Tài liệu bài tập giải tích ngẫu nhiên

Môc lôc 1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt x¸c suÊt vµ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn 3 1.1. C¸c tÝnh chÊt cña hµm ph©n phèi 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. §é ®o h÷u h¹n lµ mét hµm liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. §é ®o h÷u h¹n lµ mét hµm liªn tôc bªn tr¸i . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2. §é ®o h÷u h¹n lµ mét hµm liªn tôc bªn ph¶i . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. §Þnh lý Radon-Nicodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4. C¸c tÝnh chÊt cña kú väng cã ®iÒu kiÖn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5. Quan hÖ gi÷a c¸c kiÓu héi tô 9 1.5.1. NÕu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {ξn } héi tô hÇu ch¾c ch¾n vÒ ξ {ξn } héi tô theo x¸c suÊt vÒ ξ . . 9 1.5.2. §Þnh lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.3. §Þnh lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.4. NÕu {ξn } héi tô theo b×nh ph­¬ng trung b×nh vÒ ξ suÊt vÒ 1.5.5. NÕu th× ξ th× {ξn } héi tô theo x¸c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {ξn } héi tô theo x¸c suÊt vÒ ξ {ξn } héi tô yÕu vÒ ξ . . . . . . . 10 1.5.6. Tiªu chuÈn Cauchy vÒ sù héi tô theo x¸c suÊt . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.7. Tiªu chuÈn Cauchy vÒ sù héi tô h.c.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7. §Þnh lý: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8. Bæ ®Ò Fatou: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.9. §Þnh lý héi tô bÞ chÆn (Lebesgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.10.Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6. §Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu (B.Levy) 1 th× 10 Tr­¬ng Ngäc H¶i Líp: To¸n Gi¶i tÝch K16 1.10.1.BÊt ®¼ng thøc Holder: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2.BÊt ®¼ng thøc Minkovski: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.10.3.BÊt ®¼ng thøc Jensen: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.10.4.BÊt ®¼ng thøc Chebyev: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.11.Bæ ®Ò Borel-Cantelli (luËt 0-1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.12.§Þnh lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.13.§Þnh lý 1.10 (Tiªu chuÈn ®ñ Kolmogorov cho tÝnh liªn tôc) . . . . . . . . . . . 20 1.14.NÕu 2 3 15 {ξt }t∈T lµ qu¸ tr×nh gia sè ®éc lËp th× {ξt }t∈T lµ qu¸ tr×nh Markov . . . . . 21 1.15.Chøng minh c¸c tÝnh chÊt cña thêi ®iÓm Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.16.VÝ dô vÒ thêi ®iÓm Markov 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Martingale trªn kho¶ng thêi gian rêi r¹c vµ liªn tôc 24 2.1. Mét sè vÝ dô vÒ Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. §Þnh lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. §Þnh lý 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4. HÖ qu¶ 2.5 (bÊt ®¼ng thøc Kolmogorov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5. HÖ qu¶ 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6. HÖ qu¶ 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7. Mét sè bµi tËp trang 146 trong s¸ch C¸c m« h×nh x¸c suÊt vµ øng dông . . . . . 29 Qu¸ tr×nh Wiener - TÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito - Ph­¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn 31 3.1. Mét sè bµi tËp trang 165 trong s¸ch C¸c m« h×nh x¸c suÊt vµ øng dông . . . . . 31 3.2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 Ch­¬ng 1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt x¸c suÊt vµ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn 1.1. C¸c tÝnh chÊt cña hµm ph©n phèi a) Kh«ng gi¶m: Fξ (x1 ) ≤ Fξ (x2 ), víi x1 ≤ x2 . b) Liªn tôc tr¸i trªn c) R. Fξ (−∞) = lim Fξ (x) = 0, Fξ (+∞) = lim Fξ (x) = 1 x→−∞ x→+∞ Chøng minh. a) Tr­íc hÕt ta chøng minh tÝnh chÊt: NÕu ThËt vËy, Ta cã: Mµ râ rµng víi Do ®ã: b) Víi th× P (A) ≤ P (B) B = A ∪ (B \ A). Do ®ã: P (B) = P (A) + P (B \ A) ≥ P (A) x1 ≤ x2 th× {ω ∈ Ω : ξ(ω) < x1 } ⊂ {ω ∈ Ω : ξ(ω) < x2 } Fξ (x1 ) ≤ Fξ (x2 ), víi x1 ≤ x2 . x0 ∈ R tïy ý ta ph¶i chøng minh lim− Fξ (x) = Fξ (x0 ) Ta viÕt l¹i LÊy d·y Ta thÊy V× A⊂B −1 x→x0 −1 Fξ (x) = P (ξ (−∞, x)) = P ξ (−∞, x) {xn } tháa x1 < x2 < · · · < xn < · · · < x0 vµ xn % x0 Bn = (−∞, xn ) % B0 = (−∞, x0 ) P ξ −1 lµ ®é ®o ¶nh vµ ®é ®o lµ 1 hµm liªn tôc nªn Fξ (xn ) = P ξ −1 (Bn ) % P ξ −1 (B0 ) = F (x0 ) 3 4 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN c) LÊy d·y Ta thÊy Do ®ã {xn } tháa x1 > x2 > · · · > xn > · · · Cn = (−∞, xn ) & ∅ Fξ (−∞) = lim Fξ (x) = 0 x→−∞ T­¬ng tù lÊy d·y {xn } tháa x1 < x2 < · · · < xn < · · · vµ Do ®ã: P ξ −1 (Dn ) % P ξ −1 (−∞, +∞) = 1 Tøc lµ: Fξ (+∞) = lim Fξ (x) = 1 x→+∞ §é ®o h÷u h¹n lµ mét hµm liªn tôc Gi¶ sö 1.2.1. µ : F → R lµ ®é ®o h÷u h¹n §é ®o h÷u h¹n lµ mét hµm liªn tôc bªn tr¸i Chøng minh. Gi¶ sö cã d·y {An } ⊂ F tháa A 1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · A0 = ∅ Bn = An \ An−1 , n = 1, 2, . . . Ta cã: xn % +∞ Dn = (−∞, xn ) % (−∞, +∞) Th× §Æt xn & −∞ P ξ −1 (Cn ) & P ξ −1 (∅) = 0 Tøc lµ: 1.2. vµ Bi ∞ P n=1 ∩ Bj = ∅, ∀i 6= j ∞ S Bn = An = A n=1 ∞ ∞ X X ⇒ µ(A) = µ( Bn ) = µ(Bn ) n=1 = lim n→∞ µ(Bk ) k=1 = lim µ n→∞ n=1 n X n X k=1 = lim µ(An ) n→∞ Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 Bk
vµ An % A 5 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN 1.2.2. §é ®o h÷u h¹n lµ mét hµm liªn tôc bªn ph¶i A 1 ⊃ A2 · · · ⊃ An ⊃ · · · T A= An = Ak n=1 k≥n T S An = Ak (Ak AC k+1 ) Chøng minh. Gi¶ sö An & A vµ ∞ T Ta cã: k≥n k≥n ⇒ µ(An ) = µ( \ Ak ) + k≥n ∞ X µ(Ak AC k+1 ) k=n = µ(A) + ∞ X µ(Ak AC k+1 ) k=n n→∞ −−−→ µ(A) (V× chuçi ∞ X µ(Ak AC k+1 ) < ∞) n=1 1.3. §Þnh lý Radon-Nicodym P << Q. Khi ®ã, tån t¹i duy nhÊt (theo nghÜa t­¬ng ®­¬ng ngÉu nhiªn ®èi R víi Q) ®¹i l­îng ngÉu nhiªn ξ ≥ 0 : P (A) = ξdQ, ∀A ∈ F Gi¶ sö A Chøng minh. GS • Chøng minh sù tån t¹i ξ: P, Q lµ c¸c ®é ®o h÷u h¹n, P ≥ 0 K = {ξ : Ω → R, R §Æt I = sup ξdQ §Æt kh«ng ©m vµ R ξdQ ≤ P (A), ∀A ∈ F} A ξ∈K Ω Khi ®ã: §Æt ∃{ξn } ⊂ K : lim R n→∞ Ω ξn dQ = I ηn (ω) = max ξn (ω) Ta cã: 1≤k≤n ηn ∈ K. ThËt vËy, ∀A ∈ F , ta cã: A = n P Ak , Ak ∈ F vµ ηn (ω) = ξk (ω) trªn Ak k=1 ⇒ ηn (ω) = n X ξk (ω)χAk k=1 Z ⇒ ηn dQ = A Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 Z X n A k=1 ξk χAk = n Z X k=1 Ak ξk dQ ≤ n X k=1 P (Ak ) = P (A) 6 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN §Æt ξ = sup ξn ≥ ηn Ta thÊy: ηn % ξ n Do ®ã: Z Z ηn dQ ≤ P (A), ∀A ∈ F ξdQ = lim n→∞ A A CÇn CM: Z λ(A) = P (A) − ξdQ = 0, ∀A ∈ F A Ta thÊy λ lµ ®ä ®o h÷u h¹n trªn F Ph¶n chøng, GS vµ λ << Q ∃A ∈ F : λ(A) 6= 0 + ⇒ ∃n ∈ N, Ω+ n ∈ F, Q(Ωn ) > 0 sao cho: 1 + + Q(A ∩ Ω+ n ) ≤ λ(A ∩ Ωn ) = P (A ∩ Ωn ) − n Z ξdQ, ∀A ∈ F A∩Ω+ n XÐt η=ξ+ 1 χ + . Ta cã: n Ωn Z Z 1 ηdQ = ξdQ + Q(A ∩ Ω+ n) n A A Z Z ξdQ + P (A ∩ Ω+ ≤ ξdQ − n) = A∩Ω+ n A Z ξdQ + P (A ∩ Ω+ n) ≤ A\Ω+ n + ≤ P (A \ Ω+ n ) + P (A ∩ Ωn ) = P (A) ⇒ η ∈ K. V« lý v× Z Z 1 Q(Ω+ n) n Ω Z Z > ξdQ = sup ξn dQ ≥ ηdQ = Ω ξdQ + n Ω Ω Z ξn dQ ≥ lim > sup Ω M©u thuÉn víi I = sup ξdQ. ξ∈K Ω VËy λ(A) = 0, ∀A ∈ F Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 ξn dQ = I n→∞ n R Z Ω Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN •ξ R ξdQ, ∀A ∈ F lµ duy nhÊt (theo nghÜa t­¬ng ®­¬ng ngÉu nhiªn). R R ThËt vËy, GS ∃ξ1 , ξ2 tháa ξ1 dQ = ξ2 dQ = P (A), ∀A ∈ F tháa P (A) = A A A Z ⇔ (ξ1 − ξ2 )dQ = 0 ⇔ ξ1 = ξ2 (h.k.n) A 1.4. a) C¸c tÝnh chÊt cña kú väng cã ®iÒu kiÖn E(ξ|G) ≥ 0, ∀ξ ≥ 0; b) NÕu c lµ h»ng sè th× c) E(aξ1 + bξ2 |G) = aE(ξ1 |G) + bE(ξ2 |G) (P-h.c.c); G -®o ®­îc vµ ∃E(ξη), ∃E(η) th× E(ξη|G) = ξE(η|G) (P-h.c.c); d) NÕu ξ e) NÕu G1 ⊂ G2 f) NÕu G g) E(c|G) = c (P-h.c.c); lµ vµ ξ th× E[E(ξ|G2 )|G1 ] = E(ξ|G1 ) (P-h.c.c); ®éc lËp th× E(ξ|G = Eξ E(ξ|Gmin ) = Eξ, E(ξ|Gmax ) = ξ ; (P-h.cc); Gmin = {∅, Ω}, Gmax = 2Ω . víi Chøng minh. a) Ta cã: ∀A ∈ G th× R A E(ξ|G)dP = R A ξdP ≥ 0 ⇒ E(ξ|G) ≥ 0 (P-h.c.c) b) Ta cã: c) R ∀A ∈ G E(c|G)dP = A R A cdP, ∀A ∈ G ⇒ E(c|G) = c (P-h.c.c). ta cã: Z Z E(aξ1 + bξ2 |G)dP = A (aξ1 + bξ2 )dP Z = a ξ1 dP + b ξ2 dP A ZA Z = a E(ξ1 |G)dP + b E(ξ2 |G)dP A Z A = [aE(ξ1 |G) + bE(ξ2 |G)] A Z A Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 7 8 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN ⇒ E(aξ1 + bξ2 |G) = aE(ξ1 |G) + bE(ξ2 |G) (P-h.c.c) • Gi¶ sö ξ, η ≥ 0 : n P * TH1: ξ = xk χAk , trong ®ã xk ∈ R, Ak = {ω : ξ(ω) = xk } ⊂ G d) k=1 Khi ®ã: ∀A ∈ G ta cã: Z ξE(η|G)dP = A = Z X n xk χAk E(η|G)dP = A k=1 n X Z xk = Z xk ηdP = ξηdP = n X Z xk k=1 Z X n E(η|G)dP A∩Ak k=1 A∩Ak k=1 Z X n n X χAk ηdP = Z X n A xk χAk ηdP A k=1 E(ξη|G)dP A k=1 A k=1 ⇒ ξE(η|G) = E(ξη|G)(P − h.c.c) * TH2: ξ lµ G−®o ®­îc bÊt kú. Khi ®ã: ∃{ξn } bËc thang tháa ξn → ξ . Theo TH1 ë trªn th× Mµ ξn E(η|G) = E(ξn η|G) ξn E(η|G) → ξE(η|G) E(ξn η|G) → E(ξη|G) Do tÝnh duy nhÊt cña giíi h¹n • Tr­êng hîp ξ, η ⇒ ξE(η|G) = E(ξη|G) (P-h.c.c) tïy ý: ξ = ξ+ − ξ− η = η+ − η− E(ξη|G) = E[(ξ + − ξ − )(η + − η − )|G)] = E(ξ + η + |G) − E(ξ + η − |G) − E(ξ − η + |G) + E(ξ − η − |G) = ξ + E(η + |G) − ξ + E(η − |G) − ξ − E(η + |G) + ξ − E(η − |G) = ξ + E[(η + − η − )|G] − ξ − E[(η + − η − )|G] = (ξ + − ξ − )E[(η + − η − )|G] = ξE(η|G) A ∈ G2 R R R R E[E(ξ|G2 )|G1 ]dP = A E(ξ|G2 )dP = A ξdP = A E(ξ|G1 )dP A e) ∀A ∈ G1 ta cã: ⇒ E[E(ξ|G2 )|G1 ] = E(ξ|G1 ) (P-h.c.c) Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 9 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN G ∀A ∈ G th× ξ vµ χA ®éc lËp. R R R Do ®ã: E(ξ|G)dP = A ξdP = A ξχA dP = E(ξχA ) = EξEχA A R R R = Eξ Ω χA dP = Eξ A dP = A EξdP f) V× vµ ξ ®éc lËp nªn ⇒ E(ξ|G) = Eξ A = ∅ hoÆc A = Ω R R R • Víi A = ∅ th×: A E(ξ|Gmin )dP = A ξdP = 0 = A EξdP R R R • Víi A = Ω th×: A E(ξ|Gmin )dP = A ξdP = Eξ = A EξdP g) Víi A ∈ Gmin (P-h.c.c) th× ⇒ E(ξ|Gmin ) = Eξ (P-h.c.c) R R ∀A ∈ Gmax ta cã: A E(ξ|Gmax )dP = A ξdP V× 1.5. ξ lµ Gmax − ®o ®­îc nªn E(ξ|Gmax ) = ξ (P-h.c.c) Quan hÖ gi÷a c¸c kiÓu héi tô {ξn } lµ d·y ®¹i l­îng ngÉu nhiªn, ξ 1.5.1. NÕu lµ ®¹i l­îng ngÉu nhiªn {ξn } héi tô hÇu ch¾c ch¾n vÒ ξ th× {ξn } héi tô theo x¸c suÊt vÒ ξ Ta cã: Chøng minh. An = §Æt ∞ S P[ ∞ S {|ξk − ξ| ≥ }] → 0, ∀ > 0 k=n {|ξk − ξ| ≥ } k=n Bn = {|ξn − ξ| ≥ } ⊂ An Ta thÊy Do ®ã: 0 ≤ P (Bn ) ≤ P (An ) → 0 ⇒ lim Bn = 0. n→∞ VËy P ξn − → ξ. Note. §iÒu ng­îc l¹i nãi chung kh«ng ®óng. 1.5.2. NÕu §Þnh lý P ξn − →ξ vµ ξn & (%) th× ξn → ξ (P-h.c.c) ThËt vËy, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta xÐt d·y ξn Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 P P P &, − → 0 (v× nÕu ξn &, − → ξ th× ξn −ξ &, − → 0) 10 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN Ph¶n chøng, gi¶ sö ξn 9 0(P − h.c.c) S ⇒ ∃ > 0 : P { {ξk ≥ }} > δ > 0 S {ξk ≥ } ⊂ {ξn ≥ } k≥n V× {ξn } & nªn k≥n Do ®ã: P {ξn ≥ } ≥ P ( S P {ξk ≥ }) > δ > 0 (M©u thuÉn víi ξn − → ξ)  k≥n 1.5.3. §Þnh lý P ∃{ξnk } ⊂ {ξn } : ξnk → ξ(P − h.c.c) ∞ P ThËt vËy: LÊy {n } & 0; {δn } : δn < ∞ NÕu ξn − →ξ th× n=1 V× P ξn − →ξ §Æt Rj = ⇒ P[ nªn ta chän ®­îc ∞ S nk {|ξnk − ξ| ≥ k } = lim P ( j→∞ ≤ lim ∞ P j→∞ k=j ∞ S ∞ T P {|ξnk − ξ| ≥ k } ≤ δk {|ξnk − ξ| ≥ k } & k=j ∞ S ∞ T j=1 k=j ⇒ P[ sao cho: ∞ S {|ξnk − ξ| ≥ k } k=j P {|ξnk − ξ| ≥ k } ≤ lim ∞ P j→∞ k=j δk = 0 {|ξnk − ξ| ≥ k } = 0. Tøc lµ ξnk → ξ(P − h.c.c)  j=1 k=j 1.5.4. NÕu {ξn } héi tô theo b×nh ph­¬ng trung b×nh vÒ theo x¸c suÊt vÒ Chøng minh. GS ξ th× {ξn } ξ ξ = l.i.mn→∞ ξn . Tøc lµ E(|ξn − ξ|2 ) = R n→∞ |ξn − ξ|2 dP −−−→ 0 Ω  tïy ý, ®Æt Bn = {ω : |ξn − ξ| ≥ } R R 2 Khi ®ã: E(|ξn − ξ| ) = |ξ − ξ|2 dP + Bn C |ξn − ξ|2 dP Bn n R R ≥ Bn |ξn − ξ|2 dP ≥ 2 Bn dP = 2 P (Bn ) Víi ⇒ lim Bn = 0 n→∞ VËy P ξn − →ξ 1.5.5. NÕu Chøng minh. Víi {ξn } héi tô theo x¸c suÊt vÒ ξ Ta cÇn chøng minh th× {ξn } héi tô yÕu vÒ ξ Fn (x) → F (x), ∀x ∈ C(F ) x0 , x00 ∈ R tháa x0 < x < x00 . Ta cÇn chøng minh F (x0 ) ≤ lim Fn (x) ≤ lim Fn (x) ≤ F (x00 ) Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 (∗) héi tô 11 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN Tõ (*) cho x0 % x, x00 & x ta ®­îc: Fn (x) → F (x) Nh­ vËy chøng minh ®­îc (*) lµ xong. ThËt vËy F (x0 ) = P {ξ < x0 } = P {ξ < x0 ; ξn < x} + P {ξ < x0 ; ξn ≥ x} ≤ P {ξn < x} + P {ξ < x0 ; ξn ≥ x} = Fn (x) + P {ξ < x0 ; ξn ≥ x} Ta thÊy Suy ra P lim P {ξ < x0 ; ξn ≥ x} ≤ lim P {|ξn − ξ| < x − x0 } = 0 (Do ξn − → ξ) F (x0 ) ≤ lim Fn (x) T­¬ng tù, ta xÐt Fn (x) = P {ξn < x} = P {ξn < x; ξ < x00 } + P {ξn < x; ξ ≥ x00 } ≤ F (x00 ) + P {|ξn − ξ| > x0 − x0 } ⇒ lim Fn (x) ≤ F (x00 ) 1.5.6.  Tiªu chuÈn Cauchy vÒ sù héi tô theo x¸c suÊt §Þnh nghÜa. D·y {ξn } ®­îc gäi lµ d·y Cauchy theo x¸c suÊt nÕu: ∀ > 0 P {|ξn − ξm | > } → 0 khi n, m → ∞ §Þnh lý. D·y {ξn } héi tô theo x¸c suÊt khi vµ chØ khi nã lµ d·y Cauchy theo x¸c suÊt. Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö P ξn − → ξ . Khi ®ã, ∀ > 0, ta cã:  n,m→∞  P {|ξn − ξm | > } ≤ P {|ξn − ξ| > } + P {|ξm − ξ| > } −−−−→ 0 2 2 §iÒu kiÖn ®ñ. Ta thõa h­ëng mét kÕt qu¶: NÕu tån t¹i d·y con {ξn } lµ d·y Cauchy theo x¸c suÊt th× {ξnk } héi tô theo x¸c suÊt ®Õn biÕn ngÉu nhiªn ξ nµo ®ã. Tõ bÊt ®¼ng thøc:   P {|ξn − ξ| > } ≤ P {|ξn − ξnk | > } + P {|ξnk − ξ| > } 2 2 Cho n, nk → ∞ ta suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 12 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN 1.5.7. Tiªu chuÈn Cauchy vÒ sù héi tô h.c.c {ξn } ®­îc gäi lµ d·y Cauchy P-h.c.c nÕu: ∀ > 0 §Þnh nghÜa. D·y P { sup |ξk − ξl | ≥ } → 0 khi n → ∞ k,l≥n §Þnh lý. D·y {ξn } héi tô P-h.c.c khi vµ chØ khi {ξn } lµ d·y Cauchy theo nghÜa P-h.c.c Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö h.c.c ξn −−→ ξ . Ta cã:   P { sup |ξk − ξl | ≥ } ≤ P {sup |ξk − ξ| ≥ } + P {sup |ξl − ξ| ≥ } 2 2 k,l≥n k≥n l≥n V× h.c.c ξn −−→ ξ nªn n→∞ n→∞ P {sup |ξk − ξ| ≥ 2 } −−−→ 0 vµ P {sup |ξl − ξ| ≥ 2 } −−−→ 0 k≥n Suy ra l≥n n→∞ P { sup |ξk − ξl | ≥ } −−−→ 0 k,l≥n §iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö {ξn } lµ d·y Cauchy theo nghÜa P-h.c.c. Ta cã mét kÕt qu¶: NÕu {ξn } lµ d·y Cauchy theo nghÜa P-h.c.c th× víi x¸c suÊt 1, c¸c {ξn (ω)} lµ d·y Cauchy trong R Do ®ã: ˜ ξn (ω) → ξ(ω) nµo ®ã. §Æt ( ˜ ξ(ω) ξ(ω) = 0 Khi ®ã: 1.6. NÕu ω t¹i ω t¹i mµ giíi h¹n tån t¹i mµ giíi h¹n kh«ng tån t¹i h.c.c ξn −−→ ξ §Þnh lý héi tô ®¬n ®iÖu (B.Levy) G ⊂ F, ξn % ξ (P-h.c.c) vµ M ξ1− < ∞ (hoÆc ξn & ξ E(ξn |G) % E(ξ|G) (hoÆc E(ξn |G) & E(ξ|G) t­¬ng øng) Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 (P-h.c.c) vµ M ξ1+ < ∞) th× 13 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN • Chøng minh. Ta cã: Gi¶ sö ξn % ξ vµ M ξ1− < ∞ 0 ≤ ξn + ξ1− % ξ + ξ1− , ∀n ≥ 1 ξ1 ≤ ξ2 ≤ · · · ξn ≤ · · · ThËt vËy, V× vµ ξ1− = max{−ξ1 , 0} nªn +) Víi ξ1− = 0 ⇒ ξ1 ≥ 0 ⇒ ξn + ξ1− = ξn ≥ ξ1 ≥ 0, ∀n ≥ 1 +) Víi ξ1− = −ξ1 ⇒ ξ1 < 0 ⇒ ξn + ξ1− = ξn − ξ1 ≥ 0, ∀n ≥ 1 ∀A ∈ G ta cã: Z Z lim E(ξn |G) + n→∞ A E(ξ1− |G)]dP Z = [ lim E(ξn |G) + E(ξ1− |G)]dP n→∞ A A Z = lim E[(ξn + ξ1− )|G]dP n→∞ A Z = lim n→∞ E[(ξn + ξ1− )|G]dP A Z lim (ξn + ξ1− )dP A Z = (ξ + ξ1− )dP = n→∞ A Z = E[(ξ + ξ1− )|G]dP A Z Z E(ξ1− |G)dP E(ξ|G)dP + = A A ⇒ lim E(ξn |G) = E(ξ|G) (P-h.c.c) n→∞ • 1.7. Tr­êng hîp ξn & ξ (P-h.c.c) vµ M ξ1+ < ∞) chøng minh t­¬ng tù. §Þnh lý: {ξα }α∈U kh¶ tÝch ®Òu khi vµ chØ khi ∃η ≥ 0 kh¶ tÝch: |ξα | ≤ η Chøng minh. §iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö Khi ®ã, ta cã {ξα }α∈U kh¶ tÝch ®Òu. sup E|ξα | < +∞. Do ®ã, ta chän η = ξα0 α §iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö Ta cã: ∃η ≥ 0 kh¶ tÝch: |ξα | ≤ η ∈ L |η(ω)| ≥ |ξα (ω)| > x Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 mµ Eα0 = sup E|ξα | lµ tháa. α Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN ⇒ {ω : |ξα (ω)| > x} ⊂ {ω : |η(ω)| > x} R R x→∞ ⇒ sup |ξα |dP ≤ |η|dP −−−→ 0 α∈U {|ξα |>x} {|η|>x} R x→∞ ⇒ sup |ξα |dP −−−→ 0 (V× 14 {|η| > x} → ∅ khi x → ∞) α∈U {|ξα |>x} {ξα }α∈U VËy 1.8.  kh¶ tÝch ®Òu. Bæ ®Ò Fatou: {ξn }n≥1 NÕu d·y kh¶ tÝch ®Òu th×: a) E(lim ξn |G) ≤ lim E(ξn |G) b) E(lim ξn |G) ≥ lim E(ξn |G) Chøng minh. a) Ta cã: V× inf ξm % lim ξn (*) m≥n {ξn }n≥1 kh¶ tÝch ®Òu nªn ∃η ≥ 0 kh¶ tÝch: |ξn | ≤ η ⇔ −η ≤ ξn ≤ η ξn ≥ −η ⇒ ξn− ≤ (−η)− = η . Do ®ã: ( inf ξm )− ≤ (−η)− Víi m≥n − ⇒ E( inf ξm ) ≤ Eη < +∞ (**) m≥n Tõ (*) vµ (**), theo ®Þnh lý B.Levy ta cã: lim E( inf ξm |G) = E(lim ξn |G) n Mµ m≥n lim E( inf ξm |G) ≤ lim E(ξn |G) VËy n m≥n n E(lim ξn |G) ≤ lim E(ξn |G) b) T­¬ng tù ta còng cã: sup ξm & lim ξn m≥n (sup ξm )+ ≤ η + = η ⇒ E(sup ξm )+ ≤ Eη < +∞ m≥n Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 15 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN ⇒ lim E(sup ξm |G) = E(lim ξn |G) m≥n Vµ lim E(sup ξm |G) ≥ lim E(ξn |G) m≥n VËy 1.9. E(lim ξn |G) ≥ lim E(ξn |G) §Þnh lý héi tô bÞ chÆn (Lebesgue) NÕu d·y ξn → ξ Chøng minh. §Æt (P-h.c.c) vµ ∃η ∈ L1 : |ξn | ≤ η th× h.c.c E(|ξn − ξ||G) −−→ 0. Yn = sup |ξm − ξ| m≥n Ta thÊy: Yn & 0 0 ≤ Yn ≤ 2η ⇒0≤ R E(Yn |G)dP = Ω R Yn dP → 0 Ω ⇒ E(Yn |G) → 0 (P-h.c.c) MÆt kh¸c: |ξn − ξ| ≤ sup |ξm − ξ| = Yn m≥n VËy E(|ξn − ξ||G) → 0 (P-h.c.c). 1.10. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc Cho c¸c ®¹i l­îng ngÉu nhiªn 1.10.1. ξ, η . BÊt ®¼ng thøc Holder: E(|ξη|) ≤ kξkp .kηkq , ∀p, q > 1 : 1 1 + = 1, p q 1 víi kξkp = [E(|ξ|p )] p • Tr­íc hÕt ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau: 1 1 a b 1 1 + ≥ a p .b q ; a, b > 0, p, q > 1 : + = 1 p q p q p ThËt vËy, ta thÊy hµm f (x) = x , víi p > 1 lµ hµm låi trªn (0, +∞) (1) Chøng minh. (1.1) ⇒ f (x) − f (1) ≥ f 0 (1)(x − 1), ∀x > 0 ⇔ xp − 1 ≥ p(x − 1) a p1 Thay x = ( ) , a, b > 0 vµo (1.2) ta ®­îc: b Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 (1.2) 16 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN a a p1 − 1 ≥ p[( ) − 1] b b ⇔ 1 1 1 1 1 1 a b a 1 a b 1 1 − ≥ a p .b1− p − b ⇔ + (1 − )b ≥ a p .b1− p ⇔ + ≥ a p .b q (§Æt = 1 − ) p p p p p q q p • Chøng minh bÊt ®¼ng thøc Holder: +) Gi¶ sö kξkp .kηkq 6= 0 : E|ξη| ≤1 kξkp .kηkq  |ξ| p  |η| q ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (1.1) cho a = ,b = kξkp kηkq (1) ⇔ ta ®­îc kÕt qu¶: 1  |ξ| p 1  |η| q |ξ|.|η| + ≥ p kξkp q kηkq kξkp .kηkq ⇒ Hay +) NÕu E|ξ.η| 1 E(|ξ|p ) 1 E(|η|q ) p + q ≥ p (kξkp ) q (kηkq ) kξkp .kηkq 1= E|ξ.η| 1 E(|ξ|p ) 1 E(|η|q ) + ≥ p q p E(|ξ| ) q E(|η| ) kξkp .kηkq kξkp .kηkq = 0 ⇔ E(|ξ|p )E(|η|q ) = 0 Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö E(|ξ|p ) = 0 ⇒ ξ = 0(P − h.c.c) ⇒ E|ξ.η| = 0(P − h.c.c) (Lóc ®ã x¶y ra ®¼ng thøc) 1.10.2. BÊt ®¼ng thøc Minkovski: kξ + ηkp ≤ kξkp + kηkp , ∀p ≥ 1. Chøng minh. (2) Tr­íc hÕt ta cã bÊt ®¼ng thøc sau (sÏ chøng minh sau): (a + b)p ≤ 2p−1 (ap + bp ), ∀a, b > 0, p ≥ 1 Trong bÊt ®¼ng thøc (2.1), lÊy a = |ξ|, b = |η| ta ®­îc: |ξ + η|p ≤ (|ξ| + |η|)p ≤ 2p−1 (|ξ|p + |η|p ) • Víi p = 1 th× (2.2) ⇒ E|ξ + η| ≤ E(|ξ|p ) + E(|η|p ) (chÝnh lµ (2) trong TH p =1) • Víi p > 1 : |ξ + η|p = |ξ + η|.|ξ + η|p−1 ≤ |ξ||ξ + η|p−1 + |η||ξ + η|p−1 Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 (2.1) (2.2) 17 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN ⇒ E|ξ + η|p ≤ E(|ξ||ξ + η|p−1 ) + E(|η||ξ + η|p−1 ) 1 1 + = 1 vµ ¸p dông b®t Holder ta ®­îc: LÊy q > 1 : p q 1 (2.3) 1 E(|ξ||ξ + η|p−1 ) ≤ (E|ξ|p ]) p .(E|ξ + η|(p−1)q ) q = 1 1 1 1 ≤ (E|ξ|p ) p .(E|ξ + η|p ) q = ( v× + = 1 ⇔ p = (p − 1)q) p q 1 p 1 1 ≤ (E|ξ|p ) p .(E|ξ + η|p ) p . q = kξkp (kξ + ηkpp ) q 1 T­¬ng tù: Vµ E(|η||ξ + η|p−1 ) ≤ kηkp (kξ + ηkpp ) q E|ξ + η|p = kξ + ηkpp Thay vµo (2.3), ta ®­îc: 1 kξ + ηkpp ≤ (kξkp + kηkp )(kξ + ηkpp ) q  1− 1q 1 1 ⇔ kξ + ηkpp ≤ kξkp + kηkp (1 − = ) q p Hay kξ + ηkp ≤ kξkp + kηkp Cuèi cïng ta CM bÊt ®¼ng thøc (2.1) ë trªn XÐt hµm sè f (x) = (a + x)p − 2p−1 (ap + xp ), x > 0 DÔ dµng thÊy f (x) ≤ f (a) = 0, ∀x > 0 Do ®ã víi x = b th× (a + b)p ≤ 2p−1 (ap + bp ) 1.10.3. BÊt ®¼ng thøc Jensen: Cho hµm f : R −→ R låi, ξ ∈ L1 , E(|f (ξ)|) < ∞.Khi ®ã: f (Eξ) ≤ Ef (ξ). Chøng minh. LÊy f (x) − f (x0 ) ≥ k(x0 )(x − x0 ), trong ®ã: ( f 0 (x0 − ) nÕu ∃f 0 (x0 − ) k(x0 ) = f 0 (x0 + ) nÕu ∃f 0 (x0 + ) V× f lµ hµm låi nªn ta cã x0 = Eξ, x = ξ th× ta ®­îc: f (ξ) − f (Eξ) ≥ k(Eξ)(ξ − Eξ) ⇒ E[f (ξ) − f (Eξ)] ≥ k(Eξ)E(ξ − Eξ) = 0 VËy Ef (ξ) ≥ f (Eξ) Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 18 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN 1.10.4. BÊt ®¼ng thøc Chebyev: P {|ξ| > a} ≤ E|ξ| , ∀ξ ∈ L1 , ∀a > 0 a Chøng minh. Z Z Ta cã: |ξ|dP = E|ξ| = Ω ⇒ P {|ξ| > a} ≤ Z |ξ|dP + {|ξ|>a} {|ξ|≤a} R Ef |ξ| = {|ξ|>a} Ef |ξ| , ∀ξ ∈ L1 , ∀a > 0 f (a) R f |ξ|dP + {|ξ|>a} 1.11. |ξ|dP ≥ a.P {|ξ| > a} f : R+ −→ R+ , kh«ng gi¶m th× P {|ξ| > a} ≤ P {|ξ| > a} ≤ |ξ|dP ≥ E|ξ| a Tæng qu¸t: NÕu ThËt vËy, Z R f |ξ|dP ≥ {|ξ|≤a} f |ξ|dP ≥ f (a).P {|ξ| > a} ⇒ {|ξ|>a} Ef |ξ| f (a) Bæ ®Ò Borel-Cantelli (luËt 0-1) Cho d·y c¸c biÕn cè {An }n≥1 ⊂ F, A∗ := lim An := ∞ S ∞ T Am . Khi ®ã: n=1 m=n a) ∞ P P (An ) < ∞ ⇒ P (A∗ ) = 0. n=1 b) NÕu thªm gi¶ thiÕt d·y {An }n≥1 ®éc lËp th×: ∞ P P (An ) = ∞ ⇒ P (A∗ ) = 1. n=1 Chøng minh. a) Ta cã { ∞ S Am }n≥1 m=n P (A∗ ) = lim P ( n→∞ ∞ S m=n Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 lµ d·y gi¶m nªn Am ) ≤ lim ∞ P n→∞ m=n P (Am ) = 0 (V× ∞ P n=1 P (An ) < ∞) 19 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN {An }n≥1 b) Gi¶ sö ⇒ P( ∞ T Am ) = ⇒ {An }n≥1 ®éc lËp ∞ Q ®éc lËp P (Am ) Do ®ã ta cã: m=n m=n 0 ≤ P( ∞ \ Am ) = ≤ P (Am ) = m=n m=n ∞ Y ∞ Y −P (Am ) e ∞ Y (1 − P (Am )) m=n − (∗) = e ∞ P P (Am ) m=n = e−∞ = 0 m=n ⇒ P( ∞ \ Am ) = 0 hay P ( m=n ((*) sö dông bÊt ®¼ng thøc 1.12. Am ) = 1 ⇒ P (A∗ ) = 1 m=n −x 1 − x ≤ e , 0 ≤ x ≤ 1) §Þnh lý Fubini {ξt }t∈T Cho qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn a) ∞ [ ξ(t, ω) ®o ®­îc theo t ∈ T (P-h.c.c); b) NÕu ∃Eξt , ∀t th× mt := Eξt c) NÕu S ®o ®­îc trªn ®o ®­îc. Khi ®ã: ®o ®­îc theo t; T = [0, +∞) vµ R E|ξt |dt < ∞ th×: S R   |ξt |dt < ∞(P − h.c.c) RS R   E|ξt |dt = E |ξt |dt S S Chøng minh. a) Ta cã: {(t, ω) ∈ T × Ω : ξ(t, ω) ∈ B} ∈ BT × F, ∀B ∈ B Do ®ã, víi mçi ω cè ®Þnh th× {t ∈ T : ξ(t, ω) ∈ B} ∈ BT , ∀B ∈ B ⇒ ξ(•, ω) : T −→ R ®o ®­îc (theo t). b) m : T → R, t 7→ mt := Eξt ∀B ∈ B : {t ∈ T : mt ∈ B} = {t ∈ T : R Ω Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 ξt dP ∈ B} ∈ B 20 Ch­¬ng1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ LTXS vµ QTNN c) R • CM |ξt |dt < ∞ (P-h.c.c) (3.1) S R E|ξt |dt < ∞ ⇒ E|ξt | < ∞ (P-h.c.c) S ⇒ |ξ| < ∞ (P-h.c.c), ∀t ∈ S, ω ∈ Ω R ⇒ |ξt |dt < ∞ (P-h.c.c) S R R • CM E|ξt |dt = E |ξt |dt S (V× S (3.2) S ®o ®­îc trªn Ph©n ho¹ch ®o¹n T = [0, +∞) nªn S = [a, b], víi 0 ≤ a ≤ b < +∞ [a, b] thµnh n ®o¹n nhá: a = x0 < x1 = a + h < · · · < xn = a + nh = b, V× R víi h= b−a n |ξt |dt < ∞(P − h.c.c) nªn: S n 1X n→∞ ξ(a + ih, •) −−−→ In = h i=1 L¹i cã: R n P 1 Eξ(a n→∞ h i=1 Eξt dt = lim S 1.13. ξt dt S E|ξt |dt < ∞ nªn: S R Z R 
+ ih, •) = lim EIn = E lim In = E ξt dt n→∞ n→∞ S §Þnh lý 1.10 (Tiªu chuÈn ®ñ Kolmogorov cho tÝnh liªn tôc) NÕu víi T = [a, b], ∃α > 0,  > 0, c > 0 : ∀t, t + ∆t ∈ [a, b], E(|ξt+∆t − ξt |α ) ≤ c|∆t|1+ th× qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn Chøng minh. {ξt }t∈T cã ®¹i diÖn liªn tôc. §Ó gi¶i quyÕt bµi nµy ta ¸p dông ®Þnh lý phÇn 2.2.2 trang 62 (C¸c m« h×nh x¸c suÊt vµ øng dông, phÇn III, NguyÔn Duy TiÕn). ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Markov, ta cã: P {|ξt+∆t − ξt | ≥ d} ≤ LÊy g(t) = |t|β , 0 < β < Ta thÊy c|∆t|1+ E(|ξt+∆t − ξt |α ) ≤ dα dα (1)  α g(t) & khi t & vµ ∞ X −n g(2 n=1 Tr­¬ng Ngäc H¶i - K16 ∞  X 1 n )= < ∞ (v× víi β > 0 2β n=1 th× 1 < 1) 2β