếu U ∈ U thì U −1 ∈ U . 3) Nếu U ∈ U thì tồn tại V ∈ U sao cho V 2 ⊂ U . 4) Nếu U, V ∈ U thì U ∩ V ∈ U . 5) Nếu U ∈ U và U ⊂ V ⊂ X × X thì V ∈ U . Cặp (X, U) được gọi là một không gian đều. 1.1.2 Ví dụ. 1) Cho (X, d) là một không gian mêtric. Khi đó, họ U = {Un : n = 1, 2, . . .}, trong đó n 1o Un = (x, y) ∈ X × X : d(x, y) < n là cái đều trên X . 2) Mỗi không gian véctơ tôpô là không gian đều. Trong thực tế, mỗi cấu trúc đều luôn được sinh ra bởi một họ các giả mêtric trên X . Kết quả này đã được chứng minh bởi N. Bourbaki trong ([48]). 1.1.3 Định lý. Cấu trúc đều trên X được sinh ra bởi một họ các giả mêtric liên tục đều trên X . 1.1.4 Định lý. Giả sử (X, U) là không gian đều. Với mỗi A ∈ U và x ∈ X ta ký hiệu UA (x) = {y ∈ X : (x, y) ∈ A}. Khi đó, họ τ = {UA (x) : x ∈ X, A ∈ U} là một tôpô trên X và τ được gọi là tôpô của không gian đều (tôpô sinh bởi cấu trúc đều). 1.1.5 Nhận xét. 1) Nếu X là không gian mêtric hoặc là không gian véctơ tôpô thì tôpô sinh bởi cấu trúc đều trùng với tôpô xuất phát. 2) ([2]) Đối với không gian lồi địa phương X , tôpô của nó được sinh bởi một họ các nửa chuẩn {pα }α∈I . Khi đó, họ các nửa chuẩn sẽ cảm sinh ra các giả mêtric {dα }α∈I (gọi là các giả mêtric liên kết) cho bởi dα (x, y) = pα (x − y) với mọi x, y ∈ X. 1.1.6 Mệnh đề. Cho X là không gian đều với cấu trúc đều sinh bởi họ các giả mêtric P = {dα }α∈I . Khi đó, 1) X là không gian Hausdorff khi và chỉ khi nếu dα (x, y) = 0 với mọi α ∈ I thì x = y . 12 2) Dãy {xn } hội tụ tới x ∈ X khi và chỉ khi với mọi α ∈ I , dα (xn , x) → 0 khi n → ∞. Ta cần thêm một số khái niệm sau đây mà chúng cần dùng cho các phần tiếp theo của luận án. 1.1.7 Định nghĩa. ([9]) Cho X là không gian đều với cấu trúc đều sinh bởi họ các giả mêtric P = {dα }α∈I . Khi đó, 1) Dãy {xn } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu dα (xn , xm ) → 0 khi m, n → ∞ với mọi α ∈ I . 2) Không gian X được gọi là đầy đủ dãy nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. 1.1.8 Chú ý. 1) Giả sử X là không gian đều. Khi đó, tôpô đều trên X được sinh bởi một họ các giả mêtric liên tục trên X ([48]). 2) Nếu E là không gian lồi địa phương với họ bão hòa các nửa chuẩn {pα }α∈I , thì họ các giả mêtric liên kết {dα }α∈I xác định bởi dα (x, y) = pα (x − y) với mọi x, y ∈ E . Khi đó, tôpô đều được sinh bởi họ các giả mêtric liên kết trùng với tôpô xuất phát của không gian E . Do đó, như là hệ quả của các kết quả của chúng tôi sau này, ta thu được các định lý điểm bất động trong không gian lồi địa phương. 3) ([9]) Cho I là tập chỉ số và ánh xạ j : I → I . Các phép lặp của j được xác định theo quy nạp như sau ¡ ¢ j 0 (α) = α, j k (α) = j j k−1 (α) , k = 1, 2, . . . 1.2 Điểm bất động của các ánh xạ co yếu Trong các trình bày tiếp theo, (X, P) hay đơn giản là X được hiểu là một không gian đều Hausdorff với cấu trúc đều sinh bởi một họ bão hòa các giả mêtric P = {dα (x, y) : α ∈ I}, trong đó I là một tập chỉ số. Lưu ý rằng, (X, P) là Hausdorff nếu và chỉ nếu dα (x, y) = 0 với mọi α ∈ I kéo theo x = y . Trong ([10]), khi xét họ Φ = {φα : R+ → R+ , α ∈ I} các hàm đơn điệu tăng, liên tục, φα (0) = 0 và thỏa mãn 0 < φα (t) < t với mọi t > 0,