Tài liệu Bài tập giải tích dành cho olympic toán

∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM LỜI NÓI ĐẦU. Trong nhiều năm qua, các cuộc thi Olympic toán quốc gia, quốc tế dành cho học sinh, sinh viên đã trở thành một sân chơi trí tuệ nhằm phát hiện và ươm mầm những tài năng toán học tương lai. Qua một thời sinh viên Đại học sư phạm đã từng nhiều lần tham dự các kỳ thi Olympic toán, bản thân tôi đã học tập được những điều thật quý giá về vấn đề rèn luyện tư duy độc lập, sáng tạo thông qua việc giải các bài toán khó. Hơn thế nữa, xuất phát từ nhiều đam mê và yêu thích với lĩnh vực giải tích toán học, tôi luôn có mong muốn tìm tòi, tổng hợp những bài toán có lời giải đẹp và khó trên những tạp chí toán trong nước và nước ngoài. Trên cơ sở những bài toán sưu tầm được, tôi mở rộng nó theo nhiều hướng khác nhau để được những bài toán mới lạ hơn, hấp dẫn hơn. Nhằm giúp các bạn học sinh , sinh viên đang ôn luyện để chuẩn bị thi Olympic có thêm một tài liệu hỗ trợ cho việc giải toán của mình, tôi xin mạnh dạn viết cuốn sách: Bài tập giải tích dành cho Olympic toán. Mong rằng qua cuốn sách này, các bạn sẽ tìm thấy được niềm vui và những cảm xúc riêng trước những dạng toán, những bài toán hay mà lâu nay trong những giáo trình giải tích căn bản các bạn rất ít gặp. Nội dung cuốn sách này được chia ra làm 7 chương. Từ chương 1 đến chương 5, mỗi chương được chia ra làm 3 phần gồm: Tóm tắt lý thuyết- Các dạng bài tập (có kèm theo lời giải chi tiết)- Bài tập đề nghị. Chương 6 là hệ thống các bài tập tổng hợp- nâng cao cho các chương trên với những định hướng, gợi ý cách giải. Chương 7 là phần giới thiệu các đề thi của Hội Toán học Việt Nam đã ra thi từ năm 1993 đến 2011. Với kinh nghiệm còn non trẻ của một giảng viên trong buổi đầu dạy học, chắc chắn rằng cuốn sách này còn rất nhiều những sai sót, rất mong sự chỉ dạy thêm của quý thầy cô giáo, sự đóng góp của các bạn học sinh-sinh viên yêu thích toán để tôi rút ra được nhiều kinh nghiệm quý báu. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Th.S Huỳnh Tấn Trọng giảng viên khoa Toán-Tin, trường Đại học Quảng Nam đã động viên, ủng hộ và giúp đỡ cho tôi trong việc hoàn thành cuốn sách này. Mọi ý kiến trao đổi xin bạn đọc liên hệ theo địa chỉ sau đây: Văn Phú Quốc, GV. Trường Đại học Quảng Nam, Số 102- Đường Hùng Vương-TP. Tam Kỳ Mail: [email protected] Số điện thoại: 0982 333 443 www.MATHVN.com 1 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM CHƯƠNG 1 VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM DÃY SỐ THỰC VÀ GIỚI HẠN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa dãy số Dãy số là một ánh xạ u :    n  u n Ta thường ký hiệu dãy là  un  hoặc un  . 2. Dãy số hội tụ, phân kỳ 2.1. Định nghĩa 2.1.1. Định nghĩa 1 a) Dãy  un  hội tụ đến a      0, N 0  , n > N 0  un  a   . Ký hiệu: lim un  a hoặc un  a  n    . n  b) Dãy  un  không hội tụ thì được gọi là dãy phân kỳ. 2.1.2. Mệnh đề 1 Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất. 2.1.3. Định nghĩa 2 a) Dãy  un  được gọi là bị chặn trên nếu M : un  M n   . b) Dãy  un  được gọi là bị chặn dưới nếu m : un  m n   . c) Dãy  un  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là   0 : un   n   . 2.1.4. Định nghĩa 3 a) lim un    A  0, N 0  , n > N 0  un  A . n  b) lim un    B  0, N 0  , n> N 0  un  B . n  Nhận xét: Tất cả các dãy số có giới hạn  đều phân kỳ. 2.1.5. Mệnh đề 2 a) Mọi dãy số tiến đến  đều bị chặn dưới. b) Mọi dãy số tiến đến  đều bị chặn trên. 2.2. Tính chất về thứ tự của dãy số hội tụ 2.2.1. Mệnh đề 1 Cho  un  là một dãy số hội tụ có giới hạn là a và hai số thực  ,  . Nếu   a thì N1   : n   , n  N1    un . Nếu a   thì N 2   : n   , n  N 2  un   . Nếu   a   thì n0   : n   , n  n0    un   . 2.2.2. Mệnh đề 2 www.MATHVN.com 2 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM Cho  un  là một dãy số hội tụ. Khi đó: a) Nếu N1   : n   , n  N1  un   thì lim un   n  b) Nếu N 2   : n   , n  N 2  un   thì lim un   . n  c) Nếu n0   : n   , n  n0    un   thì   lim un   . n  2.2.3. Mệnh đề 3 Cho hai dãy số  un  ,  vn  hội tụ Nếu n0   : n   , n  n0  un  vn thì lim un  lim vn n  n  2.2.4. Mệnh đề 4 Cho ba dãy số  un  ,  vn  ,  w n  sao cho: (i) n0  , n  , n  n0  vn  un  w n (ii) lim vn  lim w n  a . n  n  Khi đó: lim un  a . n  2.2.5.Mệnh đề 5 Cho hai dãy số  un  ,  vn  sao cho: (i) n0  , n  , n  n0  un  vn (ii) lim un   . n  Khi đó: lim vn   . n  2.2.6. Mệnh đề 6 Cho hai dãy số  un  ,  vn  sao cho: (i) n0  , n  , n  n0  un  vn (ii) lim un   . n  Khi đó: lim vn   . n  2.3. Các tính chất về đại số của dãy số hội tụ 2.3.1. Mệnh đề 1 Cho hai dãy số  un  ,  vn  và các số  , a , b   . Khi đó, ta có: (i) lim un  a  lim un  a . n  x  un  a lim n  (ii)   lim  un  vn   a  b n  lim v  b  n n (iii) lim un  a  lim un   a n  x  www.MATHVN.com 3 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM lim un  0 (iv)  n  lim unvn  0 n M  0 : vn  M un  a lim n  (v)   lim  un vn   ab n  lim v  b  n n 1 1 (vi) lim vn  b  0  lim  . n  n  v b n un  a lim u a n  (vii)   lim n  . vn  b  0 n vn b lim n  2.3.2. Mệnh đề 2 Cho  un  ,  vn  là hai dãy số thực. lim un   a)  n  lim  un  vn    . n   m : v  m  n    n un   lim n  Đặc biệt: (i)   lim  un  vn    n  lim v   n  n un   lim n  (ii)   lim  un  vn    n  lim v  b n  n lim un   b)  n  lim  un vn    .   0, n0  , n  , n  n0  vn   n un   lim n  Đặc biệt: (i)   lim  un vn    n  lim v   n  n un   lim n  (ii)   lim  un vn    n lim v  b  0  n n 1  0. n  u n c) lim un    lim n  lim un  0 1 d)  n  lim   . n0  , n  , n  n0  un  0 n un www.MATHVN.com 4 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM 2.4. Cấp số cộng, cấp số nhân 2.4.1. Cấp số cộng 2.4.1.1. Định nghĩa u1  x0 Cho dãy số  un  xác định bởi  un1  un  d , n   ( x0 , d là các số hằng số cho trước) được gọi là cấp số cộng. Trong đó x0 gọi là số hạng đầu tiên, d gọi là công sai. 2.4.1.2. Các kết quả a) Cho  un  là cấp số cộng. Khi đó: un  u1   n  1 d n   b) Cho  un  là cấp số cộng. Khi đó: 2un  un1  un 2 n   . c) Cho  un  là cấp số cộng. Khi đó tổng của n số hạng đầu tiên là: n  u1  un  n   2u1   n  1 d  . 2 2 k 1 Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng  2b  a  c . 2.4.2. Cấp số nhân 2.4.2.1. Định nghĩa. u1  x0 Cho dãy số  un  xác định bởi:  un1  un q n   ( x0 , d là các hằng số cho trước) được gọi là cấp số nhân. Trong đó x0 gọi là số hạng đầu tiên, q gọi là công bội. 2.4.2.2. Các kết quả a) Cho  un  là cấp số nhân. Khi đó: un  u1q n1 n   . n sn   u k  b) Cho  un  là cấp số nhân. Khi đó: un21  unun 2 n   . c) Cho  un  là cấp số nhân. Khi đó tổng của n số hạng đầu tiên là: 1  qn sn   uk  u1 q  1. 1 q k 1 Ba số a, b, c khác không theo thứ tự lập thành một cấp số nhân  b 2  ac  0 . 3. Tính đơn điệu 3.1. Dãy đơn điệu 3.1.1. Định nghĩa Cho  un  là một dãy thực. Ta nói rằng: n a)  un  tăng  un  un1 n   . b)  un  giảm  un1  un n   . www.MATHVN.com 5 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM c)  un  tăng thực sự  un  un1 n   . d)  un  giảm thực sự  un1  un n   . e)  un  đơn điệu   un  tăng hoặc giảm. f)  un  đơn điệu thực sự   un  tăng thực sự hoặc giảm thực sự * Nhận xét (i) Nếu các dãy  un  ,  vn  đều tăng (tương ứng giảm) thì dãy  un  vn  tăng ( tương ứng giảm). Nếu các dãy  un  ,  vn  đều tăng (tương ứng giảm) và các số hạng không âm thì dãy  unvn  tăng (tương ứng giảm). (iii) Một dãy số có thể không tăng hoặc không giảm, Ví dụ dãy số n  un  xác định bởi công thức sau đây: un   1 , n   . 3.1.2. Định lý a) Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. b) Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 3.1.3. Mệnh đề a) Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến đến  . b) Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến đến  . * Nhận xét: un   lim n  (i)  un  tăng   . un   lim n  (ii) Nếu  un  tăng và hội tụ đến a thì a  sup un . (ii) n (iii) Nếu  un  tăng thì hiển thiên nó bị chặn dưới bởi u0 . 3.2. Dãy kề nhau 3.2.1. Định nghĩa Hai dãy số  un  và  vn  được gọi là kề nhau khi và chỉ khi: (i)  un  tăng (ii)  vn  giảm (iii) lim  vn  un   0 . n  3.2.2. Mệnh đề 1 Nếu hai dãy số  un  và  vn  kề nhau thì chúng hội tụ và có cùng giới hạn. 3.2.3. Mệnh đề 2 ( Nguyên lý Cantor) Cho hai dãy số  an  ,  bn  sao cho : (i) an  bn n   (ii)  an1 , bn1    an , bn  n   (iii) lim  bn  an   0 n  www.MATHVN.com 6 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM Khi đó tồn tại duy nhất a   sao cho VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM   a , b   a . n n n Một cách diễn đạt gọn hơn: Mọi dãy thắt dần đều có một điểm chung duy nhất. 4. Dãy con 4.1. Định nghĩa Cho dãy số  un  và  nk  là dãy các số tư nhiên tăng thực sự. Khi đó ta gọi  u  là một dãy con của u  . n nk 4.2. Mệnh đề 1 lim un  a    lim unk  a . n  n  4.3. Mệnh đề 2 lim un  a    lim u2 n1  lim u2 n  a . n  n  n  4.4. Định lý Bolzano- Weierstrass. Mọi dãy số bị chặn đều có thể trích ra một dãy con hội tụ. 5. Dãy Cauchy 5.1. Định nghĩa Dãy  un  được gọi là dãy Cauchy nếu   0, n 0   , m, n  n0  xn  xm   . 5.2. Các kết quả a)  un  là dãy Cauchy    0, n0  * , n  n0  xn  xn p   p   . b)  un  là dãy Cauchy  nó hội tụ. 6. Dãy chặn, dãy không đáng kể, dãy tương đương 6.1. Dãy chặn Dãy  vn  “chặn” dãy  un  nếu tồn tại hằng số C > 0 và tồn tại số n0   sao cho un  C vn n  n 0 . Ta viết: un  O  bn  . 6.2. Dãy không đáng kể Dãy  un  “không đáng kể” so với  vn  nếu với mọi   0 tồn tại một số u n   sao cho un   vn n  n  , nghĩa là: lim n  0 . Ta viết: un  o  vn  n  v n 6.3. Dãy tương đương u Dãy  un  “ tương đương” với  vn  nếu un  vn  o  vn  , nghĩa là lim n  1 . n  v n Ta viết un  vn . www.MATHVN.com 7 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM 7. Một số loại dãy quan trọng 7.1. Dãy truy hồi truy hồi cấp 1 với hệ số hằng số a) Dạng tổng quát: un1  aun  b n  , a, b   . b) Công thức + Nếu a  1 thì dãy  un  là một cấp số cộng. + Nếu a  1 thì un  Aa n  B . 7.2. Dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số a) Dạng tổng quát: un2  aun1  bun n   , a , b   . b) Công thức: Xét phương trình đặc trưng của dãy:  2  a  b  0 . + Nếu phương trình này có hai nghiệm phân biệt 1 , 2 thì tồn tại A, B   sao cho: un  A1n  B2n n   . + Nếu phương trình này có nghiệm kép  thì tồn tại A, B   sao cho un  ( A  Bn) n . + Nếu phương trình này có nghiệm phức   x  iy thì ta đặt y    r    x 2  y 2 , tan   ,     ,  . x  2 2 Khi đó   r  cos  isin   và un  r n  Acosn +Bsinn  ( A, B   , n   ) . 7.3. Dãy truy hồi cấp 1 dạng: un1  f  un , n  * Cách làm   un   f   un   + Bước 1: biến đổi để đưa về dạng:  .   un   f   un  , n  + Bước 2: đặt dãy phụ vn    un  . Khi đó ta thu được một dãy truy hồi mới theo vn đơn giản hơn. 7.4. Dãy truy hồi cấp 2 dạng : un1  f  un , un 1 , n  * Cách làm   un     un1   f   un  ,  un1   + Bước 1: biến đổi để đưa về dạng:    un     un1   f   un  ,  un1  , n  + Bước 2: đặt dãy phụ Đặt dãy phụ vn    un  . Khi đó ta thu được một dãy truy hồi mới theo vn đơn giản hơn. www.MATHVN.com 8 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM 8. Giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy số 8.1. Định nghĩa a) Nếu dãy số  un  có một dãy con unk sao cho lim unk  a thì a được   n  gọi là một giá trị riêng của dãy  un  và a có thể hữu hạn hay là  . b) Tập các giới hạn riêng của dãy số bị chặn  un  có giá trị lớn nhất. Giá trị này được gọi là “giới hạn trên” của dãy  an  ký hiệu là limun . n  c) Tập các giới hạn riêng của dãy số bị chặn  un  có giá trị bé nhất. Giá trị này được gọi là “giới hạn dưới” của dãy  an  ký hiệu là lim un . n  8.2. Định lý 1 Mọi dãy số  un  đều có giới hạn trên , giới hạn dưới và limun  limsup un , un1 ,...  n n  .  lim u  liminf u , u ,...   n n 1  n n n 8.3. Định lý 2 Dãy số  un  có giới hạn ( hữu hạn hay  )  limun  lim un . n  n  Khi đó: lim un  limun  lim un . n  n  n  9.Giới thiệu hai định lý quan trọng về dãy số 9.1. Định lý Toeplitz Giả sử đồng thời xảy ra các điều kiện sau đây: (i) Các số Pnk  0 n,k   . n (ii) P nk  1 n  * k 1 (iii) Với mỗi k   cố định, lim Pnk  0 (iv) lim un  a   . n  n  n Khi đó dãy  vn  xác định bởi vn   Pnk un , n    hội tụ và k 1 lim vn  a . n  9.2. Định lý Stolz Nếu hai dãy số  un  ,  vn  đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau: (i) vn1  vn n  * www.MATHVN.com 9 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM (ii) lim vn   n  un  un 1 a n  v  v n n 1 u thì tồn tại lim n  a . n  v n (iii) lim B- CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÍNH TOÁN CÁC TỔNG HỮU HẠN 1.1. Cho dãy số  un  xác định bởi: un  arctan 1 , n 1. 2n 2 Hãy tính tổng S  u1  u2  ...  u2011 . Giải Ta có: un  arctan 1 2  2n  1   2n  1  arctan  arctan 2n 2 4n 2 1   2n  1 2n  1 = arctan  2n  1  arctan  2n  1 , n  1 . Khi đó: S  u1  u2  ...  u2011  arctan 3  arctan1  arctan 5  arctan 3  ...  arctan 4023  arctan 4021  = arctan 4023  arctan1  arctan 4023  . 4 1.2. Cho dãy số  un  xác định bởi : un   n 2  1 n! , n  1 Hãy tính tổng S  u1  u2  ...  u2011 . Giải Ta có: un   n 2  1 n !   n 2  n  n  1 n!  n  n  1!  n  1 n ! , n  1 Khi đó : S  u1  u2  ...  u2011  1.2! 0.1! 2.3! 1.2! ...  2011.2012! 2010.2011!  2011.2012! 1 1.3. Cho dãy số  un  xác định bởi : un  , n 1. 2 n  n 1 Hãy tính tổng S  u1  u2  ...  u2011 . Giải www.MATHVN.com 10 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM 1 Ta có : un  1  n  n2  1 n 1 n 1 n 1 n 1 2 .  2 2 2 2 1  VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM  n 1 n 1     2 2   2 1  n 1 n 1  2 2 n 1 n 1  , n 1 2 2  Khi đó: S  u1  u2  ...  u2011 3 1   2 2 2011 = 1006   2 1.4. Cho dãy số  un  1 0  2011 2009   1006  1005 2 2 1 2012  2011  1 0 . 2 2 xác định bởi : 2  1  ...  2 1  n 1 1  un  1     2  2   1 n  n  n  1 1 1 Hãy tính tổng S    ...  . u1 u2 u2011 Giải , n 1. 2 2 1  n 1 1   1  1 Ta có : un  1     2  2   1  1   1    1   1   n  n  n   n  n Suy ra : 2  1  1 1  1    1  1   1 1  n  n   2 2 2 2 un 1 1     1 1     1  1    1   1   1  1    1  1    n  n  n  n n 2   n  1 = n 2  4 n n 2   n  1 n 2 2 2  1 4  2 n 2   n  1  n 2   n  1 2  ( n  1 ). www.MATHVN.com 11 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM Khi đó : 1 1 1 S    ...  u1 u2 u2011 1  12  22  12  0 2  ...  20112  2012 2  20112  20102 4 20112  20122  1 = . 4 1.5. Cho dãy số  un  xác định bởi : 1 un  , n 1 4 3 n  4 n3  n 2  4 n3  2n 2  n  4 n3  3n 2  3n  1 Hãy tính tổng : S  u1  u2  ...  u2011 . Giải 1 Ta có : un  4 3 n  4 n3  n 2  4 n3  2n 2  n  4 n3  3n 2  3n  1 1 = n 4 n  n 4 n 1  n 14 n  n 1 4 n 1 1 = n 4 n  4 n 1  n 1 4 n  4 n 1   =    n  n 1   4 1 4 n  4 n 1     n 1  4 n n 1  n  n 1  n  =  4 n 1  4 n , n 1 Khi đó : S  u1  u2  ...  u2011  4 2  4 1  4 3  4 2  ...  4 2012  4 2011 = 4 2012  1. -------------------------------------------------------------------------------------------BÀI TẬP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỒNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 1.6. Cho dãy số  un  xác định bởi: u0  3, u1  4   n  1 n  2  un  4  n  1 n  3 un1  4  n  2  n  3 un 2 , n  2 Tính u2011 ? www.MATHVN.com   12 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM Giải Chia hai vế của (*) cho  n  1 n  2  n  3  ta được: un u u  4 n1  4 n 2 . n3 n2 n 1 v0  v1  1 u Đặt vn  n . Khi đó dãy  vn  xác định bởi:  n3 vn  4vn1  4vn2 , n  2 Phương trình đặc trưng có nghiệm là   2 . A 1 A 1  n Do đó: vn   A  Bn  2 . Với v0  v1  1 , ta có hệ:   1 2 A  B  1 B       2 n n 1 n n 1  vn  2  n2  un   n  3 2  n  n  3 2 . Với n = 2011, ta có : u2011  2014.22011  2011.2014.22010 u0  2  1.7. Cho dãy số  un  xác định bởi :  2011un  2010 u  , n 1 n  1  2010 u  2011 n  Tính u2011 ? Giải un  1 1 4021 Ta có : un1  1    2010  . 2010un  2011 un 1  1 un  1 v0  1 1 Đặt vn  . Khi đó dãy  vn  xác định bởi :  un  1 vn 1  4021vn  2010 Khi đó : vn  A.4021n  B . 3  A   A  B 1 2 Với v0  1 , v1  6031 ta có hệ :    4021A  B  6031  B   1  2 3 1 2 Do đó : vn  4021n   un  1  2 2 3.4021n  1 2 3.40212011  1 Với n  2011, ta có : u2011  1   . 3.40212011  1 3.40212011  1 www.MATHVN.com 13 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM u0  253 1.8. Cho dãy số  un  xác định bởi :  . n u  2011 u  2012 , n  1 n  n1 Tính u2011 ? Giải Đặt vn  un  2012n . Khi đó dãy  vn  xác dịnh bởi : v0  u0  1 v0  252    n 1 n n vn1  2011vn , n  1 vn 1  2012  2011 vn  2012   2012 Suy ra: vn  2011vn 1  20112 vn 2  ...  2011n v0  252. 2011n  . Do đó: un  252. 2011n   2012n . Với n  2011, ta có: u2011  252. 20112011   2012 2011 . 1.9. Cho dãy số  un  1  u1  2  xác định bởi :  . 2 2  2 1  un 1  u  ,n2  n 2 Tính u2011 ? Giải Ta có : u1  1   sin , u2  2 6 2  2 1  sin 2  6 2 Chứng minh bằng quy nạp ta được : un  sin  sin  2.6  2n 1.6  . 3.2 2011 ( n = 1, 2, ...) được xác định bởi : Với n  2011, ta có : u2011  sin 1.10. Cho dãy số  un  1  u  1  2     un1  1  un  un2  1  , n  2  2 4n  Tính u2011 ? www.MATHVN.com 14 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM Giải Ta có : u1  1 1  1   cot  1 cot 11 2 2 4 2 2      1 1  1 2 1 1 1  1 1  u2   cot  cot     cot   2 2 4 4 4 4  2 2 4 2 sin    4      2cos 2 c os 1  c os   1 1 8  1 cot  4  1 4 1     4  sin  sin   4 sin  4 2sin  cos  22 2 21  4 4 4 8 8 1  Chứng minh bằng quy nạp ta được : un  n cot n1 . 2 2 1  Với n  2011, ta có : u2011  2011 cot 2012 . 2 2 u1  1  1.11. Cho dãy số  un  xác định bởi:  . un21  2 u  , n  2  n 2un1  Hãy xác định công thức tổng quát của dãy số  un  . Giải Xét hai dãy số  xn  và  yn  xác định như sau :  x1  2, y1  1  2 2  n  2  xn  xn1  2 yn 1  n  2  yn  2 xn1 yn1 x Chứng minh bằng quy nạp : un  n n  1 . yn Vấn đề là bây giờ chúng ta đi tìm công thức tổng quát của hai dãy  xn  ,  yn  là xong. Để ý rằng: x  2 y  x  2 y 2 2 2 2 2 n n 1 n 1  xn  xn1  2 yn1  xn  xn1  2 yn1  n    2  yn  2 xn1 yn 1  2 yn  2 2 xn1 yn 1  xn  2 yn  xn 1  2 yn1    www.MATHVN.com   15 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM 2 2  x  2 y  x  2 y n n 2 n2  n  22 x  2 y  x  2 y n n 2 n2  n 2 n 1 2 n 1  x  2 y  x  2 y  2  2 n 1 1  n .  ...   2 n 1 2n 1 x  2 y  x  2y  2 2 n 1 1  n Đây là một hệ phương trình theo hai ẩn xn , yn .             2 n 1 2n 1   1  2 2  xn  2  2  2     Giải hệ trên ta được:  . 2 n 1 2n 1  1  y  2 2  2 2   n 2 2       2 n 1 xn  2 Vậy ta thu được :  2  2  2  2       2  2   2n 1  2 2 2 n 1 2 n 1 -------------------------------------------------------------------------------------------BÀI TẬP VỀ CHỨNG MINH TÍNH ĐƠN ĐIỆU, BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ 2011 1.12. Cho các số thực dương x1 , x2 ,..., x2011 thỏa mãn điều kiện: x k  2011 . k 1 2011 Đặt un   xkn . Chứng minh rằng dãy  un  tăng. k 1 Giải Với x > 0 ta luôn có:  x n  1  x  1  0 . Điều này tương đương với x n1  x n  x  1 . 2011 2011 2011 Do đó: un1  un   xkn1   xkn   xk  2011  0 . k 1 k 1 k 1 Vậy dãy  un  tăng. 1.13. Cho dãy số  un  được xác định như sau: 20122011 u1  0 , 2011u n  2010un1  n  2,3,... un2010 1 Chứng minh rằng dãy số  un  giảm và bị chặn dưới bởi 2012 . www.MATHVN.com 16 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM Giải 2012 2011 Từ 2011u n  2010un1  , n  2,3,... un2010 1 1  20122011  Suy ra: un   2010un 1   2011  un2010 1  Rõ ràng un  0   . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2011 số dương ta được: 1  2012 2011  1  2012 2011   un1  ...  un1    2012 . un   2010un1   2010       2011  un2011 2011 u 1  n 1 2010   2011 u 1  2012  1 Lại có: n  2010   2010  1  1 (do un  2012 ).   2011 un1 2011  un1  2011 Vậy  un  giảm và bị chặn dưới bởi 2012 . 1.14. Cho dãy số  un  xác định bởi: u0  0  t un1  1  t  un  2011 , t   0,1 , n    1t  un t  Chứng minh dãy  un  hội tụ Giải 2011t Xét hàm số: f  x   1  t  x  1t , x   0,   , t   0,1 . xt 1    Ta có: f   x   1  t  1  2011x t  .   t f   x   0  x  2011 . Lập bảng biến thiên, ta dễ dàng suy ra: f  x   2011t . 1 t n Mà un  f  un 1  n    un  2011 n   hay u  2011 t Do đó: un1  un  1  t  un  2011t u 1t t n  un  tu t 1 t n 1   t  2011  un   0 , t   0,1   Dãy  un  giảm và bị chặn dưới bởi 2011t nên hội tụ. www.MATHVN.com 17 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM 1.15. Cho dãy số  un  xác định bởi: un  n 4 n VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM .C2nn , n  1 . Chứng minh dãy số  un  hội tụ. Giải Lập tỉ số: n  1 n 1 2 .C2 n 2 n 1 un1 n  1 4n  2n  2 !  n! 2n  1 4   n1 . . .  2 un 4 n n n   n  1!  2n ! 2 n  n  1 .C2 n 4n 1 = 1 2  1 n   . Vậy dãy  un  tăng thực sự. 4n  4n Hơn nữa: u 1 1  1 1 1 1 1   ln k 1  ln 1  2  ln 1  2     2  uk 4k  4k 2  4k  4 k  8k  8k 8  k k  1  n 1 n 1 u 1 n 1  1 1  1 n 1  1 1    ln k 1      ln u  ln u      k 1 k    uk 8 k 1  k k  1  8 k 1  k k  1  k 1 k 1 8 1 1  1 1 1  1 1 e Hay ln un  ln u1  1    ln un  ln  1    ln   un  . 8 n  2 8 n  2 8 2 Vậy  un  là dãy hội tụ. 1.16. Cho x1 , x2 ,..., x2011 là các số thực dương cố định. Xét dãy số : n x1n  x2n  ...  x2011 , n   un  2011 Chứng minh rằng dãy  un  tăng . Giải n x1n  x2n  ...  x2011 Đặt vn  . 2011 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovski ta có : n n 1 n 1 n 1 n 1  1  n21 n21 2 2 2 2 2 vn  x x1  x2 x2  ...  x2011 x2011  2  1 2010   2 n 1 n 1 x1n 1  x2n 1  ...  x2011 x1n1  x2n 1  ...  x2011  .  vn1vn1 2010 2010 www.MATHVN.com 18 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM Ta sẽ chứng minh  un  là dãy tăng Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovski ta có : 2 1 x12  x22  ...  x2011 2 2 u1  1.x1  1.x2  ...  1.x2011    u22  u1  u2 . 2  2011 2011 Giả sử rằng un1  un . Khi đó : Ta có : un1  n 1 vn1 n 1 n 1 n n vn1  vn  vn 1  v n n 1 vn2 vn2 n 1  n1  n1 n 1  vn n  n vn  un vn1 vn n Vậy  un  là dãy tăng. BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC u1  0 1.17. Cho dãy số  un  xác định bởi:   un  un1  1 , n  1 2011 Chứng minh rằng: u1  u2  ...  u2011   . 2 Ta có: uk 1  uk  1 , k =1, 2,3,...,n n Suy ra : u 2 k 1 2 k  u  2uk  1   u n 2 k 1 k 1 n n 2 k   u  2 uk  n k 1 k 1 n n  0  un21  2 uk  n   uk   . 2 k 1 k 1 2011 . 2 1  2n  1 1.18. Cho dãy số  un  xác định như sau :  un 2011 Chứng minh rằng : u1  u2  ...  u2011  . 2013 Giải Cho n = 2011 , suy ra : u1  u2  ...  u2011   Ta có : uk  2 2  2k  1  k 1  k    k 1  k 2k  1  n 1  n 2  , n 1 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 2 k  1  k   k  1  2 k  k  1 . www.MATHVN.com 19 ∑ BÀI TẬP GIẢI TÍCH DÀNH CHO OLYMPIC TOÁNMATHVN.COM Suy ra : uk  k 1  k k  k  1  VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM 1 1  . k k 1 k 1 2 k 1  . k 1 i 1 k 2  4k  4 k  2 2011 Cho k  2011 ta được : u1  u2  ...  u2011  . 2013 1.19. Cho  un  là dãy số thực dương thỏa : un2  un  un1 , n  1 . 1 Chứng minh rằng: un  , n  1. n Giải 1 + Với n  1 , u12  u1  u2  u1  u1  1  ( đúng trong trường hợp này) 1 2 1  1 1 1 + Với n  2 , u2  u1  u12    u1     4  2 4 2 ( đúng trong trường hợp này) + Giả sử khẳng định trên đúng đến n. Ta sẽ chứng minh nó đúng đến n  1. Thật vậy! Xét hàm số: f  x   x  x 2 . Do đó : u i 1  1 Rõ ràng f  x  là hàm số tăng trên 0;  .  2 1 1 1 1 1 1 Do đó un1  f  un   f     2   2  . n  1 n  n  1 n  1 n n n 1 Vậy un  , n  1. n u0  1  1.20. Cho dãy  un  xác định bởi:  2012un  un2 . un1  2012  2011 1 Chứng minh rằng:  x2012  . 4023 2 Giải Rõ ràng: 0  un  1 n   . un2 1 1 u  un1 2012 un 1 1   1 Ta có: vn    n     ,  un1 un unun 1 unun1 2012un1 2012  un  2012 2011  www.MATHVN.com 20