Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay Buổi 1: DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT I. MỤC TIÊU KT: - Nắm được quy luật của dãy số. - Tính toán trên dãy số. KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giá trị của dãy số TĐ: Cẩn thận, sáng tạo. II. CHUẨN BỊ Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ Hs: Dụng cụ học tập. III. TIẾN TRÌNH 1. Ổn định: 2. Kiểm tra: (Trong giờ) 3. Bài mới: Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, ... b) 3, 24, 63, 120, 195, ... c) 1, 3, 6, 10, 15, ... d) 2, 5, 10, 17, 26, ... e) 6, 14, 24, 36, 50, ... f) 4, 28, 70, 130, 208, ... g) 2, 5, 9, 14, 20, ... h) 3, 6, 10, 15, 21, ... i) 2, 8, 20, 40, 70, ... Hướng dẫn: a) n(n + 2) f) (3n – 2)(3n+1) b) (3n – 2)3n n(n  1) c) 2 n(n  3) 2 g) d) 1 + n2 (n  1)(n  2) 2 h) e) n(n + 5) n(n  1)(n  2) 2 i) Bài 2: Tính: a, A = 1 + 2 + 3 +… + (n – 1) + n b, A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100 Nguyeãn Thaønh Chung 1 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay Hướng dẫn: a) A = 1+2+3+…+(n – 1)+n A = n (n+1):2 b) 3A = 1.2.3 + 2.3(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) +...+ 99.100.(101 – 98 ) 3A = 1.2.3+2.3.4 – 1.2.3+3.4.5 – 2.3.4 +...+ 99.100.101 – 98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n – 1) n A = (n – 1)n(n + 1): 3 Bài 3: Tính: A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 Hướng dẫn: A = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) +...+ 99(100 + 1) A = 1.2 + 1+ 2.3 + 2 + 3.4 + 3 + ...+ 99.100 + 99 A = (1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ 99.100) + (1+ 2 + 3 +...+ 99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + (n – 1)n A= (n – 1)n(n+1):3 + n(n – 1):2 A= (n – 1)n(2n+1):6 Bài 4: Tính: A = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+ 99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5: Tính: A = 4+12+24+40+...+19404+19800 Hướng dẫn: Nguyeãn Thaønh Chung 2 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay 1 2 A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 +...+ 98.99 + 99.100 A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+...+4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7: Tính: A = 6+16+30+48+...+19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+...+4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9: Tính: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + ... + 98.99.100.(101 – 97) 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5+...+98.99.100.101 – 97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ (n – 2)(n – 1)n A = (n – 2)(n – 1)n(n + 1):4 Nguyeãn Thaønh Chung 3 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay Bài 10: Tính: A = 12+22+32+...+992+1002 Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 12+22+32+...+(n – 1)2 + n2 A = (n – 1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tính: A = 22+42+62+...+982+1002 Hướng dẫn: A = 22(12+22+32+...+492+502) Bài 12: Tính: A = 12+32+52+...+972+992 Hướng dẫn: A = (12+22+32+...+992+1002) – (22+42+62+...+982+1002) A = (12+22+32+...+992+1002) – 22(12+22+32+...+492+502) Bài 13: Tính: A = 12 – 22+32 – 42+...+992 – 1002 Hướng dẫn: A = (12+22+32+...+992+1002) – 2(22+42+62+...+982+1002) Bài 14: Tính: A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992 Hướng dẫn: A = 1.2(3 – 1)+2.3(4 – 1)+3.4(5 – 1)+...+98.99(100 – 1) A = 1.2.3 – 1.2+2.3.4 – 2.3+3.4.5 – 3.4+...+98.99.100 – 98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100) – (1.2+2.3+3.4+...+98.99) Bài 15: Tính: Nguyeãn Thaønh Chung 4 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.100 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2) A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99) Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2) A = (22+42+62+...+982+1002)+4(1+2+3+...+49+50) Bài 17: Tính: A = 13+23+33+...+993+1003 Hướng dẫn: A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1) A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100- 98.99+(12+22+32+...+992+1002) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100) – (1.2+2.3+3.4+...+98.99) (12+22+32+... +992+1002) Bài 18: Tính: A = 23+43+63+...+983+1003 Hướng dẫn: Bài 19: Tính: A = 13+33+53+...+973+993 Hướng dẫn: Bài 20: Tính: A = 13-23+33-43+...+993-1003 Hướng dẫn: Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU (2 buổi) Buổi 2: A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT Nguyeãn Thaønh Chung 5 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay I. MỤC TIÊU KT: - Nắm được tính chất của tỉ lệ thức,tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. - Tính toán tìm biến chưa biết trong hệ thức. KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giải toán tìm biến chưa biết trong hệ thức. TĐ: Cẩn thận, sáng tạo. II. CHUẨN BỊ Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ Hs: Dụng cụ học tập. III. TIẾN TRÌNH 1. Ổn định: 2. Kiểm tra: (Trong giờ) 3. Bài mới: I. TỈ LỆ THỨC 1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số a c = b d (hoặc a : b = c : d). Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ. 2. Tính chất: Tính chất 1: Nếu a c = b d thì ad=bc Tính chất 2: Nếu ad=bc và a, b, c, d ¿ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau: a c = b d a b = c d , , d c = b a , d b = c a Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU -Tính chất: Từ a c = b d suy ra: a c a+c a−c = = = b d b+ d b−d -Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: a c e = = b d f suy ra: a c e a+b +c a−b+c = = = = =. .. b d f b+d + f b−d+ f Nguyeãn Thaønh Chung 6 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay (giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). * Chú ý: Khi có dãy tỉ số a b c = = 2 3 5 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết x y = 2 3 và x+ y=20 Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt x y = =k 2 3 , suy ra: x=2 k , y=3k Theo giả thiết: x+ y=20 ⇒2 k +3 k =20 ⇒5 k =20⇒ k =4 Do đó: x=2 . 4=8 y=3 . 4=12 KL: x=8 , y=12 Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y x + y 20 = = = =4 2 3 2+3 5 Do đó: x =4 ⇒ x=8 2 y =4 ⇒ y =12 3 KL: x=8 , y=12 Cách 3: (phương pháp thế) Từ giả thiết mà x y 2y = ⇒ x= 2 3 3 x+ y=20 ⇒ Do đó: x= 2y + y=20 ⇒ 5 y =60 ⇒ y=12 3 2. 12 =8 3 KL: x=8 , y=12 Nguyeãn Thaønh Chung 7 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: x y = 3 4 , y z = 3 5 và 2 x −3 y+z=6 Giải: Từ giả thiết: x y x y = ⇒ = 3 4 9 12 (1) y z y z = ⇒ = 3 5 12 20 (2) Từ (1) và (2) suy ra: x y z = = 9 12 20 (*) Ta có: x y z 2 x 3 y z 2 x−3 y + z 6 = = = = = = = =3 9 12 20 18 36 20 18−36+ 20 2 Do đó: x =3 ⇒ x=27 9 y =3 ⇒ y=36 12 z =3⇒ z=60 20 KL: x=27 , y =36 , z=60 Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt x y z = = =k 9 12 20 (sau đó giải như cách 1 của VD1) Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: y z 3z = ⇒ y= 3 5 5 mà 2 x −3 y+ z =6 ⇒2 . Suy ra: y= 3z x y 3y 5 9z = ⇒ x= = = 3 4 4 4 20 3. ; 9z 3z z −3. + z=6 ⇒ =60 ⇒ z=60 20 5 10 3 .60 =36 5 , x= 9 .60 =27 20 KL: x=27 , y =36 , z=60 Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: x y = 2 5 và x. y=40 Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) Nguyeãn Thaønh Chung 8 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay Đặt x y = =k 2 5 , suy ra x  2k , y=5k 2 2 Theo giả thiết: x . y=40⇒ 2 k . 5 k =40 ⇒10 k =40 ⇒k =4 ⇒ k=±2 + Với k =2 ta có: x=2 .2=4 y=5 .2=10 + Với k=−2 ta có: x=2 .(−2 )=−4 y=5 .(−2)=−10 KL: x=4 , y=10 hoặc x   4 , y  10 Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Hiển nhiên x ¿ 0 2 Nhân cả hai vế của x y = 2 5 + Với x=4 ta có 4 y 4.5 = ⇒ y= =10 2 5 2 + Với x=−4 x xy 40 = = =8 2 5 5 với x ta được: � x 2  16 � x  �4 −4 y −4 .5 = ⇒ y= =−10 2 ta có 2 5 KL: x=4 , y=10 hoặc x   4 , y  10 Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: x y z = = 10 6 21 a) và 5 x+ y −2 z=28 b) x y = 3 4 , y z = 5 7 và 2 x +3 y−z=124 2x 3y 4z = = c) 3 4 5 e) x y = 5 3 và x+ y+ z=49 và 2 d) x y = 2 3 và xy=54 2 x − y =4 f) x y z = = =x+ y+ z y + z +1 z+ x +1 x+ y−2 Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: Nguyeãn Thaønh Chung 9 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay x y z = = 10 6 21 a) và 5 x+ y −2 z=28 b) x y = 3 4 , y z = 5 7 và 2 x +3 y−z=124 2x 3y 4z = = c) 3 4 5 e) x y = 5 3 và x+ y+ z=49 và 2 x y = 2 3 d) và xy=54 2 x − y =4 f) x y z = = =x+ y+ z y + z +1 z+ x +1 x+ y−2 Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) 3 x=2 y , 7 y=5 z và x− y +z=32 b) x−1 y−2 z−3 = = 2 3 4 và 2 x +3 y−z=50 c) 2 x =3 y=5 z và x+ y−z=95 e) d) y + z +1 z+ x +2 x+ y−3 1 = = = x y z x+ y+ z x y z = = 2 3 5 và xyz=810 2 2 f) 10 x=6 y và 2 x − y =−28 Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) 3 x=2 y , 7 y=5 z và x− y +z=32 b) x−1 y−2 z−3 = = 2 3 4 2 x +3 y−z=50 c) 2 x =3 y=5 z và x+ y−z=95 e) d) y + z +1 z+ x +2 x+ y−3 1 = = = x y z x+ y+ z Bài 5: Tìm x, y biết rằng: x y z = = 2 3 5 và xyz=810 2 2 f) 10 x=6 y và 2 x − y =−28 1+2 y 1+4 y 1+6 y = = 18 24 6x 1+2 y 1+4 y 1+6 y = = 24 6x Bài 6: Tìm x, y biết rằng: 18 Bài 7: Cho a+b +c +d≠0 Tìm giá trị của: A= và a b c d = = = b+c +d a+c +d a+b +d a+b+ c a+ b b+ c c +d d+ a + + + c +d a+d a+b b+ c a b c d a b c d 1      b  c  d a  c  d a  b  d a  b  c 3( a  b  c  d ) 3 ( Vì a+b +c +d≠0 ) Giải: Nguyeãn Thaønh Chung 10 Tröôøng THCS Kyø Ninh và Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a – 3b= b – a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b Tương tự => a = b = c = d =>A = 4 Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng: x 7  y 3 và 5x – 2y = 87; a) x y  b) 19 21 và 2x – y = 34; x 3 y3 z3   b) 8 64 216 và x2 + y2 + z2 = 14. 2x  1 3y  2 2x  3y  1   7 6x c) 5 Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 10: Tìm các số x, y, z biết : a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Giải a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y. Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3. Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng của a và b ? Giải. Rút ra được: a = – 3b, từ đó suy ra : a = – 2,25; b = 0,75. a b c , , Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: b  c c  a a  b . Biết a+b+c �0 .Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ? Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó? Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: � ab  ab  2cd   c 2d 2 �� .� ab  ab  2   2(ab  1) � � 0 thì chúng lập thành một tỉ lệ thức. � � � ab  ab  2cd   c 2 d 2 � ab  ab  2   2(ab  1) � � � 0 � �. � Giải: => ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b) =>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm Nguyeãn Thaønh Chung 11 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay Buổi 3: DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC I. MỤC TIÊU KT: - Ôn tập tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. - Tính toán tìm biến chưa biết trong hệ thức, chứng minh hệ thức. KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giải toán tìm biến chưa biết trong hệ thức; chứng minh hệ thức. TĐ: Cẩn thận, sáng tạo. II. CHUẨN BỊ Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ Hs: Dụng cụ học tập. III. TIẾN TRÌNH 1. Ổn định: 2. Kiểm tra: (Trong giờ) 3. Bài mới: Để chứng minh tỉ lệ thức: A C = B D ta thường dùng một số phương pháp sau: Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số A B C và D có cùng giá trị. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. Một số kiến thức cần chú ý: +) a na = (n≠0 ) b nb n ; +) a c a c = ⇒ = b d b d n () () Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) a c a+b c+d = = Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức b d . Chứng minh rằng: a−b c−d Giải: Cách 1: (PP1) Ta có: (a+b)(c−d)=ac−ad +bc−bd (1) (a−b)( c+d)=ac+ad−bc−bd (2) Nguyeãn Thaønh Chung 12 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay Từ giả thiết: a c = ⇒ad =bc b d (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: (a+b )(c−d )=(a−b)( c+d ) a+b c+d = a−b c−d ⇒ (đpcm) Cách 2: (PP2) a c = =k b d Đặt , suy ra a=bk , c=dk a+b kb+b b(k +1) k+1 = = = Ta có: a−b kb−b b(k −1) k −1 (1) c+d kd +d d (k +1) k +1 = = = c−d kd−d d (k −1) k −1 (2) a+b c+d = Từ (1) và (2) suy ra: a−b c−d (đpcm) Cách 3: (PP3) Từ giả thiết: a c a b = ⇒ = b d c d Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a+b a−b = = = c d c +d c−d ⇒ a+b c+d = a−b c−d (đpcm) Hỏi: Đảo lại có đúng không ? ab a2 −b 2 = cd c 2−d 2 a c = Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức b d . Chứng minh rằng: a c = ⇒ad =bc Giải: Cách 1: Từ giả thiết: b d Ta có: (1) ab ( c 2 −d 2 )=abc 2 −abd 2 =acbc−adbd (2) cd ( a2 −b 2 ) =a2 cd −b2 cd=acad−bc. bd (3) 2 ab ( c 2 −d 2 )=cd ( a 2−b2 ) Từ (1), (2), (3) suy ra: Cách 2: Đặt a c = =k b d 2 Ta có: , suy ra ⇒ 2 ab a −b = cd c 2−d 2 (đpcm) a=bk , c=dk 2 ab bk . b kb b = = = cd dk . d kd 2 d 2 Nguyeãn Thaønh Chung (1) 13 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay 2 2 2 2 a2 −b2 (bk ) −b b 2 k 2 −b2 b ( k −1 ) b2 = = = = c2 −d2 (dk )2 −d 2 d 2 k 2 −d 2 d 2 ( k 2−1 ) d 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra: ab a2 −b 2 = cd c 2−d 2 (đpcm) Cách 3: Từ giả thiết: a c a b ab a b a −b = ⇒ = ⇒ = = = b d c d cb c 2 d 2 c 2 −d 2 2 2 2 2 2 2 ab a −b = cd c 2−d 2 ⇒ (đpcm) BÀI TẬP VẬN DỤNG a c = Bài 1: Cho tỉ lệ thức: b d . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). 2 2 2 a+b a +b = 2 2 c+d c +d 2) ( ) a−b c−d = 3) a+b c+d 4) ab ( a−b ) = cd ( c−d )2 2 a+5 b 2 c+5 d = 5) 3 a−4 b 3 c−4 d 2005 a−2006 b 2005 c−2006 d = 6) 2006 c +2007 d 2006 a+2007 b a c = 7) a+b c +d 7 a +5 ac 7 b +5 bd = 2 2 7 a −5 ac 7 b −5 bd 8) 3 a+5b 3 c+5d = 1) 3 a−5 b 3c−5 d 2 2 2 a c = Bài 2: Cho tỉ lệ thức: b d . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). 3a+5b 3 c+5 d = a) 3 a−5b 3 c−5 d 2 d) ab ( a−b ) = cd ( c−d )2 b) a+b 2 a2 +b 2 = 2 2 c+ d c +d ( ) 2 a+5 b 2 c+5 d = e) 3 a−4 b 3 c−4 d Nguyeãn Thaønh Chung 14 a−b c−d = c) a+b c+d 2008a  2009b 2008c  2009d  f) 2009c  2010d 2009a  2010b Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay g) 2 a c = a+b c +d 2 7 a +5 ac 7 b +5 bd = 2 2 h) 7 a −5 ac 7 b −5 bd i) 7a 2  3ab 7c2  3cd  11a 2  8b 2 11c 2  8d 2 Bài 3: Cho 3 a b c = = b c d a+b+c a = b+c +d d ( ) a+b+c a = ( b+c +d ) d . Chứng minh rằng: 3 a b c = = b c d Bài 4: Cho . Chứng minh rằng: a b c = = 2 Bài 5: Cho 2003 2004 2005 Chứng minh rằng: 4(a−b)(b−c)=(c−a) a1 a 2 a 3 a    ...  2008 a 2009 Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: a 2 a 3 a 4 2008 �a  a 2  a 3  ...  a 2008 �  �1 � �a 2  a 3  a 4  ...  a 2009 � a1 CMR: Ta có đẳng thức: a 2009 a1 a 2 a a = =.. . .. .. . .... . ..= 8 = 9 a9 a 1 Bài 7: Cho a2 a3 và a1 +a2 +.. .+a9 ≠0 Chứng minh rằng: a1 =a 2=. . .=a 9 a b c = = 2 Bài 8: Cho 2003 2004 2005 . Chứng minh rằng: 4(a−b)(b−c)=(c−a) Bài 9: Chứng minh rằng nếu : Bài 10: Cho a b = b d thì a1 a 2 a a = =.. . .. .. . .. .. . ..= 8 = 9 a2 a3 a9 a 1 Chứng minh rằng: a2 + b2 a = b2 + d2 d và a1 +a2 +.. .+a9 ≠0 a1 =a 2=...=a 9 2 Bài 11: CMR: Nếu a =bc thì Bài 12: Chứng minh rằng nếu : a+b c+d = Bài 13: Cho a−b c−d . Nguyeãn Thaønh Chung a+b c+a = a−b c−a . Đảo lại có đúng không? a b = b d thì a2 + b2 a = b2 + d2 d a c = CMR: b d 15 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay a c a 2  b 2 ab   2 2 Bài 14. Cho tỉ lệ thức : c  d cd . Chứng minh rằng: b d . 2 Giải. Ta có : ⇒ 2 a + b ab = c2 +d 2 cd 2 2 ab a2 +2 ab+ b2 ( a+b ) ab ( a+b )( a+b ) a . b = 2 = = ⇒ = 2 2 cd 2cd c .d ; ( c+d )( c+d ) c +2 cd+ d ( c +d ) = c ( a+b ) b ( c +d ) ca+cb bc+bd ca−bd a c = = = = =1 ⇒ca+cb=ac +ad ⇒ cb=ad ⇒ = b d a ( c +d ) d ( a+b ) ac +ad da+db ca−bd u+2 v +3 = Bài 15: Chứng minh rằng nếu: u−2 v−3 2 Bài 16: CMR: Nếu a =bc thì u v = 2 3 a+b c+a = a−b c−a . Đảo lại có đúng không? thì Bài 17: CMR nếu a( y+z)=b( z+x)=c(x+ y ) y− z z−x x− y = = trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : a(b−c ) b(c−a) c (a−b ) Bài 18: a+b c+d a c = = Cho a−b c−d . CMR: b d a c = Bài 19: Cho b d . Các số x, y, z, t thỏa mãn: Chứng minh rằng: xa+ yb≠0 và zc+td≠0 xa+ yb xc+ yd = za+ tb zc+td u+2 v +3 = Bài 20: Chứng minh rằng nếu: u−2 v−3 thì u v = 2 3 2 2 3 3 3 Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b  ac ; c  bd và b +c + d ≠0 Chứng minh rằng: a3 +b3 +c 3 a = b3 + c3 +d 3 d Bài 22: CMR nếu a( y+z)=b( z+x)=c(x+ y ) .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : y− z z−x x− y = = a(b−c ) b(c−a) c (a−b ) 2 ax +bx+c P= a1 x 2 +b1 x+c 1 Bài 23: Cho a b c = = a . Chứng minh rằng nếu 1 b1 c 1 thì giá trị của P không phụ thuộc vào x. a b' b c'   1 ;  1 ' ' a b b c Bài 24: Cho biết : . CMR: abc + a’b’c’ = 0. Nguyeãn Thaønh Chung 16 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay Bài 25: Cho a c = b d . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa+ yb≠0 Chứng minh rằng: xa+ yb xc+ yd = za+ tb zc +td 2 2 Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b  ac ; c  bd 3 Chứng minh rằng: 3 Bài 27: Cho 3 3 3 và b +c +d ≠0 3 a +b +c a = b3 + c3 +d 3 d 2 P= và zc+td≠0 ax +bx+c a1 x 2 +b1 x+c 1 a b c = = a b1 c 1 1 . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ thuộc vào x. 2a  13b 2c  13d  3c  7d ; Bài 28: Cho tỉ lệ thức: 3a  7b a c  Chứng minh rằng: b d . bz  cy cx  az ay  bx x y z     a b c Bài 29: Cho dãy tỉ số : ; CMR: a b c . Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI (5 buổi) Buổi 4: LÍ THUYẾT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I. MỤC TIÊU KT: - Nắm được kiến thức cơ bản về GTTĐ . - Tính toán tìm biến chưa biết trong hệ thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. KN: - Học sinh hiểu,vận dung kiến thức để tính giải toán tìm biến chưa biết trong hệ thức, chứng minh hệ thức. TĐ: Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn. II. CHUẨN BỊ Gv: Nghiên cứu, soan giáo án, phấn màu, bảng phụ Hs: Dụng cụ học tập. III. TIẾN TRÌNH Nguyeãn Thaønh Chung 17 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay 1.Ổn định: 2. Kiểm tra: (Trong giờ) 3. Bài mới: 1. Lý thuyết *Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a( a là số thực) * Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó. TQ: Nếu Nếu a≥0⇒|a|=a a<0⇒|a|=−a Nếu x-a  0=> = x-a Nếu x-a  0=> = a-x *Tính chất Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm |a|≥0 với mọi a  R TQ: Cụ thể: =0 <=> a=0 ≠ 0 <=> a ≠ 0 * Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. TQ: |a|=|b|⇔ ¿ [ a= b [ ¿ [ a =−b * Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó. TQ: −|a|≤a≤|a| và −|a|=a⇔a≤0;a=|a|⇔ a≥0 * Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn TQ: Nếu a|b| * Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn Nguyeãn Thaønh Chung 18 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay TQ: Nếu 0 0 thì ta có: |A( x)|=0⇒ A( x )=0 |A ( x )|=k ⇒ ¿ [ A ( x )= k [ ¿ [ A ( x )=−k Bài 1.1: Tìm x, biết: a) |2 x−5|=4 1 5 1 −| −2 x|= 4 b) 3 4 1 1 1 −|x+ |= 5 3 c) 2 d) 3 7 −|2 x +1|= 4 8 Giải Nguyeãn Thaønh Chung 19 Tröôøng THCS Kyø Ninh Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay a) a) =4 � x= 4 |2 x−5|=4 � 2x – 5 =  4 * 2x – 5 = 4 � 2x = 9 � x = 4,5 * 2x-5 = - 4 � 2x =5 – 4 � 2x = 1 � x = 0,5 Tóm lại: x = 4,5 ; x = 0,5 1 5 1 −| −2 x|= 4 � b) 3 4 5 1 1  2x   4 3 4 Bài 1.2: Tìm x, biết: a) 2|2 x−3|= 1 2 b) 4 |x+ |−|−3,75|=−|−2,15| 15 c) 7,5−3|5−2 x|=−4,5 Bài 1.3: Tìm x, biết: a) 2|3x−1|+1=5 x | −1|=3 b) 2 2 1 |−x+ |+ =3,5 5 2 c) d) 1 1 |x− |=2 3 5 Bài 1.4: Tìm x, biết: 1 3 |x + |− =5 4 4 a) 3 1 −5 2−| x− |=| | 2 4 4 b) 3 4 3 7 + |x− |= 4 4 d) c) 2 5 3 1 5 5 4,5− | x+ |= 4 2 3 6 Bài 1.5: Tìm x, biết: 9 1 6,5− :|x + |=2 4 3 a) 11 3 1 7 + :|4 x− |= 5 2 b) 4 2 15 3 1 −2,5:| x + |=3 4 2 c) 4 21 x 2 +3 :| − |=6 4 3 d) 5 2. Dạng 2: |A(x)|=|B(x)| ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) * Cách giải: Vận dụng tính chất: |a|=|b|⇔ ¿ [ a= b [ ¿ [ a =−b ta có: |A ( x )|=|B ( x )|⇒ ¿ [ A ( x )= B ( x ) [ ¿ [ A ( x )=− B ( x ) Bài 2.1: Tìm x, biết: Nguyeãn Thaønh Chung 20 Tröôøng THCS Kyø Ninh