Tài liệu Chuyên đề bài toán liên quan hàm số

Chuyªn ®Ò : TO¸N N¨m 2015-2016 T.H.H.L 09.06.07.05.12 Chuyªn ®Ò : bµi to¸n liªn quan hµm sè 1, Xét sự biến thiên của hàm số y = f(x). B1: Tìm miền xác định D của hàm số. B2: Tính đạo hàm f ’(x). Tìm x thuộc D sao cho f ’(x) hoặc không xác định. B3: Lập bảng biến thiên của hàm số hoặc trục số. B4: Kết luận. 2, Xác định m để hàm số y = f(x, m) đồng biến (hay nghịch biến) trên khoảng D. B1: Tìm miền xác định của hàm số. B2: Tính đạo hàm f’(x). B3: Lập luận cho các trường hợp x D min f '(x) 0 . f ’(x)  0 với ۳ x D f ’(x)  0 với �x D max f '(x) 0 . x D 3, Tìm cực trị của hàm số. Phương pháp 1: Tìm cực trị bằng cách sử dụng bảng biến thiên Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số f(x) Bước 2: Tìm y', giải phương trình y' = 0. Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận: * Nếu y' đổi dấu từ - sang + khi qua điểm x0 (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 . * Nếu y' đổi dấu từ + sang - khi qua điểm x0 (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 . Phương pháp 2: Tìm cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm cấp 2 Bước 1: Tìm tập xác định. Bước 2: Tính y'. Giải phương trình y' = 0 và kí hiệu xi (i=1,2,...) là các nghiệm của nó. Bước 3: Tính f"(x) và f"( xi ) rồi kết luận: * Nếu f"( xi )<0 thì hàm số đạt cực đại tại xi . * Nếu f"( xi )>0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi . 4, Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: Dạng 1.Viết PTTT của đồ thị hàm số y  f ( x) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 )) y  f '( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) Dạng 2. Viết PTTT của đồ thị hàm số y  f ( x) , biết rằng TT có hệ số góc là k  Hoành độ tiếp điểm là n0 f '( x0 )  k => x0 => y0=f(x0)  PTTT: y=k(x- x0)+y0 * Phương trình đường thẳng qua A, B lần lượt trên Ox, Oy (không trùng O) có hệ số góc k   Dạng 3. Viết PTTT của đồ thị hàm số y  f ( x ) biết rằng TT đi qua điểm M(a; b).  Gọi d qua M và có hệ số góc k: y=k(x-a)+b.  f ( x)  k ( x  a )  b  f '( x)  k  d là PTTT   có nghiệm 5, GTLN,GTNN của hàm số : Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) thì lập bảng biến thiên. f ( x) và min f ( x) . Bài toán 2. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Hãy tìm max [ a ;b ] [ a ;b ] Mét chót nh÷ng bíc ch©n cã thÓ ®i ®Õn ngµn dÆm. 1 Cø ®i lµ ®Õn ! OB OA Chuyªn ®Ò : TO¸N N¨m 2015-2016 Cách giải T.H.H.L 09.06.07.05.12 1, Tìm các điểm tới hạn x1, x2, …., xn của f(x) trên đoạn [a;b]. 2, Tính f(a), f(xi), f(b). 3, max f ( x )  max  f  a  , f  xi  ,..., f  b   ; min f ( x)  min  f  a  , f  xi  ,..., f  b   [ a ;b ] [ a ;b ] VD 1. Tìm m sau cho hàm số: 1, y = x3 – 2(m – 1)x2 + (m-1)x ĐB / R. 2, y = mx3 – 2m x2 + (m – 2)x NB / R. 3, y = x3 + 3x2 + (m -3)x + 4 NB/  1;1 .4, y = (m + 3)cos2x + (2 – 2m)x ĐB / R. VD 2. Cho hàm số y   x 3  3x 2  4 . Tìm độ dài dây cung tạo bởi đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số với đường tròn (C) : x 2  y 2  2 x  2 y  7  0   3 2 2 VD 3. Cho hàm số: y  x  mx  m  m  1 x  1 . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x=1. VD 4. Tìm m để y = x3 - 3( m + 1 )x2 + 3(m2 + 2 )x + 1 – m đạt cực trị tại x1 , x2 thỏa x12 + x22 = 10 VD 5. Tìm m để hàm số y  1 mx 3   m  1 x 2  3  m  2  x  1 đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có 3 3 hoành độ x1 , x2 : x1  2 x2  1 VD 6. Cho hàm số y  (m  2)x 3  3x 2  mx  5 , Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương. VD 7. Cho hàm số y  x 3  3x  1 (1) . Đường thẳng (  ): y  mx  1 cắt (C) tại A, B, M(0;1) phân biệt. Gọi D là điểm cực tiểu của (C). Tìm m để DA  DB . 1 3 VD 8. Cho hàm số y   x3  2 x 2  3x (1). Gọi A, B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2. 1 3 VD 9. Tìm m để hàm số y  x 3  mx 2  mx  1 đạt cực trị tại x1 ; x 2 thoả mãn x1  x 2  8 3 2 3 VD 10. Cho hàm số y  2x  3  m  1 x  6mx  m  1 . Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vuông ở C  4;0  . 3 2 2 2 VD 11. Cho hàm số y   x  3x  3  m  1 x  3m  1  1 Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với O tạo thành một tam giác vuông tại O. VD 12. Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3m3 (1). Tìm m để (Cm) có 2 điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48. VD 13. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m  1 (1) . Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 . VD 14. 4 2 [ĐHB11] Cho hàm số y  x  2  m  1 x  m . Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A , B , C sao cho OA  BC ; trong đó A thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. Mét chót nh÷ng bíc ch©n cã thÓ ®i ®Õn ngµn dÆm. 2 Cø ®i lµ ®Õn ! Chuyªn ®Ò : TO¸N N¨m 2015-2016 VD 15. T.H.H.L 09.06.07.05.12 [ĐHA12] Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2  m  1 x  m có ba điểm cực trị tạo thành ba 4 2 2 đỉnh của một tam giác vuông. VD 16. Cho hàm số y  3x  2 x 1 (1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;3) cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB  2 3 . VD 17. Cho hàm số y  x3  2 x 2  (1  m) x  m (1). Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoả mãn điều kiện x12  x2 2  x32  4 . VD 18. Cho hàm số y  2x 1 Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, x 1 B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 . VD 19. Tìm m để d: y=x+4 cắt đồ thị hàm số y  x3  2mx 2  (m  3) x  4 tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (Điểm B, C có hoành độ khác 0, M(1;3)) VD 20. Tìm m để đồ thị (Cm): y  x 4  2(m  1) x 2  2m  3 cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng. VD 21. Cho hàm số y  x3  3x2  4 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với  d  : y  3 x  2016 . VD 22. Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 - 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến qua M  2;3 . 2x  1  C  . Tìm trên đồ thị (C) điểm M sao cho tiếp tuyến với (C) tại M 1 x uu r uur IA  IB  2 2 (I là giao điểm hai đường tiệm cận). cắt hai đường tiệm cận tại A, B sao cho VD 23. Cho hàm số y  VD 24. Cho hàm số y  2x  1  C  . Gọi I(1;2). Tìm trên (C) điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại x 1 M vuông góc với IM. 2x  3  C  . Viết pttt với (C) biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của x 1 (C) thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. 2x  1 VD 26. Cho hàm số  C  : y  x 1 Viết pttt của (C) sao cho tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OA=4OB. xm VD 27. Cho hàm số y   Cm  , m  1 . Gọi k1 là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của x 1 VD 25. Cho hàm số y   Cm  với trục hoành và k2 là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho k1  k2 đạt giá trị nhỏ nhất. VD 28. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: 3 2 1, f  x   2 x  6 x  1 trên đoạn  1;1 4 2 2, f  x   2 x  4 x  3 trên đoạn  0; 2 Mét chót nh÷ng bíc ch©n cã thÓ ®i ®Õn ngµn dÆm. 3 Cø ®i lµ ®Õn ! Chuyªn ®Ò : TO¸N N¨m 2015-2016 T.H.H.L 09.06.07.05.12 VD 29. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: 1, f  x   2x  1 trên đoạn  2; 4 1 x x2  2x  3 trên đoạn  0;3 x2 2, f  x   VD 30. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: 1, f  x   x  4  x 2 2x  3 2, f ( x)  x2  1 trên đoạn  1; 2 VD 31. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: 1, f  x   ln x 4 trên đoạn 1; l  x 2, f  x   ln 2 x 3 trên đoạn 1; l  x VD 32. Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: 1, f  x   1  x 2  3 3  1  x 2  2    3, f  x   sin 2 x  x trên đoạn  ;   2 2 2, f ( x)  x  1  x2  x    4, f  x   x  2 cos x trên đoạn 0;   2 VD 33. Tìm tất cả các giá trị của m để: m 2 x 2  9  x  m có đúng một nghiệm. VD 34. Tìm tất cả các giá trị của m để: 21  4 x  x 2  3 x3 m 4   x  3  2 7  x có nghiệm. VD 35. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình: x  4  x   m x 2  4 x  5  2  0 có nghiệm x  2;2  3  . Mét chót nh÷ng bíc ch©n cã thÓ ®i ®Õn ngµn dÆm. 4 Cø ®i lµ ®Õn !