Tài liệu bài giảng lý thuyết đồ thị

I. Ĉʈnh nghśa ÿ͓ thʈ Chɉɇng 1: Các khái niʄm cɇ bɠn ™Bài toán Euler Konigsber (1736) Có thӇ chӍ mӝt lҫn ÿi qua tҩt cҧ 7 chiӃc cҫu này hay không? Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 3 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ I. Ĉʈnh nghśa ÿ͓ thʈ ™Chuyʀn bài toán vɾ dɞng ÿ͓ thʈ ƒ Mӛi vùng là 1 ÿӍnh ƒ Mӛi chiӃc cҫu là 1 cҥnh Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 4 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ I. Ĉʈnh nghśa ÿ͓ thʈ ™Ĉ͓ thʈ ÿɉͣc xây dͱng tͫ bài toán Euler ƒ Có thӇ ÿi qua tҩt cҧ các cҥnh cӫa ÿӗ thӏ, sao cho mӛi cҥnh chӍ ÿi qua ÿúng mӝt lҫn ÿѭӧc không? Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 5 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ I. Ĉʈnh nghśa ÿ͓ thʈ ™Ĉʈnh nghśa ƒ Ĉӗ thӏ G là mӝt tұp hӧp gӗm các ÿӍnh và các cҥnh. Ta thѭӡng ký hiӋu: G = (V, E), trong ÿó: + V: Là tұp các ÿӍnh + E: Là tұp các cҥnh V={1, 2, 3, 4} E={a, b, c, d, e} Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 6 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ II. Các loɞi ÿ͓ thʈ Ĉӗ thӏ Ĉӗ thӏ vô hѭӟng Ĉѫn ÿӗ thӏ Ĉa ÿӗ thӏ Giҧ ÿӗ thӏ Ĉӗ thӏ có hѭӟng Ĉѫn ÿӗ thӏ Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 8 Ĉa ÿӗ thӏ Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ II. Các loɞi ÿ͓ thʈ ™Ĉɇn ÿ͓ thʈ vô hu͛ng Ĉӗ thӏ G=(V, E) ÿѭӧc gӑi là ÿѫn ÿӗ thӏ vô hѭӟng: ƒ V: Là tұp các ÿӍnh ƒ E: là tұp các cһp không có thӭ tӵ gӗm hai phҫn tӱ khác nhau cӫa V. V={1, 2, 3, 4, 5} E={(1, 2), (1, 3), (1, 5), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)} Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 9 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ II. Các loɞi ÿ͓ thʈ ™Ĉa ÿ͓ thʈ vô hu͛ng Ĉӗ thӏ G=(V, E) ÿѭӧc gӑi là ÿa ÿӗ thӏ vô hѭӟng: ƒ V: Là tұp các ÿӍnh ƒ E: Là hӑ các cһp không có thӭ tӵ gӗm hai phҫn tӱ khác nhau cӫa V. Hai cҥnh e1, e2 gӑi là cҥnh lһp nӃu chúng cùng tѭѫng ӭng vӟi mӝt cһp ÿӍnh V={1, 2, 3, 4, 5} E={(1, 2), (1, 3), (1, 5), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (1, 2), (2, 1), (5, 2), (3, 5) } Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 10 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ II. Các loɞi ÿ͓ thʈ ™Giɠ ÿ͓ thʈ vô hu͛ng Ĉӗ thӏ G=(V, E) ÿѭӧc gӑi là giҧ ÿӗ thӏ vô hѭӟng: ƒ V: Là tұp các ÿӍnh ƒ E: Là hӑ các cһp không có thӭ tӵ gӗm hai phҫn tӱ không nhҩt thiӃt khác nhau cӫa V. Cҥnh e ÿѭӧc gӑi là khuyên nӃu nó có dҥng: e=(u, u) V={1, 2, 3, 4, 5} E={(1, 2), (1, 3), (1, 5), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (1, 2), (2, 1), (5, 2), (3, 5), (2, 2), (3, 3) } Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 11 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ II. Các loɞi ÿ͓ thʈ ™Ĉɇn ÿ͓ thʈ có hɉ͛ng Ĉӗ thӏ G=(V, E) ÿѭӧc gӑi là ÿѫn ÿӗ thӏ có hѭӟng: ƒ V: Là tұp các ÿӍnh ƒ E: Là tұp các cһp có thӭ tӵ gӗm hai phҫn tӱ khác nhau cӫa V. (tұp các cung) V={1, 2, 3, 4, 5} E={(2, 1), (1, 3), (5, 1), (4, 2), (3, 4), (3, 5), (5, 4)} Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 12 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ II. Các loɞi ÿ͓ thʈ ™Ĉa ÿ͓ thʈ có hɉ͛ng Ĉӗ thӏ G=(V, E) ÿѭӧc gӑi là ÿѫn ÿӗ thӏ có hѭӟng: ƒ V: Là tұp các ÿӍnh ƒ E: Là hӑ các cһp có thӭ tӵ gӗm hai phҫn tӱ khác nhau cӫa V. (tұp các cung) Hai cung e1, e2 ÿѭӧc gӑi là cung lһp nӃu chúng cùng tѭѫng ӭng vӟi mӝt cһp ÿӍnh. V={1, 2, 3, 4, 5} E={(2, 1), (1, 3), (6, 2), (3, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 4), (5, 6), (3,1), (6,2)} Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 13 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ II. Các loɞi ÿ͓ thʈ Ĉӗ thӏ Không có thӭ tӵ Ĉӗ thӏ vô hѭӟng Không cҥnh lһp, không khuyên Ĉѫn ÿӗ thӏ Có cҥnh lһp, không khuyên Ĉa ÿӗ thӏ Có cҥnh lһp, Có khuyên Giҧ ÿӗ thӏ Có thӭ tӵ Ĉӗ thӏ có hѭӟng Không cung lһp, không khuyên Ĉѫn ÿӗ thӏ Có cung lһp, không khuyên Ĉa ÿӗ thӏ Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 14 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ III. Các thuɪt ngͯ cɇ bɠn ™Kɾ và liên thu͙c ƒ Giҧ sӱ u và v là hai ÿӍnh cӫa ÿӗ thӏ vô hѭӟng G và e=(u, v) là cҥnh cӫa ÿӗ thӏ, khi ÿó ta nói: + u và v kӅ nhau và e liên thuӝc vӟi u và v. + u và v là các ÿӍnh ÿҫu cӫa cҥnh e v e u Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 16 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ III. Các thuɪt ngͯ cɇ bɠn ™Bɪc cͧa ÿʆnh ƒ Bұc cӫa ÿӍnh v trong ÿӗ thӏ vô hѭӟng là sӕ cҥnh liên thuӝc vӟi nó. ƒ Ký hiӋu: deg(v) deg(1)= 2, deg(2)= 2, deg(3)= 3, deg(4)= 3, deg(5)= 3, deg(6)= 1, deg(7)= 0. ƒ ĈӍnh treo là ÿӍnh chӍ có duy nhҩt mӝt cҥnh liên thuӝc vӟi nó. Æ ĈӍnh 6 ƒ ĈӍnh cô lұp là ÿӍnh không có cҥnh nào liên thuӝc vӟi nó.Æ ĈӍnh 7 Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 17 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ III. Các thuɪt ngͯ cɇ bɠn ™Ĉʈnh lý bɬt tay Giɠ sͭ G=(V,E) là ÿ͓ thʈ vô hɉ͛ng v͛i m cɞnh. Khi ÿó t͕ng tɢt cɠ các bɪc cͧa ÿʆnh trong V bɮng 2m. ¦ deg( v ) 2m v V m 7 ¦ deg( v) 2 m 14 vV Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 18 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ III. Các thuɪt ngͯ cɇ bɠn ™Ĉʈnh lý bɬt tay Chͩng minh? ™ M͗i m͙t cɞnh n͑i v͛i ÿúng hai ÿʆnh, vì thɼ m͙t cɞnh ÿóng góp 2 ÿɇn vʈ vào t͕ng các bɪc cͧa tɢt cɠ các ÿʆnh. Î t͕ng các bɪc cͧa tɢt cɠ các ÿʆnh gɢp ÿôi s͑ cɞnh cͧa ÿ͓ thʈ Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 19 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ III. Các thuɪt ngͯ cɇ bɠn ™Hʄ quɠ cͧa ÿʈnh lý bɬt tay Trong ÿ͓ thʈ vô hɉ͛ng, s͑ ÿʆnh bɪc lɸ là m͙t s͑ chɲn. Các ÿӍnh bұc lҿ: 3, 5, 4, 6 Æ 4 ÿӍnh Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 20 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ III. Các thuɪt ngͯ cɇ bɠn ™Hʄ quɠ cͧa ÿʈnh lý bɬt tay Trong ÿ͓ thʈ vô hɉ͛ng, s͑ ÿʆnh bɪc lɸ là m͙t s͑ chɲn. Chͩng minh:? ™ G͍i L và C lɤn lɉͣt là tɪp các ÿʆnh bɪc lɸ và bɪc chɲn cͧa ÿ͓ thʈ vô hɉ͛ng G= (V, E). Ta có: 2m ¦deg(v) ¦deg(v)  ¦deg(v) vV vL vC + T͕ng 2m chɲn + T͕ng ¦ deg(v) chɲn vC Î T͕ng ¦deg(v) chɲn vL Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 21 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ III. Các thuɪt ngͯ cɇ bɠn ™Kɾ trong ÿ͓ thʈ có hɉ͛ng ƒ Giҧ sӱ u và v là hai ÿӍnh cӫa ÿӗ thӏ có hѭӟng G và e=(u, v) là mӝt cung cӫa ÿӗ thӏ, khi ÿó ta nói: + u và v kӅ nhau, cung e ÿi ra khӓi u và ÿi vào v. + u là ÿӍnh ÿҫu, v là ÿӍnh cuӕi cӫa cҥnh e. v e u Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 22 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ III. Các thuɪt ngͯ cɇ bɠn ™Bán bɪc vào và bán bɪc ra cͧa ÿʆnh ƒ Bán bұc ra (bán bұc vào) cӫa ÿӍnh v trong ÿӗ thӏ có hѭӟng là sӕ cung ra khӓi nó (ÿi vào nó).  ƒ Ký hiӋu: deg (v ) (deg  (v) ) deg  (2) 1, deg  (2) deg  (6) 2 2, deg  (6) 1 Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 23 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ III. Các thuɪt ngͯ cɇ bɠn ™Ĉʈnh lý Giɠ sͭ G=(V,E) là ÿ͓ thʈ có hɉ͛ng v͛i m cung, khi ÿó t͕ng tɢt cɠ các bán bɪc ra bɮng t͕ng tɢt cɠ các bán bɪc vào và bɮng m.  deg (v ) ¦ vV  deg ¦ (v) vV  deg (v ) ¦ m vV  deg ¦ (v ) 7 vV Chɉɇng 1 – Các khái niʄm cɇ bɠn 24 Lý thuyɼt ÿ͓ thʈ